Fatela Preuniversitarios

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1 MATEMÁTICA GUÍA º 13 SISTEMAS DE ECUACIO ES LI EALES" En est guí se trtrá sore: Sistems de Euiones, Métodos de Resoluión: Form Gráfi. Sustituión. Igulión. De Reduión por Sums y Rests. Determinntes (Pr y 3 euiones). Tipos de Soluiones de Sistems de Euiones. Sistem Comptile Determindo. Sistem Comptile Indetermindo. Sistem Inomptile. Prolems on Sistems de Euiones. Ineuiones on dos inógnits: Soluión Gráfi. Sistems de Ineuiones. Prolems on Sistems de Ineuiones. Ftel SISTEMAS DE ECUACIO ES LI EALES Genérimente un Sistem de Euiones Lineles se present omo: 1 x + 1 y = 1 x + y = Un Sistem de Euiones Lineles onsiste en dos euiones lineles on dos inógnits "x" e "y" que están relionds entre sí Ls euiones son "lineles" puesto que tnto l "x" omo l "y" sólo preen elevds l primer poteni. Los oefiientes 1, 1, 1,, y son números reles y onstntes. Resolver un sistem de euiones impli enontrr los vlores de "x" y de "y" que stisfgn ls dos euiones l mismo tiempo. Pr logrr esto, existen diversos métodos que veremos ontinuión: Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles - 1-9

2 MÉTODO GRÁFICO Ftel Cd euión on dos inógnits, es un funión linel que se hll implíit. El método gráfio onsiste en despejr ls funiones implíits "y" de ms euiones, pr luego grfirls (usndo el onepto pendiente y ordend l origen, por ejemplo). Si se tienen dos rets que no son prlels, entones ls misms se ortrán en un punto P(x;y) uys oordends son l soluión "x" e "y" del sistem. O se que todos los puntos de un ret, representn los pres ordendos (x;y) que stisfen un sol euión; y hrí sólo un punto del plno P(x;y) que l perteneer ls dos rets l vez (es su interseión) stisfe l mismo tiempo ls dos euiones. Por eso ls oordends de este punto "P" son l soluión del sistem. x + y = 4 3 x y = 4 4 x y = 4 3x y = 1 y = x + 3 y = x y Soluión Gráfi P(x;y) y = 1 x x = L soluión gráfi puede no ser muy preis, por ello existen métodos nlítios que permiten onoer l soluión ext. MÉTODO DE SUSTITUCIÓ Es un método nlítio que onsiste en despejr un inógnit ("x" o "y") de un euión (l primer o l segund) y reemplzrl en l otr euión. Con ello se otiene un euión de primer grdo on un sol inógnit ("y" o "x", respetivmente). Se resuelve l mism y un vez hlld dih inógnit se Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles - -9

3 Ftel reemplz en l expresión despejd l omienzo fin de hllr l otr inógnit, oteniéndose sí l soluión del sistem de euiones. x + y = 4 3 x y = 4 3 x 4 x = 4 3 x 4 + x = 4 4 x = 8 x = 4 x y = 4 = = y = 1 Soluión = {(; 1)} El Método de Sustituión tmién sirve pr resolver Sistems de Euiones no Lineles MÉTODO DE IGUALACIÓ En el método nlítio de "igulión" se despej l mism inógnit ("x" o "y") de ms euiones y se iguln los dos segundos miemros de ls expresiones otenids. De est form se tiene un euión on un sol inógnit ("y" o "x", respetivmente), l ul se resuelve pr hllr dih inógnit. Por último se reemplz l inógnit otenid en ulquier de ls dos expresiones despejds iniilmente, y se logr sí hllr l segund inógnit. x + y = 4 3 x y = 4 4 x 4 y = = = 4 x y = 4 3x y = El Método de Igulión tmién sirve pr resolver Sistems de Euiones no Lineles y = 1 y = y 4 x 4 3x = ( 4 x) = ( 4 3x) 8 + x = 8 6 x 6 x+ x = x = 16 x = Soluión = {(; 1)} Cundo hy sistems de euiones no lineles, puede ser un euión udráti (práol) on un linel (ret), o dos udrátis; los métodos vistos de Sustituión y de Igulión tmién permiten l resoluión, llegándose en este so otener ls oordends de dos puntos de interseión en generl. Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles - 3-9

4 MÉTODO DE REDUCCIÓ POR SUMAS Y RESTAS Ftel En este método se trt de multiplir los dos miemros de d euión por un mismo número. Este número se elige de tl form que l sumr o restr miemro miemro ls dos euiones se nelen los términos de un de ls inógnits, quedndo un expresión senill on l otr inógnit solmente. L restnte inógnit puede otenerse reemplzndo l inógnit hlld en lgun de ls euiones y despejándol. O tmién puede volverse plir un reduión por sum y rest pr hllr l mism (omo hremos hor). x + y = 4 3 x y = 4 Se pli l sum undo los términos nelr tienen signos opuestos Como está el sistem iniilmente puede proederse reduir medinte un sum miemro miemro de ls dos euiones. + x + y = 4 3 x y = 4 4 x = 8 x = 8 4 y = 1 x = Ahor hllremos l otr inógnit hiendo un nuev reduión por sum o rest. Pr lulr "y" deen eliminrse los términos on "x". Pr ello multiplimos l primer euión miemro miemro por 3. x + y = 4 3 x y = 4 3 (x + y) = x + 6 y = 1 Se pli l rest undo los términos nelr tienen igul signo El Método de Reduión por Sums y Rests sólo sirve pr resolver Sistems de Euiones Lineles 3 x y = 4 6 y ( y) = 8 8 y = 8 Soluión = {(; 1)} Medinte otro ejemplo veremos ómo se elige el número por el ul hy que multiplir ms euiones fin de "omodr" ls misms pr l reduión. Cundo l inógnit eliminr tiene oefiientes distintos en ls dos euiones, se dee sr el mínimo omún múltiplo de los mismos, on el ojeto de ser el oefiiente l que hy que llegr en ls dos euiones pr es inógnit, de modo de que luego se puedn nelr. Cd euión deerá multiplirse entones, miemro miemro, por el número neesrio pr que los oefiientes de l inógnit eliminr se hgn igules l mínimo omún múltiplo determindo. Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles - 4-9

5 8 x 3 y = 7 1 x + 13 y = 63 MÉTODO DE DETERMI A TES Antes de exponer este método definiremos qué es un "Determinnte": Ftel Pr lulr l "y" hy que eliminr l "x". Pr ello tommos el M.C.M. de sus oefiientes: 8 1 M.C.M. (8;1) = 3.3 = 4 Tenemos pues que llegr un oefiiente 4 pr l "x" en ls dos euiones: 8 x 3 y = 7 1 x + 13 y = 63 3 (8 x 3 y) = 3. 7 (1 x + 13 y) =. 63 Pr lulr l "x" hy que eliminr l "y". Pr ello tommos el M.C.M. entre sus oefiientes: (en este so hy que her el produto de los mismos, pues son números primos) M.C.M. (3;13) = = 39 y = x 9 y = 1 4 x + 6 y = 16 9 y 6 y = y = 105 y = Tenemos pues que llegr un oefiiente 39 pr l "y" en ls dos euiones: 8 x 3 y = 7 1 x + 13 y = 63 Soluión = {(; 3)} 13 (8 x 3 y) = (1 x + 13 y) = x = x 39 y = x + 39 y = x = 80 x = Un Determinnte es un rreglo de números distriuidos en "n" fils y "n" olumns, que rroj un resultdo numério En este so el número "n" de fils y olumns de este rreglo "udrdo" es "" Por definiión:.d. d = Digonl prinipl Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles - 5-9

6 Ftel Por ejemplo el determinnte: 1 =. ( 3) ( 1 ).5 = = Ahor pliremos est reve teorí de determinntes l resoluión de Sistems de Euiones Lineles: Ddo el Sistem de Euiones Lineles: 1 x + 1 y = 1 x + y = Pr plir el método de determinntes dee estr ordendo extmente de est mner Pr otener el vlor de ls inógnits "x" e "y" deemos plnter y resolver tres determinntes: 1) El Determinnte Prinipl del Sistem: ( ) = Es el que tom los oefiientes de "x" e "y" de ms euiones en el orden que pree en el Sistem de Euiones ) El Determinnte Sustituto de "x": ( x ) = x A prtir del determinnte prinipl, en este determinnte se sustituyen los oefiientes de "x" de ms euiones en su posiión por los términos independientes de ls misms 3) El Determinnte Sustituto de "y": ( y ) = y A prtir del determinnte prinipl, en este determinnte se sustituyen los oefiientes de "y" de ms euiones en su posiión por los términos independientes de ls misms Un vez otenido el vlor de estos tres determinntes se hlln ls inógnits: x x y = El Método de Determinntes sólo y = sirve pr resolver Sistems de Euiones Lineles Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles - 6-9

7 Ftel En el presente urso preuniversitrio no se relizrá un demostrión nlíti de este método, l ul se enontrrá durnte el estudio universitrio en l mteri "Alger Linel". Resolveremos por determinntes el sistem de euiones iniil: x + y = 4 3 x y = 4 El determinnte prinipl del sistem ( ) será: 1 ( ) = = = = = = 3 Los determinntes sustitutos del sistem ( x y y ) serán: 4 ( ) x = = = 4..4 = 8 8 = 16 = x y = = = = 4 1 = 8 = y 3 4 Ahor lulremos ls inógnits "x" e "y": x 16 x = = = 8 x = y 8 y = = = 1 8 y = 1 Soluión = {(; 1)} Pr resolver sistems de tres euiones on tres inógnits, generlmente se emple el método de determinntes, si ien tmién se puede relizr hiendo sustituiones propids sore ls euiones. En est situión se trj on determinntes de 3 fils y 3 olumns. Pr resolver estos determinntes de (3x3) se puede empler l Regl de Srrus: d e f d e f = g h i =.e.i + d.h. + g..f.e.g f.h. i..d g h i d e f Ddo el determinnte de 3x3, se reesrie el mismo gregándole ls dos primers fils dejo de l últim. Regl de Srrus Los produtos que desienden hi l dereh (en zul) vn preedidos del signo "+" y los que desienden hi l izquierd (en rojo) vn preedidos del signo " ". Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles - 7-9

8 Un sistem de tres euiones on tres inógnits se puede esriir, genérimente: Ftel 1 x + 1 y + 1 z = d 1 x + y + z = d 3 x + 3 y + 3 z = d 3 Pr resolver este sistem, deeremos lulr 4 determinntes: uno prinipl y tres sustitutos. 1) El Determinnte Prinipl del Sistem: ( ) = Análogmente l visto en determinntes de (x), el determinnte prinipl ontiene los oefiientes de ls inógnits. (Ls euiones deen estr ordends en un orden estrito). ) El Determinnte Sustituto de "x": ( x ) = d 1 d x d A prtir del determinnte prinipl, en este determinnte se sustituyen los oefiientes de "x" de ls tres euiones en su posiión por los términos independientes de ls misms. 3) El Determinnte Sustituto de "y": ( y ) = d 1 d y d A prtir del determinnte prinipl, en este determinnte se sustituyen los oefiientes de "y" de ls tres euiones en su posiión por los términos independientes de ls misms. 4) El Determinnte Sustituto de "z": ( z ) = d 1 d z d A prtir del determinnte prinipl, en este determinnte se sustituyen los oefiientes de "z" de ls tres euiones en su posiión por los términos independientes de ls misms. Finlmente se otienen ls tres inógnits: x x y = z y = z = Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles - 8-9

9 Con un ejemplo expondremos este tem: Se tiene el siguiente sistem de tres euiones lineles on tres inógnits, ordends en el orden orrespondiente: x + y + z = 6 x + 3 y 3 z = 1 5 x + 3 y = 1 Ftel Clulremos el determinnte prinipl: = 3 3 = = ( 5).1.( 3) y los determinntes sustitutos: x ( 5) ( 3) = = 45 = = = = ( 1) ( 3) y ( 3) ( 1) = = 45 = x = 1 3 = = 1.( 1) ( 5).6.( 3) ( 1).( 5) ( 3) = = 90 = y z = 3 1 = = ( 5).1.( 1) ( 5) ( 1) = = 135 = z Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles - 9-9

10 Finlmente, ls inógnits serán: x 45 x = = = 1 x = 1 45 y 90 y = = = y = 45 z 135 z = = = 3 z = 3 45 Soluión = {(1; ; 3)} Ftel L soluión es un tern ordend. Gráfimente orresponderí un punto en un espio tridimensionl. Pr Prtir 1) Resolver los siguientes sistems de euiones lineles, por todos los métodos nlítios y verifir gráfimente. ) 3 x + 5 y = 6 x + y = 0 x = y = 4 ) x 3 y = 11 x + 5 y = 14 x = 1 y = 3 ) Resolver el siguiente sistem de euiones lineles por determinntes: x + y = 5 x 3 y + z = 1 x + y + z = 4 x = 3 y = 1 z = TIPOS DE SOLUCIO ES DE SISTEMAS DE ECUACIO ES Hst hor sólo hemos visto sistems de euiones que tienen un soluión úni: Un pr ordendo (x; y) que orresponde un punto del plno. Un tern ordend (x; y; z) que orresponde un punto del espio. Pero no siempre un sistem de euiones tiene un soluión úni; vees puede tener infinits soluiones o no tener ningun soluión. Volviendo los sistems lineles de dos euiones on dos inógnits, y semos por el método gráfio que se pueden representr omo dos rets en el plno. Y ls posiiones reltivs que pueden doptr dos rets en el plno son: Sentes: Se ortn en un punto Prlels y oinidentes: Comprten todos sus puntos Prlels y disjunts: No tienen puntos en omún. Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles

11 Ftel Ests tres posiiliddes llevn diretmente los tres tipos de soluiones de los sistems de euiones lineles. Ddo el sistem: 1 x + 1 y = 1 x + y = y = m 1 x + n 1 y = m x + n Sistems Comptiles (Admiten l menos un soluión) Determindo (Soluión úni) x Indetermindo (Infinits soluiones) y y y x m 1 m 0 = = 1 m 1 = m n 1 = n x = x = y = 0 Sistem Inomptile y (No tiene soluión) x = 1 m 1 = m n 1 n = 0 x 0 y 0 El tipo de soluión del sistem, se pueden determinr: Anlizndo los oefiientes del sistem ordendos Por ls pendientes y ordends l origen de ls rets del sistem Por los determinntes del sistem Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles

12 Ftel Como vemos en el udro preedente, existen tres riterios que podemos empler fin de determinr el tipo de soluión que tiene el sistem de euiones: A trvés del nálisis de los oefiientes del sistem: (Reudros en rojo). Es l form más práti de operr, y nos permite ser el tipo de soluiones de un sistem sin siquier intentr l resoluión del mismo. Por l omprión entre ls pendientes y ordends l origen de ls dos rets: En este so hy que despejr l "y" de ls dos euiones y omprr pendientes y ordends l origen. Así sremos si ls rets se ortn o son prlels oinidentes o disjunts. Hllndo los tres determinntes del sistem: Se otienen los vlores de los determinntes y según sen igules o distintos de ero, se puede ser el tipo de soluión que tiene el sistem. A ontinuión justifiremos ls fórmuls del udro nterior. SISTEMA COMPATIBLE DETERMI ADO El sistem omptile determindo tiene soluión úni. Pr que esto se posile, ls dos rets que representn ls euiones deen ser sentes y ortrse en un solo punto. El únio requisito pr ello es que ls rets tengn distints pendientes. Ddo el sistem: 1 x + 1 y = 1 x + y = y = m 1 x + n 1 y = m x + n Hllremos l form explíit de ls dos rets: 1 x + 1 y = 1 1 y = 1 1 x y = x + x + y = y = x y = x + m 1 m m 1 m 1 1 Úni ondiión pr que el sistem se Comptile Determindo Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles - 1-9

13 Si se he el nálisis por determinntes, el determinnte prinipl es: = 1 1 = = Pr que el sistem se Comptile Determindo, el determinnte prinipl dee ser distinto de ero Ftel Semos que, pr que el sistem teng soluión úni dee umplirse: SISTEMA COMPATIBLE I DETERMI ADO El sistem omptile indetermindo tiene infinits soluiones. Pr que se presente est situión ls dos rets que representn ls euiones deen ser prlels y oinidentes. Ello ourrirá undo ls rets tengn igules pendientes y ordends l origen. Ddo el sistem: 1 x + 1 y = 1 x + y = y = m 1 x + n 1 y = m x + n L form explíit de ls dos rets es: n 1 = n y = x + y = x + m 1 = m m 1 = m n 1 = n = 1 1 = = 1 1 = = = 1 Condiión pr que el sistem se Comptile Indetermindo Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles

14 Si se he el nálisis por determinntes, los determinntes del sistem son: = 1 1 = = = = = x 1 1 x = = = y 1 1 y Ftel Pr que el sistem teng infinits soluiones dee umplirse: = 1 = = 0 = 1 = = 0 = 1 = = 0 = x = y = 0 Pr que el sistem se Comptile Indetermindo, todos los determinntes deen ser igules ero. SISTEMA I COMPATIBLE Un sistem es inomptile undo no tiene soluión. Gráfimente ls dos rets que representn l sistem son prlels y disjunts, y no tienen puntos de ontto. Pr ello ls rets deen tener igul pendiente y distint ordend l origen. Ddo el sistem: 1 x + 1 y = 1 x + y = y = m 1 x + n 1 y = m x + n L form explíit de ls dos rets es: n 1 n y = x + y = x + m 1 = m = 1 1 = m 1 = m Condiión pr que el sistem se Inomptile = 1 n 1 n Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles

15 Ftel Si se he el nálisis por determinntes, los determinntes del sistem son: = 1 1 = = = = = x 1 1 x = = = y 1 1 y Pr que el sistem no teng soluion dee umplirse: = 1 = = = 0 x 0 y 0 Pr que el sistem se Inomptile el determinnte prinipl dee ser ero y los determinntes sustitutos distintos de ero. Al drse est situión, undo se quieren lulr ls inógnits, se enuentr que hy un división por ero de números distintos de ero (los determinntes sustitutos) lo ul es irresolule e indi inomptiilidd. En el so nterior de sistems omptiles indetermindos, todos los determinntes son ero; on lo ul en el álulo de ls inógnits preen friones ero sore ero, que es onsiderd un indeterminión y no un error mtemátio. El sistem es omptile pero indetermindo. Pr Prtir 1) Hllr el (o los) vlores de "k" pr que el siguiente sistem teng soluión úni. k x 6 y = 7 (k ± 3) 3 x + k y = 0 ) Hllr el (o los) vlores de "m" pr que el siguiente sistem teng infinits soluiones. 3 m x 4 y = 1 1 x + 8 y = m (m = ) 3) Hllr el (o los) vlores de "k" pr que el siguiente sistem se inomptile. 3 x 9 y = k 4 x + 1 y = 7 (k 1/8) Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles

16 Ftel 4) Hllr los vlores de "" y "" pr que el siguiente sistem teng por soluión S = {( 3; )}. 3 x y = 5 x + y = 5 ( = 1) ( = 5) PROBLEMAS CO SISTEMAS DE ECUACIO ES Ddo un prolem en form oloquil o hld, se dee ser expresrlo en form simóli, trvés de euiones que representen diho prolem. Si ien no hy un reet que se pued plir todos los prolems, en form generl se dee proeder sí: 1) Busr l pregunt del prolem e identifir ien lrmente ules serán ls inógnits del sistem. De lo ontrrio, si no están ien identifids ls inógnits pueden ometerse errores l esriir ls euiones. ) Luego proeder esriir d euión relionndo dihs inógnits. Prestr tenión los signos de puntuión, omo el punto y seguido o punto y om que pueden servir pr seprr dos frses y on ello seprr ls dos euiones. 3) En d euión dee existir el signo igul (=), de lo ontrrio es un simple expresión en lugr de un euión. Ls expresiones oloquiles que señln l preseni del igul pueden ser: "se otiene", "d omo resultdo", "d", "es", "result", et. 4) A vees ls dos euiones son de distint nturlez. Por ejemplo en l primer euión se uentn uniddes de dos tipos de produtos dndo por resultdo el número totl de los mismos; y en l segund euión se tomn en uent los preios de dihos produtos dndo por resultdo el osto totl de l merderí. En ese so en l primer euión se sumn rtíulos más rtíulos, resultndo uniddes y en l segund euión se sumn pesos más pesos dndo por resultdo pesos totles. 5) Por último se proede resolver el sistem de euiones hlldo por ulquier de los métodos y vistos. Por ejemplo: Un empres de vent de DVD's ofree d pelíul de su tálogo $ 0 y demás omo promoión espeil pelíuls por $ 3. Al terminr el primer mes de l promoión h reuddo $ Si en totl desphó 88 filmes. Cuánts pelíuls vendió "sols" y uántos fueron los pres promoiondos? Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles

17 Definimos ls inógnits: x = número de pelíuls "sols" que se vendieron durnte el mes. Ftel y = número de "pres" de pelíuls que se vendieron por l promoión. Oservmos que hy un informión que he refereni los preios de l ofert y otr que trt diretmente sore ls ntiddes de pelíuls vendids. Esto permite rmr dos euiones: un on los vlores eonómios y otr on ls ntiddes. $ 0 x + $ 3 y = $ 5 10 "pesos + pesos = pesos" x + y = 88 "ntiddes + ntiddes = ntiddes " Resolviendo por ulquier método llegmos : x = 18 y = 80 Se vendieron 18 pelíuls "sols" y 80 pquetes promoionles de pelíuls d uno. Otro ejemplo: He seis ños Luís tení l terer prte de l edd de su pdre. Cuáles son ls eddes tules de mos, si dentro de nueve ños Luís tendrá l mitd de l edd de su pdre? Definimos ls inógnits: x = Edd tul de Luís. y = Edd tul del pdre. He seis ños l edd de mos er, respetivmente: x 6 y 6 Dentro de nueve ños l edd de mos será, respetivmente: x 6 = 1 (y 6) 3 Euión de tiempo psdo x + 9 y + 9 x + 9 = 1 (y + 9) Euión de tiempo futuro Se oper pr ordenr ls euiones y se resuelve dndo: x = 1 y = 51 L edd tul de Luís es 1 ños y l de su pdre 51 ños. Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles

18 Ftel Pr Prtir 1) En un grje de estionmiento hy 19 roddos entre utomóviles y motoilets. Si en totl se ontilizn 6 rueds: Cuántos utomóviles y motoilets hy estiondos? (1 utomóviles y 7 motoilets) ) Un ompñí de turismo ofree un vije ierto destino, rzón de $ 40 por person sol y $ 400 por prej. Si en totl vende 79 oletos y reud un totl de $ Cuánts persons sols y prejs relizrán el vije? 3) Un empres que elor eite omestile "mezl", utiliz pr el mismo eite de girsol on un osto de $ 4 el litro y eite de soj on un osto de $ por litro. Si el osto por litro del eite mezl dee ser de $ 3,5 y se produirán 30 litros de diho eite. Cuáles serán ls ntiddes de eite de girsol y de soj utilizdos? (girsol: 00 litros, soj: 10 litros) 4) Dos números son entre sí omo 5 es 3. Si su sum es 3. Cuáles son dihos números? (x = 0; y = 1) 5) L ifr de ls deens de un número de dos ifrs es el dole de l ifr de ls uniddes, y si diho número le restmos 7 se otiene el número que result de invertir el orden de sus ifrs. Cuál es diho número? (63) I ECUACIO ES CO DOS I CÓG ITAS Hemos visto nteriormente ls ineuiones on un sol inógnit (x), ómo se resuelven y se hll el onjunto soluión, que es un intervlo de l ret rel en ese so. Pero hor veremos qué es un ineuión on dos inógnits (x e y) y ómo resolverl hllndo el onjunto soluión en form gráfi. Por ejemplo: x + y x + 3 y y x + 3 y x y x El signo desigul puede ser ulquier de los y onoidos: >, <,, o Pr resolverl hy que despejr l "y": L soluión gráfi de un ineuión on dos inógnits es un semiplno que puede o no inluir l ret orde (en este so sí l inluye) Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles

19 y x y 5 Conjunto Soluión Ret orde Ftel y = x P(x 1 ; y 1 ) 3 Punto de prue: No stisfe Pr representr gráfimente l onjunto soluión, se omienz on l gráfi de l ret orde, que es l que surge l onvertir l ineuión explíit hlld en 1 en euión, olondo el signo igul en vez del desigul,. Si en l ineuión iniil se permite el igul (hy o ) l ret orde se diuj on trzo ontinuo, lo ul signifi que todos sus puntos tmién estrán inluidos en el onjunto soluión de l ineuión. Si en l ineuión iniil no se permite el igul (hy > o <) l ret orde se diuj on líne de trzos disontinuos, lo ul signifi que sus puntos no estrán inluidos en el onjunto soluión de l ineuión. Luego hy que somrer un semiplno, el ul onsistirá en el onjunto soluión de l ineuión. Tod ret inluid en un plno divide l mismo en dos semiplnos. Pr ser uál semiplno somrer, se proede de l siguiente mner: 1) Si l ret orde es un funión linel (ret horizontl u oliu, pero no vertil), y l desiguldd es y > f(x) se somre el semiplno superior l ret orde; y si l desiguldd es y < f(x) se he lo propio on el semiplno inferior dih ret. ) Si l ret orde es un ret vertil (de euión x = k), entones si l desiguldd es x > k, se somre el semiplno de l dereh que orresponde, omo es ovio, vlores de "x" myores que "k". Si l desiguldd es x < k, se somre el semiplno de l izquierd donde los vlores de "x" son menores que "k". Otro método, que permite ser uál semiplno dee somrerse, es trvés de un punto de prue. Se tom un punto ulquier del plno que no pertenez l ret orde, de oordends P(x 1 ; y 1 ). Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles

20 Ftel Se reemplzn "x" e "y" de l ineuión dd (en su form iniil o l explíit) por estos vlores "x 1 " e "y 1 " (oordends del punto de prue): Si se stisfe l desiguldd, se proede somrer todo el semiplno que inluye l punto de prue. Si no se stisfe l desiguldd, se proede somrer todo el semiplno que no inluye l punto de prue. Otro ejemplo: y Ret orde x = 3 x > 3 Conjunto Soluión P(x 1 ; y 1 ) Punto de prue: stisfe 3 5 x En este so l ret orde es vertil, y se somre el semiplno hi l dereh, pues es de l form x > k. Pero l ret orde no está inluid en el onjunto soluión, ddo que x es estritmente myor que k, por lo que se grfi en líne de trzos disontinuos. SISTEMAS DE I ECUACIO ES CO DOS I CÓG ITAS Tmién existen sistems de ineuiones on dos inógnits. Pueden ser sistems de dos ineuiones o ún más de dos. El onjunto soluión se hll gráfimente; d ineuión on dos inógnits se resuelve en form gráfi omo hemos visto nteriormente, en un mismo gráfio. L soluión del sistem es l interseión de los dos semiplnos, o se l zon que tiene un dole somredo. Tmién hy que nlizr si l rets ordes del setor de plno que se otiene están inluids en el onjunto soluión o no, indiándose omo hemos visto trvés de línes ontinus o de trzos disontinuos. Por último, el punto donde se ortn ests dos línes tmién podrí estr inluido en l soluión o no. El onjunto soluión podrí ser un zon de áre infinit o un figur pln de superfiie limitd. Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles - 0-9

21 Por ejemplo: y Conjunto Soluión 3 Ftel y x x + y < 6 x + 3 y 3 y < ½ x x Del sistem ddo, l primer ineuión y l hemos nlizdo ntes y l hemos resuelto gráfimente. Nos qued her lo mismo on l segund. x + y < 6 y < x + 6 x + 6 y < 1 y < x + 3 Pr resolverl hy que despejr l "y": El menor estrito signifi que l ret orde se diuj en trzos disontinuos, y se somre l prte inferior. El punto de interseión de ls rets orde no está inluido en el onjunto soluión, pues hy un ret orde que no pertenee l mismo. Por último, el onjunto soluión lo hemos resltdo on fondo mrillo. A ontinuión veremos un ejemplo de un sistem de ineuiones on dos inógnits ompuesto por tres ineuiones: Hllremos l soluión gráfimente, omenzndo < x 4 por somrer l soluión de l primer ineuión, que plnte dos rets vertiles y el vlor de "x" y 1 otdo entre y 4. Luego, pr umplir l segund y < x + 6 ineuión, tommos desde l ret horizontl y = 1 hi rri. Por último, dee umplirse l terer ineuión, que se stisfe pr todos los puntos que están por dejo de l ret oliu y = x + 6. Todo esto siempre teniendo en uent si ls rets ordes vn de trzo ontinuo o disontinuo. Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles - 1-9

22 Ftel < x 4 y 1 y < x + 6 Conjunto Soluión PROBLEMAS CO SISTEMAS DE I ECUACIO ES Por medio de un ejemplo demostrremos ómo se resuelve un situión prolemáti que involur un sistem de ineuiones lineles. Un instituión edutiv privd tiene posiilidd de inorporr l iniio del ño un ntidd de lumnos de hst 50. Los lumnos se dividirán en dos grupos: los que pguen l mtríul y quienes resulten edos que quedrán eximidos de est oligión. Es políti de l instituión que hy omo máximo 1 lumno edo d 3 lumnos que pguen su mtríul. Plnter el prolem y mostrr gráfimente ls situiones que se pueden dr y [lumnos edos] Conjunto Soluión Definimos ls inógnits: x = lumnos que pgn y = lumnos edos Ls ineuiones serán: x + y 50 y 1 3 x x [lumnos de pgo] Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles - -9

23 Ftel L zon somred represent ls situiones que se pueden dr en un ño determindo. Se lleg est zon despejndo l "y" de ls dos ineuiones, e intereptndo los semiplnos. Se tomn vlores sólo del primer udrnte pues no tendrí un signifido prátio que lgún número de lumnos se negtivo. Además quiere onoerse uál serí el número máximo de lumnos que podrín ser edos: Pr ello enontrmos l interseión de ls rets ordes, uy ordend es el myor vlor que puede tomr "y": x + y = 50 x + y = 50 y = x x + 3 y = 0 Máximo de lumnos er 3 y = x x + 3 y = 0 4 y = 50 y = 50 4 = 6,5 y = 6 lumnos Pr Prtir 1) Resolver gráfimente los siguientes sistems de ineuiones lineles: ) y < 5 x y 1 ) x + y 4 y > x ) x + y < 6 y 0 x 1 x < 5 ) En un fári de mueles se onstruyen mess y sills prtir de grndes plnhs de mder. Ls mess neesitn 4 m de mder y ls sills 3 m. El frinte neesit onstruir l menos 3 mess y omo mínimo el dole de sills que de mess. L ntidd totl de mder disponile es de 60 m. Se "x" el número de mess e "y" el de sills que se frin. Plnte el sistem de ineuiones l que dn lugr ls restriiones del prolem y represent l región. Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles - 3-9

24 Trjo Prátio º 13 : "Sistems de Euiones" Ftel 13.1) Resolver los siguientes sistems de euiones lineles, por todos los métodos nlítios y verifir gráfimente. ) 5 x + 3 y = 9 4 x + y = 16 ) x + y = 10 3 x 7 y = 35 ) 3 x 5 y = 3 x + y = 7 d) 5 x + y = 6 3 x + 4 y = 13.) Resolver los siguientes sistems de euiones lineles por determinntes: ) x + y 5 z = 0 x y + z = 5 3 x y + 6 z = 1 ) x + 3 z = 10 5 x + y z = 0 x y + 5 z = ) Hllr el (o los) vlores de "k" pr que el siguiente sistem se omptile determindo. k x 9 y = 7 4 x + k y = ) Hllr el (o los) vlores de "m" pr que el siguiente sistem se omptile indetermindo. 3 x + 5 m y = 9/ x + 10 y = m 13.5) Hllr el (o los) vlores de "n" pr que el siguiente sistem no teng soluión. x + 5 n y = 1 6 x + 3 y = n 13.6) Hllr el (o los) vlores de "k" pr que el siguiente sistem teng soluión úni. k x + 7 y = 7 3 x 4 y = k Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles - 4-9

25 Ftel 13.7) Hllr el (o los) vlores de "k" pr que el siguiente sistem se inomptile. 6 x 3 y = 7 k 4 x + y = ) Hllr el (o los) vlores de "m" pr que el siguiente sistem teng infinits soluiones. 3m x + 4 y = m 6 x m y = ) Hllr los vlores de "" y "" pr que el siguiente sistem teng por soluión S = {(3; 1)}. 3 x y = 7 5 x y = ) Hllr los vlores de "" y "" pr que el siguiente sistem teng por soluión S = {( 1; )}. x + 3 y = x y = ) Un hotel tiene hitiones doles y senills. En totl hy 50 hitiones y 87 ms. Cuánts hitiones tiene de d tipo? 13.1) En un tiend de ntiurio hy 1 ndelros de y 3 rzos. Si pr utilizrlos se neesitn 31 vels, uántos ndelros hy de d tipo? 13.13) Un pdre quiere reprtir el dinero que llev en el olsillo entre sus hijos. Si d hijo le d $ 70 le sorn $ 0, pero si le d d uno $ 80, le fltn $ 0. Cuánto dinero llev en el olsillo y uántos hijos tiene? 13.14) Hoy l edd de un hijo es 1 ño menos que 1/3 de l de su mdre. Si dentro de 5 ños, l edd de l mdre será 10 ños myor que el dole de l de su hijo, qué eddes tienen? 13.15) Un evluión onst de 16 ejeriios. El profesor sum 5 puntos por d respuest orret y rest 3 puntos por d ejeriio no ontestdo o ml ontestdo. Si un lumno h otenido 3 puntos en l evluión, Cuántos ejeriios h ontestdo orretmente? Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles - 5-9

26 Ftel 13.16) Un omerinte ompró dos relojes distintos por $ 300 y los vendió por $ 348. Cuánto pgó por d reloj si en l vent del primero gnó un 30 % y en l del segundo perdió un 5 %? 13.17) Dos líquidos de densiddes 0,7 kg/l y 1,3 kg/l se mezln oteniéndose un líquido de densidd 0,9 kg/l. Hll l ntidd de líquido que hy que tomr de d lse pr otener un mezl de 30 litros ) Se dese relizr un mezl entre dos tipos de fé. Pr ello se emplen 15 kg de l vriedd "A" y 10 kg de l vriedd "B", oteniéndose un mezl que vle $ 10,0 el kilogrmo. Se se demás que el preio de l lidd "A" es tres urts prtes del de l lidd "B". Cuáles son dihos preios unitrios? 13.19) L rzón entre dos números es /3. Si se ñden 0 uniddes l más pequeño y 5 l más grnde l rzón se invierte. De qué números se trt? 13.0) Se disponen de olills lns y olills negrs. Tods ls olills de un mismo olor pesn lo mismo. Iniilmente en el pltillo de l izquierd de un lnz hy 3 olills lns y dos negrs que se equilirn on tres olills negrs en el pltillo de l dereh. Si se sn dos olills lns del pltillo de l izquierd y se depositn en el de l dereh, hy que gregr un pes de 00 g en el pltillo de l izquierd pr restleer el equilirio. Cuál es el peso de d olill ln y de d olill negr? 13.1) Resolver gráfimente los siguientes sistems de ineuiones lineles: ) x + y < 5 x y 1 ) x + 3 y < 6 x ) x 4 y > 1 5 x + 4 y 0 y 0 x 0 13.) L Cámr de Sendores de l Nión tiene 7 sendores que representn ls provinis. Al menos l terer prte del totl deen ser mujeres por l ley del upo femenino. En un determind sesión hy más de 0 sendores vrones. Representr ls posiiliddes de l onformión de l ámr entre sendores (x) y sendors (y). Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles - 6-9

27 Ftel 13.3) Ddo el siguiente onjunto soluión, hllr el sistem de ineuiones del ul proviene. Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles - 7-9

28 13.1) 13.) Respuests del trjo Prátio º 13 "Sistems de Euiones" ) S = {( 3; )} ) S = {(0; 5)} ) S = {(1; 4)} d) S = {( ; 4)} ) S = {( 1; ; 0)} ) S = {(; 3; 4)} 13.3) k ± ) m = ) n = 1/5 13.6) k 1/8 13.7) k 15/ ) m = 13.9) ( = 3; = ) 13.10) ( = ; = 5) 13.11) 37 hitiones doles y 13 hitiones senills. 13.1) 5 ndelros de rzos y 7 ndelros de 3 rzos ) $ 300 y 4 hijos ) Edd del hijo: 1 ños; Edd de l mdre: 39 ños 13.15) ontestdos orretmente: 10 ejeriios ) Por el primero pgó $ 180 y por el segundo pgó $ ) 0 litros del primer líquido y 10 litros del segundo ) Preio lidd "A": 9 $/kg ; Preio lidd "B": 1 $/kg ) 10 y ) Peso de d olill ln: 50 g. Peso de d olill negr: 150 g. 13.1) ) Ftel Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles - 8-9

29 Ftel 13.1) ) 13.1) ) 13.) 13.3) 1 y < 5 x y > x Mtemáti - Sistems de Euiones Lineles - 9-9