Introducción al álgebra en R

Transcripción

1 Autor: hristin ortes Introuión l álger en R.- El álger trt e nties omo en l ritméti pero en form más generl; que mientrs que l ritméti utili nties enots por números on un solo vlor efinio el álger us letrs que pueen tener iferentes vlores. Ls letrs uss son ls e nuestro lfeto unque no h restriión l vlor numério que ell represent se entiene que no siempre v representr el mismo vlor. Así por ejemplo si eimos que no signifi que "" v vler siempre. Comenmos on ls efiniiones en el álger estleieno que los símolos, -,, :, tienen el mismo signifio que en l ritméti..- Un epresión lgeri es un oleión e símolos que puee onstr e uno o más términos que están sepros uno el otro por los símolos -. Ejemplo: - es un epresión lgeri que onst e términos Oservión: Cuno no h signo que pree l término se entenerá que es..- Ls epresiones pueen ser simples o ompuests. Un epresión simple onst e un solo término omo por ejemplo. Un epresión ompuest puee tener iferentes nomres. Así un epresión e os términos se llm inomio; un e tres términos trinomio, e más e tres términos se llmn multinomios. Ejemplo: es un inomio - es un trinomio m n - p t s es un mutinomio..- Cuno os o ms nties se multiplin su resulto se llm prouto. Un ifereni importnte entre ls notiones e l ritméti el álger es l siguiente: en ritméti el prouto e se esrie o ; en el álger el prouto entre puee ser esrito omo, o simplemente que es l form ms usul..- C un e ls nties que intervienen en un prouto se llmn ftores, sí por ejemplo en el prouto,, e son los ftores..- Cuno uno e los ftores e un epresión es un nti numéri v l prinipio es llmo oefiiente el resto e los ftores. Así por ejemplo en, es el oefiiente. Oservión: Cuno el oefiiente es no se esrie, por ejemplo no esriimos sino solmente..- Si un nti se multipli por si mism un número e vees el prouto se llm poteni es epres esriieno el número e ftores l ereh e l nti sore ell. Por ejemplo: es llm l segun poteni e se esrie omo es llm l terer poteni e se esrie omo. El número que epres l poteni e lgun nti es llmo eponente. Oservión: se lee omo uro; se lee uo. Cuno el eponente es no se esrie luego, no esriimos, sino simplemente. En resumen,,, tienen el mismo signifio..- Pr omenr eemos ser uiosos en istinguir entre oefiiente eponente. Ejemplo : Cuál es l ifereni entre? signifi el prouto entre ls nties signifi l nti "" multipli tres vees por si mism.

2 Autor: hristin ortes Ejemplos Si,,,,. Hllr el vlor e: 0 Si,,,,, hllr el vlor e: 0 0 Si,,,, enontrr el vlor e 0 0 Cuno intervienen iferentes potenis Ejemplo: Si,, hllrel vlor e soluión Ejemplo : Si,,, hllrel vlor e soluión : 00 Si uno e los ftores el prouto es ero, el prouto entero vle ero. Por ejemplo, si 0, entones el prouto, omo ontiene un ftor ero vle ero. Oservión: to poteni e ero es ero.

3 Autor: hristin ortes Si,, 0,,, hllrel vlor 0 e: 0 Si,,, p 0, q, r, hllrel vlor e: r q r r q r q 0 r r r q r p r q r q Definiión: L rí ur e un epresión es l nti uo uro es igul l epresión. Así l rí ur e es porque. L rí ure"",seenot por De igul mool ríúi, l rí urt, l ríquint senotn por: Ejemplo: Ejemplo: Si,,, hllrel vlor e soluión :, Ejemplo: Si,,, hllr el vlor e, soluión., porque

4 Autor: hristin ortes Ejeriios: Si, 0, k,,, enontrr el vlor e: k k k 0 k k k k k k k 0 k En el so e epresiones que ontengn ms e un término uno e los términos ee ser lulo on ls regls prenis luego ominr los vlores numérios enontros trvés e ls regls el ejeriio. Ejemplo: Si, hllr el vlor e 0 tenemos luego Si, tenemos,, hllr el vlor e

5 Autor: hristin ortes e vlor hllrel Si II e vlor hllr el Si I EJERCICIOS PROPUESTOS tenemos e vlor hllrel Si 0 0 : 0,,,,. 0 : 0,,,,. 0 0 :,,,

6 Autor: hristin ortes 0 : 0,,,,,,. e vlor hllrel Si III

7 Autor: hristin ortes AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Definiión: Cuno los términos no son iferentes, o uno ellos sólo ifieren en sus oefiientes numérios, ellos son llmos términos semejntes. Por ejemplo, son semejntes; son semejntes. Ls regls pr sumr términos semejntes son ls siguientes: Regl I: l sum e un nti e términos semejntes es un término semejnte on ellos. Regl II: Si toos los términos son positivos solo ee sumr los oefiientes. Ejemplo: Enontrr el vlor e Como son mos positivos summos el resulto e uero l regl I es Regl III: si toos los términos son negtivos sume los oefiientes numérios gregue el signo menos l resulto. Ejemplo: Hllr l sum ---- De uero l regl III summos gregmos el signo menos luego nos que: -, entones el resulto es - Regl IV: Si no toos los términos tienen el mismo signo sume seprmente los positivos los negtivos; l ifereni e estos os resultos preeio por el signo el mor será el oefiiente el resulto. Ejemplo: Sume - L ifereni entre ellos es el mor es positivo luego el resulto es Ejemplo: sume L sum e los positivos es L sum e los negtivos es L ifereni entre mos es - Y omo el mor es negtivo, el resulto es -. Oservión: L sum e os nties numérimente igules pero on signos opuestos es ero. Así por ejemplo, l sum e - es ero. Ejeriios: Enontrr l sum e: f - f - f f - 0f s - s s - s - s s tre: resolver los ejeriios el liro álger e Pröshle, e ls págins: págin ejeriios l 0

8 Autor: hristin ortes Enontrrel vlor e: 0 0 Epresiones que ontienen términos no semejntes Cuno en un epresión h términos iferentes, estos een ser grupos on sus semejntes. Regl: esri l epresión en fils e moo que los términos semejntes queen en l mism olumn luego sume olumn omenno por l e l iquier. Ejemplo Ejemplo Ejeriios

9 Autor: hristin ortes p q - r p - 0q r p q - 0r pq qr - rp - pq qr rp pq - qr rp PARÉNTESIS SIMPLES SUMA Y RESTA Cuno un número e nties ritmétis están onets por los signos, o - el vlor el resulto es el mismo inepeniente el oren en que los términos sen tomos. Esto tmién se umple on ls epresiones lgeris. Así por ejemplo - es equivlente : - ; tmién si pree l epresión - puee ser esrit omo -. Los préntesis son usos pr inir que los términos enerros entro e él een ser onsieros omo un sol nti. Por ejemplo, signifi que een ser sumos el resulto e su sum se le sum. De igul moo signifi que l sum e ee ser sum., es eir:. 0 0

10 Autor: hristin ortes Regl: Cuno un epresión entro e préntesis es preei por el signo, l levntr el préntesis toos los signos interiores permneen inlteros. Es eir: L epresión - signifi que eemos restr l sum e. El resulto será el mismo que si son restos e, es eir Regl: Cuno un epresión entro e un préntesis está preei por un signo -, l levntr el préntesis min toos los signos interiores, es eir: - - -, o ien Los préntesis ms omunes son: reono [ ] uro llve Levntmiento e préntesis Pr levntr préntesis se usn ls regls rri esrits, por otro lo si l epresión ontiene ms préntesis, se ee omenr levntr los préntesis ms internos. Ejemplos: - - [ ] soluión prtimos por el ms interno que es uno e los reonos ejno lo emás igul min los signos - - [ ] luego seguimos on el otro reono no min los signos - - [ ] ontinumos hor on el préntesis e llve min los signos e nuevo - - [ ] finlmente on el préntesis uro min e nuevo toos los signos finlmente grupmos los términos semejntes el resulto es entones Ejemplo : -[ ] soluión prtimos por el préntesis ms interno que son los reonos, que omo están en el mismo nivel los poemos levntr l mismo tiempo -[ ] seguimos hor on el préntesis e llve min los signos -[ ] finlmente levntmos el préntesis uro min nuevmente los signos interiores finlmente grupmos los términos semejntes l soluión es 0

11 Autor: hristin ortes Ejeriios Levntr préntesis grupr los términos semejntes [ - ] - [ ] [ - ] - - [ ] - - [- - - ] -[ ] - [ ] [- - - ] [- - - ] [ ] [ - - ] - - [ - ] - [ ] - [ - - ] - [ - - ] - [ ] - - [ ] - [ ] -[ ] 0 - [ ª] MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Def.: multipliión en su sentio primrio signifi sums repetis. Por ejemplo signifi sumo vees es eir. En el so e ls epresiones lgeris tiene el mismo signifio, es eir signifi "" sumo ""vees. Regl: pr multiplir os epresiones simples, multiplimos los oefiientes que orresponerá l oefiiente el prouto luego se multiplin los ftores literles omo potenis. Regl : pr multiplir os potenis que tienen l mism se, se onserv l se se sumn los eponentes. Ejemplo: Ejemplo: 0 0 Ejemplo: 0 0

12 Autor: hristin ortes Ejeriios 0 Multipliión e epresiones ompuests por epresiones simples Por efiniión e prouto m m m m m... tomo vees Así tenemos que el prouto e un epresión ompuest por un solo ftor es l sum lgeri e los proutos priles e término e l epresión ompuest por iho ftor. Esto es onoio omo l le istriutiv e l multipliión. Ejemplo : - - Ejemplo : - - ³ ³ - ³ - ³

13 Autor: hristin ortes Ejeriios ³.- ³ - ³.- - Multipliión e epresiones ompuests Si en el so nterior, es eir en m, esriimos omo m tenemos: Ejemplo : Multiplir Est operión puee ser resuelt onvenientemente e l siguiente form Ejemplo : Multiplir ejeriios hllr el prouto e:

14 Autor: hristin ortes hremos hor lgunos ejemplos e mor ifiult multiplir ³ ³ - Ejemplo : Ejemplo : Ejeriios ³ ³ - ³ - -

15 Autor: hristin ortes ³ Proutos que se pueen esriir por simple inspeión Aunque el resulto e l multipliión e os inomios tles omo - puee ser otenio por los métoos estuios es e sum importni que el estuinte pren esriir ihos proutos por simple inspeión. Esto result el heho: En uno e los resultos poemos notr que: i ii iii iv el prouto onst e tres términos el primer término, es el prouto e los os primeros términos e ls epresiones inomiles. El terer término es el prouto e los os segunos términos e ls epresiones inomiles. El término entrl tiene por oefiiente l sum e ls nties numéris toms on sus propios signos e los segunos términos e ls epresiones inomiles. Luego l etp intermei en el proeso visto se omite el prouto ee ser esrito en form inmeit. Ejemplo: Ejeriios Esri los siguientes proutos

16 Autor: hristin ortes