1- Halla dos matrices cuadradas de orden dos y no nulas, de modo que su producto sea la matriz nula

Transcripción

1 ÁLULO TRIIL DETERINNTES- - Hll dos ices cudds de ode dos o uls, de odo que su poduco se l i ul Po ejeplo: - L i es de ode, l es, lcul l diesió de l i p que se u i cudd,,,,, Necesiee = p que se pued eli el poduco = p que el poduco fil se u i cudd, - opueb que u i escl cou co culquie i de su is diesió s co u ejeplo l se de u copobció - opueb que el poduco de ices veific l popiedd sociiv uilido ls ices: = - ; = - ; = - Solució: - opueb que dd u i cudd, ls ices +, so siéic isiéic especivee U i es siéic si coicide co su spues:, es siéic U i es isiéic si coicide co l opues de su spues:, es isiéic - lcul ls poecis eésis de ls ices: = ; =, bs co copob que se veific p =, =, supoe cie copob que se veific p + éodo de iducció cople

2 - lcul e eles p que l i veifique l ecució: + + I = siedo Solució: ; - lcul ods ls ices que cou co l i del eio ejecicio Solució:, iguldo eleeos, gupdo siplificdo éios, obeeos el sise: Ls ices buscds so ods ls de l fo:, - Siedo, es ices culquie,copueb si so cies ls elcioes siguiees: Si = eoces = b + - = - c + = + + Solució: No es cie que po ejeplo Sólo seí cie si que b No es cie que Seí cie si = c No es cie po l is ó que l eio, l o couividd del poduco de ices - Se l i de ode dos l que ij =i+j- Hll ods ls ices que veifique siuláeee ls elcioes b c del ejecicio eio Solució: L i es uscos po o ods ls ices que cou co, eoces se

3 veificí ls elcioes b c del poble eio: de l ª l ª ecució se lleg Susiuedo po e l ª ecució se obsev que es es idéic l ª, que después de siplific os qued Teeos po o dos ecucioes p esolve u sise de cuo icógis, cu solució seá: l i buscd es:, - Dds ls ices : = ecucioes iciles : - ; = - ; = esuelve ls siguiees - X = ; b X = ; c X - X = I ; d X + = es de ope, despejos l i X, e fució de ls ices poduco sus ivess be ecod, que u i po su ives es igul l i uidd: - = I X = - X = - X = - - X = - - X = - - P el cálculo de l ives copobeos que el deeie de l i se de e cso coio o eise l ives co seguido hllos l i dju de l i l spues de l dju L i ives equivle l spues de l dju, pido po el deeie de l i = + = dj = [ dj ] = = + = dj = [ dj ] = - / / = - / / = / / / / X = = b X X c X - X = I X I X - =

4 - = X d X+ = X = - - X= - - X= - - X X - Deues que si es u i de ode ip isiéic su deeie es ulo Solució: Si es isiéic oo, u i isiéic veific, si es ip - opueb que si es u i cudd puede descopoese e su de u i siéic ás o isiéic s co copob que culquie i cudd puede escibise de l fo: su de siéic isiéic especivee - lcul los deeies siguiees: c - - b - b c d Solució: Desolldo po los djuos de l cu fil ods ls ices so igules odedo: d c b b c d b

5 c Resos cd colu de l eio FFF F F F F F F F F F El desollo eio es válido p clcul culquie deeie de l fo deeies de ices cuos eleeos so: ij ij si i j b si i j b b b b b b es deci - opueb si iee ives,siedo: = Solució : Teiedo e cue que: que, coo u i iee ives si solo si, po lo o es ivesible Si e hce ilusió clcul l poeci eési, es és: - Dds ls ices = = = - esuelve l ecució icil: - - X - X = Solució: X X X X X ; ; ; coo, clculos su ives:

6 X - Los úeos,,,, so divisibles po Deues que el deeie: bié es divisible po Solució: plicdo l popiedd que dice que si se susiue u fil de u deeie po su su co u cobició liel del eso, el deeie que se obiee coicide co el iicil: = U ve elido eso, podeos sc, plicdo l popiedd que dice que p uliplic u úeo po u deeie, bs co ulipliclo po u líe = = l se u deeie fodo po úeos eeos u º eeo, el deeie ddo es divisible po, - Se coside l i: = ; lcul el vlo de "" p los que l i o iee ives, clcul l ives p = Solució: lculos su deeie: NO iee ives eoces p los vloes = = L ives p = es - Escibe dos codicioes disis cd u de ells equivlee que u i se ivesible Es ivesible l i =? P que u i se ivesible o egul, su deeie iee que se cudd iee que se difeee P que u i cudd se ivesible o egul, el go de l i debe se igul su diesió es ivesible si el go = Es ivesible

7 - lcul - si = ºlculos el deeie de copobos que es disio de ceo = - es igul ºlculos l i dju de dj = ºlculos l i dju spues dj ºObeeos que dj - Sbiedo que l i iee po deeie -, clcul el deeie de l i + + +, el deeie de l i ives de Teiedo e cue que: = - Se l i = Hll los vloes eles de p los que iee ives L i es igul / ives p L i es, Hll l i Y cudd de ode que es solució de l ecució icil: Y + = I siedo l i eio p =, I l i uidd es l i

8 Y I Y I Y I dj dj ; ; Y Y Y - Deues, si desoll, que el vlo del deeie N es úliplo de Hciedo = = lo cuál idic que es úliplo de - De u i cudd se sbe que die ives Qué se puede fi del deeie de? Y del go de? Ro l espues Ve poble º - Dd l i, esudi l eiseci de su ives segú los vloes del páeo hll l ives p = Lo pieo que eeos que hce es hll veific que es disio de = + = = ; = - Esos dos vloes so los que hce el deeie =, po lo o eise l ives p odos los vloes de ecepo - E el º pdo os pide hll l ives p = Lo º que h que hce es susiui po e l i hll el deeie = = +---+= -; ho h que hll l dju dj = No*: ecod cbi el sigo de los djuos,, dj El siguiee pso es hll l spues de l dju =

9 Po úlio l ives es: = - osideos ices de ode co = = - lcul, jusificdo l espues, go de, go de,, -, -,,, El go de l i seá; =, que su deeie es disio de El go de l i seá; =, que su deeie es disio de, que e deeies - U i cudd iee l popiedd de que I dode I es l i uidd Deos que die ives, obeel e fució de I I I I l se el poduco de dos ices l uidd, podeos fi que so ivess, es deci I Dd l i, hll p que vloes de se veific que I, p esos vloes escibi l i ives de I b, b

10 lcul el go de l i e fució de Lo pieo que eeos que hce es hll el deeie de l i: R = R = - - R = Ese deeie iguldo ceo iplic que se: = b = l se ls es fils popocioles c = - osideos l i lcul e fució del páeo, ls ices X de l fo X que veific: X X El pie pso seí susiui e l iguldd que os d p sbe cóo debeos segui : = Relios l uliplicció p obee ecucioes que podos igul ee sí = Dichs ecucioes igulds so: + = ; + = + = ; + + = - + = + ; = - + = + ; - = l se igules l pie l cu ecució, os deshceos de u de ells, quedádoos po o: + = + + = = o ello, epsdo l eoí que Toño o os epie, sbeos que es u sise hoogéeo que los éios idepediees so, siepe iee solució siepe so copibles que, l eos, eise l solució ivil P clcul los vloes de, cu e cosecueci, hllos el deeie de ese sise hoogéeo que es obuvios

11 = = ; = l esolve es ecució de ece gdo os qued coo solucioes : = - = Discusió del sise po el Teoe de Rouché Föbeius: * Siepe que o se i - i X = que el sise es hoogéeo, es es l lld solució ivil * udo = - el sise de ecucioes ps se: = = = l se ods ls ecucioes igules, deducios que =, lo que iplic que X = = odo odo peeeciees los úeos eles * udo = Los sises seá: + = + = - + = De hí scos que: = - +=; = Lo que iplic que: X = Y sí, po fi, cbseis el poble! Suee co los deás! p - Se u i cudd de ode dos veificdo que = lcul odee los vloes del deeie de Solució:, si llos - Dds ls ices, hll p qué vloes de l i o iee ives Solució : Susiuios l epesió + po sus ices coespodiees: uliplicos l i po : Suos ls dos ices clculos el deeie de l i esule: P que o eis l i ives el deeie de es iee que se po lo que hceos l epesió eio igul hllos los vloes que hce que = Dividiosod l ecució ee- - -,

12 - Si los deeies de ls ices cudds de ode es so igules, clcul el deeie de Eise l i ives de? Si No eise po lo o i ives - Se, X es ices cudds del iso ode que veific l elció I X, siedo I l i uidd Si el deeie de vle - el de vle, clcul odee el deeie de X Solució: I = ; X = I X = I - X = X = - b lcul de fo od l i X si Solució: X = I - X = - I X = - X - = - I - X = - - dj dj X - lcul odee l i sbiedo que se veific l iguldd: Despejos : I I - Eco ods ls ices b que veifique l iguldd b b b b b b udo heos susiuido, pocedeos uliplic ls ices, coo hs esudido ucho, sbás poque e quedá ls siguiees ecucioes: + = - + b

13 = - + b + = - + b b = - + Si e ds cue, ho solo iees que despej ls ecucioes que hs obeido, p hll el vlo de b de l i : = - + = = b + = -b + = b = -b + = b = b + = b = L i pedid es - lcul el go de l i Solució: P hll el go de l i hllos su deeie pi de sus djuos: = = = --++ = - = * o esá l, peo ie esolve el poble po Guss o l eos hce lgú ceo ás - Se ices cudds co Ro cuáo vle el deeie de l i - - Dd l i, deei p que vloes de eise - P = - esolve I siedo I l i uidd iee ives R dj dj ;

14 I cuo deeie es, l igullo ceo,, - Si es u i de ode l que = = I, clcul = = -I -I = - - +I= - +I=I =I - Dds ls ices P, hállese l i sbiedo que: P - P = Solució: Pieo clculos l ives de l i P P ello, debeos clcul l spues de su dju P P dj dj P uliplicos bos ldos de l iguldd po P - po l deech, po P po l iquied: PP PP PP - Se u i cudd cuo deeie vle, se l i lcúlese el deeie de - Se iee u i cudd de ode cus colus so especivee, cuo deeie vle Se coside l i cus colus so, +, lcúlese odee el deeie de - e el cso de que eis es i,,,,,, L ª colu es fod po dos sudos descopoeos el deeie e su de dos, el º de los cules es ceo po ee dos colus popocioles

15 ,,,,, iecbios ho co después co, co lo que el deeie cbi dos veces de sigo qued igul El deeie de es - = -, el de su ives - Dd l i, hállese u i X que veifique l ecució X+ = - Lo pieo que hceos es dej l icógi u ldo de l ecució: X X ho uliplicos los dos iebos de l ecució po : X I X El siguiee pso es hce l ives de =/ : Hllos el deeie: / / = / Hllos l dju: / / / / dj Y po lo o l ives seí: / / / / / = / * / / / / / / / / ; / / - Dds ls ices,, hállese ls ices X que sisfce X Solució: I X I X bosiebos: e po uliplicdo X X X

16 O fo ás coplicd b c d e f h i j b c b c c b c d e f e f f d e f o h i j i j j h i j X X esigul l i ideidd I - Se u i de colus, deeie Se o i de deeie Si es l i de colus, clcúlese el deeie de l i b = c d plicdo popieddes de los deeies,,,, colus popocioles = = = = = = b - Se l i lcúlese el deeie de sbiedo que I dode I es c l i ideidd es l i ul b b b bc c c c b bc b b bc b ; ; c c c c ; c c ; c b bc b ; ; b b ; O fo : Po se e I dos ices que cou Id I b b b b, esolviedo qued ls iss c c c solucioes - Discúse, segú el vlo de, el go de l i

17 Solució: = = Rgo = si Rgo = - Se Deeíese los vloes de p los cules I o es iveible dode I deo l i ideidd lo que se efiee el poble es que hlleos el/los vloes de p que l su s el poduco de I po l i esuldo o se iveible, o se que su deeie se - Hállese ls ices cudds de ode, que veific l iguldd: Solució Se L ecució eio puede escibise: uliplicdo obeeos el sise: del cul = ; = ; puede o culquie vlo el L i es, SISTES DE EUIONES LINELES - -Discue esuelve: = = Es u sise hoogéeo poque los éios idepediees so El deeie de es i sbeos que es poque si vos esdo l segud colu de l ece l pie de l segud veos que ls dos úlis colus os qued de uos Y cudo u i iee dos de sus El go colus de es igules i el vle deeie poque vle sbeos que si elios el deeie del o deeie de ode que e ese cso es es igul, po lo o sbeos que o es de go Si seguios elido los deeies de ls subices de ode que h e el deeie, os ecoos co que l pie de ells es disi de, co lo cul, sbeos que l i es de go

18 oo el go de o coicide co el úeo de icógis, sbeos que esos e u Sise opible Ideeido úeo de icógis go de l i = = Poeos ho ods ls icógis e fució de : Resolveos el sise: - Discue esuelve, si es posible, el sise: Poeos el sise e fo icil i de ode ; ; SD Usdo e, hllos,, - Discui esolve, si es posible, el sise Sise e fo icil ; Hllos el deeie de, que es l

19 álculo de los gos de ls ices p pode discuils ios los vloes de q igul =, de es e, el = P que el deeie de se, ; sos de esudio: Discusió Es u Sise opible Deeido; = = Es u sise Icopible; < Sbeos que = e = -/ poque Resolució Lo hceos po e e fució del vlo de, siepe que o se = -/ X Y - Discúse el sise e fució del vlo de : E pie lug epesos el sise e fo icil hllos el deeie de, i de ode /,, quí pece opcioes : SD, :

20 SI : SI b P el vlo =, hállese, si pocede, l solució del sise: SD quí plicos e hllos,, : - Discue esuelve el siguiee sise Discusió del sise: º Pleo l i coespodiee l sise: =, disiguiedo ls es pies colus coo l i, el cojuo de l i co l plició de l uli colu, coo l i plid º Hllo el deeie de l i, p pode obee el go: = => = º oocido el deeie de, deduco que: udo =, que el go se defie coo el ode del eo o de u i cuo deeie se disio de sí, el bié seá, poque l i, es u eo de l i

21 Ddo que el úeo de icógis,, es ; podeos lleg l coclusió de que es u sise copible deeido: == Teoe de Rouché b Susiuios el vlo de = e l i iicil: = hllos el deeie de u eo p clcul el go el deeie de es i d, segú lo clculdo eioee edie el eo, podeos deei que el =, cudo = P hll el, oeos el eo, cuo deeie, coociedo sí el = Si, podeos fi que p =, el sise es icopible Teoe Rouché Resolució del sise copible deeido, edie l Regl de e, que cosise e susiui l colu de l i dode se hll l icógi despej, po l i del éio idepediee, hll el deeie de és i esule dividilo po el deeie de l i iicil: P = es u sise icopible, po lo que o iee solució - Discue esuelve Pieo eeos l i de los coeficiees l plid Hllos el deeie de que es ceo; Lo igulos ceo p cooce los vloes de p los Si ;, ; D S Ls solucioes so: ; ; Si ; ; ;, I S Si ; ; ; que los eoes de ode es se ul Resolveos e fució de icógis- go coú, I S, ;

22 páeo educció ; ; ; ; -Discui esolve: + + = = + + = Solució: Lo pieo que h que hce es poe el sise e fo icil: = ; = ho eeos que clcul los gos de ess dos ices po lo que ios los vloes que hí el deeie de, de es fo sbeos que odos los vloes de eos dichos vloes so los que hce su go Iguldo ceo despejdo l ecució os qued que luego el deeie de seá disios de su go seá El go de e ese cso bié seá l ee sólo fils, po lo o seá u sise copible iee iso go deeido h iso ueo de icógis que de ecucioes - P = - = ;= Y sbeos que el deeie de os dá ceo po lo que su go o podá se es e ese cso es dos que cogiedo los vloes cuo deeie os d es deci disio de po lo que el go de seá ho eeos que clcul el go de p ello eeos es opcioes disis depediedo po quie susiuos l colu de los éios idepediees Yo vo coge u copleee l : oo po ejeplo: cuo deeie es:,es deci disio de po lo que el go de es si os hubiese ddo ceo debeíos ie co ls os dos opcioes copob que bs db poque co que solo h u el go es De odo eso cocluios que los gos de so disios po lo que ese sise p es u sise icopible - P = ; =

23 oo ocue e el cso eio sbeos que el go de o puede se po lo que coo ucho el go de seá coo de hecho es si cogeos cuo deeie es, coo se hbá ddo cue los s vispdos ie ho eeos que clcul el go de p lo que plicos ls iss egls que l ve eio o he cogido es i l cuo deeie es Luego el go de es disio del de que es po lo que el sise es icopible + = - + = ++ + = + Solució ;, es u siscopible de e ; h posibiliddes ; oosel isode e iedeode dees, polo que ; ; ;edeosquedejloodoe fuciódeu páeo SISTE OPTILE INDET

24 ; ; ; le Esusiseicopib - Resolve discui el sise: L i del sise es = = = = - ++ Eoces: = si sólo si = -, ó =, luego: Si -, eoces el go de es, luego el sise es copible deeido, sus solucioes so: - - = - = - = Si =- el sise es: ; el = que culquie eo de ode que escojos es disio de ceo Sise INOPTILE Si = el sise es: cosidedo que: ; ;, el go de es el sise es OPTILE INDETERINDO

25 = - = + + = Solució: = ; = = = = º de icógis SIST OP DETERINDO Resolveos: ; ; = = ;ogeos u eo = : = SISTE INOPTILE - + = = - Discue esuelve + = = F F - F ; Esudio: = < Sise Icopible b = = = Sise opible Deeido icógis

26 - + = + + = ; ; ; + = ; ; ; ; ; ; c= ; F F F ; F F F =, = Sise opible Ideeido icógis R ; - Respode odee ls siguiees cuesioes: uál es el go de l i de los coeficiees de u sise co cuo ecucioes es icógis, si iee ls solucioes,-, -,,? Si h ás de u solució el sise es op Ideeido po lo que el go de l i de los coeficiees iee que se igul l de l i plid eo que el º de icógis b El cojuo solució de u sise de es ecucioes co dos icógis puede se el iso que el de u sise co cuo ecucioes es icógis? Y que el de u sise de cuo ecucioes co dos icógis? E el pie cso o es el iso cojuo solució ddo que e el segudo sise de ecucioes lieles h u icógi ás que e el pieo E el segudo cso si puede se el iso cojuo solució ddo que h igul úeo de icógis l ecució sobe puede se cobició liel de ls os c U sise de es ecucioes co cuo icógis puede ee solució úic? No Seá copible ideeido que l eos es icógis depede de u cu d Si u sise de cuo ecucioes lieles iee ls solucioes,, -,,- se puede segu que es copible deeido? Si iee ás de u solució, iee ifiis seá copible ideeido - De los siguiees sises li l copibilidd esuelve los que se deeidos: + = = + + = + = = = + = = = = = Si el deeie de l i de ode es igul, eoces su go es o iee poco cobicioes lieles =

27 : = ++---= = = ; =; = Sis opible ideeido - = - = b = = - disio de = : = -+--+= [disio de ] = = ;= =: Sis copible deeido: = = = = ; = = c = +-+++= disio de = : = disio de = = = = Sis op Deeido: = = = = = = - Hll p que vloes del páeo o es posible plic l egl de e l sise:

28 P plic e eeos que copob que el úeo de ecucioes el de icógis se el iso que el deeie de l i de los coeficiees se disio de ceo Hceos ² ² - osideos el sise Deos que uc puede se copible deeido lcul los vloes de p los que es icopible lcul los vloes de p los que es copible ideeido U sise de es ecucioes co es icógis es copible deeido si sólo si el deeie de l i de los coeficiees es disio de ceo e FFF po ee dos fils igules El sise uc puede se copible deeido Seá icopible si el o coicide co el lculos los eoes de ode es de l i plid: ; P que el se, bs co que u solo eo de los eioes se disio de ceo, es deci,, o o, P que se copible ideeido los es eoes eioes h de se siuláeee - Se coside el sise de ecucioes lieles = + + = =, discúelo = º lculos el deeie de ; u ve hlldo os d de esuldo p culquie vlo de Po o heos deosdo que l i o es de go

29 º Escogeos u i cudd cuo deeie os de disio de N= escogid N iee coo deeie: N = -, po lo o = si L i Teiedo e cue que ls colus de l i so popocioles, el úico eo que podí se disio de ceo es el fodo po,,, siedo su deeie = Es deci, el go de coo o puede se eo que el de es bié p culquie vlo de, l coicidi los gos de de se ése eo que el º de icógis, el sise seá siepe copible ideeido P = ls es colus de so popocioles po lo que = el = Sise Icopible - Discúse el sise, e fució del vlo de b P el vlo, hállese, si pocede, l solució del sise - Se u úeo el osidéese el sise de ecucioes lieles Discúse segú los vloes de e iepéese geoéicee el esuldo b Resuélvse el sise p º Se hll el deeie de siedo l i si los éios idepediees p sbe ls icógis ; = =- º Se hll el go de de siedo l ie fució de de Sise opible Deeido º Resolve el sise p = p =- = Sise opible Ideeido =- ; b Siedo = el sise se esuelve po RER Sise Icopible =

30 = = - - Se ls ices,,, D E T T Hll l i dode idic l i spues de Es ivesible? puo b Hll el go de l i T D, puos c lcul que veifique l ecució T E ; p que se ivesible su deeie iee que se disio de ceo coo NO ES INVERSILE D es u i disi de ceo SU RNGO ES Desolldo l epesió obeeos Iguldo eleeo eleeo obeeos u sise de ecucioes co es icógis que esolveos cu solució es: - Se coside el sise, dode es u páeo el Discui el sise e fució del vlo de puos b Resolve el sise p puo ; ; ; / ; /

31 = = = SD = = ; SI = / = / = / SI = b - = páeos = =>