Integración. Tema La integral indefinida

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1 Tem Integrción Versión: 0 de septiembre de 08. L integrl indefinid L integrl indefinid ó cálculo de primitivs es, en cierto modo, un proceso inverso l de clculr l derivd de un función. Dd un función f() nos plntemos es f l derivd de lgun función? Y, si lo es, cómo podemos clculrl? Primitiv de un función Se f :(, b)! R un función. Si F :(, b)! R verific que F 0 = f, sedicequef es un primitiv de f se escribe f() d = F () Est definición llev implícito el hecho de que F es derivble en (, b). Ejemplo.. Se f() =0, 8. EsobvioqueF () =es un primitiv de f, quef 0 () =0=f(). Perotmbién F () =9es un primitiv de f.. Se f() =. EsobvioqueF () = verific F 0 () = = f() que,porlotnto,f es un primitiv de f. PerotmbiénF () = + es un primitiv de f. Dehecho,culquierfuncióndel form F () = + C, conc R culquier, lo es.. Es obvio, simismo, que F () =sen es un primitiv de f() = cos que,tmbién,culquierfunción de l form F () =sen + C, conc R culquier, lo es. Diferenci de dos primitivs Si F F son dos primitivs de l mism función, f, entoncessudiferenciesunfunciónconstnte: F F = C Dicho de otro modo, si F es un primitiv de f, culquierotrprimitivesdelformf () +C, siendo C R un constnte rbitrri: f() d = F ()+C, C R 8

2 . Integrción 9 Ejemplo.. 4d= + C. e 4 d = 4 e4 + C. e d = e + C 4. p d = p + C Ejemplo. d L función tiene l primitiv obvi ln, definiden(0, +). Sin embrgo, veremos que tiene otr primitiv definid en el mismo dominio en que está definid.se: f() =ln = Est función es continu derivble en ( 8 9 >< si <0 >= f 0 () = >: si >0 >; = ln( ) si <0 ln() si >0, 0) [ (0, +), suderivdvieneddpor: 8 (, 0) [ (0, +) ) d =ln + C. Integrles inmedits Aprtirdeltbldederivdsdelsfuncioneselementles,sinmásqueconsultrlensentidoinverso, podemos deducir cul es l primitiv de uns cunts funciones sencills, que se eponen en l tbl de integrles inmedits que se inclue más bjo. Tmbién figurn en l tbl ls integrles, considerds tmbién inmedits, que se resuelven utilizndo en sentido inverso l Regl de l Cden. Funciones compuests Supongmos que F es un primitiv de f, esdecir,quef 0 () =f(). Se h() =F (g()). Se tiene,por l Regl de l Cden, h 0 () =F 0 (g()) g 0 () =f(g()) g 0 () luego f(g()) g 0 () d = F 0 (g()) g 0 () d = h 0 () d = h()+c = F (g()) + C Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

3 . Integrción 0 PROPIEDADES Si k R, kf() d = k f() d (f() ± g()) d = f() d ± g() d Cmbio de vrible Integrción por prtes f(g()) g 0 () d = u() v 0 () d = u() v() pple t =g() dt=g 0 () d = f(t) dt v() u 0 () d TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Funciones elementles Funciones compuests Si 6=, d = C Si 6=, g() g 0 () d = + g() + + C d =ln + C e d = e + C d = ln + C sen d= cos + C cos d=sen + C cos d =tg + C sen d = ctg + C d = rc tg + C + p d = rc sen + C g() g0 () d =ln g() + C e g() g 0 () d = e g() + C g() g 0 () d = ln g() + C sen(g()) g 0 () d = cos(g()) + C cos(g()) g 0 () d =sen(g()) + C cos (g()) g0 () d =tg(g()) + C sen (g()) g0 () d = ctg(g()) + C +g() g0 () d = rc tg(g()) + C p g() g0 () d = rc sen(g()) + C Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

4 . Integrción Ejemplo.4 +4 d Se trt de un sum de integrles inmedits, que cd sumndo es un potenci de : +4 d = d d+4 d = +4 + C Ejemplo.5 p d Desrrollndo l frcción, se convierte en un sum de potencis de : p p d = d = 5/ d = d 5/ d =ln C =ln / / + C =ln + p + C Ejemplo.6 e p d e p d = e / d = e d + d +4 5/ d El segundo tercer sumndo son integrles de potencis de.enlprimerintegrl,multiplicndodividiendo por se tiene l derivd de e : e d = e d = e d = e Luego se tiene e p d = e + ( + ) + +4 = e +4 / + C = e C p + C Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

5 . Integrción Ejemplo.7 sen cos d Se observ que cos es l derivd de sen quesetrtdeunintegrldeltipo g() =sen(), prlculsetiene g() g 0 () d = g() + C g() g 0 () d pr = En consecuenci, sen cos d= sen + C Ejemplo.8 p +5 d Se observ que l derivd del rdicndo +5 es 0 quesienlintegrlmultiplicmosdividimospor 0 tenemos: p 0 +5 d = 0 p +5 d = 0 p +5 0 d Es decir, pr g() =+5,tenemos: g() / g 0 () d = 0 0 +g() + + C = 0 Luego, finlmente p +5 d = 0 g()/ + C ( + 5 ) / + C = p ( + 5 ) 5 + C Ejemplo.9 d Observndo que l derivd de es se ve que tenemos un integrl del tipo g() g0 () d =ln g() + C luego d =ln + C Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

6 . Integrción. Cmbio de vrible En muchs ocsiones, pr clculr integrles suele ser útil utilizr l técnic del cmbio de vrible. Est técnic consiste en elegir como nuev vrible un ciert función de l ctul sustituirl en l integrl, buscndo, nturlmente, encontrr sí un integrl más fácil de clculr. Pr ello, conviene conocer un notción diferente pr l derivd de un función: Observción: notción de l derivd Se = f(). Todslsnotcionessiguientesrepresentnlderivddef: 0 = d d = f 0 () = df () () =df d d = d d f() d se lee «diferencil de» d se lee «diferencil de». d se lee «derivd de con respecto de». d df () () =df d d = d f() se leen «derivd de f con respecto de cobrnplenosentidocundosetrt d con funciones que dependen de más de un vrible, en cuo cso es necesrio especificr respecto de qué vrible se está derivndo. Cmbio de vrible Si llmmos t = g(), conlnotción dt d = g0 (), trtndod dt como si fuern culesquier vribles, se puede escribir dt = g 0 () d. Entonces se tiene, sustituendo en l integrl g() por t g 0 ()d por dt: f(g()) g 0 () d = f(t) dt Luego, si F es un primitiv de f, setendrá f(t) dt = F (t)+c, porlotnto f(g()) g 0 () d = f(t) dt = F (t)+c = F (g()) + C Ejemplo.0 + d Eligiendo t = +se tiene dt =d oloqueeslomismo dt = d, luego d = + d = + t dt = ln t + C =ln t / + C =ln p t + C = ln p + + C Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

7 . Integrción 4 Ejemplo. ( ) d Eligiendo t = se tiene dt = d, luego ( ) d = t dt = t dt = t + C = t + C = + C Ejemplo. ( + ) 4 d Eligiendo t = +se tiene dt = d, luego ( + ) 4 d = t 4 dt = t 4 dt = t + C = t + C = ( + ) + C Ejemplo. ( + ) d Eligiendo t = +se tiene dt =d, obien dt = d, luego ( + ) d = t dt = t dt = t + C = + + C Ejemplo.4 + d Eligiendo t = +se tiene dt =d,dedonde dt = d,luego + d = t dt = t dt = t dt = ln t + C =ln t / + C =ln p t + C =ln p + + C = ln p ++C L últim iguldd se debe l hecho de que, puesto que + es siempre positivo, el vlor bsoluto en + es superfluo. Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

8 . Integrción 5 Ejemplo d Eligiendo t =5 +se tiene dt = 0d,oloqueeslomismo, 5 d = (d)= t 0 dt = 0 t dt = 0 dt = d,luego 0 ln t + C = 0 ln(5 + ) + C Ejemplo.6 + d Este tipo de integrles se resuelven trnsformándols en t +,queeslderivddeunrcotngente.pr ello, en primer lugr se dividen numerdor denomindor por, pr tener en el denomindor «lgo»+: + d = horsehceelcmbio = t,esdecir,t = Sustituendo en l integrl se tiene d = + r r t + dt = / + d = d + r,portntodt = r t + dt = rc tg t + C = r r d, dedonded = dt. r rc tg r! + C Cuál es el cmbio conveniente pr clculr un integrl concret suele ser un cuestión rdu pr los que se inicin en integrción. Con un poco de práctic se prende identificr un buen número de csos dr con el cmbio decudo. En culquier libro de cálculo se pueden encontrr «recets» pr distintos de tipos de integrles. Un regl sencill que funcion en muchs ocsiones es: hcer el cmbio que elimine «lo que más molest». Los siguientes ejemplos ilustrn est regl. Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

9 . Integrción 6 Ejemplo.7 p + d En est integrl «lo que más molest» es, clrmente, l riz cúbic del denomindor. Por ello es lógico intentr un cmbio que hg que desprezc, como por ejemplo rdicndo = (nuev vrible). Lo cul, en este cso, es + = t,dedonde d =t dt = t. Sustituendo result p d = + = 8 t tdt= 8 p d = + t p t t 6 + t tdt= 8 t dt = (t ) 4 t t 7 + t t 4 dt = 8 Ahor es necesrio deshcer el cmbio de vrible, es decir, sustituir t = p + p + d = 64 p p t dt = t t p C t t dt 4t t 5 + C 5 Ejemplo.8 p p d En este cso interes un cmbio que elimine ls dos ríces. Se puede conseguir cmbindo por un potenci que se múltiplo de los índices de mbs ríces, en este cso el mínimo común múltiplo de, que es 6. Por tnto, se hce el cmbio = t 6,dedonde d =6t 5 dt. Sustituendo result p p d = p t 6 t p 6t 5 6/ t dt = 6t 5 dt = t 6 t 6/ t 6t 5 dt = ( t )6t dt = (6t 6t 6 ) dt = 6 4 t4 6 7 t7 + C Ahor h que deshcer el cmbio de vrible, sustituendo t = 6p p p d = 6 4 ( 6p ) ( 6p ) 7 + C = 6 6p 6 4 6p 7 + C = 6 6p p + C Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

10 . Integrción 7 Ejemplo.9 p ln d Puede que interese hcer un cmbio que elimine l riz cúbic. El decudo es ln = t,dedonde d =t dt (t = p ln pr deshcer el cmbio). Sustituendo result p ln d = p ln d = (El cmbio t =ln tmbién servirí). p t t dt = t dt = 4 t4 + C = 4 ( p ln ) 4 + C = 4 (ln )4/ + C Más delnte se presentn lguno ejemplos más de cmbio de vrible..4 Integrles de funciones rcionles Se trt de integrles del tipo p() q() d siendo p q dos polinomios. En el cso en que grdo(p) grdo(q), loprimeroquehquehceresdividir mbos polinomios, pr obtener p() q() = c()+r() q() (c() es el polinomio cociente r() es el polinomio resto de l división). Entonces se tendrá p() q() d = c()+ r() r() d = c() d + q() q() d Luego bst con sber cómo resolver integrles del tipo sumndo es sólo l integrl de un polinomio. p() q() d con grdo(p) < grdo(q), queelotro Reducción frcciones simples p() Pr resolver integrles d con grdo(p) < grdo(q): q(). Se fctoriz el denomindor, es decir, se epres como producto de polinomios irreducibles.. Se escribe p() como un sum de frcciones simples, esdecir,defrccionessencillsdeundels q() dos forms siguientes A A + B ( + b) n ( + b + c) n n cus integrles se clculn como se muestr en los Ejercicios (.0) (.4), ecepto en el cso A + B ( + b + c) n con n>, quenoseconsiderenestsnots. Se vn ver, sobre diversos ejemplos, los distintos csos que pueden drse en l descomposición en sum de frcciones simples. Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

11 . Integrción 8 Ejemplo.0 Cso en que q() tiene sólo ríces simples: d. El polinomio tiene ls ríces =0 =,luego d = ( ) d. L descomposición en sum de frcciones simples, en este cso será de l form: ( ) = A + B Se trt, pues, de encontrr A B pr que est iguldd se ciert.. Pr encontrr A B, semultiplicnmbosmiembrospor( ), conloquequed =A( ) + B horsednvlores, prencontrrcondicionessobrea B: =0 ) = A = ) =B Así pues ( ) = + 4. Por último se tiene, pr l integrl: d = d + = ln +ln + C = ln + C Ejemplo. 7 Cso en que q() tiene sólo ríces simples: d El polinomio tiene ls ríces = =, luegoldescomposiciónensumdefrccionessimples, en este cso será de l form: 7 ( + )( ) = A + + B Multiplicndo mbos miembros por ( + )( ), qued 7 =A( ) + B( + ). Ahor se dn vlores, prencontrrcondicionessobrea B: = ) 4=B ) B = = ) 0 = A ) A =5 Así pues 7 ( + )( ) d = 5 + d + = 5ln + +ln + C Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

12 . Integrción 9 Ejemplo. Cso en que q() tiene lgun ríz doble: ( ) d El denomindor está fctorizdo. L descomposición en sum de frcciones simples en este cso será de l form: ( ) = A + B + C ( ) Multiplicndo mbos miembros por ( ),qued =A( ) + B( ) + C. Ahor se dn vlores, prencontrrcondicionessobrea, B C: 8 < : =0 ) =A = ) =C = ) =A +B +C =+B +6 ) B = Así pues ( ) d = d + = ln ( ) = ln ln + C + C = Ejemplo. Cso en que q() tiene lgun ríz doble: ( + ) d El denomindor está fctorizdo: tiene l ríz doble = simples en este cso será de l form: ( + ) = A + + B ( + ) Multiplicndo mbos miembros por ( + ),qued = A( + )+B. Ahor se dn vlores, prencontrrcondicionessobrea B: ( = ) =B =0 ) 0=A + B =A ) A =.Ldescomposiciónensumdefrcciones Así pues ( + ) d = + d ( + ) d = + d + ( + ) d = ln C Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

13 . Integrción 40 Ejemplo.4 Cso en que q() tiene un fctor irreducible cudrático: ( + ) d El denomindor está fctorizdo: el polinomio +no se puede fctorizr que no tiene ríces reles. L descomposición en sum de frcciones simples en este cso será de l form: ( + ) = A + B + C + Multiplicndo mbos miembros por ( +), qued =A( +)+(B+C) = A( +)+B +C. Ahor se dn vlores, prencontrrcondicionessobrea, B C: 8 < : =0 ) =A = ) =A + B + C = +B + C ) B + C = = ) =A + B C = +B C ) B C = De ls dos últims ecuciones se obtiene, resolviendo el sistem, B = C =.Asípues + ( + ) d = d + + d = d + + d + + d = = ln + r ln rc tg + C = ln + rc tg + C Ejemplo.5 Clculr l siguiente integrl indefinid: sen(t) cos(t) ( + sen(t)) dt Est integrl no es, obvimente, de tipo rcionl. Sin embrgo en un inspección tent se observ que prece el fctor sen(t), potencisdelmismo(+sen(t)),suderivdcos(t). Estosugierehcerelcmbiodevrible u =sen(t) que, como se ve continución, trnsform l integrl en un rcionl: sen(t) cos(t) ( + sen(t)) dt = pple u du =sen(t) = cos(t) dt = u (*) du = ( + u) ln +u + +u + C = ln +sen(t) + +sen(t) + C +u + ( + u) dt = (*) Reducción sum de frcciones simples: u ( + u) = A +u + B, u = A( + u)+b, ( + u) u = ) =B u =0) 0=A ) A = es decir, u ( + u) = +u + ( + u) Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

14 . Integrción 4.5 Integrción por prtes Es un de ls regls de integrción más útiles. Está bsd en l fórmul de derivción de un producto de dos funciones: h() =u() v() ) h 0 () =u 0 () v()+u() v 0 () De est iguldd se tiene: u() v 0 () =h 0 () dequí,integrndoenmbosmiembros: u() v 0 () d = h 0 () d u 0 () v() d = h() u 0 () v() u 0 () v() d = u() v() u 0 () v() d Fórmul de integrción por prtes u() v 0 () d = u() v() u 0 () v() d Con frecuenci est fórmul se escribe en l form: udv = uv que signific ectmente lo mismo. vdu Ejemplo.6 e d Eligiendo u() = ) u 0 () = v 0 () =e ) v() =e se tiene e d = e e d = e e + C = e ( ) + C Ejemplo.7 ln d Eligiendo 8 >< >: u() =ln ) u 0 () = v 0 () = ) v() = 9 >= >; se tiene ln d= ln d = ln d= ln 4 + C = ln + C Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

15 . Integrción 4 Ejemplo.8 rc tg d Eligiendo ( rc tg d= rc tg u() = rc tg ) u 0 () = + v 0 () = ) v() = ) + d = rc tg se tiene + d = rc tg ln( + )+C Ejemplo.9 cos d Eligiendo u() = ) u 0 () = v 0 () = cos ) v() =sen cos d= sen se tiene sen d= sen + cos + C Ejemplo.0 e d u() = ) u Eligiendo 0 () = v 0 () =e ) v() =e se tiene e d = e e d. Pr resolver l integrl e d h que utilizr de nuevo l fórmul de integrción por prtes. u() = ) u Eligiendo hor 0 () = v 0 () =e ) v() =e se tiene finlmente e d = e e d = e e e d = e e + e +C = ( + )e + C Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

16 . Integrción 4.6 L integrl definid El concepto de integrl definid está íntimmente relciondo con el problem de clculr áres de regiones plns, concretmente, con el de clculr el áre de l región del plno limitd por l gráfic de un curv, = f(), elejeox lsrectsverticles = = b (vése Figur.). =f() =f() b h b Figur.: Áre de l región pln limitd por l curv = f(), elejeox, lsrectsverticles = = b. Figur.: Se divide el intervlo [, b] en prtes igules de longitud h seconsiderlsumdelsáres de todos los rectángulos de bse h mostrdos en l Figur. Cundo h se hce mu pequeño, es decir, cundo h muchos rectángulos, dich sum proim el vlor del áre de l Figur.. Un mner de proimr dich áre es dividir el intervlo [, b] en un número de sub-intervlos (determindos por los puntos,,,...,mostrdosenlfigur.) delongitudh ltursrespectivs i = f( i ).El áre de uno de estos rectángulos es el producto de su bse (h) porsultur( i = f( i )). Intuitivmente se ve que l sum de ls áres de todos estos rectángulos será mejor proimción del áre de l Figur. cunto más pequeño se h o, lo que es lo mismo, cuntos más rectángulos se utilicen en l sum. =f() f( 4 ) f( ) h = 4 n b Figur.: El límite cundo n! de l sum de ls áres mostrds es el áre de l región mostrd en l Figur.. Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

17 . Integrción 44 Integrl definid L integrl definid de f en [, b] es, por definición, b f() d = lím n! h {f( )+f( )+ + f( n )} (Atención: como se verá luego, este vlor sólo coincide con el áre de l Figur. si f>0). Afortundmente, eiste un mner de clculr b f() d por un ví distint su definición, que está relciond con l integrl indefinid de f, esdecir,conelcálculodeunprimitivdef. Dehíquembos conceptos, prentemente tn distintos, comprtn el nombre de integrl. El resultdo que relcion mbos conceptos es el siguiente Teorem. Teorem (Regl de Brrow) Si f es un función continu en [, b] F es un primitiv culquier de f, entoncessetiene b f() d = F (b) F () Con frecuenci se escribe, de form brevid, [F ()] b en lugr de F (b) F () cundo se plic l Regl de Brrow. Pr plicr l Regl de Brrow se puede elegir culquier de ls primitivs de f, que, l restr, F (b)+c F () C, lconstnterbitrrisecncel.porelloseeligenormlmentelprimitivcorrespondiente l vlor C =0. Propieddes de l integrl definid b b b b (f() ± g()) d = kf() d = k f() d = f() d = c b f() d ± b b b f() d f() d + f() d b c g() d f() d, 8c (, b) Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

18 . Integrción 45 Ejemplo. 5 0 d Un primitiv de es,luegoplicndolregldebrrowsetiene 5 0 pple d = 5 0 = 5 0 = 5 Ejemplo. 0 sen d Un primitiv de sen es cos, luego 0 h sen d= i cos = cos( ) + cos 0 = ( ) + = 0 Ejemplo. ( ) d Un primitiv de ( ) es ln " ( ) d = ln # = ln (vése el Ejemplo.). Luego (ln ) = ln 4 + Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

19 . Integrción 46 Ejemplo t L función f(t) = 5t represent l tempertur en Sevill en un trde de gosto, 8 t hors después del mediodí, es decir, pr t [0, 0]. Clculr l tempertur medi en ese periodo. Se denomin vlor medio (o promedio) de un función f en un intervlo [, b] l vlor: f = b En este cso, l tempertur medi será, por tnto: = b f() d T med = 0 f(t) dt = t 5t dt = 0 ( t 5t ) dt pple 0 80 (680t + 5 5t t ) = 80 ( ) = 80 ( )= Áre de recintos plnos Como se h puntdo ntes, si f 0 en [, b],entoncesa = entre l gráfic de = f(), elejeox lsrectsverticles = = b. b f() d es el áre de l región pln encerrd Ejemplo.5 Clculr el áre delimitd por = el eje OX entre = = L función f() = es positiv en [, ], porlotntoelárebuscdcoincideconlintegrldefinid: A = d Un primitiv de es F () =ln. Porlotnto A = h i d = ln =ln ln = ln.0986 =/ A Si f<0 en [, b], comoenlfigur.4, entonces b f() d es un vlor negtivo que, lógicmente, no puede ser un áre (que es siempre mor o igul que cero). En este cso, el áre es el vlor bsoluto de l integrl Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

20 . Integrción 47 definid, A = b f() d = b f() d Si f cmbi de signo, comoenlfigur.5, entonces recinto limitdo por l curv el eje OX que qued por encim del eje OX, A curv el eje OX que qued por debjo del eje OX. b f() d = A + A, siendo A + el áre del el áre del recinto entre l Si lo que se dese es clculr el áre delimitd entre l gráfic el eje OX, esdecir,lsuma + + A (vése Figur.5), entonces h que clculr A = A + + A = c f() d b c f() d b A =f() A + c b =f() A Figur.4: Función negtiv en [, b]. Figur.5: Función que cmbi de signo en [, b]. Ejemplo.6 Clculr el áre delimitd por l gráfic de =ln L función f() =ln es negtiv en [/, ]. LuegoeláreseráA = Clculmos un primitiv integrndo por prtes, eligiendo (ln ) d = (ln ) (, el eje OX ls rects =/ = / (ln ) d. u() =ln ) u 0 () = v 0 () = ) v() = d = (ln ) + C = (ln ) + C ) Por lo tnto / (ln ) d = h i (ln ) = (ln ) ln.9 ) A =.9 ( ln es l función de l Figur.4 ) Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

21 . Integrción 48 Ejemplo.7 Clculr el áre de l región delimitd por l gráfic de =sen(), el eje OX ls rects =0. = L función sen() es mor o igul que cero en [0., /] menoroigulqueceroen[ /, ] (ver Figur.5). L región menciond se compone, pués, de dos regiones disjunts: un está situd por encim del eje OX l otr está por debjo. Por lo tnto h que clculr por seprdo ls áres A + A. Un primitiv de sen() es cos(). Luego, A + = A = / 0. pple sen() d = / sen() d = / cos() pple 0. cos() = / = h i / cos() = cos( ) 0. cos(6) En consecuenci, el áre totl encerrd entre l gráfic el eje OX es cos( ) A = A + + A =.9406 cos(0.4) =0.980 Ejemplo.8 Clculr el áre de l región encerrd entre l gráfic de l función = 8, el eje OX +4 ls rects verticles = = L función = 8 es positiv 8 R, porlotntolregióndescritestá,lcompleto,porencimdeleje +4 OX elárepedides: A = 8 d +4 Se comienz por clculr un primitiv: F (X) = d = 4 d = =4 + d = 4 rc tg d = d Ahor se utiliz l Fórmul de Brrow pr clculr el vlor de l integrl definid: 8 h i h i A = d = F () = 4 rc tg =4 rc tg +4 rc tg 4(0.466 ( 0.466)) =.7088 Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

22 . Integrción 49 Ejemplo.9 Clculr el áre de l región limitd por l curv = verticles = =. L función f() = ln() sólo está definid pr >0 sólosenul pr =,estoes,pr =/: ln() =0, ln() =0, =, = ln (), el eje de bsciss ls rects Está clro que, l derech de =/, lfunciónespositivque, su izquierd, l función es negtiv. Por lo tnto, puesto que el intervlo [/, ] contiene l punto =/, l región cu áre se pide clculr está en prte por debjo del eje OX enprteporencimdelmismo. En consecuenci, su áre es: / / A = / / ln() ln() d + d = A + A / Clculmos en primer lugr un primitiv de l función: ln() F () = d Est integrl indefinid se clcul fácilmente hciendo el cmbio de vrible: luego u =ln(), du = d ln() F () = d = udu= u = (ln()) Clculmos hor los vlores de ls dos integrles definids por seprdo: A = / / A = ln() / Luego, finlmente, d = ln() h i / F () = (ln()) / d = h i F () = (ln(6)) / (ln(/)) (ln()) = (ln(/)) = (ln(6)) A = A + A =) A.7 ( 0.4) (.8) =.4 = 0.6 =.6 = 0.08 Tmbién es posible clculr medinte integrles definids el áre de recintos encerrdos entre dos curvs. Si f() g() 8 [, b], entonceseláreencerrdentrembscurvslsrectsverticles = = b viene dd por: En efecto, se tiene (ver Figurs): A = b f() g() d b f() d = A + A A, b g() d = A A 4 A Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

23 . Integrción 50 =f() =f() =f() A b A A A b A A4 A b =g() =g() =g() Figur.6: Ls figurs muestrn geométricmente l iguldd A = b (f() g()) d luego b (f() g()) d = A + A A A A 4 A = A + A 4 = A Ejemplo.40 Clculr el áre de l región comprendid entre ls curvs = e = + Es csi imprescindible hcer un esbozo gráfico de ls funciones, los puntos de corte de l región cu áre h que clculr. = + = A b = es un prábol conve que ps por el origen por el punto (, 0). = +es un rect, que ps por los puntos (0, ) (, 0). Pr encontrr en qué puntos se cortn h que igulr mbs epresiones resolver l ecución: = +, =, = ± p Luego l áre clculr está entre = = p = b = p p p. En este intervlo, +, 8 [, ], porlotntoelárepedides = A = pple p p p p + pple p p + d = p pple d = ( p ) = p p + p p p = p 8 p Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

24 . Integrción 5 Ejemplo.4 Clculr el áre de l región encerrd por ls gráfics de ls prábols = = +8 7 = 7 +5=f() es un prábol conve. Sus puntos de corte con el eje OX son: g()= +8 7 = 7 +5=0, =5/ = +8 7=g() es un prábol cóncv. Sus puntos de corte con el eje OX son: f()= 7+5 5/ e +8 7=0, = =7 Puntos de corte de ls dos prábols: 7 +5= +8 7, 5 + = 0, En consecuenci, l áre que se pide será = =4 A = 4 (g() f()) d Clculmos un primitiv de g() f(): (g() f()) d = 5 + d = 5 +, luego: A = pple = pple ( ) 5 + = 8 = 7 Luego, finlmente, A = 7 Mtemátics Aplicds l Biologí - Grdo en Biologí R. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill