Revisión de conceptos. Conjunto de problemas 7.2. sen 6 x dx. sen 8 x dx = 7 8 L0 = 7 # 5 # 3 # L0. sen 4 x dx. sen 2 x dx.

Transcripción

1 Sección 7. Integrción or rtes 39 0 > sen 8 d > 7 # # # # # 3 # # 6 # 3 4 # # 3 6 fórmul generl r sen n d uede encontrrse de un mner nálog (fórmul 3 en l rte osterior del 0 libro). > sen 6 d > sen 4 d > sen d > d Revisión de concetos. fórmul de integrción or rtes dice que u dv. 3. Al licr l fórmul de integrción or rtes se obtiene el >. Pr licr est fórmul sen d, se hce u vlor r sen d. 0 dv. 4. Un fórmul que eres fn g() d en términos de fk g() d, donde k 6 n, se denomin fórmul de. Conjunto de roblems 7. En los roblems del l 36 utilice l integrción or rtes r evlur cd integrl... e3 d e d t + 7et + 3 dt tet + dt. cos d t - 3 cost - 3 dt t t + dt 0. sen d - sen d t 3 t + 7 dt. ln 3 d. ln7 d d d 7. t 7 dt 7-3t 4 3> d 9. z z 4 dz 30. cosh d 3. senh d 3. ln d tt - dt d 0 3. d 36. z z dz En los roblems del 37 l 48 lique dos veces l integrción or rtes r evlur cd integrl (vénse los ejemlos 6). 3. rctn d 4.. ln d 6. e 7. t ln t dt z3 ln z dz 0.. rctn>t dt. > 3. csc d >6 4. rctn d 3 ln ln 3 d t rctn t dt t lnt 7 dt >4 >6 d sec d e d ln 0 d ln z dz et sen t dt et cos t dt r sen r dr cos d 4. senln d 46. e d cosln d 47. Sugerenci: use el roblem 39. ln 3 d

2 39 Cítulo 7 Técnics de integrción 48. Sugerenci: utilice los roblems ln 4 d En los roblems del 49 l 4 utilice integrción or rtes r deducir l fórmul que se d En los roblems del l 6 deduzc l fórmul de reducción que se d utilizndo integrción or rtes sen sen 3 d cos sen 7 d cos cos 7-4 sen sen 7 + C ez sen bz dz e z sen bz - b cos bz + b + C ez cos bz dz e z cos bz + b sen bz + b + C ln d + + ln C, Z - + ln d + ln ln C, Z e b d e b - b b - e b d sen b d - cos b + b b - cos b d cos b d sen b - b b - sen b d ln d ln - ln - d - d sen cos cos sen 3 + C 6. Encuentre el áre de l región cotd or l curv ln, el eje l rect e. 66. Encuentre el volumen del sólido generdo l hcer girr l región del roblem 6 lrededor del eje. 67. Encuentre el áre de l región cotd or ls curvs 3e ->3, 0, 0 9. Hg un dibujo. 68. Encuentre el volumen del sólido generdo l hcer girr l región descrit en el roblem 67, lrededor del eje. 69. Encuentre el áre de l región cotd or ls gráfics de sen cos, desde 0 hst > Encuentre el volumen del sólido que se obtiene l hcer girr l región bjo l gráfic de sen(>) desde 0 hst lrededor del eje. 7. Encuentre el centroide (vése l sección.6) de l región cotd or ln el eje desde hst e. 7. Evlúe l integrl or rtes de dos mners diferentes: cot csc d () Derivndo cot (b) Derivndo csc (c) Demuestre que los dos resultdos son equivlentes, slvo or un constnte. 73. Si () es un olinomio de grdo n G, G,...,G n+ son ntiderivds sucesivs de un función g, entonces or medio de reetids integrciones or rtes, g d G - G + G 3 - Á + - n n G n + + C Utilice este resultdo r encontrr cd un de ls siguientes integrles: () (b) sen d 3 - e d 74. gráfic de sen r Ú 0 se bosquej en l figur. () Encuentre un fórmul r el áre de n-ésimo rco. (b) El segundo rco se hce girr lrededor del eje. Encuentre el volumen del sólido resultnte. Segundo rco 60. cos d cos - sen d + - cos - d Primer rco π π 3π 6. cos b d cos - b sen b b 6. Utilice el roblem r deducir 4 e 3 d 3 4 e e e e e3 + C 63. Utilice los roblems 6 7 r deducir 3 4 sen cos sen 3 4 cos 3 d 64. Utilice el roblem 6 r deducir cos 3 7 sen 3 cos3 3 cos6 3 d sen 3 8 cos cos - b d sen 3 + C sen 3 cos C. Figur 7. cntidd n f sen n d desemeñ un el - imortnte en mtemátics licds. Demuestre que si f () es continu en [-, ], entonces lím Sugerenci: integrción or n: q n 0. rtes. 76. Se G n n n + n + Á n + n.. Demuestre que lím G Sugerenci: considere ln(g n >n), identifíquel como n: q n>n 4>e. un sum de Riemnn utilice el ejemlo. 77. Encuentre el error en l siguiente demostrción de que 0. En >t dt, hg u >t dv dt. Entonces du -t - dt uv. integrción or rtes d o 0. >t dt - ->t dt

3 Sección 7.3 Alguns integrles trigonométrics Suong que quiere evlur l integrl or su eerienci sbe que el resultdo será de l form e (C cos 7 + C sen 7) + C 3. Clcule C C derivndo el resultdo hágl igul l integrndo. Muchos resultdos teóricos sorrendentes ueden deducirse medinte el uso de integrción or rtes. En todos los csos, uno inici con un integrl. Aquí elormos dos de estos resultdos. 79. Demuestre que b b f d [f] b - f d 80. Utilice el roblem 79 reemlce f or f r demostrr que b fb - f f d 8. Demuestre que ft f + n i e 4 cos sen 7 d b [ - f] b - - f d b f bb f d b f b bf d f i t t - n t - i + f n + d, i! n! siemre que f ued derivrse n + veces. 8. función bet, que es imortnte en muchs rms de ls mtemátics, está definid como B, b - - b - d, con l condición de que Ú b Ú. () Por medio de un cmbio de vribles, demuestre que 0 (b) Integrndo or rtes demuestre que B, b - b (c) Ahor, suong que n m que n m son enteros ositivos. Utilizndo, de mner reetid, el resultdo de l rte (b) demuestre que (n - )! (m - )! Bn, m n + m -! Este resultdo es válido incluso r el cso en donde n m no son enteros, con tl que odmos dr significdo (n )!, (m - )! (n + m - )! 83. Suong que f (t) tiene l roiedd de que f () f (b) 0 que f (t) tiene dos derivds continus. Utilice integrción or rtes r demostrr que f tft dt 0. Sugerenci: use integrción or rtes derivndo f (t) e integrndo f (t). Este resultdo tiene muchs licciones en el cmo de ls mtemátics licds en ecuciones diferenciles rciles. 84. Deduzc l fórmul utilizndo l integrción or rtes. 8. Generlice l fórmul dd en el roblem 84 uno r un integrl iterd n-veces t fz dzb dt ft - t dt t Á 0 b - B -, b + B +, b - b t n - ft n dt n Á dt ft n -! - t n - dt Si P n () es un olinomio de grdo n, demuestre que e P n d e n - j dj P n j 0 d j 87. Utilice el resultdo del roblem 86 r evlur 34 + e d B, b b- - - d Bb, 0 Resuests l revisión de concetos:.. ; sen d reducción uv - v du 7.3 Alguns integrles trigonométrics Cundo hemos combindo el método de sustitución con un uso decudo de identiddes trigonométrics, odemos integrr un grn vriedd de forms trigonométrics. Consideremos tres tios encontrdos comúnmente.. cosn d senn d. senm cos n d 3. sen m cos n d, sen m sen n d, cos m cos n d 4. cotn d tnn d,. cotm csc n d tnm sec n d,

4 394 Cítulo 7 Técnics de integrción Identiddes útiles Tio A sen n d, cos n db Primero considere el cso en donde n es un entero ositivo. Desués fctorice el fctor sen o cos, utilice l identidd sen + Alguns identiddes trigonométrics cos que se necesitn en est sección son. ls siguientes. Identiddes itgórics EJEMPO (n imr) Encuentre sen d. sen + cos SOUCIÓN + tn sec + cot csc sen d sen 4 sen d Identiddes del ángulo medio sen cos - cos + cos - cos sen d - cos + cos 4 sen d - - cos + cos 4 -sen d -cos + 3 cos3 - cos + C EJEMPO (n r) Encuentre cos4 d. sen d SOUCIÓN Aquí hemos utilizdo ls identiddes del medio ángulo. - cos sen d d d - cos d 4 - sen + C 4 cos4 d + cos b d 4 + cos + cos d 4 d + 4 cos d + + cos 4 d d + cos d + cos 44 d sen + sen 4 + C 4 3 Tio A sen m cos n db Si m o n son enteros imres ositivos el otro eonente es culquier número, fctorizmos sen o cos utilizmos l identidd sen + cos. EJEMPO 3 (m o n imres ) Encuentre sen 3 cos -4 d.

5 Sección 7.3 Alguns integrles trigonométrics 39 SOUCIÓN sen3 cos -4 d - cos cos -4 sen d - cos -4 - cos - -sen d cos -3 -c - -3 cos - - d + C 3 sec3 - sec + C Si m n son enteros ositivos res, utilizmos ls identiddes r el medio ángulo fin de reducir el grdo del integrndo. El ejemlo 4 roorcion un ilustrción. EJEMPO 4 (m n res) Encuentre sen cos 4 d. SOUCIÓN sen cos 4 d - cos + cos b b d 8 + cos - cos - cos 3 d s integrciones indefinids ueden llevr resuests que recen diferentes. Por un método sen cos d Son diferentes? - cos -sen d 8 c + cos - + cos sen cos d d 8 c - cos 4 + sen cos d d 8 c d - 8 cos 44 d + sen cos dd 8 c - 8 sen sen3 d + C - cos + C Por un segundo método sen cos d sen cos d sen + C Pero ls dos resuests deben diferir or, lo más, en un constnte. Sin embrgo, observe que Tio 3 A sen m cos n d, sen m sen n d, cos m cos n db s integrles de este tio recen en muchos roblems de licciones de físic e ingenierí. Pr mnejr ests integrles utilizmos ls identiddes r l multilicción.. sen m cos n [senm + n + senm - n] sen + C - cos + C - cos + A + CB Ahor comre ests resuests con un tercer resuest.. 3. sen m sen n - [cosm + n - cosm - n] cos m cos n [cosm + n + cosm - n] sen cos d sen d - 4 cos + C EJEMPO SOUCIÓN Encuentre sen cos 3 d. Alique l identidd r el roducto.

6 396 Cítulo 7 Técnics de integrción sen cos 3 d [sen + sen-] d 0 sen d - sen d - 0 cos + cos + C EJEMPO 6 Si m n son enteros ositivos, demuestre que - sen m sen n d e 0 si m Z n si m n SOUCIÓN Si m n, Alique l identidd r el roducto. Si m Z n, entonces 0 m sen n d - -sen [cosm + n - cosm - n] d - - c m + n senm + n - m - n senm - n d - m sen n d - -sen [cos m - ] d - - c m sen m - d - - [-] EJEMPO 7 Si m n son enteros ositivos, encuentre SOUCIÓN Sen u >, du d>. Si -, entonces u -, si, entonces u. Por lo que - sen m - sen sen n m sen n d sen mu sen nu du d - d # 0 # si m Z n si m n Aquí hemos utilizdo el resultdo del ejemlo 6. e 0 si m Z n si m n Vris veces en este teto hemos sugerido que debe ver ls coss desde el unto de vist lgebrico desde el unto de vist geométrico. Hst el momento, est sección h sido comletmente lgebric, ero con integrles definids como ls de los ejemlos 6 7, tenemos l oortunidd de ver coss geométricmente.

7 Sección 7.3 Alguns integrles trigonométrics 397 figur muestr ls gráfics de sen(3)sen() sen(3>0)sen(>0). s gráfics sugieren que ls áres or rrib or bjo del eje son igules, llevndo A rrib A bjo 0. os ejemlos 6 7 confirmn esto. sen 3 sen sen 3 sen Figur figur muestr ls gráfics de sen sen sen, -, sen(>0) sen(>0) sen (>0), Ests dos gráfics se ven igules, slvo que l de l derech se h estirdo en el sentido horizontl or un fctor 0>, entonces tiene sentido que el áre umentrá or este mismo fctor? Esto hrí que el áre sombred en l figur de l derech fuese igul 0> veces el áre sombred en l figur de l izquierd; esto es, el áre de l derech deberí ser (0>) 0, lo cul corresonde l resultdo del ejemlo 7 con 0. sen sen Figur Tio 4 A tn n d, cot n db En el cso de l tngente, utilice tn sec ; en el cso de cotngente, utilice cot csc. EJEMPO 8 Determine cot4 d. SOUCIÓN cot4 d cot csc - d cot csc d - cot d - cot -csc d - csc - d - 3 cot3 + cot + + C EJEMPO 9 Determine tn d.

8 398 Cítulo 7 Técnics de integrción SOUCIÓN tn d tn 3 sec - d tn 3 sec d - tn 3 d tn 3 sec d - tn sec - d tn 3 sec d - tn sec d + tn d 4 tn4 - tn - ln ƒ cos ƒ + C Tio A tn m sec n d, cot m csc n db EJEMPO 0 (n r, m culquier número) Determine tn-3> sec 4 d. SOUCIÓN tn-3> sec 4 d tn -3> + tn sec d tn -3> sec d + tn > sec d - tn -> + 3 tn3> + C EJEMPO (m imr, n culquier número) Determine tn3 sec -> d. SOUCIÓN tn3 sec -> d tn sec -3> sec tn d sec - sec -3> sec tn d sec > sec tn d - sec -3> sec tn d 3 sec3> + sec -> + C Revisión de concetos. Pr clculr rimero l escribimos como cos d, 3. Pr obtener rimero l reescribimos como sen cos 3 d,... Pr mnejr rimero l escribimos sen cos 3 d, 4. Pr resolver cos m cos n d, donde m Z n, utilizmos - como. l identidd trigonométric.

9 Sección 7.4 Sustituciones r rcionlizr 399 Conjunto de roblems 7.3 En los roblems del l 8 relice ls integrciones que se indicn... sen4 6 d sen d 3. sen3 d 4. cos3 d > >. cos u du sen 6 u du sen3 tcos t dt sen 4 cos 4 d sen> z cos 3 z dz cos3 3u sen - 3u du.. cos6 u sen u du sen4 3t cos 4 3t dt 3. sen 4 cos d sen 3t sen t dt sen4 w b cos w b dw 7.. Sugerenci: utilice integrción or cos sen d rtes. 8. sen3 cos d cot4 d tn4 d.. cot3 t dt tn3 d cot t dt tn u b du. 6. tn-3> sec 4 d tn-3 sec 4 d tn3 sec -> d tn3 sec d 9. Encuentre cos m cos n d, m Z n; m, n enteros. - cos cos 4 d m 30. Determine cos enteros. - cos n d, m Z n, m, n 3. región cotd or + sen, 0, se hce girr lrededor del eje. Encuentre el volumen del sólido resultnte. 3. región cotd or sen ( ); 0 > se hce girr con resecto l eje. Encuentre el volumen del sólido resultnte. N 33. Se f n senn. Utilice el ejemlo 6 r demostrr cd un de ls siguientes roosiciones r un entero ositivo m. n () f senm d e m si m N - 0 si m 7 N N (b) f d n - n Not: ls integrles de este tio recen en un tem llmdo series de Fourier, que tiene licción en clor, cuerds vibrntes otros fenómenos físicos. 34. Demuestre que lím cos n: q cos 4 cos 8 Á cos n sen comletndo los siguientes sos. () cos cos 4 Á cos n ccos n + cos 3 n + Á n - + cos n d n - (Vése el roblem 46 de l sección 0.7.) (b) Identifique un sum de Riemnn que lleve un integrl definid. (c) Evlúe est integrl definid. 3. Utilice el resultdo del roblem 34 r obtener l fmos fórmul de Frnçois Viète (40-603): 36. región sombred (vése l figur 3) entre un rco de sen,0 l rect k,0 k, se hce girr lrededor de l rect k, generndo un sólido S. Determine k de modo que S teng () volumen mínimo (b) volumen máimo. Figur 3 # + sen # Á π k Resuests l revisión de concetos:. [ + cos >] d. - sen cos d 3. sen - sen cos d 4. cos m cos n [cosm + n + cosm - n] 7.4 Sustituciones r rcionlizr os rdicles en un integrndo siemre son roblemáticos or lo común trtmos de librrnos de ellos. Con frecuenci, un sustitución roid rcionlizrá el integrndo.

10 400 Cítulo 7 Técnics de integrción Integrndos que incluen n b Si n + b rece en un integrl, l sustitución u n + b eliminrá el rdicl. EJEMPO d Encuentre -. SOUCIÓN Se u, de modo que u u du d. Entonces d - u u - u du u - du ln ƒ u - ƒ + C ln ƒ - ƒ + C EJEMPO Encuentre 3-4 d. SOUCIÓN Se u 3-4, or lo que u 3 4 3u du d. Entonces 3-4 d u3 + 4u # 3u du 3 u 6 + 4u 3 du 3c u7 7 + u4 d + C > >3 + C EJEMPO 3 Encuentre + d. SOUCIÓN Se u ( + ) >, de modo que u + u 4 du d. Entonces, + > d u - u # u 4 du u - u 6 du u - 7 u7 + C + > > + C Integrndos que incluen, Pr rcionlizr ests tres eresiones, odemos suoner que es ositiv hcer ls siguientes sustituciones trigonométrics. Rdicl Sustitución Restricción sobre t sen t tn t sec t -> t > -> 6 t 6 > 0 t, t Z > Ahor observe ls simlificciones que relizn ests sustituciones. ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ. - - sen t cos t cos t cos t. + + tn t sec t sec t sec t 3. - sec t - tn t tn t ; tn t s restricciones sobre t nos ermitieron eliminr los signos de vlor bsoluto en los rimeros dos csos, ero tmbién relizn lgo más. Ests restricciones son ectmente ls misms que introdujimos en l sección 6.7 r hcer que fuesen invertibles seno, tngente secnte. Esto signific que, en cd cso, odemos resolver ls ecuciones de ls sustituciones r t esto nos ermitirá escribir nuestrs resuests finles en los ejemlos siguientes en términos de.

11 Sección 7.4 Sustituciones r rcionlizr 40 EJEMPO 4 Encuentre - d. SOUCIÓN Hcemos l sustitución sen t, - t Entonces, d cos tdt - cos t. Así, - d cos t # cos t dt cos t dt + cos t dt t + sen tb + C t + sen t cos t + C Ahor, sen t es equivlente > sen t, como t estb restringid hcer invertible l función seno, t sen - b t Figur Figur sen t A π A d t Figur tn t Utilizndo el triángulo rectángulo de l figur (como lo hicimos en l sección 6.8), vemos que Por lo que El resultdo en el ejemlo 4 nos ermite clculr l siguiente integrl definid que reresent el áre de un semicírculo (vése l figur ). Así, el cálculo confirm un resultdo que conocímos. - cos t coscsen - bd A d sen- b C - d c sen- b + - d - c + d d EJEMPO Encuentre 9 +. SOUCIÓN Se 3 tn t, -> 6 t 6 >. Entonces d 3 sec t dt sec t. d sec t 3 sec t dt sec t dt ln ƒ sec t + tn t ƒ + C El último so, l integrción de sec t, fue resuelto en el roblem 6 de l sección 7.. Ahor, tn t >3, que sugiere el triángulo en l figur 3, con bse en el cul concluimos que sec t 9 + >3. Así, d 9 + ln ` ` + C 3 ln ƒ ƒ - ln 3 + C ln ƒ ƒ + K

12 40 Cítulo 7 Técnics de integrción sec t EJEMPO 6 Clcule d. SOUCIÓN Se sec t, donde 0 t 6 >. Observe que es cetble l restricción de t este intervlo, que está en el intervlo 4 (vése l figur 4). Eso es imortnte orque nos ermite eliminr el signo de vlor bsoluto que normlmente rece cundo simlificmos -. En nuestro cso, Figur t sec t tn t ƒ tn t ƒ tn t Ahor utilizmos el teorem sobre l sustitución en un integrl definid (que requiere cmbir los límites de integrción) r escribir 4-4 >3 tn t d sec t tn t dt sec t 0 >3 >3 tn t dt sec t - dt 0 Ctn t - td 0 > u + t u tn t Figur u Comletndo cudrdos Cundo rece un eresión cudrátic del tio + B + C bjo un rdil, comletr el cudrdo l rerrá r un sustitución trigonométric. d EJEMPO 7 Encuentre () (b) d SOUCIÓN () ( + ) +. Sen u + du d. Entonces u + Ahor, se u tn t, -> 6 t 6 >. Entonces du sec tdt u + tn t + sec t, sí que du d u + ln ƒ sec t + tn t ƒ + C ln ` sec t dt sec t u + (b) Pr clculr l segund integrl escribimos sec t dt + u ` + C ln ƒ u + + u ƒ - ln + C ln ƒ ƒ + K (or l figur ) d d d rimer de ls integrles de l derech se resuelve or medio de l sustitución u + + 6; l segund es l que recientemente se hizo. Obtenemos du d ln ƒ ƒ + K

13 Sección 7.4 Sustituciones r rcionlizr 403 Revisión de concetos. Pr resolver se hce l sustitución u - 3 d, 3. Pr resolver un integrl que inclu 4 +, se hce l sustitución.. 4. Pr resolver un integrl que inclu - 4, se hce l. Pr resolver un integrl que inclu 4 -, se hce l sustitución. sustitución. Conjunto de roblems 7.4 En los roblems del l 6 evlúe ls integrles que se indicn.. + d. 3 + d 3. t dt t d. dt t 6. 0 t + dt t + e 7. t3t + 3> dt 8. - >3 d d d d dt > t t t - t 4. - t dt - t 3 dt. z z dz 0 + d En los roblems del 7 l 6 utilice el método de comletr el cudrdo, junto con un sustitución trigonométric, si es necesri, r evlur cd integrl. 7. d d d + + d d. d d d d d 7. región cotd or >( + + ), 0, 0, se hce girr lrededor del eje. Encuentre el volumen del sólido resultnte. 8. región del roblem 7 se hce girr lrededor del eje. Encuentre el volumen del sólido resultnte. d 9. Encuentre or medio de + 9 () un sustitución lgebric (b) un sustitución trigonométric. Desués comre sus resuests. 3 3 d 30. Encuentre hciendo ls sustituciones u 9 +, u 9 +, u du d 4-3. Encuentre d or medio de () l sustitución u 4 - (b) un sustitución trigonométric. Desués comre sus resultdos. Sugerenci: csc d ln ƒ csc - cot ƒ + C. 3. Dos círculos de rdio b se intersecn como se muestr en l figur 6 con sus centros uniddes serdos (0 b). Encuentre el áre de l región en que se trsln. Figur 6 Figur 8 0 C b b 0 Figur 7 C Figur Hiócrtes de Quios (roimdmente 430. C.) demostró que ls dos regiones sombreds en l figur 7 tienen l mism áre (él cudró l un). Obsérvese que C es el centro del rco inferior de l un. Demuestre el resultdo de Hiócrtes. () or medio de cálculo (b) sin cálculo. 34. Generlice l ide del roblem 33 encontrndo un fórmul r el áre de l región sombred de l un que se muestr en l figur Comenzndo en (, 0) se jl un objeto or medio de un cuerd de longitud, con el etremo que se jl moviéndose lo lrgo de l rte ositiv del eje (vése l figur 9). trectori del

14 404 Cítulo 7 Técnics de integrción objeto es un curv denomind trctriz tiene l roiedd de que l cuerd siemre es tngente l curv. Estblezc un ecución diferencil r l curv resuélvl. Resuests l revisión de concetos: sen t 3. tn t 4. sec t 7. Integrción de funciones rcionles or medio de frcciones rciles 3 + Figur Un función rcionl, or definición, es el cociente de dos funciones olinómics. Ejemlos son f De ésts, f g son funciones rcionles rois, lo cul quiere decir que el grdo del numerdor es menor que el del denomindor. Un función rcionl imroi (no roi) siemre uede escribirse como un sum de un función olinomil un función rcionl roi. Así, or ejemlo, un resultdo obtenido or medio de división lrg (vése l figur ). os olinomios son fáciles de integrr, el roblem de integrr funciones rcionles relmente es l de integrr funciones rcionles rois. Pero, siemre odemos integrr funciones rcionles rois? En teorí, l resuest es sí, unque los detlles rácticos ueden llegr brumrnos. Primero considere ls integrles de ls f g nteriores. EJEMPO + 3, g h Encuentre + 3 d , h SOUCIÓN Considere l sustitución u d + -3 d C C EJEMPO + Encuentre d. SOUCIÓN Primero considere l sustitución u r l cul du ( 4) d. Entonces escrib l integrl dd como un sum de dos integrles d d d En l segund integrl, comlete el cudrdo. ln ƒ ƒ d d d d Concluimos que d tn- - b + C d ln ƒ ƒ + 3 tn - - b + K

15 Sección 7. Integrción de funciones rcionles or medio de frcciones rciles 40 Un hecho destcdo es que culquier función rcionl roi uede escribirse como un sum de funciones rcionles rois simles, como ls que se ilustrn en los ejemlos. Debemos ser más recisos. Descomosición en frcciones rciles (fctores lineles) Sumr frcciones es un ejercicio lgebrico sencillo: encuentre un común denomindor sume. Por ejemlo, El roceso inverso de descomoner un frcción en un sum de frcciones más simles es el que hor nos interes. Centrmos nuestr tención en el denomindor considermos csos. EJEMPO 3 Fctores lineles simles Descomong (3 )>( 6) luego encuentre su integrl indefinid. Resuelv est ecución diferencil Con frecuenci, h oco recido entre un ecución diferencil su solución. Quién suondrí que un ecución tn sencill como d d - odrí trnsformrse en log e + - b + C Esto rece l trnsformción de un crisálid en un mrios. Silvnus P. Thomson El método de frcciones rciles hce de esto un trnsformción sencill. Ve cómo se hizo? SOUCIÓN Y que el denomindor se fctoriz como ( + )( 3), rece rzonble eserr un descomosición de l form siguiente: () Por suuesto, nuestro trbjo es determinr A B de modo que () se un identidd, un tre que encontrmos más fácil desués de que hemos multilicdo mbos ldos or ( + )( 3). Obtenemos () o de mner equivlente, (3) Sin embrgo, (3) es un identidd si sólo si los coeficientes de otencis igules de en mbos ldos son igules; esto es, Al resolver este r de ecuciones r A B, obtenemos A 7, B 8. En consecuenci, A A B A + B + -3A + B A + B 3-3A + B d 7 + d d 7 ln ƒ + ƒ + 8 ln ƒ - 3 ƒ + C Si hubo lgun dificultd en este roceso, fue l determinción de A B. Encontrmos sus vlores usndo l fuerz brut, ero eiste un mner más sencill. En (), l cul queremos que se un identidd (es decir, verdder r todos los vlores de ), sustitu los vlores convenientes de 3 -, obteniendo 8 A # 0 + B # -7 A # - + B # 0 B De inmedito esto d B 8 A 7. Acbmos de ser testigos de un etrñ ero correct mniobr mtemátic. ecución () se vuelve un identidd (ciert r tod, eceto 3) si sólo si l esencilmente equivlente ecución () es ciert en 3. Pregúntese or qué esto

16 406 Cítulo 7 Técnics de integrción es sí. En últim instnci, deende del hecho de que dos ldos de l ecución (), mbos olinomios lineles, son idénticos si tienen los mismos vlores en culesquier dos untos. EJEMPO Fctores lineles distintos Encuentre d. SOUCIÓN Y que el denomindor se fctoriz como ( + )( 3), escribimos buscmos determinr A, B C. eliminción de ls frcciones roduce Al sustituir los vlores 0, - 3 se obtiene o A -, B -, C 3. Así, A + 3 A-3 - B4 8 C B + + C A B C d - d - + d d -ln ƒ ƒ - ln ƒ + ƒ + 3 ln ƒ - 3 ƒ + C EJEMPO Fctores lineles reetidos Encuentre - 3 d. SOUCIÓN Ahor l descomosición tom l form con A B or determinr. Desués de quitr frcciones, obtenemos Si hor sustituimos el vlor conveniente 3 culquier otro vlor, tl como 0, obtenemos B 3 A. Así, - 3 A A B B d - 3 d d 3 ln ƒ - 3 ƒ C EJEMPO 6 Fctores lineles, lgunos distintos otros reetidos Encuentre d SOUCIÓN Descomonemos el integrndo de l siguiente mner: Quitndo ls frcciones esto cmbi A B - + C A - + B C + 3

17 Sección 7. Integrción de funciones rcionles or medio de frcciones rciles 407 Al sustituir, -3 0 se obtiene C, A 4 B -. Por lo tnto, d 4 d d - + d - 4 ln ƒ + 3 ƒ - ln ƒ - ƒ C Asegúrese de observr l inclusión, en l descomosición nterior, de ls dos frcciones B>( ) C>( ). regl generl r descomoner frcciones con fctores lineles reetidos en el denomindor es ést: or cd fctor ( + b) k en el denomindor, eisten k términos en l descomosición en frcciones rciles: Descomosición en frcciones rciles (fctores cudráticos) Al fctorizr el denomindor de un frcción, bien odrímos obtener lgunos fctores cudráticos (tl como + ), que no ueden fctorizrse en fctores lineles sin introducir números comlejos EJEMPO 7 Un solo fctor cudrático Descomong desués encuentre su integrl indefinid SOUCIÓN o mejor que odemos deser es un descomosición de l form Pr determinr ls constntes A, B C multilicmos mbos miembros or (4 + )( + ) obtenemos Al sustituir - 4, 0 se obtiene Así, A + b + A + b + A 3 + b 3 + Á A B + C + A k + b k A + + B + C AA7 6B Q A + C Q C B - Q B d 4 + d d 4 d d + - d + ln ƒ 4 + ƒ + ln + - tn - + C EJEMPO Un fctor cudrático reetido Encuentre d. SOUCIÓN En este cso, l descomosición roid es A B + C + + D + E + Desués de un considerble trbjo, descubrimos que A, B -, C 3 D - E 0. Así,

18 408 Cítulo 7 Técnics de integrción d d d - + d d d + 3 d + - d + ln ƒ + 3 ƒ - ln tn- b C Resumen Pr descomoner un función rcionl f () ()>q() en frcciones rciles, rocedemos como sigue: Pso : Si f () es imroi, esto es, si () es de un grdo mor o igul l de q(), divid () entre q(), r obtener f un olinomio + N D Pso : Fctorice D() en un roducto de fctores lineles cudráticos irreducibles con coeficientes reles. Por un teorem de álgebr, esto siemre es osible (teóricmente). Pso 3: Por cd fctor de l form ( + b) k, se eser que l descomosición teng los términos A + b + A + b + Á + Pso 4: Por cd fctor de l form ( + b + c) m, se eser que l descomosición teng los términos B + C + b + c + B + C + b + c + Á + A k + b k B m + C m + b + c m Pso : Igule N()>D() l sum de todos los términos determindos en los sos 3 4. El número de constntes or determinrse debe ser igul l grdo del denomindor, D(). Pso 6: Multilique mbos miembros de l ecución encontrd en el so or D() deseje ls constntes desconocids. Esto uede hcerse or dos métodos: () Igule coeficientes de términos del mismo grdo, o () signe vlores convenientes l vrible. Un cot r l resuest El tmño de l oblción inicil es de 800 l ts de cmbio en el tmño de l oblción,, es ositiv, sí que l oblción crece. Cundo es cercn 000, l ts de cmbio se roim cero, sí que cundo t : q, tenemos que : 000. oblción en el instnte t debe estr entre Ecución diferencil logístic En el último cítulo vimos que l hiótesis de que l ts de crecimiento de un oblción es roorcionl su tmño, es decir, k, conduce l crecimiento eonencil. Est hiótesis uede ser relist hst que los recursos disonibles en el sistem son insuficientes r sostener l oblción. En tl cso, suosiciones más rzonbles son que eiste un ccidd máim,, que el sistem uede sostener, que l ts de crecimiento es roorcionl l roducto del tmño de l oblción el escio disonible. Ests hiótesis conducen l ecución diferencil k - Ést se denomin ecución diferencil logístic. Es serble hor que hemos estudido el método de frcciones rciles, odemos relizr l integrción necesri r resolverl. EJEMPO 9 Un oblción crece de cuerdo con l ecución diferencil logístic (000 ). El tmño de l oblción inicil es de 800. Resuelv est ecución diferencil r redecir el tmño de l oblción en el instnte t.

19 Sección 7. Integrción de funciones rcionles or medio de frcciones rciles 409 Al escribir como d>dt, vemos que l ecución diferencil uede es- SOUCIÓN cribirse como integrl del ldo izquierdo uede evlurse medinte el método de frcciones rciles. Escribimos que llev Al sustituir se obtiene Así, A llev 000, Aquí, C e 000C. En este unto odemos utilizr l condición inicil (0) 800 r determinr C. Por lo tnto, 000 B C e 0.6 # e0.6t d dt d dt d dt A + A B 000A 000B b d t + C ln - ln t + C 000 ln 0.6t + 000C B C e 0.6t C e0.6t + 000C + 3 e0.6t e0.6t 3 e 0.6t 4000>3e0.6t + >3e 0.6t 4000>3 >3 + e -0.6t

20 40 Cítulo 7 Técnics de integrción / t Así que l oblción en el instnte t es 4000>3 >3 + e -0.6 # 378 En l figur se muestr un bosquejo del tmño de l oblción t Figur Revisión de concetos. Si el grdo del olinomio () es menor que el grdo de q(), entonces f () ()>q() se denomin función rcionl.. Pr integrr l función rcionl imroi f () ( + 4)>( + ), rimero l reescribimos como f (). 3. Si ( )( + ) b + c, entonces, b c. 4. (3 + )>[( ) ( + )] uede descomonerse en l form. Conjunto de roblems 7. En los roblems del l 40 utilice el método de l descomosición en frcciones rciles r relizr l integrción que se ide... + d + 3 d d d d - - d d d d d d d d d d d d d d d d d d 4-6 d cos t sen + d 4 t - 6 dt d d d d d d d sen 3 t - 8 sen t - cos t sen t + 3sen t - 4 sen t + dt sen t4 cos t - cos t + cos t + cos 4 t dt 0 > d cos u - sen usen u + du d d d