Dados los ejes de la elipse hallar los focos: La Elipse: Fundamentos y elementos.

Transcripción

1 L ELISE: "l lips s l lugr gométrico d los puntos dl plno cuy sum d rdio vctors (distncis dsd l lpis los dos focos) s constnt igul l j myor". Elmntos prmétricos: son ls trs mgnituds qu crctrizn l lips.. Ej myor : llmdo rl o principl. Es j d simtrí. 2. Ej mnor CD: llmdo imginrio o scundrio. Tmién s j d simtrí mos son prpndiculrs ntr sí cortándos n sus puntos mdios. 3. ocos, : untos fijos sor l j myor, d rfrnci d distncis TEOREM DE DNDELIN EN L ELISE x z x+y= z+v= y C D v ' ELEMENTOS QUE INTERVIENEN -lno scnt tods ls gnrtrics dl cono o no prllo ningun d lls. -Elips: Curv pln y crrd qu l plno scnt produc l cortr ls gnrtrics dl cono. -Esfrs tngnts l cono d rvolución y l plno scnt. -ocos: puntos y d tngnci d ls sfrs con l plno scnt. -Rdios vctors d l curv: y. rtncn l plno scnt y son tngnts un sfr dsd. Son dos sgmntos qu prtn d los focos un mismo punto d l lips. lno Y -lnos X Y: lnos qu psn por (continn) los puntos (circunfrncis m y n) d tngnci d cd sfr con l cono. -Dirctrics: rcts intrscción d los plnos X Y con l plno scnt. -Excntricidd s l rzón constnt, pr todos los puntos d l lips, d distncis d un punto d un cónic un foco y su dirctriz. Es l chtminto d l lips y vin mrcd por l distnciminto ntr sus dos focos. Cunto más ljdos stn los focos ntr sí más xcéntric srá l lips. lno Scnt d lno X d Ddos los js d l lips hllr los focos: º- Tommos l distnci o (smi j myor). 2º- Dsd o (un xtrmo dl j mnor) trzmos un rco d rdio o qu cort l j myor n dos puntos y '. smi j myor o o ' ( ) Cir. ocl Circunfrnci rincipl /2 Cir. ocl () Circunfrnci OCL (C): Es qull cuyo cntro s uno d los focos d l lips y su rdio s igul l j myor. or tnto, cd un d ls lipss l podmos trzr dos C. L Circunfrnci ocl d un foco s l Lugr Gométrico d los puntos simétricos dl otro foco, rspcto d ls rcts tngnts l lips. L circunfrnci principl (C): Es qull cuyo cntro s l cntro d l curv y l rdio s l mitd dl j myor. Es l Lugr Gométrico d los puntos d intrscción d ls tngnts l lips con ls prpndiculrs trzds dsd los focos cd un d ss tngnts. O tmién, l lugr gométrico d ls proyccions (prpndiculrs) d los focos sor ls rcts tngnts l cónic Título d l lámin L Elips: undmntos y lmntos.

2 Trzdo d l lips por puntos 2 3 ' ' ' ' 2 3 ' 2 3 ' º- Mrcmos un punto ritrrio () sor l j myor. Con cntro n y rdio trzmos un rco n l primr cudrnt d l lips y con cntro n ' y rdio trzmos otro rco tmin n l primr cudrnt. El punto dónd s cortn mos rcos prtnc l lips y qu s cumpl += 2º- Con los mismos rdios y los mismos cntros podmos otnr l punto simtríco n l trcr cudrnt. 3º- Con los mismos rdios pro invirtindo los cntros hllmos los puntos simétricos rspcto j mnor los otros dos. 4º- Mrcmos otro punto (2) sor l j myor y rptimos l oprción d los psos 2º y 3º, sí otnmos otros cutro puntos d l lips 5º- Mrcmos un trcr punto y rptimos d nuvo l oprción d los psos 2º y 3º. Con 2 puntos podmos intuir l rcorrido d l lips, unqu podmos rptir l oprción pr consguir más puntos. 6º- Unimos lospuntos mno lzd. Trzdo d l lips: Método d los 2 puntos Est método s plicl l construcción ddos los js o ddos los diámtros conjugdos y s s n un propidd d l circunfrnci (todo sto s pud osrvr n ls ilustrcions d l drch. El procdiminto s l mismo pr l construcción prtir d los js o d los diámtros conjugdos. º- prtir d los js (o diámtros conjugdos) construimos l cj qu ncirr l lips. Cd ldo d l cjs divid n dos mitds grcis los js. dtrminmos l punto mdio d cd mitd d cd ldo d l cj. 2º- Dsd l xtrmo d un j trzmos sgmntos hst los xtrmos dl ldo opusto. Dsd l xtrmo opusto trzmos sgmntos qu trminn n los puntos mdios d ls mitds d los ldos contiguos. ls dos intrsccions d stos dos prs d sgmntos son puntos d l lips. 3º- Rptimos l oprción d form simétric. 4º y 5º- Rptimos l oprcion rlizd n los psos 2º y 3º st vz prtindo d los xtrmos dl oto j. 6º- Trzmos l lips tnindo n cunt qu los xtrmos d los js tmién son puntos d st Título d l lámin Construcción d l Elips: or puntos (sgún dfinición) Método d los 2 puntos

3 Ddos los diámtros conjugdos hllr los js d l lips pr su postrior trzdo: 2 M M º- Trzmos l mditriz M dl diámtro conjugdo myor, cortndolo n m. 2º- Hcindo cntro n m situmos sor M l distnci m= m otnindo l punto. m o m S 3º- Unimos con y prolongmos l sgmntos por mos xtrmos, st rct s llmrá S. 4º- Hllmos l punto mdio (o) dl sgmnto. 5º- Hcindo cntro n o trzmos l circunfrnci d rdio o=o. 6 7 M (y) 6º- S un m con o, st rct cort l circunfrnci d cntro o n los puntos (x) (y). 7º- Con cntro n o trzmos un rco d rdio om qu cortr l rct S n los puntos y 2. 8 y' 9 M x m o (x) x' (y) 2 y S 8º- Dsd y 2 trzmos dos rcts qu s cortn prpndiculrmnt n m contnindo sts los js d l lips (X Y). 9º- Tommos l distnci o(x) o(y) y ls llvmos con l compás sor ls rcts X, Y pr dtrminr los sgmntos xx', yy' qu corrspondn con los js d l lips m o (x) 2 S x y y' x' Título d l lámin Elips: Método d Ritz Trnsformción d Diámtros conjugdos n Ejs

4 L cj xonométric o los diámtros conjugdos d l lips. Los diámtros conjugdos son dtos suficints pr rlizr l trzdo d l lips. Suln ncontrs como dtos n prspctivs xonométrics o n l sistm diédrico pr l construcción d conos o cilindros (figurs d rvolución). Tmién s pudn ncontrr ocultos n un trpcio qu rprsnt n prspctiv o n un vist no frontl un cudrdo n l cul hy qu inscriir un circunfrnci qu vist n prspctiv rsultrá sr un lips o un óvlo. Es ovio qu los diámtros conjugdos y l cj xonométric son dtos quivlnts y qu d unos podmos scr los otros trzndo por los puntos mdios o por los xtrmos. Dd l cj xonométric trzr l lips por finidd con l circunfrnci 4' 5' 6' 3' 7' 2 2' ' 8 8' Trzdo d l lips mdint HZES ROYECTIVOS. Est método s práctico y qu pud sr mpldo pr trzr l lips prtindo tnto d los diámtros conjugdos como d los js. Lo primro qu drmos hcr s trzr l "cj" n l cul inscriirmos l lips. 2 3 ' 2' 3' ' 2' 3' ' 2' 3' ' 2' 3' NOT: El trcr pso s pud consguir igulmnt mdint finidds pr cudrnts contiguos y simtris rdils pr cudrnts opustos º- Los xtrmos dl diámtro myor srán los cntros d proycción y. S lig un cudrnt pr trjr y s divid l smi-diámtro mnor n tnts prts como puntos d l lips s prtndn pr s cudrnt. S divid n l mismo numro d prts l prll l diámtro myor corrspondint l cudrnt. S numrn ls divisions d myor mnor comnzndo por l xtrmo dl diámtro mnor. 2º- Dsd s lnzn hzs los puntos dl diámtro mnor y dsd los d l prll l dimtro myor.los puntos -', 2-2' y 3-3' son puntos d l lips. 3º- S rpit l método n los otros trs cudrnts. 4º- S trz mno lzd l lips psndo por los puntos otnidos. Título d l lámin L Elips, métodos: "cj" xonométric y hcs proyctivos

5 Construcción d l lips por finidd ddos los js: º- Trzmos dos circunfrncis con diámtro l j myor y l j mnor. 2º- Los xtrmos d los js myor y mnor son puntos prtncints l lips. 3º- Trzmos un diámtro qu cort ms circunfrncis trzds. prtir dl punto d intrscción d diámtro con l circunfrnci mnor trzmos un prll l j myor, prtir d l intrscción con l circunfrnci myor trzmos un prll l j mnor. El punto d intrscción d ms prlls s un punto d l lips. odmos rptir st pso dos vcs n cd diámtro. 4º- Rptimos l oprción tnts vcs como prs d puntos d l lips qurmos. 3º- Unimos mno lzd los puntos hlldos. Construcción por finidd ddos los diámtros conjugdos 3 º- Trzmos un circunfrnci 2º- Unimos los xtrmos dl diámtro d l circunfrnci d diámtro l diámtro con los xtrmos dl diámtro conjugdo myor. conjugdo myor con cntro n l Estos sgmntos mrcn l dircción d finidd d intrscción d mos diámtros los puntos d l circunfrnci con l lips. conjugdos. Y trzmos l circunfrnci un diámtro prpndiculr l diámtrpo conjugdo myor. circunfrnci con los puntos fins d l lips º- Trzmos un scnt l circunfrnci prll l diámtro vrticl y psndo por su intrscción con l diámtro conjugdo myor un prll l diámtro conjugdo mnor. prtir d ls intrsccions con l circunfrnci trzmos prlls l dirccion d finidd qu cortn l prll l diámtro conjugdo myor n dos puntos d l lips. 5 4º- Rptimos l trcr pso tnts vcs como prjs d puntos d l lips usqumos. Es importnt tnr n cunt qu los diámtros conjugdos d l lips NO son los js por lo qu l trzdo d l lips podrí sorslir d l nchur dl diámtro conjugdo myor. Título d l lámin L Elips, métodos: finidd

6 Trzdo d l lips ddos los focos y l j myor: Trzdo d l lips mdint l método dl jrdinro: 2 ' ' 3 x z x+y= z+v= y v ' º-Tommos l mdid (j myor complto) con un curd. 2º- ijmos los xtrmos d l curd n los focos. 3º- Tnsndo l curd s producn dos sgmntos rctos qu formn un ángulo.el vértic dl ángulo s corrspond con un punto d l lips. odmos dslizr l punto d tnsión d l curd vrindo ls mdids d los ldos dl ángulo pr otnr más puntos prtncints l lips. Construcción d l lips ddos los dos js: L lips Mdint l método d l trjt o tir d ppl. No xist ningún utnsilio, prt d ls plntills pr trzr l lips con limpiz y rpidz.ro xist un método qu s proxim mucho, ofrcindo cntidd d puntos prtncints l trzdo d l lips n un spcio d timpo rlmnt corto. Es quizás l método más sncillo pr l trzdo y tin l crctrístic d no djr un solo trzdo uxilir (lo cul podri sr un vntj o un inconvnint sgún ls circunstncis). r podr trzr l lips d mdint st procdiminto ncsitmos contr con los js como dto. Si lo qu tnmos son los diámtros conjugdos podmos ncontrr los js corrspondints mdint l método d Ritz. rocdiminto º- Mrcmos un ryit con un, próxim un xtrmo d l tir d ppl: st mrc nos indicrá dónd tnmos qu mrcr los puntos con l lápiz. L tir h d sr lgo más lrgqu l smij myor 2º- continución linrmos l tir d ppl por su ord rcto con l j myor y l j mnor situndo l flch con l "" n l punto d cort d los dos js. Mrmos dos flchs con ls longituds dl SEMIj myor y mnor. r clrrnos, l flch qu mrc l longitud myor l hrmos más lrg. TODS LS UNTS DE LECHS DEEN DE ESTR TOCNDO EL LÍMITE DEL EL. Y tnmos nustro "compás" pr trzr lipss. 3º- prtir d hor, sor los js dl nuncido colocrmos l tir dispust con l flch lrg sñlndo l j mnor y con l flch cort sñlndo l j myor. Si n lgún momnto l flch lrg s sl d l longitud dl j simplmnt lo prolongrmos pr sguir linándol con l j prolongdo. Cd vz qu rcoloqumos l tir d ppl mrcrmos un punto lápiz justo dond l flch con l "" sñl. Título d l lámin L Elips: Método d l trjt o tir d ppl Método dl jrdinro.

7 ' T 2 2' t Circunfrnci OCL (C): Es qull cuyo cntro s uno d los focos d l lips y su rdio s igul l j myor. or tnto, cd un d ls lipss l podmos trzr dos C. L Circunfrnci ocl d un foco s l Lugr Gométrico d los puntos simétricos dl otro foco, rspcto d ls rcts tngnts l lips. L circunfrnci principl (C): Es qull cuyo cntro s l cntro d l curv y l rdio s l mitd dl j myor. Es l Lugr Gométrico d los puntos d intrscción d ls tngnts l lips con ls prpndiculrs trzds dsd los focos cd un d ss tngnts. O tmién, l lugr gométrico d ls proyccions (prpndiculrs) d los focos sor ls rcts tngnts l cónic Tngnt y norml n un punto d l lips ddos los dos js: ' º- Trzmos los rdio vctors qu psn por. 2º- Hllmos l isctriz dl ángulo qu stos producn. Est s l tngnt l lips por l punto. L norml por dicho punto s l rct prpndiculr l tngnt. 2 ' t n ' Tngnts un lips dsd un punto xtrior : ' º- Trzmos l circunfrnci principl (cntro n l intrscción d los js y diámtro ).Trzmos l sgmnto y su mditriz. 2º- Con cntro n pto mdio d trzmos l cir. con diámtro. 3º- Dsd l intrscción d los js trzmos sgmntos hst ls intrsccions d ms circunfrncis. Dsd trzmos prlls ls culs l cortr l lips mustrn los puntos d tngnci. unimos dichos puntos con. 2 3 ' ' ' Tngnts un lips n un dircción dd: d º- Trzmos l lips, sus focos y l circunfrnci principl (ctro. intrscción d los js y diámtro j myor) 2º- Dsd trzmos un prpndiculr l dirccion d. Dsd l intrscción d los js trzmos un sgmnto hst l punto d intrscción d dich prpndiculr con l cir. principl. 3º- Dsd y trzmos prlls l sgmnto ntrior qu l cortr l lips nos mustrn los puntos d tngnci. 4º- Trzmos ls tngnts por los puntos hlldos. d d 2 d 4 d ' ' ' ' Título d l lámin L Elips: Tngncis (Circunfrnci principl)

8 Tngnts un lips dsd un punto xtrior : º- Trzmos dsd dos rcts scnts l lips. Ests producn cutro puntos d intrscción. 2º- S trzn dos rcts unindo los cutro puntos d intrscción dos dos, cortándos sts n otro punto. 3º- Trzmos ls digonls dl cudrilátro inscrito n l lips. 4º- Dsd l punto d intrscción dl sgundo pr d rcts trzmos un rct qu ps por l punto d intrscción d ls digonls. Otnmos sor l lips los dos puntos d tngnci uscdos. 5º- Trzmos ls rcts tngnts Tngnts un lips n un dircción dd: º- Trzmos dos prlls l dircción dd scnts l lips. Ests producn cutro puntos d intrscción. 2º- S trzn dos rcts unindo los cutro puntos d intrscción dos dos, cortándos sts n otro punto. 3º- Trzmos ls digonls dl cudrilátro inscrito n l lips. 4º- Dsd l punto d intrscción dl sgundo pr d rcts trzmos un rct qu ps por l punto d intrscción d ls digonls. Otnmos sor l lips los dos puntos d tngnci uscdos. 5º- Trzmos ls rcts tngnts Título d l lámin L Elips: Tngncis por homologí con l circunfrnci