1.2. Sistema de ecuaciones lineales. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es una expresión del tipo:

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1 CPÍTULO : SISTMS D CUCIONS. RPSO: SISTMS D DOS CUCIONS LINLS.. uió liel de dos iógits U euió liel o dos iógits, es u epresió de l for, dode e so ls iógits, so úeros reles, de los ules se les deoi oefiietes tério idepediete. todo pr de úeros (, ) que verifique l epresió terior se le deoi soluió de l euió. L represetió gráfi de tods ls soluioes de dih epresió será u ret. Y.. Siste de euioes lieles. U siste de dos euioes lieles o dos iógits es u epresió del tipo: Si represetos l gráfi de d euió, otedreos dos rets. l puto de orte de s rets, si eiste, será l úi soluió del siste. tividdes resuelts Resuelve gráfiete el siste Y Si represetos l gráfi de d euió, oteeos dos rets: Y Veos que se ort e el puto (, ), que es l soluió del siste:,, U siste de euioes que tiee u úi soluió se deoi Coptile Deterido. Resuelve gráfiete el siste este so oteeos dos rets que se superpoe: sto quiere deir que tod soluió de u euió es tié soluió de l otr. l siste, e este so, tiee ifiits soluioes, que so los ifiitos putos de l ret. U siste de euioes o ifiits soluioes se deoi Coptile Ideterido. Resuelve gráfiete el siste Y este so oteeos dos rets prlels: Ls rets NO se ort e igú puto, por tto el siste o tiee soluió. U siste de euioes que o tiee soluió se deoi Ioptile. Podeos forr el siguiete esque pr lsifir los sistes tediedo l úero de soluioes: Deterido SCD tiee u soluió Coptile Sistes Ideterido SCItiee ifiits soluioes Ioptile SIo tiee soluió tividdes propuests. li resuelve, udo se posile, los sistes siguietes: ) ) ) d) Y º de hillerto. Mteátis II. Cpítulo : Sistes de euioes utores: Letii Goále Psul Álvro Vldés Meéde Revisor: durdo Cuhillo

2 º de hillerto. Mteátis II. Cpítulo : Sistes de euioes utores: Letii Goále Psul Álvro Vldés Meéde LirosMreVerde.t Revisor: durdo Cuhillo.. presió triil de u siste de euioes lieles l urso psdo estudios tres fors de resolver sistes de euioes lieles: reduió, sustituió e igulió. Resolvos por reduió u siste geerl de l for Si ultiplios l prier euió por l segud por : Restos iero iero: Oservos que si el ftor es distito de ero, podeos despejr oo: Operdo del iso odo, podeos hllr : ijádoos ie e s epresioes, podeos reooer tto e el uerdor oo e el deoidor l for rterísti de u deterite, lo que os llev l siguiete roieto: Todo siste de l for se puede epresr edite el produto de tries: l prier ford por los oefiietes que se deoi tri soid del siste: l tri de los térios idepedietes: Si retoos ls epresioes oteids pr e veos que eesitos u terer tri: Coido e se otiee l tri plid: Co ells podeos deduir l soluió del siste origil: e tividdes propuests. srie e for triil euetr l tri plid de los sistes siguietes: ) ) ) d). Pr los sistes teriores, lul el deterite de l tri que hs oteido utili l epresió: e pr itetr resolverlos.. Pr los sistes teriores, li qué relió eiste etre el vlor del deterite de l tri l lsifiió oo Siste Coptile o Siste Ioptile que hiiste e l prier tividd propuest.. Pr los sistes teriores, deteri el o de l tri plid que hs oteido li qué relió eiste etre diho o, el de l tri l lsifiió oo Siste Coptile Deterido, Siste Coptile Ideterido o Siste Ioptile.. Deide uáles de los siguietes sistes puede resolverse o est etodologí triil:

3 º de hillerto. Mteátis II. Cpítulo : Sistes de euioes utores: Letii Goále Psul Álvro Vldés Meéde LirosMreVerde.t Revisor: durdo Cuhillo ) ) ) d). Dds ls siguietes tries,, deteri los sistes lieles soidos: ) ; ) ; ) ; d). srie e for triil euetr l tri plid de los sistes siguietes: ) ; ) ; ) ; d). Ro qué vlores dee teer el práetro pr que el siste se optile deterido, optile ideterido o ioptile: ) ) ) d). SISTMS GNRLS D CUCIONS LINLS.. Defiiió de siste de euioes lieles geerl se deoi siste de euioes lieles o iógits u ojuto de relioes de l for: dode,, so ls iógits, los úeros ij so los oefiietes de ls iógits los i so los térios idepedietes. l ojuto de úeros reles ordedos,,, será soluió del siste si stisfe tods ls euioes del iso. Idepedieteete del úero de iógits euioes, estos sistes puede lsifirse del iso odo que los de ( ): S.I. Ioptile S.C.I. Ideterido S.C.D. Deterido Coptile Sistes jeplos: l siste solo tiee u soluió: = = =, es optile deterido. l siste Tiee ifiits soluioes; prte de l terior: = = =, podeos eotrr =, =, =, o =, = /, = ½ uhs ás. s, por tto, optile ideterido. l siste No puede teer soluió, que l terer euió se otrdie o l prier (o puede verifirse siultáeete). s, por tto, u siste ioptile. L diferei fudetl estri e l iterpretió geoétri de los sistes. Si u euió liel e e es u ret e el plo, l uetr el úero de iógits l figur geoétri i, psdo ser u plo e el espio de tres diesioes: d : u hiperplo e diesioes superiores.

4 º de hillerto. Mteátis II. Cpítulo : Sistes de euioes utores: Letii Goále Psul Álvro Vldés Meéde LirosMreVerde.t Revisor: durdo Cuhillo.. Sistes hoogéeos U siste de euioes lieles se die que es HOMOGÉNO udo el tério idepediete de tods ls euioes es igul ero; es deir, i i : Todo siste hoogéeo es optile, pues tiee l eos u soluió, i = i. Se ll soluió trivil de u siste hoogéeo l tri olu: geerl, l soluió trivil o suele teer iterés. Si el siste es optile ideterido se suele trjr pr dejr l soluió e for prétri, es deir, hiedo que u (o ás) de ls iógits se oporte oo u práetro lire epresdo ls deás e fuió de ell. jeplo: l siste Tiee ifiits soluioes; prte de l trivil: = = =, podeos eotrr =, =, =, o =, =, = es, oo tes, ideterido. Pr epresrlo e for prétri elegios l iógit que se pued despejr ás fáilete, e este so. Sipleete sudo iero iero ls dos priers euioes: podeos despejr e fuió de : t t t ie o.. Sistes equivletes Dos sistes o el iso úero de iógits, uque o teg el iso úero de euioes, se die que so equivletes si tiee ls iss soluioes, es deir, tod soluió del priero es soluió del segudo, vievers. jeplo: Los sistes tiee os l is soluió: = = =. Pr psr de u siste otro equivlete, se puede usr ls siguietes Trsforioes de Guss: ) Cir el orde de ls euioes del siste. ) Multiplir los dos ieros de u euió por u iso úero distito de ero. ) Supriir u euió del siste que se oiió liel de ls deás. d) Sustituir u euió por l su de ell ás otr euió ultiplid por u úero rel ulquier. e) Sustituir u euió por u oiió liel de ell de ls resttes, siepre que el oefiiete de l euió sustituid, e l oiió liel, se distito de ero. st últi trsforió se ooe oo Teore udetl de equivlei de sistes. jeplo: Trsforeos el siste

5 º de hillerto. Mteátis II. Cpítulo : Sistes de euioes utores: Letii Goále Psul Álvro Vldés Meéde LirosMreVerde.t Revisor: durdo Cuhillo tividdes propuests. Deteri si los sistes siguietes so equivletes o o: ) ). Deteri el vlor de pr que los sistes siguietes se equivletes: ) ). RSOLUCIÓN D SISTMS.. Método de Guss o de eliiioes suesivs: ste étodo osiste e sustituir el siste ddo por otro equivlete, plido ls trsforioes de Guss, hst oseguir u siste eslodo. Siste eslodo: es quél e el que d euió tiee u iógit eos que l terior. Diho de otro odo, se trt de ir uldo oefiietes de ls iógits hst que se posile oirlos e u tri trigulr. sí, por ejeplo, si prtiedo del siste: llegos l siste: pr resolverlo o tedríos ás que ir sustituedo el vlor de l vrile oteid e u euió e l euió terior, sí suesivete. ste étodo o se liit l resoluió de sistes. Segú ls euioes que otegos, os perite ser si el siste tiee o o soluió uáts tiee. tividdes resuelts lieos el siste l últio siste, oo se ve, es eslodo. De l últi euió oteeos que =, sustituedo suesivete e l segud e l prier oteeos =, =. Se trt de u siste optile deterido (SCD). lieos el siste este so, después de relir ls trsforioes de Guss, result u siste o dos euioes tres iógits, u siste optile ideterido (SCI). Se trt de u siste uiprétrio, dode u de ls iógits he de práetro puede tor ulquier vlor. Ls otrs iógits torá vlores depediedo del vlor que le deos l práetro. Ls soluioes se preset de l for: (Tié podríos her oservdo que l terer euió es su de ls otrs dos) lieos el siste Coo se ve l últi euió es iposile, por tto el siste o tiee soluió, es u siste ioptile (SI). (Tié podríos her oservdo que los oefiietes de l terer euió so el dole de los de l segud, pero el tério idepediete o está duplido, lo que geer u surdo).

6 º de hillerto. Mteátis II. Cpítulo : Sistes de euioes utores: Letii Goále Psul Álvro Vldés Meéde LirosMreVerde.t Revisor: durdo Cuhillo Se h oteido e los tres sos tres sistes eslodos pero de distito tipo: el so, teeos tts euioes oo iógits, l últi euió tiee soluió. Se trt pues de u siste optile deterido (SCD), que tedrá u úi soluió. el segudo so, siste, teeos ás iógits que euioes. Se trt de u siste optile ideterido (SCI) tedrá ifiits soluioes. este so, ls soluioes viee dds e fuió de u solo práetro, uque puede her sistes o ás de u práetro. el terer so, siste C, l últi euió es iposile, por tto el siste o tiee soluió. Se trt de u siste ioptile (SI). Pr disutir el siste tedreos e uet l for de l últi euió trsford: l hor de despejr teeos tres situioes diferetes: ;, ; ; L prier es trivil o eree ás epliió, el siste puede resolverse. l segud veos que ulquier vlor de stisfe l euió. Por tto h ifiits soluioes el siste es ideterido. Veos que l últi es lrete iposile (igú vlor ultiplido por ero puede dr u resultdo diferete de ero) el siste es ioptile. Por tto, el álisis de l últi euió qued: SI ;, SCI ; SCD ; sto es preisete lo que vios e los tres ejeplos teriores que os d lugr los tres tipos de sistes. Pr el so e el que el úero de euioes o oiid o el úero de iógits podeos eotrr diferetes situioes:. l úero de iógits es eor que el de euioes. Se el siste geerl: o <. plireos el étodo de Guss ls euioes, itetdo oteer ( ) euioes de l for =, uque o siepre se oseguirá: toes: Si después de l euió, o, el resto so euioes de l for =, el siste es optile deterido. Si tes de l ési euió pree ls igulddes = ( ), el siste es optile ideterido. Si lgu iguldd es de l for, el siste es ioptile.. l úero de iógits es or que el de euioes. este so el siste u será optile deterido.

7 º de hillerto. Mteátis II. Cpítulo : Sistes de euioes utores: Letii Goále Psul Álvro Vldés Meéde LirosMreVerde.t Revisor: durdo Cuhillo priori, se trtrá de sistes optiles ideteridos, pero si lgu euió es otrditori o otr el siste será (oviete) ioptile. Si ests euioes ioheretes está u seprds e el siste, será difíiles de eotrr, lo que he que el Método de Guss o se l ejor opió. tividdes propuests. li resuelve edite el étodo de Guss los sistes siguietes: ) ) ) d) e) f) g) h) i) w w. PRSIÓN MTRICIL D UN SISTM D CUCIONS Ddo u siste de euioes lieles o iógits: podeos epresrlo oo produto de tries e l for, es deir: que se deoi epresió triil de u siste. reie el ore de tri de oefiietes o tri del siste: se deoi tri de los térios idepedietes: Y llos tri l tri olu ford por ls iógits prtir de ls tries defiios l tri plid: tividd resuelt Plte triilete el siste Sipleete esriios:

8 º de hillerto. Mteátis II. Cpítulo : Sistes de euioes utores: Letii Goále Psul Álvro Vldés Meéde LirosMreVerde.t Revisor: durdo Cuhillo Plte el siste us tries de oefiietes de sus térios idepedietes so: Coo so tries de diesioes ( ) ( ), l tri de iógits dee ser: Plteos l euió triil = : operos: ) ( ) ( e igulos los térios de ls tries pr oteer el siguiete siste: ) (.. Resoluió de sistes edite l tri ivers: L epresió triil de u siste de euioes lieles os ofree otro eiso de resoluió del siste prtir de l tri ivers de l tri de los oefiietes. Si l tri tiee tri ivers, es deir, si se uple que: : el siste tiee que teer tts euioes oo iógits, es deir, l tri de los oefiietes dee ser udrd. : el deterite de l tri de los oefiietes dee ser distito de ero, pr que l tri teg ivers. Podeos esriir: I tividd resuelt Resuelve edite l tri ivers el siste Soluió: sriios el siste e for triil: Cluldo el deterite de veos que vle =, por tto podeos hllr l ivers: Y ultiplios por : por l iquierd:.. Teore de Rouhè-röeius: Cosidereos u siste de euioes lieles o iógits: Pr el que ls tries de oefiietes plid so, respetivete: l teore de Rouhè-röeius die: "L odiió eesri sufiiete pr que u siste de euioes iógits se optile (teg soluió) es que el o de l tri de los oefiietes se igul l o de l tri plid". Si estudios los os de ls tries os podeos eotrr o ls siguietes situioes:

9 º de hillerto. Mteátis II. Cpítulo : Sistes de euioes utores: Letii Goále Psul Álvro Vldés Meéde LirosMreVerde.t Revisor: durdo Cuhillo Ioptile Sist. SCI SCD Coptile Sist. pliió Sistes Hoogéeos: U siste hoogéeo tedrá siepre soluió, que el o de será siepre igul l o de, pues l últi olu de l tri plid so eros. L soluió será úi (l trivil) si el o de es igul l úero de iógits. Y tedrá ifiits soluioes si el o de es eor que el úero de iógits. U siste hoogéeo es siepre COMPTIL. U siste hoogéeo tedrá sólo l soluió trivil si el deterite de l tri de los oefiietes es distito de ero... Método de Guss epresió triil Utilido ls tries soid plid podeos siplifir el étodo de Guss visto tes. jeplo: este siste l últi euió, que orrespode l últi fil de l tri, es. Por tto el siste tiee soluió úi: Curiosidd: uque este étodo se deoi de Guss, h evideis de que se ooí e l tigu Chi e el siglo III tes de Cristo (desde dode llegó iloi, Grei, Idi, ) fue Is Newto el priero e desrrollrlo e su for oder. Pese que o quiso pulirlo, durte el siglo VIII uhos liros de teátis lo deoi Método de Newto. Otros teátios oo Leohrd uler o lo reoed o ie, oo ourrí o Heri Leesgue, lo teí oo ordirio. Pr el propio Guss, sipleete er u étodo u ooido lo utilió pr resolver vrios proles pero, preisete por ser t ooido, si dr uhos detlles de herlo usdo. l ore tul le lleg después de l Segud Guerr Mudil, si que esté u lro el otivo, udo est eprejdo l uso de tries. l étodo de Guss tié os perite disutir los sistes e fuió de los distitos vlores que toe u práetro deterido que, oo vios, es u étodo pr deterir os. jeplo: De l últi euió ) ( deduios los vlores del práetro que os puede her que el siste teg o o soluió, e el so de que teg soluió de que se o o u úi soluió. Coo vios e l seió., tedreos que deterir los vlores de que he ulo l últio oefiiete si esos vlores oiide o o o el vlor que ul el tério idepediete... álisis de u siste por el étodo de Guss lieos de for geéri u siste e for triil. Coetáos tes que estos itetdo overtir el siste: e el siste equivlete: for triil se trt de overtir l tri plid e:

10 º de hillerto. Mteátis II. Cpítulo : Sistes de euioes utores: Letii Goále Psul Álvro Vldés Meéde LirosMreVerde.t Revisor: durdo Cuhillo o, si h ás iógits que euioes, e: tes eplios que est situió o ás iógits que euioes er el puto flo del étodo, sí que vos etrros e el so. Pr disutir el siste lios l últi euió. este so, lios l últi fil, llegos dos situioes diferetes: Cso : o Oservos que los os de ls tries so igules, e igules l úero de euioes todo depederá del úero de iógits. Cso : Oservos que los os de ls tries o oiide. Reupereos el ejeplo terior: jeplo: lios el últio tério, que orrespode l euió ) (, deduios los vlores del práetro que os puede dr u soluió válid. Coo vios, todo depede de uádo ese oefiiete es ulo, por tto: Co lo que deduios: Si el siste es optile deterido (SCD), que el oefiiete de es distito de ero, podeos despejr: (podeos siplifir porque ) de dode, irdo l segud euió trsford:, filete, llegdo l prier: s deir: l orí de los ejeriios proles que resolvereos o será eesrio hllr ls epresioes de, e fuió de los práetros. Hitulete os plterá el prole de disutir e fuió del práetro resolver pr vlor (o vlores) oreto/s del iso. Si, l últi euió es de l for = (e este so tié l segud euió) por lo que el siste tiee ifiits soluioes. este so se trt de u siste iprétrio, dos de ls iógits he de práetros l terer to vlores e fuió de ells (es u Siste Coptile Ideterido): u t u t R R Si, l últi euió qued =, situió que es iposile el siste o tiee soluió (es u Siste Ioptile).

11 º de hillerto. Mteátis II. Cpítulo : Sistes de euioes utores: Letii Goále Psul Álvro Vldés Meéde LirosMreVerde.t Revisor: durdo Cuhillo.. Regl de Crer: Se die que u siste de euioes lieles es u siste de Crer si el úero de euioes es igul l úero de iógits deás el deterite fordo por los oefiietes de ls iógits es distito de ero. jeplos: NO es siste de Crer SÍ es siste de Crer. L Regl de Crer die que: "u siste de euioes o iógits, e el ul el deterite de l tri de los oefiietes es distito de ero, dite u soluió sólo u, es deir, es u siste optile deterido". Vos ver oo se lul est soluió por el étodo de Crer: Cosidereos u siste de euioes iógits: L epresió triil del siste es: l ser u siste de Crer, el deterite de l tri de los oefiietes es distito de ero por tto dite ivers. Multiplido los dos ieros de l euió por l ivers de, teeos: I s deir: Operdo ls tries e iguldo los térios orrespodietes teeos: hst llegr l últi iógit: Oservos que los uerdores de ests frioes so los desrrollos de deterites por los eleetos de u líe, o lo ul teeos:. d u de ls frioes el deterite del uerdor es el deterite de l tri de los oefiietes de ls iógits ido, e d so, l olu orrespodiete l iógit i por los térios idepedietes. l deoidor e todos los sos es el deterite de l tri de los oefiietes. Podeos siplifir ess epresioes si represetos por,,, los deterites de los uerdores: L soluió de u siste de Crer puede lulrse oo: i i Siedo i el deterite que result de sustituir l olu de l iógit i ési por l tri de térios idepedietes:

12 º de hillerto. Mteátis II. Cpítulo : Sistes de euioes utores: Letii Goále Psul Álvro Vldés Meéde LirosMreVerde.t Revisor: durdo Cuhillo i st oeltur geéri qued ás lr udo teeos los sistes o ls iógits hitules (,,, ): este so, ls soluioes qued sí:,, siedo:,, osioes se represet por l deterite del siste, que seos que o puede ser ulo: tividdes resuelts pres e for triil los siguietes sistes oprue que so sistes de Crer. ) ) Resuélvelos utilido plido l regl de Crer. ) sriios el siste e for triil: De dode, l tri de los oefiietes l tri plid qued: Veos si es u siste de Crer: es u siste de Crer Lo resolveos plido l regl de Crer: L soluió es: ; () sriios el siste e for triil: Veos si es u siste de Crer: s u siste de

13 Crer. plios l regl de Crer:, º de hillerto. Mteátis II. Cpítulo : Sistes de euioes utores: Letii Goále Psul Álvro Vldés Meéde LirosMreVerde.t Revisor: durdo Cuhillo ilete:,, s deir, l soluió del siste qued:,,. Plteieto de proles este te es fudetl ser plter u prole prtir de u euido de teto. L lve pr ello es ser LR TRDUCIR deudete tod l iforió que se d e u prole, SCRIINDO orretete lo que estos leedo. Nu se esrie desido u u prole está desido eplido l hor de itetr resolverlo. jeplo: U deterid epres he u prue de seleió que osiste e u test de preguts. Por d ierto d putos, por d fllo quit, putos por d pregut o otestd quit, putos. Pr pror h que oteer por lo eos putos. Cuáts preguts h que otestr orretete pr oteer los putos que el úero de iertos ás el de preguts o otestds se igul l dole del úero de fllos? peos defiiedo ( lo esriios lrete): = º de preguts otestds orretete = º de preguts otestds erróeete = º de preguts o otestds otiuió, vos troedo el prole: l test ost de preguts, por tto deduios que: Por d ierto d putos, por d fllo quit, putos por d pregut o otestd quit, putos:,, Pr que el úero de iertos ás el de preguts o otestds se igul l dole del úero de fllos: Plteos el siste:,,, desde este oeto, sólo teeos que plir lo predido e el te: Plteos l tri de los oefiietes l tri plid. Coproos si es u siste de Crer (que el deterite del siste o se ulo) Resolveos o el étodo de Crer. tividd propuest. Resuelve el siste terior oprue que el spirte deerá otestr preguts orretete, erróeete dejr preguts si otestr pr lr los putos. JRCICIOS Y PROLMS. Resuelve los siguietes sistes plido el étodo de eliiió o de Guss: ) ) ). Ddos los sistes: ) ) ) préslos e for triil oprue que so sistes de Crer. ) Resuélvelos utilido l tri ivers plido l regl de Crer., d) )

14 º de hillerto. Mteátis II. Cpítulo : Sistes de euioes utores: Letii Goále Psul Álvro Vldés Meéde LirosMreVerde.t Revisor: durdo Cuhillo. Disute resuelve, udo se posile, los siguietes sistes: ) ) ). Resuelve los siguietes sistes plido, si es posile, l Regl de Crer: ) ) ) d). Disute resuelve los sistes e los sos que se posile: ) ). Ddo el siste ) studi su optiilidd segú los vlores de. ) Resuélvelo pr el so =.. Dds ls euioes: se pide: ) ñde u euió pr que el siste resulte ser ioptile. ) ñde u euió pr que el siste resulte ser optile deterido.. Ddo el siste de euioes se pide: ) Disute resuelve, udo se posile. ) ñde u euió liel pr que el siste resultte teg: i) u soluió ii) uhs soluioes iii) o teg soluió. Disute resuelve udo se posile los siguietes sistes hoogéeos: ) ) ). Se ls tries,, C, D, ) Clul d uo de los tres produtos, D, D. ) Si D C plte u siste de euioes iógits (represetds por, ) e fuió de. Pr qué vlores de el siste tiee soluió? s siepre úi?. Se ls tries,, C, D, ) Siedo que D C, plte u siste de euioes iógits (represetds por,, ) e fuió de. ) Pr lgú vlor de el siste tiee soluió úi? ) Pr = euetr u soluió del siste o. l jero utoátio de u deterid etidd ri sólo dite illetes de, de. Los vieres deposit e el jero illetes por u iporte totl de. verigu el úero de illetes de d vlor depositdo, siedo que l su del úero de illetes de de euros es el dole que el úero de illetes de euros.

15 . Se dispoe de tres illeters, C o illetes de, euros respetivete. Si psos illetes de, el úero de illetes e ést es igul l su de los otros dos, pero si psos illetes de C, el úero de illetes e ést tié es igul l su de los otros dos. verigu uátos illetes h e d illeter si se se que e totl h euros.. L su de ls tres ifrs de u úero es. L ifr de ls uiddes es igul l su de ls dees ás ls etes. Si se ivierte el orde de ls ifrs el úero uet e uiddes. De qué úero se trt?. U ee de Mteátis II v osistir e u test de preguts. Por d ierto se drá putos, por d fllo se quitrá putos por d pregut o otestd se quitrá puto. Pr pror h que oteer por lo eos putos. Cuáts preguts hrá que otestr orretete pr oteer los putos que el úero de fllos ás el quítuple del úero de preguts o otestds se igul l úero de iertos?. el erdo podeos eotrr tres lietos preprdos pr gtos que se fri poiedo, por ilo, ls siguietes tiddes de re, pesdo verdur: lieto Migto: g de re, g de pesdo g de verdur lieto Ctoel: g de re, g de pesdo g de verdur lieto Coet: g de re, g de pesdo g de verdur Si quereos ofreer uestro gto g de re, g de pesdo g de verdur por ilo de lieto, qué poretje de d uo de los opuestos teriores heos de elr pr oteer l proporió desed?. Clul ls eddes de u fili (pdre, dre e hij), siedo que etre los tres su ños, que he utro ños l edd del pdre er siete vees l edd de l hij que detro de quie ños l edd de l hij será l urt prte de l su de ls eddes del pdre de l dre.. U perso ivirtió reprtidos e tres epress otuvo de eefiios. Clulr l iversió relid e d epres siedo que e l epres hio el triple de iversió que e l C juts, que los eefiios de ls epress fuero del % e l epres, el % e l epres el % e l epres C.. Se tiee tres tipos de fé: el de l lse, que uest /g, el de lse, que uest /g el de l lse C que uest /g. Se dese her u el pr veder g de fé /g. Cuátos g de d lse se dee poer si del prier tipo dee etrr el dole del segudo ás el terero?. Clul ls eddes tules de u dre sus dos hijos, siedo que he ños l edd de l dre er vees l su de ls eddes de los hijos e quel oeto, que detro de ños l edd de l dre será l su de ls eddes que los hijos tedrá e ese oeto que udo el hijo or teg l edd tul de l dre, el hijo eor tedrá ños.. u fri se oerili tipos de hpú de iert r: orl, o vitis tisp. Se se que el preio l que se vede el orl es de euros el de vitis es de euros. Se desooe el preio l que se vede el tisp. Por otro ldo, el diero totl oteido por ls vets de los tipos de hpú el es psdo fue de euros el diero oteido e vets o el hpú orl fue euros iferior l diero totl oteido e vets o el resto. deás, el diero totl oteido e vets o el hpú de vitis el tisp fue el iso que el que huier oteido vediedo uiddes del tisp igu de los deás. ) Plte u siste de euioes (e fuió del preio desooido del hpú tisp, que puedes llr por ejeplo ) dode ls iógits (,, ) se ls uiddes vedids el es psdo de d tipo de hpú. ) Qué puedes oluir sore el preio del hpú tisp prtir de u estudio de l optiilidd del siste? ) Si se se que el úero de uiddes vedids del tisp fue, utili el resultdo del prtdo () pr lulr ls uiddes vedids de los otros.. el treto que h etre su s el trjo, u idividuo puede repostr gsoli e tres estioes de serviio (, C). l idividuo reuerd que este es el preio de l gsoli e h sido de, euros/litro el preio de l gsoli e de, euros/litro, pero h olviddo el preio e C. (Supogos que so euros/litro). Tié reuerd que: l su del gsto e litros de gsoli e ls estioes superó e, l gsto e C. el úero de litros de gsoli osuidos e fue el iso que e C. el gsto de litros e superó l de e, euros. ) Plte u siste de euioes (e fuió de ) pr deterir los litros osuidos e d gsolier. ) studir l optiilidd del siste e fuió de. Puedes dr lgú preio l que se iposile her vedido l gsoli e l gsolier C?. u feterí los ouptes de u es oro por fés, tostd refresos, ietrs que los de otr es pgro por fés, tostds refresos. ) Cuáto tiee que pgr los lietes de u terer es si h osuido fés tostds? ) Co los dtos que se d, se puede lulr uáto vle u fé? Justifi ls respuests. º de hillerto. Mteátis II. Cpítulo : Sistes de euioes utores: Letii Goále Psul Álvro Vldés Meéde LirosMreVerde.t Revisor: durdo Cuhillo

16 º de hillerto. Mteátis II. Cpítulo : Sistes de euioes utores: Letii Goále Psul Álvro Vldés Meéde LirosMreVerde.t Revisor: durdo Cuhillo RSUMN jeplos Siste de euioes lieles Se deoi siste de euioes lieles o iógits l ojuto de relioes: Siste hoogéeo U siste de euioes lieles se die que es hoogéeo udo el tério idepediete de tods ls euioes es igul ero. Sistes equivletes Dos sistes o el iso úero de iógits, uque o teg el iso úero de euioes, se die que so equivletes si tiee ls iss soluioes, es deir, tod soluió del priero es soluió del segudo, vievers. Verifi = ; = presió triil de u siste Todo siste puede epresrse oo produto de tries e l for : ; Resoluió por ivers Teore de Rouhè- röeius l teore de Rouhè-röeius die: "L odiió eesri sufiiete pr que u siste de euioes iógits se optile (teg soluió) es que el o de l tri de los oefiietes se igul l o de l tri plid". Regl de Crer L soluió de u siste puede lulrse oo: Siedo i el deterite que result de sustituir l olu de l iógit i ési por l tri de térios idepedietes. UTOVLUCIÓN Ddo el siguiete siste de euioes: Su tri de oefiietes es: ) ) ) d).- Su tri plid es: ) ) ) d) I S.I. SCI SCD Si i i,

17 .- Si plios el étodo de Guss l uev tri plid oteid es: ) ) ) d).- l siste es: ) optile deterido ) optile ideterido ) ioptile d) tiee tres soluioes Ddo el siguiete siste de euioes.- Su for triil es: ) ) ).- l ñdir l euió idid el siste es optile deterido ) ) ) d).- l ñdir l euió idid el siste es optile ideterido ) ) ) d).- l ñdir l euió idid el siste es ioptile ) ) ) d).- Idi l firió que es orret: ) Los sistes hoogéeos tiee siepre ifiits soluioes. ) Dos sistes so equivletes si oiide lgu de sus soluioes. ) U siste es optile si sólo si el o de l tri de los oefiietes oiide o el o de l tri plid. d) Todos los sistes se puede resolver por el étodo de Crer. pédie: Proles de tries e ls P...U. () Ddo el siguiete siste de euioes: - ) Oté su tri de oefiietes. ) Clul el deterite - ; de l tri terior. ) Si resolver el siste, ror si tedrá soluió úi. () el prier urso de u etro de l Uiversidd de Oviedo se h triuldo luos divididos e tres titulioes distits. l terer titulió h l terer prte de luos que e l prier, l diferei de luos que h etre l prier titulió l segud es iferior e dos luos l dole de los luos que h e l terer. ) stlee u siste de euioes o ls odiioes del prole, e fuió del úero de luos e d titulió, oteg el úero de luos que h e d titulió. ) Clul el deterite de l tri del siste. () u prtido de loesto feeio, el equipo de l Uiversidd de Oviedo gó l de otr uiversidd espñol o u rdor. l rdor oteido por el equipo gdor se osiguió edite sts de dos putos, triples (sts de tres putos) tiros lires (sts de u puto). l úero de tiros lires fue dos ás que io vees el úero de triples. deás, el úero de sts de dos putos fue dos ás que el úero de tiros lires. ) Plte el siste de euioes resultte de lo terior. ) srie l tri plid del siste oteido e ). C) Cuáts sts de d tipo etió el equipo de l Uiversidd de Oviedo? () Cd ió de h ddo u gi de euros d ió de NKO h ddo u gi de euros. U iversor hí oprdo ioes de os tipos, lo que le supuso u gi totl de euros, pero está rrepetido de su iversió, porque si huiese oprdo l itd de ioes de el dole de NKO, su gi totl hrí sido de euros. ) Plte u siste de euioes (e fuió de ) dode ls iógits e se el úero de ioes oprds de d tipo. sádote e u estudio de l optiilidd del siste, eiste lgú vlor de pr el que el siste teg ás de u soluió? ) Si l gi por d ió de NKO fue de euros, uáts ioes de NKO hí oprdo? º de hillerto. Mteátis II. Cpítulo : Sistes de euioes utores: Letii Goále Psul Álvro Vldés Meéde LirosMreVerde.t Revisor: durdo Cuhillo

18 () U tied vede olss de relos euros d u olss de goiols euros d u. L reudió de u deterido dí por estos dos oeptos h sedido euros se se que el úero de olss de relos que h vedido ese dí es vees el úero de olss de goiols. ) Plte u siste de euioes (e fuió de ) dode ls iógits e se el úero de olss de d tipo que se h vedido ese dí. sádote e u estudio de optiilidd del siste terior, es posile que se h vedido el dole de olss de relos que de goiols? ) Supoiedo que se h vedido el triple de olss de relos que de goiols, uáts olss de goiols se h vedido? () U tre reli u vije direto etre dos pitles. l vije lo reli por dos tipos de vís, por l prier irul siepre K/h por l segud irul siepre K/h. l reorrido totl del vije es de K l durió del iso es de hors. ) Plte u siste de euioes (e fuió de ) dode ls iógits e se el úero de hors que irul por d tipo de ví. sádote e u estudio de l optiilidd del siste terior, es posile que l veloidd l que irul por el segudo tipo de ví se tié de K/h? ) Supoiedo que l veloidd l que irul por el segudo tipo de ví es K/h, uáto tiepo h estdo iruldo por el prier tipo de ví? () U dei de idios d lses de espñol u totl de luos, etre los de ivel ásio los de ivel vdo, o los que reud euros. Los luos de ivel ásio pg euros l es, ietrs que los de ivel vdo pg el dole. ) Plte u siste de euioes (e fuió de ) dode ls iógits e se el úero de luos de d tipo e ls lses de espñol de l dei. sádote e u estudio de optiilidd del siste terior, es posile que los luos de ivel ásio pgue euros l es? ) Si los luos de ivel ásio pg euros l es, uátos luos de ivel vdo h? () Ju Luis so dos igos que e totl tiee hijos. U terer igo, Jvier, tiee hijos ás que Ju vees los de Luis. ) Plte u siste de euioes (e fuió de ) dode ls iógits e se el úero de hijos de Ju Luis. Pr qué vlores de el siste terior tiee soluió? so de eistir soluió, es siepre úi? ) Si Jvier tiee el dole de hijos que Luis, uátos hijos tiee Luis? () U grupo de persos se reúe pr ir de eursió, jutádose u totl de etre hores, ujeres iños. Cotdo hores ujeres jutos, su úero result ser el triple del úero de iños. deás, si huier udido u ujer ás, su úero igulrí l de hores. ) Plter u siste pr verigur uátos hores, ujeres iños h ido de eursió. ) Resolver el prole. () Cosidere el siste ) studie su optiilidd segú los distitos vlores del úero rel. ; ) Resuélvlo, si es posile, e el so. () Ddo el siste ) studie su optiilidd segú los vlores de. ) Resuélvlo udo. () L tri plid soid ierto siste de euioes lieles es: ) Oteer ls euioes del siste. ) Clulr el o de l tri ford por los oefiietes del siste. ) Si resolver el siste, deduir rodete si dite soluioes e qué úero. () L tri de los oefiietes de u siste es º de hillerto. Mteátis II. Cpítulo : Sistes de euioes utores: Letii Goále Psul Álvro Vldés Meéde LirosMreVerde.t Revisor: durdo Cuhillo l de térios idepedietes

19 º de hillerto. Mteátis II. Cpítulo : Sistes de euioes utores: Letii Goále Psul Álvro Vldés Meéde LirosMreVerde.t Revisor: durdo Cuhillo ) Pr qué vlor o vlores de el siste o tiee soluió? ) Pr ierto vlor de u idividuo eotró soluioes del siste. Cuáto vlí? Teí ás soluioes el siste? ) uetr u vlor de pr el que el siste teg soluió úi, pr diho vlor, resuélvelo. () Se ls tries,, D C dode,, so desooidos. ) Clulr ls tries () + C D ) Siedo que D C, plter u siste de euioes pr eotrr los vlores de,,. ) studir l optiilidd del siste Cuáts soluioes tiee? d) otrr, si es posile, u soluió. () Se ls tries C dode es desooido. ) Se el siste de euioes o tres iógits u tri de oefiietes es de térios idepedietes. Puede pr lgú vlor de o teer soluió este siste? Pr qué vlores de el siste tiee soluió úi? ) Si l tri de oefiietes es pero l de térios idepedietes es C, es posile que pr lgú vlor de el siste o teg soluió? uetr u vlor de pr el que el siste teg ás de u soluió lul dos de ells. () Se ls tries,, C, D, ) Clul d uo de los tres produtos, D,. ) Si D C plte u siste de euioes iógits (represetds por, ) e fuió de. Pr qué vlores de el siste tiee soluió? s siepre úi? () Se ls tries,, C, D ) Si D C, plte u siste de euioes iógits (represetds por, ) e fuió de. ) Pr qué vlores de el siste tiee soluió? s siepre úi? uetr u soluió pr = o () Se ls tries C D ) Siedo que = C D, plte u siste de euioes iógits (represetds por,, ) dode es ierto vlor desooido. ) Si se supier que el siste tiee soluió, podríos desrtr lgú vlor de? ) Si se supier que el siste tiee soluió úi, podríos desrtr lgú vlor de? d) H lgú vlor de pr el que el siste teg ás de u soluió? () Se ls tries,, C, D, ) Siedo que D C, plte u siste de euioes iógits (represetds por,, ) e fuió de. ) Pr lgú vlor de el siste tiee soluió úi? ) Pr = euetr u soluió del siste o () Hll tods ls soluioes de u siste liel de tres euioes o tres iógits del que se ooe que ) (,,,,,,, so soluioes el o de l tri de los oefiietes es or o igul que uo.