Unidad 4: Estudio de la ecuación general de segundo grado

Transcripción

1 Fcultd de Ciencis Excts, Ingenierí y Agrimensur Deprtmento de Mtemátic - Escuel de Ciencis Excts y Nturles Álger y Geometrí Anlític I Lic. en Fisic - Año 0 Docentes: Vivin del Brco, Lucí Crllo y An Murinigo. Unidd : Estudio de l ecución generl de segundo grdo. Introducción Comenzmos est unidd recordndo l definición de l ecución generl de segundo grdo. Definición.. Un ecución de segundo grdo en ls vriles x e y es un expresión de l form ) Ax +Bxy +Cy +Dx+Ey +F = 0,donde A, B y C no son simultánemente nulos. Es decir, l menos uno de los vlores A, B o C es distinto de cero. En un ecución cudrátic como ), el término Bxy se llm término rectngulr de l ecución. En est unidd estudiremos qué lugres geométricos pueden ser descriptos por un ecución generl de segundo grdo. Es decir, ddos números A, B, C, D, E y F donde los tres primeros no son simultánemente nulos, estudiremos en función de esos números, cuál es el lugr geométrico L definido por: L = Px,y) : Ax +Bxy +Cy +Dx+Ey +F = 0}. Y vimos en l unidd nterior que tod circunferenci, tod elipse, tod hipérol y tod práol ls tres últims con ejes focles o directriz prlels los ejes coordendos) pueden ser descripts por un ecución de segundo grdo. Hemos visto que l ecución cnónic o crtesin de ls cónics estudids en l unidd nterior es posile escriirl de l form ) distruuyendo los cudrdos y comodndo los términos de un ldo de l iguldd, dejndo 0 del otro. En el próximo cudro se present cd ecución cnónic y los coeficientes que se otienen l distriuirl como lo hecho en el ejemplo nterior. Se sugiere l lector corroorr los coeficientes ddos en l tl. Cónic Ec. Cnónic Ax +Bxy +Cy +Dx+Ey +F = 0 Os. B = 0) Circunferenci x x 0 ) +y y 0 ) = r A = C =, B = 0; D = x 0, E = y 0, F = x 0 +y 0 r. A = C Elipse x x 0) + y y0) = A =, B = 0; C = D = x0, E = y0, F = x 0 + y 0. A =, B = 0; C = A C > 0 Elipse x x 0) + y y0) = D = x0, E = y0, F = x 0 + y 0. A =, B = 0; C = A C > 0 Hipérol x x 0) y y0) = D = x0, E = y0, F = x 0 y 0. A C < 0 Hipérol x x0) + y y0) = Práol x x 0 ) = py y 0 ) Práol x x 0 ) = py y 0 ) Práol y y 0 ) = px x 0 ) Práol y y 0 ) = px x 0 ) A =, B = 0; C = D = x0, E = y0, F = x 0 + y 0. A =, B = C = 0 D = x 0, E = p, F = x 0 +py 0. A =, B = C = 0 D = x 0, E = p, F = x 0 py 0. A = B = 0, C = D = p, E = y 0, F = y 0 +px 0. A = B = 0, C = D = p, E = y 0, F = y 0 px 0. A C < 0 A C = 0 A C = 0 A C = 0 A C = 0

2 Notr que en cd uno de los csos ls ecuciones cudrátics resultntes NO tienen término rectngulr, es decir B = 0. Ésto, veremos más delnte, se relcion con el hecho que siempre los ejes de ls elipses e hipérols y ls directrices de ls práols estudids en l unidd nterior son prlelos los ejes coordendos. A continución definimos el tipo de un ecución generl de segundo grdo. Definición. Un ecución de segundo grdo Ax +Bxy +Cy +Dx+Ey +F = 0 se dice de tipo elíptico si AC B > 0, de tipo hiperólico si AC B < 0 y de tipo prólico si AC B = 0. Oservción 3. Cundo un ecución de segundo grdo no tiene término rectngulr, es decir B = 0, entonces el tipo de l ecución, depende del signo del número A C, o de si es cero. Del cudro de rri se deduce que ls ecuciones de segundo grdo que descrien ls circunferencis y ls elipses son de tipo elíptico; ls ecuciones que descrien ls hipérols son de tipo hiperólico y ls ecuciones que descrien ls práols son de tipo prólico. Podemos deducir entonces que no es csul el nomre elegido pr los tipos de ecución. Sin emrgo no es verdd que tod ecución de tipo elíptico descri un elipse o circunferenci; no es verdd que tod ecución de tipo hiperólico descrie un hipérol y tmpoco es verdd que tod ecución de tipo prólico descrie un práol. Vemos con cuiddo los siguientes ejemplos. Ejemplo. L ecución x +y + = 0 es de segundo grdo de tipo elíptico y el lugr geométrico que define es el conjunto vcío. En efecto, est ecución tiene como coeficientes A = C =, B = D = E = 0 y F = y por lo tnto AC B = 0/ = > 0. Por otro ldo, se L = Px,y) : x +y + = 0}. Es clro que L =, pues el número x +y + es positivo pr culquier punto Px,y) oservr que x +y un número myor o igul que cero y l sumrle, result x +y + un número estrictmente positivo y por lo tnto nunc cero). Ejemplo. L ecución x y = 0 es de segundo grdo de tipo hiperólico y el lugr geométrico que define son dos rects que se intersecn en un punto. Nuevmente llmmos L l lugr geométrico definido por est ecución. Los coeficientes de est ecución son A =, B = 0, C = y E = F = 0; por lo tnto A C B = ) 0/ < 0 y es de tipo hiperólico. ) x y = 0 x = y y = x o ien y = x). Es decir un punto Px,y) L si y sólo si sus coordends stisfcen y = x o ien y = x. Ests dos últims ecuciones definen dos rects que psn por el origen y con pendientes y respectivmente. L gráfic continución present el lugr geométrico L:

3 3 Ejemplo 6. L ecución x = 0 es de segundo grdo de tipo prólico y el lugr geométrico que define es un rect. En est ecución los coeficientes son A =, B = C = D = E = F = 0 por lo tnto AC B = 0 0/ = 0 y es de tipo prólico. Los únicos puntos Px,y) que stisfcen x = 0 son quellos que tienen x = 0, pudiendo tomr y culquier vlor. Luego, el lugr geométrico definido por est ecución prólic es l rect r)x = 0. Concluimos entonces que dd un ecución de segundo grdo Ax +Bxy +Cy +Dx+Ey +F = 0, el lugr geométrico que ell descrie puede ser un circunferenci, un elipse, un práol, un hipérol y tmién el conjunto vcío o rects, entre otrs coss. A continución, estudimos en detlle ls ecuciones de segundo grdo pr poder identificr el lugr geométrico que ell determin prtir de sus coeficientes.. Estudio de l ecución generl de segundo grdo.. Ecuciones de segundo grdo sin término rectngulr. Por simplicidd comenzmos estudindo ls ecuciones sin término rectngulr. Es decir quells de l form 3) Ax +Cy +Dx+Ey +F = 0 donde A y C no son simultánemente nulos. Oservemos que est ecución es de tipo elíptico si AC > 0, de tipo hiperólico si AC < 0 y de tipo prólico si AC = 0. Escrito de otr mner: elíptico, si A y C tienen igul signo, Ax +Cy +Dx+Ey +F = 0 es de tipo hiperólico, si A y C tienen distinto signo, prólico, si lguno entre A o C es cero. Anlizremos los lugres geométricos que se otienen según el tipo de l ecución.... Tipo elíptico. Se l ecución ) Ax +Cy +Dx+Ey +F = 0 donde A y C son no nulos y tienen igul signo. Podemos trjr l ecución de segundo grdo llegndo un equivlente: Ax +Cy +Dx+Ey +F = Ax + D A x)+cy + E C y)+f Si F D A E C = A x + DA x+ DA ) DA ) ) +C = A x+ A) D +C y + E ) +F D C A E C. = 0, entonces l ecución ) es equivlente A x+ A) D +C y + E C) = 0. y + EC y + EC ) EC ) ) +F

4 Como A y C son distintos de cero y tienen igul signo, est ecución tiene únic solución x = D A e y = E C. Si F D A E D C 0, denotmos µ = A + E C F y l ecución ) es equivlente ) x+ D ) y + E A A µ + C C µ =. Notr que µ/a y µ/c tienen igul signo. Est ecución no tiene solución si µ/a y µ/c son mos negtivos. Por otro ldo, est ecución define un elipse si µ/a y µ/c son positivos y distintos; ést tendrá eje focl verticl u horizontl dependiendo de si µ/a > µ/c o µ/a < µ/c. En cso que µ/a = µ/c > 0, l ecución descrie un circunferenci. Conclusión: si Ax +Cy +Dx+Ey +F = 0 es de tipo elíptico, entonces el lugr geométrico que descrie es uno de los siguientes: el conjunto vcío, un punto, un elipse, un circunferenci. Ejercicio 7. Dr un ecución de segundo grdo de tipo elíptico tl que el lugr geométrico que descri se el conjunto vcío. Reptir el ejercicio pr cd uno de los csos en l list de rri.... Tipo hiperólico. Se l ecución ) Ax +Cy +Dx+Ey +F = 0 donde A y C son no nulos y tienen distinto signo. Trjndo l ecución de mner nálog lo hecho en el tipo elíptico, llegmos que este ecución es equivlente : Si F D A E C Ax +Cy +Dx+Ey +F = 0 A x+ A) D +C y + E ) = D C A + E C F. A = 0, entonces l ecución ) es equivlente x+ A) D +C y + E C ) = 0, o ien A C x+ A) D = y + C) E ; pero hor A y C tienen signos diferentes y por lo tnto A C es un número positivo. Son soluciones de est ecución, todos los vlores x,y) tl que A x+ D ) = y + E ) o A x+ D ) = y + E ) C A C C A C Es decir, el lugr geométrico definido por l ecución ) es un unión de dos rects cuys ecuciones son: r ) AC x y + A D C A E C = 0; r ) AC x+y + A D C A + E C = 0. Notr que el punto D/A, E/C) pertenece ms rects, por lo tnto r y r son secntes. Por el contrrio, si F D A E C D 0, denotmos µ = A + E C ) x+ D y + E A A µ + C F y l ecución ) es equivlente ) C µ =. Notr que µ/a y µ/c tienen diferente signo. Entonces siempre descrie un hipérol y su eje focl es horizontl o verticl según se µ/a > 0 y µ/c < 0 o vicevers. Conclusión: si Ax +Cy +Dx+Ey +F = 0 es de tipo hiperólico, entonces el lugr geométrico que descrie es uno de los siguientes: dos rects que se cortn, un hipérol. Ejercicio 8. Dr un ecución de segundo grdo de tipo hiperólico tl que el lugr geométrico que descri se dos rects secntes. Reptir el ejercicio pr un hipérol.

5 ..3. Tipo prólico. Se l ecución Ax +Cy +Dx+Ey +F = 0 donde A o C son cero no mos l mismo tiempo). Vmos suponer primero que C = 0, entonces l ecución estudir es: 6) Ax +Dx+Ey +F = 0. y se L = Px,y) : Ax +Dx+Ey +F = 0}. Es clro que si E = 0, entonces est ecución se trduce en un ecución cudrátic en x: Ax + Dx + F = 0. Est cudrátic tiene lo sumo dos soluciones reles. Si no tiene soluciones reles, entonces L es el conjunto vcío; si est cudrátic tiene un únic solución x 0, entonces el lugr geométrico es L = Px 0,y) : y R}, un rect prlel l eje y; por último, si l cudrátic tiene dos soluciones x 0, x 0, el lugr geométrico definido por 6) es L = Px 0,y) : y R} Px 0,y) : y R}: l unión de dos rects prlels l eje y. Cundo E 0, podemos escriir l ecución 6) de l siguiente mner: x+ A) D ) = E A y D AE + F E Es fácil ver que est ecución descrie un práol con directriz prlel l eje x. Sus rms serán hci rri o hci jo según el signo de E A. Qued como ejercicio pr el lector, trjr l ecución 6) en el cso que A = 0. Es clro que el rzonmiento será nálogo l hecho recién, sólo que precen en este cso práols con directriz verticl y rects prlels l eje x. Conclusión: si Ax +Cy +Dx+Ey +F = 0 es de tipo prólico, entonces el lugr geométrico que descrie es uno de los siguientes: el conjunto vcío, un rect, dos rects prlels, un práol. Ejercicio 9. Dr un ecución de segundo grdo de tipo prólico tl que el lugr geométrico que descri se el conjunto vcío. Reptir el ejercicio pr cd uno de los csos en l list de rri.... Oservciones finles y ejemplos. Es importnte estudir y recordr qué lugres geométricos surgen de cd tipo de ecución resumido en ls conclusiones l finl de cd cso). Al momento de enfrentrse con un ejercicio, se dee proceder completndo cudrdos e interpretndo el resultdo, según el tipo de l ecución. A continución resolvemos lgunos ejercicios modo de ejemplo. Ejemplo 0. Determinr el lugr geométrico L que descrie l siguiente ecución: x 9y 6x+9 = 0. Los coeficientes principles de est cudrátic son A =, B = 0 y C = 9 por lo tnto es de tipo hiperólico. Y semos que el lugr geométrico que ell determin es o ien un hipérol o ien un pr de rects que se cortn. Trjmos l expresión de l ecución completndo cudrdos: x 9y 6x+9 = x 3) 9y por lo tnto L está descripto por l ecución x 3) = 9y. Los vlores x,y) que stisfcen est ecución son quellos que x 3 = 3y o ien x 3 = 3y, por lo tnto L es l unión de dos rects de ecuciones r )x 3y 3 = 0 y r )x+3y 3 = 0 que se cortn en el punto 3, 0). Ejemplo. Determinr el lugr geométrico L que descrie l siguiente ecución: x +3y +x 30y +7 = 0. ).

6 6 Los coeficientes principles de est cudrátic son A =, B = 0 y C = 3 por lo tnto es de tipo elíptico. Y semos que el lugr geométrico que ell determin es o ien el conjunto vcío, o un punto, o un elipse, o un circunferenci. Es importnte reflexionr sore ests posiiliddes pues nos permitirán evitr futuros errores. Trjmos l expresión de l ecución completndo cudrdos: x +3y +x 30y+7 = x+) +3y ) 6 por lo tnto L está descripto por l ecución x+) + 3 y ) Luego L es un elipse de con eje focl horizontl 3 > ), y centro C,). Los prámetros y se ven de est ecución y son: = 3 y = ; por lo tnto c =. Luego los focos son los puntos F,) y F 0,). =. Ejemplo. Determinr el lugr geométrico L que descrie l siguiente ecución: y +3x 8y + = 0. Los coeficientes principles de est cudrátic son A = B = 0 y C = por lo tnto es de tipo prólico. Y semos que el lugr geométrico que ell determin es o ien el conjunto vcío, o un rect, o dos rects prlels o un práol. Completmos cudrdos en l ecución que define L: y +3x 8y+ = y ) +3x por lo tnto L está descripto por l ecución y ) = 3 x. Luego L es un práol de vértice V0,) y directriz prlel l eje y. Además p = 3/8 y el foco se encuentr l izquierd de l directriz; el foco es F 3/8,) y l directriz es l rect de ecución d)x = 3/8. Invitmos l lector revisr los ejemplos, y 6 comprndo los lugres geométricos otenidos con los tipos de ecución, teniendo en cuent l clsificción hech rri de los lugres geométricos que se otiene pr cd tipo... Ecución generl de segundo grdo. Hemos preprdo tod l teorí pr hor sí enfrentrnos l cso más difícil del estudio de un ecución generl de segundo grdo 7) Ax +Bxy +Cy +Dx+Ey +F = 0. donde el término rectngulr es no nulo: B 0. Se L el lugr geométrico de los puntos P del plno descriptos por est ecución. Es decir: L = Px,y) : Ax +Bxy +Cy +Dx+Ey +F = 0}. Veremos que los lugres geométricos L que se descrien por un ecución de est form generl son los mismos que en el cso B = 0, sólo que ls cónics otenids no tienen sus ejes prlelos los ejes coordendos. Por lo tnto, deemos trjr con cmio de coordends por rotción en cso de no tenerlos ien frescos en l memori, se sugiere repsrlos ntes de continur l lectur de este punte). Dd l ecución Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F = 0 con B 0 definimos un ángulo θ [0,π/) de l siguiente mner: θ = π/ si A = C. θ tl que tnθ) = B A C. Considermos el cmio de coordends que se otiene de rotr los ejes un ángulo θ. Es decir, se O, i, j } el sistem coordendo otenido l rotr un ángulo θ el sistem cnónico O,i,j}. Ls coordends x,y ) de un punto P en el sistem O, i, j } se relcionn con ls sus coordends x,y) en el sistem O, i, j} de l siguiente mner: 8) x = x cosθ y sinθ y = x sinθ +y cosθ

7 7 Reemplzmos ls coordends x e y en l ecución 7) y otenemos Ax cosθ y sinθ) +Bx cosθ y sinθ)x sinθ +y cosθ)+ 9) Cx sinθ +y cosθ) +Dx cosθ y sinθ)+ex sinθ +y cosθ)+f = 0 Est es un ecución de segundo grdo en ls vriles x e y que tiene l form A x ) + B x y + C y ) + D x +E y +F = 0 y los coeficientes A, B, C, etc.. se otienen distriuyendo l expresión de rri. Es importnte demás que el lugr geométrico definido por l ecución Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+F = 0 en el sistem O, i, j} es el mismo que el definido por l ecución A x ) +B x y +C y ) +D x +E y +F = 0 en el sistem O, i, j }. Es decir el lugr geométrico L tmién se descrie como: L = Px,y ) : A x ) +B x y +C y ) +D x +E y +F = 0}. Es fácil ver que los coeficientes A, B y C de l ecución 9) son A = Acos θ +Bcosθsinθ +Csin θ 0) B = Bcos θ sin θ)+c A)cosθsinθ = Bcosθ)+C A)sinθ). C = Asin θ Bcosθsinθ +Ccos θ Veremos que el coeficiente B es siempre cero por l mner en que elegimos el ángulo θ. En el cso que A = C, tommos θ = π/ y por lo tnto cosθ) = cosπ/) = 0 y l expresión de rri de B, implic B = 0. Por otro ldo, si A C, entonces θ es tl que tnθ) = B/A C) y por lo tnto B = A C)sinθ)/cosθ). Luego B = Bcosθ)+C A)sinθ) = A C)sinθ)+C A)sinθ) = 0. En culquier cso B = 0, como querímos pror. ConcluimosentoncesqueLestádescriptoporlecucióndesegundogrdoA x ) +C y ) +D x +E y +F = 0 en el sistem O, i, j }, SIN término rectngulr. Semos de l Sección.. que el lugr geométrico que descrie un ecución de segundo grdo sin término rectngulr es un hipérol, un práol, un elipse, un circunferenci, un rect, un pr de rects prlels, un pr de rects secntes o el conjunto vcío. Oservción 3. Es posile pror que los coeficientes en A y C que se expresn en 0) verificn Es decir, ls ecuciones de segundo grdo A C = A C B. A x ) +C y ) +D x +E y +F = 0 Ax +Bxy +Cy +Dx+Ey +F = 0 y son ecuciones de igul tipo. Esto indic que si empezmos trjndo con l ecución Ax +Bxy+Cy +Dx+Ey+ F = 0 que es, por ejemplo, de tipo hiperólico y podemos segurr que A x ) +C y ) +D x +E y +F = 0 es de tipo hiperólico y por lo tnto descrie un hipérol con eje focl prlelo l eje x o y, o ien dos rects secntes. Oservción. Cundo en l ecución cudrátic Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 se tiene B 0 y A C el cálculo del ángulo θ determindo por tnθ) = B A C Pr ello, utilizremos ls fórmuls continución: ) cos θ) = +tn θ) dee hcerse de mner exct y no proximd. y signocosθ)) = signotnθ)) sen θ = cosθ)) cos θ = +cosθ))

8 8 Ejemplo. Determinr el lugr geométrico L descripto por l ecución x xy +y +y = 0. Est ecución cudrátic tiene coeficientes A = C = y B =. Como AC B = ) / = 0 est ecución es de tipo prólico y por lo tnto es el conjunto vcío, o un rect, o dos rects prlels, o un práol. Pr determinr cuál de estos cutro posiles lugres geométricos es L, relizmos el cmio de coordends por rotción con θ = π/ notr que A = C = ). El cmio de coordends relcion ls coordends x,y) con x,y ) de l siguiente mner: x = x y y = x +y, escrito de otr mner: x = x y ) y = x +y ). Con est informción rmmos l ecución cudrátic en el nuevo sistem x,y ): x xy +y +y = ) ) x y ) x y ) x +y )+ x +y ) + x +y ) ) = y ) + x + y ) = y + + x ) 8 El lugr geométrico L qued determindo por quellos puntos P de coordends x,y ) en el sistem O, i, j }, que stisfcen l ecución ) y + = x ). 8 Es sencillo ver que est ecución define un práol con directriz prlel l eje coordendo y con p =. Además el vértice tiene coordends V 8, ) en el sistem O, i, j } y el foco F se encuentr l izquierd de l directriz. Ls coordends del foco son F 8 p, ) = F, ) y l directriz tiene ecución d)x = 8 + p = 3. A continución grficmos est situción. Pr loclizr el vértice V puede ser conveniente encontrr sus coordends en el sistem originl O, i, j}. Pr ello usmos ls ecuciones x = x cosθ y senθ = x y ) y = x senθ +y cosθ = x +y ), y x = xcosθ +ysenθ = x+y) y = xsenθ +ycosθ = x+y). Utilizndo ls primers, otenemos que V tiene coordends 7 8, 3 8 ) y el foco F tiene coordends F3, ) en el sistem O, i, j}. Por medio de ls segunds ecuciones otenemos que l rect directriz tiene ecución d) x + y 3 = 0.

9 9 Ejemplo 6. Determinr el lugr geométrico L descripto por l ecución xy +3y + x+ y = 0 Est ecución cudrátic tiene coeficientes A = 0, B = y C = 3. Como AC B = < 0, est ecución es de tipo hiperólico y por lo tnto el lugr geométrico que determin es un pr de rects secntes o ien un hipérol. Pr determinr cuál de estos dos posiles lugres geométricos es L y grficrlo, relizmos un cmio de coordends por rotción de un ángulo θ. Como A C, elegimos θ tl que tnθ) = B A C = 3 Oservemos que θ 63 6,8, pero NO nos sirve un vlor proximdo. Utilizmos ls ecuciones ) pr otener: cos θ) = 9, cosθ) < 0 cosθ) = 3 y por lo tnto cosθ =, senθ =. El cmio de coordends relcion ls coordends x,y) con x,y ) de l siguiente mner: x = x y = x y ) y = x +y = x +y ). Con est informción rmmos l ecución cudrátic que descrie L en el sistem x y ): xy +3y + x+ y = x y ) x +y )+3 x +y )) + = x ) y ) +0x. = x + ) y ). x y )+ x +y ) El lugr geométrico L qued determindo por quellos punto P de coordends x,y ) en el sistem O, i, j } que stisfcen l ecución x + ) ) y ) =. )

10 0 Es sencillo ver que est ecución define un hipérol con eje focl prlelo l eje x. Su centro C tiene coordends,0) en el sistem rotdo o primdo), luego su eje focl es justmente el eje x. Los prámetros de l hipérol son = y = por lo tnto c = + =. Deducimos de esto que sus focos son F c,0) y F +c,0): F ),0) F + ),0). Los vértices son V,0) y V +,0): V,0) y V 0,0); es decir, el origen de coordends de mos sistems) es un punto de l hipérol, más ún, es un vértice de l mism. Oservr que tods ls coordends dds en este párrfo son reltivs l sistem primdo. Ls ecuciones de ls síntots en este mismo sistem son: r )y = x x 0)+y 0 r )y = x + ) r )x y + = 0; r )y = x x 0)+y 0 r )y = x + ) r )x +y + = 0. Pr relizr su gráfic, primero grficmos los nuevos ejes. De nuevo, no intentmos clculr θ explícitmente, nos st conocer su seno y su coseno. En efecto, oservemos que el versor i = cosθ i +senθ j, o se que tiene componentes /,/ ) en el sistem O, i, j}. Usndo ls ecuciones x = x y = x y ) y = x +y = x +y ) y x = x +y = x+y) y = x +y = x+y). podemos ver que en el sistem cnónico O, i, j} se tienen ls siguiente coordends de los puntos: C, ), F + ), + )), F ), )), V, ), V 0,0). Además ls ecuciones de ls síntots son: r )x+3y + = 0 y r )y =. Notr que r es prlel l eje x, como se ve en el diujo.