TEMA : RAZONES Y PROPORCIONES PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INDIRECTA

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1 TEMA : RAZONES Y PROPORCIONES PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INDIRECTA INTRODUCCIÓN Tnto en l vi iri omo en ls operiones omeriles es neesrio omprr oss, y que lgunos enunios que involurn números, tienen un signifio muy restringio si no se omprn on otros o on otrs nties. Ejemplo: ) Después e un exmen se enuentrn os estuintes e istintos ursos y uno e ellos oment que ontestó orretmente 7 pregunts y el otro ie que ontestó 9 orretmente, no porá eirse ul e los os le h io mejor en tl exmen porque ntes hrí que ver uántos prolems tení exmen. ) Que un inversionist le pgn meio millón e pesos por onepto e intereses que h gno su inversión plzo fijo, y que otro h gno $550 mil pesos por su inversión en s e ols, no puee eirse uál e los os resultó myormente enefiio porque se tenrí que onoerse el pitl que uno tiene invertio ún en el supuesto e que en los os sos, el plzo e l inversión se el mismo. RAZÓN Rzón o relión e os nties es el resulto e omprr os nties. Dos nties pueen omprrse e os mners: Hllno en uánto exee un l otr, es eir, restánols, o hllno uánts vees ontiene un l otr, es eir, iviiénols. De quí que hy os lses e rzones: rzón ritméti o por ifereni y rzón geométri o por oiente. En este urso nos entrremos en l rzón geométri, es eir, en l omprión por oiente. Ejemplo: Alejnro que está en terer semestre e Aministrión e Empress h relizo 15 exámenes, e éstos proó 12. Esto nos ini lo siguiente: ) Reproó 3 exámenes ) Los exámenes proos representn 12 /15 = 4 / 5 = 0.80, o se 80% el totl e exámenes presentos *. ) Los exámenes reproos representn 3/ 5 = 1/ 5 = 0.20, o se 20% el totl e exámenes presentos * Oservmos que pr ests ompriones tommos el número que esemos omprr omo numeror y quél ontr el que omprmos omo enominor y otuvimos el oiente, si lo multiplimos por 100 lo onvertimos por iento, que nos un ie más lr e l rzón que hy entre los os números.

2 Rzón o Relión.- Es el resulto e l omposiión que se estlee entre ls nties s. Dih omprión se puee r e os forms: 1) Hllno en unto exee un nti respeto e otr (por meio e l rest). Ejem: 6-2 = 4 2) Hllno en unto ontiene un nti otr (por meio e l ivisión). Ejem: 6/2 = 3 Por lo tnto eimos que un rzón puee ser: Aritméti o por ifereni, o Geometrí o por oiente. Rzón Aritméti o por Difereni.- Es l ifereni que se entre 2 nties. Como su operión ási es l sustrión o rest, L Rzón Aritméti se puee r e 2 forms: seprno ls nties por el signo e l sustrión ( - ) o por meio e un punto (. ) Ejem.: 6-2 = 4 Vlor e l Rzon 2 Término (onseuente) 1 Término (nteeente) Z + * Se lee : 6 exee 2 en 4 ; 6 es myor que 2 en 4 ; 2 es menor que 6 en 4, et. Propiees e l Rzón Aritméti.- Son ls misms propiees que en l rest o sustrión. 1) Si l nteeente e l R.A. se le sum o rest un nti, entones el vlor e l Rzón querá umento o isminuio en ih nti, respetivmente. Ejem.: Si ( ) ) Si el onseuente e l R.A. quese umento o isminuio en iert nti, entones el vlor e l Rzón quer isminuio, en el primer so, o umento, en el 2o so, en ih nti. Ejm.: Si (2 1) ( ) 5 6 (2 1) ) Si l nteeente y l onseuente e un R.A. Se le sum o se le rest un mism nti, entones el vlor e l Rzón no se verá feto (permneerá onstnte). Si Ejm: (2 1) ( ) 6 1 (2 1) A Amos Términos o se les sum o se les rest l mism nti

3 Rzón Geométri o por Coiente.- Es l Rzón que se estlee por meio el oiente que se otiene l iviir 2 nties. Se pueen representr e 2 moos: en form e frión o por meio e 2 puntos, signo e l ivisión (/ ó ) Ejem: 6/2 = 3 6 : 2 = 3 Vlor e l Rzon 2 Término (onseuente) 1 Término (nteeente) Z + * Se lee 6 ontiene 2 en 3 ; 6 ontiene 3 vees 2 ; 2 est inluio en 6, 3 vees et. Importnte: trjremos on rzon por oiente o geometri PROPORCIONES Un PROPORCIÓN es un igul entre os rzones. Si ls rzones son : y : que formn un proporión, entones se esrie est proporión omo : = : ó Que se lee " es omo es " A los números y se les llm extremos y los números y se les llm meios Teorem funmentl e ls Proporiones: En un proporión se umple SIEMPRE que el prouto e los extremos es igul l e los meios. PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES: ) Alternr Extremos: Si, entones: ) Alternr Meios: ) Permutr: ) Invertir:

4 e) Componer respeto l Anteeente y Conseuente respetivmente: f) Desomponer respeto l Anteeente y Conseuente respetivmente: g) Componer y esomponer l vez: h) Serie e Rzones: y x... f... e y x... f e Cuno plimos proporiones l soluión e prolems oservmos que l relión entre os nties vriles prouen un e os tipos e proporiones: iret o invers. PROPORCIÓN DIRECTA Un relión iretmente proporionl es quell que myor nti e un vrile, myor nti e l otr, lo que es equivlente menor nti e un, menor l nti e l otr. Por ejemplo: Mientrs más pn ompro, más inero pgo por él. Mientrs menos estuio, menos preno. Dos vriles están en proporionli iret si su oiente permnee onstnte: k se enomin l onstnte e proporionli. El gráfio e os vriles que están en proporionli iret es un onjunto e puntos que están sore un ret que ps por el origen.

5 Ejemplos: 1) Un vehíulo tiene en rreter un renimiento e 16 km/l. Cuántos litros e enin onsumirá en un vije e 192 km? Como ests vriles se relionn en form iret (y que más kilometrje impli que se gstrá más enin), entones su oiente es onstnte km km 1 litro x 16* x 192* 1 x Respuest: en un vije e 192 kilómetros el vehíulo onsumirá 12 litros e enin. 2) Un nej e 30 huevos uest $ Cuánto ostrá un oen? * x x 30 Respuest: Un oen e huevos uest $ PROPORCIÓN INVERSA Ls proporiones inverss se rterizn porque l isminuir un vrile, l otr ument. Por ejemplo: Mientrs más rápio vijo, menos tiempo me emoro. Mientrs menos ontmino el ire, más limpio estrá. Dos vriles están en proporionli invers si su prouto permnee onstnte: k se enomin l onstnte e proporionli. El gráfio e os vriles que están en proporionli invers es un onjunto e puntos que están sore un hipérol.

6 Ejemplos: Tres oreros emorn 5 ís en her un znj. Cuánto emorrán 4 oreros? Por estr en proporionli invers (y que más oreros trrn menos tiempo en her l znj) el prouto entre ls vriles: número e oreros tiempo, es onstnte (por esto eo tener que 3 * 5 es onstnte y pr eso se invierten ls vriles omplets): Nº oreros í s x Si hy myor nti e oreros se morrán menos ís en her el trjo Al ser proporión invers invertimos el seguno término (el que no tiene inógnit) 3 oreros 4 oreros 5 ís x ís P. I 4 oreros 3 oreros 5 ís 5* 3 x 3, 75 x ís 4 Respuest: Se emorn proximmente 4 ís en terminr l or los 4 oreros (o emorn 3 ís y 18 hors) PROPORCIÓN COMPUESTA En l proporionli ompuest hy vriles que se relionn meinte proporionli iret y otrs trvés e proporionli invers. Pr resolver los ejeriios e este tem, en primer lugr se ee iluir qué tipo e proporionli existe entre pr e vriles. Ejemplos: 1) Se neesitn 20 oreros pr pvimentr 2 km e mino en 5 ís. Cuántos oreros se neesitn pr pvimentr 5 km en 10 ís? Oservemos estos tos en un tl: N e orer os Kilómetros e mino N e í s x 5 10 En primer lugr, eterminremos qué tipo e proporionli existe entre ls vriles (l inógnit y ls otrs vriles): 4) Oreros (O) longitu el mino (L): están en proporionli iret (entre más oreros, más km 20 2 e mino se pvimentrán), por lo tnto: x 5

7 5) Oreros (O) tiempo (T) están en proporionli invers (entre más oreros, menos tiempo se emorrán en pvimentr el mino), por lo tnto: x 5 20 x 2* * 25 x* 20 x 25 x 5* 5 x Respuest: Se neesitn 25 oreros pr pvimentr 5 km en 10 ís. 2) En un juzgo trjn 4 estuintes e Dereho on un rg e 6 hors iris urnte 5 ís, hn leío 240 sos. Cuántos ís neesitrán trjr 3 estuintes si trjn 8 hors iris pr leer 300 sos? Dtos: 4 estuintes, 6 hors iris, 240 sos, 5 ís Pregunt: 3 estuintes, 8 hors iris, 300 sos, x ís. Se relion vrile on l inógnit: 1) Estuintes- ís: más estuintes trjno se emorn menos ís: proporión invers x 8 5 2) Hors ís: más hors trjno se emorn menos ís: proporión invers. 6 x ) Csos ís: más sos que resolver se emorn ms ís: proporión iret: 300 x Finlmente: * * 5* * x x 6, 25 x x 7200 Respuest: se emorn 6 ís y 6 hors (un urto e í) los tres estuintes trjno 8 hors iris en resolver los 300 sos.

8 Nomre y Apellio:... Tem: Rzón y Proporión Trjo Prátio N 1 Ejeriios resueltos: Interpret los siguientes enunios. Reliz rzones geométris. 1. Arin en este iniio e semestre gstó $600 pesos en ppelerí (uernos, plástio pr forrr, tijers, plums, lpieros, et.), mientrs que Mro gstó $450 pesos por el mismo onepto. 2. El mtrimonio Sánhez Aguilr tiene 3 hijos: 2 niños y un niñ. Mientrs que el mtrimonio Guerrero Fontes tiene 4 hijos: 3 niñs y 1 niño. 3. En el mes e julio l Sr. Cmpñ Roh l trjet e réito Bnomer le oró el 3.83% e intereses (ts mensul) mientrs que l trjet e réito Bnmex le oró el 1.61% e intereses (ts mensul). 4. Un tz llen l rs ontiene 150g e hrin y tiene 240g e zúr. ) Cuál es l rzón entre l nti e hrin y zúr que puee ontener l tz? ) Cuál es l rzón entre l nti e hrin y zúr que pueen ontener 2 tzs? Y tres tzs? 5. Romin ompró 4 hooltes en $1200, si Julio ompró 5 e los mismos hooltes Cuánto pgó por ellos? Qué reliones enontrste? Cómo resolviste el prolem? 6. L mmá e Pero ostumr preprr 5 pneillos ules on 1/2 kilo e hrin, pr l one fmilir e í omingo. El pnero el rrio piió l reet l mmá e Pero pr elorr sus pneillos y ofreerlos su lientel. L emn semnl por los pneillos oeeió l siguiente tl Dí Lunes Mrtes Miéroles Jueves Viernes Sáo Domingo Demn ) Qué nti e hrin usó el pnero í? ) Cuánt hrin oupó en l semn?

9 Nomre y Apellio:... Tem: Rzón y Proporión Trjo Prátio N 2 1. Un pre tiene 42 ños y su hijo 18 ños. En qué rzón están ls ees el hijo y el pre? 2. Ls mss e os persons están en l rzón 2: 3. Si un e ells tiene 23 kilogrmos más e ms que l otr, uál es l ms e l más livin? 3. Dos ángulos suplementrios están en l rzón 3: 5. Cuál es l ifereni positiv entre sus meis? 4. Un kilógrmo e un iert lse e queso uest $ Cuánto se ee pgr por 125 grmos e este queso? 5. En un mp entímetros orresponen metros. A uántos metros orresponen entímetros el mp? 6. En un lieo mixto e 1540 lumnos, 880 son vrones. Cuál es l rzón entre el número e ms y el e vrones? 7. Un pintor emple 8 hors en pintr un hitión. Cuánto tiempo emplerán 2 pintores? 8. Un urso e 36 estuintes v e pseo l ply y ntes e ir eien reoger l sur. Si 9 estuintes limpin l ply en 2 hors, uánto emorrín si ooperr en est tre too el urso? 9. Deio l rei e un río se estruye un puente en el sur e Chile, ejno isl un iu. Si hy nteeentes e que 6 homres, trjno 8 hors iris onstruyen 3/8 e un puente en 9 ís, Cuántos ís fltn pr terminr l or? En uántos ís onstruyen el puente si se gregn 4 homres más y se isminuyen ls hors e trjo 6? Si se upli el número e homres y se isminuyen l mit ls hors iris e trjo, en uánto tiempo terminr e onstruir el puente? 10. Un vehíulo tom os hors y mei en reorrer un istni un veloi promeio e 48 mills por hor. Cuánto tomrá un veloi e 60 mills por hor en reorrer l mism istni? 11. Pr lfomrr un iliote se utilizron 15 rollos e lfomr e 1,2 m e nho y 40 m e lrgo. Cuántos rollos se hrín utilizos si el rollo huiese tenio 2 m e nho y 30 m e lrgo? 12. Trnsportr 4 tonels 250 km e istni uest $ Cuánto ostrí trnsportr 10 tonels ole e istni? 13. Tres migos, Cluio, José y Gonzlo, se reprten 26 olits en l rzón 3:4:6, uántos olits reie uno?

10 Nomre y Apellio:... Tem: Rzón y Proporión Trjo Prátio N 3 1. En so, esri l rzón y etermine su vlor. ) Anteeente 1 y onseuente 2 ) Anteeente 5 y onseuente 15 ) Anteeente 9 y onseuente 5 ) Anteeente 108 y onseuente 4 2. En un rzón el onseuente es 8 y su vlor es 0,375. Determine el nteeente 3. En un rzón el nteeente es 2 y su vlor es 0,4. Determine el onseuente. 4. En un urso e 36 lumnos, 9 fueron reproos. Cuál es l rzón entre l nti e proos y l nti e lumnos el urso? 5. En un terreno, el áre onstrui es e 120 metros uros y el áre lire es e 80 metros uros. Cuál es l rzón entre el áre onstrui y el áre el terreno totl? 6. Determine el vlor e l inógnit en un e ls siguientes proporiones. ) x ) 63 9 x 5 ) 8 12 ) 5 y 49 y En un urso, l rzón entre l nti e homres y e mujeres es 3:2. Si l nti e homres es 18, uál es el totl e lumnos el urso? 8. Dos migos een reprtirse $ en l rzón 7:2. Cuánto inero reie uno? 9. Tres metros e género vlen $ 800. Cuánto vlen oho metros el mismo género? 10. Un moto reorre 120 metros en 4 segunos. Qué istni reorre en 52 segunos, si mntiene su rpiez onstnte? 11. Seis operrios vn en 1 í un znj e 80 metros e longitu. Cuántos metros vrán, en un í, 42 operrios trjno ls misms oniiones? 12. Teres trjó 3 hors y gnó $ A es rzón, uánto tiempo le tomrá gnr $ ?

11 Nomre y Apellio:... Tem: Rzón y Proporión Trjo Prátio N 4 1. Si 25 telres prouen iert nti e tel en 120 hors. Cuánts hors emorn 60 telres igules en prouir l mism nti e tel? 2. L rpiez e un utomóvil es e 70 km/hrs y emor 5 hors en reorrer un iert istni. Cuánts hors emorrá, en reorrer l mism istni, otro utomóvil on un rpiez e 80 km/hrs? operrios se emorn 12 ís en relizr un etermino serviio. Cuántos ís se emorn 24 trjores en relizr el mismo serviio? 4. El ño pso se limpió un nl en 28 ís on 60 homres. Este ño se quiere efetur el mismo trjo en sólo 14 ís. Cuántos homres hy que ontrtr? 5. Completr ls siguientes tls pr que su istriuión se un proporionli iret o invers según orrespon. ) P. Diret ) P. Invers Tiempo Porentje Veloi Tiempo ( ís) Un llve que rroj 26 litros por minuto e ierto líquio, emor 1,5 hrs. en llenr un estnque Cuánto emor en llenrse el mismo estnque, si otr llve rroj 45 litros por minuto?

12 Nomre y Apellio:... Tem: Rzón y Proporión Trjo Prátio N 5 1. Ls inustris ACME tienen 120 empleos, inluyeno 15 supervisores. Cuál es l rzón entre los supervisores y el resto e los empleos? ) 8 1 ) 7 2 ) 7 1 ) El vlor e x en l proporión; x ) 15 ) 10 ) 6 ) El vlor e y en l proporión; es: 5 y ) 15 ) 9 ) 20 ) 17,5 es: 4. Dos números están en rzón 7 3. Si el menor e ellos es 189. Cuál es el otro número? ) 810 ) 441 ) 400 ) Un inversión e $ proue un renimiento e $ en un ño, qué renimiento prouirá un inversión e $ l mism ts e interés, urnte el mismo tiempo? ) $ ) $ ) $ ) $ Diez operrios onfeionn 192 rigos en 20 ís e trjo. Cuántos ís een trjr 18 operrios pr onfeionr l mism nti e rigos? ) 15 ís ) 8 ís ) 9 ís ) 16 ís 7. Un utomovilist onujo 600 km on 40 litros e gsolin. Cuántos litros neesitrí pr reorrer 1500 km? ) 90 litros ) 100 litros ) 80 litros ) 60 litros 8. 4 trjores se emorn 30 ís en rreglr un s. Si l s ee estr list en sólo 20 ís, uántos trjores se neesitn? ) 8 ) 7 ) 6 ) 9

13 Nomre y Apellio:... Tem: Rzón y Proporión Trjo Prátio N 6 I.- Desrroll los siguientes ejeriios EN TU CUADERNO: Ls ees e un pre y su hijo están en l rzón 10:3. Si entre mos tienen 78 ños, uántos ños más tiene el pre que el hijo? Dos persons se reprten $ e moo que sus prtes estén en l rzón 8:4. Qué nti le to uno? L sum e tres números es 72 y están en l rzón 2 : 4 : 3. Enuentr los números Clul el vlor e X en l proporión 12 4 x 5 En un urso e 45 lumnos, 40% orrespone mujeres. Cuántos homres hy en el urso? Por el rrieno e 5 vieos orn $ De uánto inero eo isponer pr rrenr 3 vieos? Doe jones ontienen 960 mnzns. Cuántos jones se neesitn pr lmenr mnzns? Un s se pint en veinte ís on 40 trjores, uántos trjores se neesitrán si se quiere pintr l s en 80 ís? II. Construir los gráfios e inir ul orrespone un proporión iret e invers 1) x Y

14 2) x Y ,8 6 4 III.- Determin l rzón ini: En un enuest reliz 40 persons sore sus gustos musiles se otuvieron los siguientes resultos: Tipo e músi Cnti e persons Metl 20 Rok 12 Clási 1 Pop 3 Follóri 2 Otr 2 1) Esrie l rzón entre l nti e persons que prefieren músi metl y el totl e enuestos. 2) Esrie l rzón entre l nti e persons que prefieren músi follóri y el totl e enuestos. 3) Esrie l rzón entre l nti e persons que prefieren músi pop y el totl e enuestos. Esrie l rzón entre l nti e persons que prefieren músi metl y ls que prefieren músi lási. IV.- Opión múltiple. Resuelve relizno los álulos en l prue. Enierr en un írulo l lterntiv orret en ls siguientes pregunts. (2 puntos /u) 1) Si ls ees e Crlos y Frniso son 12 y 15 ños, entones l rzón entre sus ees es: ) 3 / 5 ) 4 / 5 ) 1 / 5 ) 3 / 4 e) 1 / 4 2) Si el onseuente e un rzón es 128 y su vlor es 4 1. Clulr su nteeente )12 )22 )32 )42 e)52

15 3) L rzón e os números es 5 : 3 y su ifereni es 16.Determin los números. ) 40 y 24 ) 50 y 34 ) 54 y 38 ) 60 y 44 e) 70 y 54 4) L sum e tres números es 36 y están en l rzón 2 : 3 : 4. Determin los números ) 3,15, 18 ) 8,12, 16 ) 7,14,15 ) 9,12,15 e) 10,12,14 5) Si 64 se ivie en l rzón 3 : 5 : 8, l prte más pequeñ es: ) Clul el vlor e X en x l proporión ) L onstnte e proporionli e l siguiente tl orrespone : x y ,2 ½ 20 2% 8) Cuál e ls siguientes igules no orrespone un proporión:

16 9) L trjet e l figur está ivii en utro prtes, un e ells semejnte l trjet originl. El vlor e x es: ) En 12 rriles se pueen gurr 660 litros e enin. Cuántos rriles se neesitn pr gurr 4290 litros? ,9 1,8 11) Un grnjero tiene sufiiente lflf pr limentr 20 vunos por 30 ís. Cuánto le urrá el limento si ompr 5 vs más? ) 37,5 )32 ) 24 )22 e) 18 12) Un llve que entreg 40 litros por minuto tr 10 hors en llenr un pisin. Cuánto tiempo trrá en llenrlo otr llve que entreg 35 litros por minuto? ) 8,7 ) 11,4 ) 23,4 ) 34,9 e) 42 13) Pr regr un hetáre e plntiones un griultor uent on un sistem e riego que entreg 30 litros por minuto, trno 50 minutos en ompletr su tre. Cuántos minutos trrí si el sistem entregse 40 litros por minuto? ) 24 ) 45 ) 37,5 ) 66,6 e) 70,5 14) De qué número 8 es el 25%? 4) 64 5) 56 6) 48 7) 40 8) 32

17 15) El Festivl e l Cnión e Viñ el Mr umple 50 ños en el ño 2009, e los ules 20 h triunfo Chile. Qué porentje represent los festivles gnos por nuestro pís? 3) 30% 4) 40% 5) 50% 6) 80% 7) 90% 16) De un urso e 45 lumnos, el 20% est enfermo. Cuántos niños están snos? ) 9 ) 15 ) 25 ) 36 e) 40