A lo largo del siglo XVIII se consideró a la integración como el proceso contrario a la diferenciación.

Transcripción

1 1. Introducción.. Concepto de Primitiv. 3. Integrles Inmedits List de Integrles Inmedits. 3.. Desrrollo de ls Integrles Inmedits. 4. Integrción de Funciones Rcionles Cso 1: Grdo(P(x))>Grdo(Q(x)) 4.. Cso : Grdo(P(x))=Grdo(Q(x)) 4.3. Cso 3: Grdo(P(x))<Grdo(Q(x)) Ríces Reles Simples Ríces Reles Múltiples Ríces Complejs Simples Ríces Complejs Múltiples. 5. Método de Hermite. 6. Integrción por Prtes Integrción por Reducción. 7. Cmbio de Vrible Sustitución en funciones exponenciles, logrítmics e inverss de trigonométrics circulres e hiperbólics. 7.. Sustitución en integrles de funciones trigonométrics circulres Sustitución en integrles de funciones hiperbólics. 8. Fórmuls Recurrentes. 9. Integrción de Funciones Irrcionles Integrción por sustitución en funciones irrcionles. 9.. Métodos especiles de integrción de funciones irrcionles. 10. Integrles Binomis. 11. Aplicciones Áres de Figurs plns Volúmenes de Cuerpos de Revolución Áre de un superficie de Revolución. Bibliogrfí Recomendd. 1/7

2 1. INTRODUCCIÓN. A lo lrgo del siglo XVIII se consideró l integrción como el proceso contrrio l diferencición. El significdo geométrico de l integrl indefinid es un fmili de curvs, tods ells obtenids por desplzmiento verticl de un culquier. En este tem vmos trtr de obtener primitivs de funciones. Pr ello estudiremos diferentes métodos. Hemos de tener en cuent que l derivd de un función elementl es siempre un función elementl, en cmbio l primitiv de un función elementl puede no expresrse medinte un número finito de funciones elementles.. CONCEPTO DE PRIMITIVA. DEF Dd f:[,b] R, un primitiv de f es un función F:[,b] R, derivble xe[,b] y tl que F (x)= f(x) x (,b) Como tod función derivble en un intervlo es continu en dicho intervlo, entonces tod función F primitiv de f es continu en el mismo intervlo. NOTACION: Representremos como primitiv (un culquier) de f y se lee integrl indefinid de f. f ( x) PROP Se f:[,b] R y F 1, F dos primitivs de f. Entonces F 1 -F = cte dem Definimos l función F 0 (x)= F 1 (x)-f (x) x [,b]. Es clro que F 0 es un función continu y derivble, siendo Se x 0 (,b) F 0(x)=F 1(x)-F (x)= f(x)- f(x)= 0 Ddo culquier otro punto x interior [,b] se verificn ls hipótesis del teorem del vlor medio del cálculo diferencil pr F 0 en [x 0,x] (ó [x,x 0 ]) siendo ξ (x 0,x) / F 0 (x)-f(x 0 )= F 0(ξ) (x-x 0 ) Como F 0(ξ) = 0 F 0 (x)=f 0 (x 0 ) Por tnto F 0 =cte y F 1 -F =cte /7

3 Dds dos primitivs de f, como se diferencin en un constnte, pr poder indicrls tods, escribiremos f ( x) = F( x) + C PROP Se f:[,b] R un función continu. Entonces tiene primitiv en [,b]. dem L demostrción es inmedit sin más que tener en cuent que es un primitiv de f. x F( x) = f (t )dt 3. INTEGRALES INMEDIATAS List de Integrles Inmedits. Expresmos continución un list de integrles inmedits. Est list l obtenemos sin más que recordr ls derivds de ls funciones de uso más generlizdo. Si leemos ls igulddes de derech izquierd, l list nos puede servir como un list de derivds, teniendo en cuent el concepto de integrl indefinid. ) Tipo Potencil. x 1 n n+1 = x + C n 1 n = (x ) p+1 + C p 1 ( x ) p p + 1 bx + c = b bx + c + C b) Tipo Exponencil. f ' (x)e f ( x ) = e f ( x ) + C c) Tipo Logrítmico. 1 = Lnx + C x x = Ln( x ) + C x + b = 1 Ln(x + b) + C d) Tipo Trigonométrics circulres e hiperbólics. 3/7

4 Cos = Senx + C Sen = Cosx + C Cos x = Tgx + C = Co tg x + C Sen x tg x = ln cos x + C cot gx = ln sen x + C cos x = Co sec x + C sen sen x = sec x + C cos x cosh x = senh x + C senh x = cosh x + C 1 = tgh x + C cosh x 1 = cot ghx + C senh x tgh x = ln cosh x + C cot ghx = ln senh x + C e) Tipo inverss de Trigonométrics circulres e hiperbólics. 1 x = rcsen x + C = rg senh x + C = ln (x ± x +1)+ C 1 + x = rg cosh x + C = ln (x ± x 1)+ C x x = rctg x + C 1 = rg tgh x + C = 1 ln 1+ x + C 1 x 1 x = rcsen x + C x x Desrrollo de ls integrles inmedits. ) Integrles inmedits de tipo potencil. 4/7

5 Siempre que bjo el signo integrl prezc un función elevd un constnte, si lo que l multiplic es l menos en su prte vrible l derivd de l función, podremos justr con constntes y será un integrl inmedit de tipo potencil. b) Integrles inmedits de tipo Exponencil. Siempre que bjo el signo integrl prezc un constnte elevd un función, si lo que l multiplic es, l menos en su prte vrible, l derivd de l función, podremos justr con constntes, y será un integrl inmedit de tipo exponencil. c) Integrles Inmedits de tipo Logrítmico. Siempre que bjo el signo integrl prezc un cociente, si el numerdor es l menos en su prte vrible l derivd del denomindor, se podrá justr con constntes, y será un integrl inmedit de tipo Logrítmico. d) Integrles Inmedits de tipo Arco o Argumento. Siempre que bjo el signo integrl prezc un expresión de lguno de estos tres tipos x + bx + c x + bx x + c podremos resolver l integrl plicndo un método que desrrollremos en cutro psos. PASO 1: Multiplicmos numerdor y denomindor por l riz cudrd de cutro veces el vlor bsoluto del coeficiente numérico del término en x ( 4 ) PASO : Se expres el término interior l riz obtenido en el pso nterior en l form ± (mx ± n) ± p identificndo coeficientes con est expresión. PASO 3: Se divide numerdor y denomindor por l riz cudrd de p. PASO 4: Se just medinte constntes el resultdo obtenido lgun de ls integrles inmedits del prtdo e) del punto 3.1. OBS Ests integrles no ls podremos resolver dentro del cuerpo de los números reles cundo los tres (o los dos) coeficientes numéricos del polinomio sen negtivos. O tmbién porque después de plicr el pso obtengmos negtivos los dos términos bjo el signo integrl. De form muy similr l nterior, si tenemos un integrl que se semej uno de estos tres tipos 5/7

6 x + bx + c x + bx x + c su resolución es siguendo otro método de cutro psos, muy precido l nterior. PASO 1: Se multiplicn numerdor y denomindor por cutro veces el vlor bsoluto del coeficiente numérico del término en x (4). PASO : Se expres el término del denomindor en l form ± (mx ± n) ± p identificndo coeficientes con est expresión. PASO 3: Se divide numerdor y denomindor por p. PASO 4: Se just por constntes el resultdo obtenido lgun de ls integrles inmedits del tipo e) del punto INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES. P( x) Es l integrción de l form, siendo P(x) y Q(x) polinomios de Q(x) coeficientes reles y exponentes nturles. OBS Cundo nos encontremos con este tipo de integrles, ntes de nd conviene relizr l comprobción de que no se trt de un integrl inmedit de tipo Logrítmico CASO 1: grdo ( P(x)) > grdo ( Q(x)). En est situción, lo primero que hemos de relizr es l división de P(x) por Q(x) quedndo P(x)= Q(x) C(x)+R(x) siendo C(x) el cociente de l división y R(x) el resto ( grdo (R(x)< grdo (Q(x)). Entonces l integrl nos qued como P( x) R( x) Q(x) = C(x) + Q(x) L integrl C( x) es de tipo potencil, y por tnto inmedit. R( x) L integrl puede no existir si R(x) =0, siendo l división exct. Si Q(x) no es sí, obtenemos un integrl donde grdo (R(x)< grdo(q(x)) que estudiremos más delnte. 6/7

7 4.. CASO : grdo (P(x)) = grdo(q(x)). El proceso pr resolver este cso es el mismo que el nterior. L únic diferenci es que C(x)=K constnte. Entonces l primer integrl es tmbién es inmedit, siendo Todo lo demás es nálogo CASO 3: grdo (P(x)) > grdo (Q(x)). K = Kx + C En este cso y no podemos relizr l divisilón de P(x) por Q(x). El proceso que debemos seguir serí, en primer lugr, obtener ls rices de Q(x), y sen del tipo que sen. Hemos de recordr que culquier polinomio con coeficientes reles y exponentes nturles puede tener 1) Ríces Reles Simples ) Ríces Reles Múltiples 3) Ríces Complejs Simples 4) Ríces Complejs Múltiples Estudiremos cd uno de ests cutro situciones de form independiente Rices Reles Simples. En este prtdo vmos suponer que l igulr Q(x) cero obtenemos sólo rices reles simples. Vmos suponer que Q(x)= 0 (x-α 1 )(x-α )(x-α 3 ), siendo 0 el coefiente numérico del término de myor grdo de Q(x). El motivo de elegir Q(x) de grdo 3 y no de grdo n es pr no complicr l escritur con sumtorios y productos. El método de resolución pr el cso de un polinomio de grdo superior 3 es el mismo, pero más tedioso. Pr explicr este método vmos suponer que 0 =1, y que si no lo fuer, l constnte 1/ 0 se podrí scr fuer de l integrl: P( x) P( x) 1 P(x) Q(x) = ( x α )( x α )( x α ) = ( x α )( x α )(x α ) Los psos seguir son los siguientes: Pso1: P( x) Descomponer en frcciones simples. L descomposición es únic, Q( x) siendo ls frcciones de l descomposición el numerdor un coeficiente indetermindo y el denomindor uno de los fctores de Q(x). 7/7

8 P(x) = Q( x) P( x) (x α 1 )( x α )( x α 3 ) = A ( x α 1 ) + B (x α ) + C ( x α 3 ) con A,B y C constntes. Pso: Se expresn mbos términos con un común denomindor, que siempre será Q(x). P(x) = Q( x) A(x α )( x α 3 ) (x α 1 )( x α )( x α 3 ) + B( x α 1 )(x α 3 ) (x α 1 )( x α )( x α 3 ) + C(x α 1 )( x α ) ( x α 1 )(x α )( x α 3 ) Pso3: Al tener mbos miembros el mismo denomindor, igulmos los numerdores. P(x)=A(x- α )(x-α 3 ) + B(x- α 1 )(x-α 3 ) + C(x- α 1 )(x-α ) Pso4: Se clculn los coeficientes A, B y C hcemos x = α 1, verificádose P(α ) P(α 1 ) = A(α 1 -α )(α 1 -α 3 ) A = 1 (α 1 α )(α 1 α 3 ) hcemos x = α P(α ) P(α ) = B(α -α 1 )(α -α 3 ) B = (α α 1 )(α α 3 ) hcemos x = α 3 P(α ) P(α 3 ) = C(α 3 -α 1 )(α 3 -α ) C = 3 (α 3 α 1 )(α 3 α ) Pso 5: Un vez obtenidos los coeficientes, procedemos l integrción. P( x) A B C = + + = A ln( x α ) + B ln( x α ) + C ln( x α ) + K Q( x) ( x α 1 ) ( x α ) ( x α 3 ) Ríces Reles Complejs. Vmos suponer que l igulr Q(x) cero obtenemos rices reles múltiples. Pr simplificr l descripción del método, pero considerándolo en tod su generlidd, tomremos Q(x)= 0 (x- α 1 )(x-α ) 3 siendo α 1 un ríz simple, α un ríz múltiple con índice de multiplicidd 3 y 0 el coeficiente numérico del término de myor grdo de Q(x). 8/7

9 Análogmente l cso nterior, vmos suponer que 0 =1 Los psos seguir son los mismos que en el cso nterior: Pso1: P( x) Descomponer en frcciones simples. Ls ríces reles simples se Q( x) descomponen de l mism form. Pr ls ríces reles múltiples, el numerdor siempre es un coeficiente indetermindo y el denomindor es el fctor múltiple con exponente vrindo de 1 su multiplicidd en cd frcción. P(x) = Q( x) P(x) (x α 1 )( x α ) A = + B (x α 1 ) (x α ) + C (x α ) + D (x α ) 3 3 con A, B,C y D constntes. Pso: Se expresn mbos términos con un común denomindor, que siempre será Q(x). P(x) A(x α ) 3 B( x α )( x α ) C( x α )( x α ) D(x α ) = Q( x) (x α )( x α ) 3 ( x α )( x α ) 3 ( x α )( x α ) 3 (x α )( x α ) Pso3: Igulmos los numerdores: 3 P( x) = A(x α ) + B( x α 1 )( x α ) + C(x α 1 )( x α ) + D(x α 1 ) Pso4: L identificción de coeficientes se puede relizr en este cso de ls siguientes forms: ) Sustituyendo x por los vlores de ls ríces obtendremos tntos coeficientes indetermindos como ríces distints hy. x=α 1 P(α ) = A(α α ) 3 A = P(α 1 ) 1 1 (α α ) 3 1 x=α P(α ) = D(α α ) 1 P(α D = ) (α α 1 ) El resto de coeficientes los podemos obtener dndo x vlores pequeños distintos de ls ríces α 1 y α. Tntos vlores como coeficientes queden por clculr. En nuestro cso, dos. x=x 0 P( x 0 ) = A( x 0 α ) x=x B(x 0 α 1 )( x 0 α ) + C( x 0 α 1 )( x 0 α ) + D(x 0 α 1 ) 9/7

10 3 P( x 1 ) = A( x 1 α ) + B( x 1 α 1 )( x 1 α ) + C(x 1 α 1 )( x 1 α ) + D( x 1 α 1 ) Como A y D son conocidos, llegmos un sistem de dos ecuciones con dos incógnits, que un vez resuelto nos drá B y C. b) Si relizmos ls operciones que indic el segundo miembro e igulmos los coeficientes de mbos miembros del mismo grdo, obtenemos un sistem de tnts ecuciones como incógnits. Pso5: Un vez obtenidos los coeficientes procedemos l integrción: P( x) A B C D = = Q(x) ( x α 1 ) 1 (x α ) = A ln( x α ) + B ln( x α ) C ( x α ) (x α ) 3 D (x α ) ( x α ) Ls dos primers integrles son inmedits de tipo logrítmico y ls dos últims son inmedits de tipo potencil: Ríces Complejs Simples. Describiremos el método de resolución suponiendo que el polinomio Q(x) es de grdo 5, con ríces x=α 1 (rel simple), x=α (rel múltiple de orden ) y x= +bi, x=-bi ( ríces complejs simples). Escogemos sí Q(x) por ser el supuesto más completo de los que constituyen este cso. Q(x)= 0 (x- α 1 )(x-α ) (x-(+bi))(x-(-bi)) Los dos últimos fctores se pueden escribir como quedndo entonces (x-(+bi))(x-(-bi))=(x-) +b Q(x)= 0 (x- α 1 )(x-α ) ((x-) +b ) + K De form nálog los dos csos nteriores, supondremos que 0 =1. Los psos seguir en este método son los mismos que hemos visto en los dos prtdos nteriores. P( x) En l descomposición de en frcciones simples, ls frcciones que Q( x) corresponden ls ríces reles simples son de l mism form que en punto ; ls frcciones correspondientes ls ríces reles múltiples son de l form que en el punto 4.3..; y ls frcciones correspondientes ls ríces imginris simples son: el numerdor un polinomio en x de primer grdo completo de coeficientes indetermindos, y el denomindor l expresión (x-) +b. 10/7

11 Antes de proseguir con l explicción de este método, vnos relizr un inciso, pr explicr como se integrn ests frcciones nuevs que hemos obtenido. Mx + N x 1 = M + N = (1) + () ( x ) + b (x ) + b (x ) + b (1) = M x = M x + = (x ) + b (x ) + b = M x + M (x ) + b (x ) + b = (1' ) + (1'' ) (1') = M x M = ln (x ) + b (x ) + b (1'' ) + () = (M + N ) 1 (x ) = + b Es un integrl del tipo rcotngente que se resuelve como sigue: = (M + N) 1 b = M + N rctg x (x ) b b + 1 b con lo cul l integrl clculr qued como Mx + N M + N x M = rctg + ln ( x ) + b + K ( x ) + b b b Con esto terminmos el inciso y proseguimos con el método. Pso1: P(x) P(x) A B C Mx+ N = = Q(x) (x α 1 )(x α ) ((x ) +b ) (x α 1 ) (x α ) (x α ) (x ) +b con A, B, C, M y N constntes. Pso: Reducimos común denomindor. Omitimos l fórmul por no ser de interés. Pso3: Igulmos los numerdores. P(x) =A(x α ) ((x ) +b )+B(x α 1 )(x α )((x ) +b )+C(x α 1 )((x ) +b )+(Mx+N)(x α 1 )(x α ) Pso4: En este cso podemos relizr l identificción de coeficientes de l mism form que en /7

12 Pso5: P(x) C M M+ N x = Aln( x α) + Bln( x α ) + ln((x ) +b ) + rctg + K 1 Q(x) (x α ) b b Ríces Complejs Múltiples. Veremos este cso en el supuesto prticulr de que le polinomio Q(x) se de noveno grdo, siendo sus ríces x=α 1 ríz rel simple x=α ríz rel múltiple de orden. x=+bi y x=-bi ríces complejs simples x=c+di y x=c-di ríces complejs múltiples de orden. Entonces Q(x)= 0 (x- α 1 )(x-α ) ((x-) +b ) ((x-c) +d ) siendo 0 el coeficiente principl de Q(x), que supondremos, sin pérdid de generlidd que es 0 =1. P(x) A B C Mx+ N Sx+T Ux+V = Q(x) (x α 1 ) (x α ) (x α ) (x ) +b (x c) +d ((x c) +d ) Hst el pso 4 se reliz de l mism form que en 4.3. y Al llegr l pso 5, un vez obtenidos los coeficientes indetermindos, procedemos l integrción de cd un de ls frcciones, siendo y conocido el resultdo menos de l últim.(remitimos l lector l hoj de problems pr conocer su resolución). No resolveremos en el tem l integrl de l últim frcción por no extendernos innecesrimente, y que vmos ver un método lterntivo pr resolver ls integrles de cocientes de polinomios con denomindor con ríces complejs múltiples, llmdo Método de Hermite. 5. MÉTODO DE HERMITE. P( x) Pr explicr este método, prtimos de un cociente de polinomios donde ls Q( x) ríces de Q(x) pueden ser tnto reles como complejs y simples o múltiples. Por tnto, estmos en l mism situción que en el punto De nuevo supondremos que Q(x) es un polinomio de noveno grdo cuy descomposición es 1/7

13 Q(x)= 0 (x- α 1 )(x-α ) ((x-) +b ) ((x-c) +d ) siendo 0 el coeficiente principl de Q(x), que supondremos, sin pérdid de generlidd que es 0 =1. Pso1: - Ls ríces reles simples se descomponen como hemos visto en el punto 4, con un coeficiente indetermindo como numerdor y el fctor que contiene l ríz como denomindor. - Ls ríces reles múltiples se descomponen como si fuern simples, sin tener en cuent su índice de multiplicidd. - Ls ríces complejs simples se descomponen como hemos visto en el punto Ls ríces complejs múltiples se descomponen como si fuern simples, sin tener en cuent su índice de multiplicidd. - Además, hy un término más que psmos describir: L derivd de un cociente donde el denomindor es el producto de los fctores múltiples con exponentes igul sus índices de multiplicidd respectivos menos uno. El numerdor será un polinomio completo de grdo inferior en un unidd del grdo del polinomio del denomindor. OBS Se suelen utilizr letrs minúsculs pr expresr los coeficientes indetermindos del término crcterístico de Hermite. P(x) A B Mx+ N Sx+T d mx +nx+ p = Q(x) (x α 1 ) (x α ) (x ) +b (x c) +d (x α )((x c) +d ) siendo A, B, M, N, S, T, m, n y p constntes determinr. Pso: Se deriv le último término con respecto x. P(x) A = Q(x) (x α 1 ) + B (x α ) + Mx+ N Sx+T + + (x ) +b (x c) +d (zmx+n)(x α )((x c) + d ) (mx +nx+ p)((x c) + d +(x α )(x c)) + (x α ) ((x c) + d ) Pso3: Se expresn mbos miembros con un común denomindor que será siempre Q(x). Pso4: Se iguln los numerdores 13/7

14 P(x) = A(x α ) ((x ) +b )((x c) +d ) + B(x α)(x α ) ((x ) +b )((x c) +d ) + 1 +(Mx+ N)(x α)(x α ) ((x c) +d ) +(Sx+T)(x α)(x α ) ((x ) +b )((x c) +d ) (mx+n)(x α)(x α ) ((x ) +b )((x c) + d ) 1 (mx +nx+ p)(x α)((x 1 ) +b )((x c) +d ) (mx +nx+ p)(x α)(x α ) (x c)((x ) +b ) 1 Pso5: Cálculo de los coeficientes indetermindos, que se hrá de l mism form que en 4.3., ó Pso6: Integrción de cd un de ls frcciones obtenids. En nuestro ejemplo, ls integrles primer y segund son inmedits de tipo Logrítmico. L tercer y curt ls hemos resuelto en el punto y l últim es inmedit teniendo en cuent ls propieddes de l integrl. P( x) M = Aln( x α ) + B ln( x α ) + ln ((x ) + b ) + M + N rctg x + Q(x) 1 + S ln ((x c) + d )+ Sc + T rctg x c + mx + nx + p b b + K d d ( x α )(( x c) + d ) OBS En el método de Hermite, si se relizó correctmente, no precen nunc integrles inmedits de tipo potencil. 6. INTEGRACIÓN POR PARTES. Si u ý v son funciones de x, por ejemplo u=f(x) y v=g(x), plicndo l fórmul de l diferencil de un producto de funciones d(uv) = udv + vdu y si de est expresión despejmos udv udv = d(uv) - vdu Integrndo mbos miembros de l iguldd udv = d (uv) vdu que se puede escribir como udv = uv vdu que es l llmd fórmul de integrción por prtes. Si hor tenemos en cuent que 14/7

15 u = f(x) du = f (x) v = g(x) dv = g (x) y los sustituimos en l fórmul de integrción por prtes, obtenemos vdu f ( x) g'( x) = f ( x) g(x) g(x) f '( x) Est nuev form de expresr l fórmul de integrción por prtes nos expres mejor éste método de integrción, el cul consiste en convertir un integrl en un prte y integrd más un nuev integrl. Se trt de descomponer l integrl originl como producto de dos funciones, escogiendo ésts de tl mner que l plicr l fórmul l nuev integrl resulte más sencill que l inicil. Vmos ver continución uns recomendciones que nos pueden servir pr descomponer l integrl en dos prtes. Prtimos del supuesto de que culquier función se puede expresr como producto de otrs dos, unque un de ells se un constnte. Adjuntmos un tbl, en l que llmremos P(x) y Q(x) los dos fctores en los que dividimos l función integrr. P(x) Q(x) u dv L unidd o culquier constnte P(x) Q(x) Función invers de Trigonometric circulr o hiperbólic o función logrítmic Función invers de Trigonometric circulr o hiperbólic o función logrítmic Polinomio en x o función Función rcionl en x Función Exponencil (normlmente de integrción inmedit) 6.1. Integrción por Reducción. Polinimio en x o función rcionl en x P(x) Q(x) Trigonométric circulr o hiperbólic direct, o función exponencil (normlmente de integrción inmedit) Función Trigonométric circulr o hiperbólic direct. P(x) P(x) o Q(x) Q(x) Q(x) o P(x) L integrción por reducción l plicremos integrles con funciones de exponentes hbitulmente enteros pero elevdos. Se trt de obtener un prte integrd y otr sin integrr tl que, l plicr l fórmul de integrción por prtes, se obteng un nuev integrl con l función con el exponente disminuido. El método es muy similr en todos los csos. Primero plicmos l integrción por prtes, obteniendo un prte y integrd y un integrl en l que se debe, u obtener l integrl inicil reducid de exponente, o descomponerl en sum de integrles, siendo 15/7

16 un de ells l integrl inicil reducid de exponente y l otr l propi integrl inicil. En este segundo cso llegmos un integrl recurrente y trtremos como tl. Un ejemplo de fórmul de reducción: sen x = 1 sen x cos x + m 1 sen x m m m 1 7. CAMBIO DE VARIABLE. m Este método tmbién se conoce como integrción por sustitución. Ante integrles cuy resolución no podemos relizr como inmedit, ni rcionl, ni por prtes (o de culquier otr form que veremos después) se recurre este método. Consiste en encontrr un función x=g(t) l cul, l sustituirl bjo el signo integrl, convierte l integrl en otr más sencill con l nuev vrible t. L sustitución x=g(t) debe cumplir ) Ser derivble y con derivd no nul. = g (t)dt b) Admitir función invers. x = g(t) t = h(x) Entonces m f ( x) = f (g(t)) g'(t)dt = F (t ) + C = F (h(x)) + C Sólo nos qued por comprobr, pr ver que es correcto, que l derivd de F(h(x)) es f(x): df(h( x)) = df (t) = df(t) dt = F '(t) 1 = f ( g(t )) g'(t) 1 = f ( g(t )) = f ( x) dt g' (t ) g' (t ) El método de sustitución es uno de los más mplios por l grn vriedd de sustituciones que se pueden dr. Pero hemos de plicr cd cso el cmbio decudo, y que si no, el cmbio nos puede llevr integrles de myor dificultd. El los subprtdos siguientes indicremos ls sustituciones pr tipos concretos. L expresión R indicrá función rcionl de los elementos entre préntesis (elementos relciondos entre sí por ls operciones rcionles de sum, rest, producto y cociente) Sustitución en funciones exponenciles, logrítmics e inverss de trigonométrics circulres e hiperbólics. 16/7

17 Tipo de Integrl Sustitución Cálculo de elementos pr l sustitución. R( x ) R(x, x ) t= x t= x x = ln t ln dt = t ln R(ex ) t=e x t=e x x=ln t = dt R(x, e x ) t R(x, ln x) t=ln x t=lnx x=et =e t dt R(x, rctg x) t=rctg x x=tg t = 1 dt cos t R(x, rcsen x) t=rcsen x x=sen t =-sen t dt R(x, rccos x) t=rccos x x=cos t =-sen t dt R(x, rg tgh x) t=rgtgh x x=tgh x dt = cosh t R(x, rg senh x) t=rgsenh x x=senh x = cosh tdt R(x, rg cosh x) t=rgcosh x x=cosh x = senh tdt Sustitución Si R(sen x, cos x) es impr en sen x, hremos: t=cos x Si R(sen x, cos x) es impr en cos x, hremos: t=sen x Si R(sen x, cos x) es pr en sen x y cos x, hremos: t=tg x Si R(sen x, cos x) no cumple con ningun de ls crcterístics nteriores, hremos: Cálculo de elementos pr l sustitoción t=cos x = dt sen x = 1 t 1 t t=sen x = dt cos x = 1 t 1 t dt t t t=tg x = sen x = cos x = 1 + t 1 + t 1 + t = dt t sen x = cos x = 1 t 1 + t 1 + t 1 + t t = tg x 7.3 Sustitucion en integrles de funciones hiperbolics. Sustitución Si R(senh x, cosh x) es impr en senh x, hremos: t=cosh x = Cálculo de elementos pr l sustitoción dt senh x = t 1 t 1 17/7

18 Si R(senh x, cosh x) es impr en cosh x, hremos: t=senh x Si R(senh x, cosh x) es pr en senh x y cosh x, hremos: t=tgh x Si R(senh x, cosh x) no cumple con ningun de ls crcterístics nteriores, hremos: = = dt t + 1 dt 1 t senh x = cosh x = t + 1 t cosh x = t 1 t 1 t dt t 1 + t = senh x = cosh x = 1 t 1 t 1 t t = tgh x 8. FÓRMULAS RECURRENTES. Dd un integrl l cul no podemos plicr el método de sustitución, y el método de integrción por prtes nos dé un integrl similr integrl prtid, podemos plicr l resolución por recurrenci. 1) xn e αx Llmremos l integrl clculr I n = xn e αx = u = x n du = nx n 1 αx dv = e αx v = e α x n e αx nx n 1 = 1 x n e αx n I α α α α n 1 L ecución recurrente es: I = 1 n x n e αx n α α I n 1 ) Se I m,n = senm 1 (x) cos n ( x) = u = sen m 1 (x) dv = sen( x) cos n (x) du = (m 1) sen m ( x) cos( x) v = cos n +1 ( x) n /7

19 sen m 1 n +1 ( x) cos (x) m 1 n n + 1 sen m ( x) cos n + ( x) = sen m 1 n +1 ( x) cos ( x) m 1 + I m,n + n + 1 n + 1 Luego l ecución es: I m,n = 1 sen m 1 (x) cos n+1 (x) + m 1 I m,n+ n + 1 n INTEGRACIÓN DE FUNCIONES IRRACIONALES Integrción por sustitución en funciones irrcionles. En l tbl siguiente precen ls sustituciones más importntes pr l resolución de este tipo de integrles. Dremos el tipo de integrl l que se plic, l sustitución que se reliz y el cálculo de quellos elementos necesrios pr completr l sustitución. Tipo de Integrl x + b m n x + b p q x + b t s R x,,,, cx + d cx + d cx + d t M d b x = = f (t ) t M c Cálculo de los elementos pr l sustitución función rcionl en t Sustitución t M = x + b cx + d siendo M el m.c.m. de los denomindores = f '(t )dt Tipo de Integrl Sustitución R(x, (x + b) m n, (x + b) p q,, (x + b) t s ) t M = x + b siendo M el m.c.m. de los (es similr l cso nterior, con c=0 y d=1 denomindores Cálculo de los elementos pr l sustitución x = 1 (t M b) = f (t) R(x, xm n, x p q,, x t s ) Tipo de Integrl (es similr l cso nterior, con b=0 y =1 función rcionl en t Cálculo de los elementos pr l sustitución = M t M 1 dt = f '(t )dt Sustitución t M = x siendo M el m.c.m. de los denomindores 9.. Métodos especiles de integrción de funciones irrcionles. P(x) ) Integrles de l form con grdo (P(x)) 1 x + bx + c 19/7

20 Vemos los psos seguir en l resolución: Pso 1: Descomponemos l frcción como sigue: Un primer término que es l derivd indicd con respecto x del producto de un polinomio que llmremos Q(x), completo en x con coeficientes indetermindos y de grdo menor en un unidd l grdo de P(x), multiplicdo por l ríz cudrd del denomindor. A esto sumremos un segundo término que será un frcción formd por un coeficiente indetermindo, λ, como numerdor, y l ríz como denomindor. No demostrremos que l descomposición es únic. P( x) x + bx + c d = (Q( x) x + bx + c ) + x + bx + c Pso : Pso 3: Se deriv l expresión que hy indicd. Q( x) x + b P( x) = Q' (x) x + bx + c + + x + bx + c x + bx + c x + bx + c Reducimos mbos miembros común denomindor. P( x) x + bx + c Q'( x) (x + bx + c) = + x + bx + c Q( x)(x + b ) x + bx + c + x + bx + c Pso 4: Igulmos los numerdores de mbos miembros y procedemos l identificción de coeficientes. P( x) = Q'( x) (x + bx + c) + Q(x)(x + b ) + Pso 5: Integrmos en mbos miembros de l expresión obtenid en el Pso 1º. El primer término qued integrdo con sólo eliminr l indicción de derivd, y el segundo término es un integrl que y resolvimos en un prtdo nterior. P( x) = Q( x) x + bx + c + x + bx + c 1 x + bx + c 0/7

21 b) Integrles de l form ( x ) p x + bx + c Este tipo de integrl es muy específico, y medinte l siguiente sustitución que recomendmos se reduce integrles y vists. 1 Sustitución: t = x Elementos necesrios pr completr l sustitución: 1 = x t x = + 1 t = 1 t dt c) Cso Generl. Sustitución en funciones irrcionles. A continución exponemos un tbl con sustituciones estándr pr resolver integrles del tipo R(x, x + bx + c ) Ests sustituciones se pueden plicr los dos csos nteriores, pero no es consejble. Tipo de Integrl Sustitución R(x, x + bx + c ) Si >0 x + bx + c = ± x + t Cálculo de los elementos pr l sustitución x = t c = f (t) función rcionl en t b t = f '(t)dt x + bx + c = ± f (t) + t Tipo de Integrl Sustitución R(x, x + bx + c ) Si c>0 x + bx + c = ± c + x t Cálculo de los elementos pr l sustitución x = ± c t b = f (t) función rcionl en t t = f '(t)dt x + bx + c = ± c + f (t) t Tipo de Integrl R(x, x + bx + c ) Sustitución x + bx + c = ( x α) t Siendo α un de ls dos ríces que se obtienen l resolver l ecución y l otr β. 1/7

22 Cálculo de los elementos pr l sustitución α t x = = f (t) función rcionl en t t = f '(t)dt x + bx + c = ( f (t) α) t Si en l integrl nterior tenemos que b = 0 podemos plicr otrs sustituciones más fáciles que ls estándr, usndo funciones trigonométrics circulres. Tipo de Integrl Sustitución Cálculo de elementos pr l sustitución. c x = c cos t R(x, x + c ) x = R(x, x c ) x = R(x, x + c ) x = c sen t c sec t c tg t c = cos tdi t = rcsen x c x c = c tg t c sen t = di cos t t = rcsen x c x + c = c sec t c = di cos t t = rctg x c 10. INTEGRALES BINÓMIAS. Ls integrles que llmremos Binomis son de l form: xm ( + bx n ) p y ls sustituciones que hy que relizr son ls que precen en l tbl siguiente: /7

23 Tipo de Integrl x m ( + bx n ) p Sustitución Si p es un número entero x = t n Si m + 1 es un número entero t s = + b x n siendo s el n denomindor de l frcción p Si m p es un número entero t s = x n + b siendo s n el denomindor de l frcción p APLICACIONES Áres de Figurs Plns. ) Áre de l figur limitd por l curv y = f(x) entre x =, x = b y el eje OX (b > ). Podemos distinguir dos csos según l gráfic y = f(x) corte l eje OX en lgún punto del intervlo [, b] o no. Si no cort l eje en [,b] b S = f (x) Supongmos hor que f(x) cort OX en x 1, x [,b] x 1 x x b x 1 x S = f ( x) + f ( x) + f ( x) b) Áre de l figur limitd por l curv y = f(x) y el eje OX. b.i) Existen dos puntos de corte. Supongmos que sen x = y x = b 3/7

24 b S = f (x) b.ii) Existen más de dos puntos de corte. Supongmos que sen tres: x 1, x y x 3 x x 3 x 1 x S = f ( x) + f ( x) c) Áre de l figur limitd entre ls curvs y = f(x), y = g(x), x = y x = b (con f(x) y g(x) positivs o negtivs en [,b]). b S = ( f (x) g( x)) d) Áre de l figur limitd entre ls curvs y = f(x), y = g(x), x = y x = b (f(x) > 0 y g(x) < 0 en [,b]). b S = ( f ( x) g (x)) 4/7

25 e) Áre de l figur limitd entre ls curvs y = f(x), y = g(x), x = y x = b (f(x) y g(x) positivs o negtivs mbs) con un punto de corte.3 Se x 1 solución f(x) = g(x) x 1 S = ( f (x) g( x)) + ( f ( x) g( x)) x 1 b f) Áre limitd entre ls curvs y = f(x) e y = g(x) Se resuelve l ecución pr f(x) = g(x) pr hllr los puntos de Supongmos que sólo slen dos, y b que f(x) > g(x) x [,b]. corte. b S = ( f ( x) g (x)) Si existiesen más de dos puntos de corte, plicremos l fórmul puntos consecutivos. pr cd dos 11.. Volúmenes de cuerpos de Revolución. ) Volumen del cuerpo engendrdo por l revolución de l curv y = f(x) lrededor del eje OX entre x = y x = b. b V = ρχ f (x) b) Volumen del cuerpo engendrdo por l revolución de l curv y = f(x) lrededor del eje OY entre x = y x = b. 5/7

26 b V = ρχ xf (x) c) Volumen del cuerpo engendrdo por l revolución de un figur limitd por ls curvs y = f(x) e y = g(x) (f(x) > g(x)) entre x = y x = b l girr lrededor del eje OX b V = ρχ ( f (x) g ( x)) d) Volumen del cuerpo engendrdo por l revolución de un figur limitd por ls curvs y = f(x) e y = g(x) (f(x) > g(x)) entre x = y x = b l girr lrededor del eje OY. b V = ρχ ( f (x) g( x)) Are de un superficie de revolución. ) Are de l superficie generd por el giro lrededor del eje OX de l rco de l curv y = f(x) entre x = y x = b. V = ρχ f (x) b 1 + ( f '( x)) 6/7

27 Bibliogrfí Recomendd. Análisis Mtemático I. Aut. J.A. Fernández Viñ. Ed. Tecnos Lecciones de Cálculo Infinitesiml I. Aut. R. Molin Legz, M. Frnco. Ed. Universidd de Murci. Principios de Análisis Mtemático. Aut. W. Rudin. Ed. McGrw-Hill g 7/7