Econometría II LADE/LADE-Derecho. Curso 2004/2005. Hoja de ejercicios 2. Soluciones sugeridas PARTE A

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1 Economería II LADE/LADE-Derecho Economería II LADE/LADE-Derecho Curso 004/005 Hoja de ejercicios Soluciones sugeridas PARTE A Respuesas correcas en negria, cursiva y con A.. Dado los dos siguienes procesos: y = 05, + ε ( + 08, L) y = ε Donde ε y ε son procesos ruido blanco independienes. (a) Tano y como y son esacionarios e inveribles. (b) Sólo y es esacionario e inverible. (c) Sólo y es esacionario e inverible. (d) Sólo y es no esacionario. (e) y iene evolución endencial con crecimieno sisemáico. (f) Ninguna de las aneriores. A.. Las imporaciones mensuales de un deerminado país vienen dadas por el modelo: 04, L + 07, L 4 L L log M = 06, L ε ( )( )( ) ( ) donde ε es ruido blanco. En lo que sigue las asas de variación se definen como las correspondienes diferencias de los logarimos. (a) La asa de variación anual de las imporaciones es esacionaria. (b) La asa de variación mensual de las imporaciones es esacionaria. (c) La ransformación esacionaria de las imporaciones no presena auocorrelación ni en el orden esacional ni en el regular. (d) La ransformación esacionaria de las imporaciones no presena auocorrelación en el orden regular pero si en el esacional. (e) En la ransformación esacionaria de las imporaciones las auocorrelaciones parciales de orden superior a doce son cero. (f) Ninguna de las aneriores.

2 A.3. Dado los dos siguienes procesos: y Economería II LADE/LADE-Derecho ( L) = 0, + 04, ε ( ) + 04, Ly = 0, + ε Donde ε y ε son procesos ruido blanco independienes. (a) Tano y como y son esacionarios pero no inveribles. (b) Los procesos ienen la misma media. (c) Los procesos ienen disina media. (d) Tano y como y son esacionarios e inveribles. (e) Tano la auocorrelación de orden uno de y como la de y es negaiva. (f) y iene evolución endencial con decrecimieno sisemáico. A.4. Los ingresos rimesrales de una deerminada empresa vienen dados por el modelo: 04, L L L 4 log I = 08, L ε ( )( )( ) ( ) donde ε es ruido blanco. En lo que sigue las asas de variación se definen como las correspondienes diferencias de los logarimos. (a) La asa de variación rimesral de los ingresos presena comporamieno esacional. (b) La asa de variación rimesral de los ingresos no presena comporamieno esacional (c) La asa de variación anual de los ingresos es esacionaria. (d) La ransformación esacionaria de los ingresos es ruido blanco. (e) La ransformación esacionaria de los ingresos no presena auocorrelación en el ámbio esacional. (f) Ninguna de las aneriores. A.5. Considere que se dispone de una serie emporal del proceso esocásico x = δ + ϕ x + u. Suponga que se desea conrasar si ϕ =. (a) Esa hipóesis es inconrasable. (b) Esa hipóesis sólo se puede conrasar si u es ruido blanco (c) Esa hipóesis es sólo conrasable si δ = 0. (d) Esa hipóesis se puede conrasar esimando por Mínimos Cuadrados Ordinarios el modelo, calculando el esadísico habiual y empleando la disribución normal esándar. (e) Para conrasar la hipóesis habría que emplear conrases específicos de presencia de raíces uniarias. (f) Ninguna de las aneriores.

3 PARTE B Economería II LADE/LADE-Derecho B.. Dados los siguienes procesos esocásicos univarianes: (a) y = 06. y 03. y + ε 09. ε (b) y = ( + ϕ ) y ϕ y + ε θ ε (c) y = 09. y 07. y + + ε donde ε es un proceso ruido blanco. Se pide: (a) Clasifique dichos modelos denro de la familia ARIMA(p,d,q) y escríbalos en la noación de reardos. (b) Discua las propiedades de esacionariedad e inveribilidad de cada uno de los procesos y en su caso obenga la ransformación esacionaria de la variable original.. Solución: Aparado a) (a) ( ) ( ) y = 06. y 03. y + ε 09. ε 06, L + 03, L y = 09, L ε ARMA(, ) (b) ( ) ( )( ) ( ) y = + ϕ y ϕ y + ε θ ε ϕ L L y = θl ε ARIMA(,,) y = 09. y 07. y + + ε 09, L+ 07, L y = + ε AR( ) (c) ( ) Aparado b) (a) y es esacionario e inverible por cumplir las respecivas condiciones: Esacionariedad: ϕ < 030, < ϕ + ϕ < 06, 030, < ϕ ϕ < 030, 06, < 3

4 Inveribilidad Economería II LADE/LADE-Derecho θ < 09, < (b) y no es esacionario pero y será esacionario e inverible si se cumple: Esacionariedad: ϕ < Inveribilidad: θ < (c) y es inverible por consrucción y esacionario por cumplirse: ϕ < 070, < ϕ + ϕ < 09, 07, < ϕ ϕ < 07, 09, < 4

5 B.. En el modelo rimesral: 4 () w = 35+ ( L)( L ) Economería II LADE/LADE-Derecho, α α ε 4 donde ε es un proceso ruido blanco. Se pide: (a) Obenga una formulación adiiva de medias móviles e indique sus caracerísicas. (b) Calcule la media y la varianza de w. (c) Calcule las auocorrelaciones de orden y 6. (d) Suponga que α 4 = 0 y denomine () al modelo obenido. Obenga el modelo () y compare su media y varianza con la del modelo (). (e) Suponga ahora que en el conexo del aparado anerior w = x x. Señale las caracerísicas de x. Solución: Aparado a) w es un proceso MA()x() 4 que en érminos de la formulación adiiva podría escribirse como: 4 5 ( ) w = 35, + αl α4l + αα4l ε o w = , ε α ε α ε α α ε Luego w : º) Puede considerarse un MA(5) º) Es un MA(5) con resricciones de nulidad θ = θ3 = 0 3º) Exise además una resricción sobre θ5 = θθ4 = αα4 Aparado b) Ew ( ) = E( 35, + ε α ε α ε + α α ε ) = 35, ( ) 0 = V( w ) = σ + α + α4 + α α4 siendo V ( ε ) = Aparado c) ε La auocorrelación de orden será r = = 0 pues 0 σ ε [( )( )] = Cww ( ) = Eww ( ~~ ) = E ε αε αε + ααε ε αε αε + ααε = siendo w ~ = w E( w ) 5

6 Economería II LADE/LADE-Derecho 6 Igualmene la de orden 6 será r 6 = = 0 pues 0 [( )( )] = Cww ( ) = Eww ( ~~ ) = E ε αε αε + ααε ε αε αε + ααε = Aparado d) El modelo () será: ( α ) * w = w = 35, + L ε con * Ew ( ) = E( 35, + ε αε ) = 35, * * 0 = V( w ) = σ ( + α ) siendo V ( ε ) = ε σ ε El modelo () respeco al (): º) Ambos modelos ienen la misma media. º) El modelo () iene menos esrucura de auocorrelación. 3º) El modelo () no iene esrucura de dependencia esacional. 4º) La varianza del proceso () es menor. Aparado e) Tenemos ( ) x = x + 35, + α L ε En donde se puede apreciar que: º) x no es esacionario. º) x presenará una paua de crecimieno endencial dado que el modelo para x posee una consane posiiva. 3º) No obsane el proceso w x x x = = si que es esacionario pues sigue una ley MA(), lo que verifica las condiciones de esacionariedad siempre. 6

7 Economería II LADE/LADE-Derecho B.3. En consonancia con el problema de la Hoja de Ejercicios resuelos, considere que con frecuencia las variables económicas son la suma de un dao original o real más un error de medida. Obenga el modelo general que seguirá una variable económica x suponiendo que el dao original es generado por un proceso (y ) que sigue un AR() esacionario y sin consane y el error de medida (u ) un proceso ruido blanco independiene del dao original. Solución Parimos de: x = y + u con y = ϕ y + ε y ε v u procesos ruido blanco independiene Luego dado que y = ϕ y + ε y = ε ϕ L Obenemos x = y + u x = ( ϕ ) ε L u ε Lu + + = ϕ ϕ L [] Que en general es un ARMA(,). Efecivamene en [] se aprecia que hay un componene AR (denominador de la expresión) y un componene MA (numerador de la expresión). Componene AR: ( ϕ Lx ) AR() Componene MA: w = ε + ( ϕ L) u Veamos que presena una esrucura MA(), para ello calculamos la función de auocovarianzas eniendo en cuena que Ew ( ) = 0 y que u y ε son procesos ruido blanco que se disribuyen independienemene. = Cww ( ) = E( ε + u ϕu )( ε + u ϕu ) = = ϕ Eu ( ) = ϕ σ u = Cww ( ) = E( ε + u ϕ u )( ε + u ϕ u ) =

8 Economería II LADE/LADE-Derecho k = Cww ( k) = E( ε + u ϕu )( ε k + u k ϕu k ) = 0 k> Efecivamene presena la esrucura de auocorrelación de un MA(). En definiiva hemos comprobado que x presena una esrucura ARMA(,) 8

9 Economería II LADE/LADE-Derecho B.4. Un invesigador ha esimado para la serie de Mariculación de vehículos ransformada logarímicamene un modelo con esrucura regular pura ARIMA(,,0)x(0,0,0), obeniéndose los resulados presenados a coninuación. Considera que los residuos de dicho modelo son esacionarios? Por qué?. En caso de que no le parezca acerada la idenificación realizada por el invesigador indique en qué senido modificaría la misma. Jusifique siempre sus afirmaciones. Serie Original COCHES Modelo esimado Dependen Variable: DLOG(COCHES,) Mehod: Leas Squares Sample(adjused): 990:0 000:05 Included observaions: 5 afer adjusing endpoins Convergence achieved afer ieraions Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. AR() AR() R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood.9840 F-saisic Durbin-Wason sa.8336 Prob(F-saisic) Invered AR Roos i i 9

10 Economería II LADE/LADE-Derecho Residuos del modelo DLOG(COCHES,) Residuals Acf y Pacf 0

11 Economería II LADE/LADE-Derecho Solución La serie original presena una clara paua esacional que no se modeliza, por ello, los residuos presenan ambién una clara paua esacional. Es decir denro de un mismo año los niveles oscilan sisemáicamene con menores valores en unos meses concreos y mayores en oros. Lo cual implica que exisen medias diferenes dependiendo del mes en concreo del que se rae. Esa paua se puede observar ambién con claridad en la función de auocorrelación de dichos residuos. Por lo ano los residuos no serán esacionarios. Habría que reformular el modelo en el senido de modelizar la esacionalidad incluyendo, por ejemplo, una diferencia esacional. Poseriormene habría que analizar si exise algún ipo de correlación en el ámbio esacionario que modelizar ya sea regular o esacional.

12 Economería II LADE/LADE-Derecho B.5. A parir de una serie emporal, un invesigador ha especificado un proceso AR(). Además, las oscilaciones del correlograma indicaban que el componene auorregresivo debería ener raíces complejas. A pesar de la especificación hecha exisían dudas sobre posible esrucura en el correlograma parcial. Tras esimar el modelo AR(), observa que los residuos presenan una esrucura MA(). Cree used que la idenificación inicial del proceso fue correca? En caso de que crea que fue incorreca Cómo reformularía used el modelo inicial?. Jusifique su respuesa. Solución La idenificación inicial no fue correca, de haberlo sido los residuos deberían seguir un proceso ruido blanco y no un proceso MA() como se dice en el enunciado. Para modificar el modelo aplicaríamos la reformulación muliplicaiva, de manera que sugeriríamos un proceso ARMA(,). Efecivamene, el modelo especificado incorrecamene sería: ( ϕ ϕ ) L L y = u esacionario [] con u ( L) = θ ε θ < [] con lo cual a parir de [], obenemos para y una esrucura ARMA(,) ( L L ) y = ( L) ϕ ϕ θ ε

13 Economería II LADE/LADE-Derecho B.6. Considere el siguiene proceso esocásico x = δ + ϕ x + u con u ruido blanco. a) Genere en E-Views una serie emporal de amaño muesral 00 del proceso x = 05, + x + ucon u ruido blanco. Suponga que x 0 = 0 Describa sus caracerísicas. b) Genere en E-Views una serie emporal de amaño muesral 00 del proceso x = x + u con u ruido blanco. Suponga que x 0 = 0. Describa sus caracerísicas. Solución El proceso x = δ + ϕ x + u con u ruido blanco y ϕ = se denomina paseo aleaorio. Ese proceso es un proceso no esacionario y por ano las series que genera presenaran pauas de no esacionariedad, en concreo: - Si δ > 0 observaremos una serie con comporamieno endencial creciene. - Si δ < 0 observaremos una serie con comporamieno endencial decreciene. - Si δ = 0 observaremos una serie con diferenes medias locales pero sin crecimieno o decrecimieno sisemáico. Esas caracerísicas se pueden apreciar claramene en las siguienes series generadas en E-views x=0.5+x(-)+u 3

14 Economería II LADE/LADE-Derecho x=x(-)+u 4

15 Economería II LADE/LADE-Derecho B.7. Considere el siguiene proceso esocásico con daos rimesrales 4 ( θ )( ) 4 log( x ) = L Θ L ε con ε ruido blanco y θ < y Θ <. a) Será x un proceso esacionario?. En caso de no serlo indique cual es su ransformación esacionaria. Jusifique su respuesa. b) Serán las asas rimesrales de variación de x, aproximadas por la primera diferencia del logarimo neperiano de dicha variable, esacionarias?. Jusifique su respuesa. c) Serán las asas anuales de variación de x, aproximadas por la diferencia esacional del logarimo neperiano de dicha variable, esacionarias?. Jusifique su respuesa. Soluciones sugeridas Aparado a) x no es un proceso esacionario. Tal y como señala el modelo presenado, precisa de la ransformación logarímica y de la diferenciación regular y esacional para seguir un MA() doble, que como sabemos es esacionario. Aparado b) Nóese que la ransformación esacionaria de x es 4 log( x ), que sigue un MA() doble. De manera que log( x ) no será esacionario. En concreo el hecho de que log( x ) precise de una diferencia esacional para ser esacionario indica que presenará una clara paua esacional con medias disinas en función de los rimesres. Aparado c) Nóese que la ransformación esacionaria de x es 4 log( x ), que sigue un MA() doble. De manera que 4 log( x ) no será esacionario. En concreo el hecho de que 4 log( x ) precise de una diferencia regular para ser esacionario indica que presenará una paua con diferenes medias locales a lo largo del período considerado. 5