RESUMEN. mejorando la solución reportada anteriormente en algunos de los experimentos.

Transcripción

1 Ingenare. Revsta chlena de ngenería, vol. 9 º 3, 20, pp Algortmo recocdo smulado para el problema de la programacón del tamaño del lote económco bajo el enfoque de cclo básco Smulated annealng algorthm to solve the economc lot schedulng problem and the basc cycle approach José Omar Hernández Salvador Hernández Idala Flores 2 Recbdo 30 de agosto de 20, aceptado 9 de dcembre de 20 Receved: August 30, 20 Accepted: ecember 9, 20 RESUME La programacón del tamaño del lote económco consste en determnar la secuenca y la cantdad a fabrcar de productos en un equpo o máquna, la cual tene una capacdad lmtada. Se trata de un problema P-duro y las propuestas de solucón son dversas. En esta nvestgacón se trabaja con el enfoque del cclo básco planteado por Bomberger, para el cual exsten varas propuestas, dentro de las cuales se pueden encontrar hasta el momento sólo algortmos genétcos en lo que se refere a la mplementacón de técncas metaheurístcas para resolver el problema. En este trabajo se resuelve el problema de muestra de Bomberger medante la metaheurístca recocdo smulado; las aportacones de esta nvestgacón conssten en la forma de obtener un espaco de búsqueda más restrngdo de las varables, y una estratega para controlar la exploracón del espaco de solucones que realza el algortmo, de tal manera que se realce una búsqueda efcente. ado que es una prmera mplementacón de recocdo smulado se expermenta con varas combnacones de parámetros. El algortmo obtene los msmos costos en cas todas las pruebas realzadas; sn embargo, en las pruebas donde la relacón P es alta, el algortmo se desempeña mejor, mejorando la solucón reportada anterormente en algunos de los expermentos. Palabras clave: Produccón, lote, nventaro, heurístcas, recocdo smulado. ABSTRACT The problem consdered s that of schedulng the producton of several dfferent tems over the same machne wth restrcted capacty and on a repettve bass. The problem s P-hard and there exst several methods for the problem. In ths research we wored wth Bomberger s basc cycle approach, for whch there are reported several soluton proposals, among whch are found so far only genetc algorthms n regard to the mplementaton of metaheurstc technques to solve the problem. We solved Bomberger s classcal example problem, applyng smulated annealng metaheurstc. The contrbutons of ths research consst on how to obtan bounds for search space of the varables, and a strategy to control the search along the soluton space performed by the algorthm. Because ths s a frst mplementaton, we tested several values of the parameters. The algorthm acheves the same cost n almost all tests and the algorthm performs better where the rato P s hgh, mprovng some of the results reported n the lterature. Keywords: Producton, lot schedulng, nventory, heurstcs, smulated annealng. Insttuto Tecnológco de Celaya, epartamento de Ingenería Industral. Antono García Cubas s/n. CP Celaya, Méxco. CP E-mal: bln_leoncampeon@hotmal.com; salvador.hernandez@tcelaya.edu.mx 2 vsón de Estudos de Posgrado, Facultad de Ingenería, Unversdad aconal Autónoma de Méxco. Crcuto Unverstaro s/n. C.P strto Federal, Méxco. E-mal: dala@servdor.unam.mx

2 Ingenare. Revsta chlena de ngenería, vol. 9 º 3, 20 ITROUCCIÓ La programacón del tamaño del lote económco consste en determnar la secuenca y la cantdad a fabrcar de productos en un equpo o máquna, la cual tene una capacdad lmtada. La solucón propuesta consste en un programa de produccón en el que se ncurre en costos por produccón y de almacenamento, además debe ser factble, es decr, debe ser una secuenca que se repte de manera ndefnda sn nterferencas y no sobrepase la capacdad del equpo. Este problema ha recbdo mucha atencón a partr de las propuestas de Rogers [] y Bomberger [2]. Este últmo presenta nclusve un ejemplo numérco que a la fecha ha servdo como referenca para probar los procedmentos desarrollados. Se trata de un problema catalogado como P-duro, (no se cuenta con un algortmo que lo resuelva en tempo acotado por un polnomo), para el que se han propuesto una gran varedad de procedmentos para obtener una solucón. e acuerdo a Khouja, Mchalewcz y Wlmot [3] exsten dos enfoques de estudo para la programacón del lote económco:. Encontrar una solucón al problema restrngdo, en donde es necesaro ncorporar restrccones adconales al modelo. Como ejemplos son el enfoque de cclo común propuesto por Hanssmann [4], el enfoque de Bomberger [2], ctado anterormente y conocdo como cclo básco o período básco, y el cclo básco extenddo propuesto por Elmagrhaby [5]. 2. Encontrar una solucón al problema orgnal y posterormente verfcar la factbldad de la solucón propuesta, en este caso el tamaño de la corrda de produccón puede varar entre cada corrda programacón y por esto se le conoce tambén como Tamaño de Lote varable (Varable-lot-sze). Aquí se encuadran, por ejemplo, los trabajos orgnales de Rogers [] ctado más arrba, Maxwell [6], elporte y Thomas [7], obson [8] por menconar solamente algunos. Esta línea cuenta con una ampla lteratura, ncluyendo metaheurístcas, las cuales se han reportado en [9], [0] y []. Para dar solucón al problema bajo el enfoque de cclo básco, exste una dversdad de propuestas. En los trabajos de Bomberger [2], Elmagrhaby [5] y Axsäter [2] utlza programacón dnámca, Grznar y Rggle [3] se proponen una técnca de optmzacón global, Yao y Elmagrhaby [4] y Yao [5] proponen métodos de solucón basados en potencas de 2. Tambén se han desarrollado procedmentos heurístcos reportados por Madgan [6], Goyal [7] o oll y Whybar [8]. En cuanto a las técncas metaheurístcas mplementadas, el trabajo más conocdo corresponde a Khouja, Mchalewcz y Wlmot [3] donde se resuelve el modelo del cclo básco medante Algortmos Genétcos (AG). Una conclusón mportante del trabajo es que resuelve problemas donde la relacón de la demanda con P es respecto a la rapdez de produccón P alta, en otras palabras, con una elevada utlzacón de la capacdad del equpo. Hasta el momento, no hay otro estudo que aplque alguna técnca metaheurístca sobre el enfoque del cclo básco orgnal que propuso Bomberger. Fnalmente para el caso del cclo básco extenddo de Elmagrhaby se pueden menconar los trabajos de Par y Yun [9] y Phllpoom, Rees y Taylor [20] basados en enumeracón de las solucones. En lo que respecta a metaheurístcas mplementadas en esta línea de nvestgacón se pueden menconar los AG s de Chatfeld [2] y Hanan [22]. Es mportante menconar las revsones sobre el tema y los enfoques de solucón: el trabajo clásco de Elmagrharby [5] hace una crítca de los procedmentos y enfoques de solucón propuestos hasta 978; en Rafe [], Chatfeld [2], así como la dsertacón doctoral de Hanan [22], todos ellos enlstan los trabajos reportados a partr de 978 y abarcan los últmos 30 años. La presente nvestgacón se encuadra en la prmera línea de trabajo: el enfoque del cclo básco propuesto por Bomberger [2]. La contrbucón del trabajo consste en:. Resolver el modelo de cclo básco de Bomberger utlzando recocdo smulado (RS), pero mplementando nuevas estrategas para calcular un espaco de solucones más restrngdo de las varables, a dferenca por ejemplo de [3]. 2. Proponer crteros para drgr la búsqueda sobre aquellas varables en las que exste un espaco de solucones más amplo. ado que se trata de una prmera mplementacón de recocdo smulado para el enfoque de cclo básco, 474

3 Hernández, Hernández y Flores: Algortmo recocdo smulado para el problema de la programacón del tamaño del lote se exploran dstntas combnacones de parámetros y las solucones se comparan con las que se reportan en Khouja, Mchalewcz y Wlmot [3], fnalmente se realza un análss sobre el comportamento del algortmo bajo dstntos escenaros P, en otras palabras, sobre la utlzacón del equpo. El artículo consta de las sguentes seccones: prmero se muestra el modelo de optmzacón, descrbendo al fnal el enfoque de Bomberger, a contnuacón se presenta una breve ntroduccón a la técnca RS, posterormente se descrbe la mplementacón del algortmo, a contnuacón se presentan los expermentos y los resultados con su dscusón, segudo de las conclusones y las referencas. MOELO E OPTIMIZACIÓ La notacón utlzada en este trabajo se presenta en la Tabla. Tabla. otacón. CT: Costo total ($/día). : Índce de producto. CT : Costo total ndvdual ($/día). : úmero de productos. a : Costo de preparacón del producto ($). : emanda del producto (undades /día). h : Costos por almacenar el producto ($/undad.día). T: Período Básco, varable contnua (días). T : Período ndvdual (días). t : Tempo de preparacón ndvdual (días). : Frecuenca de produccón del producto, varable entera. P : Rapdez de produccón (undades/día). T mn : Cota nferor del período base (días). T max : Cota superor del período base (días). U: Funcón de probabldad unforme. V: Vecndad de la solucón x. r: Iteracón. m: Multplcador de Lagrange. l: Constante de penalzacón. ε: Crtero de paro de recocdo smulado. l,ζ, γ: úmeros aleatoros. El problema consste en construr un programa de produccón, en donde se especfque cada cuánto tempo debe programarse la corrda del producto con demanda constante [2]. Los supuestos para construr el modelo son: () Sólo puede fabrcarse un producto a la vez. (2) La fabrcacón del producto mplca un tempo y un costo de preparacón del equpo. (3) El costo de preparacón y el tempo de preparacón son ndependentes de la secuenca de produccón. (4) La demanda y la rapdez de produccón del producto son conocdas y constantes. (5) Se debe cubrr toda la demanda de cada producto. (6) Exste un costo por almacenar el producto. (7) El costo total de produccón del producto para un determnado período es gual a la suma del costo de preparacón más el costo de almacenamento. (8) El tempo requerdo para la fabrcacón del producto es la suma del tempo de preparacón más el tempo para la fabrcacón. La solucón consste en un vector T, T 2,,T, donde T es el período que transcurre entre dos corrdas de fabrcacón consecutvas del producto : ncluye el tempo requerdo para la preparacón, tempo para la fabrcacón y el tempo para permtr la produccón de otros productos y satsfacendo la demanda. El costo ndvdual de fabrcacón es la suma del costo de preparacón y el costo de almacenamento dados por la sguente ecuacón: CT a h = + T 2 P T () El costo total es la suma de los costos ndvduales: CT = CT = = = a h + T 2 P T (2) ervando (2) con respecto a T y despejando la varable de decsón se obtene (3), con la que se calcula el valor óptmo del cclo de tempo ndvdual: T = h 2a P ( ) (3) La solucón de esta ecuacón es conocda como solucón ndependente y proporcona una cota nferor del costo, aunque es óptma para el problema sn restrccones [9]. Cabe señalar que por el momento no se ha obtendo una solucón para el problema 475

4 Ingenare. Revsta chlena de ngenería, vol. 9 º 3, 20 general [3,6], por lo que se ha optado por agregar restrccones o supuestos al período ndvdual T, como son el cclo común (CC) propuesto por Hanssmann en 962 [4] o ben restrngr el período de tempo ndvdual a un múltplo entero de un cclo básco T propuesto por Bomberger en 966 [2]. El CC consste en suponer que los productos comparten el msmo período de tempo y se fabrcan en el msmo orden en cada programa de produccón. Además la solucón debe ser factble, es decr, el cclo de tempo debe ser sufcente para acomodar todos los productos [2]. Bajo estas condcones el modelo de optmzacón se puede plantear como: Mn a h CT = CT = T + 2 P T Sujeto a: = = a T + T P = (4) (5) La funcón objetvo dada por (4) debe mnmzarse, la restrccón (5) asegura que el cclo es sufcente para acomodar todos los productos y la varable de decsón es el cclo común T. ervando la funcón de costo, sn tomar en cuenta la restrccón se obtene la sguente expresón para calcular el valor de T: T = = 2 = a h P El valor T* bajo el enfoque de CC, será: donde T mn [ ] (6) T* = max T, Tmn (7) = = a = P S los cclos ndvduales son muy cercanos entre sí, la solucón del enfoque de CC proporconará una solucón muy cercana al óptmo, sn embargo esto no sempre sucede en la práctca [2]. El enfoque de Bomberger Bomberger propuso una condcón para satsfacer tanto la restrccón de la capacdad como la de repettvdad y que en prncpo parece bastante smple y que se conoce como cclo básco o perodo básco. En su modelo, Bomberger establece que el cclo ndvdual T debe ser un múltplo entero del cclo básco, planteándolo como T = T, donde es la frecuenca de produccón y T es el cclo básco [2]. Tomando en cuenta la consderacón anteror, se puede plantear la restrccón para la capacdad y para la factbldad de la solucón propuesta de la sguente manera: t + P T T = (8) La restrccón expresa que el cclo básco debe ser sufcente para acomodar la fabrcacón de los productos sn volar la capacdad del equpo y sn que se presenten nterferencas. S la restrccón del cclo ndvdual se substtuye tambén en (2) se obtene la sguente ecuacón de costo: CT = a h CT = T + 2 P T = = (9) La funcón de costo tene ahora una varable contnua y varables dscretas, obtenéndose una funcón no-convexa. El modelo de optmzacón completo es el sguente: Mn a h CT = + T 2 P T (0) Sujeto a: = t + T P = () T > 0 (2) yentero (3) 476

5 Hernández, Hernández y Flores: Algortmo recocdo smulado para el problema de la programacón del tamaño del lote La solucón del modelo consste en determnar el período básco óptmo T* (varable contnua) y la frecuenca de fabrcacón óptma (varable entera) de los productos, (0) es la funcón de costo y debe mnmzarse, () es la restrccón de capacdad y la factbldad de la solucón propuesta, (2) es la restrccón para la varable contnua y (3) corresponde a la restrccón para las frecuencas. Se trata de un problema no-convexo, donde para cada combnacón de frecuencas exste un valor T* que mnmza el costo de la funcón, por lo que tene varos mínmos locales y un mínmo global [4, 5]. LA TÉCICA E RECOCIO SIMULAO Las técncas metaheurístcas son un conjunto de algortmos generales para optmzacón combnatora; una de sus característcas es que no están dseñados para un problema concreto, todo lo contraro, son procedmentos muy flexbles y esto permte que sea posble aplcarlos a la gran mayoría de los problemas combnatoros. Las técncas más populares son los Algortmos Genétcos, la Búsqueda Tabú y el Recocdo Smulado. El Recocdo Smulado (RS) es un procedmento ntroducdo por Krpatrc, Gelatt y Vecc [23] y ha sdo empleado con frecuenca para resolver problemas combnatoros (Fgura ). La dea surge del proceso físco conocdo como recocdo, en el cual se eleva la temperatura de un sóldo hasta el punto que se vuelve líqudo, a contnuacón la temperatura se dsmnuye de forma paulatna para obtener una estructura crstalna sn defectos (estado basal). El RS nca con una solucón x, se seleccona a contnuacón una solucón vecna x dentro de certa vecndad o regón V, posterormente se evalúa f(x) y f(x ). El algortmo: Repetr 2 Repetr (para certo c) 3 Selecconar aleatoramente x en vecndad V(x). 4 Sea Δ = f(x ) f(x) 5 S Δ< 0 entonces x = x 6 En otro caso generar aleatoramente l U(0,) 7 S l < exp(δ/c) entonces x = x 8 Hasta llegar a equlbro. 9 Actualzar temperatura c. 0 Hasta condcón de parada. Fgura. Algortmo recocdo smulado. S la solucón vecna mejora el valor de la funcón objetvo se acepta con probabldad, en caso contraro se calcula la probabldad para aceptarla medante el crtero de Metrópols dado por (4). [ ] Pr aceptar x ' = f ( x' ) < f ( x) f( x' ) f x exp ( ( ) c ) f ( x' ) f ( x) (4) Al valor c se le conoce como el parámetro de control; el valor ncal c 0 debe ser tal que al nco las solucones de mala caldad tengan una probabldad alta de ser selecconadas, a medda que c dsmnuye la probabldad de aceptar solucones de pobre caldad dsmnuye tambén y el algortmo se detene por ejemplo cuando c rebasa un umbral ε, fnalmente el número de solucones vecnas evaluadas a un valor de c debe asegurar una buena exploracón del entorno [23, 24]. IMPLEMETACIÓ EL ALGORITMO A contnuacón se presenta una descrpcón breve de la mplementacón del algortmo RS. La dea de construr un espaco de solucones tal que la búsqueda heurístca se realce de manera efcente es básca en la mplementacón de técncas metaheurístcas; en este sentdo la aportacón sustancal de este trabajo es, por un lado, la propuesta de ntervalos de búsqueda más restrngdos para el problema en comparacón con los utlzados por ejemplo en [3], y por otro los crteros para drgr la búsqueda sobre regones donde exste una mayor cantdad de combnacones en el caso concreto del algortmo RS. Espaco de búsqueda para las varables Varable contnua: Exsten varas propuestas para obtener una mejor cota de la varable contnua. esde el punto de vsta de las técncas metaheurístcas, se debe selecconar un valor del cclo básco dentro de certa vecndad o entorno T V(T), el entorno está defndo por el ntervalo V=(T mn, T max ). Un ntervalo natural que se puede utlzar de forma ncal es el que está defndo por la solucón ndvdual y se calcula con las sguentes fórmulas: 477

6 Ingenare. Revsta chlena de ngenería, vol. 9 º 3, 20 Tmn = mn[ T ] (5) T max = max[ T ] (6) Se han propuesto nuevas cotas para el ntervalo anteror, por ejemplo: en [3] donde se aplcan AG, se construye una cota nferor que está por debajo del valor T más pequeño, el argumento está basado P en el hecho de que a medda que la relacón dsmnuye, la solucón óptma del problema se mueve haca la solucón ndependente. Se realzaron algunas pruebas en este sentdo y s ben esto es váldo, el valor óptmo del cclo básco no rebasó el valor más pequeño de T del problema de Bomberger. En lo que respecta a la cota superor, dversos autores obtenen el valor T max substtuyendo = para =,2,, n productos en (7) [3, 2, 5, 7]. a 2 = T = h ( P ) = 2 (7) En este trabajo se aplca (7) para obtener el valor T max. La propuesta que se muestra a contnuacón srve para mejorar el ntervalo del cclo básco, para esto se aplcó el procedmento de Vswanathan [25] utlzado en el problema de reaprovsonamento de productos múltples, pero modfcándolo para el problema del tamaño económco de lote. Se usó dcho procedmento para reducr el espaco de búsqueda a un ntervalo más pequeño. Algunas pruebas realzadas mostraron que este procedmento aplcado para calcular la cota nferor en el problema estudado aquí dejaba fuera el valor óptmo T*, por lo que en este trabajo se mplementa úncamente la parte del algortmo para calcular la cota superor y que se muestra a contnuacón: Cota superor. r 0 2. Calcule el cclo básco T r con (7). En la prmera teracón, calcule T 0 utlzando = para =,2,. 3. Calcule los valores de frecuenca óptmos medante la regla de redondeo propuesta por Goyal [7]: T T T ρ ( ρ ) < Tρ < ( Tρ) ( ( Tρ) + ) ( ) ( ) (8) 4. eténgase cuando no exsta un cambo en los valores de frecuenca en dos teracones consecutvas y vaya al paso 5, en caso contraro ρ = ρ+ y vuelva al paso Sea Tact Tρ, calcule T max = T mn + T act. Por lo general, el procedmento para mejorar la cota superor no requere más de cuatro teracones. Varable entera: A contnuacón se detalla la forma en que se obtene el ntervalo de búsqueda de la varable entera, y que se encuentra en la regón V(). En esta mplementacón se expermentó con una cota superor más restrngda para los valores de frecuenca a dferenca de la utlzada en [3]. Es conocdo el hecho de que la cota nferor de la frecuenca es =, es decr, dcho producto se fabrcará en cada corrda de produccón, por lo que el valor de la frecuenca se obtene del ntervalo de búsqueda defndo como *,max. Para calcular,max se procede como sgue:. Calcule el valor de cclo ndvdual con (3). 2. Ordene los productos de manera ascendente. etermne el mínmo con (5). 3. La frecuenca de peddo máxma se calcula con (9):,max T = (9) Tmn Como se observa a partr de (9), exste al menos un producto que se solctará con frecuenca. Se debe consderar que:. La seleccón del producto se hace de manera aleatora, y 2. Exsten productos con un espaco de solucones lmtado, por ejemplo, al ntervalo de valores de frecuenca 3 y al msmo tempo hay productos con ntervalo más amplos, por ejemplo

7 Hernández, Hernández y Flores: Algortmo recocdo smulado para el problema de la programacón del tamaño del lote Al construr el entorno de búsqueda para la varable entera es necesaro asegurarse de que la exploracón se realce de forma ntelgente. En esta mplementacón, se drge la seleccón haca los productos con un ntervalo más amplo con el objeto de que el algortmo explore regones con mayor número de combnacones. En este sentdo se desarrolló el sguente procedmento para determnar las probabldades de seleccón de cada artículo:. Sume las frecuencas de aquellos productos que cumplen con,max > :,max >,max 2. Obtenga la probabldad de seleccón medante: Pr ( x' = ) =,max,max,max > (20) Como se puede aprecar, la probabldad de seleccón del elemento es mayor para aquellos en los que el espaco de búsqueda es más amplo, o dcho de otra forma, donde la dferenca entre,mn y,max es mayor. Obtencón de la solucón vecna El problema consste en mnmzar una funcón que consta de una parte contnua correspondente al cclo básco T y la parte entera representada por las frecuencas (, 2,, ); la solucón completa está defnda por el vector (T,, 2,, ). ado que son dos tpos de varables se seleccona una a la vez. Para este fn se genera un número aleatoro γ en el ntervalo (0, ) utlzando una dstrbucón unforme U: s γ 0,5 se seleccona la varable contnua, en otro caso se seleccona la varable entera. Para acceder a la solucón vecna se procede de acuerdo al tpo de varable selecconada, y esto se descrbe a contnuacón. Varable contnua: Una vez defnda la vecndad o entorno V = (T mn, T max ), y que ya es un ntervalo mejorado con el procedmento descrto más arrba, se seleccona un punto dentro del ntervalo de manera aleatora utlzando una dstrbucón unforme U. Varable entera: Una vez que se ha selecconado el producto, se perturba su frecuenca para acceder a la solucón vecna sendo las operacones váldas [ +, ], de las cuales se escoge una aleatoramente aplcando (2). Pr ( selecc. op. )= + S ζ > 0,5 Enotro caso (2) onde ζ es un número aleatoro generado en el ntervalo (0,) utlzando una dstrbucón unforme U. Cabe aclarar que en caso de que el valor actual de la frecuenca sea,max, la operacón se seleccona con probabldad, del msmo modo s la frecuenca actual es, entonces la operacón + se seleccona con probabldad. Evaluacón de la solucón vecna propuesta: Una vez que se ha obtendo la solucón vecna (escogendo el valor de T o ben perturbando la varable entera), se evalúa su caldad. Para este trabajo se empleó la sguente funcón de Costo Total Penalzado (CTP) que evalúa la caldad del plan de produccón propuesto: a h CTP = + T 2 P T λ c [ ] + Φ onde: = t max 0, T P Φ= + = (22) (23) La constante λ c es el costo adconal en el que se ncurre s la solucón no cumple con la restrccón a un valor c dado, la funcón Φ es la penalzacón que se actva para aquellas solucones que no satsfacen la restrccón. En esta mplementacón la estratega consstó en una penalzacón de tpo dnámco, en cada descenso de temperatura se ncrementa el valor de la constante λ c. λc = λ+ 00 (24) Es necesaro determnar s la solucón devuelta por RS es factble. Construyendo la funcón lagrangeana del problema de optmzacón se tene: 479

8 Ingenare. Revsta chlena de ngenería, vol. 9 º 3, 20 a h L = + T 2 P T + = µ = t T P + (25) Fjando los valores de la frecuenca y dervando con respecto al cclo básco se obtene la sguente expresón para calcular el cclo básco óptmo T* en funcón de las frecuencas y donde se toma en cuenta la restrccón: a 2 + µ t = = T* = h P = 2 (26) Cuando la solucón devuelta por RS es factble (es decr, exste sufcente capacdad para acomodar todos los productos) exstrá holgura en la restrccón y por las condcones de optmaldad el valor del multplcador de Lagrange es cero [26]. En caso contraro, se debe calcular el valor del cclo básco T* y el valor de µ que satsfacen la restrccón con el procedmento sguente: t. S T P + 0, perturbe el valor de = μ, y actualce el valor de T*con (26). 2. Repta hasta obtener el valor del multplcador de Lagrange y del cclo básco T* que satsfacen la restrccón, calcule el costo. EXPERIMETOS Y RESULTAOS El algortmo (Fgura 2) se codfcó en Fortran 90 y se realzaron las pruebas en una computadora con procesador Intel 5 y 4Gb de memora RAM. Para estudar el desempeño del algortmo se emplearon los datos de la Tabla 2, estos corresponden a un problema que ha sdo utlzado desde su aparcón como referenca para probar los algortmos desarrollados realzando las evaluacones bajo tres escenaros de demanda que se calculan medante la fórmula: El algortmo RS-problema del lote económco: Repetr 2 Selecconar varable de decsón (contnua, entera). 3 Repetr (para certo c). 4 Seleccone aleatoramente x en vecndad V(x). 5 Sea Δ = f(x ) f(x). 6 S Δ< 0 entonces x = x. 7 En otro caso generar aleatoramente l U(0,). 8 S l < exp(δ/c) entonces x = x. 9 Hasta llegar a equlbro. 0 Actualzar temperatura c. Hasta completar enfrado. 2 Leer Solucón. 3 S Solucón vola restrccón de capacdad y factbldad. 4 Repetr. 5 Perturbe multplcador de Lagrange. 6 Hasta Solucón factble. 7 Leer solucón fnal. Fgura 2. Algortmo recocdo smulado para el problema del tamaño del lote económco. onde es la demanda, r = (demanda base), r = 3 (demanda ntermeda) y r = 4 (demanda alta). Tabla 2. atos del problema [2]. a ($) (u/día) P (u/día) t (días) h 0exp5 ($/u. día) ,25 0, ,25 0, ,25 0, ,25 0, ,5 0, ,25 0, , ,5 0, ,75 0, ,25 0, En la Tabla 3 se muestran los valores de los parámetros del algortmo utlzados en la prmera fase de pruebas, así como el esquema de enframento, el cual en esta mplementacón es del tpo geométrco. r, = r (27) 480

9 Hernández, Hernández y Flores: Algortmo recocdo smulado para el problema de la programacón del tamaño del lote Tabla 3. Parámetros de RS. Factor Valor c 0 ncal 5000 úmero de solucones vecnas exploradas c = αc Esquema de enframento Rapdez de enframento (α) 0,95 Sstema frío (ε) 0, En las mplementacones de técncas metaheurístcas se debe determnar de manera expermental el comportamento del algortmo varando los valores de los parámetros. El valor ncal del parámetro de control c 0 debe asegurar que al nco se acepten la mayor parte de las solucones de mala caldad, en esta mplementacón el valor asegura que se aceptan al menos un 50% de los vecnos generados. En la Fgura 3 se muestra a modo de lustracón la dspersón de los cambos aceptados para r = 4, de acuerdo al número de puntos explorados y c 0 = El número de puntos o solucones exploradas a un certo valor c debe ser tal que se asegure una buena evaluacón de la vecndad de la solucón. En cada escenaro de demanda se realzaron las pruebas varando el número de vecnos:, 0 x, 50 x y 00 x (Tabla 3). En cuanto al sstema de descenso de temperatura, se utlzó el esquema geométrco que es el recomendado para las mplementacones ncales de RS [23]. Para la constante de la rapdez de enframento α la lteratura recomenda un valor tal que no provoque una convergenca prematura haca un óptmo local, debéndose selecconar un valor entre (0,8-0,99), se selecconó por el momento un valor 0,95, el sstema se consdera frío cuando el valor de c es menor a 0, [23, 24]. Los resultados se muestran en la Tabla 4 a y b, la cual se descrbe a contnuacón: la era columna muestra la relacón P, la 2da columna presenta la solucón devuelta por el método de programacón dnámca de Bomberger, la 3era columna presenta los resultados obtendos con AG (mejor resultado reportado), la 4ta columna contene el costo obtendo con RS en las dstntas pruebas y la 5ta columna presenta el número de puntos explorados. a) b) 0 x c) 50 x d) 00 x Fgura 3. spersón de cambos aceptados vs número de vecnos explorados. 48

10 Ingenare. Revsta chlena de ngenería, vol. 9 º 3, 20 Tabla 4. Costo devuelto por RS. a) P = 0,66 P Bomberger AG RS Ptos. expl. 7024, , , ,66 778,4 7024, 7029, , , , b) P = 0,88 P Bomberger AG RS Ptos expl , , , , , , , , P Para el caso de = 0,66 los costos obtendos con RS presentan una dferenca promedo de 0,075% con respecto a la mejor solucón reportada con AG, sendo la máxma 0,27%; el mejor resultado que devuelve RS tene un costo de 7023,87, sendo el cclo básco 30,46. cho costo es 0,0034% menor al mejor resultado con AG, el cual reporta un valor de cclo básco gual a 30,458. P Para las pruebas con = 0,88 se obtene una dferenca promedo con respecto a los costos reportados con AG de 0,034%; el mejor resultado obtendo en esta sere de pruebas con RS regstró un cclo básco de 38,444 días, donde la dferenca en costo es 0,0052% con respecto al obtendo con AG. El valor del cclo básco T obtendo con AG es 38,4442. Igualmente, se muestra en la últma columna el número de puntos explorados a un certo valor de c. En el caso de las pruebas con P = 0,88 la dferenca en los resultados se debe al valor del cclo básco T, ya que los valores de las frecuencas son smlares a los reportados con AG. En las Fguras 4a, 4b y 4c se lustra la manera en que RS converge haca la solucón de dos pruebas en cada escenaro de demanda y el número de solucones exploradas (la prueba con 500 se omte para mejorar la legbldad de las fguras). Se observa, por ejemplo, que una muestra de vecnos no asegura una buena exploracón del entorno y el resultado es una solucón de mala caldad dada la lenta convergenca; de hecho, sería necesaro ncrementar la constante de la rapdez de enframento para que el descenso fuera más lento, sn embargo, esto repercutrá en el tempo de ejecucón. En comparacón al utlzar 0 x o ben 00 x vecnos, se observa que rápdamente el algortmo va obtenendo solucones de buena caldad. En cuanto al tempo de ejecucón, este crece de forma lneal y se encuentra entre 20 y 30 mlsegundos (Fgura 5). La segunda parte de las pruebas se realzaron varando la relacón P tal y como se muestra en [3]; en este trabajo se realzaron pruebas con, 0 x y 00 x para el número de solucones vecnas exploradas. En esta sere de pruebas el algortmo RS obtene resultados que en general se encuentran dentro de una regón muy cercana a los reportados anterormente con AG, por lo que se refuerza el argumento de que en varas de las pruebas se ha encontrado una solucón cercana al óptmo [3]. Cabe señalar que en un caso se observó una dferenca sgnfcatva con respecto al resultado prevo de la lteratura. Los resultados se muestran en las Tablas 5a, 5b y 5c y se descrben a contnuacón: la era P columna muestra la relacón, la segunda columna muestra la solucón ndependente, la 3era contene el mejor resultado obtendo con AG y reportadas en [3], la 4ta es el resultado devuelto con RS, la 5ta presenta el valor de T, fnalmente la últma columna es el número de puntos o solucones vecnas exploradas. Para el caso P = 0,99 la mejora es de 4,638% con respecto al resultado obtendo con AG y es la mejora más mportante obtenda de toda la mplementacón, para P = 0,98 la mejora es de 0,083%, con P = 0,97 se alcanza una mejora de 0,02% y fnalmente para P = 0,95 la mejora es de 0,88%. 482

11 Hernández, Hernández y Flores: Algortmo recocdo smulado para el problema de la programacón del tamaño del lote a) r=, = 0,22 P a) = 0,66 P b) r=3, = 0,66 P b) = 0,88 P Fgura 5. Tempo de ejecucón (mlsegundos) vs puntos explorados a dstntos valores de. P c) r=4, = 0,88 P Fgura 4. Convergenca de RS para los escenaros de demanda propuestos por Bomberger, c 0 =5000. El algortmo RS devuelve solucones con costos muy cercanos a los reportados anterormente en los casos P = 0,86, 0,83, 0,80, 0,65, 0,60, 0,55 y 0,50; en las pruebas con P = 0,92, 0,89 y 0,75 y 0,70, RS obtene solucones que s ben son muy cercanas a la solucón óptma, quedan por arrba de las reportadas anterormente: para las pruebas con P = 0,92 la mejor solucón que devuelve RS se aproxma a un 0,09%, con P = 0,89 RS se aproxma a 0,0207% del costo reportado anterormente, para la prueba con = 0,75 RS P se aproxma a 0,087% del costo obtendo con AG y con P = 0,70 RS se aproxma a 0,0407% del mejor resultado obtendo con AG. COCLUSIOES En esta nvestgacón se mplementó el algortmo Recocdo Smulado al problema de la programacón del tamaño económco de lote, estudado desde hace varas décadas. La aportacón de este trabajo es la obtencón de cotas más restrngdas para ambas varables, tambén se muestra una estratega para una seleccón efcente de las varables enteras, y realzar una exploracón con un mejor control. El algortmo RS obtene resultados smlares a los reportados en [3] con AG reforzando la conclusón de que se ha obtendo la solucón óptma; en algunas de las pruebas RS devuelve solucones con un mejor costo al reportado con anterordad. En los 483

12 Ingenare. Revsta chlena de ngenería, vol. 9 º 3, 20 Tabla 5. Resultados de las pruebas. a) alto P P S.I. AG RS T 0, , ,92 0, , , ,4 87,97 0, ,53 743,83 740,3 25,03 0,95 78,6 208,08 92,3 74,55 0,92 774, ,8 0,89 764, ,55 b) ntermedo P P Ptos expl ,25 54, ,96 54, ,67 53, , ,78 4, ,39 4, Ptos expl. 8566,3 36, ,445 38, ,33 30, ,79 36, ,83 35, ,06 35, ,93 36, ,38 33, ,54 36, ,26 3, , ,42 32, S.I. AG RS T 0,86 75, ,3 0, , ,29 0,8 7295, 8096,0 0,75 703, ,63 P expermentos donde la relacón es alta, RS obtene mejoras sgnfcatvas con respecto a lo reportado anterormente con AG. S ben RS obtuvo resultados smlares, aún quedan líneas por explorar: realzar pruebas con nstancas generadas de manera aleatora, un esquema de enframento dstnto o ben un nuevo esquema de obtencón de las solucones vecnas más efcente. c) bajo P P Ptos. expl. 7579,79 34, ,84 33, ,475 33, ,22 30, ,08 30, ,809 30, ,0 29, ,75 29, ,72 30, ,09 28, ,507 29, ,42 28, ,68 28, ,57 26, ,776 30,7 000 S.I. AG RS T 0,7 690, ,46 0, ,3 694,7 0,6 6459,9 662,75 0,55 628, ,67 0,5 5960, ,4 e gual forma, sería nteresante aplcar el algortmo resolvendo una aplcacón real. Tambén queda por explorar el uso de dseños expermentales para estudar el efecto de los parámetros del algortmo y su posteror calbracón, en aras de obtener un algortmo efcente y robusto. AGRAECIMIETOS Los autores agradecen al árbtro sus valosas observacones, las cuales enrqueceron y mejoraron este trabajo. REFERECIAS [] J. Rogers. A computatonal approach to the economc lot schedulng problem. Management Scence. Vol. 4, Issue 3, pp Aprl, 958. ISS [2] E. Bomberger. A dynamc approach to a lot sze schedulng problem. Management Scence. 2, Issue, pp July, 966. ISS [3] M. Khouja, Z. Mchalewcz, W. y M. Wlmot. The use of genetc algorthms to solve the economc lot sze schedulng problem. European Journal of Operatonal Research. Vol. 0, Issue 3, pp ovember, 998. ISS

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