Determinación y Análisis de la gráfica Momento - Curvatura de diferentes secciones de vigas de concreto reforzado.

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1 Determinaión y Análisis de la gráfia Momento - Curvatura de diferentes seiones de vigas de onreto reforzado. Delma V. Almada N., Ms, Josué Noel Bárena A., Ms, Mauriio Eniso T., Ms. Tenológio de Monterrey, Campus Monterrey, Méxio, dalmada@itesm.mx, a85938@itesm.mx, mauriio.enisot@hotmail.om El omportamiento de vigas de onreto reforzado puede ser analizado a través de generar la gráfia Momento Curvatura (Mφ) de una seión. El artíulo presenta el desarrollo de las euaiones para generar las gráfias M-φ de seiones retangulares, triangulares y trapezoidales on aero en tensión y en ompresión. Los puntos de la gráfia, inluyendo los prinipales: Momento de agrietamiento, Momento de fluenia del aero así omo el Momento de falla on sus respetivas urvaturas, son determinados onsiderando una distribuión parabólia para los esfuerzos de ompresión y lineal para los esfuerzos de tensión en el onreto, mientras que los esfuerzos de tensión y ompresión del aero se onsideran bilineales. Se analiza la dutilidad de un elemento en flexión de auerdo al Reglamento del ACI omparando la máxima y mínima urvatura orrespondiendo al área de aero mínima y a máxima respetivamente, así omo el efeto de proporionar aero a ompresión a un elemento. Por otro lado se determina la rigidez del elemento antes de la primera grieta, y se analiza la pérdida de rigidez a medida de que el elemento aumenta su urvatura hasta llegar a la fluenia del aero y a la falla. Keywords Vigas, Conreto reforzado, Momento urvatura, Dutilidad, Rigidez. INTRODUCCIÓN La gráfia Momento- Curvatura nos proporiona puntos de momento resistente interno y su urvatura orrespondiente para un diagrama de deformaiones que umpla on la ompatibilidad y equilibrio de fuerzas internas. Los puntos más importantes de la gráfia, omo se muestran en la fig., son aquellos donde los materiales del elemento fallan o fluyen, omo es el aso del momento orrespondiente al agrietamiento del onreto a tensión, el momento orrespondiente uando el aero empieza a fluir y el momento uando falla el elemento por ompresión del onreto. El omportamiento de los elementos sujetos a flexión antes de la falla, nos permite determinar la urvatura del elemento en el estado de serviio o la deformaión del aero en tensión. Por otro lado, on la gráfia M-φ se puede analizar la influenia del aero en ompresión antes y después del agrietamiento así omo después de la fluenia del aero hasta llegar a la falla del elemento. Los elementos de onreto reforzado son diseñados bajo la teoría de resistenia última usando espeifiaiones de diferentes ódigos, asumiendo en la mayoría de los asos una distribuión retangular de esfuerzos de ompresión del onreto y despreiando su resistenia a la tensión. Sin embargo, para onoer el omportamiento del elemento antes de falla, se asume una distribuión parabólia de esfuerzos de ompresión y una distribuión lineal de los esfuerzos de tensión del onreto. Fig.. Gráfio generalizado de la relaión M-φ SECCIONES CONSIDERADAS Se determinan euaiones generales para determinar la fuerza de ompresión de onreto y su loalizaión a partir del eje neutro para las siguientes geometrías: Vigas de forma trapezoidal, retangular y triangular omo se muestra en la fig.. Fig.. Seiones apliables para el uso de las euaiones generalizadas. MATERIALES Las araterístias meánias de los materiales pueden aproximarse mediante euaiones propuestas para obtener analítiamente la resistenia de un elemento. En el aso del onreto reforzado, las urvas esfuerzo deformaión del onreto y del aero, tanto a tensión omo a ompresión son simplifiadas. A ontinuaión se presentan las euaiones utilizadas para ada uno de los materiales.

2 Razón del esfuerzo atuante entre el esfuerzo maximo del onreto a ompresión (f / f ') Esfuerzo del aero (σ) Razón del esfuerzo atuante entre el esfuerzo maximo del onreto a tensión (f t / *f '.5 ) A. Conreto i. Compresión Los modelos que autores diferentes han propuesto para aproximar la urva esfuerzo deformaión (σ-ɛ) del onreto a ompresión para onreto no onfinado y onfinado se muestran en la fig. 3. Figura. 3 Modelo para onreto onfinado y no onfinado, [3]. Los esfuerzos de ompresión en el onreto se onsideraran no lineales y se utiliza la parábola de segundo grado y su orrespondiente gráfia, fig. 4, presentada por [] para onretos no onfinados. f = f [ ε ε ( ε ε ) ] () Dónde: f representa la resistenia a la ompresión del onreto, ε la deformaión unitaria del onreto orrespondiente al esfuerzo de ompresión y ε la deformaión uando alanza la máxima resistenia e igual a.. En la fig. 4 se muestra la urva σ-ɛ del onreto a ompresión en relaión a la máxima resistenia a la ompresión del onreto, onsiderando la máxima deformaión del onreto (ε u), igual a.3 en orrespondenia a la seión..3 del Reglamento ACI 38S-. Dónde: E es el módulo de elastiidad del onreto (8.5 ACI 38S-), ε t es la deformaión del onreto a una posiión dada Deformaión unitaria del onreto (ε) Fig. 5. Curva esfuerzo - deformaión a tensión del onreto. B. Aero La urva σ-ɛ del aero de refuerzo para tensión y ompresión se simplifia a una urva bilineal, fig. 6, on las euaiones presentadas en la tabla, donde ε y (deformaión del aero uando empieza a fluir) y f y el esfuerzo orrespondiente, ε r (deformaión del aero al momento de falla), E s (módulo de elastiidad del aero) y ε s (la deformaión del aero). TABLA. ECUACIONES DE LA CURVA ESFUERZO DEFORMACIÓN DEL ACERO DE REFUERZO. Rango Falla por ompresión (-εr) hasta -εy De -εy a εy De ε y a la falla en tensión (εr) (εy, fy) Euaión σ = - fy σ = Es*εs σ = fy (εr,fy) Fig. 4 Curva esfuerzo - deformaión del onreto a ompresión. ii. Tensión La urva σ-ɛ del onreto a tensión, fig. 5, se obtiene grafiando una distribuión lineal a partir de ero hasta la deformaión orrespondiente al esfuerzo de ruptura (f r ) del onreto por tensión igual a 3. 5, la ual fue alulada omo se muestra a ontinuaión: f r = f = E ε tmax = (5, f )ε tmax ε tmax = 5, = Deformaión unitaria del onreto (ε) (-εr,-fy) (-εy,-fy) Fig. 6. Aproximaión de la urva esfuerzo - deformaión del aero. CÁLCULO DE LA FUERZA DE COMPRESIÓN DEL CONCRETO Y SU LOCALIZACIÓN. La Fuerza de ompresión del onreto (C ), se obtiene integrando el diferenial de fuerza desde el eje neutro hasta la fibra más alejada en ompresión. El diferenial de fuerza se determina multipliando el diferenial de área por el orrespondiente esfuerzo, omo puede observarse en la fig. 7. Los esfuerzos de ompresión en el onreto en funión de la distania x, se determinan según (), la ual es resultado de tomar la () que está en funión de la deformaión del onreto y substituir la deformaión ε en funión de la posiión x y de la máxima deformaión ε,max. Deformaión unitaria del aero (εs)

3 Del diagrama de deformaiones, usando una relaión de triángulos: ε,max = ε x ε = x ε,max. f = f [ ε maxx ( ε maxx ) ] () Fig. 7. Fuerza de ompresión del onreto La fuerza a ompresión en el onreto, (4), será el resultado de integrar el diferenial de fuerza obtenido omo el diferenial de área, (3), por el esfuerzo, (). da = b dx (3) C = df = da f = b f dx (4) La base, b, que onsidera las geometrías antes menionadas, se expresa en funión de la posiión del eje neutro,, mediante (5): b = B + (B B) ( x) (5) De esta forma, el diferenial de fuerza se expresa omo: df = [B + B B ( x)] f [ ε maxx Integrando (4): C = [B + B B C = {[B + B B ( x)] f [ ε maxx ε ()] f [ ε maxx ε [ B B ] f [ ε maxx ( ε max ) x 3 ( ε maxx ) ] dx. ( ε maxx ) ] dx ( ε maxx ) ] ]} dx C = [[(B + B B ) f ] [ ε maxx ( ε max ) x 3 3 ] ] [[ B B f ] [ ε maxx 3 3 ( ε max ) x 4 4 ] ] C = (B + B B ) f [ ε max 3 (ε max ) ] ( B B ) f [ ε max 3 4 (ε max ) ]. (6) La loalizaión X, (7), de la fuerza de ompresión del onreto se obtiene igualando la integral del momento que produen los difereniales de fuerza df, por la distania al eje neutro, x, on el momento que produe la fuerza resultante, C, por la distania donde se ubia la fuerza X. dm = xdf = xdaf dm = C X X = xdaf (7) C Integrando el numerador de (7): xdaf xdaf xdaf xdaf xdaf X = = x [B + B B ( ε maxx ) ] dx = {(B + B B ( ε max ) x 3 ( ε max ) x 4 ( x)] f [ ε maxx ) f [ ε maxx ]} dx {(B B ) f [ ε maxx 3 ]} dx = [(B + B B ) f [ ε max x 3 3 ( ε max ) x 4 4 ( ε max ) x 5 5 ]] ]] = (B + B B ) f [ ε max 3 [( B B ) f [ ε max x 4 4 ( B B ) f 3 [ ε max 5 (ε max ) ] = Bf [ 3 ε max 4 (ε max ) ] + 4 (ε max ) ] ( B B ) f 3 [ ε max 6 (ε max ) ] (8) Sustituyendo (8) y (6) en (7) se obtiene (9). ) Bf [ εmax 3 4 (ε max (B+ B B )f [ ε max 3 (ε max ]+ ( B B )f 3 [ 6 ) ] ( B B )f [ 3 ) ] εmax (ε max ) ] εmax 4 (ε max CÁLCULO DE LA FUERZA TENSIÓN DEL CONCRETO Y SU LOCALIZACIÓN. (9) La fuerza de tensión, véase fig. 8, del onreto se determina integrando el diferenial de fuerza de tensión obtenido omo el diferenial de área por el esfuerzo de tensión desde el eje neutro hasta donde se enuentra ubiado el esfuerzo de ruptura o esfuerzo máximo de tensión. La deformaión del onreto a tensión a una distania x, se determina del diagrama de deformaiones por medio de una relaión de triángulos: ε t,max h = ε t x ε t = x ε t,max h. () 3

4 diferenial de momento que produe el diferenial de fuerza por la distania al eje neutro e igualando el resultado al momento que produe la fuerza de tensión por la distania X, omo se muestra a ontinuaión: h x df = dm dm = T X Fig. 8. Fuerza de tensión y su ubiaión h x ( f r [B h x + ( B B ) (x + x )] dx) = T X f x r [B h (B B ) 3 (x + x )] h = T X Figura 8. Deformaión, esfuerzos y fuerza de tensión del onreto. Considerando la deformaión ε t, alular los esfuerzos a tensión: de () podemos f t = E ε t = E x ε t,max h. () El diferenial de área en tensión, se alula substituyendo el valor del anho b, de la siguiente forma: da = bdx. b = B + ( B B ) ( + x ) da = [B + ( B B ) ( + x )] dx. () El diferenial de fuerza, (3), se alula omo el produto del diferenial del área, (), por el esfuerzo en tensión, (): df = [B + ( B B ) ( + x x )] E ε t,max dx h = df = f r h [B x + ( B B ) (x + x )] dx. (3) La fuerza de tensión del onreto (4) se determina integrando el diferenial de la fuerza, (3), desde el eje neutro hasta donde se enuentre la deformaión máxima en tensión (ε tmax ), denominada h, la ual está en funión de la máxima deformaión del onreto a ompresión ε max y de la profundidad del eje neutro. T = h f r T = f x r [B h T = f r h [B h [B h x + ( B B + (B B + (B B ) (x + x )] dx h ) (x + x 3 )] 3 ) (h + h 3 T = f r [B h + (B B ) (h 3 )] + h 3 )] (4) f r h [B h (B B ) 3 (h + h 4 3 )] = T 4 X La euaión final de la posiión de la fuerza de tensión del onreto respeto de su eje neutro es: h B 3 +(B B )(h 3 +h 3 4 ) X = h B +(B B )(h +h 3 (5) 3 ) FUERZA DE COMPRESIÓN Y TENSIÓN EN EL ACERO La fuerza de tensión y ompresión proporionada por el aero de refuerzo, (6), se obtiene onsiderando el área de aero multipliada por el esfuerzo orrespondiente: F s = A s ε s E s A s f y (6) La loalizaión de la fuerza será ubiada en el entroide de las varillas. DETERMINACIÓN DE LA GRÁFICA MOMENTO CURVATURA Teniendo las euaiones orrespondientes para determinar la fuerza de ompresión y tensión de los materiales, tanto del onreto omo del aero, así omo su loalizaión, se proede a busar la posiión del eje neutro que umpla on el equilibrio interno, es deir que la suma de fuerzas internas sea ero. Para lograr éste objetivo, se programó una hoja de álulo eletrónia en el software omerial Exel usando un maro programado on el omando Goal seek para enontrar el valor del eje neutro que umpla on la ondiión de que las fuerzas de ompresión y tensión sean iguales. Posteriormente se determina el momento que produen las fuerzas internas y su urvatura orrespondiente para un diagrama de deformaiones. El momento resistente se determina utilizando la (7): M = C (d + X ) + C s (d d ) T (d ). X (7) La urvatura, φ, se alula omo la relaión entre la deformaión máxima a ompresión y la posiión del eje neutro. El proeso se repite para determinar varios puntos de la urva M-φ, véase fig. 9. La loalizaión de la fuerza de tensión, (5), a partir del eje neutro, se determina integrando desde ero hasta h, el 4

5 Fig. 9.Esquema para determinar el momento y la urvatura de una viga Con la hoja eletrónia de álulo mostrada en la tabla 3, se podrán determinar las gráfias Momento Curvatura para diferentes tipos de seiones on aero en tensión y ompresión, y realizar análisis de sensibilidad uando se le proporiona el área de aero mínima ó máxima a la seión. EJEMPLO : Ejemplo. Determinaión de la gráfia Momento Curvatura para una viga retangular doblemente reforzada.. La informaión sobre las dimensiones de la viga, antidad de aero, ubiaión y materiales será proporionada iniialmente, desplegando la informaión obtenida, omo se muestra en la tabla. TABLA. DATOS CAPTURADOS EN LA OJA DE EXCEL, EJEMPLO. Datos Nomenlatura Valor Unidad Base superior B 3. m Base inferior B 3. m Altura 5. m Resistenia a la ompresión del onreto f' 5. kg/m ε'. Esfuerzo de fluenia del aero Fy 4 kg/m Módulo de elastiidad del aero Es 4 kg/m Área de aero en tensión As.4 m Peralte efetivo d 44 m Área de aero en ompresión A's.53 m Peralte de aero a ompresión d' 6 m Al utilizar el Maro programado ajusta el equilibrio interno de fuerzas y determina el momento resistente interno y la urvatura orrespondiente, omo se observa en la Tabla 3. TABLA 3. RESULTADOS FINALES DEL EJEMPLO. La urva M-φ de la Fig., generada on la informaión obtenida de la tabla 3, inluye los puntos orrespondientes a: el momento de agrietamiento (Mr), el punto en el que el aero de refuerzo a tensión empieza a fluir My y el momento de falla Mn. Los puntos generan líneas de tendenia, uyos quiebres de pendiente maran la pérdida de rigidez del elemento, ausado por la reduión de la ineria de la seión. En la fig. se presenta una omparativa entre la urva generada a partir de puntos ontra una urva M-φ heha on los tres puntos destaables en el omportamiento de una viga. 5

6 Momento (T - m) Figura.. Momento urvatura para la viga retangular doble-reforzada DUCTILIDAD DEL ELEMENTO A FLEXIÓN. La dutilidad de un elemento sujeto a flexión está asoiada a la urvatura del elemento en falla, a medida de que la antidad de aero disminuye, la profundidad del eje neutro también disminuye aumentando de ésta manera la urvatura. Los reglamentos limitan el área de aero entre un mínimo y un máximo o una deformaión mínima y una deformaión máxima. El reglamento del ACI establee un área de aero mínima (Art.5) orrespondiente a la máxima deformaión unitaria del aero y una mínima deformaión (.4) orrespondiente a la máxima área de refuerzo para umplir on dutilidad. Este rango dútil es posible grafiarlo dentro de la urva M-φ para elementos a flexión. El eje neutro orrespondiente a la mayor antidad de aero en una viga, estará en funión del peralte efetivo, d, del elemento, omo se india en la siguiente relaión: ε u = ε u+ε s d 3 4 ε ( -5 */m) Momento - urvatura M-C aproximada on 3 puntos Mr Momento de fluenia Momento de falla.3 =.3+.4 d = 3 7 d. Por lo tanto la urvatura mínima sería igual a ε u = 7ε u 3d Según la seión.5 del ACI 38S- el área de aero mínima, A s, mín, para vigas retangulares se alula por medio de (8): A s,min =.8 f f y bd 4 f y bd. (8) Sin embargo, (8) no satisfae los asos en los que los elementos no sean retangulares por lo que neesitaremos obtener la deformaión unitaria del aero ligada a (8), para lo que se alula la posiión del eje neutro mediante equilibrio de fuerzas internas. Considerando que para una viga retangular en falla, la fuerza de ompresión del onreto es C =.75f b (onsiderando la distribuión parabólia de esfuerzos). C = T.75f b = A s,min f y. De donde se despeja para A s, mín.: A s,min =.75 f b f y. (9) Y al sustituir (9) en (8) se obtiene la funión del eje neutro: = 4d.75 f.8 d f.75 f. () La urvatura máxima sería igual a: ε u =.75 f ε u 4d Por otro lado la deformaión máxima del aero en tensión puede ser obtenida substituyendo el valor de la profundidad del eje neutro de la expresión, en el diagrama de deformaiones en falla. ε s = ε u ( d ) = ε u (.75 f d ) () 4d ó.8 f d Para f < 36 Kg m se usa el 4 en la euaión y para f > 36 Kg se usa el.8 f m. En la tabla 4 se presentan los valores máximos de deformaión unitaria del aero en funión de f orrespondientes a una viga retangular on área de aero mínima. TABLA 4. Ɛsmáx en funión de f. f' ɛsmáx Nota: Con la máxima deformaión obtenida en el aero, será posible alular el mínimo refuerzo en un elemento de ualquier seión y no solo para los asos de vigas retangulares. EJEMPLO : Ejemplo. Determinaión de la urvatura máxima y mínima para la viga de seión trapezoidal, fig., utilizando las euaiones determinadas en este artíulo. Los datos de la seión se muestran en la tabla 5. TABLA 5. DATOS EJEMPLO. Datos Nomenlatura Valor Unidad Base superior B 5 Cm Base inferior B 9 Cm Altura 6 Cm Resistenia a la ompresión del onreto f' 5 kg/m ε'. Esfuerzo de fluenia del aero fy 4,. kg/m Módulo de elastiidad del aero Es,, kg/m Peralte efetivo d Cm Area de aero minima As, mín 8.75 m Area de aero máxima As, máx 43.8 m 6

7 % del momento nominal Momento (T - m) rangos de la arga viva en relaión a la arga muerta en estruturas on fines habitaionales o de ofiina, se enuentran en un orden de:.5 W L W m.5 El fator de seguridad, FS, está dado por la relaión entre la arga ultima vs la arga de serviio: Cuando W L =.5 W m Fig.. Ejemplo La hoja de Exel antes menionada fue usada para la realizaión del ejemplo, realizando dos urvas M-φ utilizando dos áreas de aero diferentes, las orrespondientes a la mínima y la máxima, y grafiada a partir de puntos. Con los resultados obtenidos se grafió la fig. : M-C para As,mín Zona dútil para la viga asoiada a la urvatura Curvatura ( -5 * /m) M-C para As, máx Figura.. Momento vs Curvatura asoiada al área de aero mínima y máxima El rango sombreado de la fig., es el resultado de delimitar las urvaturas máximas para los asos de A s, mín. y A s, máx. En el aso del ejemplo los rangos se enuentran ubiados en: φ máx = ε,máx = m φ mín = ε,máx = m Para el aso de la urva M-φ obtenida usando el A s,mín se observa que los momentos que se obtienen onforme ree la urvatura, se mantienen ligeramente eranos al momento asoiado al momento de agrietamiento (Mr). FACTORES DE SEGURIDAD Y CURVATURA EN SERVICIO El fator de seguridad de un elemento sujeto a flexión depende de la relaión de arga muerta y arga viva ya que los fatores para ada una de las argas varían. Las ombinaiones de arga para el diseño de elementos a flexión reomendadas por el ACI 38S- onsiderando solo los efetos de argas gravitaionales (arga muerta y viva) sobre el elemento son: U =.4 D U =. D +.6 L De estas ombinaiones, para los rangos típios de arga, la segunda es la más rítia on la máxima arga de diseño. Los W u =.W m +.6(.5 W m ) = (. +.8) W m = W m W s = W m +.5 W m =.5W m F. S. = W u W s = W m.5w m =.33 Cuando WL =.5 Wm W u =.W m +.6(.5 W m ) = (. +.4) W m = 3.6 W m W s = W m +.5 W m =.5 W m F. S. = W u W s = 3.6 W m.5 W m =.44 Por otro lado, en la teoría de resistenia última se redue el momento resistente de diseño por un fator de reduión que varía entre.866 a.9 dependiendo de la deformaión del aero en tensión entre.4 a mayor o igual a.5 respetivamente. El rango obtenido de.33 y.44, debe de onsiderar los fatores de reduión de diseño. Entones finalmente se tiene un rango de F. S. que ronda aproximadamente entre.47 y.76. Dihos fatores se pueden reesribir omo porentaje del momento máximo si se alula su inverso, quedando.68 y.57 respetivamente omo se muestra en la fig. 3. A ontinuaión se presenta la gráfia de la fig. 3 orrespondiente a una viga retangular de 3 x 6 on un armado de 4 varillas #6 y onreto de f de 5 kg/m Curvatura ( -5 */m) Viga 3x6 F.S. de.76 F.S. de.46 Figura. 3. Rango de fatores de seguridad en viga retangular. La urvatura asoiada al rango que delimitan los fatores de seguridad es de 3. a 3.8 [x-5 /m]. 7

8 Momento (Ton-m) La deformaión promedio del aero, ɛ s asoiada al rango entre los fatores de seguridad es de.36, lo que quiere deir que se enuentra a un 64% en relaión a. que es la deformaión a la que el aero empieza a fluir, ɛ y. Conoer el estado de serviio de un elemento a flexión puede ser posible en aso de plantear un rango de fatores de seguridad. Diho rango enierra un momento de serviio y una urvatura asoiada del (%) del momento máximo resistente. La deformaión unitaria del aero, podrá alularse a partir de la urvatura asoiada al rango menionado y la razón de que tan alejado este la deformaión respeto a la deformaión ɛ y dependerá en gran parte a la rigidez de la seión. EFECTO DEL ACERO EN COMPRESIÓN EN ELEMENTOS A FLEXIÓN. Generando las gráfias de Momento Curvatura, se puede visualizar las prinipales ventajas de utilizar aero en ompresión: Reduir la urvatura en la etapa de serviio, aumentar la resistenia nominal e inrementar la dutilidad del elemento en falla. El aero en ompresión en un elemento a flexión es proporionado omúnmente omo una alternativa para umplir on el requisito de dutilidad. En el diseño de elementos de onreto reforzado se determina el área de aero en tensión que umpla on los requerimientos de resistenia, sin embargo uando el área de aero proporionada, redondeada a varillas omeriales, es mayor a la máxima área de aero permitida por el reglamento o la deformaión del aero en tensión es menor a.4, es neesario aumentar el tamaño de la seión, aumentar la resistenia del material o proporionar área de aero en ompresión. El omportamiento de un elemento doblemente reforzado puede ser analizado a través de la gráfia Momento- Curvatura y omparado on el omportamiento de un elemento on refuerzo en tensión úniamente. La fig. 4 muestra tres gráfias de una viga retangular: on refuerzo en tensión equivalente al área de aero máxima permitida A smax, on refuerzo en tensión mayor al área de aero máxima A s> A smax y proporionando al segundo aso la mínima antidad de aero en ompresión para que umpla on dutilidad. TABLA 6. DATOS UTILIZADOS PARA LA VIGA RECTANGULAR. Datos Generales Nomenlatura Valor Unidad Base superior B 4. m Base inferior B 4. m Altura 6. m Resistenia a la ompresión del f' 5. kg/m onreto ε'. Esfuerzo de fluenia del aero Fy 4, kg/m Módulo de elastiidad del aero Es,, kg/m Peralte efetivo d 54. m Aero de refuerzo máximo Área de aero máximo en tensión As máx. 4.7 m Aero de refuerzo para viga que no umple dutilidad Área de aero en tensión As 5.7 m Aero de refuerzo para viga doblemente reforzada Área de aero en tensión As 5.7 m Área de aero en ompresión A's.4 m Loalizaión del aero en ompresión d' 6. m Comparaión entre simple y doblemente reforzada Curvatura ( -5 */m) Simplemente reforzada (Sobrereforzada) Doblemente reforzada Simplemente reforzada on Asmax Iniio de la dutilidad Figura. 4. Efeto del refuerzo en ompresión en una viga de CR. La urva M-φ, al ser alulada on el área de aero máximo permitido, mara el límite de resistenia y dutilidad para el elemento on refuerzo en tensión úniamente. Aumentar el área de aero en tensión aproximadamente en un %, aumenta la resistenia del elemento, pero redue la urvatura y por lo tanto no umple on los requisitos de dutilidad en falla. Para la viga estudiada, on 5.7 m a tensión, proporionar.4 m en ompresión (equivalente aproximadamente al % del área de aero en tensión), permitirá que la viga se omporte dentro de los límites de dutilidad permitidos por el reglamento del ACI. ANÁLISIS SOBRE LA PÉRDIDA DE RIGIDEZ EN DIFERENTES ESTADOS DEL ELEMENTO La rigidez a flexión es la araterístia que tiene un elemento, produto del módulo de elastiidad y de la ineria de la seión, a medida de que la seión se sigue deformando, las grietas reen, disminuyendo así la ineria de la seión. En términos gráfios, en la urva M-φ nos podemos referir a la rigidez omo la pendiente de la línea generada al unir los puntos de la gráfia. 8

9 Momento (Ton-m) Momento (Ton-m) Momento (Ton-m) Utilizando la omparativa mostrada en el ejemplo anterior, fig. 4, se realiza un análisis a las 3 diferentes pendientes que ontienen las tres vigas, omo se muestran en las figuras 5, 6 y 7. er pendiente: iniio punto de agrietamiento del onreto La rigidez obtenida en esta seión puede aproximarse a la misma para las 3 retas, promedio igual a.63 kg-m, donde el valor máximo y el mínimo difieren en menos del 6 por iento. Lo anterior debido a que antes del agrietamiento, el onreto a tensión es el que toma la mayor partiipaión sobre el efeto del aero de refuerzo, y dado que las 3 vigas tienen el mismo valor de f, las pendientes resultan eranas aun y uando la diferenia en el aero de refuerzo es mayor al 5 por iento. 5 TABLA 7. DA PENDIENTE: AGRIETAMIENTO DEL CONCRETO FLUENCIA DEL ACERO VIGA Rigidez EI [kg-m ] Reforzada on Asmáx 9.83 No dútil.4 Doblemente reforzada.9 La rigidez obtenida en esta seión puede observarse que aumenta en un por iento (de la viga doble reforzada a la viga on aero máximo en tensión). 3er pendiente: Fluenia del aero falla del elemento y =.435x y = 3.95x y =.397x y =.59x y = x y = -.44x Curvatura ( -5 */m) Simplemente reforzada (Sobrereforzada) Doblemente reforzada Simplemente reforzada on Asmax Figura. 5. er pendiente: iniio punto de agrietamiento del onreto. da pendiente: agrietamiento del onreto fluenia del aero y =.96x y =.47x y = x Curvatura ( -5 */m) Simplemente reforzada (no dutil) Doblemente reforzada Figura. 6. da pendiente: agrietamiento del onreto fluenia del aero. En la tabla 7 se listan las rigidees orrespondientes a la segunda pendiente para ada uno de los asos Curvatura ( -5 */m) Simplemente reforzada (no dutil) Doblemente reforzada Simplemente reforzada on Asmax Figura. 7. 3er pendiente: Fluenia del aero falla del elemento. Las rigidees orrespondientes a la terera pendiente para ada uno de los asos se listan en la tabla 8. TABLA 8. 3ER PENDIENTE: FLUENCIA DEL ACERO FALLA DEL ELEMENTO. VIGA Rigidez EI [kg-m] Reforzada on As,máx -. No dútil -.43 Doblemente reforzada.4 En este tramo, la rigidez tiende a ero, tal y omo se observa en la fig. 7, indiando que no hay inremento signifiativo en resistenia una vez que fluye el aero de refuerzo en tensión. CONCLUSIONES Tanto generar omo utilizar las hojas eletrónias de álulo para realizar el análisis de un elemento a flexión, failita visualizar su omportamiento y representa una alternativa didátia para entender los oneptos agrietamiento en el onreto, fluenia del aero, dutilidad y falla del elemento. El momento máximo resistente de una viga on área de aero mínima es ligeramente mayor al momento de 9

10 agrietamiento, omo se observa en la fig.. El área de aero mínima le proporiona dutilidad al elemento en falla equivalente a la urvatura máxima en diha gráfia. El momento atuante de serviio en un elemento a flexión se enuentra a un 65% de su máxima apaidad resistente y la urvatura en serviio se enuentra a un 6% de la urvatura asoiada a la de fluenia y menor al % de la urvatura refereniada a falla, omo puede observarse en las figura 3, para los asos donde: la arga viva.5w m W L.5W m, los fatores de seguridad para argas gravitaionales sean (. W m +.6 W L) y un fator de reduión de resistenia entre (.866 Ø.9). Proporionar aero en ompresión a un elemento, aumenta la resistenia nominal, aumenta la dutilidad en falla y proporiona mayor rigidez al elemento entre el momento de agrietamiento y el momento donde iniia la fluenia del aero, por lo que la urvatura o deformaión orrespondiente al momento de serviio se ve reduida, omo se nota en la figura 4. La pendiente de la urva M φ representa la rigidez del elemento. La rigidez antes del agrietamiento se ve afetada prinipalmente por la resistenia a la ompresión del onreto (f ) y por la seión transversal. Después de este punto, la rigidez del elemento se ve afetada por la antidad de aero en tensión y aumentada diha rigidez si se le proporiona aero en ompresión, por último, la rigidez tiende a ero una vez que el aero en tensión fluye. La ontribuión de la fuerza a tensión del onreto para el álulo del momento de agrietamiento deberá ser siempre onsiderada. La ontribuión de la fuerza a tensión del onreto para el álulo del momento My es menor de.5% La ontribuión de la fuerza a tensión del onreto para el álulo del momento a falla para el aso estudiado es del orden de.64 %, por lo que se explia lo estableido por el reglamento ACI 38S-, La resistenia a traión del onreto no debe onsiderarse en los álulos de elementos de onreto reforzado sometidos a flexión y a arga axial, exepto uando se umplan los requisitos de 8.4 referente a onreto presforzado. REFERENCIAS [] Amerian Conrete Institute Committee 38, Building ode requirements for strutural onrete (ACI 38-),. [] Kent, D.C., and Park, R., Flexural members with onfined onrete, journal of the Strutural Division, Pro. Of the Amerian Soiety of Civil Engineers, 97(ST7), pp , 97. [3] Mander, J.B., Priestley, M.J.N., y Park, R., Theoretial stress-strain model of onfined onrete. J. Strut. Eng., 4(8), pp , 988.