Resolver problemas donde se determine su solución por medio de ecuaciones en el conjunto de los números reales

Transcripción

1 .- ECUACIONES Resolver prolems donde se determine su solución por medio de ecuciones en el conjunto de los números reles.- Ecución: Definiciones preliminres, Clses de Ecuciones, Solución de un ecución, Tipos de Ecuciones, Ecuciones Lineles, Ecuciones Rcionles y Resolución de prolems..- Ecución de do. Grdo: Solución y Aplicciones directs..- Ecución Rdicl: Definición y Solución. 6.- Ecución con Vlor Asoluto: Definición, Propieddes y Solución..5- Sistem de Ecuciones. Métodos de resolución de sistems de ecuciones. 6

2 Progrm de Apoyo Didáctico Mtemátics ECUACIONES MOTIVACIÓN Muchs situciones de nuestro entorno profesionl, lorl o cotidino, presentn relciones entre diferentes vlores, los cules pueden epresrse por medio de un fórmul, epresión o ecución. Alguns veces, est representción permite fcilitr l comprensión de l mism y ofrece l posiilidd de drle un respuest. En nuestro cso nos ocupremos de prolems o situciones simples y necesitremos mnejr eficientemente un conjunto de herrmients fundmentles de ls plicciones mtemátics, ls cules nos permiten otener un solución prticulr de l mism. Consideremos l siguiente situción (con los números que utilizmos pr contr): se trt del juego o certijo

3 Piens un número : Piens un número Multiplíclo por Agrégle lo otenido 5 Multiplic el resultdo nterior por 5 5 Súmle 0 l cntidd otenid 6 Multiplic el nuevo resultdo por 0 7 Dime el resultdo y te dré el número que pensste Cómo funcion el truco? Pr ver qué hy detrás de este certijo, st trnsformr ls frses nteriores en su equivlente simólico; es decir, construir ls epresiones mtemátics que ls representn. R es el resultdo que nos dn. Un vez escogido n el vlor R qued determindo por ls operciones especificds medinte l fórmul; R se denomin vrile dependiente en rzón de que su vlor depende del vlor n. L vrile n es el número pensdo. Como l vrile n es de lire escogenci, ell se llm vrile independiente. Lo primero que hremos es simolizr el número desconocido (el que piens nuestro dversrio) con un letr. Pongmos por cso n. A continución convertimos tods ls instrucciones epresiones mtemátics: R(n)=00n + 50 Est dependenci se indic por R(n) y es lo que en mtemátic se denomin un función. Tomdo con fines instruccionles: Fundción Polr. El Mundo de l Mtemátic. Fscículo 6. Ecuciones, pp.5 6. Crcs: Últims Noticis.

4 Ojetivo Resolver prolems donde se determine su solución por medio de ecuciones en el conjunto de los números reles Pr el logro de este ojetivo se contempln los siguientes tems: Contenido Terminologí: Definición, iguldd, vrile, grdo de un ecución. Solución de un ecución: Linel, Cudrátic, Rdicl, Vlor soluto. Plntemiento y resolución de prolems. INSTRUCCIONES: Queremos fcilitrle l myor comprensión de los contenidos trtdos, pr ello te recomendmos lo siguiente: Fmilirízte con tod l informción que se te present en est págin y no ignore ningún specto. Teng clro lo que se spir logrr con cd tem y los conocimientos previos que el mismo eige. Reliz l lectur del tem presentdo y nliz cd pso cumplido pr solucionr los ejercicios. No continúes l pso siguiente si no hs comprendido el previo. Resuelve nuevmente cd ejemplo por tu cuent y compr los resultdos. A medid que estés resolviendo los ejemplos, nliz el procedimiento plicdo en cd pso. Sigue los procedimientos sugeridos en los ejemplos presentdos. Intercmi ides, procedimientos y soluciones con otros estudintes. Puedes cceder uno de los tems, hciendo link en el título.

5 CONOCIMIENTOS PREVIOS Pre requisitos Números Rcionles Operciones con números frccionrios: Adición y sustrcción con igul o diferente denomindor, Multiplicción y división de un número entero por un número frcciondo. Epresiones Algerics: Términos semejntes Agrupción de términos semejntes, pr sumr y restr. Comproción Vmos resolver ls siguientes epresiones : i. 5 5, 6 Aplicmos l propiedd distriutiv los términos que están entre préntesis: , Simplificmos quells frcciones no simples , Ahor grupmos términos semejntes: ii y 5 y, Aplicmos l propiedd distriutiv los términos que están entre préntesis: y y 5 8 5, Simplificmos quells frcciones no simples: y 8 y 5, Ahor grupmos términos semejntes y resolvemos: y y y 6y y y 0 0

6 DESARROLLO ECUACIONES: Definiciones Preliminres Iguldd: es un relción donde dos cntiddes o epresiones lgerics tienen el mismo vlor. Ejemplos: 5 = + ; = c; + 7 = 6. Un de ls grndes diferencis entre Ecución e Identidd, es que ls identiddes se demuestrn, mientrs que ls ecuciones se resuelven. Ecución: es un iguldd entre dos epresiones lgerics que es verificd solmente pr vlores prticulres de ls vriles contenids en ells. Ejemplos: ) ) t 9t t c) y y 5. Identidd: es un iguldd que se verific pr culquier vlor de ls vriles. Así tenemos por ejemplo que ests son identiddes: ( y y) y Producto notle Sen Cos Identidd fundmentl de l trigonometrí 6 Propiedd Distriutiv Incógnits: son ls vriles que precen en un ecución lgeric, cuyo vlor desconocemos y generlmente se denotn por ls últims letrs del lfeto, y, z, w, etc.

7 Miemros de un ecución: son ls dos epresiones lgerics que formn l ecución. El primer miemro está l ldo izquierdo de l iguldd y el segundo miemro se encuentr l ldo derecho. Así l ecución: Ldo izquierdo Ldo Derecho Clses de Ecuciones: Ecución Numéric: es un ecución donde ls únics letrs son ls vriles o incógnits. Así tenemos que 8 9 5, y y son En est unidd trtremos ests ecuciones pero de un vrile. ecuciones numérics. Ecución literl: Es un ecución que demás de ls incógnits tiene otrs letrs, llmds prámetros, que representn cntiddes conocids. Así ls ecuciones: c 0, dy c son ecuciones literles donde los prámetros son,, c, d y es l vrile. Solución o Ríz de un Ecución: En este cso se dice que = es l solución o ríz de l ecución. Si le dmos l vrile un vlor diferente de, l iguldd no se cumple. Son los vlores que triuidos o sustituidos en ls vriles o incógnits, producen un iguldd entre los dos miemros de l ecución. Así pr: 8 9 5, el vlor de hce l ecución verdder, es decir, se cumple l iguldd: 8()

8 Resolver un ecución, consiste en hllr el vlor de l incógnit de tl mner que, l sustituirl en l ecución, se cumpl l iguldd. Pr hcer esto, utilizmos el proceso descrito l derech de este teto. Resolución de un Ecución Es hllr l o ls soluciones o ríces que stisfcen l ecución. A continución vmos enuncir ls regls ásics pr resolver un ecución. Regl : Si los dos miemros de un ecución se le sum o rest un mism cntidd (positiv o negtiv), l iguldd no se lter. Regl : Si los dos miemros de un ecución se multiplicn o se dividen por un mism cntidd diferente de cero ( positiv o negtiv), l iguldd no se lter. Regl : Si los dos miemros de un ecución se elevn un mism potenci, l iguldd no se lter. Regl : Si los dos miemros de un ecución se le etre un mism ríz, l iguldd no se lter. Regl 5: Culquier término de un ecución se puede psr de un miemro otro, cmiándole el signo. Est regl se llm trnsposición de términos. Cmio de Signo en un Ecución: Los signos de todos los términos de un ecución se pueden cmir sin que l ecución vríe, pues equivle multiplicr los dos ldos o miemros de l ecución por ( ). Así l ecución: 5 8 es equivlente : ( ) 5 ( ) 8, es decir, l ecución 5 8 es equivlente l ecución 5 8 Tipos de ecuciones: Los tipos de ecuciones de uso más frecuente son: ) Polinomiles: ls cules pueden ser de un o vris vriles. El grdo del polinomio represent el grdo de l

9 ecución, este es el myor eponente que tiene l incógnit. Por ejemplo: 8 0 es de primer grdo 0 es de segundo grdo y y y 0 es de tercer grdo y n 0 es de curto grdo n ) Rcionles: son quells que contienen epresiones lgerics rcionles, tles como:.. ;.. 5 c) Rdicles: son quells ecuciones que tienen l vrile o incógnit dentro de un o más epresiones rdicles, tmién son llmds ecuciones rdicles. Así, tenemos: c.. 7 c.. 5 d) Ecuciones con Vlor Asoluto: son quells ecuciones donde ls vriles o incógnits están dentro de un vlor soluto, tles como: d.. 5 d.. 5 0

10 Ecuciones Lineles: El ojetivo es despejr l incógnit, hst encontrr el vlor de dich incógnit. Ejemplo. : Resuelv l ecución 0, y simplific el resultdo si es posile. 0 0 Psmos el pr el otro ldo de l ecución restndo y resolvemos el ldo derecho Psmos el fctor que está multiplicndo pr el otro ldo de l ecución dividien Llevmos l ecución l form generl. Como es un ecución rcionl iguld cero, ést se cumple sólo si el numerdor es igul cero. Oserv que el denomindor en el ldo derecho no puede psr multiplicr l ldo izquierdo porque no es denomindor de todos los términos. Por eso te sugerimos scr el m.c.m. de mos ldos de l ecución y resolver. Respuest: l solución de 0 es 7 Ejemplo. Resuelv l ecución 0, y simplific el resultdo si es posile Respuest: L solución de 0 Ejemplo. : Resuelv l ecución 8 es posile es 7. 7, y simplifique el resultdo si Respuest: L solución de es

11 Ecuciones Rcionles: Amos ldos de l iguldd tienen un frcción, por lo tnto, psmos lo que está dividiendo en un ldo multiplicr en el otro ldo Puedes oservr que en este ejemplo se present un ecución literl de primer grdo. Pr resolverl, plicremos ls misms regls que usmos en ls ecuciones numérics de los ejemplos nteriores. Pr despejr l vrile de l ecución, deemos tomr en cuent que el coeficiente del mismo 5, ps pr el otro ldo de l ecución dividiendo, por lo tnto, el literl tiene que ser diferente de cero ( 0 ). Ejemplo. Resuelve l ecución y simplific el resultdo si es posile ( ) 7 ( ) Finlmente simplificmos / = Respuest: L solución de , Ejemplo 5. Resuelve l ecución simplific el resultdo si es posile , es decir 5 5 si 0. Respuest: L solución de es 5 si 0 es Se clcul el m.c.m., y

12 Resolución de Prolems Como estudinte de nivel superior, semos que eres cpz de encontrr l solución los ejercicios o prolems plntedos, utilizndo los procedimientos decudos. No ostnte, te rindmos quí, lguns sugerencis que pueden servirte de guí pr que pueds resolver este tipo de prolems o modelos.. Lee cuiddosmente el enuncido del prolem.. Vuelve leer el enuncido tnts veces sen necesris, hst comprender perfectmente los dtos que ofrece el prolem y lo que te piden encontrr.. De ser necesrio, costúmrte relizr un osquejo de l situción plnted, en form gráfic o en un plntemiento inicil. Identific con vriles (letrs) los dtos e incógnits del prolem. 5. Uic los dtos del enuncido y relciónlos mtemáticmente medinte ecuciones o fórmuls (lgunos dtos o fórmuls no se dn en form eplícit en los prolems, se supone que dees conocerls. Ej.: áre, volumen, velocidd, celerción grvitcionl, etc.). 6. Resuelve ls ecuciones pr otener un resultdo. Utiliz el método correspondiente. en este cso, ecución de primer grdo. 7. Verific que el resultdo otenido en el pso 6, correspond ls premiss y soluciones del prolem 8. Anliz si l respuest es rzonle. 9. Responde ectmente lo que te hn solicitdo

13 Ejemplo 6. Un homre de,9 mts. de ltur cmin hci un poste de luz que mide 6, m. de ltur. Cuál es l longitud de l somr del homre en el piso, cundo él está,5 m. de distnci del poste? L Hcemos un representción gráfic de l situción A 6, m O,9 B,5 m. P Hemos llmdo homre. l longitud de l somr del Oservmos que los triángulos LOP y AOB son triángulos semejntes, esto implic que sus ldos son proporcionles, es decir: AB LP,9 6,, entonces OB OP, 5 despejndo tenemos:,9,5 6, 6,7 6,,9,8 6,7,9 6,7 6, 6,7,8 6,7,8,5 Respuest: L somr mide,5 m. cundo el homre está,5 m. del poste.

14 Dmos por sentdo que el estudinte h seguido los psos y. El pso no es necesrio, pues no se requiere ningún esquem gráfico. Deemos trducir est "ml intenciond" descripción del prolem en símolos mtemáticos. Ejemplo 7. José Luís quiere slir cenr con su novi Liseth, quien estudi en l UNEFA. Pr evitr sorpress, ell le pregunt: " cuánto dinero tienes?", y José Luis en vez de dr un respuest direct, decide pror l hilidd de Liseth y responde: "Si tuvier 50 Bs.F. más de lo que tengo y después duplicr es cntidd, tendrí 50 Bs.F. más de lo que tengo". Liseth, después de pensrlo, decide demostrrle que sí puede clculr cuánto dinero tiene José Luis, con el siguiente procedimiento: Pso : Identificr el ojetivo del prolem. Cntidd de dinero que tiene José Luis: Pso 5: Otener dtos y relcionrlos mtemáticmente. Si tuvier 5Bs.F. más de lo que tengo: 50 y después duplicr es cntidd: 50 tendrí 5 más de lo que tengo : 50 Pso 6: Procesmos los dtos mtemáticmente y resolviendo: Compromos lo que José Luis dice: 50 y 50 son equivlentes. Es importnte no continur el ejercicio, si no h comprendido l relción de estos dtos. Luego, tenemos que: 50 50

15 Y resolvemos l ecución Es decir, l cntidd de dinero que tiene José Luis es de 50 Bs.F. Pso 7: Verificmos: Si tuvier 50 Bs.F. más de lo que tengo: 00 y después duplicr es cntidd : 600 tendrí 50 más de lo que tengo: Pso 8: Anlizmos el resultdo. Este resultdo es lógico y cumple con ls condiciones del enuncido. Pso 9: Aquí tenemos l respuest. Respuest: José Luis tiene Bs.F. 50 lo cul él cree que es suficiente pr un cen con Liseth.

16 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Es un ecución polinómic cuyo grdo es dos (el myor eponente de l vrile es ). Por ejemplo ) c) 0 ) y y En los ejemplos propuestos, () está ordend e iguld cero; () está ordend pero no está iguld cero; y (c) no está ordend ni iguld cero. Solución de un ecución de segundo grdo Pr hllr l solución de un ecución cudrátic (segundo grdo) es recomendle ordenrl en form descendente e igulrl cero, sí tendremos: ) c) 0 0 ) y y - 0 Resolver un ecución cudrátic implic encontrr los vlores de l vrile que l reemplzrl stisfgn l ecución. No tods ls ecuciones cudrátics tienen solución dentro del conjunto de los números reles; pr lguns ecuciones l solución pertenece l conjunto de los números imginrios (lo cul está fuer del ojetivo de est unidd). L ecución generl de segundo grdo con un incógnit, se epres como: c 0, donde:

17 Teng presente que el denomindor divide tod l epresión y no sólo l ríz cudrd. es el coeficiente de es el coeficiente de, 0 c es el término independiente. L solución (si eiste) de un ecución de segundo grdo, se otiene medinte l fórmul cudrátic o resolvente: L epresión c c se denomin el discriminnte () de l ecución cudrátic y determin l nturlez de ls soluciones de l ecución. Se nos pueden presentr tres csos: Si c es positivo, l ecución tiene dos soluciones reles. Si c es cero, l ecución tiene sólo un solución rel. Si c es negtivo, l ecución no tiene solución en los números reles.

18 Ejemplo. 0 Hllr l solución de l ecución Determinmos los vlores de, y c. Como el discriminnte resultó positivo, l ecución tiene dos soluciones reles. Pr l er. solución tommos el signo positivo de l ríz cudrd. Pr l d. solución tommos el signo negtivo de l ríz cudrd. = = c = Luego clculmos el vlor del discriminnte: c ()( ) Reemplzndo en l resolvente, tenemos: Primer solución Segund solución: 5 ; () Ls soluciones de l ecución son y, pues l reemplzr estos vlores en l ecución originl, ést se cumple. Respuest: Ls soluciones de 0 son y 5 Ejemplo. : Resuelv Determinmos los vlores de =, y c. 5 c = 6 Luego clculmos el vlor del discriminnte:

19 Como el discriminnte resultó positivo, l ecución tiene dos soluciones reles. Considerndo el signo positivo de l ríz cudrd, otenemos l primer solución Considerndo el signo negtivo de l ríz cudrd, otenemos l segund solución. c 5 6 ()( ) 5 6 Reemplzndo en l resolvente, tenemos 5 6 () Respuest: Ls soluciones de - 0 son 6 y 69 6 Ejemplo. Resuelve 9 0 Determinmos los vlores de, y c. Luego clculmos el vlor del discriminnte: c = 9 = c = (9)() 0 Como el discriminnte es igul cero, l ecución tiene un solución rel. c ; - ; 9 8 L solución de l ecución es, pues l reempl zr este vlor en l ecución originl, ést se cumple. Compruélo.

20 Ejemplo. Resuelve l ecución 5 0 Determinmos los vlores de, y c. = = c = 5 Luego clculmos el vlor del discriminnte: c ()(5) 9 0 Como el discriminnte es negtivo, l ecución no tiene solución rel. Respuest: l ecución 5 0, no tiene solución en los números reles. Aplicciones directs de l ecución de segundo grdo L solución de un ecución de segundo grdo es un de ls herrmients más útiles en mtemátic, pues con much frecuenci se present en ejercicios de diferente índole. En este prtdo estudiremos lguns plicciones directs. Ejemplo 5. :Fctorice l ecución 5y y 0 En este tipo de ecuciones (con dos o más vriles) deemos elegir un de ls vriles como ásic y determinr su vlor en función de ls otrs. Digmos que es nuestr vrile se, entonces reescriimos l ecución: (5y) y 0, donde, 5 y c y

21 Clculmos el vlor del discriminnte: c 5y ()( y 9 y Como el discriminnte resultó positivo, pr culquier ) 5y vlor de y, l ecución tiene dos soluciones reles. Reemplzndo en l resolvente, tenemos Donde 5y 9y () 5y 7y 5y 7 y y y 5y 7 y y y. y Luego ls soluciones son y y y. Por lo tnto, l fctorizción qued de l siguiente form: 5y y y y y y Respuest: 5y y y ( y) = De l definición del discriminnte, semos que cundo c es igul cero (0), l ecución tiene un sol ríz. Por lo tnto, el primer pso es determinr los vlores de, y c Ejemplo 6. Encuentr los vlores de, tl que d d Solución: 0, teng sólo un ríz., d y c d Luego se sustituyen en el discriminnte e igul éste cero. 0 d c 0 d d 0 d 0 d d 0 d d 0 Resolvemos est ecución resultnte, utilizndo l fórmul

22 cudrátic, Ahor clculmos el vlor del discriminnte d d 0, donde c c ()( ) Como el discriminnte resultó positivo, l ecución tiene dos soluciones o ríces reles. Reemplzndo en l resolvente, tenemos d ( ) () 6 d 8 Considerndo el signo positivo de l ríz cudrd, otenemos l primer solución: d 8 Ahor, considerndo el signo negtivo de l ríz cudrd, otenemos l segund solución: 8 d 6 Ls soluciones de l ecución son d, d 6, es decir, que los vlores de d que hcen que l ecución en, d d 0 teng un sol solución, son d, d 6 y ls ecuciones resultntes de sustituir los vlores de d, son: 0 y

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24 Ecuciones Rdicles Un ecución rdicl es quell que tiene un o más incógnits, jo el signo rdicl. Son ejemplos de ecuciones rdicles: Pr resolver un ecución rdicl se dee tener en cuent lo siguiente: Si A y B son dos epresiones lgerics, entonces A = B es un ecución lgeric, y su conjunto de soluciones es suconjunto de soluciones de l ecución A n = B n donde n es culquier entero positivo. Pr eliminr l ríz cudrd, elevmos l cudrdo mos ldos de l iguldd. Despejmos los vlores de, pr igulr l ecución cero. Entonces nos qued un ecución cudrátic. Ejemplo. Resuelv 6 Aunque l ecución no es cudrátic, puede trnsformrse de l siguiente mner: 6 Desrrollmos el producto notle del ldo derecho , donde, 7 y c 0 Ahor clculmos el vlor del discriminnte: c 7 ()(0) Como el discriminnte resultó positivo, l ecución tiene dos soluciones reles. Reemplzndo en l resolvente, tenemos

25 Recuerd l fórmul cudrátic o resolvente: c Donde ( 7) () y Como se hicieron operciones lgerics pr convertirl en un ecución cudrátic, deemos compror mos vlores de en l ecución originl, por sustitución. Pr 5 l iguldd se cumple Pr l iguldd tmién se cumple (cierto) (cierto) Respuest: Ls soluciones de l ecución 6, son 5 y. Nuevmente, elevmos l cudrdo mos miemros de l iguldd Ejemplo. : Resuelv 5 Primero elevmos l cudrdo mos miemros de l iguldd, pr no lterr el vlor de l epresión. 5 En el ldo izquierdo de l ecución, tenemos un ríz cudrd elevd l cudrdo, l cul d como resultdo l epresión su rdicl. En el ldo derecho de l ecución tenemos un inomio l cudrdo (producto notle): donde y. Desrrollndo, simultánemente mos ldos de l ecución, tenemos 5 5 Despejmos l ríz cudrd resultnte

26 5 Desrrollmos el producto notle del ldo izquierdo y el cudrdo del ldo derecho. 9 ( ) ()() () () Comprue que mos vlores de son solución de l ecución originl Ahor l ecución puede resolverse medinte l fórmul cudrátic, donde: 9, 6 y c c Ejemplo. : Resuelv l ecución Multiplic por el m.c.m que es, resuelve y simplific Elev l cudrdo mos ldos de l iguldd y fctoriz.... ( )( ) 0 ; 5 0 Por consiguiente y. Verific si cd un de ells son soluciones de l ecución.

27 Ecuciones con Vlor Asoluto El vlor soluto de f se define: f f f si f 0 o si f 0 Donde f puede ser un número, un vrile o un epresión lgeric. El Vlor Asoluto de un cntidd es el número que represent l cntidd, sin tomr en cuent el signo de l cntidd. El Vlor Reltivo de un cntidd es el signo de l mism, representdo por más (+) o menos (-). NOTA: Oserv que el vlor soluto de un epresión denotdo por Cundo trjmos con cntiddes, ésts se pueden tomr en dos sentidos, cntiddes positivs o cntiddes negtivs. Así, en contilidd el her o crédito se denot con el signo + y el dee o deud se denot con signo. Pr epresr que un person tiene 00 Bs.F. en su her, diremos que tiene + 00Bs.F. mientrs que pr epresr que tiene un deud de 00 Bs.F. diremos que tiene 00 Bs.F. Otro ejemplo donde se utilizn los sentidos de ls cntiddes es en los grdos de un termómetro, los grdos sore cero se denotn con signo + y los grdos jo cero se denotn con signo. Así, pr indicr que el termómetro mrc 0º sore cero, escriimos +0º y pr indicr que mrc 0º jo cero, escriiremos 0º. Entonces en un cntidd culquier, tenemos dos elementos intrínsecos, que son: el vlor soluto o mgnitud de l cntidd y el vlor reltivo o signo de l cntidd. Ejemplo. : Hllr el vlor soluto de ls siguientes cntiddes. Ejemplo. Pr f = 8, tenemos que 8 8 ) Pr f = - 5, tenemos que c) Pr f =, tenemos que

28 f, depende del signo de l epresión que se encuentr entre ls rrs y no de l vrile, menos que l epresión se igul l vrile. Propieddes del Vlor Asoluto Oserv que ls propieddes del l 5 se refieren igulddes, mientrs que ls propieddes 6 y 7 se refieren desigulddes. si o si 0 0 d) Pr f, tenemos que si 0 o si 0 Propiedd : f 0, pr culquier f Propiedd : Propiedd : Propiedd : f f f f f g f g Propiedd 5: Si g 0 entonces f g f g Propiedd 6: tringulr) f g f g (Desiguldd Propiedd 7: f g f g Propiedd 8: Se 0, f es equivlente resolver ls siguientes ecuciones: ) f ó ) f Es decir, f si y sólo si, f ó f Propiedd 9: Se 0, f es equivlente : ) f y ) f Es decir, Propiedd 0: f si y sólo si f f es equivlente : ) f ó ) f

29 Es decir, f si y sólo si f ó f En muchs ocsiones se nos presentn ecuciones donde está involucrdo el vlor soluto de un epresión lgeric, como por ejemplo: Vemos continución vrios ejemplos de resolución de ecuciones con vlor soluto, plicndo ls propieddes. Ejemplo. Resolver l siguiente ecución: 5. Aplicndo l propiedd 8 de vlor soluto, tenemos que pr f nos qued: 5 5 ó 5. Ec. Ec. Resolvemos cd un de ls ecuciones: 5 Ec. : 5 y 5 Ec. : 5 Entonces l solución de l ecución 5 5 es ó Respuest: S, 8 Ejemplo. Resolver 9 Aplicndo l propiedd 8 tenemos que: Ec. ó 8 9 Ec. Resolvmos cd un de ls ecuciones:

30 8 Ec. : Multiplicmos por (-), l ecución nos qued Ec. : Respuest: l solución de l ecución es S 9, 9 7. Not: No siempre un ecución tiene solución en los números reles. En el siguiente ejemplo nlizmos este cso L propiedd 8 de vlor soluto nos dice que el vlor de, tiene que ser estrictmente myor que cero. Ejemplo. Resolver 8 Si oservmos el ldo derecho de l ecución, notmos que el vlor es negtivo, y por l propiedd del vlor soluto, f 0, es decir el vlor soluto de un epresión lgeric o ritmétic siempre es positivo o igul cero. Por lo tnto, l ecución 8 no tiene solución en los números reles, sí l solución es vcí, es decir S. Respuest: l solución de l ecución 8 S es Ejemplo 5. Resolver

31 Pr drle form l ejemplo 9, psmos el término dividir; sin emrgo, oserv que no dmite el vlor de =, pues el denomindor se nulrí, por lo tnto si en l ecución originl =, tendremos que 0 = 0 (lo cul es flso), esto quiere decir que, entonces puede psr dividir y resolvemos:, utilizndo l propiedd 5 del vlor soluto, sí l ecución qued: Usndo l propiedd 8 de vlor soluto tenemos entonces que.. Ec Ec ó Resolvmos cd un de ls ecuciones :. Ec : Ec, Agrupmos términos semejntes Respuest: Entonces l solución de l ecución es 6, S

32 LOS SISTEMAS DE ECUACIONES Trtremos hor los sistems de ecuciones, lo cul no es más que un conjunto de ecuciones con más de un () incógnit, que l resolverls tienen l mism solución. Comenzremos con sistems ásicos de ecuciones con incógnits y, l finl se mplirá el estudio sistems de ecuciones con incógnits. En un sistem de ecuciones no siempre el número de ecuciones es igul l número de incógnits. TÉRMINOS EMPLEADOS EN SISTEMA DE ECUACIONES Ls dimensiones de un sistem de ecuciones depende: primero, del número de ecuciones (l cul llmremos m), y segundo, del número de incógnits (l que llmremos n). Entonces l dimensión de un sistem l definiremos m n. Sistem Sistem Sistem y z y y y z 6y y y z y L solución de un sistem corresponde los vlores de ls incógnits encontrds y que, l sustituirlos en tods ls ecuciones, stisfce el sistem originl, es decir son los vlores de ls incógnits que hcen que ls igulddes se verifiquen. Los sistems de ecuciones se pueden considerr homogéneos o no homogéneos.

33 LOS SISTEMAS HOMOGÉNEOS, son quellos que tienen todos los términos independientes igules cero y un de sus soluciones es quell en l que tods ls incógnits tienen como vlor cero (0). A este tipo de solución se le llm solución trivil, pero deemos tener presente que no todos los sistems homogéneos tienen un únic solución. LOS SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS, son quellos en los que por lo menos uno de los términos independientes es distinto de cero (0). Los sistems de ecuciones denomindos COMPATIBLES, son quellos que tienen solución y pueden ctegorizrse como comptiles determindos e indetermindos. Un sistem es COMPATIBLE DETERMINADO, cundo tiene un número finito de soluciones. Un sistem es COMPATIBLE INDETERMINADO, cundo tiene un número infinito de soluciones. Por otro ldo podemos señlr que un SISTEMA INCOMPATIBLE, es quel que no tiene solución. Un ecución linel en un vrile se define tmién como un ecución de primer grdo en l vrile y es de l form: c con 0. Un ecución linel en dos vriles (, y ), se define como un ecución de er grdo en cd un de ls vriles y es de l form y c 0, donde 0 y 0. En generl, un ecución linel en n vriles,,... n es un ecución de er grdo en cd un de ls vriles y es de l form i sen igules cero., donde no todos los n n

34 Un sistem de ecuciones lineles es el conjunto de dos o más ecuciones lineles con dos o más incógnits. En los ejemplos de l definición, l inicio de est unidd, el () y () son sistems de ecuciones lineles. Sistem de ecuciones lineles Es el conjunto de dos ecuciones lineles con dos incógnits. En el ejemplo de l definición es sistems de ecución lineles. Criterios pr determinr l eistenci de soluciones de sistems Antes de intentr resolver un sistem de ecuciones, es conveniente determinr si el sistem tiene solución y conocer l nturlez de ést. En este prtdo indicmos lgunos criterios que nos pueden orientr en l úsqued de l solución. Pr el siguiente el sistem : y c y c Se presentn dos () csos: Cso : Si el sistem de ecuciones es homogéneo, es decir, c i) c 0, tendremos dos opciones: el sistem tiene solución trivil, = 0, y = 0 ii) el sistem tiene infinits soluciones. Cso : Si el sistem de ecuciones es no homogéneo y suponiendo c 0, tendremos tres opciones: i) el sistem tiene sólo un solución no trivil y es l

35 siguiente: c c c c y ii) iii) el sistem tiene infinits soluciones c c el sistem no tiene solución. c c CASO.i, el sistem tiene solución trivil, = 0, y = 0 Ejemplo. : Pr el sistem de ecuciones y 0 y 0 eist. determin l solución, en cso de que Oservmos que el sistem es homogéneo, pues c c 0, y demás que y, entonces, por lo tnto, corresponde l cso.i), en consecuenci el sistem tiene solución trivil, = 0, y = 0. CASO.i el sistem tiene sólo un solución no trivil y es l siguiente: c c c c y Ejemplo. : Pr el siguiente sistem de ecuciones y determin l solución. y 0 El sistem es no homogéneo, y que c, c 0, por otro ldo oserv que: y, entonces por lo tnto, corresponde l cso.i) y resolvemos como sigue:

36 c c ()( ) ( 0)() ()( ) ()() y c c ()( 0) ()() 0 ()( ) ()() Respuest: L solución es =, y = CASO.iii el sistem no c c tiene solución. Ejemplo. : Resolver el siguiente sistem de ecuciones y y El sistem es no homogéneo, y que c, c, demás oservmos que:, y c c, entonces c c por lo tnto, corresponde l cso.iii), en consecuenci el sistem no tiene solución. Interpretción Geométric de los sistems de ecuciones lineles ec y ec Tods ls ecuciones lineles de dos vriles (incógnits) tienen línes rects por gráfics en el plno crtesino. En el cso de un sistem de dos ecuciones lineles y dos vriles (incógnits), l representción gráfic del mismo viene dd por dos rects en el mismo plno ls cules se pueden comportr de l siguiente form: Cso A: El sistem es homogéneo (comptile determindo) y tiene solución trivil 0, y 0. y 0 y 0 ec ec Ls dos rects tienen en común el punto (0, 0)

37 y ec ec Cso B: El sistem es no homogéneo (comptile determindo) y tiene un únic solución no trivil. y c y c ec ec Ls dos rects tienen en común el punto que no es el origen y ec ec Cso C: El sistem homogéneo o no homogéneo (comptile indetermindo) tiene infinits soluciones. y c y c ec ec Ls rects son coincidentes (un sore l otr) Cso D: El sistem es no homogéneo (incomptile) y no tiene solución. y ec ec y c y c ec ec Ls rects no tienen punto en común, es decir, son rects prlels

38 Método pr resolver sistem de ecuciones lineles Métodos Anlíticos de Sustitución e Igulción pr resolver Sistems de Ecuciones Lineles de De los criterios estudidos en est guí, el numerdor como.i es el que nos ocup en este cso; es decir, sistems no homogéneos con un solución. Se indicó que teniendo el sistem: Su solución es: c c y c y c c y c Sin emrgo, eisten diferentes métodos que nos permiten otener est solución con procedimientos muy específicos. Es muy importnte conocer dichos procedimientos pr nálisis posteriores. Pr resolver sistems de ecuciones lineles podemos utilizr los siguientes métodos: Métodos Anlíticos: Sustitución Igulción Eisten otros métodos pr resolver sistems de ecuciones, tles como los mtriciles y el método gráfico, pero en est guí sólo desrrollremos los dos métodos nlíticos menciondos y mostrremos su interpretción gráfic.

39 Método de Sustitución Este método, como su nomre lo dice, consiste ásicmente en sustituir epresiones y vlores en ls ecuciones pr encontrr l solución del sistem. Estudiemos este método con los siguientes ejemplos: Ejemplo. : Resuelv el sistem de ecuciones utilizndo el método de sustitución. y 7y 5 Solución: Pso : Verificmos l nturlez de l solución. El sistem es no homogéneo, porque c 0 y c 0, entonces: 7 El sistem tiene un solución únic. Pso : Denotmos cd ecución con un número, pr diferencirl. y ec() 7 y 5 ec() El 7 y ps sumndo 5 y el que está multiplicndo ps dividiendo tod l epresión. Finlmente llmmos ec() l nuev ecución. Pso : Elegimos un de ls ecuciones pr despejr un de ls incógnits, en este cso tommos l () pr despejr. Es indistinto l ecución que se elij y l incógnit que se despeje. 5 7y 7y 5 ec

40 Reemplzmos l por el vlor que tiene según l ecución. Sum de frcciones, considerndo que y y el y mínimo entre y es El ps multiplicndo Agrupmos términos semejntes. Pso : Sustituimos l epresión correspondiente, en l ecución del sistem que no fue tomd, en este cso es l ec (). y 5 7 y y Pso 5: Otenemos un ecución de primer grdo con un incógnit y l resolvemos. 75 y 75 y 8y y 75 y 8y 8 y 8y y 0 y 7 9 Pso 6: Sustituimos el vlor de l incógnit encontrd en culquier de ls ecuciones (); () ó (), generlmente se elige l que considere más sencill. 5 7y En nuestro ejemplo elegimos l ecución (), pues y prece despejd y sustituimos y = 7.

41 5 7y Sustituimos = 6, y = 7 en ms ecuciones del sistem originl. Pso 7: Comproción. y ( 6 ( 7) 8 7y 5 ( 6) 7( 7) Pso 8: Presentmos l solución. y 6 7 7y 5 P( 6, 7) Método de Igulción Este método consiste en despejr l mism incógnit en ms ecuciones y luego igulr mos resultdos. Estudiemos este método con los siguientes ejemplos: Ejemplo 5. : Resuelve el sistem de ecuciones y utilizndo el método de igulción. y 7 Pso : Verificmos l nturlez de l solución. El sistem es no homogéneo, porque c 0 y c 0,

42 entonces: El sistem tiene solución únic. Pso : Denotmos cd ecución con un número, pr diferencirl. y y 7 ec () ec () PASO : De ms ecuciones despejmos l mism incógnit. y (ec ) Despejmos y de l ecución () y y (ec ) y 7 (ec ) Despejmos y de l ecución () y 7 y 7 (ec ) Pso : Ahor igulmos ls dos epresiones encontrds. Es decir, ec y ec 7 Pso 5: Resolvemos l ecución de primer grdo otenid en l igulción. (7 ) ; 8 ; 8 ; ;

43 Pso 6: Sustituimos el vlor encontrdo en l ecución que consideres más sencill. Sustituiremos en l Ec( ) y 7 (Ec ) y 7 ( ) ; y 7 ; y = Pso 7: Se compruen los resultdos, sustituyéndolos en el sistem originl. (comprue l solución) Pso 8: Se present l solución del sistem:, y =. Como y mencionmos, l interpretción gráfic corresponde dos rects que se interceptn (o cortn) en el punto P(,). Vemos: y y = 7 p(,) +y = Sistems de Ecuciones no Lineles Estos son sistems que contienen por lo menos un ecución no linel, por ejemplo: un ecución cudrátic, cúic, rcionl, entre otrs. Podemos resolverlos utilizndo los conceptos estudidos en est guí. Vemos lgunos de ellos. Ejemplo 6. : Resuelve el sistem y 0 y6 7 Este sistem no es linel, sin emrgo, podemos resolverlo por sustitución.

44 Primero le signmos números ls ecuciones pr diferencirls y 0 y 7 ec. ec. Sustituimos en l ec. Desrrollmos l sum del inomio elevdo l cudrdo Despejmos un de ls vriles de l ec., en este cso y 7 y (Ec) Multiplicmos tod l ecución por m.c.m(,9) = 9 Resolvemos l ecución de do. grdo y otenemos: c donde, 8 y c Como otuvimos dos resultdos pr, sustituimos cd resultdo en l ec., pr otener los vlores de y 7 y (ec. ) 7 () Pr, y y Pr 7 y y

45 Si queremos compror, sustituimos los vlores de, y en ls ecuciones originles, tmién sustituimos, y en tles ecuciones y verificmos que se cumpln ls igulddes. Finlmente, presentmos los resultdos: Ls soluciones son:, y, y Los elementos del rte de l guerr son: primero, l medid del espcio; segundo, l estimción de ls cntiddes; tercero, los cálculos; curto, ls comprciones; y quinto, ls posiiliddes de victori. L medid del espcio deriv del terreno. Ls comprciones se hcen prtir de ls cntiddes y los cálculos, y se determin l victori según ests comprciones. Así pues, un ejército victorioso equivle un sco en equilirio contr un grno de rroz, y un ejército derrotdo es como un grno de rroz en equilirio contr un sco. Sun Tzu, El rte de l guerr