Índice. Versión: 10 de octubre de 2016

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1 Índice Versión: de octubre de 6. Integrción 48.. L integrl indefinid: cálculo de primitivs Integrles inmedits Cmbio de vrible Integrles de funciones rcionles Integrción por prtes L integrl definid Aplicciones de ls integrles Cálculo de áres Volumen de un sólido de revolución Cmbio cumuldo Vlor medio de un función en un intervlo Longitud de un rco de curv Áre de un superficie de revolución Nociones de integrción numéric

2 Tem Integrción Versión: de octubre de 6. L integrl indefinid: cálculo de primitivs L integrl indefinid ó cálculo de primitivs es, en cierto modo, un proceso inverso l de clculr l derivd de un función. Dd un función f( nos plntemos es f l derivd de lgun función? Y, si lo es, cómo podemos clculrl? Primitiv de un función Se f : (, b R un función. Si F : (, b R verific que F = f, se dice que F es un primitiv de f se escribe f( d = F ( Est definición llev implícito el hecho de que F es derivble en (, b. Ejemplo.. Se f( =,. Es obvio que F ( = es un primitiv de f, que F ( = = f(. Pero tmbién F ( = 9 es un primitiv de f.. Se f( =. Es obvio que F ( = verific F ( = = f( que, por lo tnto, F es un primitiv de f. Pero tmbién F ( = + es un primitiv de f. De hecho, culquier función de l form F ( = + C, con C R culquier, lo es.. Es obvio, simismo, que F ( = sen es un primitiv de f( = cos que, tmbién, culquier función de l form F ( = sen + C, con C R culquier, lo es. 48

3 . Integrción 49 Diferenci de dos primitivs Si F F son dos primitivs de l mism función, f, entonces su diferenci es un función constnte: F F = C Dicho de otro modo, si F es un primitiv de f, culquier otr primitiv es de l form F ( + C, siendo C R un constnte rbitrri: f( d = F ( + C, C R Ejemplo.. 4 d = + C. e 4 d = 4 e4 + C. e d = e + C 4. d = + C Ejemplo. d L función tiene l primitiv obvi ln, definid en (, +. Sin embrgo, veremos que tiene otr primitiv definid en el mismo dominio en que está definid. Se: f( = ln = { ln( si < ln( si > Est función es continu derivble en (, (, +, su derivd viene dd por: si < f ( = = (, (, + si > d = ln + C.. Integrles inmedits A prtir de l tbl de derivds de ls funciones elementles, sin más que consultrl en sentido inverso, podemos deducir cul es l primitiv de uns cunts funciones sencills, que se eponen en l tbl de integrles inmedits que se inclue más bjo. Tmbién figurn en l tbl ls integrles, considerds tmbién inmedits, que se resuelven utilizndo en sentido inverso l Regl de l Cden. Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

4 . Integrción 5 Funciones compuests Supongmos que F es un primitiv de f, es decir, que F ( = f(. Se h( = F (g(. Se tiene, por l Regl de l Cden, h ( = F (g( g ( = f(g( g ( luego f(g( g ( d = F (g( g ( d = h ( d = h( + C = F (g( + C Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

5 . Integrción 5 PROPIEDADES Si k R, k f( d = k f( d (f( ± g( d = f( d ± g( d Cmbio de vrible Integrción por prtes f(g( g ( d = [ t =g( dt=g ( d ] = f(t dt u( v ( d = u( v( v( u ( d TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Funciones elementles Funciones compuests Si α, α d = α + α+ + C Si α, g( α g ( d = α + g(α+ + C d = ln + C e d = e + C d = ln + C sen d = cos + C cos d = sen + C cos d = tg + C sen d = ctg + C d = rc tg + C + d = rc sen + C g( g ( d = ln g( + C e g( g ( d = e g( + C g( g ( d = ln g( + C sen(g( g ( d = cos(g( + C cos(g( g ( d = sen(g( + C cos (g( g ( d = tg(g( + C sen (g( g ( d = ctg(g( + C + g( g ( d = rc tg(g( + C g( g ( d = rc sen(g( + C Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

6 . Integrción 5 Ejemplo ( d Se trt de un sum de integrles inmedits, que cd sumndo es un potenci de : ( + 4 d = d d + 4 d = C Ejemplo.5 d Desrrollndo l frcción, se convierte en un sum de potencis de : ( ( d = d = 5/ d = d 5/ d = ln C = ln / / + C = ln + + C Ejemplo (.6 e d ( e ( d = e / d = e d + d + 4 5/ d El segundo tercer sumndo son integrles de potencis de. En l primer integrl, multiplicndo dividiendo por se tiene l derivd de e : e d = e d = e d = e Luego se tiene ( e d = e + ( = e + 4 / + C = e C + C Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

7 . Integrción 5 Ejemplo.7 sen cos d Se observ que cos es l derivd de sen que se trt de un integrl del tipo g( = sen(, pr l cul se tiene g( g ( d = g( + C g( α g ( d pr α = En consecuenci, sen cos d = sen + C Ejemplo d Se observ que l derivd del rdicndo + 5 es que si en l integrl multiplicmos dividimos por tenemos: + 5 d = + 5 d = + 5 d Es decir, pr g( = + 5, tenemos: g( / g ( d = + g( + + C = Luego, finlmente + 5 d = g(/ + C ( + 5 / + C = ( C Ejemplo.9 d Observndo que l derivd de es se ve que tenemos un integrl del tipo g( g ( d = ln g( + C luego d = ln + C.. Cmbio de vrible En muchs ocsiones, pr clculr integrles suele ser útil utilizr l técnic del cmbio de vrible. Est técnic consiste en elegir como nuev vrible un ciert función de l ctul sustituirl en l integrl, buscndo, nturlmente, encontrr sí un integrl más fácil de clculr. Pr ello, conviene conocer un notción diferente pr l derivd de un función: Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

8 . Integrción 54 Observción: notción de l derivd Se = f(. Tods ls notciones siguientes representn l derivd de f: = d d = f ( = df df( ( = d d = d d f( d se lee «diferencil de» d se lee «diferencil de». d se lee «derivd de con respecto de». d df df( ( = d d = d f( se leen «derivd de f con respecto de cobrn pleno sentido cundo se trt d con funciones que dependen de más de un vrible, en cuo cso es necesrio especificr respecto de qué vrible se está derivndo. Cmbio de vrible Si llmmos t = g(, con l notción dt d = g (, trtndo d dt como si fuern culesquier vribles, se puede escribir dt = g ( d. Entonces se tiene, sustituendo en l integrl g( por t g (d por dt: f(g( g ( d = f(t dt Luego, si F es un primitiv de f, se tendrá f(t dt = F (t + C, por lo tnto f(g( g ( d = f(t dt = F (t + C = F (g( + C Ejemplo. + d Eligiendo t = + se tiene dt = d o lo que es lo mismo dt = d, luego + d = + d = t dt = ln t + C = ln t / + C = ln t + C = ln + + C Ejemplo. ( d Eligiendo t = se tiene dt = d, luego ( d = t dt = t dt = t + C = t + C = + C Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

9 . Integrción 55 Ejemplo. ( + 4 d Eligiendo t = + se tiene dt = d, luego ( + 4 d = t 4 dt = t 4 dt = t + C = t + C = ( + + C Ejemplo. ( + d Eligiendo t = + se tiene dt = d, o bien dt = d, luego ( + d = t dt = t dt = t + C = + + C Ejemplo.4 + d Eligiendo t = + se tiene dt = d, de donde dt = d, luego + d = t dt = t dt = t dt = ln t + C = ln t / + C = ln t + C = ln + + C = ln + + C L últim iguldd se debe l hecho de que, puesto que + es siempre positivo, el vlor bsoluto en + es superfluo. Ejemplo d Eligiendo t = 5 + se tiene dt = d, o lo que es lo mismo, 5 + d = 5 ( d = + t dt = t dt = dt = d, luego ln t + C = ln(5 + + C Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

10 . Integrción 56 Ejemplo.6 + d Este tipo de integrles se resuelven trnsformándols en t, que es l derivd de un rco tngente. Pr + ello, en primer lugr se dividen numerdor denomindor por, pr tener en el denomindor «lgo»+: + d = / d = d + + hor se hce el cmbio = t, es decir, t =, por tnto dt = d, de donde d = dt. Sustituendo en l integrl se tiene d = + t + dt = t + dt = rc tg t + C = rc tg ( + C Cuál es el cmbio conveniente pr clculr un integrl concret suele ser un cuestión rdu pr los que se inicin en integrción. Con un poco de práctic se prende identificr un buen número de csos dr con el cmbio decudo. En culquier libro de cálculo se pueden encontrr «recets» pr distintos de tipos de integrles. Un regl sencill que funcion en muchs ocsiones es: hcer el cmbio que elimine «lo que más molest». Los siguientes ejemplos ilustrn est regl. Ejemplo.7 d + En est integrl «lo que más molest» es, clrmente, l riz cúbic del denomindor. Por ello es lógico intentr un cmbio que hg que desprezc, como por ejemplo rdicndo = (nuev vrible. Lo cul, en este cso, es + = t, de donde d = t dt = t. Sustituendo result d = + = 8 d = + ( t t t dt = (t 4 t t dt = ( t t dt 4t (t (t t dt = 6 + t t dt = (t 7 + t t 4 dt = ( t t t5 + C 5 Ahor es necesrio deshcer el cmbio de vrible, es decir, sustituir t = + d = ( 8 ( ( C Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

11 . Integrción 57 Ejemplo.8 d En este cso interes un cmbio que elimine ls dos ríces. Se puede conseguir cmbindo por un potenci que se múltiplo de los índices de mbs ríces, en este cso el mínimo común múltiplo de, que es 6. Por tnto, se hce el cmbio = t 6, de donde d = 6t 5 dt. Sustituendo result d = t 6 t 6t 5 6/ t dt = 6t 5 dt = t 6 t 6/ t 6t 5 dt = ( t 6t dt = (6t 6t 6 dt = 6 4 t4 6 7 t7 + C Ahor h que deshcer el cmbio de vrible, sustituendo t = 6 d = 6 4 ( ( C = C = C Ejemplo.9 ln d Puede que interese hcer un cmbio que elimine l riz cúbic. El decudo es ln = t, de donde d = t dt (t = ln pr deshcer el cmbio. Sustituendo result ln d = ln d = (El cmbio t = ln tmbién servirí. t t dt = t dt = 4 t4 + C = 4 ( ln 4 + C = 4 (ln 4/ + C Más delnte se presentn lguno ejemplos más de cmbio de vrible. Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

12 . Integrción 58.. Integrles de funciones rcionles Se trt de integrles del tipo p( q( d siendo p q dos polinomios. En el cso en que grdo(p grdo(q, lo primero que h que hcer es dividir mbos polinomios, pr obtener p( r( = c( + q( q( (c( es el polinomio cociente r( es el polinomio resto de l división. Entonces se tendrá ( p( q( d = c( + r( r( d = c( d + q( q( d Luego bst con sber cómo resolver integrles del tipo sumndo es sólo l integrl de un polinomio. p( q( d con grdo(p < grdo(q, que el otro Reducción frcciones simples p( Pr resolver integrles d con grdo(p < grdo(q: q(. Se fctoriz el denomindor, es decir, se epres como producto de polinomios irreducibles.. Se escribe p( como un sum de frcciones simples, es decir, de frcciones sencills de un de ls q( dos forms siguientes A A + B ( + b n ( + b + c n n cus integrles se clculn como se muestr en los Ejercicios (. (.4, ecepto en el cso A + B ( + b + c n con n >, que no se consider en ests nots. Se vn ver, sobre diversos ejemplos, los distintos csos que pueden drse en l descomposición en sum de frcciones simples. Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

13 . Integrción 59 Ejemplo. Cso en que q( tiene sólo ríces simples: d. El polinomio tiene ls ríces = =, luego d = ( d. L descomposición en sum de frcciones simples, en este cso será de l form: ( = A + B Se trt, pues, de encontrr A B pr que est iguldd se ciert.. Pr encontrr A B, se multiplicn mbos miembros por (, con lo que qued = A( + B hor se dn vlores, pr encontrr condiciones sobre A B: { = = A = = B Así pues ( = + 4. Por último se tiene, pr l integrl: d = d + = ln + ln + C = ln + C Ejemplo. 7 Cso en que q( tiene sólo ríces simples: d El polinomio tiene ls ríces = =, luego l descomposición en sum de frcciones simples, en este cso será de l form: 7 ( + ( = A + + B Multiplicndo mbos miembros por ( + (, qued 7 = A( + B( +. Ahor se dn vlores, pr encontrr condiciones sobre A B: { = 4 = B B = = = A A = 5 Así pues 7 ( + ( d = 5 + d + = 5 ln + + ln + C Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

14 . Integrción 6 Ejemplo. Cso en que q( tiene lgun ríz doble: ( d El denomindor está fctorizdo. L descomposición en sum de frcciones simples en este cso será de l form: ( = A + B + C ( Multiplicndo mbos miembros por (, qued = A( + B( + C. Ahor se dn vlores, pr encontrr condiciones sobre A, B C: = = A = = C = = A + B + C = + B + 6 B = Así pues ( d = d + ( ( = ln ln + C = ( = ln + C Ejemplo. Cso en que q( tiene lgun ríz doble: ( + d El denomindor está fctorizdo: tiene l ríz doble =. L descomposición en sum de frcciones simples en este cso será de l form: ( + = A + + B ( + Multiplicndo mbos miembros por ( +, qued = A( + + B. Ahor se dn vlores, pr encontrr condiciones sobre A B: { = = B = = A + B = A A = Así pues ( + d = + d ( + d = = ln C + d + ( + d Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

15 . Integrción 6 Ejemplo.4 Cso en que q( tiene un fctor irreducible cudrático: ( + d El denomindor está fctorizdo: el polinomio + no se puede fctorizr que no tiene ríces reles. L descomposición en sum de frcciones simples en este cso será de l form: ( + = A + B + C + Multiplicndo mbos miembros por ( +, qued = A( ++(B+C = A( ++B +C. Ahor se dn vlores, pr encontrr condiciones sobre A, B C: = = A = = A + B + C = + B + C B + C = = = A + B C = + B C B C = De ls dos últims ecuciones se obtiene, resolviendo el sistem, B = C =. Así pues + ( + d = d + + d = d + + d + + d = = ln + ln rc tg + C = ln + rc tg + C Ejemplo.5 Clculr l siguiente integrl indefinid: sen(t cos(t ( + sen(t dt Est integrl no es, obvimente, de tipo rcionl. Sin embrgo en un inspección tent se observ que prece el fctor sen(t, potencis del mismo (+sen(t, su derivd cos(t. Esto sugiere hcer el cmbio de vrible u = sen(t que, como se ve continución, trnsform l integrl en un rcionl: [ ] sen(t cos(t u = sen(t ( + sen(t dt = = du = cos(t dt u (* du = ( + u ln + u + + u + C = ln + sen(t + + sen(t + C ( + u + ( + u dt = (* Reducción sum de frcciones simples: u ( + u = A + u + B u = A( + u + B ( + u { u = = B u = = A A = es decir, u ( + u = + u + ( + u Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

16 . Integrción 6..4 Integrción por prtes Es un de ls regls de integrción más útiles. Está bsd en l fórmul de derivción de un producto de dos funciones: h( = u( v( h ( = u ( v( + u( v ( De est iguldd se tiene: u( v ( = h ( u ( v( de quí, integrndo en mbos miembros: u( v ( d = h ( d u ( v( d = h( u ( v( d = u( v( u ( v( d Fórmul de integrción por prtes u( v ( d = u( v( u ( v( d Con frecuenci est fórmul se escribe en l form: u dv = u v v du que signific ectmente lo mismo. Ejemplo.6 e d { u( = u Eligiendo ( = v ( = e v( = e e d = e } se tiene e d = e e + C = e ( + C Ejemplo.7 ln d Eligiendo u( = ln u ( = v ( = v( = se tiene ln d = ln d = ln d = ln 4 + C = ( ln + C Ejemplo.8 rc tg d Eligiendo { u( = rc tg u ( = + v ( = v( = rc tg d = rc tg } + d = rc tg se tiene + d = rc tg ln( + + C Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

17 . Integrción 6 Ejemplo.9 cos d { u( = u Eligiendo ( = v ( = cos v( = sen } cos d = sen se tiene sen d = sen + cos + C Ejemplo. e d { } u( = u Eligiendo ( = v ( = e v( = e se tiene e d = e e d. Pr resolver l integrl e d h que utilizr de nuevo l fórmul de integrción por prtes. { } u( = u Eligiendo hor ( = v ( = e v( = e se tiene finlmente e d = e ( e d = e e e d = e e + e +C = ( + e + C Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

18 . Integrción 64. L integrl definid El concepto de integrl definid está íntimmente relciondo con el problem de clculr áres de regiones plns, concretmente, con el de clculr el áre de l región del plno limitd por l gráfic de un curv, = f(, el eje OX ls rects verticles = = b (vése Figur.. =f( b Figur.: Región pln limitd por l curv = f(, el eje OX, ls rects verticles = = b. Un mner de proimr dich áre es dividir el intervlo [, b] en un número de sub-intervlos (determindos por los puntos,,,..., mostrdos en l Figur. de longitud h lturs respectivs i = f( i. El áre de uno de estos rectángulos es el producto de su bse (h por su ltur ( i = f( i. Intuitivmente se ve que l sum de ls áres de todos estos rectángulos será mejor proimción del áre de l Figur. cunto más pequeño se h o, lo que es lo mismo, cuntos más rectángulos se utilicen en l sum. =f( =f( f( 4 f( h b h = 4 n b Figur.: Se divide el intervlo [, b] en prtes igules de longitud h se consider l sum de ls áres de todos los rectángulos de bse h mostrdos en l Figur. Cundo h se hce mu pequeño, es decir, cundo h muchos rectángulos, dich sum proim el vlor del áre de l Figur.. Figur.: El límite cundo n de l sum de ls áres mostrds es el áre de l región mostrd en l Figur.. Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

19 . Integrción 65 Integrl definid L integrl definid de f en [, b] es, por definición, b f( d = lím n h {f( + f( + + f( n } (Atención: como se verá luego, este vlor sólo coincide con el áre de l Figur. si f >. Afortundmente, eiste un mner de clculr b f( d por un ví distint su definición, que está relciond con l integrl indefinid de f, es decir, con el cálculo de un primitiv de f. De hí que mbos conceptos, prentemente tn distintos, comprtn el nombre de integrl. El resultdo que relcion mbos conceptos es el siguiente Teorem. Teorem (Regl de Brrow Si f es un función continu en [, b] F es un primitiv culquier de f, entonces se tiene b f( d = F (b F ( Con frecuenci se escribe, de form brevid, [F (] b en lugr de F (b F ( cundo se plic l Regl de Brrow. Pr plicr l Regl de Brrow se puede elegir culquier de ls primitivs de f, que, l restr, F (b + C F ( C, l constnte rbitrri se cncel. Por ello se elige normlmente l primitiv correspondiente l vlor C =. Propieddes de l integrl definid b b b b (f( ± g( d = kf( d = k f( d = c f( d = b f( d ± b b b f( d f( d + f( d b c g( d f( d, c (, b 5 Ejemplo. d Un primitiv de es, luego plicndo l Regl de Brrow se tiene 5 [ ] 5 d = = 5 = 5 Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

20 . Integrción 66 π Ejemplo. sen d Un primitiv de sen es cos, luego π sen d = [ ] π cos = cos(π + cos = ( + = Ejemplo. ( d Un primitiv de ( es ln [ ( d = ln ] = (vése el Ejemplo.. Luego ( ln (ln = ln 4 + Ejemplo t 5t L función f(t = represent l tempertur en Sevill en un trde de gosto, 8 t hors después del mediodí, es decir, pr t [, ]. Clculr l tempertur medi en ese periodo. Se denomin vlor medio (o promedio de un función f en un intervlo [, b] l vlor: f = b En este cso, l tempertur medi será, por tnto: T med = f(t dt = [ = 8 (68t + 5t 5 ] t b f( d 68 + t 5t 8 = 8 ( dt = 8 (68 + t 5t dt 5 = ( = Aplicciones de ls integrles.. Cálculo de áres Como se h puntdo ntes, si f en [, b], entonces A = entre l gráfic de = f(, el eje OX ls rects verticles = = b. b f( d es el áre de l región pln encerrd Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

21 . Integrción 67 Ejemplo.5 Clculr el áre delimitd por = el eje OX entre = = L función f( = es positiv en [, ], por lo tnto el áre buscd coincide con l integrl definid: A = d Un primitiv de es F ( = ln. Por lo tnto A = [ ] d = ln = ln ln = ln.986 =/ A Si f < en [, b], como en l Figur.4, entonces b f( d es un vlor negtivo que, lógicmente, no puede ser un áre (que es siempre mor o igul que cero. En este cso, el áre es el vlor bsoluto de l integrl definid, b b A = f( d = f( d Si f cmbi de signo, como en l Figur.5, entonces b f( d = A + A, siendo A + el áre del recinto limitdo por l curv el eje OX que qued por encim del eje OX, A el áre del recinto entre l curv el eje OX que qued por debjo del eje OX. Si lo que se dese es clculr el áre delimitd entre l gráfic el eje OX, es decir, l sum A + + A (vése Figur.5, entonces h que clculr A = A + + A = c f( d b c f( d Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

22 . Integrción 68 b A =f( A + c b =f( A Figur.4: Función negtiv en [, b]. Figur.5: Función que cmbi de signo en [, b]. Ejemplo.6 Clculr el áre delimitd por l gráfic de = ln, el eje OX ls rects = / = π π L función f( = ln es negtiv en [/, π]. Luego el áre será A = (ln d /. { u( = ln u Clculmos un primitiv integrndo por prtes, eligiendo ( = } v ( = v( = Por lo tnto π / (ln d = (ln (ln d = ( ln es l función de l Figur.5 d = (ln + C = (ln + C [ ] π ( ( (ln = π(ln π (ln.9 A =.9 Ejemplo.7 Clculr el áre de ls región delimitd por l gráfic de = sen(, el eje OX ls rects =. = L función sen( es mor o igul que cero en [., π/] menor o igul que cero en [π/, ] (ver Figur.5. L región menciond se compone, pués, de dos regiones disjunts: un está situd por encim del eje OX l otr está por debjo. Por lo tnto h que clculr por seprdo ls áres A + A. Un primitiv de sen( es cos(. Luego, A + = π/. A = [ sen( d = ] π/ cos( =. [ sen( d = ] cos( = π/ π/ En consecuenci, el áre totl encerrd entre l gráfic el eje OX es A = A + + A =.946 [ ] π/ cos( = ( cos(π cos( ( cos(6 cos(π.98 =.98 Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

23 . Integrción 69 Ejemplo.8 Clculr el áre de l región encerrd entre l gráfic de l función = 8, el eje OX + 4 ls rects verticles = = L función = 8 es positiv R, por lo tnto l región descrit está, l completo, por encim del eje + 4 OX el áre pedid es: A = ( 8 d + 4 Se comienz por clculr un primitiv: F (X = d = 4 d = = 4 ( + d = 4 rc tg ( d = 4 + ( + d Ahor se utiliz l Fórmul de Brrow pr clculr el vlor de l integrl definid: A = ( 8 [ ] [ ( ] ( d = F ( = 4 rc tg = 4 rc tg + 4 4(.466 (.466 =.788 ( rc tg ( Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

24 . Integrción 7 Ejemplo.9 Clculr el áre de l región limitd por l curv = verticles = =. L función f( = ln( sólo está definid pr > sólo se nul pr =, esto es, pr = /: ln( = ln( = = = ln (, el eje de bsciss ls rects Está clro que, l derech de = /, l función es positiv que, su izquierd, l función es negtiv. Por lo tnto, puesto que el intervlo [/, ] contiene l punto = /, l región cu áre se pide clculr está en prte por debjo del eje OX en prte por encim del mismo. En consecuenci, su áre es: / / A = A + A = / / ln( Clculmos en primer lugr un primitiv de l función: ln( F ( = d ln( d + d / Est integrl indefinid se clcul fácilmente hciendo el cmbio de vrible: luego u = ln( du = d ln( F ( = d = u du = u = (ln( Clculmos hor los vlores de ls dos integrles definids por seprdo: A = / / A = ln( / Luego, finlmente, d = ln( d = [ ] / F ( = (ln( + (ln(/ = (ln(/ (.4 =.6 =.8 / [ ] F ( = (ln(6 (ln( = (ln(6 (.8 =.4 =.6 / A = A + A = A.7 Tmbién es posible clculr medinte integrles definids el áre de recintos encerrdos entre dos curvs. Si f( g( [, b], entonces el áre encerrd entre mbs curvs ls rects verticles = = b viene dd por: b ( A = f( g( d En efecto, se tiene (ver Figurs: b f( d = A + A A, b g( d = A A 4 A Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

25 . Integrción 7 =f( =f( =f( A b A A A b A A4 A b =g( =g( =g( Figur.6: Ls figurs muestrn geométricmente l iguldd A = b (f( g( d luego b (f( g( d = (A + A A (A A 4 A = A + A 4 = A Ejemplo.4 Clculr el áre de l región comprendid entre ls curvs = e = + Es csi imprescindible hcer un esbozo gráfico de ls funciones, los puntos de corte de l región cu áre h que clculr. = + = A b = es un prábol conve que ps por el origen por el punto (,. = + es un rect, que ps por los puntos (, (,. Pr encontrr en qué puntos se cortn h que igulr mbs epresiones resolver l ecución: = + = = ± Luego l áre clculr está entre = = = b =. En este intervlo, +, [, ], por lo tnto el áre pedid es = A = ( ( + + d = d = [ ] [ ] [ ] ( = + = 8 Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

26 . Integrción 7 Ejemplo.4 Clculr el áre de l región encerrd por ls gráfics de ls prábols = e = = = f( es un prábol conve. Sus puntos de corte con el eje OX son: g(= { +8 7 = = = 5/ = = g( es un prábol cóncv. Sus puntos de corte con el eje OX son: f(= 7+5 5/ = { = = 7 Puntos de corte de ls dos prábols: = = En consecuenci, l áre que se pide será { = = 4 A = 4 (g( f( d Clculmos un primitiv de g( f(: ( (g( f( d = 5 + ( d = 5 +, luego: A = Luego, finlmente, [ 5 ] 4 [ ( + = ( ] ( + = 8 = 7 A = 7.. Volumen de un sólido de revolución Un figur que se gener por l rotción de un región pln lrededor de un eje se llm sólido de revolución. L rotción de un curv pln gener un superficie. Est superficie junto con su interior es un sólido de revolución. Por ejemplo, l superficie de un cilindro puede ser obtenid por l rotción de un segmento prlelo l eje, l de un cono, por l rotción de su genertriz lrededor del eje o l de un esfer por l rotción de un semicircunferenci en torno l diámetro. Queremos obtener el volumen de dichs figurs. Por comodidd considermos que el eje de rotción coincide con el eje X. Se pretende obtener el volumen de un figur generd por l rotción de un curv, = f(, en torno l eje X, entre ls rects = = b. Pr ello, se divide el intervlo [, b] en prtes igules de longitud. Aproimmos l figur por N discos (cilindros de nchur rdio f( k. Recordndo que el volumen de un cilindro se obtiene de multiplicr π por el rdio l cudrdo por l ltur del cilindro, el volumen de cd uno de estos discos es πf( k. Sumndo pr los N discos, el volumen proimdo serí V N πf( k. k= Cunto mor se el número de discos que considermos, mejor será l proimción. A continución, tommos Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

27 . Integrción 7 Figur.7: Esfer proimd por discos. Figur.8: Figur generd por l rotción de l curv = Figur.9: Prtición del intervlo [, b]. Figur.: Sólido de revolución correspondiente l función de l Figur.8. límite cundo N + en l epresión nterior, entonces V tenderá l volumen buscdo, tenderá d el sumtorio se convierte en integrl, sí obtenemos N X k= N + Z πf (k π b f ( d. Un rzonmiento nálogo se puede hcer pr obtener el volumen de un figur obtenid por l rotción en torno l eje Y. Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

28 . Integrción 74 Volumen de un superficie de revolución El volumen del sólido generdo por l rotción de l región determind por el rco de curv = f(, ls rects = = b el eje X en torno dicho eje viene ddo por V = π b f( d. El volumen del sólido generdo por l rotción de l región determind por el rco de curv = f(, ls rects = e = b el eje Y en torno dicho eje viene ddo por V = π b f( d. Ejemplo.4 Encontrr el volumen del sólido formdo l girr l región cotd por l gráfic de f( = de l figur.8, en torno l eje X, pr 5. V = π b f( d = π 5 ( d = π 5 [ ( d = π ] 5 = 8π. Ejemplo.4 Obtener el volumen de un cono de rdio r = ltur h = 4. Vmos considerr el cono generdo por l rotción del segmento que une los puntos A(, B(, 4 en torno l eje Y. L rect que ps por dichos puntos, considerndo como función de, es = +, por tnto 4 V = π b f( d = π = π = π 4 4 ( 4 + d ( d [ ] = π... Cmbio cumuldo En muchs situciones, es más fácil determinr ls vriciones de un cntidd que determinr su vlor en un instnte de tiempo determindo. Por ejemplo, l poblción de un pís es difícil de evlur directmente. Aunque eisten los censos, éstos se relizn sólo de trde en trde los ciuddnos, en generl, no se ocupn de ctulizrlo. Sin embrgo, en l morí de los píses es obligtorio registrr los ncimientos los fllecimientos, es decir, ls vriciones de l poblción. Supongmos que l figur siguiente muestr los resultdos de un recuento dirio del número de nuevos csos durnte un brote de fiebre ftos: cd brr represent un dí l ltur de l brr indic el número de csos dignosticdos dicho dí. Pr obtener el número de infectdos dís (por ejemplo después del comienzo del brote, hbrí que sumr el número de infectdos de los dís,,,... hst : = 9 Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

29 . Integrción Número de csos dignosticdos Tiempo trscurrido (dís Figur.: Número de nuevos csos dignosticdos cd dí durnte un brote de fiebre ftos. 7 6 Número de csos dignosticdos Tiempo trscurrido (dís Figur.: Modelo mtemático pr predecir el número de infectdos cd dí medinte un función continu. Supongmos hor que en vez de disponer de un conjunto discreto de dtos sobre el número de infectdos por dí, hemos desrrolldo un modelo mtemático que utiliz un función continu D(t pr predecir el número de nuevos csos dignosticdos (ver Figur.. Cómo clculr, en este cso, el número cumuldo N de infectdos durnte los diez primeros dís? L respuest est pregunt es: integrndo l función D(t entre t = t = : N = D(t dt (recuérdese l definición de l integrl definid como límite de un sum de áres de rectángulos de nchur cd vez más pequeñ. Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

30 . Integrción 76 Ejemplo.44 Un poblción de insectos, que es inicilmente de individuos, crece un ts de q(t = t + t donde t es el tiempo en dís. Determinr el tmño de l poblción: ( psdo un dí; (b psdos diez dís. Si denotmos p(t l función que nos d el número de insectos en cd instnte t (que es lo que queremos determinr, l función q(t nos d l vrición instntáne de dich función, es decir, q(t es l derivd de p(t. Por lo tnto, p(t = q(t dt = (t + t dt = t + t + C pr lgun C R constnte. L constnte C se podrá determinr prtir del dto inicil: en t = l poblción est compuest por individuos: = p( = + + C C = Así pues, l función p(t, que nos d el número de insectos en cd instnte t es Psdo un dí, el número de insectos será: p(t = t + t + p( = + + = Psdos dís será de p( = + + = Ejemplo.45 El áre de un herid en curción, medid en cm, cmbi un ts de Q(t = 4 (t + siendo t el tiempo medido en dís. Suponiendo que el áre inicil de l herid er de cm, clculr l superficie l cbo de dís. Se A(t l superficie de l herid en el instnte t. L función Q(t nos dice cómo cmbi l superficie de l herid, es decir, nos d l ts de vrición instntáne de l función A(t: A (t = Q(t = 4 (t + Integrndo quí tendremos 4 A(t = (t + dt = 4(t + dt = 4 (t + + C = (t + + C Determinmos el vlor de C prtir del dto inicil: = A( = Al cbo de dís l superficie de l herid será: A( = ( + + C C =. Luego A(t = (t + ( + = =.65 cm Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

31 . Integrción 77 Obsérvese que en este último ejemplo, podímos hber escrito A( = A( + Q(t dt (. es decir: A( es igul l áre inicil, A(, más el cmbio cumuldo de A(t entre t = t =. Esto no es más que un form diferente de escribir l Regl de Brrow: A( A( = Q(t dt Si, en vez de escribir l fórmul nterior pr el vlor prticulr l escribimos pr un tiempo t culquier, obtenemos A(t = A( + t Q(s ds (. que se conoce como Teorem Fundmentl del Cálculo. En l integrl definid utilizmos l vrible s pr indicr l vrible con respecto l cul se integr pr distinguirl de l vrible t. Lo mismo es cierto pr un límite inferior distinto de. Teorem Fundmentl del Cálculo Si f es un función continu en [, b] F es un primitiv culquier de f, entonces se tiene F ( = F ( + f(s ds [, b]..4 Vlor medio de un función en un intervlo Volviendo l ejemplo de l fiebre ftos, con los dtos de l Figur., supongmos que queremos clculr el promedio de nuevos csos dignosticdos durnte los primeros dís: hbrí que sumr el número de csos durnte los dís,,... hst dividir por el número de dís: Promedio de csos en los primeros dís = = 9 =.9 csos. Entonces, si lo que tenemos es un función continu D(t (Figur., lo que hbrá que hcer es integrr entre dividir por l longitud del intervlo de integrción: D = D(t dt = D(t dt Vlor medio de un función en un intervlo Si f es un función continu en [, b], el vlor medio o promedio de f en un intervlo (, b es f = b b f( d Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

32 . Integrción 78 Ejemplo.46 El tiempo de supervivenci de náufrgos en gu depende de l tempertur del gu viene ddo (proimdmente por. t(t = hors..4 T donde l vrible independiente T es l tempertur de l superficie del gu (grdos Celsius. Determinr el tiempo medio de supervivenci en gus temperturs entre C 5 C. Lo que tenemos que clculr es el vlor promedio de t pr T vrindo entre 5: t = T dt = T dt =..4. [ dt = ln ] 5..4T T. [ ln ]..4 5 ln hors. Obsérvese que de l definición del vlor medio se deduce que f es el vlor que hce que f (b = b f( d es decir, es el vlor que hce que el áre encerrd entre l gráfic de l función el eje OX se igul l áre del rectángulo de bse el intervlo [, b] ltur f. Figur.: El vlor medio de un función es el que hce que el áre entre l curv el eje OX coincid con l áre del rectángulo de bse [, b] ltur dicho vlor medio. Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

33 . Integrción Longitud de un rco de curv Un rco es l prte de un curv que está entre dos puntos ddos A B. Estmos quí interesdos en clculr su longitud. =f( B =f( B A A b Figur.4: Un rco es un trozo de curv, comprendido entre dos puntos A B. Figur.5: Pr clculr l longitud del rco de curv, se proim éste medinte un conctención de segmentos rectos. L sum de sus longitudes proim l longitud del rco. Pr ello, comenzmos proimndo l curv medinte un sucesión de segmentos rectos, como en l Figur.5 sumndo sus longitudes. Luego veremos cuál es el límite de es sum cundo los segmentos se hcen cd vez más pequeños. En cd uno de los pequeños triángulos que se ven en l Figur.5 se puede plicr el Teorem de Pitágors pr determinr l longitud de l hipotenus, se tiene s = ( + ( = ( ( + ( ( = + ( =f( B s k s k A k Figur.6: En cd triángulo se tiene ( s k = ( k + ( k. Sumndo s pr todos los segmentos se obtendrí un proimción de l longitud del rco. Cunto mor se el número de segmentos con que proimmos el rco de curv, mejor será l proimción que se obtiene sumndo sus longitudes. Finlmente, l tomr límite cundo el número de subintervlos tiende infinito, es decir, cundo l longitud de los tiende cero, se tendrá que los incrementos (, s se convierten en diferenciles (d, ds, el cociente se convierte en l derivd f (, l sum se convierte en l integrl: N N s k = + k= k= ( N b + f ( d Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

34 . Integrción 8 Longitud de un rco de curv L longitud del rco de l curv = f( comprendido entre los puntos = = b viene dd por: L = b + f ( d Ejemplo.47 Hllr l longitud del rco de l curv = / = = comprendido entre los puntos de bsciss 6 Clculmos l derivd de l función f( = / : f ( = / = / Según l fórmul nterior, l longitud del rco de curv menciondo es: L = = 9 b + f ( d = 9 ( + 9 / d = 9 + ( / d = + 9 d [ / ( + 9/] = [ ] ( + 8 / No tods ls curvs pueden ser descrits medinte un relción del tipo = f(. En muchs ocsiones, vienen descrits por ecuciones prmétrics: { = f(t pr t [, b] = g(t L vrible t es llmd prámetro, pr cd vlor de t en el intervlo [, b] se obtiene un vlor de un vlor de, que son ls coordends de un punto de l curv. Cundo el prámetro t recorre el intervlo [, b], el punto (, recorre l curv. Longitud de un rco de curv descrit medinte ecuciones prmétrics { = f(t L longitud del rco de l curv definid por ls ecuciones prmétrics = g(t puntos correspondientes t = t t = t b viene dd por: comprendido entre los L = tb t f (t + g (t dt Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

35 . Integrción 8 t=pi: (f(π,g(π t=: (f(,g( t=: (f(,g( Figur.7: Curv definid por ls ecuciones prmétrics = f(t = t sen(t, = g(t = 4 cos(t, pr t [, ]. Ejemplo.48 L cicloide es l curv trzd por un punto fijo sobre un circunferenci cundo ést rued sobre un líne rect. Ls ecuciones prmétrics de un cicloide, pr un circunferenci de rdio son: { = t sen t = cos(t Clculr l longitud de un rco de cicloide correspondiente un vuelt complet de l circunferenci, es decir, pr t [, π]. Clculmos ls derivds de ls funciones: { = f(t = t sen t; f (t = cos(t = g(t = cos(t; g (t = sen(t Según l fórmul nterior, l longitud del rco de curv menciondo es: L = π π π f (t + g (t dt = ( cos(t + (sen(t dt = + cos (t cos(t + sen (t dt ( = π = 4 cos(t π cos(t dt = [ = 4 cos π ] cos = 4( = 8 π π cos(t dt = ( cos(t dt dt ( = π ( t sen dt = 4 [ cos ( t ] π (* Recuérdese que sen + cos = (** Se utiliz l identidd trigonométric sen = cos Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

36 . Integrción 8..6 Áre de un superficie de revolución Pr obtener el áre de l superficie generd por l rotción de un curv, = f(, en torno l eje X, entre ls rects = = b, se divide el intervlo [, b] en prtes igules de longitud, proimmos l curv por un sucesión de segmentos rectos, s k, obsérvese l figur.6, hcemos girr ese conjunto de segmentos en torno l eje X. Cd s k gener un tronco de cono. Figur.8: Tronco de cono Figur.9: Giro de s k en torno l eje X El áre lterl de un tronco de cono de rdios r r genertriz L es S = πrl, donde r = r + r. En nuestro cso l medid de l genertriz, como vimos en l subsección..5, es s k = ( k ( k + ( k = k + k pr cd k los rdios son f( k f( k+. Por el teorem del vlor medio, eiste un d k en cd intervlo de mplitud k tl que l medi de los rdios es r k = f(d k. Por tnto, l superficie pr cd tronco de cono es ( k S k = πf(d k + k. k Sumndo pr todos ellos, obtendremos un proimción del áre buscd, S, N ( k S πf(d k + k. k k= Tomndo límite cundo k obtenemos S, S = π b f( + (f ( d. De modo nálogo se puede rzonr pr obtener el áre cundo el giro es en torno l eje Y. Áre de un superficie de revolución El áre de l superficie de revolución formd l girr l gráfic de = f( lrededor del eje X entre = = b viene dd por b S = π f( + (f ( d. El áre de l superficie de revolución formd l girr l gráfic de = f( lrededor del eje Y entre = = b viene dd por b S = π + (f ( d. Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

37 . Integrción 8 Ejemplo.49 Encontrr el áre de l superficie formd l girr l gráfic de f( = lrededor del eje X, en el intervlo [, ]. S = π = π = π b f( + (f ( d + ( d d = π (6 ( / d 6 = π [ ( / ] 8 / = π 7 (/ =.56. Ejemplo.5 Encontrr el áre de l superficie formd l girr l gráfic de f( = lrededor del eje Y, en el intervlo [, ]. L función (de = puede epresrse en l form = como función de. Cundo = entonces =. Por tnto, buscmos el áre de l superficie generd por l rotción de = en torno l eje Y entre = =. S = π = π = π = π b f( + (f ( d d 4 + d ( d Pr obtener un primitiv de 4 + hcemos el cmbio t = 4 +. Por tnto, d = t dt obtenemos 4 + d = Sustituendo en l epresión pr S, S = π 6 t d + C = t 6 + C = 6 (4 + / + C. [(4 + /] = π 6 (9/ = π. Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

38 . Integrción 84.4 Nociones de integrción numéric Como se h visto ntes, si se conoce un primitiv F de l función f, se puede clculr el vlor de l integrl definid medinte l Regl de Brrow: b f( d = F (b F (. En l morí de los csos, sin embrgo, no se puede utilizr est fórmul, que no se conoce dich primitiv. Es posible, por ejemplo, que no se conozc l epresión mtemátic de l función f, sino sólo sus vlores en determindos puntos, recogidos de un eperimento. Pero tmbién h funciones (de prienci sencill pr ls que se puede demostrr que no tienen ningun primitiv que pued escribirse en términos de funciones elementles (por ejemplo e L integrción numéric es un herrmient de ls mtemátics que proporcion fórmuls técnics pr clculr proimciones de integrles definids. Grcis ell se pueden clculr, bien es cierto que de form proimd, vlores de integrles definids que no pueden clculrse nlíticmente, sobre todo, se puede relizr ese cálculo en un ordendor. L ide básic pr proimr el vlor de clculr l sum de ls áres de los rectángulos que recubren el áre. b f( d sin utilizr un primitiv de f se epuso en l sección.: =f( =f( =f( b b b Figur.: L integrl definid b f( d, que es el vlor del áre bjo l curv sombred en l primer figur, se puede proimr por el resultdo de sumr ls áres de los rectángulos. Como result evidente, se comete un error, que se desprecin en este cso ls áres de ls pequeñs zons tringulres comprendids entre l curv los rectángulos. En el cso prticulr de l función representd en ls figurs, el vlor de l proimción es menor que el vlor ecto. Pero en otros csos puede ser mor; vése, por ejemplo, l figur siguiente. b Figur.: En este cso,l sum de ls áres de los rectángulos proporcion un vlor mor que el vlor ecto, pero igulmente es un proimción. Como tmbién result evidente, se puede demostrr mtemáticmente, el error que se comete es más pequeño (en vlor bsoluto, es decir, sin tener en cuent el signo del mismo cunto más estrechos sen los rectángulos, es decir, cunto mor cntidd de ellos se usen. Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

39 . Integrción 85 Cómo se clcul l sum de ls áres de los rectángulos? Se supone que se usn 5 rectángulos, como en l Figur. se denotn =,,, 4, 5 6 = b los puntos que determinn los 5 subintervlos. Se supone tmbién, pr hcer ls coss más fáciles, que estos puntos están regulrmente espcidos, es decir, que l distnci entre cd dos puntos consecutivos, que se denot h, es siempre l mism. El áre de los distintos rectángulos es (recordndo áre = bse ltur: etc. Are(R = Longitud del segmento [, ] Altur del rectángulo = ( f( = h f( Are(R = Longitud del segmento [, ] Altur del rectángulo = ( f( = h f( Sumndo tods se tiene: Are(R + + Are(R 5 = hf( + hf( + hf( + hf( 4 + hf( 5 ( = h f( + f( + f( + f( 4 + f( 5 est últim epresión proporcion un proimción (es verdd que no mu buen, de momento del vlor de l integrl: b ( f( d h f( + f( + f( + f( 4 + f( 5 Observmos hor que, puesto que h 5 subintervlos de igul longitud, debe ser luego, l fórmul nterior quedrí b h = f( d b 5 Longitud del intervlo [, b] 5 = b 5 ( f( + f( + f( + f( 4 + f( 5 =f( f( 4 f( 5 f( f( f( R R R R 4 h R 5 = b= Figur.: L ltur del rectángulo de bse [, ] es f(, el vlor de f en ; l del rectángulo de bse [, ] es f( ; etc. Si, en lugr de 5, tuviérmos 6 subintervlos, entonces tendrímos 7 puntos: =,,, 4, 5, 6 7 = b l proimción se escribirí: b f( d b 6 ( f( + f( + f( + f( 4 + f( 5 + f( 6 (obsérvese que el último punto 7 no se utiliz en est epresión. Si el número de subintervlos utilizdos fuer mu grnde, por ejemplo, (es decir, puntos, se podrí escribir b f( d b ( f( + f( + + f( Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

40 . Integrción 86 Es preferible más usul, sin embrgo, utilizr l epresión siguiente b f( d b El símbolo (letr grieg sigm múscul es mu utilizdo en mtemátics: se denomin sumtorio sirve pr escribir de form escuet un sum con un número mu grnde o indetermindo de sumndos. L epresión i= i= f( i f( i se lee : sum de f( i desde i = hst i =. Y podemos, pues, escribir de form generl l proimción de l integrl pr un número indetermindo de subintervlos. Fórmul de los rectángulos Se f un función continu en [, b] sen =,,,..., n+ = b, n+ puntos que definen un prtición del intervlo [, b] en n subintervlos, todos de l mism longitud h = b n. Entonces l integrl definid de f entre b se puede proimr por b f( d b n n f( i i= En l deducción de est fórmul se h proimdo el áre bjo l curv en cd subintervlo por el áre del rectángulo con l mism bse ltur igul l vlor de l función en el etremo inferior del subintervlo, como en l Figur.. Pero tmbién se podrí hber utilizdo el vlor de l función en el etremo superior, como se ve en l Figur.4. Figur.: Se tom como ltur del rectángulo el vlor de f en el etremo inferior,. Figur.4: Se tom como ltur del rectángulo el vlor de f en el etremo superior,. Así se obtendrí un vrinte de l Fórmul de los Rectángulos. Ambs fórmuls dn resultdos similres desde el punto de vist del error que se comete en l proimción. Fórmul de los rectángulos (vrinte Se f un función continu en [, b] sen =,,,..., n+ = b, n+ puntos que definen un prtición del intervlo [, b] en n subintervlos, todos de l mism longitud h = b n. Entonces l integrl definid de f entre b se puede proimr por b f( d b n n i= f( i+ = b n n+ i= f( i Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

41 . Integrción 87 Otr posibilidd, es tomr como ltur del rectángulo el vlor de l función en el punto medio del subintervlo, como se muestr en l Figur.5 + Figur.5: En l Fórmul del punto medio, se proim el áre bjo l curv por el áre del rectángulo de ltur igul l vlor de l función en el punto medio del subintervlo. Fórmul del punto medio Se f un función continu en [, b] sen =,,,..., n+ = b, n+ puntos que definen un prtición del intervlo [, b] en n subintervlos, todos de l mism longitud h = b n. Entonces l integrl definid de f entre b se puede proimr por Est fórmul es de orden. b f( d b n n ( i + i+ f i= =f( =f( = 4 5 b= 6 = 4 5 b= 6 Figur.6: Fórmul de los rectángulos tomndo como ltur el vlor de f en el etremos superior de cd subintervlo. Figur.7: En l Fórmul del punto medio elige como ltur de los rectángulos en vlor de l función los puntos medios de cd subintervlo. Orden de un fórmul de integrción numéric Se dice que un fórmul de integrción es de orden k cundo es ect pr polinomios de grdo k, es decir, que cundo el integrndo es un polinomio de grdo k, l fórmul proporcion el vlor ecto de l integrl. El orden de un fórmul de integrción numéric nos d un medid de su bondd. L Fórmul de los rectángulos es de orden. Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

42 . Integrción 88 Ejemplo.5 Aproimr el vlor de l integrl definid con 8 subintervlos. e d utilizndo l fórmul de los rectángulos Se construe un prtición de [, ] en 8 subintervlos, de form que h = ( 8 = 8 = 4 =.5 los puntos del soporte de l prtición son: =e = = 6 = + 5h=.5 = + h =.75 7 = + 6h=.5 = + h=.5 8 = + 7h=.75 4 = + h=.5 9 = + 8h= 5 = + 4h= Según l Fórmul de los Rectángulos nterior: = b= 9 e d h 8 i= e i Con ud de un clculdor, se tiene: ( e d =.486 H que insistir en que el vlor clculdo es sólo un proimción del vlor de l integrl definid. Otr posibilidd es proimr el áre bjo l curv en cd subintervlo por el áre del trpecio que se muestr en l Figur.8. =f( f ( f ( h = 4 5 b= 6 Figur.8: En el subintervlo [, ], por ejemplo, el áre bjo l curv se proim por el áre del trpecio, que tiene un bse de longitud f(, otr bse de longitud f(, ltur h =. Figur.9: En l Fórmul de los trpecios, se proim el vlor de l integrl definid por l sum de ls áres de los trpecios. Recordndo que el áre de un trpecio es = de l Figur.8 es sum de ls bses f( + f( h ltur, se tiene que el áre del trpecio que l sum de ls áres de todos los de l Figur.9, es decir l proimción de l integrl, es Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill

43 . Integrción 89 b f( d f( + f( h + f( + f( h + + f( 5 + f( 6 h ( f( + f( + f( + f( + + f( 5 + f( 6 = h = b ( f( + f( + f( + f( 4 + f( 5 + f( 6 5 Obsérvese que, en est sum, el vlor de f en los etremos ( = 6 = b prece un sol vez, mientrs que el vlor en los puntos internos (,, 4 5 prece dos veces. Generlizndo esto l cso generl, con un número indetermindo de subintervlos, se tiene: Fórmul de los trpecios Se f un función continu en [, b] sen =,,,..., n+ = b, n+ puntos que definen un prtición del intervlo [, b] en n subintervlos, todos de l mism longitud h = b n. Entonces l integrl definid de f entre b se puede proimr por Est fórmul es de orden. b f( d b n ( f( + n f( i + f(b i= Ejemplo.5 Aproimr el vlor de l integrl definid con 5 subintervlos. sen(e d utilizndo l fórmul de los trpecios Se consider un prtición de [, ] en 5 subintervlos, de form que h = 5 =. los puntos del soporte de l prtición son: = = =. =.4 =.4 =.6 4 =.6 4 =.6 5 =.8 5 =.64 6 = 6 = L Fórmul de los trpecios nterior: [ Se tiene: sen(e d h sen(e + ] 5 sen(e i + sen(e =. [ sen(e + sen(e.4 + sen(e.6 + sen(e.6 + sen(e.64 + sen(e ] i= = 4 5 b= 6 sen ( e [ d ( ] +.48 =.8698 H que insistir en que el vlor clculdo es sólo un proimción del vlor de l integrl definid. Mtemátics Generles Aplicds l Bioquímic - Grdo en BioquímicR. Echevrrí - Dpto. EDAN - Univ. de Sevill