RODRIGO MATARRITA VENEGAS Bolsa Nacional de Valores, San José, Costa Rica. Resumen

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1 RMV-3- DURACIÓN EN INSTRUMENTOS DE TASA AJUSTABLE RODRIGO MATARRITA VENEGAS Bolsa Nacoal de Valores, Sa José, Cosa Rca Resume El objevo de esa vesgacó es orecer ua orma alerava de calbrar la duracó de los srumeos de asa ajusable. Se are de las decoes de la duracó ara el caso de srumeos de rea ja, sus dsas acecoes e erreacoes, así de u aálss de la orma e la que ha sdo ereado ese roblema e orma covecoal, ara rooer ua orma alerava de hacerlo, sguedo la veree de la dervacó arcal de ua relacó ucoal comuesa, e dode el valor acual se ve modcado ao or el acor de descueo, como e la asa que geera el lujo de caja. alabras clave: duracó, duracó modcada, duracó eecva, duracó de srumeos de asa varable. Clascacó JEL: E43, G. INTRODUCCIÓN La dscusó e oro a la decó de la duracó de los srumeos es, e la acualdad, uo de los elemeos de maor rascedeca e el mercado de valores cosarrcese. Ello debdo a la geeralzacó del deomado Tíulo de roedad Tasa Básca ba como objeo de versó or las careras admsradas e orma macomuada. De esa maera, odos de versó odos de esoes se covere e los rcales demadaes de esos srumeos, s dejar de lado el hecho de ese srumeo acúa como subacee e muchas de las oeracoes de recomras reoros Las verees de aálss gesó de careras que ha sdo adoadas or ees de suervsó como el CONASSIF la SUEN, oblga a los ees suervsados a cosderar el uso de herrameas aalícas de uso comú e mercados más desarrollados que el cosarrcese, ales como la duracó la covexdad. Esa oa raa sobre ua sugereca ara el cálculo de la duracó de los srumeos aceros, e esecal e las oblgacoes de asa ajusable. Eso e deuda co Fracsco Bolla, que vercó los cálculos leó los reedos borradores de esa oa. Agradezco los comearos de Robero Saad, Edd Velásquez Rodolo Chévez. CONASSIF : Cosejo Nacoal de Suervsó del Ssema Facero; SUEN: Sueredeca de esoes.

2 Duracó e Isrumeos de Tasa Ajusable ága. DEFINICIONES BÁSICAS DE DURACIÓN La duracó es u coceo acuñado or Frederck Macaula 938 es ulzada como la esmacó del cambo e el reco de u srumeo ae cambos e la asa de erés; éccamee se reere a la rmera dervada de la ucó del valor acual co reseco a la asa de erés ulzada ara descoar los lujos de la versó. La ormulacó geérca vee dada or: Duracó de Macaul C m [] Dode : es el reco del srumeo; C: es el moo del cuó el lujo de caja; : es el redmeo eserado hasa la madurez del srumeo; m: es el moo eserado al vecmeo del srumeo; : es el úmero de cuó. : es el úmero de lujos de agos geerados or la versó. Vso de la maera exuesa e la ecuacó [], la duracó vee a ser ua esmacó de la sesbldad del reco ae cambos e la asa de descueo, es decr, ua esece de elascdad reco de la asa de descueo, lo que odría arecarse e la sguee gráca: Fgura. La duracó sería, eoces la asa de cambo e el reco del srumeo al asar de u redmeo, a ua asa de descueo de. Lo que vee deoado or la edee de la líea que ue los ares ordeados, co, ; or al razó, e alguas

3 Duracó e Isrumeos de Rea Varable ága 3 ocasoes, ua versó smlcada de la duracó se ha reseado como ua versó de elascdad-arco, de la orma: % D [] % Lo cual vee a ser, eoces, ua esmacó dscrea de la duracó. Cambos couos o mu equeños oblga a la cosderacó de ua medda más recsa, lo que se logra co la decó de la Duracó Modcada ó Duracó Corregda, como aarece deomada or oros auores véase Leveeld de la Maza, 997: 54: Duracó Modcada Duracó [3] Esa ormulacó se aroxma susacalmee a lo que sería el cálculo derecal del reco ae cambos e la asa de descueo, aredo de que: FC, VF,, [4] Sedo FC el lujo de caja e el momeo ; VF el valor omal o valor acal de la versó, e, la asa de erés acal. De maera que uede aroxmarse el cambo e el valor acual ae cambos e la asa de descueo de la sguee orma: d FC FC VF,,, ' [5] FC < ; VF,, [5 ] O, lo que es lo msmo:

4 Duracó e Isrumeos de Tasa Ajusable ága 4 FC [6] Que es equvalee a la ormulacó que se laea e [3] de la Duracó Modcada, que vedría a aroxmar el cambo margal ae cambos mu equeños e las asas de descueo, sedo el cambo descro or medo de la agee al uo de reereca la líea, e la gura.. Ese coceo de duracó uede ser erreado de varas maeras; de esas erreacoes, las más usuales so: Es el eríodo medo de recueracó e érmos de valor acual. Es morae señalar que ese coceo dere del comúmee emleado eríodo de Recueracó de la Iversó RI, e dode se corasa la suma de los lujos acumulados or u roeco co la versó cal ara deermar e qué momeo se recobra la versó hecha. E el sedo que aquí se emlea, la suma que se hace es la de los lujos descoados, es decr, raídos a valor resee. La duracó bajo el coceo de elascdad carece de dmesó or el cocee de dos varacoes relavas. S embargo, bajo e coceo de Macaula, es decr, como emo oderado medo, ee dmesó corresodee a los eríodos e que se recbe los cuoes: rmesres, semesres, años, Leveeld de la Maza, 997: U laeameo mu sugeree es el hecho or Schuber 3, que vsualza la duracó como u momeo esraégco ara la lqudacó de ua versó. ara ello se are de la sguee dervacó de la duracó: V D V D D FC [] Dode D es la duracó ua cosae vedría a ser el emo que se arda e lograr obeer ua suma uura VD a ua asa de caalzacó, de aquí lo que se rocura es obeer u mímo de emo e que se ardará e alcazar al suma, sedo q: V q V [] q D D D FC co V q > ; se aseguraría la esrca covexdad la Duracó sería: q D FC FC [] La duracó vedría a ser el emo mímo que se debería maeer u srumeo ara recuerar la versó e érmos de valor acual, es decr, ara que se obega ua asa de redmeo caalzado a ua asa de mercado. Veder aes o aseguraría la recueracó de la versó e érmos de valor acual, veder desués aseguraría que se ha recuerado la versó es el momeo a arr de dode se obedría ua gaaca e érmos de valor acual.

5 Duracó e Isrumeos de Rea Varable ága 5 Es ua medda del grado de sesbldad o resuesa que ee el reco de u acvo acero ae cambos e las asas de descueo emleadas. U elemeo morae es que esas duracoes esá exresadas e érmos eródcos, es decr, esá relacoados a la recueca de los agos, de maera que s la erodcdad del ago de cuó es rmesral, la duracó esará dada e rmesres; or ello, co el roóso de esadarzacó el uso la exresó de las duracoes de u cojuo de srumeos, se suele dvdr las duracoes obedas ere la erodcdad de ago, de orma que se calcula las duracoes aualzadas de la sguee orma: Duracó Aualzada DuracóModcada [7] Dode es la erodcdad de ago. De la exresó [6] aeror, se uede colegr que la duracó es ua meda oderada del emo or el lujo descoado; desde ese uo de vsa, es comresble lo azaroso que uede llegar a ser el cálculo de la duracó como al meda oderada, or al razó se ha desarrollado alguas ormulacoes que rocura smlcar al roceso; or ejemlo, Fabozz 997, resea ua suacó e la que se calcula la duracó ara u boo co agos semauales: c D H H [8] Dode c es la asa de erés del cuó el acor H es la razó ere el valor resee de la aualdad del cuó el reco del boo, que se calcula de la sguee maera: H c [9] Esa órmula, hacedo las correccoes resecvas or erodcdades es la que se ha alcado orgalmee or are de la Bolsa Nacoal de Valores Saad,. Leveeld de la Maza 997 rooe la sguee órmula ara el caso de Boos Amercaos :

6 Duracó e Isrumeos de Tasa Ajusable ága 6 D A A [] Dode A es la aualdad de eríodos descoados a la asa. or ora are, Mascareñas 998b, rooe ua ormulacó smlar a la aeror: c D [] c c S embargo, advere que ara oder alcar esa órmula ráda debe darse el caso de que o exsa cuoes corrdos, es decr, el emo ere cuoes debe ser u úmero eero; e oras alabras, dado que el cálculo de la duracó se rabaja co el reco suco es decr, co ereses acumulados, s exse días acumulados de ereses, órmulas como [8], [] [] o odría alcarse. Hasa aquí, el coceo de duracó esá relacoado co u comorameo lao del cambo e la Esrucura Temoral de Tasas de Ierés ETTI, es decr, dado que lo que se calcula es la varacó e el reco ae cambos e las asas de mercado, se asume que ese cambo es aralelo, es decr, la ETTI se deslaza e orma uorme a odos lo lazos. S embargo eso raramee sucede: lo que se observa e el mercado so cambos o uormes, sedo que ha lazos e los cuales las asas camba e maor magud que oros, e cluso, camba e sedo coraro. Ello llevó a ua cosderacó adcoal de la duracó, la cual se derva de la alcacó del modelo de Fsher Wel 97, quees elabora ua eoría sobre la coormacó de la ETTI que cosdera deslazameos o uormes e el emo de las asas de mercado. El laeameo de Fsher Wel co reseco a la duracó se derva de la alcacó de los udameos de la eoría de las execavas sesgadas TEI o eoría de las execavas uras 3, como juscae de la ETTI, al laeameo rooe que: s M M TIRM k k j j ; s, k j s M [] 3 U elemeo morae es la cosderacó de que la TEI suoe que se cumle el modelo de comeeca ereca, or lo que las asas orward mlícas será ua aroxmacó de las asas eseradas.

7 Duracó e Isrumeos de Rea Varable ága 7 Dode m k es la asa orward ara la versó de k años e el momeo m; sedo además que TIR es la asa so. E ese sedo, el cálculo de la Duracó de Fsher Wel sería: D FW FC s s s [3] El raameo de Fsher Wel are de la decó de ua curva de redmeo-lazo ETTI or medo de ua ecuacó olomal, sedo la duracó cocdee co las dervadas arcales a cada lazo. Ese eoque ha sdo el revalecee e el cálculo de las duracoes e rabajos oserores véase Soo,, de al suere que odría derse u vecor de duracoes u escalar a cada lazo ara cualquer curva de redmeo lazo de u cojuo homogéeo de srumeos, de la orma: krd r [4] Dode krd es lo que se deoma Ke Rae Durao al lazo. De esa orma, el cambo e el vecor de recos uede verse como Golub Tlma, : 97 sges.: krd r [5] Más aú, uede cosderarse que el reco de u srumeo o esá úcamee sedo aecado or la asa de descueo corresodee al lazo resecvo, so que ambé esa sedo aecado or los cambos que se da a lo largo de la esrucura msma, luedo la decó de las asas orward mlícas. Ese o de arecacoes lleva a cosderar lo que se deoma el aálss SEDUR Shor-Ed Durao el aálss LEDUR Log-Ed Durao véase Golub Tlma,. ese a esa eresae veree de aálss, or smlcdad or su relacó co el ema ceral de esa oa, se volverá al laeameo hecho e la ecuacó [6], como uo de arda del aálss que sgue.

8 Duracó e Isrumeos de Tasa Ajusable ága 8 Así, volvedo a la ecuacó [6]; es osble obeer ua sere de cosderacoes adcoales, las cuales uede arr de las dervadas arcales de la ucó del valor acual; de maera que, derecado e segudo orde, se edría lo sguee: VF < [6] Sedo el lujo de caja FC equvalee al valor del cuó C que se calcula como el roduco del valor acal VF or la asa omal ere la erodcdad de ago del cuó. De gual maera uede obeerse: FC > [7] E oras alabras, coorme se dlae más el horzoe de madurez del srumeo, maor será la duracó; es decr el reco será más volál ae varacoes e las asa de erés de descueo e el mercado secudaro 4. or ora are, odría observarse que 5 : FC > ; > [8] Lo que asegura la esrca covexdad de la ucó como se descrbe e la Fgura. 6 Esa exresó es de omada Covexdad Modcada se emlea ara la deermacó de cambos más recsos e el reco, de maera que 7 : 4 Ferruz, orllo Saro : deerma que s se da el caso e el que la asa de los cuoes es meor que la descueo de los lujos exsrá u ramo, ara lazos mu dlaados, e que la duracó más be decaga. 5 Los cálculos esá e el Aexo, al al de esa oa. Ese o de aálss es mu smlar al segudo or Golub Tlma. 6 Se dce e ese caso que la ucó es esrcamee covexa, ues o ee mímos locales. 7 ara u maor dealle uede verse Golub Tma :3. U desarrollo or medo de Seres de Talor se ecuera e Leveeld de la Maza 997:

9 Duracó e Isrumeos de Rea Varable ága 9 CovexdadModcada DuracuóModcada [9] FC FC [] Falmee, se uede calcular: VF < [] Lo cual dca que ua maor asa de erés reducría el valor de la duracó, lo que es cogruee co u meor eríodo de recueracó de la versó dado que los lujos so maores da cuea de ua meor sesbldad de are del srumeo ae varacoes e las de descueo, ello orque u msmo cambo dscreo suógase de.b. sgcará u orceaje meor sobre ua asa de % que sobre ua asa del %, lo que es cocdee co el obedo or Ferruz, orllo Saro : Ese resulado erme, además, suoer que ajuses e la asa de erés debería esar cdedo sobre el cálculo de la duracó, que es el ema del sguee uo.. LA DURACIÓN EN OBLIGACIONES DE RENTA VARIABLE Iuvamee, la duracó de u srumeo de asa ajusable debera ser meor que u íulo de smlar lazo co cuoes de asa ja, ello debdo a que la versó debera de recuerarse e u meor emo, oda vez que los srumeos de asa ajusable coee coracualmee la cláusula de ajuse e las asas que elma el resgo, o al meos geera ua coberura mlíca, ae varacoes o acadas e las asas de erés; adcoalmee, como se vera e el uo aeror, la ajusabldad de las asas ee u eeco egavo sobre el valor de la duracó. or ora are, s se cosdera que la duracó modcada vee a ser la rmera dervada del valor acual ae varacoes e las asas de descueo, la cláusula de ajusabldad suodría ua elascdad cercaa la uara ues ao varía la deermacó de los lujos or varacoes e la asa, como las asas de descueo... ANÁLISIS CONVENCIONAL El raameo de ese o de casos es mu duso. U laeameo que odría deomarse como smlsa oa or cosderar ua elascdad uara reco

10 Duracó e Isrumeos de Tasa Ajusable ága co reseco a las asas de descueo. A la luz de dcho aálss la duracó de u srumeo de asa ajusable sería algo smlar a lo descro e la ecuacó [7]: rouesa smlsa ara el cálculo de la duracó de u boo ajusable [] De esa maera, suoedo ua elascdad uara e la gráca de la Fgura., la duracó aualzada, como alguos ha laeado, debera ser uo ere la erodcdad, ero eso o resula ser cogruee co el coceo de duracó como recueracó e érmos de valor acual de la versó Cómo suoer que la duracó de u asa básca, cuo vecmeo es dero de 5 años sea de,5 años, solamee orque su erodcdad es? S la erodcdad del msmached uera rmesral, la duracó sería,5 años? Díclmee se admrá algo semejae 8. E ese sedo, Mascareñas 998b, hace u laeameo smlar ara el caso de srumeos de asas ajusables FRN: Floag Rae Noes 9. are de que e la echa de lqudacó, u boo co cuó varable se egoca a la ar, or lo que la duracó es ula. Ua vez que se ha esablecdo el uevo cuó, el boo FRN se comora como u boo ordaro, co cuoes jos co vecmeos erores al semesre; de esa maera s u boo de ese o se egoca aes de su vecmeo w: raccó del semesre or vecer, la relacó ere el reco el redmeo queda descra or la sguee ecuacó: w [3] Su duracó, or ao, será gual a: w D FRN [4] or ao, el boo co cuó varable cada ses meses edrá ua duracó eror a u semesre, es decr, su reco o es esecalmee sesble a las varacoes del redmeo. 8 9 No obsae, ua ormulacó smlar es la que ha sdo sugerda or la SUGEVAL Suerdeeca Geeral de Valores e el recee Reglameo de Suervsó rudecal ara uesos de Bolsa; debdo a que se errea que el cambo máxmo eserado e el reco ae cambos e la asa de erés será, a lo sumo del verso de la erodcdad de ago. Ma Fabozz, sugere ara ese o de srumeos la ulzacó de la Duracó Eecva ulzado.b como medda de cambo e los redmeos de descueo.

11 Duracó e Isrumeos de Rea Varable ága Lo aeror es cero e aquellos os de srumeos e los cuales la asa del cuó se deerma al momeo de la cacelacó del cuó revo; es decr, al momeo del ago del cuó, se dee cuál será la asa de reabldad ara el cuó sguee, sedo, eoces, srumeos cuo horzoe de versó es, ráccamee, deda or la erodcdad del cuó. ero, la hsora o es la msma cuado los redmeos so dedos al momeo del ago del cuó. Ora veree de aálss es la ulzacó de lo que se deoma como la duracó eecva que es emleada ara srumeos co recos mu voláles como las ocoes dero de los que odría calzar los srumeos co asas ajusables. Ese laeameo se uede resumr e la alcacó de la sguee ecuacó: Duracó Eecva [5] Dode: - - es el reco cal del srumeo; es el reco s el redmeo cae x uos bases; es el reco s el redmeo sube x uos bases; es el redmeo meos x uos bases; es el redmeo más x uos bases. La alcacó de esa órmula, o obsae, sugere la decó de ua ucó que erma sesblzar los recos ae varacoes e las asas de descueo ; Brjolsso, resea ua alcacó ara íulos dexados. Esa órmula ue omada de Crel Ieracoal 3. E alguos casos se exresa de maera algo deree, or ejemlo Fabozz 997, que la resea como: De dode se uede colegr: DE DE [5 ] [5 ] Mascareñas 998b, señala ua sere de veajas del uso de la Duracó Eecva versus la Duracó Modcada, así como alguas lmacoes; e lo aee, se ee: Veajas. La duracó eecva es la mejor medda de sesbldad del reco de los boos que corora ua ocó de comra o de vea. Es reerble a la duracó modcada orque esa úlma asume que los lujos de caja del acvo o varía cuado lo hace el redmeo.. La duracó eecva reede roorcoar ua medda objeva del resgo de u boo, orque mejora la seleccó dscrea de duracoes modcadas. 3. La duracó eecva erme realzar comaracoes ere dversos os de boos co s ocó, o ere boos amorzables boos vedbles. Lmacoes

12 Duracó e Isrumeos de Tasa Ajusable ága u ejercco smlar al laeado or Ickowcz, ara obeer esmacoes de las varazas de los recos ara ua carera dada de srumeos. E ese sedo, ua osbldad sería der asas de descueo e érmos robablíscos de acuerdo a la evdeca hsórca, como ue sugerdo or Maarra b 3. E odo caso, es ecesaro eer ua ucó subacee ara oder obeer recos, dados redmeos aleravos. Fgura. - z w -x.b x.b -. La duracó eecva se basa e ua sere de suuesos maemácos redmeo del mercado, volaldad del msmo, ec. que s so mal alcados dará lugar a valoracoes erróeas.. La duracó eecva uede cambar bruscamee cuado varíe las codcoes del mercado alos redmeos se covere rádamee e bajos, o ua baja volaldad asa a ser grade e oco emo, ec. co el rascurso del emo. 3. La varabldad e el reco de los boos es aecada or las varables que acúa e el mercado que la duracó eecva o coemla como, or ejemlo: la demada excesva or algú o de boo deermado; o or ua aumeo de redmeo, s morar la ocó de comra; la reereca del mercado or los boos emdos al descueo; el lazameo de uevas emsoes; las execavas del mercado sobre el comorameo uuro de los os de erés ; ec. 4. No ha u acuerdo geeral sobre el modelo aroado ara calcular la duracó eecva. Mascareñas, 998b: Ese rabajo se crcuscrbe a los íulos deomados Tasa Básca laea dos osbles ormas de abordar el roblema de esmar la duracó e esos srumeos sguedo u méodo de a e, robado dos méodos aleravos de esmar las asas uuras: or u lado, or medo de la ulzacó de la Esrucura Temoral de Tasas de Ierés ETTI la obecó de las asas orward mlícas;, or oro lado, medae la roeccó de los valores romedo hsórcos las resecvos límes de coaza, roveees de la alcacó de la resecva varaza hsórca.

13 Duracó e Isrumeos de Rea Varable ága 3 La Duracó Eecva erme comarar los cambos e recos ao de srumeos amorzables, como aquellos que coega u call como sería el caso de la líea ZW aú los de asas ajusables. Ese ejercco resula ser ecaz, oda vez que se cosdere la osbldad de esmar los recos -, los cuales rovedrá de las observacoes hsórcas que se haa regsrado de los recos ae cambos e los redmeo, lo que odría esar sedo aecado or múlles eveos cosderacoes ao desde el uo de vsa de la demada, como de la oera de u acvo... UNA FORMA ALTERNATIVA DE ENFRENTAR EL ROBLEMA Ua maera de erear aleravamee el roblema uede ser, or ejemlo, se laear el ejercco de suoer que, a arr de ello obeer la dervacó de la ecuacó [4] co reseco a u argumeo geérco redmeos de mercado, oda vez que ao las asas de erés acales como las de descueo vararía e el msmo sedo e la msma dreccó 4. E oras alabras, se esá asumedo que el coecee de asocacó leal ere esas varables es de ρ,, es decr que σ, σ x σ, o lo que es lo msmo, que la varabldad global cojua es exlcada ráccamee e orma oal or la varabldad smuláea ere las varables cosderadas. Bajo esos suuesos de comorameo asumedo, adcoalmee que FC VF x x, ara odos los lujos de caja, exceo ara el úlmo, e el que, además, se recuera el rcal; que, ara smlcar, se edría que VF ; es osble calcular 5 : [ ] [6] La aeror ormulacó oe de maeso la exseca de ua resulado o devo, es decr, arca elemeos que uede acuar e orma smuláea comesádose, de maera que, e ceros escearos, odría eerse u eeco osvo e el reco, ae ua varacó smuláea de la asas de erés ajusables las de descueo, e oros escearos, el resulado uede ser egavo. or ejemlo, odría asumrse u caso e que la asa de erés a la que se calcula los cuoes es de 6,75%, la asa de descueo es de 7,5%, la erodcdad es semesral. E al caso el resulado uede descrbrse medae el sguee gráco: 4 5 E realdad se esá suoedo que, adcoalmee, esaría varado e la msma magud. Los cálculos esá e el Aédce, al al de esa oa.

14 Duracó e Isrumeos de Tasa Ajusable ága 4 Gráco Cálculo de Cambos e el reco 7,5% 6,75% - Como uede arecarse, ara horzoes coros medaos, la duracó ee el comorameo eserado, es decr, el reco camba e orma versa ae cambos e las asas de erés de descueo las cuales, se recordará, camba e orma smuláea; ero ara horzoes emorales de maor magud el comorameo de la duracó dere del comorameo eserado se modca e la msma dreccó que las varacoes e los dcadores de redmeo 6. Ello se debe a que las asas de erés que dee los lujos de caja el ago de cuoes se comora e orma dscrea SUMANDO ua cadad ja cada vez que se agrega u cuó, e ao que la asa de descueo, cada vez que se suma u cuó, erde arcacó e orma EXONENCIAL or lo que, s el horzoe es suceemee largo, es de eserar que la duracó revele u comorameo osvo ere el reco eserado las asas de redmeo descueo s esas se comora smuláea e la msma dreccó magud. A are de lo aquí señalado, se uede agregar alguos oros corolaros roveees de la sesblzacó de la órmula [8]. or ejemlo 7 : a. La erodcdad cumle u eeco deslazador del valor de covergeca e el largo lazo de la ucó. b. Meras maor sea la asa de descueo más rádamee la ucó rueca valores egavos e valores osvos, es decr, más breve debe ser el horzoe emoral de versó ara observar cambos e recos e la msma dreccó que las asas de erés de mercado. 6 7 Lo cual uede verse como ua exesó de la coclusó a la que llegara Ferruz, orllo Saro : E el Aédce, al al de esa oa se orece u gráco que resume alguos de esos cambos.

15 Duracó e Isrumeos de Rea Varable ága 5 c. Meras meor sea la dereca ere las asas de descueo las asas a las cuales se ajusa los lujos de la versó, meor será el valor de covergeca de la ucó. d. S se da el caso e que las asas de erés so maores que las asas de descueo > ; como uede ocurrr e el caso de los íulo asa básca e u escearo de baja e los redmeos de mercado; se edrá ua suacó e el que las dreccó de la duracó será la eserada: los recos varía e sedo coraro a las asas de erés, s embargo, coorme el horzoe emoral sea más dlaado, el eeco será meor. e. E el msmo escearo e que las asas de erés sea maores que las asas de descueo > ; meras meor sea la dereca ere las msmas, más cercaa esará el vel de covergeca del cambo e los recos a cero; es decr, meores será los cambos eserados e los recos ae cambos e las asas de erés. Lo aeror o soslaa la exseca de srumeos co cláusulas de ajuse del o msmached e dode el cuó se ajusa co ua erodcdad maor a la del ago de cuó, como ocurre co los asa básca, cua codcó de ajusabldad vee dada or ua ormulacó como 8 : TB TB T T I remo VF [7] Lo que suoe u rezago e el ajuse, que beeca al versosa cuado las asas cae laea como váldas los corolaros d. e.; e ao que cuado las asas sube, oe e desveaja al versosa co reseco al mercado suoe como ceras las observacoes roveees de los corolaros a. b. E ese caso se uede asumr geércamee que g; es decr, la asa de ajuse es ucó de la asa de mercado; luego, la exresó [6] se uede geeralzar como: g' g [8] 8 E realdad la cláusula de ajuse de los íulos asa básca suoe que las asas de reereca se ja al co de cada rmesre, así TB T corresode a la asa al co del rmer rmesre TB T la asa revalecee al co del segudo rmesre; lo que sgca que durae el rmer rmesre ere los 9 días de vgeca del cuó de ereses, el versosa o cooce cuál será el ago que recbrá, ése será cero ere los 9 8 días de vgeca del cuó.debo esa aclaracó a Eseba Baallas

16 Duracó e Isrumeos de Tasa Ajusable ága 6 S g ;, eoces g el resulado de esa exresó sería déco a la ecuacó [6]; e el caso laeado ara el íulo asa básca se ee que: g π [9] Sedo π el remo. Luego, co g ½ co se edría: [ π ] 4 4 [3] Sedo que el sgo de la exresó esaría dedo or los arámeros de la ucó. S el valor de es suceemee grade la exresó [3] RECOMENDACIONES Lo exueso aerormee suoe, eoces, que el e cálculo de la duracó e srumeos como los asa básca uede hallarse e la alcacó meodológca de la ecuacó [5] aleravamee, [5 ] o de la ecuacó [6]. La alcacó de la Duracó Eecva órmulas [5] [5 ] ee la veaja de que resula ser ua covecó eracoalmee aceada ermrá la comaracó de la duracó resulae co oros srumeos a comlejos como el TUDES íulos e Udades de Desarrollo los BTR Boos Tasa Real a smles como los ceros. S embargo, requere mucha exacud e la esmacó de los arámeros que la deerma, los cuales, s so mu voláles uede hacer oco recsa la esmacó. or ora are, la medda rouesa e la ormulacó [6] orece la oorudad de obeer u cálculo adaado a la ecesdad esecíca del srumeo, acorde co sus caraceríscas roas FRN co ajuse al érmo, ero díclmee relcable a oros srumeos co caraceríscas derees, co las cosecuees dculades de comaracó ere duracoes de oros srumeos. 9 U dealle de esa dervacó se ecuera e el Aexo, al al de esa oa. Covee ambé aalzar la dervacó de la elascdad erés del reco de u boo, que se orece e el cado Aexo.

17 Duracó e Isrumeos de Rea Varable ága 7 E ese sedo, se sugere la osbldad de realzar ambos cálculos co el roósos de brdar a los usuaros de ese o de dcadores, dos srumeos o herrameas aceras que le erma, or u lado realzar los esudos aálss comaravos ere srumeos de u oraolo de versoes, or ora eer ua medda alerava de la sesbldad del reco de u srumeo ae varacoes e la asa de erés. Reerecas Bblográcas Brjolsso, Joh B. ; Ilao-Idexed Bods TIS ; e Fabozz, Frak edor; The Hadbook o Fxed Icome Scures. Sxh Edo. McGraw-Hll. Nueva Yok Cascae, Javer 996; Valoracó de Acvos de Rea Fja. Maeral ddácco ara el curso homómo e el rograma roesoal e Mercado de Valores. FUNDEOS. Sa José, Cosa Rca. Mmeo. Crel Ieracoal 3; Zeus Ssem Mehodolog Gude. Crel Research Grou. Río de Jaero. Brazl. Eero. Fabozz, Frak 997; Fxed Icome Mahemacs. Aalcal & Sascal Techques. Thrd Edo. McGraw Hll. Nueva Cork. Fabozz, Frak ; Bod orolo Maageme. Secod Edo. FJF Asocaes. New Hoe, eslvaa. Fabozz, Frak, Gerald W. Bueow Rober R. Johso ; Measrg Ieres rae Rsk ; e Frak Fabozz edor; The Hadbook o Fxed Icome Scures. Sxh Edo. McGraw-Hll. Nueva Yok Fabozz, Frak, Adrew Kaloa Mchael Dorga ; Usg he Lace Model o Value Bods wh Embedded Oos, Floaers, Oos, ad Cas/Floors ; e Frak Fabozz edor; Ieres Rae, Term Srucure, ad Valuao Modelg. Wle Face. Nueva York. Ca.4, Ferruz Agudo, Lus; María del lar orllo José Lus Saro ; Dreccó Facera del Resgo de Ierés. Edoral rámde. Madrd. Esaña. Fsher, Lawrece Roma Wel 97; Dog wh he Rsk o Ieres-Rae Flucuaos: Reurs o Bodholders rom Nave ad Omal Sraeges. Joural o Busess. Número 44. Ocubre. Golub, Bee W. Leo M. Tlma ; Rsk Maageme. Aroaches or Fxed Icome Markes. Joh Wle & Sos, I. Nueva York. Ickowcz, Dael ; Esmacó de varabldad ara ua muesra de redmeos de acvos aceros: ua rouesa. roeco Fal de Graduacó. FUNDEOS. Abrl-Mao. Kuberek, Rober C. ; Term Srucure Facor Models ; Frak Fabozz edor; Ieres Rae, Term Srucure, ad Valuao Modelg. Wle Face. Nueva York. Ca.9,. 5-4 Leveeld, Gusavo Soía de la Maza 997; Maemáca de las Oeracoes Faceras de la Iversó. Mc Graw-Hll. Madrd. Esaña. Lóez Chasí, Armado ; La Teoría de las Execavas Isesgadas como herramea ara der esraegas de versó. roeco Fal de Graduacó. FUNDEOS. Abrl-Mao. Macaula, Frederck R. 938; Some heorcal suggesed b moveme o eres raes, bod elds, ad sock rces he US sce 856. Naoal Bureau o Ecoomc Research, Nueva York. Ma, Seve Frak J. Fabozz ; Flog-Rae Secures ; e Frak Fabozz edor; The Hadbook o Fxed Icome Scures. Sxh Edo. McGraw-Hll. Nueva Yok Mascareñas, Jua 998a; La Esrucura Temoral de los Tos de Ierés. Gesó de Careras de Rea Fja. Uversdad Comluese de Madrd. Mmeo. Eero.

18 Duracó e Isrumeos de Tasa Ajusable ága 8 Mascareñas, Jua 998b; El Cálculo del Resgo de las Acvos de Rea Fja: Duracó Covexdad. Gesó de Careras de Rea Fja. Uversdad Comluese de Madrd. Mmeo. Eero. Maarra, Rodrgo ; Admsracó de Recursos Faceros. Maeral del semaro homómo ara Deloe & Touche. Mmeo. Maarra, Rodrgo a; Duracó, Covexdad e Imuzacó de oraolos de Iversoes. Sueredeca de esoes. Mmeo. Abrl. Maarra, Rodrgo b; La Duracó de los Tíulos de Tasa Varable: U ar de rouesas. Sueredeca de esoes. Mmeo. Abrl. skuov, N. 978; Cálculo Derecal e Iegral. Cuara Edcó e esañol. Edoral MIR. Moscú, URSS. REUTERS ; Curso sobre Mercados de Rea Fja. Edcoes Gesó. Barceloa. Esaña. Saad, Robero ; Fórmula cora ara calcular la duracó e la Bolsa Nacoal de Valores. Dreccó de Suervsó de Mercados. Documeo de Trabajo 6. Mao. Schuber, Leo 3; Face Iovaos ad Isrumes. Maeral ara semaro homómo. Uversdad de Cosa Rca Kosaz Uvers o Aled Sceces. Abrl. Saml, Joseh Vcor Goodma ; Maemácas ara las azas. Modelado coberura. Edoral Thomso. Méxco. Se, Sherma 98; Cálculo Geomería Aalíca. Tercera Edcó. McGraw-Hll. Méxco. Soo acheco, Glora M. ; Modelos de Imuzacó de Careras de Rea Fja. Revsa de Ecoomía Alcada, Número 6, Volume IX, ágas Uversdad de Murca. Esaña.

19 Duracó e Isrumeos de Rea Varable ága 9 ANEXO OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN [8] aredo de la ecuacó [6] se ee FC Dervado or seguda vez co reseco al argumeo cosudo or, se ee: FC FC ; > > FC FC FC Co lo cual se asegura que la curva del reco, como ucó del redmeo de descueo esá descra or ua curva decrecee esrcamee covexa. OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN [] aredo de que: FC co FC, /; co VF

20 Duracó e Isrumeos de Tasa Ajusable ága OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN [6] /,,, VF VF FC VF Smlcado, VF; / [ ] OBTENCIÓN DE LA ECUACIÓN [8] Sea g: g FC ' ' g g ' g g S g ; g se obee el resulado de la ecuacó [6]

21 Duracó e Isrumeos de Rea Varable ága DETERMINACIÓN DE LA ELASTICIDAD-INTERÉS DEL RECIO DE UN BONO Sea FC... Co FC, /; co VF, se edría:... De maera que > De aquí se uede obeer E oras alabras, la ecuacó de la elascdad-erés del reco es deda or ua reca. S se uvera además que es u eríodo largo, se edría que: lím dado que es de la orma ar que coverge a r a cuado r ]-, [. Co a / r - se edría que la covergeca se daría a u valor de: [ ] Luego, aredo de esa decó, odría darse que: [ ] < ;