ESTUDIO DE LA MODELIZACIÓN DE SISTEMAS MULTICUERPO FLEXIBLES PARA UN ANALISIS EFICIENTE CON NO LINEALIDAD GEOMETRICA

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1 Congrso d Métodos Numércos n Ingnría 5 Granada, 4 a 7 d Julo, 5 SEMNI, España 5 ESTUDIO DE A MODEIZACIÓN DE SISTEMAS MUTICUERPO FEXIBES PARA UN ANAISIS EFICIENTE CON NO INEAIDAD GEOMETRICA Ruth Gutérrz, Urbano ugrís, Javr Cuadrado y us E. Romra Dpartamnto d Ingnría Industral II Escula Poltécnca Supror Unvrsdad d A Coruña C/ Estro s/n -mal: rutgut@udc.s Palabras clav: Smulacón, Sstmas Multcurpo Flxbls, Rgdzacón gométrca, Ecnca Rsumn. El dsño y cálculo d sstmas mcáncos con componnts lxbls rcuntmnt rur, admás d la normacón dl movmnto, l stado tnsonal. a ndustra dmanda sstmas mcansmos u son cada vz más dsaants para l dsñador, sndo la agldad un valor muy aprcabl y las hrramntas d smulacón un aspcto clav dl procso d dsño. En st trabajo s prsnta la adaptacón d una mtodología d análss d sstmas multcurpo lxbls para contmplar no lnaldads gométrcas como l nómno d rgdzacón dnámca. S nsayan varas propustas u prmtan mantnr la cnca y mjorar la prcsón.. INTRODUCCIÓN El dsño y cálculo d sstmas mcáncos con componnts lxbls rcuntmnt rur, admás d la normacón dl movmnto, l stado tnsonal. a ndustra asocada dmanda sstmas mcansmos u son cada vz más dsaants para l dsñador, más vrsátls, más lxbls, u opran a mayor vlocdad, s mplan nuvos matrals tc. El tmpo u transcurr dsd la ncsdad d un nuvo dsño, hasta su pusta n l mrcado s nvrsamnt proporconal al bnco obtndo y, n algunos casos, dtrmnant por la comptnca xstnt. Así, la agldad s un valor muy aprcabl u las hrramntas d smulacón posbltan. Exstn dos grands amlas d ormulacons u prmtn la obtncón d tnsons n mcansmos: la amla basada n la aproxmacón d sstma d rrnca móvl y la amla d ormulacons globals. a prmra studa l movmnto d gran ampltud d cada componnt y l movmnto d puña ampltud dbdo a la dormacón a través

2 Ruth Gutérrz, Urbano ugrís, Javr Cuadrado y us E. Romra d coordnadas dstntas, dnndo stas últmas n un sstma d rrnca móvl asocado con l componnt lxbl consdrado. a sgunda amla no ralza sta sparacón, utlzando coordnadas n un sstma d rrnca nrcal. Ambas prsntan vntajas nconvnnts n su aplcacón. a amla u mpla sstmas d rrnca móvls s aplca a mcansmos cuyos componnts trabajan bajo la hpótss d puñas dormacons. a amla d métodos globals contmpla hpótss d trabajo más amplas, prmtndo abordar problmas con no lnaldad gométrca, d grands dormacons, comportamnto no lnal dl matral, cambo d condcons d contorno, tc. Sn mbargo, sta amla d métodos ncsta un númro lvado d varabls y mpla smpr las compljas rlacons ncsaras para abordar stos problmas, ncluso cuando l comportamnto s sncllo. Por comparacón, l númro d varabls u ncsta mplar la prmra prmanc modrado. Admás, n la práctca, xst un gran númro d mcansmos n los u la hpótss d puñas dormacons d componnts rsulta adcuada. Por llo, sta prmra amla d ormulacons, u s la más xtndda, prsnta vntajas mportants u justcan su studo n l marco d la mjora d las hrramntas d smulacón para dsño d mcansmos. En trabajos antrors s ha prsntado una mtodología d análss dnámco d sstmas multcurpo con componnts lxbls, basado n la aproxmacón d sstma d rrnca móvl, u proporcona solucons abls d movmnto, dormacón y tnsón n componnts, bajo la hpótss d puñas dormacons, a un cost computaconal xclnt. En st trabajo s dscrb la adaptacón d dcha mtodología para contmplar no lnaldads gométrcas como l nómno d rgdzacón dnámca. S compruba u capta prctamnt dcho nómno, comparando los rsultados producdos por la msma sobr un jmplo tpo bnchmark, con los orcdos por la ltratura. A contnuacón s nsayan propustas para dtrmnar una ormulacón óptma para l cálculo d surzos, u prmta mjorar la prcsón mantnndo la cnca d la mtodología, y clarun l rango d aplcacón d dcha mtodología. Dchas propustas son dos: n prmr lugar, la ntroduccón d un mayor númro d modos d dormacón u complt l campo d dsplazamntos supusto, y n sgundo lugar, l mplo d otras coordnadas para los dsplazamntos d puña magntud, mnos habtuals n l studo d sstmas mcáncos con componnts lxbls. D la comparacón d surzos con un programa d lmntos ntos s xtran conclusons rspcto a la prcsón dl método propusto. Fnalmnt, s analza la cnca, con l objtvo d consgur tmpo ral n la smulacón d st tpo d sstmas mcáncos n ordnadors convnconals. a dscrpcón d la mtodología d análss dnámco d sstmas multcurpo lxbls, dnomnada n adlant mtodología DSMF, u prmt la smulacón dnámca d sstmas multcurpo con lmntos rígdos y lxbls d una orma totalmnt compatbl y u produc rsultados prcsos y cnts s ctúa n [].

3 Ruth Gutérrz, Urbano ugrís, Javr Cuadrado y us E. Romra. ADAPTACIÓN DE A METODOOGIA DSMF ANTE E FENOMENO DE RIGIDIZACIÓN GEOMETRICA. S ha dmostrado la ncapacdad d los modlos dnámcos basados n las rlacons lnals dormacón-dsplazamnto para rproducr l nómno d rgdzacón gométrca [], nómno crucal n la modlzacón, por jmplo, d vgas sbltas xprmntando grands rotacons d sóldo rígdo a vlocdads lvadas. En casos como ést, s ncsaro ntroducr la no lnaldad gométrca n l modlo. En l contxto d la smulacón d sstmas multcurpo, l objtvo s ncontrar l vctor d urzas ntrnas lástcas basado n las rlacons cnmátcas no lnals dormacóndsplazamnto, mantnndo la aproxmacón d sstma d rrnca móvl n la dscrpcón dl movmnto. En st caso, l tratamnto dl movmnto d sóldo rígdo d cada curpo s ndpndza d la modlzacón d la dormacón, prmtndo una rlatvamnt ácl xtnsón d muchas d las ormulacons dnámcas xstnts a rgímns d movmnto dond los ctos gométrcos no lnals son mportants. y, v o v o,x x, u o Fgura. Dsplazamntos lástcos d una vga plana d Eulr-Brnoull. El nómno d rgdzacón gométrca n vgas s ha ntroducdo ctuando la dscrpcón cnmátca dl campo d dormacons n térmnos d los dsplazamntos lástcos convnconals, ntroducndo las rlacons dormacón-dsplazamnto no lnals n la ormulacón d la nrgía d dormacón. S ralza l plantamnto n una vga sblta (hpótss d Eulr-Brnoull) d sccón constant A, nrca I y longtud, con movmnto plano, cuyo campo d dsplazamntos lástcos uda dscrto por l vctor u: u u uo yvo, x = = v v () o Sndo uo y vo los dsplazamntos n las drccons axal y prpndcular d la vga d vox, los puntos dl j lástco, rspctvamnt, y vox, = l gro d la sccón. El x plantamnto s gnralzabl a vgas con movmnto spacal [3]. as rlacons dormacón-dsplazamnto no lnals para st sstma s concrtan n la sgunt xprsón: 3

4 Ruth Gutérrz, Urbano ugrís, Javr Cuadrado y us E. Romra E = u + u + v u + v ( ) ( ) ( ) xx, x, x, x, x, x () Es una práctca habtual dsprcar l térmno( u ),x rnt a u,x.s ormula la uncón nrgía d dormacón: E V = ( E ) xx dv (3) V Introducndo la xprsón () dl campo d dsplazamntos y dsarrollando s obtnn los sgunts térmnos, EA EI EA 4 EA V = ( ox, ) ( oxx, ) ( ox, ) ox, ( ox, ) u dx + v dx + v dx u v dx 8 + V V V3 Dsprcando l térmno V, la xprsón d la nrgía potncal uda EA EI EA V = u dx+ v dx+ u v dx ( ox, ) ( oxx, ) ox, ( ox, ) (5) n la u, admás d los térmnos cláscos, s ha ncludo l térmno d trcr ordn u acopla l dsplazamnto axal y l dsplazamnto transvrsal. S consdra un lmnto nto tpo vga d Eulr Brnoull con movmnto plano, con trs grados d lbrtad por nudo, los dos dsplazamntos n l plano y l gro rspcto d la drccón prpndcular al msmo. El lmnto nto, l vctor d grados d lbrtad nodals y las uncons d aproxmacón mpladas para ntrpolar l campo d dsplazamntos s mustran n la Fgura. (4) v θ v u [ θ θ ] T * = u v u v r=x/ θ u x u o = h u + h 4 u v o = h v + h 3 θ + h 5 v + h 6 θ h = - r h = - 3r + r 3 h 3 = ( -r + r - r 3 ) h 4 = r h 5 = 3r - r 3 h 6 = (r -r 3 ) Fgura. Elmnto nto vga con movmnto plano: uncons d ntrpolacón y grados d lbrtad. En la xprsón (5) d la nrgía potncal, s ntroduc l campo d dsplazamntos propusto para st lmnto, rljado n la Fgura, y s obtn la nrgía d dormacón para un lmnto nto: 4

5 Ruth Gutérrz, Urbano ugrís, Javr Cuadrado y us E. Romra * T * * T * V = MEF + GMEF (6) * sndo l vctor d dsplazamntos nodals dl lmnto nto y, MEF y G MEF, las matrcs d rgdz cláscas lnal y gométrca, rspctvamnt, dl método d lmntos ntos, para dcho lmnto. EA/ EA/ 3 3 EI / 6EI / EI / 6EI / 4EI / 6EI / EI / MEF = (7) EA/ 3 EI / 6EI / sm 4EI / 6 / 5 / 6 / 5 / EA /5 / / 3 G MEF = ( u u ) (8) 6 / 5 / sm /5 a matrz d rgdz gométrca dpnd lnalmnt d los dsplazamntos nodals axals dl lmnto. Para ponr d mansto sta dpndnca, dcha matrz s pud dscomponr n una matrz constant, dnomnada G MEF, u dpnd úncamnt d la longtud lmntal y acta úncamnt a los grados d lbrtad v y θ, multplcada por l EA actor ( u u ). Así, la xprsón (6) uda: * T * EA * T * V = MEF + ( u u) GMEF (9) S consdra un sóldo lxbl dscrtzado n n lmntos ntos d gual longtud y sccón A, y nnd nudos. a nrgía d dormacón para st sóldo lxbl s construy a partr d la contrbucón d cada uno d los lmntos ntos, y vn dada por la xprsón: V = n = = ( u u ) n * T * EA * T * MEF + G MEF () En sta xprsón s mplan las matrcs d rgdz lmntals ampladas al tamaño dl 5

6 Ruth Gutérrz, Urbano ugrís, Javr Cuadrado y us E. Romra *T vctor d grados d lbrtad d la dscrtzacón,. n x Fgura 3. Campo d dsplazamntos axals n la dscrtzacón d lmntos ntos. S consdra una varacón lnal para l campo d dsplazamntos axals n l ntror dl sóldo lxbl. En st caso, s cumpl u l actor u ntroduc la no lnaldad n la matrz d rgdz gométrca s constant gual para todos los lmntos: EA ( u u ) Δ Δ = EA = EA = P () Esto prmt l nsamblaj d las matrcs d rgdz lmntals, para ormar la matrz d rgdz gométrca global d la dscrtzacón. = V = n = *T = n = *T *T MEF MEF MEF * * * P P *T *T *T n = P G MEF G MEF G MEF En sta xprsón, la carga axal, P, s constant para todos los lmntos d la dscrtzacón, d valor proporconal al ncrmnto d longtud dl sóldo lástco n cada nstant d tmpo. a matrz d rgdz gométrca para una dscrtzacón cualura s pud obtnr, n una as d prprocso, d un programa comrcal d lmntos ntos, para cargas untaras. S ntroduc n la ormulacón multplcada por l actor P n cada nstant d tmpo. Así, la nrgía d dormacón s, *T * V = MEF (3) xprsón n la u la matrz d rgdz dl método d lmntos ntos stá compusta d dos térmnos, la matrz d rgdz constant y la matrz d rgdz gométrca. MEF MEF + G MEF * * = * = () = P (4) En cada nstant d tmpo, la dormacón dl sstma uda dtrmnada por l producto d los modos d dormacón multplcados por las ampltuds corrspondnts. 6

7 Ruth Gutérrz, Urbano ugrís, Javr Cuadrado y us E. Romra uo η vo θ * = = n nd = ξ u o nnd vo nnd ξ nd θ nnd ηn [ Φ Φ Ψ Ψ ] X y sndo u o y v o los dsplazamntos dl j lástco n cada nstant d tmpo n l sstma d rrnca móvl, y θ l ángulo grado por la sccón, corrspondnts al nudo. Susttuyndo n la xprsón (3) d la nrgía potncal, s obtn (5) T T T T V = y X MEF Xy + y X P G MEF Xy (6) Dl producto X T MEF X s obtn la matrz d rgdz constant dl sóldo lxbl rrda a las varabls modals. El producto X T P G MEF X s l térmno d la matrz d rgdz rsponsabl dl cto d rgdzacón dnámca, y d él s obtn la matrz d rgdz gométrca G dl sóldo lxbl rrda a las varabls modals. Así, la nrgía d dormacón rrda a las varabls modals uda T T [ η ξ ] T T V = y y con y = (7) El vctor d urzas lástcas dl sóldo lxbl consdrado s obtn a partr d sta xprsón, drvando rspcto a las varabls báscas d dcho sóldo: Q last V = s s y = y Q Q last last = = y T sndo T T T T T T = r o u v w η ξ l vctor d varabls báscas dl sóldo lxbl consdrado, y la matrz d rgdz proyctada a los modos. Dcho vctor, pud sr xprsado n orma compacta como (8) Qlast = (9).. Calculo d surzos. El vctor d varabls d un sstma mcánco ncluy las ampltuds d los modos d dormacón státcos y dnámcos d cada componnt consdrado lxbl. Dchas 7

8 Ruth Gutérrz, Urbano ugrís, Javr Cuadrado y us E. Romra ampltuds dtrmnan l campo d dsplazamntos lástcos d un componnt lxbl, n l sstma d rrnca móvl asocado a dcho sóldo lxbl,, y su stado tnsonal, u s obtn al nal d cada paso d tmpo. n nd = Φ η + Ψ ξ () = j= Est vctor contn los dsplazamntos nodals dl componnt structural consdrado lxbl. a xtraccón d los dsplazamntos nodals lmntals, û, n los puntos d cálculo prmtn la obtncón dl stado tnsonal n dchos puntos, rtomando la dscrtzacón d lmntos ntos, j j σ = CBuˆ () Para obtnr los surzos n una dscrtzacón d lmntos vga, n la u la orma analítca d los modos d dormacón s conocda, n prmr lugar s obtn la poscón dormada d la barra n l sstma d rrnca móvl multplcando dchas uncons por las ampltuds d los modos d dormacón sgún la sgunt xprsón: u v o o θ = v = Φη ' o = Φ η + Ψ ξ + Ψ ξ = Φ' η + Ψ ' ξ + Ψ ' ξ Esta xprsón nos prmt calcular los dsplazamntos nodals, û, d cualur lmnto d una dscrtzacón propusta. En sgundo lugar, l vctor d surzos nodals lmntals, S, s obtn, () S = uˆ (3) sndo, la matrz d rgdz lmntal. Cuando s consdra l nómno d rgdzacón dnámca, la matrz d rgdz lmntal mplada n l cálculo dl stado tnsonal tn la sgunt xprsón = P (4) + sndo la matrz d rgdz lmntal constant, G la part constant d la matrz d rgdz gométrca y P l surzo axal dl lmnto consdrado G EA P = ( u u ) (5) con u y u los grados d lbrtad d dsplazamnto axal d dcho lmnto. Consdrando la orma d la matrz d rgdz gométrca, xprsón (8), la contrbucón d sta últma al surzo axal s nula. a modlzacón dl dsplazamnto axal condcona la orma d los surzos axals n la 8

9 Ruth Gutérrz, Urbano ugrís, Javr Cuadrado y us E. Romra vga. a orma dl dsplazamnto axal s ntroduc a través d los modos d dormacón státcos y dnámcos. En la slccón d stos modos s mpla la técnca d síntss modal con rontras jas. El modo axal státco s dn como la dormada u adopta l sstma cuando s mpon un dsplazamnto untaro n drccón axal n l xtrmo dl sóldo lxbl vga, jando l otro xtrmo. Consdrando las uncons d orma dl lmnto nto mplado n la dscrtzacón dl sóldo lxbl vga, l modo státco axal s lnal. a modlzacón dl problma xg la ntroduccón d, al mnos, un modo d dormacón axal, ya u s no, l térmno no lnal d las urzas lástcas sría nulo. Así, l modo más sncllo d tratar l nómno d la rgdzacón gométrca s consdrando un únco modo lnal. Con st modlo, l surzo axal obtndo s constant n toda la barra, y pud scrbrs como, EA N = EAuox, = EAΦ,xη = η (6) Esta modlzacón prmt obtnr l momnto lctor n cualur sccón d la barra, a partr d la xprsón (3) ncluyndo la contrbucón d la matrz d rgdz lnal y gométrca. Sn mbargo, no prmt obtnr la varacón longtudnal d los surzos axals. Así, la ntroduccón d la matrz d rgdz gométrca n la mtodología DSMF prmt la modlzacón prcsa y cnt dl nómno d rgdzacón gométrca, pro la prcsón n l cálculo d surzos s mjorabl. A contnuacón s ctúan dos propustas para mjorar st campo. 3. PROPUESTAS DE MEJORA 3.. Aumnto dl númro d modos axals d dormacón Φ +Ψ Φ Ψ n x Fgura 4. Campo d dsplazamntos axals n la dscrtzacón d lmntos ntos. Para consgur una varacón longtudnal más prcsa dl surzo axal, s pud mjorar l campo d dsplazamntos axals, ncluyndo modos dnámcos d dormacón u compltn l campo d dsplazamntos axals n l sóldo lxbl. S propon la consdracón d dos modos d dormacón axals, l státco, lnal, y uno dnámco, snodal. 9

10 Ruth Gutérrz, Urbano ugrís, Javr Cuadrado y us E. Romra u o = Φ η + Ψ (7) ξ a xprsón d la nrgía potncal s modca n l sntdo d u l actor u * T * multplca a al producto G MEF para cada lmnto d la dscrtzacón, dja d sr constant gual para todos los lmntos. a dormacón axal d cada lmnto s pud obtnr n uncón d los modos státcos y dnámcos ntroducdos; así, l actor uda, EA [ Φ ( x ) η + Ψ ( x ) ξ ] [ Φ ( x ) η Ψ ( x ) ξ ] u u Δ EA EA = EA = + S s dvd n una part constant y una varabl, u u Δ Δ Δ EA = EA = EA P + = const + Pvar (9) const var la nrgía potncal, comparada con la xprsón (6) n la u l campo d dsplazamntos axals consdrado s lnal, tn n térmnos adconals. 3.. Formulacón orshortnng Esta ormulacón prmt adaptar la mtodología DSMF para contmplar l movmnto d sstmas mcáncos u surn rgdzacón gométrca, sn modcar las rlacons dormacón-dsplazamnto, s dcr, plantando la nrgía potncal con las rlacons dormacón-dsplazamnto lnals. En st caso, la no lnaldad gométrca s ntroduc a través dl orshortnng o acortamnto por lxón a la componnt longtudnal d los dsplazamntos lástcos. El campo d dsplazamntos axals uda: ( o x ) s, x x (8) u = s+ u = s v dx (3) dond u y v son los dsplazamnto n drccón axal y transvrsal a la vga d los puntos dl j lástco. u s dvd n dos componnts, s y u s. a componnt s s l dsplazamnto axal dbdo al acortamnto dl j lástco, y u s s l dsplazamnto axal dbdo a la lxón d la vga, calculado a partr d un punto d rrnca x : a nrgía d dormacón tn la xprsón: V = EA s dx + EI v dx (, x) (, xx) (3) cuya orma s la msma u n l caso lnal, cambando úncamnt l sgncado d s. S consdra l campo d dsplazamntos propusto n la Fgura para un lmnto nto tpo vga, xprsado n orma matrcal

11 Ruth Gutérrz, Urbano ugrís, Javr Cuadrado y us E. Romra u S S * l * = = = v St (3) dond s l dsplazamnto d un punto dsplazamntos d los nudos dl lmnto, y S l y x ntror al lmnto, * son los S t son los vctors d uncons d ntrpolacón longtudnals y transvrsals rspctvamnt. S s añad l orshortnng, la xprsón rsultant s: u S l * u s = = + v t x ( ) s, x S u = v dx (33) dond u s s l acortamnto por lxón partcularzado para l lmnto. Introducndo las uncons d ntrpolacón dl dsplazamnto v o, s obtn l dsplazamnto axal por lxón, rspcto al nudo ncal, d un punto ntror al lmnto, x, n uncón d los dsplazamntos nodals: u x T * T S t S t * * T * s = dx = x x H (34) a matrz H, u s smétrca, dpnd úncamnt d nudos, dnndo una matrz constant: x, y pud partcularzars a los T St St x x H = dx (35) u prmt calcular l acortamnto por orshortnng total surdo por un lmnto a partr d sus dsplazamntos nodals lnals: * * T * u s = H (36) S la barra stá compusta por varos lmntos, l dsplazamnto total dbdo al orshortnng surdo por un nudo, (nudo ncal dl lmnto ), s la suma d los acortamntos d todos los lmntos antrors (dl al -). Dcho dsplazamnto val para l nudo : * j* T j j* u s = H (37) j= Esta cuacón s pud xprsar n orma matrcal para nclur l vctor complto d dsplazamntos nodals, dnomnando H a la matrz total corrspondnt al nudo. * n

12 Ruth Gutérrz, Urbano ugrís, Javr Cuadrado y us E. Romra u H H = = H * * T * * T * s H n Así, uda compltamnt dndo l campo d dsplazamntos axals ntroducdo. El vctor d urzas lástcas s dduc d la xprsón d la nrgía d dormacón. Esta ormulacón tn la msma prcsón u s obtn tnndo n cunta todos los térmnos al calcular la nrgía d dormacón, pro utlzando una matrz d rgdz lnal, [5, 6]. 4. EJEMPO S consdra una vga artculada a un punto jo n uno d sus xtrmos movéndos n un plano horzontal sgún s ndca n la Fgura 5. S dsprcan los ctos d la gravdad. a vga tn las sgunts propdads: dnsdad, ρ = 3 g/m 3, módulo d lastcdad, E = 7. N/m, longtud, = m, sccón, A = m, momnto d nrca gométrco, I =. -7 m 4. (38) y A B θ C x Fgura 5. Vga artculada con coordnada guada. S prsnta la rsolucón dl movmnto y l stado tnsonal dl sstma, n los puntos A, B y C, somtdo a la sgunt manobra, u s ntroduc a través d la coordnada guada θ. w s t Ts t t π θ ( ) = + cos t Ts T s T (39) π s con los sgunts parámtros: ws = 6 rad/ s yts = 5s Es un jmplo tpo bnchmark, ncludo n varos trabajos [3, 7], slcconado para caractrzar l nómno d rgdzacón dnámca. a manobra u dscrb la barra gratora s lo sucntmnt rápda para u alln las ormulacons u mplan la xprsón d la nrgía d dormacón clásca, poru los surzos axals, dbdos a las

13 Ruth Gutérrz, Urbano ugrís, Javr Cuadrado y us E. Romra urzas cntríugas, contrbuyn ctvamnt a dsmnur las dormacons por lxón. Para consdrar st nómno s ncsaro ntroducr las rlacons dormacóndsplazamnto no lnals, s no compltas, por lo mnos l térmno u acopla los dsplazamntos axals y d lxón. a manra más snclla s mplar una xprsón d la nrgía d dormacón amplada con st térmno, tal y como s ddujo n l apartado, dducda a partr d las rlacons dormacón-dsplazamnto no lnals. S ctúan trs smulacons n las u s mpla la mtodología DSMF sobr trs modlos drnts d la barra gratora, u s dscrbn a contnuacón. a drnca ntr llos radca n la dscrpcón dl movmnto d puña ampltud, rsponsabl d la dormacón n l sstma d rrnca móvl, y l campo d dsplazamntos axals, u s prsupon por la slccón d los modos státcos y dnámcos d dormacón ncludos n l cálculo. Modlo #: s mplan las coordnadas típcas n lastcdad para una vga con movmnto plano n puñas dormacons: los dsplazamntos n las drccons axal y prpndcular d los puntos dl j lástco y l gro dl msmo rspcto a la drccón prpndcular al plano dl movmnto. El campo d dsplazamntos axals propusto s lnal. Modlo #: s mplan las coordnadas típcas n lastcdad para una vga con movmnto plano, pro s mjora l campo d dsplazamntos axals, proponndo la suprposcón d dos modos, uno státco y uno dnámco, con varacón lnal y snodal, rspctvamnt. Modlo #3: s mplan como coordnadas d la vga con movmnto plano l dsplazamnto n la drccón axal dnomnado orshortnng, u s l dsplazamnto n la drccón longtudnal d una sccón d la vga dbda a la dormacón por lxón dl sstma. Admás, s utlza l dsplazamnto n la drccón prpndcular d los puntos dl j lástco y l gro dl msmo rspcto a la drccón prpndcular al plano dl movmnto. En st caso no s ncsara la ntroduccón d un modo d dormacón axal para modlzar l nómno d rgdzacón gométrca. S ctúa asmsmo, una cuarta smulacón d la manobra dscrta con un programa comrcal d lmntos ntos, COSMOS/M v.9, u tn como objtvo la comparacón d los surzos. El método d lmntos ntos s una técnca d calculo compltamnt dstnta d la mtodología DSMF, por lo u s pud usar para comparar rsultados; admás, s muy accsbl y amplamnt mplada para l análss d tnsons y dormacons d sstmas structurals; asmsmo, los programas d lmntos ntos n régmn dnámco no lnal contmplan automátcamnt todos los ctos no lnals, ncludos los rlatvos a una no lnaldad gométrca, por lo u los rsultados d sta cuarta y últma smulacón s usan como rrnca. A contnuacón s dscrbn los modlos. El modlo #. En la artculacón d la barra s stúa la bas ormada por l punto p y los vctors v y v. En l xtrmo d la barra s dn l punto p. El dsplazamnto local untaro n la drccón axal dl punto p da lugar al modo d dormacón státca axal Φ. El dsplazamnto untaro d dcho punto n drccón prpndcular al lmnto da 3

14 Ruth Gutérrz, Urbano ugrís, Javr Cuadrado y us E. Romra lugar al modo d dormacón státca a lxón Φ. Admás, para rprsntar con más xacttud la conguracón dormada d la barra, s añadn los modos d dormacón dnámcos Ψ y Ψ, u son los modos naturals d vbracón a lxón d la barra con las rontras jas, s dcr, los corrspondnts a una vga mpotrado-artculada. El modo axal snodal, Ψ 3, no ntrvn n st modlo. v ψ 3 Φ v ψ Φ p v p p v ψ p Fgura 6. Modlzacón d una vga artculada lxbl: a) modos axals d dormacón; b) modos transvrsals d dormacón. a orma d las uncons Φ, Φ, Ψ y Ψ s conocda [8] y s rprsntan n la Fgura 6. Su xprsón matmátca s la sgunt: x Φ = x 3 3 x x Φ = x x x x ψ β β α β β x x x x ψ = sn β Sh β + α Ch β cos β ( β ) Sh( β ) ( β ) Ch( β ) sn = sn Sh + Ch cos β = α = cos ( β ) Sh( β ) ( β ) Ch( β ) sn β = α = cos En st modlo s ha ncludo un únco modo lnal d dormacón axal u s l modo más sncllo u prmt caractrzar l movmnto dl sstma propusto n st jmplo. a slccón d los modos d vbracón d lxón s dbda a u l sstma consdrado, bajo la carga dscrta, s sucntmnt sblto como para tnr un comportamnto d vga plana d Eulr-Brnoull, pudndo dsprcars la nrgía d dormacón por cortant. Así, l vctor d varabls dl problma uda: T [ θ v v v v η η ξ ξ p p ] = (4) x y x y dond η, η, ξ y ξ son las ampltuds d los modos státcos y dnámcos, rspctvamnt. Por tanto, l númro total d varabls s, d las u sólo 5 son ndpndnts. x y (4) 4

15 Ruth Gutérrz, Urbano ugrís, Javr Cuadrado y us E. Romra En cada nstant d tmpo, la dormacón dl sstma uda dtrmnada por l producto d los modos d dormacón dscrtos multplcados por las ampltuds corrspondnts. a nrgía d dormacón xprsada n uncón d las ampltuds d los modos d dormacón uda: V = EA Φ dx + EI Φ + Ψ + Ψ dx + EAΦ Φ + Ψ + Ψ dx ' " " " ' ' ' ' ( η) ( η ξ ξ) η( η ξ ξ) (4) Así, la nrgía d dormacón dl sstma pud sr xprsada n orma matrcal como, V T T T = + G = (43) sndo l vctor u contn las coordnadas lástcas (ampltuds modals) y la matrz d rgdz condnsada a los modos, u stá ormada por dos térmnos: la matrz d rgdz constant y la matrz d rgdz gométrca, u s lnal con rspcto a la coordnada lástca η. S los modos d dormacón s ntroducn mdant las uncons tórcas conocdas mostradas n la xprsón (4), los térmnos d stas matrcs, y G, y por tanto, la matrz d rgdz condnsada a los modos,, s pud obtnr n una as d prprocso. El modlo # uda rljado n la Fgura 6; mjora l campo d dsplazamntos axals, u o, dl modlo #, ntroducndo, adconalmnt, un modo dnámco d dormacón snodal, u s rprsnta n drccón prpndcular a la vga n dcha gura junto con l modo axal lnal. El campo d dsplazamntos v o, s l msmo n ambos modlos, y por tanto, no s rprsnta. πx ψ 3 = sn (44) En l modlo #3 no s ntroduc nngún campo d dsplazamntos axals. S mplan trs modos d dormacón transvrsal, uno státco, Φ, y dos dnámcos, Ψ y Ψ. Estas uncons son las msmas u las mnconadas para l modlo #. Para la cuarta smulacón, con l método d lmntos ntos, s mpla l modlo EF, consstnt n una malla d dz lmntos vga bdmnsonal (BEAMD), d gual longtud, con trs grados d lbrtad por nudo: los dos dsplazamntos n l plano y l gro prpndcular al msmo. as condcons d contorno consstn n mponr traslacons nulas n l prmr nudo, u s jo. El programa prmt asocar l grado d lbrtad gro dl prmr nudo dl prmr lmnto, a una curva tmporal, dnda por la xprsón (39); sto prmt guar cnmátcamnt la vga. S ralza un análss dnámco no lnal con control n urzas, mplando l códgo comrcal COSMOS/M.9. as cuacons dnámcas d ulbro s ntgran utlzando l método d Nwmark, con parámtros δ=.5 y α=.565, para ntroducr un lgro amortguamnto numérco u rduc part d la nstabldad d la solucón. Como procdmnto tratvo s mpla l método d Nwton-Raphson, calculando la matrz d 5

16 Ruth Gutérrz, Urbano ugrís, Javr Cuadrado y us E. Romra rgdz dl sstma n cada tracón, dntro d cada paso. os rsultados d la smulacón ctuada con l modlo # s comparan con los obtndos n [3], para constatar la xtnsón snclla y cnt d la mtodología DSMF al tratamnto dl nómno d la rgdzacón gométrca, ncluyndo la matrz d rgdz gométrca. En la Fgura 7 s prsntan los dsplazamntos dl xtrmo d la vga, v o, para los trs modlos.,e-,e+ Dsplazamntos (m) -,E- -,E- -3,E- -4,E- -5,E- Modlo # Modlo # Modlo #3-6,E- 5 5 Tmpo (s) Fgura 7. Dsplazamnto lástco v o dl xtrmo d la vga. En la Fgura 8 s pudn obsrvar trs grácas d los surzos axals surdos por la vga n los puntos A, B, y C, u son l punto d unón con la artculacón, l punto mdo d la barra y xtrmo lbr rspctvamnt. En cada una d las grácas s xponn los rsultados d los modlos dscrtos, n las cuatro smulacons d 5 sgundos d duracón. S obsrva u los máxmos s producn n l punto A. El modlo #, produc un surzo constant n toda la vga, por lo u s v la msma uncón n las trs grácas. Obsrvando su varacón a lo largo dl tmpo n cualura d las trs grácas, s pud vr claramnt l nómno d rgdzacón dnámca, n l sntdo d cómo los surzos axals s van ncrmntando a mdda u la vga va grando más rápdo, stablzándos cuando s alcanza la vlocdad d unconamnto d 6 rad/s. El modlo # mjora los rsultados dl modlo #. En la Fgura 8 s pud obsrvar la varacón longtudnal dl surzo axal n los puntos A, B y C; los rsultados s acrcan más a los producdos por la smulacón d lmntos ntos. El modlo #3 no produc surzos axals, poru no s ntroducn modos d dormacón axal. Todos los modlos dbran dar surzo axal nulo n l punto C. No ocurr sto n l modlo # poru l surzo u produc s constant n toda la vga, ncludo l 6

17 Ruth Gutérrz, Urbano ugrís, Javr Cuadrado y us E. Romra xtrmo lbr; El modlo # da un valor mucho más crcano al valor tórco nulo, poru ntroduc una aproxmacón mjor d los dsplazamntos axals. El modlo d lmntos ntos, modlo EF, tampoco produc surzo axal nulo por consdrar masas concntradas n nudos. En l últmo lmnto las urzas d nrca axals provocan un surzo axal. Esurzo axal n pto A (N) Tmpo (s) Modlo # Modlo # Modlo EF Esurzo axal n pto B (N) Tmpo (s) Modlo # Modlo # Modlo EF Esurzo axal n pto C (N) Tmpo (s) Modlo # Modlo # Modlo EF Fgura 8. Esurzos axals n los puntos A, B y C d la vga. 7

18 Ruth Gutérrz, Urbano ugrís, Javr Cuadrado y us E. Romra Momnto lctor n pto A (Nm) Tmpo (s) Modlo # Modlo # Modlo #3 Modlo EF Momnto lctor n pto B (Nm) Tmpo (s) Modlo # Modlo # Modlo #3 Modlo EF Momnto lctor n pto C (Nm) Tmpo (s) Modlo # Modlo # Modlo #3 Modlo EF Fgura 9. Momntos lctors n los puntos A, B y C d la vga. os rsultados d momnto lctor s mustran n la Fgura 9. as trs grácas corrspondn a los puntos A, B y C d la vga. En cada gráca s mustran los lctors d los cuatro modlos dscrtos. os máxmos s producn n A. En st caso, los lctors prdchos por todos los modlos s anulan n C. El tmpo d CPU mplado por cada uno d los modlos s mustra n la sgunt tabla. 8

19 Ruth Gutérrz, Urbano ugrís, Javr Cuadrado y us E. Romra Modlo Tmpo CPU (s) Modlo #.3 Modlo #.96 Modlo #3.3 Modlo EF 357. Tabla. Tmpos d CPU mplados n las smulacons. 5. CONCUSIONES - os trs modlos mplados prmtn la modlzacón dl nómno d rgdzacón gométrca. En st trabajo s ha analzado la prcsón d los surzos u s pudn obtnr con cada uno d llos y la cnca d las smulacons ctuadas. - El modlo # prmt l cálculo d dagramas d momntos lctors dl sstma n cada paso d tmpo. En la caractrzacón dl nómno d rgdzacón gométrca, l térmno d acoplamnto ntr los dsplazamntos n drccón axal y transvrsal s dcsvo. Así, l modlo # mjora la prcsón d los momntos lctors al compltar l campo d dsplazamntos axals. Dcho modlo tambén prmt mayor prcsón n l cálculo d los surzos axals, obtnndo una varacón a lo largo dl j longtudnal d la barra acord con los surzos axals u provocan las urzas d nrca cntrugas n la drccón axal por l gro d la barra rspcto d uno d sus xtrmos consdrado jo. - El modlo #3 no prmt l cálculo d surzos axals, ya u no ntroduc nngún campo axal d dormacón, pro prmt l cálculo d momntos lctors con una prcsón smlar a la dl modlo #. - Con rspcto a la cnca, los trs modlos nsayados son muy cnts, ctuando la smulacón d 5 sgundos d duracón n un tmpo por dbajo dl tmpo ral, sobr un ordnador prsonal convnconal, sndo l modlo #3 l más cnt. En st aspcto, la drnca con rspcto a los métodos globals s mportant, y crc con la compljdad dl sstma smulado, rprsntando una vntaja comparatva d cara a taras como l dsño d st tpo d sstmas, dond l stado tnsonal n condcons d unconamnto rsulta mportant. - Rsumndo, l modlo # s la orma más snclla d nclur l nómno d rgdzacón gométrca; da rsultados prcsos n un gran númro d casos, aunu no prmt la obtncón d surzos axals con prcsón. El modlo # ncluy un mayor númro d modos d dormacón, prmtndo una caractrzacón más prcsa dl nómno y mjorando xplíctamnt l campo d surzos axals rspcto dl antror. El modlo #3 s una orma mnos sstmátca d ntroducr dcho nómno, aunu tan prcsa como l modlo # y más cnt; sn mbargo, para obtnr surzos axals sría ncsaro ntroducr modcacons adconals pudn actar al tmpo d cálculo. 9

20 Ruth Gutérrz, Urbano ugrís, Javr Cuadrado y us E. Romra 6. AGRADECIMIENTOS Est trabajo ha sdo ralzado n l contxto dl proycto DPI3-5547C Fnancado por l MCYT y dl ncntvo al msmo PGIDIT4PXIC66PN aportado por la Scrtaría Gnral d I+D d la Xunta d Galca. REFERENCIAS [] Cuadrado J., Gutrrz R., Naya M.A. and Morr P., A comparson n trms o accuracy and cncy btwn a MBS dynamc ormulaton wth strss analyss and a non-lnar FEA cod, Int. J. Numr. Mth. Eng., 5(9), pp. 33-5, (). [] an T.R., Ryan R.R., and Banrj A.. Dynamcs o a cantlvr bam attachd to a movng bas. Journal o Gudanc and Control :39-5, 987. [3] Shar I. Gomtrcally non-lnar bam lmnt or dynamcs smulaton o multbody systms. Int. J. Numr. Mth. Eng., 39: , 996 [4] Mayo J., Domínguz J. and Shabana A.A. Gomtrcally non-lnar ormulatons o bams n lxbl multbody dynamcs. Journal o Vbratons and Acoustcs, 7:5-59, 995. [5] Mayo J. and Domínguz J. Gomtrcally non-lnar ormulatons o lxbl multbody systms n trms o bams lmnts: gomtrc stnss. Computrs and Structurs, 59:39-5, 996. [6] Mayo J.M., Garca-Valljo D. and Domnguz J. Study o th gomtrc stnng ct: Comparson o drnt ormulatons.multbody Syst. Dyn.(4):3-34, 4. [7] Avllo A., 995. Smulacón dnámca ntractva d mcansmos lxbls con puñas dormacons. Tss Doctoral, Unvrsdad d Navarra, España. [8] Rao S.S. Mchancal Vbratons. Thrd Edton. Addson-Wsly Publshng Company. Radng, Massachustts, 995.