Jefe de Servicio de Estadística Económica y Sociodemográfica del Instituto Cantabro de Estadística. Doctor en Ciencias Económicas UNED

Transcripción

1 Disño d filros linls pr nálisis conómico Disño d filros linls pr nálisis conómico bfrncisco Prr Rodrígu is licnsd undr Criv Commons Rconocimino-oComrcil Unpord Licns Frncisco Prr Rodrígu Jf d Srvicio d Esdísic Económic Sociodmográfic dl Insiuo Cnbro d Esdísic Docor n Cincis Económics UED Oprdors d sris d impo El oprdor d rrdo s dfin como: k L Pr k R Los polinomios n l oprdor d rgo omn l siguin form: φ ( L φl φ L φ p L p Ls p rícs dl polinomio s obinn rsolvindo pr φ ( L Los oprdors d difrncición, o d difrnci, s dfinn como: d d d ( L ó ( L d Finlmn, n l cono d us scionl s dfin l difrnci scionl como: ϑ L L L s s Dond s s l númro d priodos obsrvdos por ño Filros linls Un filro linl s dfin como: ( L L L dond los pondrdors son númros rls, i R ; no dpndn dl impo sisfcn < Aplicndo l filro linl (L un procso socásico scionrio,, d como rsuldo un nuvo procso socásico: ( L ( dond ls propidds d s rnsmin por mdio dl filro linl (L Pr minr l fco qu in un filro linl h qu nlirlo n l dominio d l frcunci Pr ms dll vr Frncisco G Villrrl Elmnos óricos dl us scionl d sris conómics uilindo X--ARIMA TRAMO- SEATS Sri 8 Esudios sdísicos prospcivos División d Esdísic Proccions Económics Snigo d Chil, Dicimbr dl 5 wwwclcorg/publiccions/ml/9/99/lcl57pdf

2 Uilindo l rnsformd d Fourir, s obin l spcro dl filro linl plicdo S ( ω ( iω S ( ω : dond: iω ( iω s conocido como l rspus d frcunci dl filro linl o función d rnsfrnci Es función dscrib como l spcro d l sri s fcdo por l plicción dl filro (L Ddo qu l rspus d frcunci pud rsulr n vlors complos rsul convnin prsrl como: i ω (ω G ω if ( ( dond: G iω ( ω ( F( ω n sin( cos( son rspcivmn l módulo l rgumno d l rspus d frcunci En s cono l módulo, G (ω, s conocido como l gnnci dl filro; l cul drmin l mdid n l qu l mpliud d los moviminos obsrvdos n cir frcunci n l spcro d son rnsfridos l spcro d Por mplo un gnnci d cro lrddor d l frcunci [ ] dich frcunci ω, signific qu l procso filrdo no mosrrá moviminos lrddor d π Por su pr l rgumno, F (ω, s conocido como l dsplmino d fs dl filro, l cul s socido dsplminos d l sri n l dominio dl impo Es imporn nor qu cundo pr od, s dcir cundo s r d un filro simérico; l dsplmino d fs dl filro s igul cro, i F ( ω A vcs l dsplmino d fs s prs como F(ω, lo cul prmi prsr l dsfs n unidds d impo ω Pr nndr s propidd d los filros linls, s uilin los siguins rsuldos rigonoméricos: sin( ω sin( ω sin( Eso implic qu cundo n ( h h, l produco n h sin(ω ( s igul cro, lo cul su v implic qu ( ω F ddo qu

3 Filros lmnls Los filros más uilidos n l nálisis d sris mporls son ls ss d vrición ls mdis móvils Ls ss d vrición son oprdors linls invrins n l impo pro no linls Ddo qu l orí lmnl d los filros s rfir oprdors linls invrins, h qu proimr ls ss oprdors d difrnci Así l primr difrnci d un logrimo s un bun proimción d un s d vrición mnsul S T (, uilindo oprdors d difrnci obnmos l filro linl invrin más lmnl: L Ln( ( L Ln( ( Ls proimcions linls d ls ss más uilids los filros linls quivlns prcn n l Cudro nº Un mdi móvil simpl s l mdi riméic d los n dos nriors Minrs más grnd s n, mor srá l influnci d los dos niguos Ls mdis móvils cnrds s crcrin porqu l númro d obsrvcions qu nrn n su cálculo s impr, signándos cd mdi móvil l obsrvción cnrl Así, un mdi móvil cnrd n d longiud n vin dd por l siguin prsión: MM (n n n in i n n n n n Como pud obsrvrs, l subíndic signdo l mdi móvil,, s l mismo qu l d l obsrvción cnrl, Y Obsérvs mbién qu, por consrucción, no s pudn clculr ls mdis móvils corrspondins ls n primrs ls n úlims obsrvcions En ls mdis móvils simérics s sign cd mdi móvil l príodo corrspondin l obsrvción más dlnd d ods ls qu inrvinn n su cálculo Así l mdi móvil siméric d n punos socid l obsrvción ndrá l siguin prsión: MMA( n n Y i i n n n n Los filros linls socidos ls mdis móvils s dnon d l siguin form: n ( L L n Tbl nº- Tss d Vrición Filros Linls quivlns Eprsión Filro linl Equivln ( L T Pr mor dll Frncisco Mlis Mnr: L Esimción dl rimo d vrición d ls sris conómics Esdísic Espñol Vol um, 99, págs 7 5 hp://wwwins/rviss/ssp/_pdf

4 T T T T T T T Fun: Mlis (99 ( ( ( 5 ( ( ( ( L L ( L( L L ( L ( L ( L L ( L( L L ( L( L L ( L( L L ( L ( L L 5 L ( L L L ( L ( L ( L El méodo idóno d nálisis d filros s l sudio d ls corrspondins funcions d rspus frcuncil, qu s obinn l susiuir n l función d rnsfrnci l oprdor d i rrso por l ponncil compl i L función s l función propi o crcrísic (uofunción d los oprdors linls invrins, porqu l somrl l cción dl filro obnmos como slid l mism función muliplicd por un prsión qu no dpnd d qu s, prcismn, l función d rspus frcuncil Si plicmos un primr difrnci, por ponr l mplo más simpl, l función crcrísic, obnmos como slid: i i i i i ( L ( L ( ( L función d rspus ( s un función compl d l frcunci cuo módulo s conoc como función d gnnci dl filro cuo rgumno s dnomin función d fs dl filro A prir d l función d rspus d frcunci dl filro: i i i i i i i sin i( π ( ( sin Dond s h hcho uso d l iguldd dl Torm d Moivr 5 S obinn su función d gnnci d fs: G ( ω sin π F ( ω i π ω 5 ω i cos( i sin( ω ω i cos( ω isin( ω

5 El dsfs mporl d s filro π F( T, si s considr w π T El oprdor d mdis móvils siguin: ( L n n L in l función d rspus frcuncil ( ( A prir d l rspus d frcunci dl filro: iω iω iω iω iω iω cos( ω ( ( ( s obinn su gnnci dsplmino d fs: G ( ω ( cos( ω F ( ω ω ω φ ( ω ω Emplo Primos d l sri sin( π plicmos l filro linl ( L L El rsuldo s ilusr n l figur siguin:,5 -, Sri originl Sri filrd qu iω i ω ω ω i i cos( ω,plicndo l orm d D Moivr ls iguldds sin( ω sin( ω cos( ω cos( ω, ( (

6 L función d gnnci dl filro ( L L srí:,8,,,,8,,, -,,,,,,,, Emplo Primos d l sri sin( π plicmos l filro linl ( L L El rsuldo s ilusr n l figur siguin:,5 -, Sri originl Sri filrd En l gráfico s obsrv qu ls oscilcions d l sri filrd son d mpliud mnor ls d l sri originl, qu h un dsplmino d l sri filrd con rspco l originl L función d gnnci dl filro ( L L qudrí:

7 ,9,8,7,,5,,,, -,,,,,,,, S prci qu l gnnci dl filro s igul cro n l frcunci ω π Eso signific qu l filro nul l fco d culquir componn d l sri qu ng flucucions con priodo Por mplo, si s r d un sri d impo mnsul l filro liminrá culquir fco rimsrl prsn n l sri F( ω ormlindo l dsplmino d fs s obin qu Eso signific qu l filro ω inroduc un dsfs mporl d un priodo n l sri filrd Ls funcions d gnnci (modulo fs dsfs d los principls filros linls figurn n l Tbl nº Tbl nº- MODULO, FASE DESFASE TEMPORAL DE LOS FILTROS DE LA TABALA º Filro Modulo Priodo d máim gnnci ( L ( ( ( sin ( ω L sin ( ω L sin ( ω L sin ( ω L ( L L ( L( L sin ( ω sin( ω L ( L L L ( L sin ( ω ( L sin( ω ( L ( Fun: Mlis (99,,,,8,8,,7,8 8 Fs Dsfs mporl pr un priodo p π ω p π ω p π ω p π ω p π ω p 5 π ω p Filros FIR Ls ss ls mdis móvils formn pr d lo qu n sñls digils s dnominn filros d rspus impulsionl fini (FIR, qu s bsn n obnr ls slids prir, clusivmn,

8 d ls nrds culs nriors Gnrlindo, pr un filro linl d longiud : o dond son los coficins dl filro Un mdi móvil d ordn rs, srí noncs l siguin filro FIR: Y un s d crcimino: Los filros FIR s clsificn sgún los siguins ipos Tipo úmro d érminos Simrí I Impr Simérico II Pr Simérico III Impr Anisimérico IV Pr Anisimérico L mdi móvil d ordn rs s por no un filro FIR ipo I, s dcir simérico d ordn impr, l s d crcimino srí un filro FIR ipo IV, s dcir nisimérico d ordn pr L función d rspus frcuncil d un filro ipo I s 7 ( cos i Con lo qu: cos ( G ω ( F Un filro mdi móvil d érminos (, dond, ndrá noncs ls siguins funcions d gnnci fs: ( cos ( ω G ( F 7 ( ( o o qu i ω i i ω ω

9 Un filro ipo II in l siguin función d gnnci fs: G( ω cos F ( Un promdio móvil nul, s un s Tipo II, con doc coficins d vlor lo qu: Con G( ω cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos cos F ( Emplo Primos d l sri sin( sin( π π plicmos l filro linl ( L L El rsuldo s ilusr n l figur siguin:,5,5,5 -,5 - -,5 - -, Sri originl Sri filrd El promdio movil d érminos produc un slid n dond s promdin ls oscilcions d priodo infrior, si s rr d dos mnsuls, l función rprsnd inclu como s v un ciclo d mss qu s l qu gnrlmos con l función sin( π oro d ños ( mss qu s l qu gnrmos con l función sin( π, l sri filrd limin ls

10 oscilcions d mss, qu son ls más frcuns (n un conuno d 5 dos dn lugr 8 ciclos, ls qu más s dn, nos prsn ls d dos ños, qu son mnos frcuns qu ls nriors (dos ciclos n l conuno d dos rprsndo El promdio móvil d érminos s por no un filro dsscionlidor, n l snido d qu nul ls oscilcions scionls, s dcir l qu inn lugr l cbo d un ño L función d gnnci dl filro ( L L srí:,,8,,, -,8,,,, L gnnci dl filro s igul cro n l frcunci ω π, π, π, π Eso signific qu l filro nul l fco d culquir componn d l sri qu ng flucucions con priodo,, ó Por mplo, si s r d un sri d impo mnsul l filro liminrá culquir oscilción curimsrl, smsrl o nul prsn n l sri F( ω ormlindo l dsplmino d fs s obin qu 5, 5 Eso signific qu l filro ω inroduc un dsfs mporl d 5,5 mss n l sri filrd L rprsnción dl filro qu s hc n l figur nº 5 considr dicho dsfs Un filro ipo III in su v l siguin función d gnnci fs: G( ω F ( sin π Y un filro ipo IV in l siguin función d gnnci fs: G( ω F ( sin π

11 L s d crcimino rimsrl ( L L srí un filro ipo IV, d coficins (, con los siguins vlors,, Su función d gnnci s clculrí: sin cos sin sin ( ω G Su función d dsfs srá ( π F L s d crcimino inrnul ( L L srí un filro ipo III, d coficins (, con los siguins vlors, Su función d gnnci s clculrí: sin 5 sin sin sin sin cos sin sin ( ω G su función d dsfs ( π F El filro como produco d convolución Sn dos vcors d dimnsión S dfin su produco d convolución ; como l vcor: El produco d convolución s pud prsr d form mricil:

12 o o o o L mri cudrd dl produco d convulsión rcib l nombr d mri circuln qu los lmnos d l primr column vn rondo su posición n ls columns sucsivs L rnsformd discr d Fourir dl produco d convolución d s l produco d Hdmrd d ls corrspondins rnsformds d d : ( ( ( DFT DFT DFT Un form d clculr s rvs d l muliplicción coordnd coordnd d ls rnsformds d d ; obnindo l rnsformd invrs d s vcor ( ( DFT Filrr un sri pud nndrs como l produco d un convolución; sí por mplo l mplr l filro linl ( L s rlirí l siguin produco d convolución: o En dond l vcor srí Un mdi móvil cnrd d rs érminos s prsrí por l siguin produco d convolución: o

13 En dond l vcor srí Pr obnr los gráficos d ls funcions d gnnci dsfs uilindo l rnsformd discr d Fourir, s mpln ls siguins prsions: ( ( ( R I w G ( ( n ( ω R I F Cnrr l filro quivl rlir l siguin muliplicción mricil ( [ ] ( [ ] [ ] o Es dcir hbrí qu liminr ls dos ulims fils d l mri qu dsrroll l filro linl Emplo Uilindo R vmos filrr l sri <- sq(, 9, b Z <- sin(pi*/sin(pi*/ # rnsformds <- ff(z #filro d mdi móvil d érminos Y <- c(/, rp(, 8, rp(/, <- ff(y X <- ff(*,invrstrue/5 plos (X[ :9], p"l"

14 MVZ[:9] - - Tim # Función d gnnci dl filro GW bs( P GW[:5] f (:*pi/5 plo(f, P, p"l" P f

15 L insrucción n R pr filrr sris s: convolv(,, con TRUE, p c("circulr", "opn", "filr" D l mnr qu l filrdo d un sri por un mdi móvil d érminos cnrd con R uilimos l siguin insrucción: Y <- c(rp(,/ X <- convolv(z,y,p"filr" plo ( [:], Z[:], min"filro MM uilindo convolv(" lins([:], X, col"rd" Filro MM uilindo convolv( Z[:] - [:] Los filros pudn sr plicdos n sri, por mplo l s mdi d crcimino rimsrl ( L ( L L, srí l muliplicción mricil d

16 ( ( o o Uilindo l rnsformd discr d Fourir, l filro s dsrrollrí: ( ( ( ( DFT DFT DFT DFT Sindo O bin: ( ( ( DFT DFT DFT Sindo Emplo 5 Uilindo R vmos filrr l sri <- sq(, 9, b Z <- sin(pi*/sin(pi*/ # rnsformds <- ff(z #filro d difrnci rgulr

17 Y <- c(-, rp(, 8, <- ff(y MVZ <- ff(*,invrstrue/5 plos (MVZ[ :5], p"l" #filro d mdi movil d érminos X <- c(/, rp(, 7, rp(/, <- ff(y #filro muliplicivo MVZ <- ff(**,invrstrue/5 plos (MVZ[ :9], p"l" MVZ[:9] Tim # Función d gnnci dl filro GW bs(* P GW[:5] f (:*pi/5 plo(f, P, p"l"

18 P f Sris d impo Por dfinición, un sri mporl s un sucsión d obsrvcions d un vribl rlids inrvlos rgulrs d impo El obivo fundmnl dl sudio d ls sris mporls s l conocimino d su compormino rvés dl impo pr, prir d dicho conocimino, bo l supuso d qu no vn producirs cmbios rlvns, podr rlir prdiccions, s dcir, drminr qué vlor omrá l vribl obo d sudio n uno o más príodos d impo siudos n l fuuro Ddo qu n l mor pr d los problms conómicos, los gns s nfrnn un om d dcisions bo un cono d incridumbr, l prdicción d un vribl rvis un impornci noori pus supon, pr l gn qu l rli, un rducción d l incridumbr, por nd, un mor d sus rsuldos Ans d profundir n l nálisis d ls sris mporls s ncsrio sñlr qu, pr llvrlo cbo, h qu nr n cun los siguins supusos: S considr qu is un cir sbilidd n l srucur dl fnómno sudido Pr qu s cumpl s supuso srá ncsrio sudir príodos lo más homogénos posibls Los dos dbn sr homogénos n l impo, o, lo qu s lo mismo, s db mnnr l dfinición l mdición d l mgniud obo d sudio Es supuso no s d n muchs d ls sris conómics, qu s frcun qu ls sdísics s prfccionn con l pso dl impo, produciéndos slos n l sri dbidos un cmbio n l mdición d l mgniud sudid Un cso priculrmn frcun s l cmbio d bs n los índics d prcios, d producción, c Tls cmbios d bs implicn cmbios n los producos ls pondrcions qu nrn n l lborción dl índic qu rprcun considrblmn n l comprbilidd d l sri n l impo

19 Indudblmn, l clidd d ls prvisions rlids dpndrán, n bun mdid, dl procso gnrdor d l sri: sí, si l vribl obsrvd sigu lgún ipo d squm o prón d compormino más o mnos fio (sri drminis sgurmn obngmos prdiccions más o mnos fibls, con un grdo d rror bo Por l conrrio, si l sri no sigu ningún prón d compormino spcífico (sri lori, sgurmn nusrs prdiccions crcrán d vlid por complo Gnrlmn, n l cso d ls sris conómics no isn vribls drminiss o loris purs, sino qu coninn mbos ipos d lmnos El obo d los méodos d prvisión cuniivos s conocr los componns subcns d un sri su form d ingrción, con obo d rlir d su volución fuur Trdicionlmn, n los méodos d dscomposición d sris mporls, s pr d l id d qu l sri mporl s pud dscomponr n odos o lgunos d los siguins componns: Tndnci (T, qu rprsn l volución d l sri n l lrgo plo Flucución cíclic (C, qu rfl ls flucucions d crácr priódico, pro no ncsrimn rgulr, mdio plo n orno l ndnci Es componn s frcun hllrlo n ls sris conómics, s db los cmbios n l cividd conómic Pr l obnción d l ndnci s ncsrio disponr d un sri lrg d un númro d ciclos complo, pr qu és no s v influid por l fs dl ciclo n qu finli l sri, por lo qu, vcs, rsul difícil sprr mbos componns En sos csos rsul úil nglobr mbos componns n uno solo, dnomindo ciclo-ndnci o ndnci gnrlid Vrición Escionl (S: rcog qullos comporminos d ipo rgulr rpiivo qu s dn lo lrgo d un príodo d impo, gnrlmn igul o infrior un ño, qu son producidos por fcors ls como ls vricions climológics, ls vccions, ls fiss, c Moviminos Irrgulrs (I, qu pudn sr lorios, l cul rcog los pquños fcos ccidnls, o rráicos, como rsuldo d hchos no prvisibls, pro idnificbls posriori (hulgs, cásrofs, c En s puno, cb sñlr qu n un sri concr no inn por qué drs los curo componns Así, por mplo, un sri con priodicidd nul crc d scionlidd L socición d sos curo componns n un sri mporl, Y, pud rspondr disinos squms; sí, pud sr d ipo diivo: YTCSI Tmbién pud nr un form mulipliciv: YTCSI O bin sr un combinción d mbos, por mplo: YTCSI

20 Un form sncill pr vr como sán socids ls componns d un sri mporl s rprsnr gráficmn l sri qu smos nlindo Si l rlir l rprsnción gráfic s obsrv qu ls flucucions son más o mnos rgulrs lo lrgo d l sri, sin vrs fcds por l ndnci (vés figurs, s pud mplr l squm diivo Esqum diivo Si, por l conrrio, s obsrv qu l mgniud d ls flucucions vrí con l ndnci, sindo más ls cundo és s crcin más bs cundo s dcrcin (vés Fig 9, s db dopr noncs l squm muliplicivo Esqum muliplicivo El modlo básico d ndnci pud prsrs noncs sí: T cos( b sin( o o o Ls componns cíclic scionl : p s cos( w b sin( w Y l componn irrgulr D l form qu l modlo complo d un sri mporl pud dscribirs:

21 R [ cos( w b sin( w ] Y Vis sí un sri mporl sí cb uilir l orí d filros linls pr dscribir los componns d un sri mporl Emplo π π Gnrmos lo sri mporl Y,5cos,5 cos dond s un disribución norml d númros lorios con mdi cro vrin,5 (;,5 L rprsnción gráfic d s sri srí:,5,5,5,5, ,8,,, -, -, -, -,8 Sri mporl Ciclo S prci qu l sri mporl sigu l prfil dl ciclo crdo, si bin difir d s n l mor nivl qu inroduc l ndnci (d vlor consn igul, l mor irrgulridd qu l incorpor d l sri lori El ciclo como s prci s un ciclo lrgo d dos (priodo (d máimo máimo, qu in lugr dos vcs l cbo d los 5 dos, un ciclo coro o más frcun qu s rpi uns 8 vcs los lrgo dl conuno d dos, qu in lugr cd dos (priodo Prndmos hor rr ls sñls rlvns d l sri, n s cso srín los dos ciclos rvés d filros linls, si qurmos rprsnr l ciclo lrgo nmos vris posibilidds d filros l mdi móvil d érminos qu nuln ls siguins frcuncis,,, π 5 ω π π π, ó un mdi móvil d dos, ( L L qu nulrí ls frcuncis ω π, π, cu función d gnnci srí:

22 cos cos 5 cos cos cos cos cos ( ω G,,,,8, -,,,,,,,, El dsfs d l mdi móvil d dos sbmos qu s d -5,5 l d érminos: (,5 w w F En los rsuldos gráficos s prci qu un or nos rprsnn l ciclo lrgo pro l mdi móvil d érminos con un cos informivo mnor:,5,5,5,5, Sri mporl MV(

23 ,5,5,5,5, Sri mporl MV( El mnor cos informivo d l mdi móvil d érminos l hc más dsbl pr rr n s cso l ciclo d priodo qu l mdi móvil d dos L mdi móvil d dos, cu función d gnnci mbién hmos rprsndo nriormn igul cro l frcunci ω π, s dcir ls qu inn lugr cd dos (priodo, qu nosoros no nmos nú sin nulrls complmn ls d mnor priodo, s dcir l fco d s mdi móvil nusro conuno d dos s nulr ls frcuncis más ls, s dcir ls oscilcions qu más vcs s dn, qu n s cso ls qu induc l sri lori irrgulr dr psr ls d priodo suprior rs El rsuldo gráfico d uilir s mdi móvil s l siguin:,5,5,5,5, Sri mporl MV( Como vmos hor l filro d psr l ndnci los dos ciclos qu formn l sri, l d dos l d dos Todos los filros qu hmos uilido inn n l función d gnnci un uno n ls mu bs frcuncis, so quir dcir qu dn psr los ciclos d mu lrgo plo, so s ls ndncis, por l conrrio nún cundo no nuln ls ms ls frcuncis, por llo n su slid ls rs mdis móvils h suvido ls oscilcions irrgulrs, qu prsisn n l sri pro mu nuds

24 El filro ( L in l fco conrrio, qu su función d gnnci s (vr bl: G ( sin( ω,5,5,5 -,,,,,,,, En l rprsnción gráfic vmos qu nul ls oscilcions d b frcunci, s dcir, ls ndncis, nul únicmn oscilcions ls qu inn lugr cd rs dos, dndo psr ls d mor frcunci El fco d s filro sobr nusro conuno d dos srí l siguin: Sri mporl T(, Como s prci l filro h limindo l ndnci d l sri, qu l h cnrndo l sri n cro h ddo psr su prfil más irrgulr En conscunci prir d l función d gnnci s podrí consruir un filro linl nusros dos qu dr psr ó nulr l componn dsd Tipos d filros En l lirur d procso d sñls digils, los filros como l mdi móvil d ordn,, ( L ( L s conocn como filros d cor (noch filr, son qullos qu coninn uno

25 o más profundos cors o muscs n su función d gnnci Es n concro nul ls frcuncis d priodo ( ω π, sindo su función d gnnci l qu s rprsn n l gráfico siguin: G ( ω cos cos cos (, qu,,9,8,7,,5,,,, -,,,,,,,, Si l filro inroduc cros uniformmn spcidos n l d frcuncis, como l sumdor 5 scionl s dnominn filros n pin (comb filrs Los filros ( L L ( L /p L, son filros d pin, n los qu s inroduc un cro n l príodo p (frcunci El oprdor uorgrsivo ( L, quivl un mdi móvil d érminos; cuo ( L dsrrollo srí : ( L L L L L función d gnnci dl filro ( L, srí ( L G ( ω, (vr Tbl nº Un oprdor uorgrsivo d l form ( L, s ( L sin dsrroll n l siguin procso d mdis móvils ( L L L L L, ndrí un función d gnnci dl ipo : G ( ω Es filro s compor d form opus cos ( ( L L pquñ slvo n ls proimidds dl cro scionl, n dond crc mu rápidmn, como pud vrs n l Gráfico siguin, cnundo ls oscilcions d curo mss L gnnci dl filro s mu

26 ,5,5,5,5 Los filros pudn sr consiuidos por un oprdor uorgrsivo un mdi mdi móvil, ( L ( L, s un mplo d s ipo d filros, cundo lo dsrrollmos, obnmos l ( L siguin filro linl: ( L ( L ( L ( L ( L L L ( L L Cu función d gnnci s L G ( ω ( L L lrniv d obnr s función d gnnci s ls funcions d gnnci d mbos filros,5,5,5,5 L ( L L 5 L L cos cos cos, or form G ( ω sin sin sin sin -,,,,,,,,, qu s obndrí dividindo

27 Si l oprdor uorrgrsivos s d l form ( L ( L, l filro linl qu lo dsrroll s ( L L L L, si <,l ponci llgrá un puno n qu crcr cro l filro podrá dsrrollrs n érminos finios, prsdo n su form más gnrl un filro uorgrsivo om l form d α ( L ;d igul mnr l oprdor d mdis móvils M α L s prs n l form ms gnrl como β ( L β L, n conscunci un filro ARMA(M, drí lugr l siguin prsión: ( L M Emplo 7 β L α L,8L El modlo ARMA(,, (,5L Y (,8 d lugr l siguin filro ( L, su,5l linrición srí Y (,8,5(,8 L,5 (,8 L,5 (,8 L ( (,,L,5L,5L Hcindo, l filro qudrí,785l,5 L,,785,5,5,,,,785,5,5,5,,,785,5,5,5,,785,785,5,5,785,5,5,5,, o En dond l vcor srí,785,5,,5, Uilindo R rprsnmos su función d gnnci

28 #filro ARMA Y <- c(, rp(, 5, 785, 5,5, <- ff(y # Función d gnnci dl filro GW bs( P GW[:5] f (:*pi/5 plo(f, P, p"l" P f El filro disñdo nú ls ls frcuncis d psr ls bs frcuncis Es ipo d filros s dnominn d pso bp Disño d Filros 8 Los filros digils s plicn usulmn n l dominio dl impo convolucionndo l do con los coficins dl filro, pro mbién pudn disñrs n l dominio d ls frcuncis Eisn vris srgis pr l disño d filros En gnrl s busc rproducir, d l mnr más prcis posibl con un númro prdrmindo d coficins, l rspus n frcunci (spcro dsd dl filro Un v disñdo l spcro dl filro rvés dl cálculo d l Trnsformd d Fourir Invrs s obndrín los coficins Ddo qu no s posibl obnr un filro d longiud fini qu s us n form c l spcro dsdo, s n s puno dond nrn n ugo divrss srgis qu buscn obnr un filro lo más proimdo l fco qu d l s ds L longiud dl filro s, noncs, uno d los lmnos más imporns nr n cun Por rons prácics, cuno más cor s l rspus impulsiv dl filro, mor, pro un filro mu coro pud producir fcos indsdos n ls frcuncis crcns l qu prndmos nur, n no qu un filro mu lrgo, si bin s proim más l rspus n frcuncis dsd, prsn como dsvn los dsfss o su impo d 8 Elbordo prir d hp://ocwuvs/ingniri--rquicur/filros-digils/m disno_d_filros_firpdf

29 rspus El uso d vnns propids pr runcr l rspus impulsiv convninmn s un écnic mu usul Or écnic consis n modificr irivmn los coficins dl filro obnidos hs sisfcr l spcro d frcunci dsdo Y n l dominio d ls frcuncis isn méodos bsdos n digilir funcions rcionls d l frcunci (filros d Chbshv, Burworh, lípicos, c El uso d vnns ( window crpnr, surgió hc rs décds consis n od un brí d méodos vnns spcilmn disñds pr obnr un filro idl Cd vnn in sus propis crcrísics n l snido qu producn filros con drminds propidds n l bnd d pso, d rcho /o d rnsición Enr ls vnns más conocids podmos mncionr: ringulr (Brl, Hmming, hnning, Prn, Dnill, c, sindo l d Hmming un d ls más uilids Considrmos l vnn ms sncill; l vnn rcngulr L vnn s dfin como: n w( n n su prsión n l dominio s: ( ( con lo qu su rspus n frcunci rsul, ( sin sin

30 sin Su función d gnnci srí G ( W su dsfs sin Un vnn rcngulr o bocr, in l fco d un mdi móvil, por mplo un mdi ω π ω móvil d érminos s igul cro ls frcunci π d psr l oscilcions o ciclo d frcunci más b nú rlivmn ls d frcunci más l, π π ls inrmdis nr L vnn d Hnning por mplo, pr d lugr los siguins coficins : π n w( n cos w( ( cos( π w( cos,5 5 π w( cos,5 5 π w( cos 5 8π w( cos,5 5 π w(5 cos,5 π w( cos su prsión n l dominio s: 5 (,5,5,5,5 Qu s un filro FIR simérico impr (ipo I, qu drí lugr l siguin rspus n frcunci: i ( cos w ( i w ( cos( w cos( w G( w cos w Es dcir ndrí un dsfs d - priodos un función d gnnci d ( ( un dsfs d L rprsnción d l función d gnnci s:

31 ,,8,,,,5,5,5,5 S comprub qu l filro nú considrblmn ls ls frcuncis, ls qu suprn π los El méodo d ls vnns s bs n runcr l rspus impulsionl infini d un filro idl Como l produco n l dominio dl impo quivl un convolución n l dominio d l frcunci, podmos sudir l fco qu s nvnndo in sobr l rspus frcuncil dl filro Vr figur: L convolución d un vnn bocr un vnn d Hnning mbs con, d lugr un función d gnnci qu s obndrí muliplicndo puno puno ls funcions d gnnci clculds pr l mdi móvil d érminos l vnn d Hnning (:

32 D lugr un filro n l qu hor sán considrblmn nuds ls oscilcions d priodo suprior dos, o ls frcuncis más ls π El dsrrollo linl dl filro lo rsolvmos con l oprdor d rrdos: 5 5 ( L L L L L (,5L,5 L L,5 L,5L ( L L Qu un un v oprdo d lugr l siguin filro FIR ipo II: (,5L L L 5,5L L L 5,5L L L,5L ( L L Cu función d gnnci mbién pud clculrs como: G( w cos w cos w 8 cos w cos w cos w Emplo 9 Gnrmos l sri mporl π π Y sin sin dond s un disribución norml (;,5 Es sri gnr como d númros lorios con mdi cro vrin,5 vmos n l gráfic ciclos d priodo d priodo, l irrgulridd qu inroduc l rror lorio incorpordo En l rprsnción gráfic d l sri s pud comprobr los fcos d ls vnns bocr 9, l vnn Hnning, l convolución d mbs, n l convolución s pud prcir como s h limindo ls pquñs oscilcions qu prsnb l mdi móvil d érminos, qudndo prácicmn islds ls oscilcions d priodo : 9 Pr rducir l mpliud d ls vnns h qu dividir por l bocr l vnn Hnning, conscunmn por l convolución d ls dos vnns

33 Los filros d Burworh, d Chbshv (ipo I ipo II d Jcobi (lípicos, son filros RC nlógicos cu rspus n frcunci s bin conocid usbl d curdo l slcción propid d sus componns Su crcrísics s qu los spcros d ponci d sos filros s pudn prsr como funcions rcionls d ω, lo qu prmi, n principio, su fcorición o obsn disñr filros s un r compl qu rquir l uso d sofwr mmáico un bun conocimino d l orí d filros digils En gnrl rquir rs psos: Esblcr ls spcificcions dl filro pr uns drminds prscions (frcuncis d pso, nucions, gnncis, c Drminr l función d rnsfrnci qu cumpl dichs spcificcions Rlir l función d rnsfrnci con l sofwr sdísico uilido Emplo 9 El pqu Signl d R, ofrc divrss uilidds pr l disño d filros, hp://crnrprocorg/wb/pckgs/signl/indhml, cuo mnul s dscrg n : hp://crnrprocorg/wb/pckgs/signl/signlpdf Aquí s dsrroll un rcicio similr l rcicio 8 uilindo vnns: n <- 5 op <- pr(mfrow c(, plo(brl(n, p "l", lim c(, plo(blckmn(n, p "l", lim c(, plo(bocr(n, p "l", lim c(, plo(flopwin(n, p "l", lim c(, plo(gusswin(n, 5, p "l", lim c(, plo(hnning(n, p "l", lim c(,

34 plo(hmming(n, p "l", lim c(, plo(ring(n, p "l", lim c(, pr(op brl(n blckmn(n bocr(n Ind Ind Ind flopwin(n gusswin(n, 5 hnning(n Ind Ind Ind hmming(n ring(n Ind Ind n <- lngh( <- -: <- sin(pi*/ sin(pi*/ rnorm(/8 n <- lngh( <- -: Filro <- funcion( convolv(, hnning(/, p "filr" plo(,, min"using Hnning( for filrs" lins([-c(:, (n-:n ], Filro(, col"rd"

35 Using Hnning( for filrs Filro <- funcion( convolv(, convolv( bocr(/, hnning(/, p "filr" plo(,, min"using convolv( for filrs" lins([-c(:, (n-:n ], Filro(, col"rd" Using convolv( for filrs

36 Bibliogrfi: Mrín M, Góm L, Srrno JA, Vil J, Góm J (9: Filros Digils Curso 9- Escol Tècnic Suprior Inginri Dprmn d Enginri Elcrònic Univrsidd d Vlnci Mlis F (99: L Esimción dl rimo d vrición d ls sris conómics Esdísic Espñol Vol um, 99, págs 7 5 Villrrl F (5: Elmnos óricos dl us scionl d sris conómics uilindo X--ARIMA TRAMO-SEATS Sri 8 Esudios sdísicos prospcivos División d Esdísic Proccions Económics Snigo d Chil, Dicimbr dl 5