Transformada Discreta de Fourier

Transcripción

1 TRSFORMD DISCRET DE FOURIER Moviminto oscilatorio armónico y sonidos puros Los movimintos oscilatorios conforman l stímulo n la prcpción d la snsación sonora, y la compljidad d s moviminto dtrmina la compljidad dl sonido prciido. Vamos a dfinir matmáticamnt l moviminto oscilatorio más simpl dnominado moviminto oscilatorio armónico- qu sirv d stímulo n la prcpción d los sonidos puros. Partimos d un sistma análogo, un ojto qu s dsplaza con moviminto circular uniform. La proycción sor un j d un punto con moviminto circular uniform dscri un moviminto oscilatorio armónico. j luz y somra dl punto t Proycción dl moviminto circular uniform n oscilatorio armónico. Un ojto raliza un moviminto circular uniform si su trayctoria s una circunfrncia y si rcorr longituds d arco iguals n timpos iguals. Si l arco B s l spacio rcorrido y t s l timpo mplado n rcorrrlo, su vlocidad s v = B t la vlocidad xprsada n función dl arco rcorrido la dnominamos tangncial, pro podríamos dfinirla no n función dl spacio rcorrido, sino dl ángulo arrido ( ). sta forma d xprsar la vlocidad la dnominamos angular (ω). ω = t El ángulo pud star xprsado n grados o in n radians. Un radián s l ángulo ncsario para otnr un arco cuya longitud s igual al radio d la circunfrncia. Dado qu la longitud d la circunfrncia s πr, y qu un ángulo mdido sor la circunfrncia s indpndint dl radio, podmos infrir qu 36 quival a π radians. Lugo, 18 s π radians y 9 s π/ radians. Dtrminamos la longación (y), o sa la distancia rspcto dl punto mdio o punto d rposo con y = sin n función dl ángulo dl sistma análogo, o ángulo d fas, y la amplitud. 1

2 Si dsamos qu la longación sté n función dl timpo, podmos rmplazar l valor dl ángulo por ωt, rcurrindo a la vlocidad angular. y = sin( ωt) Lo cual s cirto sólo si l moviminto oscilatorio cominza n l punto d rposo (fas inicial ). En caso contrario, dríamos sumar l valor dl ángulo d fas inicial al inicio dl moviminto (t = ) para otnr valors corrctos d longación. y = sin( ω t + φ) Tamién podríamos rmplazar a la vlocidad angular para indpndizarnos dl moviminto circular, y rmplazarla por la frcuncia (f) qu s la cantidad d ciclos por sgundo. En l moviminto circular uniform un giro d 36 s dsarrolla n l timpo qu dura un ciclo, o sa l príodo (T). Por lo tanto, ω = π /T Como la frcuncia y l príodo s vinculan por f = 1 / T, nos quda qu ω = πf. Rmplazando la vlocidad angular rsulta: y = sin( π ft + φ) El valor d la longación para una frcuncia dada stá ahora n función dl timpo. Esto podríamos anotarlo como y = f(t). La dscripción matmática d la sñal digital s similar. La varial timpo ya no transcurr d manra continua, sino qu asum valors discrtos. f ( = sin(π fnt + φ) dond n s l númro d mustra considrado y T s l príodo d mustro (l timpo qu transcurr ntr una mustra y la siguint). El timpo ahora s mid por cantidad d príodos d mustro (nt). Si R s la frcuncia d mustro (o cantidad d mustras tomadas por sgundo), podmos scriir sn(πfn/r + φ) dado qu T (príodo) y R (frcuncia), al igual qu n l moviminto oscilatorio, s rlacionan por T = 1/R. En la práctica, para simplificar, sul no hacrs mnción dl príodo o frcuncia d mustro, qudando simplmnt f ( = sin( ω n + φ) = sin(π fn + φ)

3 Dos ciclos d una sñal sinudoidal d 1Hz, mustrada a 3kHz, y 3 mustras por ciclo. La ly fundamntal qu s mpla n audio digital, conocida como Torma d yquist (198), xprsa qu para mustrar una componnt d frcuncia X, la frcuncia d mustro d sr por lo mnos d X. Por jmplo, si dsamos rgistrar un sonido puro d 1. Hz, R d sr d al mnos d. Hz. Una frcuncia d mustro d 44.1 Hz (d un disco compacto, por jmplo) dría, al mnos n la toría, prmitirnos rgistrar digitalmnt sonidos cuya componnt d frcuncia más alta sa d.5 Hz. Si la frcuncia d mustro s xactamnt igual al dol d la frcuncia dl sonido a digitalizar, cada ciclo stará rprsntado por sólo dos valors (críticamnt mustrado). Esto s osrva n la figura siguint. Sinusoid críticamnt mustrada, con dos mustras por ciclo. Si la frcuncia d mustro s mnor al dol d la frcuncia dl sonido s produc una indtrminación dnominada aliasing, qu produc distorsión. Pud vrs n l siguint gráfico qu la lctura d las mustras otnidas rproduc una componnt d mnor frcuncia qu no xistía n la sñal original. Una sinusoid mustrada por mnos d dos mustras por ciclo, qu produc aliasing. Para vitar l aliasing s mpla, n los convrsors, un filtro pasa-ajos n la ntrada. Su frcuncia d cort s ncuntra a la mitad d la frcuncia d mustro, impid qu cualquir componnt qu supr n frcuncia la mitad d R pas al convrsor analógico-digital. Rcordmos qu un filtro pasa-ajos dja pasar todas las componnts qu s ncuntran por dajo d su frcuncia d cort y rtin al rsto. Otro filtro pasa-ajos a la salida, suaviza l contorno d la forma d la sñal gnrada por l convrsor digital-analógico a partir d la scuncia d númros almacnada. Una sñal críticamnt mustrada sólo pud sr rproducida como una sñal sinusoidal, dado qu la frcuncia d cort dl filtro no prmit l paso d armónicos. 3

4 Pro vamos ahora una forma difrnt d xprsar la función sin( ω t + φ) sin( ω t + φ) = acos( ωt) + sin( ωt) La dmostración s la siguint. Si considramos la idntidad trigonométrica qu xprsa sin( + B) = sin cos B + cos sin B Podmos scriir, rmplazando Α y Β [ sin( ωt)cosφ cos( ωt) sinφ] sin( ωt + φ) = + = sinφ cos( ωt) + cosφ sin( ωt) = acos( ω t) + sin( ωt) dond a = sinφ y = cosφ Si dsamos otnr l valor d por sr sin φ + cos φ = 1 Por lo tanto, la amplitud s a + = ( sinφ) + ( cosφ) = sin φ + cos φ = (sin φ + cos φ) = Y la fas inicial s. = a + a sinφ = = tanφ cosφ a φ = tan 1 4

5 Idntidad d Eulr La idntidad d Eulr, una fórmula muy utilizada n l procsaminto digital d sñals d audio, nos dic qu j = cos + jsin, al igual qu π, s un númro irracional cuyo valor s Un númro compljo z = x + jy, xprsado n forma cartsiana, pud sr rprsntado n forma polar dl siguint modo: z = r cos + jr sin Considrando qu r j = r(cos + jsin ) = r cos + jr sin, podmos utilizar la idntidad vista para otnr otro modo d rprsntación polar d un númro compljo z = r Si r = 1, rprsnta a un punto uicado n una circunfrncia d radio unitario, cuya posición stá dtrminada por l ángulo qu forma l vctor qu un al orign d coordnadas con l punto n custión. Esta forma polar rduc considralmnt la dificultad d las opracions con númros compljos. En la multiplicación, por jmplo, la opración rsulta más simpl: z z 1 = ( r ) j( 1 + ) )( r ) = ( r1 r )( = r1 r Por otra part, s intrsant osrvar qu hacindo = π n la rlación d Eulr, surg la fórmula considrada d singular llza π j = cosπ + jsinπ jπ = 1+ jπ +1 = dado qu rún d forma simpl a las constants, π, j, y 1 con las opracions d suma, multiplicación, potnciación igualdad. Otra drivación important surg d sumar la posición d un punto uicado n l plano compljo, sor la circunfrncia unitaria, con otro cuyo argumnto () s ngativo. + j = cos + jsin + cos jsin = cos y = cos + cos = + jsin cos + sin = jsin = jsin 5

6 La sinusoid complja En l procsaminto d sñals digitals sul usars l término sinusoidal para una sñal dfinida tanto por la función sno como por la función cosno. D hcho, una función cosno con fas inicial no s sino una función sno con fas inicial π/, y su utilización s común cuando s trata d sñals rprsntadas d forma complja, pus la función cosno s rfir a la part ral d la misma. imag = cos + j sin a ral a Moviminto circular uniform n l plano compljo. Considrmos l moviminto circular uniform d un punto sor la circunfrncia unitaria. La proycción sor l j ral dscri un moviminto oscilatorio armónico qu s posil xprsar n términos dl cosno dl ángulo d fas, y otro moviminto oscilatorio sor l j imaginario, xprsal como l sno dl mismo ángulo. Si rcurrimos a la idntidad d Eulr, podmos dfinirlo dl siguint modo: j = cos + j sin Si rmplazamos por ωt, considramos la fas inicial, y si multiplicamos por una amplitud distinta a la unidad- otnmos: j ( ωt + φ ) = cos( ωt + φ ) + j sin( ωt + φ ) qu s una forma posil d rprsntar a la sinusoid complja. Otra forma s Dond, sgún vimos y j( ωt+ φ ) = a cos( ωt) + jsin( ωt) = a + φ = tan 1 a 6

7 La difrncia d fas ntr amos movimintos oscilatorios corrspond a un cuarto d ciclo (π/). Cuando ω > (moviminto circular contrario a las agujas dl rloj), la part ral antcd a la part imaginaria n un cuarto d ciclo. En camio, si ω <, ocurr lo contrario, lo cual s dsprnd d analizar l gráfico antrior. Esto nos facilita conocr l sntido d giro, o dicho d otra manra, si la frcuncia angular (ω) s positiva o ngativa. sí como 4 pud asumir dos valors (+ ó -), cos(ωt) rsulta indifrnt al sntido dl moviminto, dado qu cos( ω t) = cos( ωt). Pro si considramos nuvamnt cos = notamos qu n ralidad cos(ωt) s la suma promdiada d dos movimintos circulars d sntidos opustos, y por lo tanto contin amas frcuncias, la positiva (n sntido antihorario) y la ngativa (n sntido horario). Dl mismo modo, sin( ω = sin( ω, lo cual sugir una amplitud ngativa o un camio d fas d 18º. Por lo tanto, sin = s la suma promdiada d dos movimintos circulars opustos, uno d llos con amplitud ngativa. Esto xplica la razón por la cual la Transformada Discrta d Fourir, qu vrmos a continuación, convirt una forma d onda n un spctro simétrico, con frcuncias tanto positivas como ngativas, cada una con la mitad d la amplitud total d cada armónico prsnt n la forma d onda analizada. + imag a -a ral Movimintos circulars d igual vlocidad y sntido opusto Transformada Discrta d Fourir La Transformada Discrta d Fourir (TDF) nos prmit otnr l spctro d una forma d onda. Est spctro stá rprsntado por componnts sinusoidals cuyas frcuncias son armónicos d una fundamntal, dnominada frcuncia fundamntal d análisis. Si partimos d una forma d onda aritraria, y nviamos para su análisis una cantidad d mustras sucsivas, la TDF considrará a sas mustras como rprsntativas d un único ciclo d una onda infinitamnt priódica. El rsultado otnido contin los armónicos prsnts n l príodo considrado d sa onda supustamnt priódica. 7

8 fin d simplificar l prolma, partamos d una onda sinusoidal x( d amplitud máxima, cuyo príodo stá rprsntada por mustras. Si = 8, los valors d amplitud para cada mustra dl ciclo son: x( =,,,,,,, La suma d todos los valors s igual a cro, dado qu tanto la función sno, como la función cosno, son simétricas rspcto al j horizontal. La prgunta s ntoncs cómo xtrar d forma matmática la amplitud máxima d sa sucsión d mustras. Dado qu x( = sin( ω, si multiplicamos la función por sin( ω nos quda: sin( ω sin( ω = sin ( ω l lvar los valors d la función sno al cuadrado, la amplitud d cada mustra s vulv positiva n todos los casos. Si sumamos ahora los valors d todas las mustras, otnmos lo siguint: 1 x( sin( ω = = 4 = Hmos xtraído, d st modo, la amplitud d x( a través d un procdiminto puramnt matmático. Dl mismo modo, si y( rprsnta a una forma d onda complja, podríamos utilizar l mismo procdiminto para xtrar la amplitud d todas sus componnts. En st caso multiplicaríamos a la función y( por sin(ω, sin(ω, sin(3ω, y así sucsivamnt. Vmos qu la TDF actúa como un anco d filtros, qu prmit aislar, d una sñal complja, sus componnts sinusoidals. fin d comproar l procdiminto podmos multiplicar a la sñal sinusoidal x( por sin(ω a fin d intntar xtrar un sgundo armónico. Oviamnt, l rsultado da. La solución al prolma plantado la ncontramos a partir d la utilización d la siguint idntidad trigonométrica: os quda, ntoncs 1 1 sin( )sin( B) = + 1 sin( ω sin(ω = [ cos( B) cos( B) ] [ cos( ω cos(3ω ] 1 1 = cos( ω cos(3ω = Si considramos ahora la forma sin( ω n + φ) = a cos( ω + sin( ω, para calcular la DFT d una función no sinusoidal podmos multiplicar las mustras por cos(ω y sumar los rsultados para xtrar a d la primra componnt, y multiplicar por sin(ω para xtrar. a x ω y 1 ( cos( = 1 x( sin( ω = 8

9 Lugo por cos(ω y sin(ω para l sgundo armónico, y así sucsivamnt. D modo gnral podmos scriirlo como sigu ak = x( cos( kω y k = x( sin( kω Postriormnt, con los valors d a k y k podmos calcular la amplitud ( k ) y la fas ( k ) corrspondints a cada armónico, tnindo prsnt qu la amplitud otnida corrspond a la mitad d su valor ral, pus s halla rpartida ntr l valor d frcuncia positivo (ω y l ngativo (-ω. El spctro calculado s, por lo tanto, simétrico alrddor d Hz. Tratmos d dtrminar ahora cuáls son las frcuncias d las componnts qu rsultan dl análisis. La varial k rprsnta l índic d frcuncia, y la frcuncia fundamntal d análisis ocurr para k = 1 kr f k = para k =, 1,,, -1 f k s la frcuncia dl armónico k, R s la frcuncia d mustro (sampling rat), y s l númro d mustras analizadas. Para k = 1, ntoncs, otnmos la frcuncia d la fundamntal, para k = la dl sgundo armónico, y así sucsivamnt. Otro modo d rprsntar la TDF s valiéndonos d la rlación d Eulr. En nustro caso podmos adaptar la idntidad a las varials qu nos intrsan particularmnt: 1 jπ f t = cos(π ft) + j sin(π ft) y dado qu cos(-x) = cos(x) y sin(-x) = -sin(x), podmos scriir jπ f t = cos( π ft) + j sin( π ft) = cos(π ft) j sin(π ft) Como la frcuncia stá dada por kr /, y l timpo por nt, πft s convirt n Y como R = 1/T quda, simplificando, π ft = π kn / kr π nt Por lo tanto, jπ k n / = cos(π kn / ) j sin(π kn / ) Finalmnt, la TDF quda xprsada dl siguint modo: X ( k) = 1 x( π jkn/ para k =, 1,,, -1 El siguint fragmnto d programa n lnguaj C dscri la aplicación práctica d la fórmula. for(k = ; k < ; k++){ //k d a -1 ral[k] = imag[k] = ; //s inicializan a for(n = ; n < ; n++){ //n d a -1 ral[k] += x[n] * cos(pi * k * n / ) ; imag[k] -= x[n] * sin (Pi * k * n / ) ; } ral[k] /= ; //s scala por 1/ imag[k] /= ; //para d ntr y 1 } Los datos almacnados n las matrics ral imag son los coficints a y, dsd dond s otin y la fas. La frcuncia rprsntada por l índic k s, como vimos ants, f k = kr / 9

10 Si analizamos 16 mustras d un sonido samplado a 16. Hz, la frcuncia fundamntal d análisis corrspond a 1 Hz (R/), y las dmás componnts (armónicos) tinn frcuncias múltiplos d sa fundamntal. La cantidad d valors qu s otinn quival a (l númro d mustras). Saindo qu hay 16 mustras otnmos 16 valors d a y, y l rsultado s n spjo, dado qu al suprar R/ s produc aliasing. lgo similar ocurr n l cin, cuando vmos una ruda con rayos qu aclra su vlocidad (una carrta, por jmplo). En dtrminado momnto, vmos qu la ruda parc dtnrs y cominza a girar n sntido opusto. Rcordmos qu una plícula tamién s discrta, y stá formada por 4 cuadros por sgundo. Los primros 8 primros valors d k (hasta R/, frcuncia d yquist) corrspondn a las frcuncias positivas dl spctro, los siguints, a las ngativas n ordn dcrcint. Ejmplo: k = R/ Hz k = 1 1 R/ Hz k = R/ Hz k = 8 8 R/k Hz k = 9-7 R/ Hz k = 1-6 R/ Hz k = 15-1 R/ Hz Los valors d amplitud para cada índic d frcuncia son, sgún vimos,, a xcpción dl armónico d Hz (k = ), tamién llamado DC por dirct currnt, y l armónico con frcuncia R/ o frcuncia d yquist (k = 8 n l jmplo antrior), qu quivaln a vcs. Esto s produc porqu tanto la componnt d Hz como la componnt cuya frcuncia s la mitad d la frcuncia d mustro posn su part imaginaria igual a, sin qu puda distinguirs l signo d la frcuncia. Una componnt críticamnt mustrada (dos mustras por ciclo) sólo pud sr una función cosno, con valors y. Y algo similar ocurr con l armónico a Hz, pus con k = su part imaginaria s cro, y la ral rprsnta vcs su amplitud. La TDF invrsa nos prmit convrtir los datos d una sñal discrta rprsntada n l dominio d la frcuncia (spctro) al dominio dl timpo (forma d onda) π jkn/ x ( = X ( k) para n =, 1,,, -1 k = Por otra part, la Transformada Rápida d Fourir (FFT, por Fast Fourir Transfom) s un algoritmo d computación qu implmnta d manra rápida y ficaz la Transformada Discrta. Rquir qu sa potncia d. db -1 db Hz Una sñal priódica con 4 armónicos, y su spctro calculado con la FFT. Como s común n la práctica, sólo s rprsnta su part positiva. R/ Hz 1

11 EJEMPLOS Y PLICCIOES DE L TRSFORMD DISCRET DE FOURIER udio digital fin d ilustrar los concptos studiados antriormnt, vrmos algunos jmplos y aplicacions n l trataminto digital d sñals. Para llo, utilizarmos l lnguaj d programación para l procsaminto d sonido y música n timpo ral Max-MSP 1. En l jmplo 1, l ojto cycl~ produc una sinusoid qu oscila ntr +1 y -1, y su frcuncia s calculada para qu coincida xactamnt con la frcuncia fundamntal d análisis R/. La frcuncia d mustro s 44.1 Hz y l númro d mustras d la vntana d análisis s 56, lo qu da por rsultado 17,66 Hz. Como s trata d una sñal sinusoidal, la TDF sólo dría dtctar nrgía para l primr armónico. S osrva n la tala otnida qu l primr valor s, y corrspond a la componnt d Hz (k = ). El sgundo valor s 18 y corrspond a, para k = 1. Esto implica qu la amplitud dtctada s,5, o sa la mitad qu corrspond a las frcuncias positivas. El último valor d la tala tamién s 18 y rprsnta a la frcuncia ngativa d nustra sinusoid (k = 55). Sgún s osrva n l programa, los valors d a y los otuvimos con l ojto fft~, y la amplitud fu calculada con a +. Ejmplo 1 El jmplo s similar al antrior, pro n st caso ingrsamos una sñal compusta por los primros trs armónicos, cuyas amplituds son,5;,5 y,15 rspctivamnt. S osrvan nuvamnt los rsultados n spjo, con valors 64, 3 y 16 (./)

12 Ejmplo Los programas antriors mustran l análisis d una sñal cuya fundamntal, o primr armónico, coincid xactamnt con la frcuncia fundamntal d análisis d la TDF, pro sto jamás ocurr n la práctica. Para llo, s prciso tnr n cunta qu las mustras a analizar () simpr srán considradas como un ciclo d una onda infinitamnt priódica, aunqu sto no sa cirto. sí como la onda stá mustrada n l timpo, l spctro stá mustrado n frcuncia, y los valors d frcuncia a dtctar srán simpr los armónicos d la frcuncia fundamntal d análisis. En l primr jmplo vimos qu para R = 441 y = 56, su valor ra 17,66 Hz. Pro qué ocurr si analizamos una sñal sinusoidal d 3 Hz qu no coincid n frcuncia con ningún armónico d sa fundamntal d análisis. Dado qu no aarca xactamnt un ciclo d la sñal, la forma d onda a analizar ya no s más sinusoidal, y por lo tanto, pos armónicos, los más prominnts n las frcuncias más crcanas a los 3 Hz. La información irrlvant d los rsultados sul dnominars artfactos d análisis, y un modo d minimizarla s a través d técnicas d modificación d la forma d la vntana. Ejmplo 3 Sgún s osrva n la lista d datos capturados, l pico más prominnt aparc n l sgundo armónico d la fundamntal d análisis (344,56 Hz), qu s la frcuncia más crcana a los 3 Hz. Su amplitud s,95 (. / = 1,). 1

13 56 mustras d una sinusoid d 3 Hz, mustrada a 441 Hz. S osrva qu no rprsnta un númro ntro d ciclos d una sinusoid, sino un ciclo d una forma complja. Un modo d aumntar la rsolución n frcuncia s aumntar l tamaño d la vntana. Si R = 3 Hz, y = 3, la frcuncia fundamntal d análisis s 1 Hz y sus armónicos, 3, tc. Pro si aumntamos a 3 mustras, crc la rsolución n frcuncia, pus s uscan componnts cada 1 Hz. En st caso, s mucho más proal qu la frcuncia a dtctar coincida con los armónicos d la frcuncia fundamntal d análisis. l mismo timpo, ocurr qu la mayoría d los sonidos qu nos intrsa analizar distan mucho d sr priódicos, son camiants n l timpo. Como contrapartida, al aumntar la rsolución n frcuncia disminuy la rsolución tmporal, sto significa qu si l sonido analizado varía, prdmos información sor sus stados intrmdios al ir calculando cómo s transforma l spctro n l timpo. Una solución a st prolma s qu la vntana no avanc mustras, sino qu s suprponga a la antrior. modo d jmplo, si = 14, podmos corrr la vntana cada 56 mustras, mjorando así la rsolución tmporal. Rprsntación tridimnsional d la sucsión d spctros d un sonido impulsivo La TDF nos prmit ralizar opracions d transformación d las sñals rprsntadas n l dominio d la frcuncia, qu no srían posils n l dominio dl timpo. La aplicación qu vrmos a continuación s dnomina síntsis cruzada, y consist n multiplicar los valors d amplitud d las componnts d un sonido con los d otro. modo d jmplo, una sñal constituida por golps sor un instrumnto d prcusión, pud articular la aparición d una música, qu a la vz s filtrada por la nvolvnt spctral dl instrumnto prcutido a causa d la multiplicación d los spctros. Ejmplo 4 13

14 Supatch pfft~ Los ojtos fftin~ ralizan la FFT d cada una d las sñals. El ojto cartopol~ (cartsianas a polars) convirt los valors a y d la sgunda sñal n valors d amplitud, mdiant a +. Finalmnt, sos valors d amplitud son multiplicados por a y d la primra sñal, y s raliza la transformada invrsa con fftout~ para convrtir al dominio dl timpo. Otra aplicación posil s crar un filtro spctral a partir d una curva dtrminada, n nustro caso, diujada con l mous. El ojto multislidr, sor l cual s dscri la curva, prsnta 51 puntos qu pudn variar ntr -1 y 1. El supatch tala duplica sa curva n spjo y almacna los valors n un uffr. Cada uno d los puntos d la función almacnada s multiplica por los 14 () pars d valors a y calculados por la FFT, modificando así la amplitud d cada componnt múltiplo d la frcuncia fundamntal d análisis d modo muy prciso. Ejmplo 5 Supatch pfft~ Supatch tala 14