E C O N O M E T R I A

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA FACULTAD DE ECONOMÍA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ECONOMÍA E C O N O M E T R I A II M. Sc. Eco. LUIS A. ROSALES GARCÍA CASTILLA, OCTUBRE DEL 9.

2 CAPITULO I MODELOS MULTIECUACIONALES. EVALUACIÓN DE MODELOS MULTIECUACIONALES.. EXOGENEIDAD En érminos generales: º Variable Endógena es aquella cuyo comporamieno preendemos esimar. º Variable exógena es aquella cuyos valores se oman como daos para analizar el comporamieno de las endógenas. Para seleccionar variables exógenas se considera el crierio siguiene: DEPARTAMENTAL CAUSAL Se consideran como exógenas aquellas que esán oal o parcialmene al margen del sisema (Clima, población, políica, ecnología) Se consideran exógenas aquellas que no esán influidas por las endógenas. Según Koopmans (95) la definición esadísica de exogeneidad debe ser más esrica que la definición eórica. DEFINICIÓN I: En un sisema con variables reardadas se considera como esadísicamene exógenas además de las aneriores las que cumplan las siguienes condiciones: º Que sólo inervengan en las ecuaciones esrucurales con algún nivel de reardo. º Que aún inerviniendo sin ningún nivel de reardo, esás sólo dependan de variables esricamene exógenas o de variables reardadas. DEFINICIÓN ESTADÍSTICA: Parimos de la definición de un sisema compleo como: X α * X α * X... α * X u Xi αi * X αi * X... αri * Xr ui X α * X α * X... α * X u r r r r r rr r r

3 y presenando una función de disribución conjuna de las perurbaciones aleaorias independiene para cada periodo, así: En un sisema sin variables reardadas se considera como esadísicamene exógenas aquellas variables cuya función de disribución es independiene de las variables exógenas. Es decir: º El conjuno de variables endógenas no inervienen en las ecuaciones de las endógenas. º Las funciones de disribución de las perurbaciones aleaorias son independienes. º El Jacobiano del conjuno de perurbaciones aleaorias con respeco al oal de variables presena valores nulos en las perurbaciones correspondienes a las variables exógenas con respeco a las variables endógenas. Por lo general, se disinguen dos concepos de exogeneidad: º Predeerminación Una variable es predeerminada en una ecuación específica si es independiene de los errores conemporáneo y fuuro en al ecuación. Es decir: E X u ; E X u ; E X u ( ) ( ) ( ). m n º Exogeneidad Esrica Una variable es esricamene exógena si es independiene de los conemporáneo, fuuro y pasado en la ecuación relevane. Es decir: E X u ; E X u ; E X u ( ) ( ) ( ). m n Para explicar esos concepos es preciso considerar un modelo con variables rezagadas; así: α X β β X u X α β β u y u son muua y serialmene independienes. f ( u, L, u i Lu r ) X u En la primera ecuación, si α enonces X esá predeerminada para. Considerando la segunda ecuación, si α y β enonces X es esricamene exógena para. Si β enonces X depende de u, por medio

4 de. En los modelos no dinámicos y sin correlación serial en los errores, no es necesario hacer esa disinción. Engle, endry y Richard sugieren res concepos adicionales: º Exogeneidad débil.- una variable X es débilmene exógena para esimar un conjuno de parámeros si la inferencia sobre condicional en X no supone una pérdida de información. Es una condición requerida para la esimación eficiene. Ejemplo: y X ienen una disribución normal bivariada, exisen cinco parámeros: u, u, σ, σ, σ. Es posible ransformarlos mediane una ransformación unívoca en ( α, β, σ ) y ( u,σ ). Ambos conjunos son separados, por lo ano, para esimar, β, σ u. ( ) α no es necesario información de ( ),σ º Superexogeneidad.- Si X es débilmene exógena y los parámeros en la disribución conjuna de y X permanecen sin cambios ane las variaciones en la disribución marginal de X. Es una condición requerida para propósios de políica. Ejemplo: Si modificamos u y σ (parámeros en la disribución marginal de X se producen cambios en ( α, β, σ ), enonces no es superexógena. º Exogeneidad fuere.- Si X es débilmene exógena y no esá precedida por ninguna de las variables endógenas del sisema. Ejemplo: Se iene el modelo: βx u X α X α u ( u u ) ( u ) σ, Va( u ) σ y Cova( u u ) σ, se disribuye normal bivariada y son serialmene independienes, Va. Si α enonces X es débilmene exógena debido a que la disribución marginal de X no involucra a β ni a σ. Pero la segunda ecuación demuesra que precede a X, es decir, X

5 depende de ; por lo ano, X no es fueremene exógena. 4 La definición de Engle, endry y Richard es en érminos de un concepo llamado causalidad de Granger. Así: "Si X es débilmene exógena y no es causada en el senido de Granger por ninguna de las variables endógenas del sisema, enonces se define como fueremene exógena"... PRUEBA DE EXOGENEIDAD El enfoque de la Fundación Cowles para ecuaciones simuláneas sosiene el puno de visa de que no es posible probar la causalidad y la exogeneidad. Tenemos un modelo de ecuaciones simuláneas con res variables endógenas,, y res variables exógenas Z, Z, Z. Supongamos que la primera ecuación del modelo es: β β α Z u se quiere probar si es posible raar a y como exógenas para la esimación de esa ecuación. Para probar esa hipóesis seguimos el siguiene procedimieno: º Obenemos los valores predichos de y, a parir de las ecuaciones en la forma reducida para esas úlimas. º Luego se esima el modelo: β β α Z γ ˆ γ u ˆ empleando mínimos cuadrados ordinarios. º Se realiza la prueba de Wald para probar la hipóesis: : γ γ : γ γ si se acepa la hipóesis nula enonces y si pueden raarse como exógenas en la esimación de la ecuación; y si se rechaza la hipóesis nula enonces y no pueden raarse como exógenas en la esimación de la ecuación. Se iene el modelo siguiene:

6 DD I INF α α α α 4 β β DD I δ δ DD β INF ENC δ CIN u u DD u 5 Verificaremos que las variables DD e INF se pueden raar cono exógenas en la segunda ecuación, se iene el procedimieno siguiene: º Esimamos la forma reducida de DD e INF y obenemos los valores predichos esáicos de DD e INF, nos da: Dependen Variable: DD Mehod: Leas Squares Sample: 99: 997: Included observaions: 7 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C DD(-) ENC CIN R-squared Mean dependen var DDF Modified: 99: 997: // frdd.fi ddf 99: NA : : : : : : : : : : : Dependen Variable: INF Mehod: Leas Squares Sample: 99: 997: Included observaions: 7 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C DD(-) ENC CIN R-squared.6877 Mean dependen var.65

7 INFF Modified: 99: 997: // frinf.fi inff 99: : : : : : : : : : : : º Se esima el modelo exendido, obeniéndose: Dependen Variable: I Mehod: Leas Squares Sample: 99: 997: Included observaions: 7 Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C DD INF DDF INFF R-squared.557 Mean dependen var º Realizamos la prueba de Wald para probar la hipóesis: : γ 4 γ 5 : γ γ El Eviews da el resulado siguiene: Wald Tes: Equaion: MEI Null ypohesis C(4) C(5) F-saisic.5994 Probabiliy.8 Chi-square Probabiliy.584 se realiza la comparación: 4 F.5994 < F 5 (.95,,66) se acepa la hipóesis nula, es decir, las variables DD e INF pueden raarse como exógenas en la segunda ecuación. 6

8 7.. CAUSALIDAD DE GRANGER En algunas oporunidades es imporane deerminar si cambios en una variable causa cambios en ora variable. El es de causalidad de Granger nos ayuda a deerminar si de acuerdo a los daos (no la eoría) exise una variable cuyos cambios aneceden cambios en ora variable. Es imporane que las series sean esacionarias para eviar el riesgo de obener relaciones espurias, y en caso de no cumplir con esa caracerísica es necesario aplicar alguna ransformación para converirlas en esacionarias, asumiendo que al hacerlo se manienen las relaciones de causalidad. Granger se basa en la premisa de que el fuuro no puede provocar el presene o el pasado. Si un eveno A ocurre después de un eveno B, se sabe que A no puede provocar a B. Al mismo iempo, si A ocurre anes de B, eso no necesariamene implica que A provoque a B. Consideremos dos series de iempo ( y ) X, la serie X fracasa en la causalidad de Granger de si en una regresión de sobre las rezagadas y las X rezagadas los coeficienes de esa úlima son cero. Es decir, la hipóesis es: : β i,,..., k y se esima el siguiene modelo: k i : β i i i α ( ) k i β i X i i si se acepa la hipóesis nula, enonces X fracasa en causar a, siendo K arbirario. Si se rechaza la hipóesis nula, es decir X causa, enonces cambios en X deben preceder en el iempo a cambios en. La prueba de causalidad de Granger asume que la información relevane para la predicción de las variables y X esá conenida únicamene en los daos de series de iempo sobre esas variables. El es dependerá de m (el # de rezagos) y ese es arbirario, es decir uno puede especificar el número de rezagos. el resulado de prono se vería afecado. Enonces uno debería efecuar los ess con diferenes rezagos y asegurarse que la conclusión del es no se afece por el número de rezagos. Para ver lo que hace la prueba de Granger, consideremos el siguiene modelo: u

9 X α X α β β β β X X u u 8 escribamos la forma reducida del modelo: X para la no causalidad de Granger se requiere que. En cambio, para que X sea predeerminada de debe cumplirse que α. Para que X sea esricamene exógena para se requiere que α y β. Sabemos que: α β β α α enonces no implica que α y β. Por lo ano, la prueba de causalidad de Granger no equivale a la prueba de predeerminación ni a la prueba de exogeneidad esrica..4. EVALUACIÓN X X v v Mucho de lo esablecido para modelos uniecuacionales es direcamene aplicable con la inmediaa generalización que supone rabajar con g ecuaciones en lugar de con una sola. La diferencia concepual al analizar los errores en modelos muliecuacionales, respeco al caso de ecuación única, reside en que ahora los errores en la variable endógena de una ecuación no pueden asignarse direcamene a un defecuoso funcionamieno de la misma, sino que frecuenemene vendrán inducidos por errores en oras ecuaciones conexas con la que esamos esudiando. El proceso de evolución se realiza ecuación por ecuación y siguiendo los mismo crierios que en la evaluación de un modelo muliecuacional; es decir, el crierio económico, crierio esadísico y crierio economérico..4.. CRITERIO ECONÓMICO Consise en conrasar si los resulados de la esimación cumplen con las resricciones impuesas por la eoría económica. La evaluación consise en verificar si las caegorías de signo y amaño son los que la eoría exige. Por lo ano, exisen sólo dos alernaivas: A.- Los parámeros esimados engan el amaño y el signo que la eoría señala, o

10 B.- los parámeros esimados no posean las caracerísicas que la eoría espera. Tenemos el modelo de deerminación de la rena siguiene: CP α α PBI u IB PBI β β CP ( PBI PBI ) IB GG β TIB u La eoría económica deermina que: < α < β > β < Los resulados economéricos de la esimación del modelo son: 9 Dependen Variable: CP Mehod: Two-Sage Leas Squares Sample(adjused): 95: 985:4 Included observaions: 4 afer adjusing endpoins Insrumen lis: C PBI(-) TIB GG Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C PBI R-squared Mean dependen var 46.5 Adjused R-squared S.D. dependen var S.E. of regression Sum squared resid F-saisic Durbin-Wason sa.656 Prob(F-saisic). Dependen Variable: IB Mehod: Two-Sage Leas Squares Sample(adjused): 95: 985:4 Included observaions: 4 afer adjusing endpoins Insrumen lis: C PBI(-) TIB GG Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C PBI-PBI(-) TIB R-squared -.56 Mean dependen var Adjused R-squared S.D. dependen var.6596 S.E. of regression 96.6 Sum squared resid F-saisic Durbin-Wason sa.45 Prob(F-saisic). La función consumo personal presena correco el signo y amaño del parámero, mienras la función inversión brua presena un signo correco y el oro cambiado.

11 .4.. CRITERIO ESTADÍSTICO (CRITERIO DE PRIMER ORDEN) Consise en someer a los parámeros esimados a una serie de es o exámenes para deerminar su grado de confiabilidad o cereza. La invesigación aplicada ha cenrado odos esos exámenes en el uso del siguiene procedimieno: A.- B.- Tes o Prueba de ipóesis: Pueden ser pruebas individuales o conjunas, denro de las cuales se encuenran las pruebas de significancia. La regla de decisión es: Si el esadísico calculado supera al valor de la abla se rechaza la hipóesis nula, es decir, el esadísico calculado cae en la región críica. Tes de Bondad de Ajuse: de un modelo esimado a ravés del coeficiene de deerminación (R ): El coeficiene de deerminación nos indica la proporción o porcenaje de variación oal en la variable dependiene que ha sido explicada por los cambios de las variables explicaivas del modelo. PRUEBA DE SIGNIFICANCIA INDIVIDUAL: En la función de consumo personal, la propensión marginal a consumir es significaiva al 5% (.); mienras que en la función de inversión brua, el acelerador y el coeficiene de la asa de inerés son significaivos al 5 % (. y. respecivamene). PRUEBA DE SIGNIFICANCIA GLOBAL: La función de consumo personal e inversión brua en conjuno son esadísicamene significaivas al 5 % (. y. respecivamene). PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE: En la función de consumo personal es acepable y significa que el % de la variancia del consumo personal es explicada por las variaciones del PBI y en la función de inversión brua no se puede inerprear el resulado porque nos sale negaivo. TEST DE BONDAD DE AJUSTE DEL MODELO MULTIECUACIONAL Concepualmene, no es fácil disponer de una medida única inegradora de la bondad de un modelo muliecuacional en su conjuno. Se ha propueso el coeficiene de Deerminación de Dhrymes, que se define: R σ G Rh G h h y h σ y h

12 La críica a ese coeficiene se susena en que un modelo muliecuacional no es simplemene una unión de ecuaciones individuales, sino que cobra un carácer uniario que exige una evaluación ambién global. Incluso aunque odas las ecuaciones individuales se ajusen bien a los daos y sean esadísicamene significaivos, no endremos la garanía de que en su conjuno, cuando sea simulado, reproduzca aquellas mismas series en forma ajusada. En el ejemplo del modelo de deerminación de la rena, el coeficiene de deerminación del modelo es posiivo aunque el coeficiene de deerminación de la función de inversión brua es negaivo, el coeficiene de deerminación de Dhrymes se obiene de la siguiene forma: R R CRITERIO ECONOMÉTRICO (CRITERIO DE SEGUNDO ORDEN) Corresponde a deerminar si odos los supuesos del modelo se han cumplido de manera saisfacoria. ay que deecar si exise un alo grado de mulicolinealidad, heerocedasicidad, auocorrelación, observaciones aípicas, normalidad y esabilidad paramerica. MULTICOLINEALIDAD: La mulicolinealidad es una cuesión de grado, no de exisencia. La decisión imporane no es enre presencia y ausencia, sino enre los disinos grados de mulicolinealidad. La regla de Klein en su versión de correlaciones indica que exise un alo grado de mulicolinealidad si: r R X X > i j donde r X i X es el coeficiene de correlación simple enre dos regresores cualquiera y j R es el coeficiene de correlación múliple de la ecuación, o la raíz cuadrada de su coeficiene de deerminación. O en su versión más empleada, si al menos una correlación enre regresores supera a una correlación de uno de los regresores con la endógena. La mariz de correlaciones de las variables del modelo son:

13 Correlaion Marix PBI-PBI(-) IB TIB PBI-PBI(-) IB TIB La función de consumo personal no presena mulicolinealidad. La primera y segunda versión de Klein no se puede aplicar para la función de inversión brua por ener un coeficiene de deerminación negaivo. La ercera versión de Klein nos indica que exise un bajo grado de mulicolinealidad. ETEROCEDASTICIDAD: La hipóesis nula es la exisencia de homocedasicidad, es decir no exisencia de heerocedasicidad. Esa hipóesis se verificará en los siguienes ess: º WITE SIMPLIFICADO.- No requiere especificar la forma que puede adopar la heerocedasicidad. Abrimos la esimación del modelo original (para cada una de las ecuaciones), luego ejecuamos la siguiene insrucción: View Residual Tess Whie eeroskedasiciy (no cross erms) y el compuador nos muesra el resulado. En nuesro caso para la primera ecuación es: Whie eeroskedasiciy Tes: F-saisic Probabiliy.45 Obs*R-squared Probabiliy.599 Para la segunda ecuación da: Whie eeroskedasiciy Tes: F-saisic Probabiliy. Obs*R-squared Probabiliy. Según la probabilidad del esadísico TR se acepa la hipóesis alernaiva en ambos casos a un nivel de significancia del 5 %; es decir, exise heerocedasicidad en la función de consumo personal e inversión brua. º WITE GENERAL.- No requiere especificar la forma que puede adopar la heerocedasicidad. Se abre la esimación del modelo original (para cada una de las ecuaciones), luego ejecuamos la siguiene insrucción: View Residual Tess Whie eeroskedasiciy (cross erms) y el

14 compuador nos muesra para la primera ecuación: Whie eeroskedasiciy Tes: F-saisic Probabiliy.45 Obs*R-squared Probabiliy.599 Para la segunda ecuación da: Whie eeroskedasiciy Tes: F-saisic Probabiliy. Obs*R-squared Probabiliy. Observando la probabilidad del esadísico TR se acepa la hipóesis alernaiva en ambos casos a un nivel de significancia del 5 %; es decir, exise heerocedasicidad en la función de consumo personal e inversión brua. º ETEROCEDASTICIDAD CONDICIONAL AUTORREGRESIVA.- Se ha elegido que el modelo auorregresivo de heerocedasicidad es de primer orden. Después de abrir la esimación del modelo original ejecuamos la siguiene insrucción: View Residual Tess Arch LM Tes OK y se obiene para la primera ecuación: ARC Tes: F-saisic Probabiliy. Obs*R-squared.96 Probabiliy. El resulado de la segunda ecuación es: ARC Tes: F-saisic.549 Probabiliy.594 Obs*R-squared.548 Probabiliy.579 Observando la probabilidad del esadísico TR se acepa la hipóesis alernaiva en la primera ecuación a un nivel de significancia del %; es decir, exise heerocedasicidad condicional auorregresiva de orden uno en la función de consumo personal. En la función de inversión brua exise homocedasicidad. Ahora, se comprobará heerocedasicidad de segundo orden; siendo los resulados de la primera ecuación:

15 ARC Tes: F-saisic Probabiliy. Obs*R-squared.856 Probabiliy. En la segunda ecuación se obiene: ARC Tes: F-saisic Probabiliy.79 Obs*R-squared.598 Probabiliy.5 De acuerdo a la probabilidad del esadísico TR se acepa la hipóesis alernaiva en ambos casos a un nivel de significancia del %; es decir, exise heerocedasicidad condicional auorregresiva de orden dos en ambas funciones. AUTOCORRELACION: La hipóesis nula es la no exisencia de auocorrelación de orden p, es decir ausencia de auocorrelación de orden p. Esa hipóesis se comprobará en los siguienes ess: º DURBIN - WATSON.- Comprobamos ausencia de auocorrelación de primer orden, por lo ano, uilizamos el esadísico Durbin-Wason que se iene en la esimación de la primera ecuación, luego buscamos en la abla de Durbin - Wason a un nivel de significancia del 5 %, la coa superior e inferior para 4 observaciones y una variable explicaiva (excluyendo el inercepo); a coninuación aplicamos la regla correspondiene: {.746 DW d L d U Como el DW es inferior a la coa inferior enonces se rechaza la hipóesis nula, es decir, exise auocorrelación posiiva de primer orden. Para la segunda ecuación uilizamos el esadísico Durbin-Wason de la esimación, luego buscamos en la abla de Durbin - Wason a un nivel de significancia del 5 %, la coa superior e inferior para 4 observaciones y dos variables explicaivas; a coninuación aplicamos la regla correspondiene: DW.76 d L.76 { d U El valor del DW es inferior a la coa inferior enonces se rechaza la

16 hipóesis nula, es decir, exise auocorrelación posiiva de primer orden. 5 º BREUSC - GODFRE (LM).- Comprobaremos que no exise auocorrelación de primer orden. Abrimos la esimación del modelo original y se ejecua la siguiene insrucción: View Residual Tess Serial Correlaion LM Tes OK y el EVIEWS nos muesra el siguiene resulado de la primera ecuación: Breusch-Godfrey Serial Correlaion LM Tes: F-saisic Probabiliy. Obs*R-squared 5.94 Probabiliy. nos muesra el siguiene resulado para la segunda ecuación: Breusch-Godfrey Serial Correlaion LM Tes: Obs*R-squared Probabiliy.88 Según la probabilidad del esadísico TR se acepa la hipóesis alernaiva en ambas funciones a un nivel de significancia del %; es decir, exise auocorrelación de primer orden en la función de consumo personal y en la función de inversión brua. A coninuación, se verificará auocorrelación de segundo orden; obeniéndose para la primera ecuación: Breusch-Godfrey Serial Correlaion LM Tes: F-saisic Probabiliy. Obs*R-squared Probabiliy. Obenemos para la segunda ecuación: Breusch-Godfrey Serial Correlaion LM Tes: Obs*R-squared 5.94 Probabiliy.455 Observando la probabilidad del esadísico TR se acepa la hipóesis alernaiva en ambas funciones a un nivel de significancia del %; es decir, exise auocorrelación de segundo orden en las funciones de consumo e inversión brua. º BOX PIERCE.- Verificaremos que no exise auocorrelación de primer orden y segundo orden. Abrimos la esimación del modelo original y se ejecua el siguiene comando:

17 View Residual Tess Correlogram Q- Saisics OK y el EVIEWS y el compuador nos da el siguiene resulado para la primera ecuación: Correlogram of Residuals Sample: 95: 985:4 Included observaions: 4 Auocorrelaion Parial Correlaion AC PAC Q-Sa Prob. *******. ******* ****** * Se iene: comparamos: Q BP : ρ : ρ 4* >.84 χ (.95,) Se rechaza la hipóesis nula al nivel de significancia del 5 %; es decir, exise auocorrelación de primer orden en la función de consumo personal. Para verificar segundo orden, enemos: : ρ ρ : ρ ρ calculamos: Q 4* > 5.99 χ BP ( ) (.95,) Se rechaza la hipóesis nula al nivel de significancia del 5 %; es decir, exise auocorrelación de segundo orden en la función de consumo personal. A parir de la segunda ecuación se obiene: Correlogram of Residuals Sample: 95: 985:4 Included observaions: 4 Auocorrelaion Parial Correlaion AC PAC Q-Sa Prob. **. ** *

18 Se iene: comparamos: Q BP : ρ : ρ 4* >.84 χ (.95,) 7 Se rechaza la hipóesis nula al nivel de significancia del 5 %; es decir, exise auocorrelación de primer orden en la función de inversión brua. Para verificar segundo orden, enemos: : ρ ρ : ρ ρ calculamos: Q 4* > 5.99 χ BP ( ) (.95,) Se rechaza la hipóesis nula al nivel de significancia del 5 %; es decir, exise auocorrelación de segundo orden en la función de inversión brua. NORMALIDAD: Se planea la siguiene hipóesis: : u Ν : u Ν se uiliza el esadísico Jarque - Bera, cuya fórmula es: N K JB S K 6 4 se iene la siguiene regla de decisión: JB < 5.99 χ ( ) (.95,) enonces, a un nivel de significancia del 5 % lo residuos se aproximan a una disribución normal. El es de normalidad lo obenemos de la siguiene forma para la primera ecuación: Abris EQ View Residual Tess isogram-normaliy Tes OK, obeniéndose el siguiene resulado:

19 Series: Residuals Sample 95: 985:4 Observaions 4 Mean.E- Median Maximum.6454 Minimum Sd. Dev Skewness.9 Kurosis.586 Jarque-Bera Probabiliy.54 a un nivel de significancia del 5 % lo residuos se aproximan a una disribución normal. El es de normalidad se obiene de la siguiene forma para la segunda ecuación: Abris EQ View Residual Tess isogram-normaliy Tes OK, obeniéndose el resulado siguiene: Series: Residuals Sample 95: 985:4 Observaions 4 Mean 4.84E-4 Median Maximum Minimum -64. Sd. Dev Skewness.754 Kurosis Jarque-Bera Probabiliy. enonces, a un nivel de significancia del % lo residuos no se aproximan a una disribución normal. PRUEBA DE ESTABILIDAD DE LOS PARAMETROS: Asumimos en el es de Chow como puno de quiebre 995: y en la función consumo personal nos da: Chow Breakpoin Tes: 975: F-saisic Probabiliy. Observando la probabilidad, concluimos que rechazanos la hipóesis nula; es decir, exise cambio esrucural.

20 9 Consideramos como puno de quiebre 98:, en la función inversión brua resula: Chow Breakpoin Tes: 98: F-saisic.966 Probabiliy.7558 Observando la probabilidad, concluimos que acepamos la hipóesis nula; es decir, no exise cambio esrucural.. SIMULACIÓN Para simular los efecos de valores alernaivos en diferenes variables o parámeros, es preciso disponer de una ciera solución del modelo que la haga facible en un conexo de simulaneidad de las diferenes ecuaciones. La simulación más habiual es la que supone cuanificar los efecos sobre las endógenas de valores alernaivos para las variables exógenas del modelo. Si los daos de las variables exógenas son hisóricos se iene una simulación ex - pos o hisórica; en cambio, si los daos de las variables exógenas son supuesos para el fuuro se raa de una simulación ex - ane. Es posible realizar oras simulaciones que correspondan a variaciones en los érminos de error de cada ecuación (facores adicionales) o incluso reoques en algunos de los parámeros (ajuse y afinado)... OBJETIVOS Los objeivos de la simulación pueden ser: º La evaluación del modelo y la evaluación de la capacidad prediciva del modelo. º La predicción, se raa de deerminar los valores de las variables endógenas del modelo en base a los valores de las variables exógenas. º La comparación de políicas alernaivas, en base a diferenes escenarios se puede deerminar los diferenes efecos de las políicas y poder elegir la más conveniene. 4º El análisis de las condiciones dinámicas del modelo, consise en deerminar la esabilidad del modelo.

21 .. TIPOS Se ienen los siguienes ipos de simulación: º Simulación Residual.- Para cada ecuación en forma aislada, se da ano a las exógenas como a las endógenas explicaivas sus valores reales y se comprueban los errores de cada ecuación y las idenidades. Es úil realizarla para comprobar que no exisen errores de ranscripción, redondeo en los valores de los parámeros, ec., en el modelo definiivamene seleccionado. Es decir: ˆ y α α y α y α 4 º Simulación Esáica.- Se consideran valores reales en las variables explicaivas, excepo las endógenas corrienes de cada ecuación, que se deerminan por el propio modelo en forma conjuna. Sirve para un análisis del funcionamieno período a período del modelo, puede conseguirse rabajando simuláneamene con odas las ecuaciones, pero sin conexión dinámica. Tenemos: yˆ α α yˆ α y α 4 Resulados saisfacorios no garanizan el que el modelo no se desesabilice o presene errores imporanes después de varios periodos de funcionamieno, ya que en ese ipo de simulación, en cada nuevo periodo se susiuyen las endógenas desplazadas por sus valores reales y no por los de solución del modelo para periodos aneriores. º Simulación Dinámica.- La solución es simulánea para odas las ecuaciones y sólo se suminisra daos (reales del pasado o supuesos) para las exógenas y el valor inicial de parida de las endógenas. Esa es la que permie conrasar la esabilidad del modelo y la calidad de sus predicciones. Sería: yˆ α α yˆ α yˆ α 4 4º Simulación Esocásica.- Se rabaja con las disribuciones de probabilidad ano de los parámeros como del érmino de error. Nos permie esablecer el grado de inceridumbre sobre los efecos esimados de una deerminada políica. x x x.. SOLUCIÓN DEL MODELO La mayor o menor complejidad en la solución del modelo dependerá de la propia forma en que la simulaneidad se manifiese, de la inclusión o no de ecuaciones dinámicas, de la posible coexisencia de relaciones no lineales juno a oras lineales y del amaño del modelo.

22 La exisencia de variables endógenas desplazadas en el modelo, la forma reducida ya no nos permie una solución inmediaa del modelo, dado que la simulaneidad afeca ambién a las variables endógenas desplazadas y no de odas las variables predeerminadas como se hace en la forma reducida. Theil y Boo propusieron a esos efecos la denominada Forma Final del modelo, donde las variables endógenas corrienes quedan expresadas en función de sólo las exógenas (corrienes y desplazadas), mediane un proceso de eliminación repeiiva de odas las variables endógenas desplazadas en la forma reducida. La forma reducida del modelo es: X V Descomponemos la forma reducida, considerando el desdoblamieno de de la forma siguiene: érmino independiene. endógenas desplazadas. exógenas corrienes. exógenas desplazadas. Asumimos que sólo exisen variables desplazadas un período, enonces la forma reducida se expresa: Z Z V donde Z sólo incluye las exógenas corrienes del modelo. Si no exisen variables desplazadas, es decir: Z V enonces la forma final del modelo y la forma reducida del modelo coinciden. Reemplazando en la forma reducida nos da: ( Z Z V ) Z Z V simplificando, enemos: I ( ) Z ( ) Z Z ( V V ) Repiiendo el proceso s veces, resula: s s I... ( ) s Z ( ) Z... s s s ( ) Z Z ( V V V... V ) s s s

23 Cuando s crece indefinidamene supondremos que s. Luego se anula los coeficienes de Z s e s. La suma de marices del érmino independiene es: s S I... como se raa de una progresión geomérica infinia, nos da igual: lím s I S I I La forma final del modelo puede resumirse: ( ) r ( I ) Z ( ) Z r r Esa expresión recoge los siguienes efecos denominados: º Muliplicador de impaco.- recoge el efeco inmediao que cualquier cambio en la variable exógena iene sobre la variable endógena. En ese modelo es.. º Muliplicador dinámico.- recoge el efeco según pasa uno, dos,..., s períodos que cualquier cambio en la variable exógena ienen sobre la variable endógena. En ese modelo son: ( ) ; ( ) ; ( ) ;... r º Muliplicador oal a largo plazo.- viene a ser la suma de odos los muliplicadores. Tenemos: MLP ( ) ( ) ( )... sacando facor común, nos queda: ( )(...) MLP I reemplazando la suma del érmino independiene da: simplificando enemos: ( )( ) MLP I ( )( ) MLP I r V r

24 En caso de rabajar con variaciones en porcenaje ano de las variables exógenas como de las variables endógenas, podemos hablar en forma equivalene de elasicidad impaco, elasicidad dinámica y elasicidad oal a largo plazo. Si no exisen variables rezagadas (endógenas y exógenas), los coeficienes de la forma reducida son direcamene los muliplicadores de impaco y son los únicos muliplicadores en el iempo y coinciden con los muliplicadores oales. En modelos que incluyen relaciones no lineales o son de un amaño que resula incómodo seguir odo ese proceso y se busca una solución al modelo mediane algún algorimo de resolución por aneo de sisema de ecuaciones, frecuenemene alguna variane del algorimo de Gauss - Seidel..4. CONDICIONES DE ESTABILIDAD DE UN MODELO DINÁMICO Para poder alcanzar la forma final es necesario que se cumplan cieras condiciones de convergencia en relación con las marices de parámeros de las endógenas desplazadas. La esabilidad del modelo la enendemos en el senido de que ienda a una nueva solución de equilibrio después de que se haya provocado un cambio inicial en uno o varios de los valores de las exógenas. Para el caso de un modelo de G ecuaciones simuláneas con variables endógenas reardadas hasa s periodos, podríamos expresar el conjuno de ecuaciones dinámicas fundamenales como una ecuación en diferencias vecoriales con coeficienes consisenes del ipo: A A A A T T T... S T S G() donde, r vecor de las variables endógenas (xg) que se han ranspueso a efecos de pos muliplicar la mariz de coeficienes. A r mariz de los coeficienes de odas las variables endógenas (GxG) para cada reardo esablecido r ( r,,.., s) en las diferenes ecuaciones del modelo. G () incluye a odas las variables exógenas desplazadas, corrienes y érmino de error para las G ecuaciones. Dhrymes comprobó que la ecuación en diferencias vecoriales de orden s puede reducirse a una de sólo primer orden; por lo ano: A

25 4 la solución de prueba es: donde, c λ c vecor de G componenes. λ escalar. Susiuyendo la solución de prueba en la ecuación en diferencias vecoriales de primer orden, da: cλ Acλ ( λi A) cλ La solución rivial es: λ nos exige resolver: ( λ I A) c la resolución de esa ecuación supone el cálculo del vecor c y la raíz caracerísica 8, siendo precisamene λ I A la ecuación caracerísica. Para el conjuno de los G pares de raíces caracerísicas y vecores caracerísicos asociados ( λ h, c h ) de A, puede esablecerse la solución general de la pare homogénea como: donde, d debe cumplir el conjuno de condiciones iniciales. h G h d h c h λ h También se puede expresar: CA d [ c c... c ] G λ... λ d d λg dg

26 5 da: Si la condición inicial es, reemplazando en la expresión anerior nos CA d Cd d C si es que C es no singular. La solución paricular se obiene de susiuir el valor de d en la expresión anerior, resulando: CA C cuyo límie, cuando iende a infinio, se anulará siempre que las raíces caracerísicas sean en valor absoluo inferiores a la unidad; es decir: λ h < h,,..., G.5. EJEMPLO Consideremos el modelo de deerminación de la rena: CP α α PBI u IB PBI β β CP ( PBI PBI ) IB GG β TIB u Calculemos la forma reducida del modelo: FR la forma reducida nos da: FR Derivemos la forma final de la función consumo personal, se pare de la forma reducida siguiene: CP PBI TIB GG v IB PBI PBI PBI TIB 7 TIB GG 4 8 GG v v

27 en la función consumo personal susiuimos la variable endógena rezagada por su correspondiene forma reducida, así: CP ( 9 PBI TIB GG v ) TIB 4GG v 6 CP nos queda: 9 PBI TIB TIB 4GG GG v v Realizamos la segunda susiución, resulando: CP ( PBI TIB TIB 9 4 GG 9 GG v v GG v ) TIB CP ( GG 4 9 GG ) PBI 9 GG ( v TIB v TIB v ) TIB Generalizando a l susiuciones: CP ( l i i l 9 i GG i i ( v l ) PBI l i l i v l TIB ) l i i TIB i GG 4 CP ( Si < enonces la forma final de la función consumo personal es: 9 i i ) TIB TIB i 4GG GG ( i v i i i v i l ) para nuesro caso no se iene forma final de la función de consumo personal porque no se cumple la condición. Calculemos los muliplicadores de impaco: MITIB.654 MIGG.99 4 Obengamos los muliplicadores dinámicos: MDRIB.7968(4.997).564 MDRIB.7968(4.997)(.45565) MDRGG.7968(.9465).9879 MDRGG.7968(.9465)(.45565).65...

28 7 Por úlimo, calculamos lo muliplicadores oales, a saber:...) (......) ( MTGG MTIB Deduciremos la condición de esabilidad del modelo: A I v GG TIB v GG TIB v GG TIB PBI IB CP PBI IB CP aplicando la ecuación caracerísica, enemos: ( ) 6 6 λ λ λ λ λ λ se obienen las raíces caracerísicas siguienes: λ λ λ λ λ para que el modelo sea esable debe cumplirse que < i λ. En el modelo de la deerminación de la rena no se cumple porque >, por lo ano el modelo no es esable. El procedimieno para realizar simulación en Eviews es el siguiene: º La esimación del modelo iene que realizarse mediane un sisema de ecuaciones; es decir debe ener un icono con el nombre de SS. º Se iene que crear un modelo siguiendo los siguienes pasos: Abrir SS Procs Make Model y el compuador nos muesra el modelo con el valor de los coeficienes esimados Name aparece

29 8 Model OK. º El Eviews realiza las siguienes simulaciones, a saber:.- Esrucural (Srucural), considera el modelo original excluyendo los érminos auoregresivos y de promedio móvil, si el modelo los iene en su especificación..- Predicción (Fi each equaion), es una simulación esáica y considerando que cada ecuación acúa sola, es decir, como si se raa de un modelo uniecuacional..- Simulación Esáica (Saic Soluion), de acuerdo a la definición que se realizó anes. 4.- Simulación dinámica (Dynamic Soluion), conforme al concepo desarrollado aneriormene. Las insrucciones que se siguen para realizar la simulación son: Abrir Model Procs Solve hay que elegir el ipo de simulación y el rango de la simulación Name aparece en la venana de rabajo un icono con el nombre de la variables endógena agregándole la lera F. Simularemos para le periodo 997:7 997: en el modelo siguiene: DD I ENC DD u I INF 4 β β DD α δ δ DD β INF δ CIN u u se abre el sisema y se genera en eviews el modelo siguiene: α α F DD *I *ENC *DD(-) I *DD4.5685*INF INF *DD *CIN solucionamos el modelo para el periodo 997:7 997: y el eviews nos da: obs DDF IF INFF 997: : : : : : α

30 9.6. CRITERIOS PARA EVALUAR LA CAPACIDAD PREDICTIVA DE UN MODELO El poder predicivo de un modelo se evalúa de disinas formas, a saber: º GRÁFICA La más simple es comparar los valores reales que se producen en el fuuro con los que fueron esimados con el modelo. De forma gráfica se presenan esas parejas de punos ( $ F, F ) en el diagrama predicción realización. ì f ì f f f Los punos siuados sobre la bisecriz de los cuadranes y corresponden a predicciones perfecas; aquellos punos del primer cuadrane siuados por debajo de esa reca corresponden a predicciones superiores a los valores verdaderos, y los que aparecen encima, a predicciones por debajo de los valores reales. º COEFICIENTE DE JANUS Ese coeficiene se define: J f T T T ( f $ f ) T ( ) comparando el poder predicivo del modelo con el ajuse, ya que el denominador es la varianza residual. Si el poder predicivo se conserva como en el pasado será J, y si aumena será J < ; un valor ó J >, S S f $ e$

31 indica pérdida de poder adquisiivo. º RAÍZ DEL ERROR CUADRÁTICO MEDIO (RECM) Se define como: RECM T e$ T Tiene las mismas unidades de medición que las series reporadas. La función de pérdida implícia con el RCEM es cuadráica, enonces la pérdida asociada con un error aumena en proporción con el cuadrado del error. La desvenaja de esa medida es que es una medición absolua, que depende de las unidades de medida. 4º ERROR ABSOLUTO MEDIO (EMA) Se define como: EMA T e$ T Esa medida es apropiada siempre que la función de pérdida es lineal y simérica 5º MEDIA DEL VALOR ABSOLUTO DEL ERROR PORCENTUAL (EPMA) Se define como: T e$ EPMA T Es similar al EMA, excepo que es una medida relaiva. Presena un sesgo que favorece a los pronósicos que se encuenran por debajo de los valores reporados. Indica qué proporción del error verdadero esimado es error de predicción.

32 6º RAÍZ CUADRADA RELATIVA DEL ERROR MEDIO (RCREM) Se define como: RCREM T T e$ Es similar a RECM, excepo que es adimensional. Presena un sesgo que favorece a los pronósicos que se encuenran por debajo del valor reporado. Considerar el resulado saisfacorio si iene un valor inferior a res. 7º COEFICIENTE DE DESIGUALDAD DE TEIL Denominado U de Theil (96), se define: U T T ( $ ) T $ T T T no esá influenciado por problemas de escala. U oscila enre y. Si U iende a cero, el modelo puede ser uilizado para predecir dado que sus pronósicos serán fiables. Si U iende a uno, el modelo no sirve para predecir sus pronósicos no son reales. El U de Theil se descompone: SESGO VARIANZA COVARIANZA º Sesgo (Bias Proporion) indica la presencia de algún error sisemáico. El sesgo debe ser cero, en caso conrario el pronósico no es el más confiable. º Varianza(Variance Proporion) indica la habilidad del pronósico para replicar el comporamieno de la variable real observada. Si esa proporción es grande significa que el modelo posee menor capacidad para replicar el comporamieno de la

33 serie. º Covarianza (Covariance Proporion) si esa medida es ala significa que el modelo predice bien, pues el error de la predicción se haría pequeño. Si alguna o varias ecuaciones esrucurales no son idenificables, y por lo ano no se esiman, para realizar predicciones de las G variables endógenas se susiuyen las ecuaciones no idenificables por las esimaciones de las correspondienes ecuaciones reducidas. GRÁFICA Para la evaluación de la capacidad prediciva del modelo enemos: :7 97:8 97:9 97: 97: 97: :7 97:8 97:9 97: 97: 97: DD DDF I IF DDF :7 97:8 97:9 97: 97: 97: INF INFF DD

34 ...8 IF INFF I INF Los gráficos nos sugieren que hay mejor predicción en la variable I, luego en la variable DD y por úlimo en la variable INF. ESTADÍSTICOS En eviews se sigue las insrucciones siguienes: º COEFICIENTE DE JANUS.- SMPL 997:7 997: SCALAR SCALAR SCALAR SMPL 99: 997:6 SCALAR SCALAR SCALAR SCALAR JDD NDD/DDD SCALAR JI NI/DI SCALAR JINF NINF/DINF SMPL 997:7 997: El modelo predice bien porque los coeficienes Janus son menores a. º ERROR ABSOLUTO MEDIO.- GENR GENR

35 4 GENR º MEDIA DEL VALOR ABSOLUTO DEL ERROR PORCENTUAL.- GENR GENR GENR El modelo para las variables DD e I predice bien porque los esadísicos son pequeños. 4º RAIZ CUADRADA RELATIVA DEL ERROR MEDIO.- GENR RCREMDD SQR(@SUM((DD-DDF)^/DD)/6).969 GENR RCREMI SQR(@SUM((I-IF)^/I)/6) GENR RCREMINF SQR(@SUM((INF-INFF)^/I)/6).9488 El modelo predice bien porque los esadísicos son menores a. 5º RAIZ DEL ERROR CUADRATICO MEDIO GENR RECMDD SQR(@SUMSQ(DD-DDF)/6) GENR RECMI SQR(@SUMSQ(I-IF)/6).477 GENR RECMINF SQR(@SUMSQ(INF-INFF)/6) º COEFICIENTE DE DESIGUALDAD DE TEIL GENR UDD SQR(@SUMSQ(DD-DDF)/6) / (SQR(@SUMSQ(DD)/6) SQR(@SUMSQ(DDF)/6)) GENR UI SQR(@SUMSQ(I-IF)/6) / (SQR(@SUMSQ(I)/6) SQR(@SUMSQ(IF)/6)).5 GENR UINF SQR(@SUMSQ(INF-IINFF)/6) / (SQR(@SUMSQ(INF)/6) SQR(@SUMSQ(INFF)/6)).56 El modelo predice bien para las variables DD e I porque los esadísicos son menores a..