Transformada Discreta de Fourier

Transcripción

1 Facultad d rts y Cincias Musicals Sminario d Doctorado Matmática plicada a la Composición Musical Transformada Discrta d Fourir Pablo Ctta Constanza Galdo Novimbr d 009

2 TRNSFORMD DISCRET DE FOURIER X ( k) = N 1 n= 0 x( π jkn/ N para k = 0, 1,,, N-1 La TDF s una función d variabl discrta, dscribirmos cómo s obtin sta xprsión matmática aplicada al análisis d sñals digitals y qué rprsnta. Moviminto oscilatorio armónico y sonidos puros Los movimintos oscilatorios conforman l stímulo n la prcpción d la snsación sonora, y la compljidad d s moviminto dtrmina la compljidad dl sonido prcibido. Vamos a dfinir matmáticamnt l moviminto oscilatorio más simpl dnominado moviminto oscilatorio armónico- qu sirv d stímulo a la prcpción d los sonidos puros. Partimos d un sistma análogo, un objto qu s dsplaza con moviminto circular uniform. La proycción sobr un j d un punto con moviminto circular uniform dscrib un moviminto oscilatorio armónico. Q θ y P t Proycción dl moviminto circular uniform n oscilatorio armónico. Un objto raliza un moviminto circular uniform si su trayctoria s una circunfrncia y si su vlocidad s constant, por lo cual, rcorr longituds d arco iguals n timpos iguals. Si l arco PQ s l spacio rcorrido y t s l timpo mplado n rcorrrlo, su vlocidad s PQ v = t la vlocidad también podmos dfinirla n función dl ángulo barrido o ángulo d fas (θ ). sta forma d xprsar la vlocidad la dnominamos angular (ω). θ ω = t Y dsd aquí xprsar l ángulo n función d la vlocidad angular: θ = ωt

3 Los ángulos pudn xprsars n distintos sistmas d mdida, los más habituals suln sr l sistma sxagsimal, qu mid los ángulos n grados sxagsimals, o l sistma natural qu los mid n radians. El sistma sxagsimal part d un ángulo rcto, qu mid 90, y dfin la unidad, 1, como la novnta ava part dl ángulo rcto. El sistma natural xprsa la mdida d un ángulo a través d un númro abstracto, y s l qu s utiliza n matmática, dado qu las variabls qu s utilizan son numéricas. La unidad n st sistma, 1 radian, s dfin a partir d una circunfrncia d radio r, y s l ángulo qu barr un arco d circunfrncia cuya longitud s igual al radio. α = longitud dl arco longitud dl radio Como la longitud d la circunfrncia s π r, l ángulo qu corrspond a una vulta complta s π r α = = π r El ángulo mid π radians. Los radians suln abrviars rad, pro n gnral no s scrib. Podmos rlacionar, ntoncs, ambos sistmas d mdida rcordando qu a una vulta complta l corrspond un ángulo d 360, cuatro ángulos rctos, y quival a π radians. Lugo, 180 s π radians y 90 s π/ radians. Nos intrsa dtrminar la longación (y), la distancia vrtical dl objto al j horizontal, qu s igual a la proycción dl radio d la circunfrncia sobr l j vrtical. y = sinθ Dado un triángulo rctángulo, s dfin al sno dl ángulo (sin α) como l númro qu rsulta dl cocint ntr la longitud dl catto opusto y la longitud d la hipotnusa. sí, xprsamos y n función dl ángulo dl sistma análogo, o ángulo d fas, y la amplitud, o radio. Si dsamos la longación xprsada n función dl timpo, podmos rmplazar l valor dl ángulo por ωt, rcurrindo a la vlocidad angular. y = sin( ωt) En st caso l moviminto oscilatorio cominza con fas inicial θ = 0. Si l moviminto cominza n cualquir otra posición dbríamos sumar l valor dl ángulo d fas inicial al inicio dl moviminto (t = 0). y = sin( ω t + φ) Para indpndizarnos dl moviminto circular, podmos xprsar la vlocidad angularω n función d la frcuncia (f) qu s la cantidad d ciclos por sgundo. En l moviminto circular uniform un giro d 360 s dsarrolla n l timpo qu dura un ciclo, (T). Por lo tanto, si θ π ω = = t T Como la frcuncia y l príodo s vinculan por f = 1/ T, nos quda qu ω = π f.rmplazando la vlocidad angular rsulta: y = sin( π ft + φ) 3

4 El valor d la longación para una frcuncia dada stá ahora n función dl timpo. Esto podríamos anotarlo como y = y(t). La dscripción matmática d la sñal digital s similar. La variabl timpo ya no transcurr d manra continua, sino qu asum valors discrtos. y ( = sin(π fnt + φ) dond n s l númro d mustra considrado y T s l príodo d mustro (l timpo qu transcurr ntr una mustra y la siguint). El timpo ahora s mid por cantidad d príodos d mustro (nt). Si R s la frcuncia d mustro (o cantidad d mustras tomadas por sgundo), podmos rlacionarla con l príodo d mustro T, dl mismo modo qu la frcuncia y l príodo n l moviminto oscilatorio, T = 1/ R. y ( = sin(π fn / R + φ) Dado qu R s una constant qu dpnd dl problma, para simplificar los cálculos n la práctica s scrib: y ( = sin(π fn + φ) = sin( ωn + φ) Dos ciclos d una sñal sinudoidal d 1000Hz, mustrada a 3kHz, y 3 mustras por ciclo. Rcordmos la ly fundamntal qu s mpla n audio digital, conocida como Torma d Nyquist (198), xprsa qu para mustrar una componnt d frcuncia X, la frcuncia d mustro db sr por lo mnos d X. Por jmplo, si dsamos rgistrar un sonido puro d Hz, R db sr d al mnos d Hz. Una frcuncia d mustro d Hz (d un disco compacto, por jmplo) dbría, al mnos n la toría, prmitirnos rgistrar digitalmnt sonidos cuya componnt d frcuncia más alta sa d.050 Hz. Si la frcuncia d mustro s xactamnt igual al dobl d la frcuncia dl sonido a digitalizar, cada ciclo stará rprsntado por sólo dos valors (críticamnt mustrado). Esto s obsrva n la figura siguint. Sinusoid críticamnt mustrada, con dos mustras por ciclo. 4

5 Si la frcuncia d mustro s mnor al dobl d la frcuncia dl sonido s produc una indtrminación dnominada aliasing, qu produc distorsión. Pud vrs n l siguint gráfico qu la lctura d las mustras obtnidas rproduc una componnt d mnor frcuncia qu no xistía n la sñal original. Una sinusoid mustrada por mnos d dos mustras por ciclo, qu produc aliasing. Para vitar l aliasing s mpla, n los convrsors, un filtro pasa-bajos n la ntrada. Su frcuncia d cort s ncuntra a la mitad d la frcuncia d mustro, impid qu cualquir componnt qu supr n frcuncia la mitad d R pas al convrsor analógico-digital. Rcordmos qu un filtro pasa-bajos dja pasar todas las componnts qu s ncuntran por dbajo d su frcuncia d cort y rtin al rsto. Otro filtro pasa-bajos a la salida, suaviza l contorno d la forma d la sñal gnrada por l convrsor digital-analógico a partir d la scuncia d númros almacnada. Una sñal críticamnt mustrada sólo pud sr rproducida como una sñal sinusoidal, dado qu la frcuncia d cort dl filtro no prmit l paso d armónicos. Rtomando las custions matmáticas qu nos ocupan, vamos ahora otra forma d xprsar la función y ( = sin( ω n + φ) Nustra función s una constant multiplicada por l sno d la suma d dos ángulos. La trigonomtría nsña qu Entoncs, podmos scribir sin( α + β ) = sinα cos β + cosα sin β [ sin( ω cosφ cos( ω ) sinφ] y ( = sin( ωn + φ) = + n = sinφ cos( ω + cosφ sin( ω = a cos( ω + bsin( ω dond a = sinφ y b = cosφ Si dsamos obtnr l valor d, utilizamos la rlación trigonométrica fundamntal Sumando los cuadrados d a y b Por lo tanto, la amplitud s sin φ + cos φ = 1 a + b = ( sinφ) + ( cosφ) = sin φ + cos φ = (sin φ + cos φ) = = a + b 5

6 Para conocr l ángulo d fas inicial plantamos l siguint cocint a sinφ = = tanφ b cosφ Dado un triángulo rctángulo, s dfin al cosno dl ángulo (cos α) como l númro qu rsulta dl cocint ntr la longitud dl catto adyacnt y la longitud d la hipotnusa. Dado un triángulo rctángulo, s dfin a la tangnt dl ángulo (tan α) como l númro qu rsulta dl cocint ntr la longitud dl catto opusto y la longitud dl catto adyacnt, rsultando igual al cocint ntr l sno y l cosno dl ángulo. Conocida la tangnt dl ángulo, podmos conocr l ángulo a través d su invrsa, cuál s l ángulo cuya tangnt val b a?, sta rlación s dnomina arco tangnt y s scrib así: a φ = tan 1 b Idntidad d Eulr La idntidad d Eulr, una fórmula muy utilizada n l procsaminto digital d sñals d audio, nos dic qu θ j = cosθ + jsinθ, al igual qu π, s un númro irracional cuyo valor s , y j rprsnta a la unidad imaginaria. El conjunto d númros rals, R, pud rprsntars mdiant una rcta, qu llamamos rcta ral, dond a cada punto qu la forma l corrspond un númro ral. Las opracions qu ralizamos con stos númros cumpln con los axiomas y lys qu dfinn a R. Pro n l caso d 1 no ncontramos solución n R, y n conscuncia s dfin un nuvo conjunto d númros. Estos son los númros imaginarios (I), a cuya unidad llamarmos j, y qu también pudn sr rprsntados n una rcta, dnominada rcta imaginaria. j = 1 mbos conjuntos, R I, dfinn un nuvo conjunto d númros, los númros compljos, C. Un númro compljo s xprsa así: part imaginaria. z = x + jy, dond x s la part ral dl compljo, y la Considrmos un par d js cartsianos ortogonals, dond l horizontal s la rcta ral y l vrtical la rcta imaginaria. mbos js dtrminan un plano, llamado l plano compljo, n l cual cada punto d s plano tin una componnt ral y una imaginaria. Por sto podmos xprsar l númro compljo z n forma polar dl siguint modo: z = r cosθ + jr sinθ dond r s l vctor qu posiciona al punto, y θ l ángulo qu forma r con l smij positivo d la rcta ral. Hacindo uso d la idntidad d Eulr podmos scribir a z d la siguint forma: z = r jθ = r(cosθ + j sinθ ) = r cosθ + jr sinθ 6

7 Esta forma xponncial rduc considrablmnt la dificultad d las opracions con númros compljos. En la multiplicación, por jmplo, la opración rsulta más simpl: z z 1 = ( r 1 r = r r 1 )( ) ( )( ) = r r jθ jθ jθ1 jθ j( θ1 + θ ) 1 1 Solo basta rcordar las propidads dl producto d potncias d igual bas, para comprndr lo antrior. Por otra part, s intrsant obsrvar q u hacindo θ = π n la rlación d Eulr, surg la fórmula considrada d singular bllza π j = cosπ + jsinπ jπ = 1+ 0 jπ + 1 = 0 dado qu rún d forma simpl a las constants multiplicación, potnciación igualdad., π, j, 0 y 1 con las opracions d suma, Otra drivación important surg d la suma d dos compljos conj ugados, aqullos qu tinn su part imaginaria con distinto signo. Si z1 = cosθ + j sinθ, z = cosθ j sinθ s l compljo conjugado, con un ángulo igual a θ. imag jθ r θ x y -y ral jθ Compljos conjugados En sta situación s vrifica qu cos( θ) = cosθ, y por otro lado qu sin( θ) = sinθ jθ jθ z1 + z = + = cosθ + j sinθ + cosθ j sinθ = Lo qu nos prmit dtrminar la componnt ral como: cosθ cosθ = jθ + jθ Y si plantamos la difrncia ntr stos compljos conjugados jθ jθ z1 z = = cosθ + j sinθ cosθ + j sinθ = j sinθ podmos dtrminar la componnt imaginaria dl compljo: sinθ = jθ Obsrvmos qu xprsamos sno y cosno dl ángulo n función d θ y - θ. jθ 7

8 La sinusoid complja En l procsaminto d sñals digitals sul usars l término sinusoidal para una sñal dfinida tanto por la función sno como por la función cosno. D hcho, una función cosno con fas inicial 0 no s sino una función sno con fas inicial π/. Su utilización s común cuando s trata d sñals rprsntadas d forma complja. imag θ j = cosθ + j sinθ ral Moviminto circular uniform n l plano compljo. Considrmos l moviminto circular uniform d un punto sobr la circunfrncia unitaria. La proycción sobr l j ral dscrib un moviminto oscilatorio armónico qu s posibl xprsar n términos dl cosno dl ángulo d fas, y otro moviminto oscilatorio sobr l j imaginario, xprsabl como l sno dl mismo ángulo. Si rcurrimos a la idntidad d Eulr, podmos dfinirlo dl siguint modo: θ j = cosθ + j sinθ O, ya qu θ = ωt ω t j = cosω t + j sinω t 8

9 Considramos nuvamnt cos( ωt) = + j( ωt) j( ωt) notamos qu n ralidad cos(ωt) s la suma promdiada d dos movimintos circulars d sntidos opustos, y por lo tanto contin ambas frcuncias, Dl mismo modo, sinωt = jωt jωt también contin ambas frcuncias. imag jθ θ b a -a ral jθ Movimintos circulars d igual vlocidad y sntido opusto. Transformada Discrta d Fourir La Transformada Discrta d Fourir (TDF) nos prmit obtnr l spctro d una forma d onda. Est spctro stá rprsntado por componnts sinusoidals cuyas frcuncias son armónicos d una fundamntal, dnominada frcuncia fundamntal d análisis. Si partimos d una forma d onda arbitraria, x( y nviamos para su análisis una cantidad N d mustras sucsivas, rprsntativas d un único ciclo d una onda infinitamnt priódica. El rsultado obtnido contin los armónicos prsnts n l príodo considrado d sa onda supustamnt priódica. Considrmos un caso simpl, x(= sin(ω, cuyo príodo stá rprsntado por N mustras. 1 x( = sin( ω = sin(π f = sin(π N Si N = 8, los valors d amplitud para cada mustra dl ciclo starán dados por: 1 π x( = sin(π = sin( 8 4 9

10 y son: x( = 0,,,, 0,,, Con n = 0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7 = 0,, N-1 La suma d todos los valors s igual a cro, porqu la función sno s simétrica rspcto al j horizontal. La prgunta s ntoncs cómo xtrar d forma matmática la amplitud máxima d sa sucsión d mustras. Dado qu x( = sin( ω, si multiplicamos a la función por sin( ω nos quda: sin( ω sin( ω = sin ( ω l lvar los valors d la función sno al cuadrado, la amplitud d cada mustra s vulv positiva n todos los casos. Si sumamos ahora los valors d todas las mustras, obtnmos lo siguint: N 1 n= 0 x( sin( ω = = 4 = N Hmos xtraído, d st modo, la amplitud d x( a través d un procdiminto puramnt matmático. Dl mismo modo, si x( rprsnta a una forma d onda complja, podríamos utilizar l mismo procdiminto para xtrar la amplitud d todas sus componnts. En st caso multiplicaríamos a la función x( por sin(ω, sin(ω, sin(3ω, y así sucsivamnt. fin d comprobar l procdiminto podmos multiplicar a la sñal x(= sin(ω por sin(ω a fin d intntar xtrar un sgundo armónico. El rsultado db dar 0, pus sabmos d antmano qu la función a analizar s una única sinusoid. La solución al problma plantado la ncontramos a partir d la utilización d la siguint idntidad trigonométrica: Nos quda, ntoncs N 1 n= 0 1 sin( α )sin( β ) = + N 1 sin( ω sin(ω = [ cos( α β ) cos( α β )] n= 0 [ cos( ω cos(3ω ] N 1 N 1 = cos( ω cos(3ω = 0 n= 0 Considrmos ahora l caso d una forma d onda complja cualquira, ya qu por l Torma d Fourir sabmos qu simpr podrá dscomponrs n un númro finito d ondas simpls d frcuncia y amplitud dtrminadas. La xprsión d cada componnt pud tnr sta forma: n= 0 x( = sin( ω n + φ) = a cos( ω + bsin( ω Nos intrsa dtrminar a y b para conocr y φ. 10

11 Podmos multiplicar las mustras por cos(ω y sumar los rsultados para xtrar a x( cos( ω = a cos ( ω + b sin( ω cos( ω y multiplicar por sin(ω para xtrar b x( sin( ω = a cos( ωsin( ω + b sin ( ω Dado qu nos quda ntoncs N 1 n= 0 sin( ω cos( ω = 0 N a x ω y n= N 1 ( cos( = N n= 0 1 b x( sin( ω = N 0 Lugo por cos(ω y sin(ω para l sgundo armónico, y así sucsivamnt. D modo gnral podmos scribirlo como sigu. 1 1 N N n= 0 1 N ak = x( cos( kω y bk = x( sin( kω N n= 0 1 Postriormnt, con los valors d a k y b k podmos calcular la amplitud ( k ) y la fas (φ k ) corrspondints a cada armónico, tnindo prsnt qu la amplitud obtnida corrspond a la mitad d su valor ral, pus s halla rpartida ntr l valor d frcuncia positivo (ω y l ngativo (-ω. El spctro calculado s, por lo tanto, simétrico alrddor d 0 Hz. Tratmos d dtrminar ahora cuáls son las frcuncias d las componnts qu rsultan dl análisis. La variabl k rprsnta l índic d frcuncia, y la frcuncia fundamntal d análisis ocurr para k = 1 kr f k = para k = 0, 1,,, N-1 N f k s la frcuncia dl armónico k, R s la frcuncia d mustro (sampling rat), y N s l númro d mustras analizadas. Para k = 1, ntoncs, obtnmos la frcuncia d la fundamntal, para k = la dl sgundo armónico, y así sucsivamnt. Rsumindo podmos dcir qu mdiant productos y sumas, dtrminamos la amplitud y l ángulo d fas d cada componnt d la sñal analizada. Otro modo d rprsntar la función s valiéndonos d la rlación d Eulr. En nustro caso podmos adaptar la idntidad a las variabls qu nos intrsan particularmnt: jπ f t = cos(π ft) + j sin(π ft) y dado qu cos(-x) = cos(x) y sin(-x) = -sin(x), podmos scribir 11

12 jπ f t = cos( π ft) + j sin( π ft) = cos(π ft) j sin(π ft) Como la frcuncia stá dada por kr / N, y l timpo por nt, πft s convirt n Y como R = 1/T quda, simplificando, π ft = π kn/ N kr π N nt Por lo tanto, jπ k n / N = cos(π kn/ N) jsin(π kn/ N) Si llamamos a a la part ral y b a la part imaginaria, sgún vimos, podmos calcular y φ para cada componnt. Finalmnt, la función quda xprsada dl siguint modo: X ( k) = N 1 n= 0 x( π jkn/ N para k = 0, 1,,, N-1 TDF ( x( ) = X ( k) k k X ( k) = a + b = k arg b 1 k [ X ( k) ] = tan = φk a k Cada una d las componnts dl spctro X(k) n qu pud dscomponrs una forma d onda complja x(, d la qu tnmos N mustras, pud obtnrs calculando su amplitud y su ángulo d fas. Esto s logra sumando los productos ntr cada mustra y una función sinusoidal complja. El siguint fragmnto d programa n lnguaj C dscrib la aplicación práctica d la fórmula. for(k = 0; k < N; k++){ //k d 0 a N-1 ral[k] = imag[k] = 0; //s inicializan a 0 for(n = 0; n < N; n++){ //n d 0 a N-1 ral[k] += x[n] * cos(pi * k * n / N) ; imag[k] -= x[n] * sin (Pi * k * n / N) ; } ral[k] /= N ; //s scala por 1/N imag[k] /= N ; //para ntr 0 y 1 } Los datos almacnados n las matrics ral imag son los coficints a y b, dsd dond s obtin y la fas. La frcuncia rprsntada por l índic k s, como vimos ants, f k = kr / N Si analizamos 16 mustras d un sonido mustrado a Hz, la frcuncia fundamntal d análisis corrspond a 1000 Hz (R/N), y las dmás componnts (armónicos) tinn frcuncias múltiplos d sa fundamntal. La cantidad d valors qu s obtinn quival a N (l númro d mustras). Sabindo qu hay 16 mustras obtnmos 16 valors d a y b, y l rsultado s n spjo, dado qu al suprar R/ s produc aliasing. lgo similar ocurr n l cin, cuando s filma una ruda con rayos qu aclra su vlocidad (una carrta, por jmplo). En dtrminado momnto, vmos qu la ruda 1

13 parc dtnrs y cominza a girar n sntido opusto. Rcordmos qu una plícula también s discrta, y stá formada por 4 cuadros por sgundo. Los primros 9 (0 a 8) valors d k (hasta R/, frcuncia d Nyquist) corrspondn a las frcuncias positivas dl spctro, los siguints, a las ngativas n ordn dcrcint. Ejmplo: k = 0 0 R/N Hz k = 1 1 R/N Hz k = R/N Hz k = 8 8 R/N Hz = R/ k = 9-7 R/N Hz k = 10-6 R/N Hz k = 15-1 R/N Hz Los valors d amplitud para cada índic d frcuncia son, sgún vimos, N, a xcpción dl armónico d 0 Hz (k = 0), también llamado DC por dirct currnt, y l armónico con frcuncia R/ o frcuncia d Nyquist (k = 8 n l jmplo antrior), qu quivaln a N vcs. Esto s produc porqu tanto la componnt d 0 Hz como la componnt cuya frcuncia s la mitad d la frcuncia d mustro posn su part imaginaria igual a 0, sin qu puda distinguirs l signo d la frcuncia. Una componnt críticamnt mustrada (dos mustras por ciclo) sólo pud sr una función cosno, con valors y. Y algo similar ocurr con l armónico a 0 Hz, pus con k = 0 su part imaginaria s cro, y la ral rprsnta N vcs su amplitud. La TDF invrsa nos prmit convrtir los datos d una sñal discrta rprsntada n l dominio d la frcuncia (spctro) al dominio dl timpo (forma d onda). x( = 1 N N 1 k = 0 X ( k) + π jkn / N para n = 0, 1,,, N-1 Por otra part, la Transformada Rápida d Fourir (FFT, por Fast Fourir Transfom) s un algoritmo d computación qu implmnta d manra rápida y ficaz la Transformada Discrta. Rquir qu N sa potncia d. 0 db -100 db 0 Hz Un ciclo d una sñal priódica con 4 armónicos, y su spctro calculado con la FFT. Como s común n la práctica, sólo s rprsnta la part positiva. R/ Hz 13

14 EJEMPLOS Y PLICCIONES DE L TRNSFORMD DISCRET DE FOURIER fin d ilustrar los concptos studiados antriormnt, vrmos algunos jmplos sobr trataminto digital d sñals. Otras aplicacions intrsants ocurrn n la rsíntsis d sonidos compljos, utilizando instrumntos acústicos convncionals; cada instrumnto imita l comportaminto d los parcials d un sonido a mular. Esta técnica s común n l moviminto francés dnominado spctralismo, qu planta n sus obras la rsíntsis d spctros obtnidos d sonidos instrumntals grabados, o dl cálculo d spctros a partir d técnicas d síntsis dl sonido (síntsis aditiva, frcuncia modulada y amplitud modulada). Para llo, utilizarmos l lnguaj d programación para l procsaminto d sonido y música n timpo ral Max-MSP 1, y l ntorno d programación para composición asistida Opn Music. FFT En l jmplo 1, l objto cycl~ produc una sinusoid qu oscila ntr +1 y -1, y su frcuncia s calculada para qu coincida xactamnt con la frcuncia fundamntal d análisis R/N. La frcuncia d mustro s Hz y l númro d mustras d la vntana d análisis s 56, lo qu da por rsultado 17,66 Hz. Como s trata d una sñal sinusoidal, la TDF sólo dbría dtctar nrgía para l primr armónico. S obsrva n la tabla obtnida qu l primr valor s 0, y corrspond a la componnt d 0 Hz (k = 0). El sgundo valor s 18 y corrspond a N, para k = 1. Esto implica qu la amplitud dtctada s 0,5, o sa la mitad qu corrspond a las frcuncias positivas. El último valor d la tabla también s 18 y rprsnta a la frcuncia ngativa d nustra sinusoid (k = 55). Sgún s obsrva n l programa, los valors d a y b los obtuvimos con l objto fft~, y la amplitud fu calculada con a + b. Ejmplo

15 El jmplo s similar al antrior, pro n st caso ingrsamos una sñal compusta por los primros trs armónicos, cuyas amplituds son 0,5; 0,5 y 0,15 rspctivamnt. S obsrvan nuvamnt los rsultados n spjo, con valors 64, 3 y 16 (N./). Ejmplo. Los programas antriors mustran l análisis d una sñal cuya fundamntal, o primr armónico, coincid xactamnt con la frcuncia fundamntal d análisis d la TDF, pro sto jamás ocurr n la práctica. Para llo, s prciso tnr n cunta qu las mustras a analizar (N) simpr srán considradas como un ciclo d una onda infinitamnt priódica, aunqu sto no sa cirto. sí como la onda stá mustrada n l timpo, l spctro stá mustrado n frcuncia, y los valors d frcuncia a dtctar srán simpr los armónicos d la frcuncia fundamntal d análisis. En l primr jmplo vimos qu para R = y N = 56, su valor ra 17,66 Hz. Pro qué ocurr si analizamos una sñal sinusoidal d 300 Hz qu no coincid n frcuncia con ningún armónico d sa fundamntal d análisis. Dado qu N no abarca xactamnt un ciclo d la sñal, la forma d onda a analizar ya no s más sinusoidal, y por lo tanto, pos armónicos, los más prominnts n las frcuncias más crcanas a los 300 Hz. La información irrlvant d los rsultados sul dnominars artfactos d análisis, y un modo d minimizarla s a través d técnicas d modificación d la forma d la vntana. Ejmplo 3. 15

16 Sgún s obsrva n la lista d datos capturados, l pico más prominnt aparc n l sgundo armónico d la fundamntal d análisis (344,56 Hz), qu s la frcuncia más crcana a los 300 Hz. Su amplitud s 0,95 (. N / = 1,). 56 mustras d una sinusoid d 300 Hz, mustrada a Hz. S obsrva qu no rprsnta un númro ntro d ciclos d una sinusoid, sino un ciclo d una forma complja. Un modo d aumntar la rsolución n frcuncia s aumntar l tamaño d la vntana. Si R = 3000 Hz, y N = 3, la frcuncia fundamntal d análisis s 1000 Hz y sus armónicos 000, 3000, tc. Pro si aumntamos N a 300 mustras, crc la rsolución n frcuncia, pus s buscan componnts cada 10 Hz. En st caso, s mucho más probabl qu la frcuncia a dtctar coincida con los armónicos d la frcuncia fundamntal d análisis. l mismo timpo, ocurr qu la mayoría d los sonidos qu nos intrsa analizar distan mucho d sr priódicos, son cambiants n l timpo. Como contrapartida, al aumntar la rsolución n frcuncia disminuy la rsolución tmporal, sto significa qu si l sonido analizado varía, prdmos información sobr sus stados intrmdios al ir calculando cómo s transforma l spctro n l timpo. Una solución a st problma s qu la vntana no avanc N mustras, sino qu s suprponga a la antrior. modo d jmplo, si N = 104, podmos corrr la vntana cada 56 mustras, mjorando así la rsolución tmporal. Rprsntación tridimnsional d la sucsión d spctros d un sonido impulsivo. 16

17 En l ntorno Opn Music s raliza la FFT a través d un objto d la librría SuprVP. La información obtnida pud sr rprsntada d divrsas formas. Los datos qu aporta l objto s almacnan n un archivo con l formato SDIF. Ejmplo 4. Síntsis Cruzada La TDF nos prmit ralizar opracions d transformación d las sñals rprsntadas n l dominio d la frcuncia, qu no srían posibls n l dominio dl timpo. La aplicación qu vrmos a continuación s dnomina síntsis cruzada, y consist n multiplicar los valors d amplitud d las componnts d un sonido con los d otro. modo d jmplo, una sñal constituida por golps sobr un instrumnto d prcusión, pud articular la aparición d una música, qu a la vz s filtrada por la nvolvnt spctral dl instrumnto prcutido a causa d la multiplicación d los spctros. Para comprndr mjor sta técnica s ncsario tnr n cunta algunas considracions prvias. La TDF d dos formas d onda sumadas ( f( y g( ) quival a la suma d sus spctros. DFT ( f ( + g( ) = F( k) + G( k) Dl mismo modo, la TDF d una forma d onda multiplicada por una constant (a), quival a la multiplicación d las mustras d amplitud dl spctro por sa constant. DFT ( a. f ( ) = a. F( k) En cambio, la TDF aplicada a la multiplicación d dos formas d onda, no corrspond a la multiplicación d sus rspctivos spctros, sino a la convolución d los mismos. DFT ( f (. g( ) = F( k)* G( k) 17

18 En l siguint jmplo, s obsrva la multiplicación d dos sñals, una complja (formada por componnts sinusoidals d 1000, 5000 y Hz) con otra simpl d 500 Hz. Vmos qu a nivl spctral s produc la suma y la rsta d las frcuncias d cada una d las componnts d la sñal complja, con la sinusoid d 500 Hz ( , , , , y ). l rsultado d la convolución d spctros s lo sul dnominar modulación n anillo, dbido al nombr dl circuito qu ralizaba sta opración n los sinttizadors analógicos, y sgún s v n la figura, s obtin multiplicando las mustras d amplitud d las dos formas d onda n los mdios digitals. Ejmplo 5. las componnts rsultants d la suma y la rsta d las componnts d las dos sñals d ntrada s las dnomina también sonidos d combinación (adicionals y difrncials). En l jmplo qu sigu, ralizado n OM, s obtinn los sonidos d combinación d las notas d dos acords. Cada nota d un acord rprsnta a una componnt dl spctro. El programa raliza la suma y la rsta d las frcuncias d las notas, y convirt los rsultados d sas opracions a las notas más crcanas (por 1/4 ó 1/8 d tono). Esta técnica s también común n l spctralismo. Ejmplo 6. 18

19 Subpatchs dl Ejmplo 6. Finalmnt, la multiplicación d dos spctros no quival a la multiplicación d sus formas d onda, sino a la convolución d las mismas. DFT ( f ( * g( ) = F( k). G( k) l ralizar la multiplicación d dos spctros s produc un scalaminto d las componnts d ambos. modo d jmplo, si una componnt d frcuncia dl primr spctro pos amplitud 0, anula a la dl otro spctro, y vicvrsa. Ejmplo 7. 19

20 Subpatch pfft~ Los objtos fftin~ ralizan la FFT d cada una d las sñals. El objto cartopol~ (cartsianas a polars) convirt los valors a y b d la sgunda sñal n valors d amplitud, mdiant a + b. Finalmnt, sos valors d amplitud son multiplicados por a y b d la primra sñal, y s raliza la transformada invrsa con fftout~ para convrtir al dominio dl timpo. Filtro FFT Otra aplicación posibl s crar un filtro spctral a partir d una curva dtrminada, n nustro caso, dibujada con l mous. El objto multislidr, sobr l cual s dscrib la curva, prsnta 51 puntos qu pudn variar ntr -1 y 1. El subpatch tabla duplica sa curva n spjo y almacna los valors n un buffr. Cada uno d los puntos d la función almacnada s multiplica por los 104 (N) pars d valors a y b calculados por la FFT, modificando así la amplitud d cada componnt múltiplo d la frcuncia fundamntal d análisis d modo muy prciso. Ejmplo 8. 0

21 Subpatch pfft~ Subpatch tabla Crossovr FFT Otra aplicación posibl consist n sparar las componnts spctrals n un númro dtrminado d bandas, a fin d obtnr una sñal d audio para cada banda. Cada una d sas sñals pud sr dstinada a un canal d audio difrnt, a fin d spacializarlas con trayctorias difrnciadas. Ejmplo 9. 1

22 Phas Vocodr El phas vocodr s basa n la TDF, y comprnd dos tapas, una d análisis y otra d rsíntsis. Entr una tapa y la otra, s posibl modificar los datos obtnidos, a fin d ralizar opracions d cambio d altura sin afctar la duración dl sonido, o cambio d duración sin afctar la altura. La tapa d rsíntsis consta d un banco d osciladors qu rproducn los valors d frcuncia y amplitud d cada componnt, obtnidos durant l análisis. nálisis y rsíntsis n un phas vocodr. Filtro d un phas vocodr. En cada filtro s raliza la multiplicación d la sñal d ntrada por un armónico d la frcuncia fundamntal d análisis. Si sa componnt stá prsnt n la sñal original, s produc un adicional (crcano o igual al dobl d su frcuncia) y un difrncial (crcano o igual a 0 Hz). El adicional s liminado mdiant un filtro pasa-bajos. Lugo s xtra la frcuncia y la amplitud, pasando d coordnadas cartsianas (a y b) a polars ( y φ). La difrncia d fas d cada componnt, obtnida ntr l análisis d un bloqu d mustras y l siguint, s suma al valor d frcuncia obtnido, a fin d corrgir la difrncia qu puda xistir ntr la frcuncia original y la frcuncia dl armónico d análisis.

23 En los siguints jmplos, s mustra la implmntación d un phas vocodr n l ntorno OM, tanto n transposición sin altrar la duración, como n modificación d la duración sin afctar la altura. Ejmplo 10. Ejmplo 11. 3

24 Bibliografía Brsson, J., gon, C. SDIF sound dscription data rprsntation and manipulation in computr assistd composition. Chowning, J. M. Th synthsis of complx audio spctra by mans of frquncy modulation. Journal of th udio Enginring Socity, 1(7): Rprintd in Curtis Roads and John Strawn, ds. Foundations of Computr Music, Cambridg, M: MIT Prss, Dolson, M. Th phas vocodr: a tutorial. Computr Music Journal, Vol. 10, No. 4 (Wintr, 1986), pp Dudas, R., Lipp, C. Th Phas Vocodr. Part I. Dudas, R., Lipp, C. Th Phas Vocodr. Part II. Klingbil, M. Softwar for spctral analysis, diting and synthsis. Maor, E. Trigonomtric Dlights. Princton Univ. Prss Chaptr 15. Onlin at Moor, F. R. Elmnts of Computr Music. Prntic Hall, Englwood Cliffs, Nw Jrsy Moor, F. R. n introduction to th mathmatics of digital signal procssing, Part I. Computr Music Journal, (1): Rprintd in John Strawn, d. Digital Signal Procssing: n nthology, Los ltos, C: William Kaufmann, Inc Moor, F. R. n introduction to th mathmatics of digital signal procssing, Part II. Computr Music Journal, (): Rprintd in John Strawn, d. Digital Signal Procssing: n nthology, Los ltos, C: William Kaufmann, Inc Ros, F. "Introduction to th Pitch Organization of Frnch Spctral Music". Prspctivs of Nw Music. Vol. 34, Nr Smith, J. Mathmatics of th Discrt Fourir Transform (DFT) with udio pplications, Scond Edition. CCRM onlin book. 4