Consumer theory: the individual demand.

Transcripción

1 MPRA Mch Prsoal RPEc Archv Cosr thory: th dvdal dad. Ávalos Eloy Uvrsdad Nacoal Mayor d Sa Marcos, Isttto d Estdos Socals dl Ríac. Dcbr Ol at htts://ra.b.-ch.d/4859/ MPRA Par No. 4859, ostd 5. Agst 8:4 UTC

2 CIECC Ctro d Ivstgacos Ecoócas Docto d Trabajo Nº 7 La Toría dl Cosdor: La Dada Idvdal or Eloy Ávalos Dcbr, Isttto d Estdos Socals dl Ríac La, Prú

3 LA TEORÍA DEL CONSUMIDOR: LA DEMANDA INDIVIDUAL Eloy ÁVALOS Uvrsdad Nacoal Mayor d Sa Marcos IESR Prra vrsó: Dcbr Rs E l rst docto s aborda l stdo d la forlacó dl robla d lccó dl cosdor coo robla d otzacó, scfcado las codcos forals q db clrs ara tal caso. Por otro lado, drvaros algos toras rlvats a artr d la xstca d la fcó d tldad ara la dada arshallaa y d la dada hcksaa, ostrado a clasfcacó d los bs drvadas d las rfrcas. Núro d Clasfcacó JEL: D, D. Palabras Clavs: Fcó d dada dvdal, dada arshallaa, dada hcksaa, fcto ssttcó, fcto grso. Abstracts Ths ar dscsss th forlato of th robl of cosr choc as a otzato robl, scfyg th foral codtos to b t for sch a cas. Frthror, so rlvat thors b drvd fro th xstc of th tlty fcto for th arshalla dad ad th hcksa dad showg a classfcato of th goods drvd fro th rfrcs. Classfcato Nbr JEL: D, D. Ky Words: Idvdal dad fcto, arshalla dad, hcksa dad, sbsttto ffct, co ffct. Cotacto: Dartato d Ecooía, Uvrsdad Nacoal Mayor d Sa Marcos, La, Tléfoo 69-7 Axo 7; y Ctro d Ivstgacos Ecoócas dl Isttto d Estdos Socals dl Ríac, Pblo Lbr. Eal: avalosa@s.d.. []

4 . INTRODUCCIÓN La drvacó d la dada dvdal a artr d a rlacó d rfrca q cl cojto d rodads dtradas, dado cojto d osbldads d coso tabé artclar; d rstars coo la solcó d robla d otzacó, dod s axza la doada fcó d tldad (fcó objtvo) sjto a a rstrccó d gasto. Asso, st foq rt rvrtr l latato d la lccó dl cosdor, cado s t or objtvo zar l gasto dado vl d tldad.. LA FUNCIÓN DE DEMANDA INDIVIDUAL Cosdros ara l éso cosdor, cojto d coso tal q X =R +. Adás, sa st cosdor rco actat todos los rcados d bs q artca; así él frta vctor d rcos dado, R +. Etocs, l costo d calqr caasta q cor vdrá dado or = k= k x x. k Sodros q l cosdor t a rlacó d rfrca débl,, dfda sobr X + =R, la q s colta, trastva, cota, strctat covxa y + oótoa. Adás, s rrstada or a fcó atátca ( x ): R R cota, strctat cas cócava y oótoa. Asros q stro vctor d rcos s strctat ostvo, strctat ostvo, >. 3, y q l éso cosdor t grso Bajo las codcos coadas, tocs l robla d lccó dl cosdor s rsta coo robla d otzacó (axzacó), q qda forlado coo, Dod ( =,,, ). 3 Así, l cojto alcazabl dl cosdor s cojto o vacío, crrado, acotado y covxo. Vr ÁVALOS (:. 4). [3]

5 ax s.a. x ( x) x> Y cya solcó s l vctor dada dl éso cosdor, q cosst la jor caasta q st cosdor d corar a los rcos vgts y dado s grso otaro. La solcó d [ P ] os rt dtrar las fcos d dada dl éso cosdor, la dada dvdal d cada b, dod ara cada b s tdrá la fcó x x (, ): + k k + ++ [ P] = R R. A sta fcó d dada s l llaa fcó d dada ordara o arshallaa. La fcó d dada dvdal d b s a fcó atátca cota y b dfda. Por otro lado, dada la rodad q os l cojto rsstaro dl cosdor d hoogdad d grado cro rcos grso, s ddc q la dada dvdal d b dl éso cosdor srá tabé a fcó hoogéa d grado cro rcos grso. Así, s vrfca q ( ) ( ) xk θ, θ = xk,, θ R ++. D sta rodad s ddc q la fcó d dada dvdal d b dd d varabls rals y o d varabls oals, tals coo l costo rlatvo, Θ; y l grso ral, k ( ) rlatvo cosst Θ = θl, θ( k ) l, θ( k+ ) l,, θl. 4 r. Así, x ( Θ, r ) k k, dod l vctor costo E coscca, d las rodads dl cojto alcazabl y d las rfrcas dl cosdor, odos car l sgt tora, 4 Coo b sabos, l costo rlatvo s xrsa téros d b rfrcal y l grso ral s d xrsar téros d s so b rfrcal o téros dl b cstó. E st caso artclar, l grso ral stá xrsado dads dl b k y l costo rlatvo téros d b rfrcal, dotado coo l b l. Al rscto, Corrsod y b st to d vsta a la oó coú, sgú la cal hay dos class d frzas q afcta a la catdad d rodcto dadada or dvdo: ) cabos l cojto d bs d q d dsor cabos s rta ral o caacdad gral d cora d bs y srvcos, y ) cabos la rlacó q s d ssttr b or otro varacos los rcos rlatvos. Vr FRIEDMAN (976:. 39). [4]

6 Tora x = R R a fcó atátca cota, strctat cas cócava y Sa ( ) + oótoa, y s adás s t y >. Etocs:. El robla [ P ] t a úca solcó, = ( ) co los rcos y l grso otaro. x x q varía cotat. El costo d la caasta solcó agota todo l grso dl éso cosdor, así = x. x > x x > x.. ( ) ( ) La rra lcaca os sñala q la fcó d dada dl éso cosdor stá b dfda y s cota rscto a rcos grso otaro. Esto t q vr fdatalt co l axoa d covxdad strcta d las rfrcas. La sgda, dca q la caasta solcó agota l grso otaro dl cosdor; s dcr, la solcó o srá a caasta, x, tal q It φ(, ) x. 5 Aqí, l axoa d ootoocdad d las rfrcas y los axoas d lccó, lcaría q la solcó s to frotra dl cojto alcazabl. Por últo, la trcra lcaca, dca q o d xstr a caasta d coso q sa strctat rfrda a la caasta solcó y q a la vz sa alcazabl (costo or al grso otaro). 3. OPTIMIZACIÓN Y DEMANDA MARSHALLIANA Dado q las rfrcas s d rrstar or a fcó d tldad q s cota y strctat cas cócava, sto rstrg stro robla d otzacó, lbrádoos d a sr d covts forals. Para rocdr co la solcó d [ P ] toaros cta los sgts toras atátcos, 5 Rcérds q It φ (, ) { = x + : > x x } R. Vr ÁVALOS (Ob. Ct.:. 4). [5]

7 Tora ++ Sa ( x ): R R a fcó cas cócava s, y solat s, ++ C y o stacoara. E tal caso, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x, x R, x x x x x x x >. 6 x x s strctat Est tora rt caractrzar las fcos strctat cas cócavas dat drvadas rras. Tora 3 + S ( x): R R s cota ( x ) s tabé strctat cas cócava sobr R + y strctat cas cócava R +. R ++, tocs Est tora os rt stablcr la strcta cas cocavdad d la fcó aú cado o osa drvada (o sa C o C ) la totaldad d s doo (sobr R + ). Lgo, co stos toras cados staos codcos d xrsar l robla d lccó dl cosdor coo rograa d otzacó strctat cas cócavo. 3. Prograacó strctat cas cócava Dados los toras y 3, s t a forlacó dl robla d lccó dl cosdor éso, coo s fs a rograacó strctat cas cócava. ax x R ++ s. a. ( x) x Nóts q la solcó lca q l cosdor db cosdor alga catdad d todos los bs. No s osbl q la solcó sa a caasta dod l coso d algos bs sa gal a cro. 6 Sa l vctor cola d las tldads argals dado or tora, vr MADDEN (987:. 85). x ( x) ( x) = ( ) x. Rscto al [6]

8 Tora 4 ++ Sogaos q ( x): R R sa strctat cas cócava, o stacoara y + C, y φ(, ): ++ + vacío, R R o stacoara y sa C. Adás, l cojto (, ) x srá solcó úca s, y solat s, xst λ tal q, L x. ( x ) k, λ =, k =,,, φ s o. λ >. x = x R ++ L. Sdo ( x, λ ) = ( x) + λφ(, ) Sa l saco d coso dl cosdor éso, X + =R. Dados los toras 3 y 4, forlaos l sgt rograa d otzacó strctat cas cócava coo sg, ( ) ax x, x s. a. x + x = [ P] Q qval a rsolvr la sgt fcó d Lagrag, 7 ( x x λ ) = ( x x ) + λ( x x ) ax L,,, Las codcos d rr ord (codcos csaras) dl robla so, L = λ = x λ = = L = λ = x L x [ ] [ ] = x x = Obtédos d la dfrcacó d la fcó d Lagrag ssta d trs cacos co trs cógtas, x, x y λ. 8 Así, d [ ] y [ ] s obt la solcó 7 Dod, st caso artclar, la fcó d Lagrag s aqlla fcó 8 D [ ] y [ ] s drva q qlbro csarat s vrfca [7] (, ) (, ) L: R 3 R. x x = = TMgS. x x

9 ( x, x ) x = y λ. S bargo stas codcos so codcos csaras ás o sfcts. Por otro lado, la codcó d sgdo ord (codcó sfct) s obt dfrcado totalt las cacos d las codcos d rr ord rscto a las varabls dógas. Así, s t, + dλ = + dλ = + = Dado l tora d Yog, 9 s t la atrz hssaa, co =, H D dod, la codcó d sgdo ord cosst q la atrz hssaa sa a atrz dfda gatva, así s garatza q la solcó d [ P ] s áxo local. Lgo, forlaos l sgt tora acrca d la solcó dl rograa d otzacó. 9 Est tora ca, q s ( ) s C, la atrz hssaa s a atrz sétrca, ya q s kl lk vrfca q =, k, l =,,, k l. Vr MADDEN (Ob. Ct.:. 7). Ua atrz sétrca A d dsó s dfda gatva s vrfca q ara k =,,,, los ors rcals so todos d sgo ( ) k [8]. Para la dtracó d la dfcó d la atrz, s sfct rcsar l sgo d o d los ors, ara cada ord k, llás l or rcal fdatal d k éso ord d A, q s gal al dtrat rsltat d lar A las k últas flas y colas. Etocs, s ara k =,,, l or rcal fdatal d ord k, d a atrz sétrca A d dsó, t sgo ( ) k ; la atrz A srá dfda gatva. Así, ara saco d coso ( ) R +, s tdrá, <, >, > >. Véas MADDEN (Ob. Ct.:. 87).

10 Tora 5 ++ Sa ( x ): R R a fcó C. S l to x R s vrfca las codcos, L x. ( x ) k ++, λ =, k =,,, (codcos d r. Ord).. H sa dfda gatva (codcos d do. Ord). Etocs, l to x s áxo local (strcto) d ( ), codcoado a x =. Por tato, la codcó d sgdo ord ara áxo codcoado (rstrgdo) rqr q todos los dtrats orlados altr d sgo, zado co l sgo ostvo (+). Así, ara l caso dod X + =R, db clrs, > Es dcr, la codcó sfct xg q, ( ) ( ) ( ) ( ) + > > Por otro lado, or la codcó csara dada or [ ], s t tocs l hssao qda coo, = λ y = λ ; λ λ λ λ Ya o s trata dl hssao sí, so dl hssao orlado, y q ara a axzacó codcoada (rstrgda), s xst rstrccos; tal q < +, s orla las ors rcals fdatals d ord sror a + co las drvadas arcals d las rstrccos. Así, la codcó sfct ara áxo codcoado s satsfac s los dtrats altra d sgo, zado co l sgo d ( ) =, s t ( ) + H 3 3 >. [9] +. Etocs ara l caso d

11 + >. λ Dsarrollado, obtos, ( ) ( ) Dod ( ) ( ) + < sñala q la fcó d tldad t crta artclardad, la rrstacó gráfca dl cotoro d ( ) corrsodt a valor ral, coo, db tr dt gatva y sr crct. Jstat stá dt s la llaada tasa argal d ssttcó (TMgS), y l hcho d q dtmgs > lca q l cojto cotoro sror s cojto strctat covxo. Por tato, s sab q toda fcó q osa cojto cotoro sror strctat covxo s a fcó strctat cas cócava. Prcsos, Tora 5 ++ Sa ( x ): R R a fcó C, oótoa crct, y q x R k =,,, ++ l or dagoal rcal orlado d k éso ord d ( ) x tga sgo ( ) k. E tal caso, ( x ) s strctat cas cócava Ilcacas d la otzacó Nvat, ara X + =R, dados los toras atátcos cados, s d obtr los sgts toras ara la dada dvdal dl cosdor, Tora 6 (Ordaldad) El qlbro s varat at calqr trasforacó oótoa crct d ( x ). El cotoro d ( ) corrsodt al valor [], s C ( ) = { x + : ( x) = } R. La rrstacó gráfca s la llaada crva d dfrca. El cotoro sror d ( ) corrsodt al valor cojto, s CS ( ) = { x R + : ( x) }. Y st cojto s jstat l MI asocado a a caasta tal q la fcó d tldad l gra l valor ral MADDEN (Ob. Ct.:. 68).. Vr 3 Así, dado st tora, s cta co rocdto ara dtfcar las fcos cas cócavas. Vr MADDEN (Ob. Ct.: 95).

12 Vaos, ara d tldad F ( ) F ( x, x ) R +, forlos a trasforacó oótoa crct d la fcó = dod F >. Lgo, la fcó d Lagrag qda forlada coo, (, ) ( ) T = F x x + λ x x Hallado las codcos d rr ord s t, T = F λ = x F λ = = = T F = F λ = x T = x x = λ Coo s ddc d [ ] qda altrada la codcó csara dl qlbro dl cosdor. E cato a las codcos sfcts (codcos d sgdo ord), [ ] [ ] tos la hssaa, ( ) + + F F F F ( ) + + F F F F Y coo d [ ] s t q, F = y λ F = ; tocs, λ F F ( ) + F F + F λ F F + F F ( ) + F λ F λ λ F A cotacó, ltlcaos la últa fla y la últa cola or F λ F λ ( ) ( ) + + F F F F + + F F F F s obt, []

13 s t, Sado F vcs la últa fla a la rra y F vcs la últa a la sgda, F λ F F F F Lgo, ssttydo λ F or y λ F últa fla y la últa cola or F λ, rslta, or ; ara sgda ltlcar la F F F F Falt, ltlcaos la últa cola or F y dvdos las dos rras flas or F, qdado, F > Por tato la codcó sfct sg clédos. Tora 7 (Exstca) Las catdads dadadas d cada b qlbro y l ltlcador so fcos d los rcos y l grso otaro. E X + =R, dod los rcos y l grso otaro so varabls xógas, y dfrcado totalt las codcos d rr ord, s obt l sgt ssta atrcal, λ = λ d x x λ d []

14 Coo sñalaos atrort, l dtrat d los cofcts d varacó s, lo cal s rlvat ara alcar l tora d la fcó lícta y lgo fctar l aálss d státca coaratva. Por tato xst las solcos, Tora 7 (Hoogdad) ( ) (, ) k k x = x, k =,,,. λ = λ Las fcos x (, ) so hoogéas d grado cro ( ). Coo ya coaos, sta rodad s a hrca d la hoogdad d grado cro rcos grso otaro dl cojto rsstaro. Así, sdo los vos rcos y l grso otaro,, k k = θ = θ ( θ > ) La rforlacó dl robla d otzacó, tal q la fcó dl Lagrag ahora cotl st ajst qroorcoal d los rcos grso, ahora srá, (, ) ( ) T = x x + λ θ θ x θ x D dod, las codcos d rr ord srá, L = λθ = x θ λ = = = L θ = λθ = x L = θ θ x θ x = x x = x [ ] [ ] Etocs, d [ ] s ddc q las codcos d rr ord o rsltará afctadas. Asso, coo l cojto rsstaro o ha varado, las codcos d sgdo ord srá gals ya q θ > ; or tato o altra s vrfcacó. Vaos, θ θ θ θ [3]

15 Y a cotacó, ltlcado la últa fla y la últa cola or θ, qdado, Tora 8 θ > El ltlcador d Lagrag s la tldad argal dl grso gastado. Dado q x x (, ) =, odos dfrcar la fcó costa d la fcó d k k tldad dada or ( ) = (, ) x x y asso dfrcaos la rstrccó rsstara rscto a cabo l grso otaro, xk ( ) = k= d x d y k= xk k = d d Lgo, rlazado l sgdo rsltado l rro, y cosdrado [ ], s obt, d d ( x) = λ Tora 9 (Cotdad) S s cl los axoas d las rfrcas, ara calqr y fcos d dada ( ) x so cotas., S s t l robla d lccó dl cosdor forlado coo, ( x) ax s. a. x Est rsta a solcó (, ) arátros s (, ) x s úca, ( ) [ P] x q s cota y >, las valor d los x s strctat cas cócava x, (, φ ) s covxo x, tocs abas fcos so cotas ( x,, ) rago d s coacto., y l [4]

16 4. ANÁLISIS DE ESTÁTICA COMPARATIVA Dl tora 6, s t l ssta atrcal, λ = λ dλ x x d Ahora sogaos cabos ftsals d las varabls xógas, tato d los rcos coo dl grso. 4. Varacó dl rco d rodcto Sa cabo dl rco dl b B, ctrs arbs; or tato s t, λ = x d λ Dod, coo b sabos, >. Lgo, alcado la rgla d Crar obtos la tasa d cabo, 4 λ 3 x = + Dod, ( ) = < y 3 = +. Es dcr, l fcto d cabo dl rco d B sobr la catdad dadada dl so b d sr gatvo, ostvo o lo. Esta dtracó s db al sgdo coot, ya q l rro s ddablt gatvo. Por otro lado, tabé tos la tasa d cabo, λ 3 x = 4 La solcó dl ral s dtfca co la fcó d dada arshallaa, or so otacoalt, srá dstto l so d x o d [5] x, salvo q s dq lo cotraro. Etocs, dcaría la dt d la fcó d dada arshallaa l to valado.

17 Dod, = < y 3 = +. Es dcr, l fcto d cabo dl rco d B sobr la catdad dadada dl b B d sr gatvo, ostvo o lo. Esta abgüdad s db al sgdo coot d la tasa d cabo, ya q l rro s lgar a ddas s ostvo. 4. Varacó dl grso otaro Sa cabo dl grso otaro, ctrs arbs; tocs s t l ssta, d = d dλ d Lgo, alcado la rgla d Crar obtos las tasas d cabo rscto a cabo dl grso otaro, d = 3 Dod, 3 = +. 5 Sgú l stdo caltatvo dl cabo q osa sta tasa, corrsodrá a to d b dtrado ara l b B. Así, s d tr los sgts casos, 5 Esta tasa d cabo sñala la dt d la crva d Egl ara la stacó cal d qlbro valada. Foralt, tato la dada arshallaa coo la dada grso (q da org a la crva d Egl) so la sa, dfrcádos úcat orq ara la rra l rco y l grso otaro so los arátros d la fcó; tras q ara la crva d Egl, lo so abos rcos, y. Etocs ara hacr rfrca a st to, cado drvos las fcos d dada arshallaa rscto al grso otacoalt tlzaros x k rfrca a la dada grso (crva d Egl). [6]

18 d d d 3 = > 3 = = 3 = < B B B s b oral o sror. s b tro. s b fror Por otro lado, sta tasa d cabo os rt dtfcar l sgdo coot d la tasa d cabo d la catdad dadada d B at cabo d s rco,. S x 3 valaos a artr d a stacó cal d qlbro, tocs x = d dcaría q tras cabo l rco d b, ctrs arbs, xst fcto slar a q s s odfcas l grso otaro (y q or la codcó ctrs arbs s gal a a varacó dl grso ral). A st coot l llaaros fcto grso, or lo q stra rra tasa d cabo va qdado coo, λ = x d Y tabé qda claro, q l valor d la tasa d cabo, ddrá d cóo tfq l cosdor al b B. Así, tdros los sgts casos osbls, λ x 3 3 d = + < = > B s b oral. λ x 3 3 d = + < = = B s b tro. λ x 3 3 d = + = < B s b fror. S obsrvará, q las dos rras tfcacos d B la tasa d cabo qda dfda. E tato q, co l trcr to, coo b fror, s tdrá trs 3 x 3 stacos osbls adcoals. Lgo, dado q = < ; tocs >, d [7]

19 sdo d sgo osto al rr coots. Para valar l rsltado to toaros valors absoltos d abos coots, sdo osbl obtr, λ 3 x < > B λ x 3 = = B s b fror. λ 3 x > < B s b fror. s b fror Gff. Nóts, q l rr caso, l fcto grso cotrarrsta sólo arcalt l fcto dl rr coot. E l sgdo, abos fctos s cacla y l trcr to, l fcto grso sra al rr coot, or lo q la tasa d cabo d la catdad dadada d b rscto a s rco s ostva (s l úco caso dod la dada arshallaa t dt gatva). Por otro lado, la sgda tasa d cabo drvada srá, d 3 = Dod 3 = +. D gal fora, st rsltado aarc coo art dl sgdo coot d d. Así, ssttydo s obt q λ = x d. Y vat s sclarc q la dtracó d la tasa d cabo d B rscto al cabo dl rco d B obdc a cóo las rfrcas dl cosdor tfca l b B. Etocs s osbl tr los sgts casos, λ x3 3 d = = > B s b oral. λ x3 3 d = > = = B s b tro. λ x3 3 d = > = < B s b fror. [8]

20 Ahora tabé s obsrvará, q las dos últas tfcacos d B la tasa d cabo qda dfda. E tato q, co l rr to, s tdrá trs stacos 3 osbls ás. Dado q = > d x 3 ; tocs <. Etocs, ara valar l rsltado to toaros valors absoltos d abos coots, sdo osbl obtr, λ 3 x > > B λ x 3 = = B s b oral. λ 3 x < < B s b oral s b oral. La dtracó d sta tasa os rt rcsar cóo l cosdor tfca los bs B y B. Así, s t, > B = B < B y B y B y B so bs sstttos brtos. so bs ddts. so bs coltaros brtos. Esta clasfcacó, s dsrd d las rfrcas dl cosdor. Atrort Parto y Edgworth hacía rfrca a los cofcts y ara dtrar la coltardad tr los bs LA DEMANDA COMPENSADA (DEMANDA HICKSIANA) Prooscó + Sa ( ): R R cota, strctat cas cócava y oótoat crct. Adás sa ++ R y + x R, tal q, 6 Vr HICKS (945:. 4 54). [9]

21 . La solcó d [ P ], x, za l { } x MI ( x ) = x + : ( x) ( x ) R.. x >. Etocs A (, ) { : } x = x + x x x axza la fcó d tldad ( ) R. x Esta rooscó s drva dl to () dl tora. Ya q s la caasta solcó s ctra la frotra dl cojto d osbldads d coso; tocs s cl x =. Por lo q dcho grso otaro, a s vz, d trrtars coo gasto ío rqrdo ara alcazar l cojto d caastas MI ( ) x. Tabé odos afrar q sta rooscó dca q la solcó d [ P ], q s úca or las rodads atrort cadas y q axza la fcó objtvo ( x ), a s vz za l gasto q s rqr ara alcazar l cojto MI ( ) x. La rsolcó dl robla latado () coo zacó, s l dal [ D ] d [ P ], q s forla coo, 7 x s. a. D x ( x) [ ] B MI A x* B 7 Q gal al robla [ P ] db clr crtas codcos q s tratará cado s std la daldad dl cosdor. []

22 Podos tr a rrstacó gráfca d la rlacó tr l ral y l dal. (Vr gráfco atror) Lgo, ara saco d coso, dod X + =R, st robla qval a rsolvr la sgt fcó d Lagrag sólo ara trs varabls, (, ) Z = x + x + µ x x Hallado las codcos d rr ord, Lgo, d [ ] y [ ] Z = µ = x Z µ = µ = x Z = x x = µ = = [ ] (, ) [ ] h s obt las solcos, (, ) x y µ, llaádos a las rras dadas hcksaas o dadas cosadas. Y d la sa fora q s stablcó l tora d xstca ara la solcó d [ P ], gal aqí odos sostr q las catdads solcó d [ D ] d cada b y l ltlcador µ so fcos d los rcos, ro ya o dl grso otaro so d vl d tldad rfrcal,. Así, X + =R, cosdrado los rcos y l vl d tldad rfrcal coo varabls xógas y dfrcado totalt las codcos d rr ord, s obt l sgt ssta atrcal, h µ µ h µ µ = d µ d []

23 h Dod, l dtrat d la atrz d los cofcts d varacó s <. 8 A cotacó odos ralzar jrccos d státca coaratva, fdatalt qros hallar la tasa d cabo h h y ya q srá las q os dará foracó sobr los rros coots dscoocdos d alcado la rgla d Crar, s t, h h h µ µ λ = = = = = 9 h µ µ y. Etocs, Q datat rcoocos coo l rr coot d la tasa d cabo. Est s l llaado fcto ssttcó, q coo ya sabos s dftvat gatvo, <. h Mtras q la sgda tasa d cabo q bscaos s, h h h µ µ λ = = = = = h µ µ Y coo ya s sab q <, tocs s sg q h >. Es dcr, ato dl rco d B gra dscso d la catdad dadada d B. Esta rlacó vrsa t q vr co la rodad d ootoía d las rfrcas, ya q d lla 8 El hssao s gatvo dado q ahora la otzacó trata d hallar ío. Así, dsarrollado cotraos la rlacó tr los hssaos rsltat d las codcos d rr h ord ara [ P ] y ara [ D ], ( ) ( ) = <. µ µ 9 Rcérds q qlbro s cl, λ = y = ; or tato, λ =. µ µ Esta tasa vdría a sr la dt d la dada hcksaa valada qlbro cal. []

24 dd q las crvas d dfrca tga dt gatva y or tato s fr l fcto ssttcó ara vl dado d tldad,. Falt, co la dada hcksaa tos a rra aroxacó d la dscooscó dl fcto d cabo dl rco d b sobr la catdad dadada dl so b o d otro b. Falt os qdaos co, h x h = d y = x d Q os stra cóo l fcto total d cabo dl rco s dvd dos coots, l fcto ssttcó y l fcto grso. Ahora odos rrstar gráfcat la dada arshallaa así coo la dada hcksaa, ara l caso l q l b B s b fror dl sbto (), dod q ara st caso, la tasa d cabo rlvat s, λ ( ) ( + ) x 3 = + = x 3 λ =. Rcérds Para la costrccó gráfca d st caso, asros a stacó cal dod a rco rlatvo d B l cosdor cos a catdad x d B. Dado q sta stacó cal, co s grso xógo stá axzado la tldad, l to x, rtc a la crva d dada arshallaa. S bargo, sta sa S bargo Bckr t a ostra dfrt, s sñala: Hos dcado q l tora ás ortat cooía s q crto ro l rco rlatvo (o téros d trcabo) dl b X rdcrá la catdad dadada d X. Est tora raarc a través d la toría coóca bajo varos asctos. Tradcoalt, ha stado asocado co sstos d coortato racoal, ya q s drvó y s cosdró la rcal lcacó dl aálss d crvas d tldad dfrca. S bargo, ttaré dostrar q gal q los fctos grso ya dsctdos, s drva báscat d la scasz, y o d la racoaldad, y sostgo q s alcabl tabé ara chas class d coortato. Vr BECKER (977: ). Otra fora d dr l fcto grso sría tlzado l étodo d Sltsky, q al fjar a caasta d coso, tocs ya o s rqr dl dal, so s trabaja sobr l so ral, cosdrado l costo d la caasta cal valada a los vos rcos. Vr FRIEDMAN (Ob. Ct.:. 65). [3]

25 stacó tabé odos trrtar q s grso s a la vz gasto ío q l rt alcazar vl d tldad dado, or lo q dcho to x, tabé sría art d la crva d dada hcksaa. Así, l caso d q B s cosdrado or l cosdor coo b fror x 3 λ =, l fcto grso s cotrarrsta totalt al fcto ssttcó, or lo q l fcto total s lo. Vaos gráfcat, ( ;, ) x x = x fcto ssttcó fcto grso h x ( ;, ) h x B REFERENCIAS [ ] ÁVALOS, Eloy. (), La toría dl cosdor: rfrcas y tldad. Docto d Trabajo Nº 5. La: Ctro d Ivstgacos Ecoócas dl Isttto d Estdos Socals dl Ríac. BECKER, Gary. (977), Toría coóca. Méxco: Fodo d Cltra Ecoóca. [ ] [ 3 ] FRIEDMAN, Mlto, R. (976), Toría d los rcos. Madrd: Alaza Edtoral. [ 4] HICKS, Joh. (945), Valor y catal. Ivstgacó sobr algos rcos fdatals d toría coóca. Méxco: Fodo d Cltra Ecoóca. 5 MADDEN, Pal. (987), Cocavdad y otzacó crocooía. Madrd: Alaza [ ] Edtoral. [4]