TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Página 1. JTP Ing. Viviana CAPPELLO Tutores educación de distancia: Ing. Chong Arias Ing. Cappello LAS CÓNICAS.

Transcripción

1 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin LAS CÓNICAS. SUPERFICIE CÓNICA: SU GENERACIÓN. Se denominn cónics ls línes plns que se otienen intersectndo jo distintos ángulos, un superficie cónic con un plno. L superficie cónic se otiene hciendo rotr un rect denomind genertri lrededor de un punto fijo llmdo vértice mnteniendo otro punto constntemente sore un circunferenci llmd directri situd en un plno perpendiculr l eje condiciond que su centro esté sore el eje. Los diferentes tipos de cónic se genern cortndo l superficie cónic jo distintos ángulos. Se presentn tres csos según que el ángulo de corte se menor, igul o mor que el ángulo de ertur de l superficie cónic. Definimos como tl l ángulo (α) entre el eje de l superficie cónic un culquier de sus genertrices.

2 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin eje α V Genertri Si se cort un superficie cónic con un plno jo un ángulo mor que el de ertur, el plno cort un sol de ls rms de l superficie cónic se otiene un curv cerrd denomind elipse. Se presentn dos csos prticulres: ) cundo el plno de corte es perpendiculr l eje de l superficie cónic l intersección degener en un circunferenci,

3 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 3 eje V Circunferenci - Elipse ) si se trsld el plno de corte prlelmente sí mismo hst que conteng el vértice, l elipse o l circunferenci, según se el cso, degener en un punto: el vértice de l superficie cónic. Si el plno de corte tiene con respecto l eje un ángulo menor que el de ertur, cortrá ls dos rms de l superficie cónic, oteniéndose un curv que recie el nomre de hipérol. Como cso prticulr, cundo el plno se mueve prlelmente sí mismo hst contener l vértice, l hipérol degener en un pr de rects (oservr el corte de l superficie cónic con el plno del diujo). eje V

4 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 4 Hipérol Si por último, el plno de corte es prlelo l genertri, cortrá un sol de ls rms de l superficie cónic se otendrá como curv interesección un práol. En este cso, cundo el plno de corte se despl prlelmente sí mismo hst contener l vértice, l práol degener en un rect coincidente con un culquier de ls genertrices de l superficie cónic. eje m V Práol Los nomres elipse, hipérol práol de deen l geómetr Apolonio, de l escuel de Alejndrí, que hci el ño 5 AC., escriió un trtdo sore l secciones cónics en ocho liros, siete de los cules hn llegdo nosotros. ESTUDIO DE LAS CÓNICAS A PARTIR DE SU DEFINICIÓN COMO LUGAR GEOMÉTRICO CIRCUNFERENCIA.

5 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 5 Es el lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de un punto fijo llmdo centro. Ddo un punto C ( α; β ) que llmmos centro un vlor r > 0 que designmos con el nomre de rdio podemos definir: ( ) ( α; β ) P, punto genérico Ecución: C centro de l circunferenci C - α P - β Considerndo l fórmul de distnci entre dos puntos, clculmos el vlor del rdio: ( ) ( β ) r C P [( α ) ( β ) ] r α Ecución cnónic de l circunferenci Desrrollndo los cudrdos ordenndo: de centro ( α, β ) rdio r. hciendo: α β α β r 0 otenemos: D E F 0 que es l ecución Generl de l circunferenci De l igulddes dds en ( ) otenemos:

6 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 6 D E Coordends del centro: α ; β rdio: r ( α β F ) Anlicemos el vlor del rdio: α β F > 0 α β F 0 α β F < 0 Si: L Circunferenci de rdio rel circunferenci se reduce un punto Circunferenci de rdio imginrio L ecución generl de l circunferenci es un cso prticulr de l ecución generl de segundo grdo en dos vriles, cu form es: A B C D E F 0 Comprndo est ecución con l ecución generl de l circunferenci, oservmos que en ést últim los coeficientes de e son igules demás flt el término en. Result entonces que un ecución tendrá como lugr geométrico un circunferenci si responde l ecución generl de segundo grdo en dos vriles, con los coeficientes A C igules, con el término B (llmdo término rectngulr) fltnte que verifique: α β F f 0

7 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 7 Ejemplos:.- Dd l ecución: determinr: ) Ls coordends del centro. ) El vlor del rdio. c) L ecución crtesin. d) Efectur l representción gráfic ; C D α E β 6 α 3 8 β 4 ( α ; β ) C( 3;4) r r 3 ( ) ( ) α β r r Ecución crtesin: ( 3 ) ( 4) 3 Representción: 4 r 3 C

8 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 8.- Siendo que el centro de un circunferenci es C( ;5) ecución generl: Ecución cnónic: su rdio r 3, escriir su ( α ) ( β ) ( ) ( 5) Posiciones prticulres. r Ecución generl L ecución: ( α ) ( β ) r de l circunferenci se simplific pr posiciones prticulres.. Si el centro está en el origen de coordends: ( 0;0) r C r - ( 0, 0 ). Si el centro está sore el eje de ls sciss, β 0: ( α ; 0) ( α ) r C

9 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 9 C(α,0) 3. Si el centro está sore el eje de ls ordends, α 0 : ( 0; β ) ( β ) r C C(0,β) INTERSECCIONES. Intersección de un circunferenci un rect. Si dos línes coplnres tienen un punto en común, ls coordends de este punto deen stisfcer simultánemente ls ecuciones de ms línes. En consecuenci el prolem de hllr ls coordends de los puntos de intersección de dos línes se resuelve, encontrndo l solución del sistem determindo por sus ecuciones. Escriimos el sistem formdo por ms ecuciones, luego sustituimos en l ecución de l circunferenci el vlor de un de ls vriles que despejmos en l ecución de l rect, oteniendo un ecución de º grdo en un sol vrile que resolvemos.

10 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 0 L solución de est ecución d dos vlores. Pueden presentrse los siguientes csos: ) : R R rect secnte l circunferenci; puntos de intersección. punto de intersección. ) : R rect tngente l circunferenci; c) C C rect eterior l circunferenci; no h puntos de intersección. (C conjunto de los números complejos) r I r r I I ) I I:rect secnte ) I I: rect tngente c) I: rect eterior Ejemplo: Determinr los puntos de intersección de l circunferenci l rect En l rect 0 sustituimos en l ecución de l circunferenci por. P (,3)

11 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin pr: ( ) P 0 ( ;3) P ( ;0 ) Coordends del centro rdio de l circunferenci: α r D 4 α E β β 0 r 3 ( 0 5). Intersección de dos circunferencis. Dds ls ecuciones de dos circunferencis: A A A A D E F D E F 0 0 ( ) ( ) ls coordends de los puntos de intersección son los vlores de e que stisfcen el sistem formdo por ms ecuciones. Si los coeficientes de los términos cudráticos no son igules en ms ecuciones, los igulmos multiplicndo ( ) por A ( ) por A :

12 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin A A A A A A A A A D A E A F A D A E A F 0 0 ( ) ( ) restndo miemro miemro otenemos: ( A D A D ) ( A E A E ) ( A F A F ) 0 que es un ecución linel, cuo lugr geométrico ps por los puntos de intersección de ls circunferencis, recie el nomre de eje rdicl, como puede demostrrse fcilmente result perpendiculr l rect que une los centros. reltivs: Dos circunferencis pueden tener ls siguientes posiciones r P C r C P r r C C P Eje rdicl C r P Eje rdicl Eje rdicl r C Secntes: P P Tngentes: P P Eteriores

13 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 3 Ejemplo: Determinr los puntos de l intersección de: ( ) ( ) restndo ls ecuciones: Reemplmos en ( ) el vlor de ; ( ) 4 6( ) Puntos de intersección : P ( ;3); ( ; ) 4 P 3 Representción: de ls circunferencis Determinmos ls coordends del centro el vlor del rdio ( ) ( ): D 4 α α C ;3 ( ) E 6 β β 3 ( ) --0 r ( α β F ) r 3 C P P C 4

14 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 4 D 8 α α 4 C ( ) E β β r ( α β F ) r ( 4; ) PARÁBOLA. Es el lugr geométrico de los puntos del plno que equidistn de un punto fijo llmdo foco de un rect fij que recie el nomre de directri. Q P

15 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 5 D O F H d m P L definición precedente permite construir l práol por puntos cundo se conoce el foco F l directri d. Trndo por F un rect perpendiculr l directri determinmos el punto D. El punto medio de FD es punto de l curv, llmémoslo O, que DO OF. Pr encontrr otros puntos, considermos un punto culquier H sore l rect que contiene DF se tr por H l rect m / / d, hciendo centro en F con rdio DH se cort l rect m en los puntos P P que pertenecen l práol; QP P F. Si queremos determinr otros puntos repetimos el procedimiento. Ecución: Hllremos l ecución pr l práol con vértice en el origen de coordends foco en el eje positivo. Y d P (, )

16 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 6 Llmndo p l distnci de l directri l foco ;0 p F l ecución de l directri será: p De cuerdo l definición: FP QP p FP p P F resultndo: p p elevndo l cudrdo: p p desrrollndo simplificndo otenemos: O p

17 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 7 p p p p p 4 4 ecución cnónic de l práol con vértice en el origen eje focl horiontl. p: recie el nomre de prámetro es l distnci del foco l directri. ± p Form eplícit de l ecución. Pr cd vlor de mor que cero se otienen dos vlores igules contrrios de, por est rón l curv result simétric con respecto l eje que se denomin eje de l curv. Dicho de otr form: en l ecución cnónic de l práol se oserv que l vrile está elevd l cudrdo no prece l potenci uno. Ello signific que pr dos vlores opuestos de se otiene el mismo vlor de, lo que en términos geométricos se trduce diciendo que l curv es simétric con respecto l eje. Ldo recto: Es el segmento perpendiculr l eje focl, que psndo por el foco une dos puntos de l curv. Ldo recto MM p como: Ldo recto MM p p p p p d M Ldo recto M F

18 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 8 Posiciones: d d Ecución: p p Ecución ² p Ejemplo: ² 4 Ejemplo: ² -4 p p Foco: ;0 Foco: ; 0 Directri: p p Directri: d - d Ecución: p Ecución: p Ejemplo: ² 4 Ejemplo: ² -4

19 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 9 Foco: 0; p p Foco: 0; p p Directri: Directri: Ecución de l práol referid un sistem de ejes prlelos los ejes coordendos. De l ecución : p p si ; : p L ecución de l práol de vértice V ( α;β ) eje prlelo l eje es : V (α,β) Con respecto l sistem ; l ecución de l práol será: como; α β sustituendo en ( ) : β ( α ) α α β

20 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 0 si: α α β c c Si el eje de l práol es prlelo l eje el vértice es V ( α;β ) su ecución es : Y respecto l sistem ; : ( ) α β β β α si: β β α c c

21 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin Ejemplo: Encontrr l ecución de l práol cuo foco está en ( ; 3) su directri es 5. De cuerdo l esquem vemos que el vértice V tiene por coordends ( 3 ; 3 ). Su ecución es de l form: ( β ) p( α ) ( 3) ( 3) ( 3) 4 ( 3) ( 3) F V X5 ELIPSE Es el conjunto de puntos del plno tles que l sum de ls distncis dos puntos fijos llmdos focos, es un constnte. Siendo F F focos de l elipse P un punto genérico perteneciente l elipse Elementos: PF PF Eje mor: A A ;(si suponemos que l line punted F PF es un hilo inetensile, cundo el punto P tom l posición de A result sencillo verificr por l iguldd de los segmentos A F A F que l longitud de dicho hilo es A A A 0 ) Semieje mor: A O O A ; Eje menor: B B ; Semieje menor: B O O B ;

22 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin A ; A B B Vértices: ( 0) ; ( ;0); ( 0; ); ( 0; ); Eje focl: F F c; Semieje focl: F O O F c; Focos: F ( c 0) ; F ( ;0); ; c B l elipse stisfce l condición: F B B F como F B B F c c. Ecución: P ( ; ) l elipse PF PF ( ) plicndo el Teorem de Pitágors en PRF PRF respectivmente: ( c) PF ( c) P F reemplndo en ( ) : ( c) ( c) islndo l primer de ls ríces cudrds elevndo mos miemros l cudrdo: ( ( c) ) ( ( c) ) ( c) c c c 4 4 grupndo, simplificndo elevndo l cudrdo:

23 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 3 4 grupndo vriles: ( c) ( c) ( c) c 4 c 4c 4 c c 4 c c ( c ) ( c ) como: c dividiendo por otenemos: Ecución cnónic de l elipse de centro en el origen de coordends eje focl. L ecución puede ser escrit como : 0 que es un cso prticulr de l ecución de º grdo en e. Form eplícit de l ecución de l elipse. De l ecución despejmos ± ; donde oservmos que tendremos vlores reles de si 0: Si 0

24 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 4 De donde rects que limitn l elipse. Entonces es rel solo pr. Si de l ecución despejmos : ± Pr vlores reles de : 0 de donde rects que limitn l elipse. Entonces es rel solo pr - L F F L - Del estudio de l figur precedente deducimos: : L elipse es simétric respecto l origen los ejes coordendos por estr ls vriles de su ecución cnónic elevds l cudrdo no precer l potenci uno. : L elipse es interior l rectángulo limitdo por ls rects : ± ± Ldo recto: Es el segmento perpendiculr l eje focl que une dos puntos de l elipse. Lr L L ; como L L L F F L L F F L Lr L F

25 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 5 LF ; considerndo l ecución eplícit de l elipse reemplndo por c : c Lr Ecentricidd. Es el cociente c c e ; como c < e < Si c 0 e 0 los focos coinciden l curv es un circunferenci. Posiciones. Dd un elipse medinte su ecución cnónic, el eje mor (eje focl) corresponde l eje coordendo de l vrile que tiene mor denomindor. I. je mor sore el eje : Ejemplo: F B (0,3) A (-4,0) A (4,0) F II. eje mor sore el eje : Ejemplo: 4 9 B (0,3) F

26 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 6 A (-,0) A (-0) F B (0,-3) Construcción de l elipse:. Aplicndo l definición. Ddos F ; F construiremos por puntos l elipse. Mrcmos sore un rect F F su punto medio O ; equidistntes O los puntos A A tles que AO OA. Los puntos A A son puntos de l elipse que: A F A F A F A F Pr hllr otros puntos que pertenecn l elipse mrcmos un punto culquier H interior l segmento F F. El segmento A A qued dividido en dos prtes : A H HA. Hciendo centro en F con rdio HA trmos un circunferenci; hciendo centro en F con rdio A H trmos otr circunferenci. Los puntos de intersección P P son puntos de l elipse que sus rdios vectores sumn A H HA P F H F A

27 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 7 Al vrir l posición del punto H, en el segmento F F podemos otener otros puntos de l elipse. I. Relción de finidd. e c ± ± L ecución de l elipse es: ( ) L ecución de l circunferenci es: ( ) e ordend de l elipse. c ordend de l circunferenci. Comprndo ( ) ( ): e c Est es l relción de finidd, en l que se s un método de construcción de l elipse.

28 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 8 Construcción: Trmos dos circunferencis concéntrics de centro O rdios respectivmente. Luego un semirect de origen O que cort ls circunferencis en los puntos P P respectivmente, trndo por P un prlel l eje por P un prlel l eje ; el punto P de intersección pertenece l elipse. Como OQ P OQ P Pero Q P OP Q P OP Q P QP QP c OP OP e O P P S P (, ) Q Q Luego: e c e puntos de l elipse. c Trndo otrs semirects de origen O, encontrmos otros L justificción de que los puntos sí hlldos pertenecen un elipse es reltivmente sencill: Los segmentos OP OP de l figur precedente son respectivmente los rdios de ls dos circunferencis trds tomndo como diámetros de ls misms. Si llmmos α l ángulo que el sentido positivo del eje form con dichos rdios, quedn formdos los triángulos rectángulos OP Q OP Q pr los cules vlen ls siguientes relciones:

29 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 9 OQ OP QP cosα senα OP elevndo l cudrdo ls epresiones nteriores sumndo miemro miemro: cos α ; sen α cos α sen α es l ecución de un elipse. Ecución de l elipse referid un sistem de ejes prlelos los ejes coordendos. Los ejes e son ejes prlelos los eje ;. P es un punto de l elipse que tiene coordends ( ; ) respecto l sistem de origen O (α, β ) coordends (, ) respecto l sistem de origen O. β O P O α L ecución de l elipse es: cundo se refiere l sistem O ( ; ).

30 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 30 Como α β ( α) ( β) ecución de l elipse de centro en (α;β) eje focl prlelo l eje. Si el eje focl es prlelo l eje l correspondiente ecución result: ( β ) ( α ) HIPÉRBOLA. Es el conjunto de puntos del plno tles que l diferenci de ls distncis dos puntos fijos llmdos focos, es un constnte. Si F F son los focos de l hipérol, pr todo punto P perteneciente l hipérol se verific: PF PF Elementos: Eje focl o trnsverso: A A ;

31 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 3 Eje conjugdo, idel o imginrio: B B ; Vértices: A ( 0) ; A ( ;0) ; B ( 0; ) ; B ( 0; ) Distnci focl: F F ; c ; Focos: F ( c 0) ; F ( ;0); ; c F F c c > c > PF PF Ecución. Como P (, ) l hipérol PF PF ( c) PF ( c) P F reemplndo: ( c) ( c) islndo l primer de ls ríces del primer miemro elevndo luego mos miemros l cudrdo: ( c) ( c) desrrollndo los cudrdos grupndo: Simplificndo elevndo l cudrdo: ( c ) ( c) ( c) 4c 4 4

32 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 3 c c c c 4 grupndo vriles: 4 c c ( c ) ( c ) En BOA ; c B c A O dividiendo por otenemos: que es l ecución cnónic de l hipérol de eje focl centro en el origen de coordends. L ecución puede ser escrit como : 0 ; que es un cso prticulr de l ecución de º grdo en e. Si de l ecución despejmos :

33 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 33 ± l últim epresión nos permite oservr que l curv es simétric respecto l eje. Con respecto podemos decir que tom vlores reles pr vrindo de menos más infinito, con ecepción de intervlo <, en el qlue tom vlores imginrios; vrí: < < resultndo un curv etern l fj limitd por ls rects: Despejndo : ± se verific que l curv es simétric respecto l eje : Si: 0 ± Entonces l curv cort l eje en los puntos : A ( ) ( ) A A ; que es l longitud del eje focl. ;0 A ;0 vértices determinn

34 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 34 El rectángulo HIJK de centro O ldos perpendiculres los ejes, se denomin: rectángulo fundmentl de l hipérol. Ldo recto: Es el segmento perpendiculr l eje coordendo, que psndo por el foco, une dos puntos de l hipérol: L L L L ± : en L ( c; ) c Ecentricidd: L L Es el cociente c c e, como c > e >.

35 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 35 Asíntots de l hipérol. Son ls rects que están sore ls digonles del rectángulo fundmentl: tienen como ecuciones: ; Se muestr que: ( ) 0 RSTV: rectángulo fundmentl. cundo En efecto: ( síntot ) ( hipérol ) d d d lim ( ) ( ) lim 0

36 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 36 si d 0 Posiciones. El eje focl de l hipérol, corresponde siempre l vrile de coeficiente positivo, no importndo que < o >. Ejemplo: Dd l ecución , otener ls coordends de los vértices focos; ecentricidd, longitud del ldo recto, ecución de ls síntots Ecución cnónic 4 9 Solución: Vértices: 3 A ( ;0); A ( ;0) ; B ( 0;3 ); B ( 0; 3);

37 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 37 Focos: c,6 F ( 3,6; 0) ; F ( 3,6; 0) 3 Ecentricidd: Ldo recto: L L c 3, 6 e e 8, L L 9 Ecución de ls síntots: 3 3 ± Gráfico:

38 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 38 Hipérol Equiláter. Cundo un hipérol tiene recie el nomre de hipérol equiláter; el rectángulo fundmentl es un cudrdo ls síntots son perpendiculres entre sí. Si l ecución es: ; es decir: ; con síntots: Ecución de l hipérol equiláter referid sus síntots. Cundo se trt de l hipérol equiláter, result de utilidd referir l ecución sus síntots, tomds como nuevo sistem de referenci. Pr ello, result imprescindile hcer uso de ls: Fórmuls de rotción: Los dos sistems de referenci tienen origen común O; l rotción de vlor ϕ es rígid, es decir, se conserv el ángulo entre los ejes. Ls coordends del punto P son ( ; )con respecto l sistem rotdo (; ) con respecto l sistem de ejes horiontl verticl.

39 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 39 ϕ R Q N ϕ O ϕ T S Vlen entonces: OT OS - TS TP TR RP NP OQ PQ OS OQ cos ϕ cos ϕ TS RQ PQ sen ϕ sen ϕ resultndo: cos ϕ - sen ϕ TR QS OQ sen ϕ sen ϕ RP PQ cos ϕ cos ϕ resultndo: sen ϕ cos ϕ Fórmuls de rotción: cosϕ senϕ cosϕ senϕ Teniendo en cuent l ecución de l hipérol equiláter: ( ); ls fórmuls de trnsformción por rotción el ángulo ϕ 45º.

40 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 40 45º cos 45º 45º cos 45º sen sen o se: o tmién ) ( ) ( reemplndo en ( ):

41 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 4 ( ) ( ) ( ) ( ) hciendo K K Ecución de l hipérol equiláter referid sus síntots. equiláter es k Reemplndo e por e l ecución de l hipérol Si: k > 0 e ; son de igul signo k Si: k < 0 e ; son de igul signo k

42 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 4 Ecución de l hipérol referid un sistem de ejes prlelos despldos (sin rotr). L ecución de l hipérol referid l sistem es :

43 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 43 Utilindo ls fórmuls de trslción de ejes: : α β result: : ( ) ( ) es el punto ( ) α β que corresponde l ecución de l hipérol cuo centro C α; β cuo eje focl es prlelo l eje. Si el eje focl es prlelo l eje, su ecución es: ( β ) ( α ) Ejemplos:. Representr gráficmente l cónic de ecución: ( ) ( 3) 9 4 Coordends del centro: ( α ; β ) ( ; 3) Eje focl: F F A ( ; 3 ); A ( 5; 3)

44 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 44. Hllr l ecución de l hipérol cuos focos son ( ;0) ( ; 6) ; con un etremo del eje conjugdo en ( 3; 3). De cuerdo con los dtos: F F β Responde l ecución: ( ) ( ) α ( α, β ) ( ; 3) El centro es punto medio del segmento que une los focos c c Ecución: ( 3) ( ) 8

45 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 45 TRABAJO PRÁCTICO ) Escriir l ecución de l circunferenci de centro en (-3,-5 rdio r 3.

46 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 46 ) Los etremos de un diámetro de un circunferenci son los puntos de coordends A(,3) B(-4,5). Hllr l ecución de l curv. 3) Hllr l ecución de l circunferenci cuo centro es el punto C(7,-6) que ps por el punto P(,). 4) Hllr l circunferenci de centro C(,-4) que es tngente l eje. 5) Hllr l ecución de l circunferenci cuo centro es el punto (-4,-) que es tngente l rect ) Hllr l longitud de l circunferenci cu ecución es: 5 ² 5² ) Demostrr que ls circunferencis 4² 4² ² ² son concéntrics. 8) Hllr l ecución de l práol de vértice en el origen foco en el punto (4,0). 9) Hllr l ecución de l práol de vértice en el origen foco en el punto (0,-3). 0) Hllr l ecución de l práol de vértice en el origen directri de ecución 5 0 ) Hllr l ecución de l práol de vértice en el origen directri de ecución X 3 0. ) Un práol cuo vértice está en el origen cuo eje coincide con el eje ps por el punto (-,4). Hllr l ecución de l práol, ls coordends del foco, l ecución de l directri l longitud del ldo recto. 3) Un cuerd de l práol ² es un segmento de l rect 3 0. Hllr su longitud. 4) Hllr l ecución de l circunferenci que ps por el vértice los puntos etremos del ldo recto de l práol ² ) Hllr l ecución de l práol cuos vértice foco son respectivmente los puntos (-4,3) (-,3). Hllr tmién ls ecuciones de su directri de su eje.

47 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 47 6) En cd uno de los siguientes csos, reducir l ecución dd l form cnónic, hllr ls coordends del vértice del foco, ls ecuciones de l directri, del eje l longitud del ldo recto: ) 4² ) 9² c) ²4 7 d) 4²4859 7) Hllr e identificr l ecución del lugr geométrico de un punto que se mueve de tl mner que su distnci l rect 30 es siempre uniddes mor que su distnci l punto (,). 8) Hllr ls coordends de los vértices focos, ls longitudes de los ejes mor menor, l ecentricidd l longitud de cd uno de sus ldos rectos, en ls elipses, cus ecuciones son: 9² 4² 36 6² 5 ² 400 4² 9² 36 ² 3² 6 9) Hllr l ecución de l elipse cuos vértices son los puntos (4,0), (-4,0) cuos focos son los puntos (3,0); (-3,0) 0) Los vértices de un elipse son los puntos (0,6) ; (0,-6) sus focos son los puntos (0,4);(0,-4). Hllr su ecución. ) Hllr l ecución de l elipse cuos focos son los puntos (,0);(-,0) su ecentricidd es igul /3. ) Hllr l ecución l ecentricidd de l elipse que tiene su centro en el origen, uno 4 de sus vértices en el punto (0,-7) ps por el punto 5, 3 7 3) Hllr ls distncis los focos del punto 3, que está sore l elipse 7²6² 4 4) L ecución de un elipse es ² 4² 6 0. Determinr ls coordends del centro, de los vértices de los focos; clculr ls longitudes del eje mor, del eje menor, de cd ldo recto l ecentricidd. 5) Pr ls ecuciones de ls siguientes hipérols hllr ls coordends de los vértices focos, ls longitudes de los ejes trnsverso no trnsverso, l ecentricidd l longitud de cd ldo recto. 9² - 4² 36 9²-4² 36

48 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 48 4² - 9² 36 ² - 4² 4 6) Los vértices de un hipérol son los puntos (,0); (-,0) sus focos son los puntos de coordends (3,0) (-3,0). Hllr su ecución su ecentricidd. 7) El centro de un hipérol está en el origen su eje trnsverso está sore el eje. Si un foco es el punto (0,5) l ecentricidd es igul 3, hllr l ecución de l hipérol l longitud de cd ldo recto. 8) En cd uno de los siguientes csos, usndo l definición de hipérol, hllr l ecución de l curv, prtir de los dtos ddos: ) Focos (-7,3);(-,3); longitud del eje trnsverso 4. ) Vértices (,4); (5,4); longitud del ldo recto 5. c) Vértices (3,4) (3,-) ; ecentricidd. 9) Un hipérol tiene su centro en el origen su eje trnsverso está sore el eje. L longitud de cd ldo recto es /3 l hipérol ps por el punto (-,). Hllr su ecución. 30) L ecución de un hipérol es ² - 9² Determinr ls coordends del centro, vértices focos; ls longitudes de los ejes del ldo recto; l ecentricidd ls ecuciones de ls síntots. Biliogrfí: Crer Médici: Geometrí nlític ( º prte Geometrí Pln ) Di Pietro Donto: Geometrí Anlític del plno del espcio nomogrfí. Kindle Joseph H. Geometrí Anlític ( serie Schum ) Leithold, Luis. El Cálculo con Geometrí. Lhemn, Chrles: Geometrí Anlític Mrtine de M, H: Cónics. UTN.Regionl Resistenci.

49 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 49 INTRODUCCIÓN: GEOMETRÍA DEL ESPACIO SUPERFICIES Ndie puede poner en dud que en tods ls crrers técnics se consider conveniente un cercmiento ls Geometrís, sore todo en quells que como l Arquitectur necesitn un dominio de los spectos espciles donde se instlrán o construirán los ingenios credos en los tlleres de diseño. Desde hce lgunos ños h sido nuestr preocupción el estudio metodológico de l enseñn de l Geometrí, en prticulr de quellos prolems del espcio tridimensionl que presentn un importnte grdo de dificultd en l visulición en el prendije. Entre los prolems que se presentn en dicho espcio, con ecepción de los plnos, los cilindros los conos, de estudio reltivmente sencillo, result de significtivo interés otener un metodologí que permit, trvés del conocimiento de su ecución, l generción gráfic de culquier superficie. En prácticmente l totlidd de l litertur que trt el tem, pueden verse "diujds" ls superficies un "estudio nlítico" de ls misms consistente en un conjunto de fórmuls que sólo sirven los efectos de "verificr" l vlide del gráfico presentdo; dicho de otr form, los tetos de uso corriente efectún l presentción de figurs que nticipn, sin construcción nlític corde previ, l form geométric otener, lo que conduce "justificr" l correspondenci de un gráfic preelord con su ecución, relindo un estudio "contr ntur" que nuestro esquem de trjo pretende desterrr.

50 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 50 El método que proponemos present un ciert nlogí con el utilido en Medicin pr efectur Tomogrfís Computds consiste en cortr l superficie que se estudi cu form nos es desconocid con un plno, trtndo de visulir form de l curv intersección de modo tl que nos permit ir "generndo" l superficie pso pso. L primer dificultd que se present es que l no conocerse l form de l superficie en estudio, result imposile ver l form de l curv resultnte de l intersección; est contingenci nos h llevdo modificr el sistem de ecuciones mito (epresión nlític de l curv común ms superficies), reemplndo l ecución cuo lugr geométrico pretendemos encontrr por otr, otenid medinte un cominción de ls ecuciones del sistem primitivo que rroje como resultdo l ecución de un cilindro o l de un cuádric "degenerd" (por ejemplo un pr de plnos), lográndose de este modo, l cortr l superficie de reemplo con un plno, "ver" de un mner sencill l form de l curv intersección. Cmir un superficie por otr, que pse por l curv intersección que por su conocimiento previo su sencille teng l propiedd de permitirnos ver l form de dich curv, es l rón de ser del método que continución se descrie. Sido es que en Geometrí eisten dos prolems fundmentles que pueden plnterse de mner simple con los siguientes esquems: ) Ddo un lugr geométrico por medio de ls condiciones que verificn los puntos que le pertenecen, hllr su ecución. ) Dd l ecución de un lugr geométrico, construir su gráfic. En el espcio idimensionl (el plno) no eiste dificultd de entendimiento porque l percepción es visul en consecuenci puede doptrse culquier de los esquems descriptos: siguiendo el primero de ellos, podemos definir como lugr geométrico un líne, prtir de est definición otener l correspondiente ecución; mientrs que, de cuerdo l segund metodologí, podemos escriir l ecución generl de segundo grdo en dos vriles A B C D E F 0 (que corresponde como epresión más generl ls cónics desplds rotds), medinte un trslción un rotción decuds llegr ls ecuciones cnónics que, eplicitds, permiten jo cierts condiciones de entorno (cmpo de definición, etc...) grficr l curv estudid. En el espcio tridimensionl no result posile descriir tods ls superficies como lugr geométrico (sólo los plnos, l esfer, los cilindros los conos tienen es propiedd) en consecuenci el único recurso ordle es escriir l ecución generl de segundo grdo en tres vriles,

51 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 5 A B C D E F G H I J 0 luego medinte rotciones trslciones relids por completmiento de cudrdos que resulten decuds, llegr : A '' '' ó A '' '' B '' '' B '' '' C '' '' I 0 J 0 (form cnónic de ls cuádrics con centro). (form cnónic de ls cuádrics sin centro). Los csos prticulres que pueden presentrse provienen de ls distints cominciones de signos entre los coeficientes de los términos cudráticos. Pr ls cuádrics con centro pueden escriirse ls ecuciones: r r r c c c SUPERFICIE ESFÉRICA ELIPSOIDE HIPERBOLOI DE DE UNA.HIPERBOLO IDE DE DOS HOJA. HOJAS pr ls cuádrics sin centro: p q PARABOLOID E ELIPTICO p q PARABOLOID E HIPERBOLIC O resultndo en estos csos imposile desde el punto de vist práctico utilir l metodologí de eplicitr ls ecuciones pr poder grficr los lugres geométricos correspondientes por l grn cntidd de puntos que deemos diujr los efectos de proimr l ide de l form de l superficie.

52 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 5 Además, cundo queremos representr ojetos que tienen su vigenci en el espcio tridimensionl, se hce necesri l reducción de un de ls dimensiones pr diujr en el ppel, lo que olig estlecer códigos de visulición como ls perspectivs, proecciones, etc. El método de "discusión" de l ecución pr "encontrr l form": puede desrrollrse medinte los siguientes psos: ) Estudio de l Simetrí, por oservción de l ecución correspondiente. ) Verificción de l pertenenci o no del origen de coordends. 3) Estudio de l intersección con los ejes coordendos. 4) Estudio de l intersección con los plnos coordendos. 5) Estudio de l intersección con plnos prlelos los plnos coordendos. <Pr relir este estudio result imprescindile diferencir correctmente que represent un determind ecución cundo l mism es considerd en diferentes espcios. Vlg como ejemplo representtivo l epresión 0, que considerd en el espcio unidimensionl tiene como lugr geométrico un punto, en el espcio idimensionl un rect prlel l eje de ordends en el espcio tridimensionl un plno prlelo l plno coordendo. Dee recordrse como concepto fundmentl que en el espcio tridimensionl, un curv culquier sólo puede epresrse en form nlític como intersección de l menos dos de ls infinits superficies que se cortn según ell. Result imposile por lo tnto, hlr de l ecución de un curv en dicho espcio. Recordemos que l trtr l rect en el espcio tridimensionl, dedujimos ls ecuciones crtesins simétrics de l mism. Reformos este concepto con el siguiente Ejemplo: Ls ecuciones de l circunferenci del espcio uicd sore un plno prlelo l plno coordendo, de centro en C(0,0,) rdio r pueden epresrse como ( ) 4 ; esfer de centro (0,0,) r ; plno prlelo l plno que contiene l punto (0,0,) Como puede comprorse fcilmente, no es ést l únic mner de epresr ls ecuciones de l curv; si reemplmos en l ecución de l esfer l vrile por l

53 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 53 constnte (cot l cul se produce el corte, fijd por l ecución del plno)result: ; r ; que como veremos es l ecución plno prlelo l plno de un cilindro de eje verificándose que l reemplr en l ecución de l superficie que se estudi un de ls vriles por un constnte, se otiene l ecución de un cilindro o en su defecto, como veremos, l ecución conjunt de un pr de plnos. Result posile entonces, l cortr un superficie cu form nos es desconocid con un plno prlelo un plno coordendo, reemplr su ecución por l de un cilindro de form conocid que conteng l curv intersección, en consecuenci permit identificrl. L circunferenci en el espcio E 3 como intersección de esfer plno como intersección de cilindro plno Pr encrr l resolución de este tipo de prolems o ien los efectos de encontrr l form de l curv intersección entre dos superficies, result necesrio el conocimiento de ls siguientes: FÓRMULAS DE IMPRESCINDIBLE CONOCIMIENTO PREVIO: ) Ecuciones correspondientes l espcio idimensionl (E ):.) Ecuciones cnónics de ls cónics.

54 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 54 ecución de l cónic sin centro : { p r circunferenci. elipse. hipérol. práol..) Ecuciones de ls cónics desplds: ( h) ( h) ( h) ( h) ( k) ( k) ( k) r p( k).3) Ecuciones de un pr de rects: circunfer en ci elipse con centro en hipérol con centro { 0 ( ) ( ) 0 práol con vért ice ) Ecuciones del espcio tridimensionl (E 3 ): con centro (h,k).) Ecución generl del plno sus csos prticulres: en en (h,k) en (h,k) (h,k) A B C D 0 Ecución generl del plno. A B C 0 Ecuciónde un plno que contienel origen del sistem de referenci. A B D 0 Ecución de un plno prlelo l eje (l form es nálog l de un rect en E ). A B 0 Ecución de un plno que contiene l eje (l form es nálog l de un rect de E que contiene l origen). A D 0 Ecución de un plno prlelo l plno coordendo (l form es nálog l de un rect de E prlel l eje ). A0 Ecución del plno coordendo (l form es nálog l de l ecución del eje en E )..) Ecuciones de un pr de plnos:

55 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 55 0 ( ) ( ) 0 (oservr que l form es nálog l del pr de rects pr E..3) Ecuciones de cilindros conos: r 0 ecución conjunt de un pr de plnos: 0 c de l circunferenci en E. ecución de un cilindrode directri ecución de un cilindro de directri elíptic (nálog l ecución de l elipse en E ecución de un cilindro de directri hiperólic (nálog l ecución de l hipérol en E. 0 ). ecución de un cono de eje. circulr eje (nálog l ecución Con el conocimiento de ls ecuciones precedentes sus correspondientes forms, estmos en condiciones de encrr l discusión de culquier superficie. Como hemos dicho, ls superficies más sencills son ls superficies esférics, los cilindros los conos, que nos posiilitn como veremos, con grn sencille, efectur el estudio de superficies más complejs. Comenremos entonces, con el trtmiento de ests superficies. L superficie más sencill del espcio tridimensionl es l que se represent nlíticmente de un mner generl por un ecución linel en tres vriles de l form: A B C D 0 cuo lugr geométrico, como semos es un plno. Puede demostrrse simismo, por medio de l fórmul de l distnci entre dos puntos que un superficie esféric de rdio r con centro en el origen de coordends tiene nlíticmente l ecución:

56 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 56 ² ² ² 0 De un mner generl podemos decir que un superficie es un conjunto de puntos cus coordends stisfcen un ecución de l form: F(,,) 0 estndo ls coordends de los puntos de l superficie restringids vlores reles. Se puede otener un uen ide de l form de un superficie estudindo sus secciones plns. Tles secciones se determinn cortndo l superficie que se estudi por un serie de plnos prlelos los plnos coordendos. Si, como semos, los plnos prlelos l plno coordendo son de l form k, F(,, ) 0 k son ls ecuciones de l curv intersección de l superficie que se estudi con el plno. Ejemplo : Estudio de l Superficie esféric. Se define como tl l conjunto de los puntos del espcio que equidistn de un punto fijo llmdo centro. L distnci entre culquier punto de l superficie el centro, recie el nomre de rdio. Si el centro están en (α,β,γ), l ecución correspondiente l lugr geométrico resultrá: ( - α)² ( - β)² ( - γ)² r² siendo como cso prticulr, cundo el centro está en el origen de coordends: ² ² ² r² Estudio de un superficie cilíndric: Recie este nomre l superficie que es generd por un rect que se mueve mnteniéndose prlel un rect fij llmd genertri ps siempre por un curv fij dd que recie el nomre de directri. Pr nuestro estudio prticulr considerremos l directri como un curv perteneciente uno de los plnos coordendos l genertri como un rect perpendiculr dicho plno. Cilindro circulr o elíptico (de cuerdo con l form de l Cilindro de directri prólic. Cilindro de directri hiperólic-

57 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 57 El lugr geométrico de los puntos P(,,), tles que sus coordends son igules ls de un punto P del plno, es l rect que ps por P P(,,) es prlel l eje. Por consiguiente, un ecución del espcio tridimensionl que teng como vriles, es el lugr geométrico de un conjunto de rects prlels l eje. Generlindo este concepto: un ecución cudrátic del espcio tridimensionl que crec de un de ls vriles, tiene como lugr geométrico un superficie cilíndric con directrices prlels l eje que corresponde l vrile usente. L directri es un curv que está sore el plno coordendo perpendiculr l vrile usente en l ecución, teniendo l curv en el espcio idimensionl l mism ecución que l superficie en el espcio tridimensionl. Ejemplo: Determinr l form de l superficie cu ecución es ² 4 ) Intersección con plnos prlelos l plno coordendo. Ls ecuciones de los plnos prlelos l plno son de l form k; siendo l ecución de l superficie ² 4, l intersección se otendrá pr k ± k P (,,0) k

58 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 58 ) Intersección con plnos prlelos l plno coordendo. Son rects de ecuciones: k (rect prlel l eje ) k 4 c) Intersección con plnos prlelos l plno coordendo. Los plnos son de l form k, resultndo l curv intersección de ecuciones: 4 (práol de eje horiontl prlelo l eje ) k Pr distintos vlores de k, ests práols son igules (es como si se trtr de un conjunto de práols pilds ). Result entonces que l superficie de ecución ² 4 es un superficie cilíndric cus genertrices son prlels l eje. Superficies cónics: Un superficie cónic está engendrd por un rect que se mueve de tl mner que ps siempre por un curv fij pln llmd directri por un punto fijo que se denomin vértice no está contenido en el plno de l curv. El vértice divide l superficie cónic en dos porciones distints que recien el nomre de rm, hoj o np. Actividd: Determinr l nturle de l superficie cu ecución es ² 6 ² - ² 0

59 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 59 Grficr. Desrrollmos continución un ejemplo práctico completo de l discusión de un superficie plicdo l estudio de l superficie de ecución. p q ) Estudio de l Simetrí: L ecución de l superficie que pretendemos estudir tiene ls vriles e elevds únicmente l cudrdo, mientrs que l vrile está elevd l primer potenci: ello implic simetrí espcil respecto de los plnos, es decir simetrí respecto del eje. ) Verificr si l superficie contiene o no el Origen del Sistem de coordends. Ls coordends del origen del sistem de referenci stisfcen l ecución: el origen de coordends pertenece l superficie. 3) Intersección con los ejes coordendos: L intersección con los ejes coordendos se otiene resolviendo el sistem mito conformdo por l ecución de l superficie ls ecuciones de cd uno de los ejes, respectivmente. 3.) Intersección con el eje :

60 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 60 () 0 () 0 (3) p q reemplndo () (3) en (), otenemos: p ; o se { : 0 coordends del origen. Ls intersecciones con los otros ejes coordendos se resuelven de mner nálog; se otiene como intersección el origen de coordends. 3.) Intersección con el eje : () p q 0 () 0 (3) reemplndo () (3) en (), otenemos: 0 q 0 0 ; o se : { 0 coordends del origen. 3.c) Intersección con el eje : () p q 0 () 0 (3) reemplndo () (3) en (), otenemos: ; o se :{ 0 coordends del origen. 4. Intersección con los plnos coordendos 4.) Intersección con el plno coordendo : p q p q p q p q 0 es un pr de plnos cortdo con el plno pr de rects en el plno coordendo (fig.) Plno de ecución 0 p q

61 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 6 4.) Intersección con el plno coordendo : p q 0 que equivle : p 0 ; o ien : { p 0 3 { cilindro prólico cortdo con el plno práol en E }.(fig. ) Cilindro prólico Resultdo de ls intersecciones Con los plnos Práol sore el Plno fig.

62 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 6 4.c) Intersección con el plno : p q - q 0 ; { 0 ; q 0 cilindro prólico de eje, que re sus rms hci cu ecución es ls 0 práol sore el plno. negtivs, (fig. 3) cortdo con el plno. Cilindro cortdo con plno práol en fig. 3 Intersecciones con los plnos coordendos. 5. Intersección con plnos prlelos los plnos coordendos: 5.) Intersección con plnos prlelos l plno : k k q k k q k p q p q p cilindro de directri prólic, que re sus rms hci ls negtivs,cortdo con un plno prlelo l plno coordendo. Pr cd vlor de de su signo,se otiene como intersección Intersección con plnos prlelos l plno con independenci un práol de eje prlelo l eje k,.(fig.4)

63 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 63 5.) Intersección con plnos prlelos l plno :. k p q p cilindro de directri prólic un plno prlelo k q eje, que l plno. L intersecci ón es un k k p p q re sus rms hci ls positivs, cortdo por práol de eje prlelo k l eje. (fig.5) Intersecciones con plnos prlelos l plno coordendo Plno prlelo l plno fig. 5 cilindro Práol en plno prlelo l Intersecciones con los plnos coordendos con plnos prlelos los plnos 5.c) Intersección con plnos prlelos l plno : Se presentn tres tipos de intersecciones distints: 5.c.) el plno cort l superficie por encim del plno ; l ecución del plno que cort es k ; con k>0. k ;(k > 0) k k ;(k > 0) p q p q cilindro hiperólico cortdo con plno prlelo l plno ; l intersección es un hipérol

64 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 64 uicd en un plno prlelo l plno (en este cso, pr k>0, por encim del mismo) (fig.6). fig. 6 k>0 5.c.) L intersección pr k0 es l correspondiente l plno, estudid. 5.c.3) El plno cort l superficie por dejo del plno ; plno de ecución k; (k<0). p q k ; k < 0 (fig.7) p q K ; k cilindro de eje cortdo con plno k dejo del plno k < 0 fig. 7 Intersecciones con plnos prlelos l plno pr k<0 SUPERFICIE TERMINADA:

65 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 65 CONCLUSIÓN: Como decímos en l introducción, desde hce lgunos ños venimos trjndo con grn entusismo, trtndo de rir un nuev puert pr l interpretción de los prolems geométricos del espcio tridimensionl. En est líne de ronmiento el presente trjo es un vnce de otro más completo sore Geometrí del Espcio, ctulmente en elorción. L metodologí descript es ctulmente prcticd con prticulr suceso en nuestrs clses del Tller Verticl Mtemátic de l Fcultd de Arquitectur Urnismo de l Universidd Ncionl de L Plt; en l Cátedr de Diujo de l Fcultd de Ingenierí, en los cursos de Alger Geometrí Anlític de l Fcultd Regionl L Plt de l Universidd Tecnológic Ncionl. Los esquems gráficos que corresponden ls intersecciones

66 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 66 equivlentes resultntes de l trnsformción efectud udn de un mner digerile l resolución de cd prolem prticulr, posiilitndo un prticipción ctiv de los lumnos durnte el desrrollo de ls clses. A l mner de lo que relimos en el ul (diujo genertivo de ls superficies en el pirrón), ls ilustrciones del presente trjo fueron construids con el uilio de l rr de diujo del procesdor de tetos. Queremos terminr el trjo con est simple refleión: culesquier que se l disciplin no h método pedgógico efic, si no eiste por prte del que prende, interés esfuero personl. BIBLIOGRAFÍA: CEPPI Y FOURNIER: Geometrí Anlític. Editoril KRAFT. Buenos Aires. Argentin DI PIETRO, DONATO: Geometrí Anlític Nomogrfí. Editoril ALSINA. Buenos Aires. Argentin. 95. LEHMANN, CHARLES: Geometrí Anlític. Editoril LIMUSA. Méico.98. LOPEZ CARLOS, MASSUCCO RICARDO: Un Innovción Didáctic pr el estudio de ls Superficies Cuádrics. Primer Congreso Mundil sore Innovciones Eductivs. Universidd de Ls Tuns. Cu. 999 SMITH Y GALE: Elementos de Geometrí Anlític. Editoril NIGAR. Buenos Aires. Argentin. 955.

67 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 67 TRABAJO PRÁCTICO Ejercicio N. ) Estudir representr gráficmente l superficie cilíndric cu directri es l circunferenci 9 pr 0 ) Idem pr l superficie cilíndric cu directri es l práol 4 pr 0 c) Idem pr l superficie cilíndric cu directri es l elipse pr 0 Ejercicio N. Estudir representr gráficmente l superficie cónic cu ecución es: 3 0 ) Idem pr 4 0 c) Idem pr 0 Ejercicio N 3. ) Estudir representr l esfer de ecución 6 0 ) Hllr l ecución de l esfer cuo centro es el punto O(, -, 3) rdio r 4. c) Idem pr O(-,, 4) rdio r 3 d) Idem de centro O(6, 3, -4) tngente l eje de ls sciss. Ejercicio N 4. Hllr ls coordends del centro el rdio de ls siguientes superficies esférics cus ecuciones son: ) ) c ) Ejercicio N 5. Estudir representr los siguientes elipsoides: ) ) c ) ( ) d ) ( ) 6 ( 3) 9

68 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin 68 Ejercicio N 6. Hllr ls coordends del centro l longitud de los semiejes de ls siguientes superficies: ) ) ) c ) d ) e Ejercicio N 7. Estudir representr gráficmente los siguientes hiperoloides: ) ) ) c ) d Ejercicio N 8. Estudir representr gráficmente ls siguientes superficies: 0 6 ) ) ) c ) d Ejercicio N 9. Hllr el vértice el eje de los siguientes proloides: ) ) ) c ) d ) e Ejercicio N 0. Identificr ls superficies cus ecuciones son: ) 0 ) 4 3 ) c d ) ) e ) f

69 TALLER VERTICAL 3 DE MATEMÁTICA Págin ) g ) h ) i ) j