EJEMPLO DE DIAGNÓSTICO Y TRATAMIENTO DE LA AUTOCORRELACIÓN: Introducción al concepto de no estacionariedad y regresión espuria

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1 EJEMPLO DE DIAGNÓSTICO Y TRATAMIENTO DE LA AUTOCORRELACIÓN: Inroducción al concepo de no esacionariedad y regresión espuria Ramón Mahía Marzo 2006 El objeivo de ese documeno es de ilusrar en un conexo prácico las ideas expuesas en clase en orno a la cuesión de la deección y corrección del problema de la auocorrelación. Por oro lado, el documeno sirve ambién para profundizar en algunos de los concepos eóricos más relevanes en orno a esa cuesión y para inroducir, aún de forma básica, una cuesión de exrema imporancia en la prácica de la modelización economérica: la presencia de no esacionariedad en las series de daos. I.- REGRESIÓN INICIAL UTILIZADA COMO EJEMPLO La siguiene regresión muesra una ecuación en la que raamos de explicar el valor real de las imporaciones rimesrales (IMPK) en función de res explicaivas: el valor real de la formación brua de capial fijo (FBCK), el valor real del consumo privado de los hogares (GTOHOGK) y los precios de imporación de producos energéicos (PIMPENER). I.A.- Breve comenario sobre el resulado de la Esimación Dependen Variable: IMPK Mehod: Leas Squares Dae: 03/13/06 Time: 11:17 Simple: 1981:1 2002:2 Included observaions: 86 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C FBCK GTOHOGK PIMPENER R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid 2.11E+08 Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) La ecuación presena signos incorrecos en los parámeros esimados de FBCK y PIMPENER. Para el caso de la inversión, la relación enre inversión e imporaciones debería ser posiiva; para el caso de los precios de imporación energéicos, la relación más razonable parecería ser inversa (negaiva). Los conrases individuales son significaivos para odos los coeficienes a excepción de FBCK cuyo p-value es inadmisiblemene elevado: sólo puede 1/11

2 rechazarse la hipóesis de nulidad del parámero real con un (1-0,37)=0,63% de nivel de confianza. Pese a la incorrección de dos de los signos y un bajo conrase de significación para FBCK, la R 2 es muy elevada. A la visa de esa fala de sinonía evidene, cabe sospechar que esamos ane un error de especificación. Efecivamene, y aunque se verá con dealle más adelane, un simple visazo al valor del DW indica una fuere auocorrelación posiiva que, seguramene, viene causada por una indebida especificación en niveles. Resula muy probable que la ecuación exhiba, así mismo, problemas de mulicolinealidad, heerocedasicidad u oros incumplimienos básicos pero, por el momeno, nos concenraremos en uilizar ese ejemplo con el fin de ilusrar el problema de la auocorrelación. II.- DETECCIÓN DE LA AUTOCORRELACIÓN II.B.- Aproximación Gráfica El análisis gráfico del residuo de la esimación indica un claro parón de auocorrelación posiiva (parón sinusoidal o de ondas ); pese a que la evolución de la endógena real y la esimada parece muy similar, lo ciero es que el componene auo - regresivo del error es muy claro Residual Acual Fied 2/11

3 II.B.- Méodos numéricos: Durbin Wason 1 El valor del DW es exremadamene bajo (0,29) lo que, dados los límies inferior y superior de la disribución DW (1,575 y de 1,721 respecivamene al 5% para K=4 y n=85), confirman la presencia de una fuere auocorrelación posiiva 2. El valor del coeficiene ρ asociado a ese valor del Durbin Wason, que correspondería a un hipoéico proceso auorregresivo de orden uno subyacene en el residuo, resula ser de 0,85, eso es, muy indicaivo de auocorrelación posiiva: e = ρ + ε Ec. (1) i e i i DW DW 2 (1 ˆ) ρ ˆ ρ 1 ˆ ρ 0,85 2 De hecho, pariendo de la serie de residuos obenida en la esimación analizada, puede realizarse fácilmene en E-Views la esimación minimocuadráica de la ecuación (1) anerior cuyo resulado se muesra a coninuación y en donde se observa un valor muy parecido al esimado direcamene a parir del esadísico Durbin Wason. Ese parecido enre el valor de ρ derivado del esadísico DW o el obenido a parir de una esimación MCO direca del mismo se garaniza siempre en presencia de muesras grandes. Dependen Variable: R Mehod: Leas Squares Dae: 03/13/06 Time: 11:49 Sample(adjused): 1981:2 2002:2 Included observaions: 85 afer adjusing endpoins Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. R(-1) R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood Durbin-Wason sa III.- DIAGNÓSTICO DE LA REGRESIÓN Evidenemene, la auocorrelación es el sínoma de algún error de especificación que, sin embargo, no parece reflejarse en el coeficiene de deerminación R 2. Más allá del problema adicional de los signos o en la significaividad de FBCK (podríamos habernos enconrado en la misma siuación sin haber observado ninguna incongruencia en los signos o en la ), ese ipo de regresiones con buenos valores en los conrases de significación y, sin embargo, una acusada auocorrelación, son relaivamene frecuenes y se conocen como Regresiones Espurias. 1 Se deja al alumno, como ejercicio volunario, la realización del conrase de Wallis, dada la nauraleza rimesral de los daos uilizados. 2 Aunque en las sesiones eóricas de clase se han esablecido los límies inferior y superior del esadísico DW en 0 y 4 respecivamene, debe observarse que, en realidad, esos límies son sólo válidos cuando se dispone de una muesra suficienemene grande. Así, por ejemplo, si sólo dispusiéramos de 5 daos, el límie inferior se siuaría en y el límie superior en 3,62. 3/11

4 El problema de la aparición de regresiones espurias en los resulados de un buen número de análisis económicos es siempre aribuida, no sin razón, a Granger y Newbold (1974). Sin embargo, a finales de la década de los años 20, Yule (1926) ya había arrojado su paricular primera piedra en el Journal of he Royal Saisical Sociey con un arículo con el inquieane, pero muy descripivo íulo: Why do we someimes ge nonsense correlaions beween ime series?. Efecivamene, el problema de las regresiones espurias es que ienden a admiirse como buenas, relaciones económicas que, en realidad, sólo se deben a aspecos casuales. Por regresión espuria enendemos écnicamene aquellas ecuaciones de regresión que presenan una elevada significaividad conjuna, medida en érminos del coeficiene de deerminación R 2 o R 2 corregida y, sin embargo, fueres problemas de auocorrelación posiiva reflejados en bajos valores del esadísico Durbin Wason. La presencia de un érmino de error fueremene auocorrelacionado impide efecuar un proceso de inferencia con mínimas garanías. La probabilidad de un error en el cálculo y en la aplicación de los es de significaividad individual convencionales es muy imporane, sin conar los insalvables problemas de no ineficiencia en la esimación propios de una siuación de mariz de varianzas y covarianzas no escalar para la perurbación aleaoria. (Granger y Newbold (1974 y 1977), Plosser y Schwer (1978)). 3 El problema de ese ipo de regresiones es que, a diferencia de las ecuaciones claramene deficienes, el buen ajuse en érminos de y R 2 puede generarnos a una equivocada percepción de que esamos ane la evidencia empírica de una relación causal de inerés; nada más lejos, sin embargo, de la realidad. Una regresión con evidencias an claras de auocorrelación debe descararse inmediaamene como herramiena de uilidad, sin necesidad de realizar ninguna prueba adicional y por mucho que nos parezca aracivo el alo grado de significaividad individual o conjuna. Cómo es posible enconrar esa combinación de resulados an conradicoria?. En nuesro caso, el origen de los problemas de la auocorrelación esá asociado a la uilización de variables en niveles, en lugar de la realización de esa misma especificación usando asas de crecimieno o diferencias en los daos. La elevada auocorrelación provocada por la uilización de niveles juno a una esimación MCO sin corrección alguna, supone, de faco, un doble sesgo a la baja en la varianza de la esimación que genera, arificialmene, muy buenos resulados en los conrases de significación individuales y conjunos. Debemos, por ano, rechazar siempre el uso de variables en niveles ane el riesgo de una regresión espuria?: Concepo de Variable No Esacionaria o Inegrada. De la ilusración anerior, se deduce la recomendación general de no uilizar las variables en niveles para la esimación de regresiones causales pero no hemos respondido, sin embargo, a la preguna de fondo por qué las regresiones con variables en niveles implican el riesgo elevado de un residuo auocorrelacionado?. La razón esriba, en la mayoría de los casos, en la fala de esacionariedad en varianza de algunas o odas las variables uilizadas en la regresión. Aún sin ofrecer dealle 3 Si bien Granger y Newbold (1974) no expliciaron esadísicamene las razones que explicaban el fallo de los procedimieno habiuales, eso puede enconrarse con dealle en Phillips (1986). 4/11

5 eórico, debe saberse que los supuesos clásicos en los que se apoya la regresión como esraegia analíica exigen la esacionariedad en media y varianza de las series implicadas en un ejercicio de ese ipo. Si bien la presencia de endencias deerminisas en las variables (variables no esacionarias en media o variables esacionarias alrededor de una endencia 4 ) resula generalmene un problema fácil de afronar y resolver en la modelización con variables en niveles 5, la presencia de raíces uniarias en las variables (no esacionariedad en varianza) impide su uilización en niveles. Si se realiza una esimación en niveles de una ecuación de regresión enre dos variables No Esacionarias (ambién se denominan inegradas ) corremos un alo riesgo de enconrarnos ane una regresión espuria; La forma más clara de ilusrar el problema es uilizar los resulados del ejemplo expueso por Newbold y Davies (1978) y Granger y Newbold (1986) y reuilizado después en numerosos exos como Charemza y Deadman (1992). Supongamos dos variables y y x independienemene generadas por paseos aleaorios: y x = y = x ε + ε 1 2 donde ε 1 y ε 2 son variables aleaorias normales esándar independienes enre sí con media cero y varianza uniaria. Dado que y y x esán generadas de forma independiene deberíamos esperar que no exisiera ninguna relación significaiva enre ambas. Sin embargo, sobre un conjuno de 1000 muesras de y y x con 50 observaciones, alrededor de un 65% de las regresiones de y sobre x presenan conrases significaivos a un nivel de significaividad del 5% 6. Tal y como expone Enders (1995) basa con reparar en las propiedades de la perurbación aleaoria de la regresión de y sobre x para apreciar lo absurdo de esos resulados. Efecivamene, en la regresión: y a + a x + e = 0 1 es claro que, prescindiendo de la consane a 0 : e = y a1 x por lo que imponiendo las resricciones iniciales y 0 =x 0 =0 enemos que: 4 Suele denominarse a esas variables rend saionary TS a diferencia de aquellas que son NO esacionarias en varianza que suelen denominarse con el acrónimo DS difference saionary. 5 Las regresiones espurias, no obsane, no sólo se producen por la aparición de endencias esocásicas en las series: las endencias deerminisas ambién pueden ser un problema. Si hacemos depender una serie y lineal (1,2,3, ) de ora x con endencia cuadráica (1,4, ) el resulado en érminos de R 2 es de 0,94 cuando en realidad queda claro que el parón de evolución de la serie cuadráica acabará por divergir de forma definiiva cuando el número de daos ienda a infinio. Para ajusar adecuadamene una regresión al caso de variables con endencias deerminisas basa con incorporar una variable de iempo que recoja la endencia común de ambas series o bien filrar de endencia los daos anes de su uilización en la regresión. 6 Esos daos se refieren a la prueba efecuada por Charemza y Deadman (1992). En el experimeno original de Granger y Newbold (1974) el porcenaje de regresiones con parámero significaivo al 5% fue del 75%. 5/11

6 e = ε a i= 0 1i 1 ε 2i i= 0 Por ano, es obvio que esamos ane una secuencia e no esacionaria en varianza. Si eso es así, e presena una endencia esocásica, lo que quiere decir que el error comeido en no se diluye en +1, s ;es imposible que una regresión en la que los errores se acumulan de forma permanene pueda ener algún inerés. Nóese que en esa siuación se violan un buen número de hipóesis básicas asumidas en los procesos de inferencia habiuales en el conexo del Modelo Básico de Regresión Lineal: - La varianza de e ya hemos dicho que no es consane. En la expresión anerior puede comprobarse con sencillez como se incremena hacia el infinio a medida que crece. - Si la serie x no es esacionaria, no saisfará la propiedad: n plim 2 xi n = ce i=1 que es uno de los supuesos que jusifican los procedimienos de inferencia habiuales basados en el esimador MCO. Pero, además, no exise incorrelación serial en el residuo; la misma expresión para e puede uilizarse para comprobar como la correlación enre e y e +1 iende a uno a medida que se incremena; esa es la razón analíica por la que, en las regresiones espurias, el residuo iende a exhibir una elevada auocorrelación. Dada semejane acumulación de errores de base, ningún es de significaividad puede ser usado con garanías y por ello, ninguna inferencia será fiable. Así pues, ane la presencia de variables inegradas, el modelizador debe considerar la necesidad de ransformar esas variables anes de proceder a la esimación de la ecuación. La regla general, que no será explicada eóricamene en ese exo, supone la uilización de las variables en diferencias, en lugar de niveles, salvo en el caso en que podamos demosrar que, aún en presencia de no esacionariedad, las variables no esacionarias esán coinegradas 7. El concepo de la coinegración queda fuera del alcance de un curso 7 El raamieno clásico de la esacionariedad propueso por Box Jenkins (1970) en el conexo del análisis mulivariane, implica la diferenciación de las series a fin de eviar las regresiones espurias provocadas por la exisencia de endencias esocásicas. La diferenciación de las series emporales, sin embargo, supone una renuncia explícia a considerar sus relaciones a largo plazo, ya que esas manifiesan necesariamene en sus niveles al y como pusieron de manifieso, enre oros, Sargan (1964), Hendry y Mizon (1978) y Davidson e al (1978). En ese conexo, y aunque los modelos de corrección de error propuesos por Sargan (1964) fueron siempre una alernaiva muy valiosa para combinar el coro y el largo plazo en el análisis dinámico de series, la formalización del concepo de coinegración por pare de Engle y Granger (1987) fue decisiva. La posibilidad de combinar niveles de series inegradas de forma al que esa combinación resulase esacionaria, se ha converido en una de las aporaciones concepuales más ineresanes y en las que se ha apoyado de forma incuesionable el avance reciene de la economería moderna. 6/11

7 inroducorio como ese pero, en cualquier caso, debe recordarse siquiera el érmino coinegración como una aporación ineresane. La rascendencia de esa definición es inmediaa. Si dos series no esacionarias esán coinegradas, eso significará que enre ambas exise un vínculo esable y compaible con las endencias individuales de cada una de ellas, o sea, una relación de equilibrio a largo plazo. A esa ligazón, represenada por el denominado vecor de coinegración, no le afecan más que de forma emporal los shocks que inciden en cada una de las series de forma permanene y, por ano, cabe pensar en la idea de un equilibrio esacionario en el que las desviaciones sean exclusivamene emporales. IV.- CORRECCIÓN DE LA AUTOCORRELACIÓN Si admiimos como válida la hipóesis de la fala de esacionariedad de las variables implicadas en la regresión, parece evidene que no podremos uilizar esas variables niveles y, por ano, cualquier esfuerzo de camuflar la auocorrelación con la uilización de Mínimos Cuadrados Generalizados o ransformaciones a parir del parámero ρ esimado sería cuesionable. Dado que en la mayor pare de las ocasiones 8 la auocorrelación es un sínoma de una especificación deficiene (modelización en niveles con variables no esacionarias, omisión de alguna variable relevane,.), se sigue que en la mayor pare de las ocasiones la forma adecuada de corregir un problema de auocorrelación es la corrección de la especificación. Es decir, la aucorrelación es, en muchas ocasiones, un sínoma de no es una enfermedad; por ano, podemos opar por camuflar el sínoma, pero siempre será más razonable inenar aajar la enfermedad. 1.- Adapando la especificación a la nauraleza de los daos En el caso en que se comprobase, como sucede en nuesro ejemplo, y con la adecuada uilización de conrases de No Esacionariedad 9, la exisencia de variables inegradas, convendría uilizar diferencias de las variables originales o bien asas de crecimieno, esimando enonces de nuevo la ecuación. Puede comprobarse como, en ambos casos, los resulados en érminos de significaividad son decepcionanes. Ese resulado iene su lógica ya que, como señala Gujarai 10 al omar las primeras diferencias esamos esudiando esencialmene el comporamieno de variables alrededor de sus valores de endencia(lineal) : 8 Algunos auores disinguen esa siuación de aquella en la que la auocorrelación no viene provocada por una deficiene especificación. Gujarai, por ejemplo, define esa siuación como Auocorrelación Pura. 9 Exisen varios conrases muy uilizados para deecar la No Esacionariedad en varianza de las series. Los más sencillos y populares son los conraes DF y ADF (Dickey-Fuller y Augmened Dickey-Fuller), el conrase PP (Phillips Perron), ambos incluidos desde hace iempo en el sofware E-Views. 10 Economería. (4ª Edición). Mc-Graw-Hill. 7/11

8 Regresión con variables en diferencias Dependen Variable: D(IMPK) Mehod: Leas Squares Dae: 03/15/06 Time: 09:06 Sample(adjused): 1981:2 2002:2 Included observaions: 85 afer adjusing endpoins Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C D(FBCK) D(GTOHOGK) D(PIMPENER) R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) Regresión con variables en asas inerrimesrales 11 Dependen Mehod: Leas Squares Dae: 03/15/06 Time: 09:07 Sample(adjused): 1981:2 2002:2 Included observaions: 85 afer adjusing endpoins Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) Dicho de oro modo, el saisfacorio resulado obenido en la esimación preliminar era ficicio y originado, más que probablemene, por la uilización de variables no esacionarias: cuando se elimina la endencia esocásica de esas variables, la relación de causalidad se diluye. 2.- Camuflando la auocorrelación En el caso concreo ilusrado por nuesro ejemplo, la única solución al problema de la auocorrelación consise en la mejora de la especificación; no obsane, una vez que renunciamos a una corrección genuina, o una vez agoados odos los recursos para 11 La uilización de asas ineranuales ambién sería posible en ese caso al raarse de variables rimesrales. Sin embargo, salvo que se compruebe la exisencia de raíces uniarias (no esacionariedad) esacionales, esa asa no resolvería el problema de la no esacionariedad en la componene regular (no esacional). 8/11

9 ajusar la especificación del modelo, siempre cabe la alernaiva de corregir los sínomas eviando en pare los efecos indeseables de una inadecuada esimación MCO en un conexo en que esa esraegia no es válida. Quizá la forma más burda de hacer esa corrección sea simplemene camuflar el mal dao del DW añadiendo la endógena reardada en la regresión; como puede imaginarse, esa ácica, ni siquiera raa de adapar la ineficiene herramiena de esimación MCO al problema de la auocorrelación sino, direcamene, disorsionar el modelo de forma que el DW no refleje la verdadera dimensión de la auocorrelación. Dependen Variable: IMPK Mehod: Leas Squares Dae: 03/15/06 Time: 09:29 Sample(adjused): 1981:2 2002:2 Included observaions: 85 afer adjusing endpoins Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C FBCK GTOHOGK PIMPENER IMPK(-1) R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) Efecivamene, aunque el valor del nuevo DW parece ahora acepable, debe recordarse que, en realidad, en presencia de auocorrelación, se propone uilizar el esadísico h de Durbin en lugar del esadísico DW original. h = ˆ ρ n 1 n ˆ σ 2 ( b ) 1 donde: σ 2 (b 1 ) es la desviación ípica esimada para el parámero de la endógena reardada. Es decir, en nuesro caso, el DW obenido en la regresión que incluye la variable endógena reardada es 1.434, es decir, se corresponde con una esimación aproximada del coeficiene auorregresivo ρ de Así pues, el valor de la h de Durbin es: h = ˆ ρ n 85 = n ˆ σ 2 ( b ) 1 85 ( ) = 1 El valor de ese esadísico se conrase suponiendo una disribución normal (0,1), así, con un nivel de significación del 5%, el valor a superar es 1,645. Si el esadísico calculado supera ese valor, debe rechazarse la hipóesis de auocorrelación nula; en nuesro caso, el valor supera ampliamene el valor críico por lo que, evidenemene, la h de Durban refleja la exisencia de auocorrelación por mucho que el valor del DW haya mejorado arificialmene. 9/11

10 Una ransformación algo más elegane, aunque inadecuada cuando el problema de fondo es una incorreca especificación en niveles, es, al y como se expuso en las sesiones eóricas, opar por uilizar la ransformada de las variables originales, es decir, la denominada MCG Facibles (MCGF) o Mínimos Cuadrados Generalizados Esimados (MCGE): y x * * j = y = x j ˆ ρ y 1 ˆ ρ x j 1 Dependen Variable: IMPK-0.85*IMPK(-1) Mehod: Leas Squares Dae: 03/15/06 Time: 09:21 Sample: 1981:2 2002:2 Included observaions: 85 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C FBCK-0.85*IMPK(-1) GTOHOGK-0.85*GTOHOGK(-1) PIMPENER-0.85*PIMPENER(-1) R-squared Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Akaike info crierion Sum squared resid 2.91E+08 Schwarz crierion Log likelihood F-saisic Durbin-Wason sa Prob(F-saisic) Como puede observarse, hemos perdido una observación al realizar la regresión de MCGF. Con el fin de no perder esa primera observación, aspeco especialmene relevane en muesras pequeñas, puede oparse por uilizar la denominada ransformación de Prais Winsen que permie manener la primera observación de la variable endógena y exógenas considerando para su cálculo: Y * 1 = Y 1 * X j 1 = X j ˆ ρ 2 1 ˆ ρ En realidad, dado que el cálculo direco del rho implica ciera probabilidad de error, suele ser conveniene uilizar el procedimieno de cálculo ieraivo de ρ conocido como Cochrane Orcu descrio en clase. Eso implicaría un proceso sucesivo de re-cálculo de rho a parir de los nuevos resulados del DW obenidos en esa regresión, y una nueva ransformación de las variables previamene ransformadas ES decir, en nuesro ejemplo, el nuevo valor del DW es ahora 1.97 lo que implica un valor del ρ de 0.015; podría uilizarse ese nuevo valor para ransformar de nuevo las variables y reesimar nuevamene la ecuación Ese procedimieno ieraivo finaliza cuando enre dos esimaciones sucesivas de rho no exise una diferencia significaiva o bien cuando no exise un cambio noable en los parámeros de las exógenas de la regresión. 10/11

11 En odo caso, no merece la pena insisir en un procedimieno de corrección que se ha ilusrado convenienemene con ese ejemplo. La úlima de las esraegias para mejorar la esimación de un modelo de auocorrelación consise, evidenemene, en la uilización de Mínimos Cuadrado Generalizados considerando para ello la mariz Σ de varianzas y covarianzas que corresponde al parón de auocorrelación deecado. En caso de verificarse la exisencia de un proceso AR(1) en los residuos, la forma de la mariz de auocorrelación es bien conocida pero si no pudiésemos verificar que el proceso de auocorrelación sigue ese modelo AR(1) deberíamos considerar esimaciones alernaivas de sigma. Como ya se dijo en el conexo de la heerocedasicidad, el riesgo de la ransformación o de la uilización de MCG radica, evidenemene, en la verosimiliud del modelo de auocorrelación supueso; si el modelo de auocorrelación resula desconocido o complejo, los evenuales beneficios de eficiencia derivados de la uilización de un procedimieno de MCG o MCO sobre variables corregidas podrían ser menores de los previsos en cuano que esarán condicionados a la decisión sobre el parón de auocorrelación considerado. Exise, para finalizar, una propuesa de corrección similar a la esimación auomáica corregida de heerocedasicidad de Whie, pero ideada para el conexo en el que exisa un problema de auocorrelación. Esa corrección, que no se desarrollará eóricamene en ese exo, y que en esencia sigue la misma esraegia que la expuesa para la corrección de heerocedasicidad de Whie, se denomina Esimación de Newey Wes pero sólo resula conveniene para muesras muy grandes. La mayor pare de los programas informáicos incorporan esa corrección auomáica bajo la denominación Esimador Newey Wes o bien esimación con errores esándar CHA (consisenes con la heerocedasicidad y la auocorrelación). 11/11