SECTOR CIRCULAR - NÚMERO DE VUELTAS

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1 TRIGNMETRÍ TEM SETR IRUR - NÚMER DE VUETS DESRR DE TEM I. IRUNFERENI Y ÍRU ircunferenci n: N. de vuelts: n = R r R : ongitud del recorrido R írculo Not: En el sector circulr, l medid del ángulo centrl siempre dee estr epresd en rdines; entonces, es importnte recordr: p rd <> 80 <> 00 g ongitud de l circunferenci: = pr Áre de círculo: = pr IV. ÁRE DE SETR IRUR II. NGITUD DE R Se l medid de un ángulo trigonométrico. R S rd R R rd R Fórmul ásic R S= R S= R S= V. ÁRE DE TRPEI IRUR = R 0 < T III. NÚMER DE VUETS QUE GIR UN RUED SIN RESR T = + N d P d r r = d R 0 < p SN MRS TRIGNMETRÍ TEM

2 SETR IRUR - NÚMER DE VUETS VI. PRPIEDDES I. rd = R = rd III. S: Áre S S 5S 7S R II. n = n IV. S: Áre R R S S PREMS RESUETS Prolem De l figur, el áre del sector circulr T es igul l áre del sector circulr M. Si =, clcule l medid del ángulo T. ) 0 ) 6 ) 9 D) 8 E) 0 UNMSM 0 II Se m]t = ; = = T Se = r = r T M M r 80 r r Dto: S T = S M (80 )r = ()(r ) Resolviendo = 6 Respuest: 6 Prolem D r De l figur D son sectores circulres, demás = el áre del sector circulr D es u. lcule el áre del trpecio circulr D. ) 7 ) ) 8 D) E) 0 PRE-UNMSM 0 II = = k = k = k Dto: S D = (k) Incógnit S D = (k) S D = 5u Prolem D k k = k = 5u (k) = 5k = 5() Respuest: 5u 5u F D E Del gráfico mostrdo D son sectores circulres. Indiue el perímetro del sector circulr D. ) 7 u ) 6 u ) 5 u D) 8 u E) u En el sector circulr F (5) = ()(5) = = rd En el sector circulr D E = ()(8) = 8 u En el sector circulr ED ED = N (8) = u P Grficndo el sector D Perímetro = PRE UNMSM 0 II D Respuest: 8 u TEM TRIGNMETRÍ SN MRS

3 TRIGNMETRÍ TEM RZNES TRIGNMÉTRIS DE ÁNGUS GUDS DESRR DE TEM I. NEPTS PREVIS Triángulo (Recto en ) c c (longitud de los ctetos) (longitud de l hipotenus) > > c m + m = 90 + c = (Teorem de Pitágors) II. DEFINIIÓN on respecto l m Sen = teto opuesto = Hipotenus os = teto dcente = c Hipotenus Tn = teto opuesto teto dcente = c ot = teto dcente teto opuesto = c Sec = Hipotenus teto dcente = c sc = Hipotenus teto opuesto = Se cumple:. Rzones Recíprocs Ejemplos: Sen0 = Sen. sc = os. Sec = Tn. ot = sc0 os50. Sec50 = Tn. ot = =. Rzones omplementris (o-rzones) De ls definiciones, en (II) se oserv: Sen = os Tn = ot m + m = 90 Sec = sc Ejemplos: Sen70 = os0 Sec(0 + ) = sc(60 ) os(90 ) = Sen Sec = sc(90 ) Tn ( + 0 ) = ot = 90 = 80 = 0 En Generl: R.T () = RT (90 ) III. PRPIEDDES DE S RZNES TRI- GNMÉTRIS Ddo un triángulo (recto en ) c. El vlor de un rzón trigonométric solo depende de l medid del ángulo de referenci Semos: Tn =.... m m Tn = = n n SN MRS TRIGNMETRÍ TEM

4 RZNES TRIGNMÉTRIS DE ÁNGUS GUDS IV. TNGENTE Y TNGENTE DE ÁN- GU MITD V. TRIÁNGUS RETÁNGUS NTES. Ectos Tn c = sc ot k 5 k 5 k Demostrción: ot = sc + ot / 0. proimdos k k 60 k D / Se prolong el ldo hst el punto "D" tl ue D =. Formmos un triángulo isósceles uniendo "D" "" Del triángulo D c 5 k 7 k 5 k N + c c ot = = + P N ot = sc + ot P 6 5 k k 7 7 k servción: Triángulos pitgóricos ms usdos. VI. T DE VRES NTES Sen / / / /5 /5 os / / / /5 / Tn / / / 60 5 ot / / / 9 Sec / 5/ 5/ 0 sc / 5/ 5/ TEM TRIGNMETRÍ SN MRS

5 RZNES TRIGNMÉTRIS DE ÁNGUS GUDS PREMS RESUETS Prolem Hlle el vlor de: P N + N Sen60 Sen0 N P Sen60 + Sen0 P ) 0 ) ) D) E) Plntemiento Semos: 60 k Procedimiento Se: P = P = P N + P N + k k 0 UNMSM 0 I N N Sen60 Sen0 P Sen60 + Sen0 P N P + P = ( + ) ( P = P = Prolem Respuest: En el triángulo de l figur, = cm = k cm donde > k, hlle Tg N P ) k ) k ) D) k E) nálisis de dtos Semos: Tg N = sc ot P k UNMSM 0 I Tg N = c ; por dto ( c = k) P Tg N = k P Respuest: k Prolem En l figur, D = cm, Hlle 0 05 D ) ) ( +) ) D) E) ( ) nálisis de dtos: 6 0 P UNMSM 009 I D P = + P N N P Se rcionliz P = + P = P N N P + N P P N + + perción del Prolem c Tg N = sc ot P Del gráfico Tg N = P c Se trz DP PD notle (0 60 ) P = 6 DP = 6 DP notle 5 P = 6 En el Sen0 = ( + ) Respuest : ( + ) SN MRS 5 TRIGNMETRÍ TEM 5

6 TRIGNMETRÍ TEM RZNES TRIGNMÉTRIS DE ÁNGUS NTES - ÁNGUS DE EEVIÓN Y DEPRESIÓN DESRR DE TEM I. TRIÁNGUS RETÁNGUS NTES. Ectos II. RZNES TRIGNMÉTRIS DE ÁNGUS NTES k 5 k k 60 k Sen / / / /5 /5 os / / / /5 /5 5 k 0 k Tn / / /. proimdos ot / / / 5 k 5 k Sec / 5/ 5/ sc / 5/ 5/ 7 6 k 5 k k 7 7 k III. ÁNGUS VERTIES Son uellos ángulos uicdos en un plno verticl ue, en l práctic, son formdos por un líne visul (o líne de mir) un líne horizontl, como resultdo de herse efectudo un oservción. Estos resultdos se clsificn en: ángulos de elevción ángulos de depresión. (ver gráficos). 5 k 8 k h íne visul íne Visul íne horizontl Horizontl H 8 7k 75 k 5 : Ángulo de elevción SN MRS 6 TRIGNMETRÍ TEM

7 RZNES TRIGNMÉTRIS DE ÁNGUS NTES - ÁNGUS DE EEVIÓN Y DEPRESIÓN íne Horizontl horizontl visules; un hci l prte lt l otr hci l prte j. uego "" es el ángulo formdo por ls dos visules. íne Visul íne visul : Ángulo de depresión onsiderción: En el gráfico djunto. "" es el ángulo jo el cul se divis l torre. Note ue deen trzrse ls dos PREMS RESUETS Prolem En se los dtos de l figur clculr Tn. ) ) E) ) D) n 5 7 D n NIVE DIFÍI Plntemiento: ompletndo los dtos, el triángulo es euilátero. s lterntivs del prolem son números, entonces es conveniente signr un vlor (n). nálisis de los dtos: Por el punto (D) se trz l perpendiculr DP (P en ). El triángulo DP es notle de 0º 60º. Se n =. longitud del ldo del triángulo es 8. En el triángulo rectángulo somredo (PD): Tn = 7 Respuest: 7 Prolem Resolver: + Tn5 Tn5 = Sen7 + Sen7 NIVE INTERMEDI ), ), ),6 D),0 E) 5,8 Plntemiento: Semos: 5 5 Tn5 = Tn7 = Por ritmétic: + m + n = m n m = n nálisis de los dtos: plicndo l teorí de proporciones: Tn5 = Sen7 Reemplzndo operndo convenientemente: () = 5 = 8 5 =,6 Respuest: ),6 Prolem Desde un punto en tierr se divis lo lto de un poste con un ángulo de elevción de 7º. Si l ltur del poste es de 0 m. ué distnci del poste se encuentr el punto de oservción? ) 0 ) 0 ) 0 D) 0 E) 50 Plntemiento: Semos: m nálisis de los dtos: onsiderndo el tringulo notle de 7 5, tommos Tg7 en el gráfico del prolem. Tg7 = 0 = 0 = 0m Respuest: D) 0m SN MRS 7 TRIGNMETRÍ TEM 7

8 TRIGNMETRÍ TEM RESUIÓN DE TRIÁNGUS RETÁNGUS DESRR DE TEM I. INTRDUIÓN Semos ue todo triángulo tiene seis elementos ásicos, tres ldos tres ángulos. demás otros elementos uilires como lturs, medins, isectrices, etc. Resolver un triángulo consiste fundmentlmente en hllr los elementos ásicos de este, pr lo cul deemos conocer por lo menos tres de sus elementos (necesrimente uno de ellos no ngulr). Pr = Tn = Tn Pr = Sec = Sec III. ÁRE DE REGIÓN TRINGUR II. TRES SS. er so onociendo l longitud de l hipotenus un ángulo gudo. S S =. Sen Pr = os = os Pr = Sen = Sen. do so onociendo un ángulo gudo longitud de su cteto opuesto. Pr = ot = ot Pr = sc = sc Ejemplo: lcule el áre de l región tringulr, siendo ue = 5 cm, = 6 cm el ángulo comprendido entre dichos ldos es igul S = Sen7 S = N 5 P S = 9 u IV. EY DE PRYEINES En todo triángulo ; se cumple: os + os = c. er so onociendo un ángulo gudo l longitud de su cteto dcente. c os + cos = os + cos = SN MRS 8 TRIGNMETRÍ TEM

9 RESUIÓN DE TRIÁNGUS RETÁNGUS Prue: Trzndo un ltur plicndo uno de los csos menciondos nteriormente llegmos : c cos os Se conclue: cos + os = PREMS RESUETS Prolem De l figur S S : áres. lculr S S. Prolem De l figur = DE = D Sen = os + (Sen os) = Sen os = S S ) Sen ) os ) Sec D) sc E) Sen Semos S S = Sen signmos vriles en l figur: plicndo fórmul: S S = n S S n Sen n Sen De l figur: S S = Sec = Respuest: Sec E D =. Hll /. ) (Sen os) ) (sc Sec) ) (Tg tg) D) (sc os) E) (os sc) nálisis del prolem: Se se: msen E m mos D En el triángulo, = os = os En el triángulo ED, D = Sen D = Sen os Sen Prolem Respuest: (Sen os) Ddo un triángulo siendo "p" el semi-perímetro determinr ué represent l siguiente epresión: = (+)os + (+c)os + (+c)os ) p ) p ) p + D) p E) p + De cuerdo con l le de proecciones, se se: Ddo el triángulo : os + os = c os + cos = os + cos = Plntemiento plicndo l propiedd distriutiv: = os + os + os + cos + os + cos nálisis de los dtos grupndo convencionlmente: = (os + cos) + (os+cos) + (os+os) c = + + c p: perímetro Respuest: p SN MRS 9 TRIGNMETRÍ TEM 9

10 TRIGNMETRÍ TEM 5 GEMETRÍ NÍTI - EUIÓN DE RET I DESRR DE TEM I. NEPT Sistem formdo por dos rects numérics ue se intersectn en un punto de coordends (o;o), llmdo origen de coordends formn un ángulo recto. l plno ue lo determin se le llm "Plno rtesino" en honor René Descrtes está dividido en regiones llmds cudrntes (). + + Primer cudrnte Segundo cudrnte + + ' urto cudrnte Tercer cudrnte ' III. DISTNI ENTRE DS PUNTS Sen ls coordends de dos puntos culesuier P ( ; ) P ( ; ) del plno crtesino l distnci "d" comprendid entre ellos se determinn por: d P ( ; ) P ( ; ) d = ( ) + ( ) IV. DIVISIÓN DE UN SEGMENT EN UN RZÓN INDID ( ; ) Donde: ' : Eje de los sciss mk P nk n + m P = n + m ' : Eje de ls ordends : rigen de coordends II. UIIÓN DE UN PUNT cd punto del plno crtesino le corresponde un pr ordendo ( ; ) llmdos "oordends crtesins". rdio vector scis rdendo ( ; ) V. RDENDS DE PUNT MEDI DE UN SEGMENT Si M( 0 ; 0 ) es el punto medio del segmento ue tiene por etremos: P ( ; ) P ( ; ). Entonces ls coordends del punto M se determin sí: M( 0 ; 0 ) P ( ; ) P ( ; ) 0 = + 0 = + SN MRS 0 TRIGNMETRÍ TEM 5

11 GEMETRÍ NÍTI - EUIÓN DE RET I VI. RDENDS DE RIENTR DE UN TRIÁNGU Sen P ( ; ), P ( ; ) P ( ; ) los vértices de un triángulo. El punto G ( 0 ; 0 ) es el ricentro de dicho triángulo. P (, ) G( 0, 0 ) 0 = + + RET I. ÁNGU DE ININIÓN Y PEN- DIENTE Dd un rect l ángulo (tomdo en sentido ntihorrio) formdo por l dirección positiv del eje de sciss l rect se denomin ángulo de inclinción l tngente de dicho ángulo se le llm pendiente (m). El ángulo de inclinción :0 < 80. P (, ) P (, ) 0 = + + Y VII. PRPIEDD DE PREGRM ( ; ) ( ; ) pendiente: m = Tn ( ; ) D( ; ) pendiente tmién se puede determinr conociendo dos puntos por donde ps l rect. Semos ue m = Tn, de l figur se deduce: + = + + = + VIII. ÁRE DE UN REGIÓN TRINGUR Sen P ( ; ) P ( ; ) P ( ; ) los vértices de un triángulo. Entonces el áre S de un región tringulr en función de ls coordends de los vértices est ddo por: P ( ; ) P ( ; ) S P ( ; ) Y M = X II. EUIÓN DE RET. onociendo un punto de l rect su pendiente Y M M (+) ( ; ) X uego: S = M N = m( ) (Ecución pun pendiente) SN MRS TRIGNMETRÍ TEM 5

12 GEMETRÍ NÍTI - EUIÓN DE RET I. onociendo los interceptos con los ejes coordends Y X De est, se deduce ue l pendiente: m = ; 0 D. Rects prlels perpendiculres Dd dos rects no verticles son prlels si sólo si tiene igul pendiente. Y + = (Ecución simétric). Ecución generl de l rect ecución generl de un rect se represent sí: + + = 0,, R m = m Dds dos rects no verticles son perpendiculres si sólo sí el producto de sus pendientes es. PREMS RESUETS Prolem Determine s coordends del punto P. n (; ) n P(, ) (7; ) ) (; ) ) (, ) ) (5; ) D) ( ; ) E) (; ) n (, ) n P(, ) (7, ) De l figur: +. = ( + )P (; ) + (7; ) = P (; ) + (7; ) = P (9; 6) = P (; ) = P Respuest: (;) Prolem lculr l pendiente de l rect. Si =. 7 (; 0) D ) / ) / ) / D) /7 E) 7/5 (0; ) (; 0) 0 8 D(; 6) De l figur: = ; = M; = 5 Desde el punto trzmos un perpendiculr l eje "". rect ps por los puntos D. álculo de pendiente. 6 6 m = = 0 Respuest: / Prolem Determine el áre de un región tringulr limitd por los ejes crtesinos l rect. = 60 = 0 ) 00m ) 00 m ) 00m D) 00m E) 500m 60 = 0 Tulndo: Pr = 0 Grficndo: 0 S 0 (0, 0) (0, 0) S = (0)(0) S = 00m (0) 60 = 0 = 0 (0; 0) Pr = 0 (0) 60 = 0 = 0 (0; 0) TEM 5 TRIGNMETRÍ SN MRS

13 TRIGNMETRÍ TEM 6 EUIÓN DE RET II EUIÓN DE IRUNFERENI DESRR DE TEM I. EUIÓN DE RET. Rects prlels D. Distnci entre rects prlels d(, ) = d + : + + = 0 // m = m : + + = 0 E. Ángulo entre rects. Rects perpendiculres Tn = m m + m m m m = II. IRUNFERENI De l figur: entro c(h, k) Ecución ordinri ( h) + ( k) = r Ecución generl + + D + E + F = 0 (h, k) r (, ). Distnci de un punto un rect P (, ) d(p ) = = 0 +. so Prticulr I Se: h = 0 = 0 (0, 0) Reemplzndo en l ecución ordinri ( 0) + ( 0) = r + = r ecución nterior de l circunferenci, se denomin "form cnónic".. so prticulr II En l ecución: + = r Si: r = + = Ecución de l circunferenci trigonométric SN MRS TRIGNMETRÍ TEM 6

14 EUIÓN DE RET II EUIÓN DE IRUNFERENI PREMS RESUETS Prolem s rects: : + = 0 : m + n + 5 = 0 Sus perpendiculres el punto (, ) pertenece l rect. lcule (m + n). UNMSM 005 ) 5/5 ) 5/8 ) 5/ D) 8/5 E) 8/5 m m = m = n Teorí m m = (perpendiculres) m = m = n... (I) n Ddo (, ) reemplzndo m() + n() + 5 = 0 m + n + 5 = 0..(II) Resolviendo: (I) (II) m = n = m + n = 8 8 Respuest: 5/8 Prolem Determine l medi ritmétic de ls coordends del triángulo cuos vértices son los centros de ls circunferencis cus ecuciones son: : + + = 0 : = 0 : + + = 0 ) / ) / ) /5 D) / E) / UNMSM 0 Epresndo ls ecuciones en form ordinri : ( 0) +( ) = entro (0,) : (+) + ( 0) = entro (,0) : ( ) +(+ 0) = entro (, 0) oordends del ricentro: G 0 + ( ) , G Incógnit: 0+ M.. 0, = = 0, Respuest: / Prolem os puntos (, ) (, 6) son los etremos del segmento. Determine l ecución de l meditriz de dicho segmento. UNMSM 007 ) + = 0 ) + = 0 ) + = 0 D) + = 0 E) + = 0 ( ; ) (; 6) (, 6) M (, ) (, ) M punto medio de. M + + 6, M(, ) álculo de l pendiente. 6 m = = ( ) m = M(, ) G(, ) álculo de (m ) m = = = ( ) + = 0 Respuest: + = 0 TEM 6 TRIGNMETRÍ SN MRS

15 TRIGNMETRÍ TEM 7 RZNES TRIGNMÉTRIS DE ÁNGUS EN PSIIÓN NRM DESRR DE TEM I. ÁNGU EN PSIIÓN NRM Ángulo trigonométrico generdo en un plno crtesino con vértice en el origen de coordends cuo ldo inicil coincide con el eje positivo de ls sciss. El ldo finl puede uicrse en culuier prte del plno crtesino, tl como se muestr en l figur. P(, ) r.i r Sen= sc= r r os= Sec= r Tn= ot= do finl Vértice do inicil III. SIGNS DE S RZNES TRIG- NMÉTRIS EN S UDRNTES De cuerdo l cudrnte donde se uic un ángulo en posición norml, ls rzones trigonométrics sen positivs o negtivs. Ver el gráfico. Ejemplos: < 0 II > 0 = 70 > 0 III > 0 Segundo Sen sc (+) Tercero Tn ot (+) 0 Primero Tods son positivs urto os Sec (+) : ángulo cudrntl : no está en posición norml II. RZNES TRIGNMÉTRIS Elementos: : scis r= + : ordend r> 0 r: rdio vector IV. ÁNGU UDRNT Son ángulos en posición norml, en el ue su ldo finl coincide con culuier de los semiejes. Form: Ángulo cudrntl = 90 n, n Z SN MRS 5 TRIGNMETRÍ TEM 7

16 RZNES TRIGNMÉTRIS DE ÁNGUS EN PSIIÓN NRM Not: os ángulos cudrntles ásicos o elementles son:.f (0 ).F.I 90.I Propieddes de ángulos coterminles Sen, ángulos coterminles. Se cumple: 70.F 80.I.I.I 60.F Propiedd I RT() = RT() = RT() Propiedd II = 60 = 60 m = 60 n k, m, n, Z.F Ejemplo: V. RZNES TRIGNMÉTRIS DE ÁNGUS UDRNTES Sen os 0 0 Tn 0 ND 0 ND 0 ot ND 0 ND 0 ND Sec ND ND sc ND ND ND VI. ÁNGUS TERMINES Dos ángulos se denominn coterminles si tienen como elementos comunes el ldo inicil el ldo finl. R.T. () = RT() servciones: > 0 < 0 < 0 > 0 Vlor soluto = ; 0 = ; < 0 = = = = = 60 PREMS RESUETS Prolem Se tiene un ángulo en posición norml. Si su ldo finl tiene l punto (, ), clcule Sec. ot. ) /5 ) 5/ ) /5 D) 5/ E) 5/ UNMSM 006 II Del enuncido se tiene: P(, ) r r lculmos r r = ( ) + ( ) Tenemos: Resoluciones: E = 5 r = 5 E = Sec. ot E = r E = 5 Respuest: 5/ TEM 7 TRIGNMETRÍ 6 6 SN MRS

17 RZNES TRIGNMÉTRIS DE ÁNGUS EN PSIIÓN NRM Prolem Si, f, son ángulos gudos, tles ue: f = f 5 = 6 Sen( + f + ) = Hlle Tn + UNMSM 009 II ) ) ) D) 5 E) 5 Recordr de ángulos cudrntles: Si Senw = 0 < w < 60 entonces w = 90 Entonces: f = 5 = 6 =k = k, f = 5k, = 6k 0 < + f + < 70 De lo cul: Sen(k + 5k + 6k) = por dto Sen(5k) = ; 5 k = 90 k = 6 Piden: k + 6k Tn = Tn(5k) = Tn0 + Tn = Prolem Si Sec =, demás Tn = Tn Respuest: ) 9/0 ) 5/7 ) 9/0 D) /0 E) /0 ( Sec ) =...( ) Sec = Sec = Sec = 5 Sec = Sec = : cudrntrl como Tn = Tn Tn < 0 II IV Solo es posile: 5 Sec = ; IV 5 uego: Sen+ sc= + 5 Sen+ sc= 0 Respuest: /0 SN MRS 7 TRIGNMETRÍ TEM 7 7

18 TRIGNMETRÍ TEM 8 REDUIÓN PRIMER UDRNTE DESRR DE TEM Reducir un ángulo l primer cudrnte consiste en relcionr ls rzones trigonométrics de un ángulo de culuier mgnitud con ls rzones trigonométrics de un ángulo gudo (ángulo del primer cudrnte), oteniéndose un euivlenci. Se presentn los siguientes csos: II. SEGUND S Pr ángulos positivos mores ue un vuelt. Pr reducir estos ángulos l primer cudrnte, se les dee descomponer en función l número entero de vuelts ue conteng este ángulo. I. PRIMER S Pr ángulos positivos menores ue un vuelt. R.T. (60 + ) = R.T.() R.T. (kp + ) = R.T.() Z 0 < < 60. Primer form (90 +) 90 (70 ) 70 (70 +) R.T. (90 + ) = ± R.T.() R.T. (70 ± ) = ± R.T.(). Segund form 80 (80 ) (80 +) (60 ) 60 R.T. (80 ± ) = ±R.T.() R.T. (60 ) = ±R.T.() Not: El signo (±) dependerá del cudrnte donde se uic el ángulo tmién de l rzón trigonométric originl. servción: notción generl de ángulos cudrntles es: ( )p (+) p ( ) p p Z III. TERER S Pr ángulos negtivos. Se demuestr ue ls funciones coseno secnte cuos ángulos son negtivos, éstos vn ser igul los ángulos positivos; ls demás R.T., el signo sle fuer del ángulo fect tod l R.T. Sen( ) = Sen os( ) = os Tn( ) = Tn ot( ) = ot Sec( ) = Sec sc( ) = sc IV. PRPIEDDES PR ÁNGUS RE- INDS Pr ángulos negtivos. Se demuestr ue ls funciones coseno secnte cuos ángulos son negtivos, éstos vn ser igul los ángulos positivos; ls demás R.T., el signo sle fuer del ángulo fect tod l R.T. SN MRS 8 TRIGNMETRÍ TEM 8

19 REDUIÓN PRIMER UDRNTE Si: + = 80 < > p os + os = 0 Tn + Tn = 0 ot + ot = 0 Sec + Sec = 0 Sen = Sen sc = sc Si: + = 60 < > p Sen + Sen = 0 Tn + Tn = 0 ot + ot = 0 sc + sc = 0 os = os Sec = Sec Not: Es importnte tener presente: > 0 < 0 < 0 > 0 Not: Sen( ) = Sen( ) os( ) = os( ) PREMS RESUETS Prolem Simplificr: Tn(80 + ) Sen(70 + ) = + ot(90 ) os(80 ) ) ) ) D) E) 6 plicndo ls fórmuls de reducción l primer cudrnte en cd término. Tn(80 + ) = + Tn ot(90 ) = + Tn Sen(70 + ) = os os(80 ) = os Reemplzndo: (Tn) ( os) = + = (Tn) ( os) Prolem De l figur, clculr: Respuest: ) = Sen + Sen + os + os ) 0 ) ) D) E) Deemos tener presente ue solo se pueden sumr medids ngulres, si ests tienen en el mismo sentido. De l figur: + ( ) = 80 = 80 = 80 + Reemplzndo =Sen(80 +)+Sen+os(80 +) +os Por fórmul de reducción l primer cudrnte. = ( Sen) + Sen + ( os) + os = 0 Prolem De l figur, clculr: Respuest: ) 0 M = 5 Sec + Sec5 8 + ) 5 ) ) D) E) 8 plicmos el teorem de Pitágors pr clculr (). 8 + = ( + ) perndo decudmente: 6 + = + + = 60 = 5 Reemplzndo: 8 De l figur: + = 80 Se cumple: 5 Sec + Sec = 0 Reemplzndo: Sec = 0 Sec = 5 5 Reemplzndo en l incógnit: M = 5 + = + = 5 M = Respuest: ) SN MRS 9 TRIGNMETRÍ TEM 8 9

20 TRIGNMETRÍ TEM 9 IRUNFERENI TRIGNMÉTRI DESRR DE TEM I. IRUNFERENI Un circunferenci es el lugr geométrico de todos los puntos en el plno tles ue euidistn con respecto un punto fijo llmdo centro. distnci constnte se denomin rdio. De l figur: entro c(h, ) Ecución ordinri ( h) +( k) = r. so prticulr (I) Se: h = 0 = 0 (0, 0) Reemplzndo en l ecución ordinri ( 0) + ( 0) = r + = r (h, k) r (, ) ecución nterior de l circunferenci, se denomin "form cnónic".. so prticulr (II) En l ecución: + = r Si: r = + = Est es l ecución de l circunferenci trigonométric. II. IRUNFERENI TRIGNMÉTRI Es uel conjunto de infinitos puntos ue pertenecen l plno crtesino cu distnci l origen de coordends es igul l unidd de dicho sistem. Donde: (0; 0): origen de.t. coordends (; 0): origen de rcos (0; ): origen de complementos ' ' ( ; 0): origen de suplementos T : eje de tngentes + = ' T III. RS DIRIGIDS EN PSIIÓN NRM Definición Son uellos rcos formdos en l.t. ue se genern prtir del origen de rcos (posición inicil: ) cuo etremo (P) será l posición finl de dicho rco. Diremos ue un rco pertenece un determindo cudrnte, si su etremo pertenece dicho cudrnte. Por ejemplo son rcos dirigidos en posición norml. P: etremo del rco, II; es un rco positivo (sentido ntihorrio) Q: etremo del rco, IV; es un rco negtivo (sentido horrio) P rd rd Q IV. R UDRNT Denominremos de est mner uellos rcos dirigidos en posición norml, cuo etremo coincid con lguno de los puntos de intersección de los ejes con l.t. (,, ', '). Por ejemplo:.t. p p rd p prd.t. V. REPRESENTIÓN GEMÉTRI DE S RZNES TRIGNMÉTRIS EN.T. s rzones trigonométrics serán representds prtir de segmentos dirigidos los cules rindrán l siguiente informción: SN MRS 0 TRIGNMETRÍ TEM 9

21 IRUNFERENI TRIGNMÉTRI. longitud del segmento, indicrá l mgnitud de l rzón.. El sentido del segmento, indicrá el signo de l rzón. os signos de dichos segmentos se regirán jo el siguiente convenio de signos: os segmentos rectilíneos horizontles hci l derech de X'X son positivos hci l izuierd de XX' son negtivos. os segmentos rectilíneos verticles hci rri de Y'Y son positivos hci jo de YY' son negtivos. ' ( ) ( ) (+) (+) (+) ( ) ' (+) ( ) VI. DEFINIINES. Seno El seno de un rco en l.t. se represent medinte l ordend del etremo del rco: P( ; ).T. sen sen Entonces: Sen = Sen = Q( ; ). oseno El coseno de un rco en l.t. es l scis del etremo del rco:.t. R( ; ) S(, ) osf f os Entonces: os = ; osf = Vrición nlític I. udrnte Sen0 = 0 p Sen = II. udrnte p Sen = Senp = 0 III. udrnte Senp = 0 p Sen = IV. udrnte p Sen = Senp = 0 nálogmente I. udrnte os 0 = p os = 0 II. udrnte p os = 0 osp = III. udrnte osp = p os = 0 IV. udrnte p os = 0 osp = reciente Decreciente decreciente creciente decreciente decreciente creciente creciente. Tngente tngente de un rco en l.t. es l ordend del punto de intersección, entre el eje de tngente l prolongción del rdio ue contiene l etremo del rco:.t. Entonces: Tn = Tn = N(; ) tn M(; ) SN MRS TRIGNMETRÍ TEM 9

22 IRUNFERENI TRIGNMÉTRI D. otngente cotngente de un rco es l scis del punto de intersección entre l rect tngente ue ps por el origen de complementos l prolongción del rdio ue ps por el etremo del rco: Eje de M( ; ) N( ; ) otngentes Entonces: Sec = Sec = F. osecnte cosecnte de un rco es l ordend del punto de intersección entre l rect tngente ue ps por el etremo del rco el eje. M(0, ).T. Entonces: tg = ; tg = Vrición nlític I. udrnte II. udrnte Tn0 = 0 p reciente P.T. sc sc Q N(0, ) Tn P Q: puntos de tngenci p Tn reciente Entonces: sc = sc = Tnp = 0 Vrición nlític III. udrnte Tnp = 0 p T + reciente IV. udrnte Sec Sec, R '(k+) p,k z Sec p Tn Tnp = 0 reciente sc sc, R {kp, k Z} sc E. Secnte secnte de un rco es l cis del punto de intersección entre l rect tngente ue ps por el etremo del rco el eje. N(, 0) Sec Sec P M( ; 0) Es importnte tener presente ue: En form práctic l líne seno es un verticl en l.t. l líne coseno es un horizontl. Sen Impr os Impr 0 Sen Pr 0 os Pr Si nos indicn el cudrnte, el intervlo será IERT. Q P Q: puntos de tngenci.t. En tod circunferenci trigonométric el rco (epresdo en uniddes de longitud) es numéricmente igul l ángulo ue sutiende dicho rco, epresdo en rdines. TEM 9 TRIGNMETRÍ SN MRS

23 IRUNFERENI TRIGNMÉTRI PREMS RESUETS Prolem Hllr F m F min, si: F = sen vers + covf ) 8 ) 6 ) 5 D) E).T. ' M P Q (0, ) (, 0) UNMSM 00 I NIVE FÁI P Se se ue: sen 0 vers 0 cosf luego: F m = () (0) + () = 0 F m = ( ) () + (0) = 8 Respuest: ) 8 nlizndo el gráfico: se: = ltur: Semos: S = h (I) ) Senos ) Senos 6 E) Senos ) Senos 8 D) Senos UNMSM 00 I NIVE INTERMEDI Prolem Determine el áre de l región somred + = ) Tn ) Sen ) Sen D) Sen E) Sen NIVE INTERMEDI Semos: =, < 0 Pr l ltur IV, PM = sen = sen Reemplzndo en (I) S = ()( Sen) S = Sen Respuest: ) Sen Prolem En l figur mostrd, hlle el áre de l región tringulr QP. h os Del gráfico: h = cos sen uego: = (os Sen) = Senos Respuest: ) Senos SN MRS TRIGNMETRÍ TEM 9

24 TRIGNMETRÍ TEM 0 IDENTIDDES TRIGNMÉTRIS SIMPES DESRR DE TEM Es un iguldd estlecid entre epresiones ue involucrn rzones trigonométrics de un o más vriles, ls cules se verificn pr todo vlor dmisile de dichs vriles. Ejemplo: iguldd: Sen + os =, se verific pr culuier vlor rel ue le signemos l vrile por consiguiente: Sen + os = Es un identidd r I. SIFIIÓN DE S IDENTIDDES FUNDMENTES. Identiddes pitgórics. Sen + os = r Sen = os os = Sen. + Tn = Sec (k + ) p ; k z Tn = Sec = Sec Tn. + ot = sc kp; k Z ot = sc = sc ot. Identiddes recíprocs. Sen sc = Sen = sc sc = Sen. os Sec = os = Sec Sec = os. Tn os = Tn = ot ot = Tn. Identiddes por división Tn = Sen os ot = os Sen D. Identiddes uilires. Sen + os = Sen os. Sec + Tn = + Sec Tn. sc + ot = + sc ot. Sen 6 + os 6 = Sen os 5. Sec 6 Tn 6 = + Sec Tn 6. sc 6 ot 6 = + sc os 7. Tn + ot = Secsc 8. Tn + ot = Senos 9. (Sen + os) = + Senos 0. ( + Sen + os) = ( + Sen)( + os). Sen ± os = os Sen. os ± Sen = Sen os. = Sec Sec Tn Tn. = sc sc ot ot 5. Sec sc = Sec + sc II. FUNINES UXIIRES Senoverso = Ver() = os osenoverso = ov() = Sen E Secnte = E Sec() = Sec SN MRS TRIGNMETRÍ TEM 0

25 IDENTIDDES TRIGNMÉTRIS SIMPES PREMS RESUETS Prolem Si () III c, simplifiue = ot + sc sc (sc + Sec ) (Tn+ ot) ) ) / ) / D) / E) PRE-SN MRS 0 NIVE FÁI Semos Sec + sc = Sec sc Tn + ot = Secsc Pr el prolem = ot + sc sc (Sec + sc ) Sec sc = ot + sc sc = ot sc ( ) = Respuest: Prolem Si os = m, donde m n n lcule k = (ot + sc)(tn Sen) ) n m ) m n ) m mn E) n m mn D) m n mn Efectundo operciones UNMSM 0 NIVE INTERMEDI k = (ot + sc)(tn Sen) k = ottn otsen + sctn Sensc Simplificndo identiddes k = os Sen Sen + Sen Sen os k = Sec os = n m m n k = n m Respuest: n m mn Prolem Siendo os = m Sen = t lcul = m + /t + 7 ) 7 ) 8 ) D) E) mn UNMSM 0 NIVE DIFÍI Reemplzndo los dtos en ñ incógnit k = os + /(Sen ) + 7 Simplificndo fctorizndo k = (os + Sen ) + 7 k = Respuest: SN MRS 5 TRIGNMETRÍ TEM 0 5

26 TRIGNMETRÍ TEM IDENTIDDES TRIGNMÉTRIS DE RS MPUESTS DESRR DE TEM I. IDENTIDDES TRIGNMÉTRIS PR SUM DE DS RS Ests igulddes se verificn pr todos los vlores dmisiles de sus vriles son ls siguientes: Sen( + ) = Senos + os Sen, R os( + ) = osos Sen Sen, R Tn( + ) = Tn + Tn TnTn,, ( + ) (k + ) p/; R Ejemplo: lcule el vlor de Sen75 Resolución Epresmos nuestr vrile ue es "75 " en función de ángulos conocidos por ejemplo "5 + 0 ", pr luego plicr ls identiddes de l sum de ángulos Sen75 = Sen(5 + 0 ) = Sen5 os0 + Sen0 os5 Sen75 = + II. IDENTIDDES TRIGNMÉTRIS PR DIFERENI DE DS RS Ests igulddes se verificn pr todos los vlores dmisiles de sus vriles son ls siguientes: Sen( ) = Senos os Sen, R os( ) = osos + Sen Sen, R Tn Tn Tn( ) = + TnTn,, ( ) (k + ) p/; R Ejemplo: lcule el vlor de Tn8 Epresremos nuestr vrile 8 en función de ángulos conocidos. Tn5 Tn7 Tn8 = Tn(5 7 ) = + Tn5 Tn7 Tn8 = = 7 + Sen75 = 6 + Tn8 = 7 SN MRS 6 TRIGNMETRÍ TEM

27 IDENTIDDES TRIGNMÉTRIS DE RS MPUESTS III. DEMSTRIÓN DE SEN Y SEN DE SUM DE DS ÁNGUS Del siguiente gráfico: ' Sen Q P.T. SenSen R Senos Sen T M.T. Senos os osos S os servción: p Si : ± = 5 < > Tn± Tn± TnTn= Importnte: f() = Sen ± os; + f() + + En el gráfico se oserv ue ( + ) son suplementrios Sen = Sen( + ) os = os( + ) dems QP = RS Sen = Senos + Senos V. PRPIEDDES PR TRES ÁNGUS Ests propieddes se cumplen siempre ue los tres ángulos estén relciondos jo un condición Sen( + ) = Senos + Senos Tmién: PS = QR os + osos = SenSen os = SenSen osos os( + ) osos. Siendo: + + z = p ó kp, k Z Tn + Tn + Tnz = TnTnTnz os( + ) = osos SenSen otot + ototz + ototz = IV. IDENTIDDES UXIIRES Sen( ± ) = Tn ± Tn osos Sen( + )Sen( ) = Sen Sen Sen( + )Sen( ) = os os p,, z (n + ) ;n,,z n p,n. Siendo: p p + + z = ó (k + ) ;k ot + ot + otz = otototz os( + )os( ) = os Sen Tn( ± ) = Tn ± Tn ± TnTnTn( ± ) TnTn + TnTnz + TnTnz =,,z n p;n p,, z (n + ) ;n SN MRS 7 TRIGNMETRÍ TEM 7

28 IDENTIDDES TRIGNMÉTRIS DE RS MPUESTS PREMS RESUETS Prolem Indiue l epresión euivlente p p p E = os os + + os, ]0; [ 6 6 ) os ) os ) ( + )os D) ( + )os E) ( + )os Plntemiento Semos: UNMSM 0 II os( ± ) = os.os ± Sen.Sen os( ) = os( + ) Desrrollndo ls formuls: p p p E = os.os Sen Sen + os.os p Sen.Sen + os 6 p E = os os + os 6 E = os + os E = ( + )os Prolem p Si: + =, hlle ( cot)( cot) ) / ) ) / D) E) UNMSM 0 II Inicilmente uicmos l propiedd p + = " Tn + Tn + Tn.Tn = En se est propiedd, se procederá indicr l form de l incógnit. Tn + Tn + Tn.Tn = Dividiendo miemro miemro por " Tn.Tn" ot + ot + = ot.ot Trsponiendo (ot ot.ot) (ot ) + = Fctorizndo: ot( ot) (ot ) = Prolem En l figur, Tn = Respuest: E ) 5/ ) 7 /9 ) 7/ D) 5 /9 E) /9 UNMSM 0 II Plntemiento Ángulos compuestos Se oserv teorí de ángulo eterior perción del prolem: Tn = 60 Ángulo eterior = (60 + ) ot = ot(60 + ) Desrrollndo ( )( ) ot = + 5 ot = 9 Respuest: D 60 Respuest: D TEM TRIGNMETRÍ 8 8 SN MRS

29 TRIGNMETRÍ TEM IDENTIDDES TRIGNMÉTRIS PR R MÚTIPE I DESRR DE TEM IDENTIDDES TRIGNMÉTRIS PR R DE El ojeto de ests igulddes es epresr ls rzones trigonométrics del ángulo dole en términos de ls rzones trigonométrics del ángulo simple ; ests igulddes serán válids pr todos los vlores dmisiles de sus vriles. I. IDENTIDDES FUNDMENTES Sen = Senos r os = os Sen Tn = r Tn Tn {(n + ) p ; (n + ) p }; n Z servción: on l ud de l identidd sen + cos =, se puede epresr el coseno del ángulo dole (cos), se en función del seno o coseno del ángulo simple (sen o cos) pr lo cul procederemos del modo siguiente: Semos ue: os = os Sen = Pero: os = Sen os = ( Sen ) Sen os = Sen Semos ue: os = os Sen Pero: Sen = os os = os ( os ) os = os II. IDENTIDDES UXIIRES + os = os os = Sen ot Tn = ot. ot + Tn = sc III. ÁNGU DE EN FUNIÓN DE TN- GENTES undo se uier epresr ls rzones trigonométrics del ángulo dole [RT()] en función de l tngente del ángulo simple (Tn), convendrí elorr el triángulo de ls tngentes: + Tn Tn Tn Sen = + Tn Tn os = + Tn Tn Tn = Tn Tn SN MRS 9 TRIGNMETRÍ TEM

30 IDENTIDDES TRIGNMÉTRIS PR R MÚTIPE I IV. DEMSTRIÓN DE S IDENTID- DES FUNDMENTES Demostrción de Sen = Senos Semos ue: Sen( + ) = Senos + Senos Hciendo = = tendremos: Sen( + ) = Senos + Senos Demostrción de: Sen = Sen.os os = os Sen Semos ue: os( + ) = osos SenSen Hciendo; = = ; tendremos: os( + ) = osos + SenSen Demostrción de: Tn Tn = Tn os = os.sen Semos ue: Tn + Tn Tn( + ) = TnTn Hciendo; = = ; tendremos: Tn + tn Tn( + ) = Tn.Tn Tn Tn = Tn IDENTIDDES TRIGNMÉTRIS PR E ÁR MITD DEFINIIÓN El ojeto de ests igulddes es epresr ls rzones trigonométrics del ángulo mitd ; ;... en términos de ls rzones trigonométrics del ángulo simple ests igulddes son válids pr todos los vlores dmisiles de sus vriles. I. IDENTIDDES FUNDMENTES os Sen ± = r os os + ± = r os Tn ± = + os r {n }; n Z os ot + ± = os r {np}; n Z servción: El signo ue prece en los rdicles depende del cudrnte en el cul se uiue el ángulo mitd del ordendor ue lo fecte. PREMS RESUETS Prolem Simplificr: Sen0 + Sen0 = os0 + ) Sen5 ) Sen0 ) Sen0 D) Sen5 E) Sen5 UNMSM NIVE FÁI Desrrollmos por rco dole Sen0 = Sen0.os0 Sen0 os0 Sen0 os0 Fctorizndo Sen0 (os0 + ) = os0 + = Sen0 Prolem Respuest: ) Sen0 Si: os + Sen = 0 os ± 0 lcule os ) / ) / ) /9 D) /8 E) / UNMSM 0-I NIVE INTERMEDI Por degrdción de rco dole Sen = os Remplzndo os + cos = 0 os os = 0 os(os ) = 0; (os 0 ) TEM TRIGNMETRÍ 0 0 SN MRS

31 IDENTIDDES TRIGNMÉTRIS PR R MÚTIPE I Nos ued: os = 0 Por rco dole: (os ) = 0 os = 0 os = / Respuest: E) / Prolem En el gráfico, el triángulo rectángulo es recto en ( < 5 ) M = M = / cm. lculr el áre del triángulo. M ) ossen cm ) os Sen cm ) os Sen cm D) os Sen cm E) ossen cm Por resolución en (M) UNMSM 00 II NIVE INTERMEDI Sen M os S = Sen ( os ) + S Sen = (os ) S = Senos cm Respuest: E) + SN MRS TRIGNMETRÍ TEM

32 TRIGNMETRÍ TEM IDENTIDDES TRIGNMÉTRIS PR NGU MÚTIPE II DESRR DE TEM I. FÓRMU RINIZD DE ÁNGU MITD os ot = Sen + Sen ot sc ot = +. Tn sc ot = Demostrción de: Tn sc ot = Semos ue: Sen Tn = ; multiplicndo por: os Sen (Numerdor denomindor), tendremos: Sen Sen Sen os Tn. = = = Sen os Sen Sen os Sen os Tn = Sen Sen Tn sc ot = II. IDENTIDDES UXIIRES Semos: sc + ot = ot sc ot = Tn (I)+(II) (I) (II)... (I)... (II) sc = ot + Tn ot = ot Tn Ejercicios de plicción sc0 + ot0 = ot0 sc6 ot6 = Tn ot0 + Tn0 = sc0 ot Tn = ot III. IDENTIDDES DE ÁNGU TRIPE. ot sc ot = + Demostrción de: ot sc ot = + Semos ue: os ot = ; multiplicndo por: Sen os (Numerdor denomindor), tendremos: os os os os ot. + = = = Sen Sen os Sen os Sen. Sen = Sen Sen Demostrción: Sen = Sen(+) Sen = Senos + ossen Semos por ángulo dole: Sen = Senos os = Sen Reemplzndo: Sen = (Sen os) os + ( Sen ) Sen Sen = Sen os + Sen Sen Semos: os = Sen SN MRS TRIGNMETRÍ TEM

33 IDENTIDDES TRIGNMÉTRIS PR NGU MÚTIPE II Reemplzndo: Sen = Sen ( Sen ) + Sen Sen Sen = Sen Sen + Sen Sen Sen = Sen Sen nálogmente: os = os os. os = os(os ) Demostrción: Semos: os = os os os = os os Recordndo: +os = os Dole Tn + Tn + Tn TnTnTn Tn ( + + ) = TnTn + TnTn + TnTn Se: Tn = Tn(++) ( ) Tn + Tn + Tn TnTnTn Tn = TnTn + TnTn + TnTn Efectundo operciones: Tn Tn Tn = Tn En generl: ( ) Sen = Sen Sen Sen = Sen(os+) Sen = SenSen(60 ) Sen(60 +) os = os os os = os(os ) os = osos(60 ) os(60 +) servción: Triángulo notle Tn Tn Tn = Tn Tn = TnTn 60 Tn 60 + ( ) ( ) Not: ot = ot ot(60 ) ot(60 +) os = os[(+os) ] os = os(os ) servción: Triángulo notle. Tn Tn Tn Tn Demostrción: Semos: 5+ PREMS RESUETS Prolem Si: + = p demás ot = +Sec lculr: = 6Tn + 5 os ) ) ) D) E) 5 NIVE INTERMEDI plicmos l fórmul de ángulo mitd sc + ot = + Sec Por rzones complementris: Reemplzndo ot = Sec = sc 5 Reemplzndo en = = 5 Respuest: 5 Prolem Hcer más simple l epresión: E = os ossec ) ) ) D) E) 5 NIVE INTERMEDI SN MRS TRIGNMETRÍ TEM

34 IDENTIDDES TRIGNMÉTRIS PR NGU MÚTIPE II ( ) E= os os os os Fctorizndo en el. término ( ) E= os os os os E = os os + = Respuest: Prolem Simplifcr: = Tn. os + Sen ) Sen ) os ) Sen D) os E) Sen UNMSM 008 Semos: NIVE DIFÍI os = os (os ) Reemplzndo: Sen = os(os ) Sen os + Simplificr: = Sen (os )+ Sen Fctorizndo: (Sen) = Sen (os + ) = Sen (os + ) = Sen Respuest: Sen TEM TRIGNMETRÍ SN MRS

35 TRIGNMETRÍ TEM TRNSFRMINES TRIGNMÉTRIS DESRR DE TEM I. DE SUM DIFERENI PRDUT Se le suele llmr tmién fctorizción trigonométric consiste en epresr medinte un producto un determind sum o diferenci. Pr trnsformr producto un epresión, est deerá estr compuest por l sum o diferenci de dos senos o cosenos con ángulos ordendos de mor menor. os ángulos resultntes en los fctores del producto serán l semisum l semidiferenci de los ángulos iniciles. Sumndo tendremos: Sen( + ) + Sen( ) = Senos + = Hciendo: = + Se otiene: = = Sen() Sen() Sen os + = +. Sum o diferenci de senos producto Sen Sen Sen + os + = Sen Sen Sen os + =. Sum o diferenci de cosenos producto os os os + os + = os os Sen + Sen = II. DEMSTRIÓN DE S IDENTID- DES FUNDMENTES. Demostrción de l trnsformción de senos Pr efectur estás demostrciones prtiremos del seno de l sum diferenci de dos rcos (identiddes de ángulos compuestos). Sen( + ) = Senos + Senos Semos ue: Sen( ) = Senos Senos Restndo tendremos: Sen( + ) Sen( ) = Senos Hciendo: Se otiene: + = = + = = Sen() Sen() Sen os = +. Demostrción de l trnsformción de cosenos Pr efectur ests demostrciones prtiremos del coseno de l sum diferenci de dos rcos (identiddes de ángulos compuestos). os( + ) = osos SenSen Semos ue: os( ) = osos + SenSen Sumndo tendremos: os( + ) + os( ) = osos + = Hciendo: = Se otiene: + = = SN MRS 5 TRIGNMETRÍ TEM

36 TRNSFRMINES TRIGNMÉTRIS os() os() os os + = + Restndo tendremos: os( + ) os( ) = SenSen + = Hciendo: = + Se otiene: = = os() os() Sen Sen = + III. DE PRDUT SUM DIFERENI Se le suele llmr tmién desdolmiento del producto consiste en epresr medinte un sum o diferenci un determindo producto. Pr efectur el desdolmiento se deerá tener el dole producto de senos /o cosenos. os ángulos resultntes en el desdolmiento serán l sum l diferenci de los ángulos iniciles. Senos = Sen( + ) + Sen( ) osos = os( + ) + os( ) SenSen = os( ) os( + ) PREMS RESUETS Prolem Simplificr: ) = Sen7 +os7 Sen os D) E) ) ) Por ángulos complementrios: Sen7 = os7 = os7 +os7 Sen os Trnsformndo producto: = = os5 os8 Sen os os8 Sen os perndo convenientemente: os8 = Sen6 Reemplzndo plicndo rtificio en el denomindor. Por rzones complementris os8 = = os8 Prolem Si Tn = ; 0 < < p Sen8 Sen clcule N = Sen os6 ) 0 5 D) 5 5 ) E) Respuest: ) 0 5 UNMSM - 0 Trnsformndo producto el numerdor. N = N = Dto: Tn = En (I) os6 Sen Sen os6 Sen os Sen = Sen Sen Por seno del dole N = os... (I) 0 0 N= N= 0 5 Respuest: 0 5 Prolem lcule: = os0 + os80 + os60 ) ) ) 0 D) / E) / UNMSM grupndo: = (os80 +os0 )+os60 Trnsformndo producto por reducción l primer cudrnte: = os60 os0 + os(80 0 ) Por fórmul reemplzndo vlores: = ( ) os0 +( os0 ) = 0 Respuest: 0 TEM TRIGNMETRÍ 6 6 SN MRS

37 TRIGNMETRÍ TEM 5 EUINES TRIGNMÉTRIS DESRR DE TEM I. DEFINIIÓN DE EUIÓN TRIG- NMÉTRI Son igulddes estlecids entre epresiones ue involucrn rzones trigonométrics de un o más vriles ue se verificn pr cierto número de vlores de dichs vriles. Pr ue un iguldd se considerd como un ecución trigonométric, l vrile deerá estr fectd de lgún operdor trigonométrico; tl como se oservrá en los ejemplos siguientes:. Sen + os = Sí es ecución trigonométric. Sen + os = Sí es ecución trigonométric. Senos = Sen Sí es ecución trigonométric. + Sen = + Sen No es ecución trigonométric 5. + Sen = + No es ecución trigonométric 6. + os = + Sen No es ecución trigonométric II. SUIÓN DE UN EUIÓN TRIG- NMÉTRI Se llmrá solución de un ecución trigonométric l vlor de l vrile ue verific l iguldd el conjunto formdo por tods ls soluciones de l ecución trigonométric se le llmrá conjunto solución de l ecución. Resolver un ecución trigonométric consiste en determinr tods ls soluciones de l ecución; es decir consiste en determinr su conjunto solución. Ejemplo: Resuelv e indiue ls dos primers soluciones positivs de: Sen = omo se conoce el vlor del seno, se le uic en l.t. se usc los rcos en los cudrntes correspondientes; en este cso como el seno es positivo uscremos en el primer segundo cudrnte los dos primeros rcos positivos ue cumplen l iguldd. = uego pr ue: Sen = Se oserv ue: = ; = ; Soluciones de l E.T. = Ejemplo Resuelv e indiue ls tres primers soluciones positivs de: os = omo el coseno es positivo lo uicmos en el primer curto cudrnte uscremos los tres primeros rcos positivos ue cumplen l iguldd. = / / = SN MRS 7 TRIGNMETRÍ TEM 5

38 EUINES TRIGNMÉTRIS iguldd: os = se cumple cundo: = ; ; + = ; 5 ; 7 = ; 5 ; 7 Soluciones de l E.T Ejemplo: Resuelv e indiue ls cutro primers soluciones positivs de: Tn = Pr resolver est iguldd se uic el rco pr el cul l tngente es igul se tom como referenci este vlor pr encontrr los rcos donde l tngente es igul. Tn = = 5 ; 7 ; + 5 ; + 7 = 5 ; 7 ; ; = ; ; 7 ; = ; ; 7 ; 6 5 III. SUIÓN GENER DE EUIÓN TRIGNMÉTRI Es l epresión en l cul se encuentrn generlizds tods ls soluciones de un ecución trigonométric. Ests epresiones están dds medinte l regl de formción eistente entre ls soluciones de l ecución trigonométric son otenids usulmente prtir de ls forms generles estlecids en l circunferenci trigonométric ( Z) Tn = iguldd: Tn = se cumple cundo el ángulo: = ; 7 ; + ; + 7 = ; 7 ; ; 5 + cudr. = = ; 7 ; ; 5 Soluciones de l E.T. ( + ) Ejemplo: Resuelv e indiue ls cutro primers soluciones positivs de: Sen = En l.t. uicmos pr ué rco del seno es luego tomremos este vlor como referenci pr encontrr los rcos donde el seno es. Ejemplo Resuelv l ecución e indiue su solución generl; siendo: Sen = 0 En l.t. uicmos dónde el seno es cero, prtir de lo cul generlizremos l solución de l ecución: 5 7 Sen = 0 iguldd: Sen = se cumplirá cundo el ángulo: = = Z TEM 5 TRIGNMETRÍ 8 8 SN MRS

39 EUINES TRIGNMÉTRIS Ejemplo: Resuelv l ecución e indiue su solución generl; siendo: Sen = En l.t. uicmos dónde el coseno es, prtir de lo cul se generlizrá l solución de l ecución. IV. EUINES TRIGNMÉTRIS EEMENTES Son uells igulddes en ls cules se conoce el vlor de un rzón trigonométric de un determind vrile son de l form: R.T(ω + ) = n Donde: : vrile o incognit ω: coeficiente ngulr n: vlor de l R.T. (n R) +. Sen = / Ecución trigonométric elementl. os = / Ecución trigonométric elementl Sen = = + = + = + Solución generl Z Ejemplo: Resuelv e indiue l solución generl de: Sen = En l.t. uicmos dónde el seno es igul generlizmos los rcos ue cumplen con l iguldd.. Tn = Ecución trigonométric elementl. Sen + os = Ecución trigonométric no elementl 5. Sen = + Tn Ecución trigonométric no elementl 6. Senos = Tn Ecución trigonométric no elementl V. EXPRESINES GENERES PR S RS undo se conoce el de un rzón trigonométric (ecución elementl), el rco o ángulo ue cumple con l iguldd se puede generlizr prtir de ls forms generles estlecids en l.t., siendo ests ls siguientes: /. Si se conoce el seno Si: Sen = VP() = rcsen() G = + ( ).VP() Z. Si se conoce el coseno Si: os = VP() = rcos() Sen = = ; G = ± VP() Z En generl: = + ; +. Si se conoce l tngente Si: Tn = VP() = rctn() G = + VP() Z = + ; + 6 Z SN MRS 9 TRIGNMETRÍ TEM 5 9

40 EUINES TRIGNMÉTRIS PREMS RESUETS Prolem Resolver: os = 0 Indicr ls primers soluciones. ) ; ; ) ; ; 6 7 ) ; ; 5 6 D) 0; ; E) ; ; NIVE INTERMEDI os = 0 os = De l.t. + = I IV 6 6 = 6 = = 6 = 6 = = 6 = 6 =.S. = ; ; Respuest: ; ; Prolem Resolver: Tn + = 0, indicr l sum de ls primers soluciones positivs. ) 00 ) 0 ) 0 D) 60 E) 80 NIVE INTERMEDI Tn = II IV Pr resolver se uic en l.t. el rco pr el cul l tngente es igul se tom como referenci este vlor pr encontrr los rcos donde l tngente es ( ). + = Tn = Tn60 = De l.t. = = 0 = = 00 Incognit = 0 Respuest: 0 Prolem Resolver: Sen = os Pr [0, ], indicr el número de soluciones. ) ) ) D) E) 5 NIVE DIFÍI Por el seno del ángulo dole Sen.os = os No conviene eliminr miemro miemro, porue estrímos eliminndo un conjunto solución, entonces: Senos os = 0 os(sen ) = 0 os = 0 = = Sen = 0 Sen = = 6 = 5 6 I IV Respuest: Número de soluciones = TEM 5 TRIGNMETRÍ 0 0 SN MRS

41 TRIGNMETRÍ TEM 6 RESUIÓN DE TRIÁNGUS IUÁNGUS DESRR DE TEM I. NEPTS PREVIS. Todo triángulo ue no es rectángulo, es denomindo triángulo olicuángulo.. Resolver un triángulo olicuángulo consiste en determinr los elementos principles de est figur (ldos ángulos), prtiendo de lgunos de ellos ue deen ser conocidos (uno de ellos dee ser un ldo).. Dependiendo de los dtos ue se teng en el triángulo, se pueden plicr diferentes teorems pr poder resolver est figur; siendo los teorems fundmentles los siguientes: Teorem del seno Teorem del coseno Teorem de ls tngentes Teorem de ls proecciones. De donde: = RSen = RSen c = RSen. e de cosenos En todo triángulo olicuángulo se cumple ue el cudrdo de l medid de un ldo es igul l sum de los cudrdos de ls medids de los otros dos ldos menos el dole producto de estos multiplicdo por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.. e de senos En todo triángulo olicuángulo se cumple ue ls medids de sus ldos son directmente proporcionles los senos de sus respectivos ángulos opuestos, siendo l constnte de proporcionlidd el diámetro de l circunferenci circunscrit l triángulo. De donde se tendrá: = + c cos = + c cos c = + os + c os = c c = = = R Sen Sen Sen R: ircunrdio + c os = c + c os = SN MRS TRIGNMETRÍ TEM 6

42 RESUIÓN DE TRIÁNGUS IUÁNGUS. e de ls tngentes En todo triángulo olicuángulo se cumple ue l diferenci de ls medids de dos de sus ldos es l sum de ests medids, como l tngente de l semidiferenci es l tngente de l semisum de los respectivos ángulos opuestos los ldos considerdos. III. DEMSTRIÓN DE EY DE SEN = + c = + c c = + c Tn Tn Tn Tn Tn Tn Trzmos el diámetro D, entonces: D = R. l unir el punto D con los vértices se otienen los triángulos rectángulos D D donde se oserv: m D = m m D = m D: R = Sen D: R = Sen Sen Sen = R = R c En form nálog se deduce ue = R Sen finlmente se puede estlecer ue: ; Sen = = c Sen Sen = R IV. DEMSTRIÓN DE EY DE SEN D. e de ls proecciones En todo triángulo olicuángulo se cumple ue l medid de un ldo es igul l sum de ls medids de los otros dos ldos multiplicdos cd uno de ellos por el coseno del ángulo opuesto l otro. c =.os + c.os =.os + c.os c =.os +.os Trzmos l ltur H, determinándose los triángulos rectángulos H H. H: (Resolución de triángulos) H = os H = Sen TEM 6 TRIGNMETRÍ SN MRS

43 RESUIÓN DE TRIÁNGUS IUÁNGUS H: (Teorem de Pitágors) = (Sen) + (c os) = Sen + c + os cos = (Sen + os ) + c c.os = + c c.os plicndo resolución de triángulos rectángulos en los triángulos determindos se tendrá: H = os H = cos En el triángulo, se oserv ue: = H + H = os + cos V. DEMSTRIÓN DE EY DE S TNGENTES Semos por el teorem del seno ue: = RSen = RSen Dividiendo se tendrá: = RSen RSen = Sen Sen plicndo proporciones: Sen Sen = + Sen + Sen Sen = + + Sen os os + + = Tn.ot + VII. ÁRE DE REGIÓN TRINGUR El áre de l región tringulr es igul l semiproducto de ls medids de dos de sus ldos multiplicdo por el seno del ángulo comprendido entre dichos ldos. c c c S = Sen = Sen = Sen Demostrción: S = + Tn Tn + VI. DEMSTRIÓN DE EY DE S PRYEINES Trzmos l ltur H, determinándose los triángulos rectángulos H H. c H: (Resolución de Triángulos) H = csen os H cos Pr clculr el ldo, trzmos l ltur H. Se determinn los triángulos rectángulos H H, en los cules los ldos c son sus hipotenuss. : (Por Geometrí) ()(H) S = = S = c Sen ()(c.sen) SN MRS TRIGNMETRÍ TEM 6

44 RESUIÓN DE TRIÁNGUS IUÁNGUS PREMS RESUETS Prolem De l figur clculr: os Prolem De l figur, clculr "". ) rcsen ) rctn ) rctn D) rcsen E) rctn ) ) + ) D) + E) Por le de senos Semos: Sen = Sen Sen = Sen(os + ) Reemplzndo: Sen(os + = Sen = os + os = Respuest: ) 9 ) ) 5 D) 7 E) Por le de cosenos: = + 5 ()(5)os60 = (5) = 9 = 9 Respuest: 9 Prolem De l figur. Hllr el ángulo "" D m D 0 Por le de senos en el D: m Sen = Sen0 m = Sen Sen0...() Tmién en el D: m = Sen(0 ) Sen0 Sen(60 + ) m =...() Sen0 () = () Sen = Sen(60 + ) Sen = os + Sen Sen = os + Sen Sen = os Tn = = rctn Respuest: rctn TEM 6 TRIGNMETRÍ SN MRS