Método general para la incertidumbre de un resultado en funciones de dos o más variables

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Método general para la incertidumbre de un resultado en funciones de dos o más variables"

Manuel Torregrosa Rey
hace 6 años
Vistas:

1 Métoo enera para a incertiumbre e un resutao en funciones e os o más variabes Consieremos a Z como un resutao obtenio a partir e as manitues (atos) X y Y e ta manera que están reacionaas meiante a ecuación: Z = X + Y, es ecir Z = f (X, Y); en este caso otra vez X aportará en a incertiumbre con δx, mientras que Y aportará en a incertiumbre con δy, ueo: Z ± δz = (X ± δx) + (Y ± δy) Reorenano: Z ± δz = X + Y ± δx +δy Por o tanto δz = δx +δy Ahora, si se utiiza e cácuo, como as os variabes aportan a a incertiumbre e Z, entonces se poría obtener caa incertiumbre por separao y sumaros. Si a función es Z = X + Y, usano erivaas parciaes (es ecir erivano con respecto a caa variabe asumieno a a otra Z momentáneamente constante) 1 entonces Z X o δz = δx pero eso es soo o que aporta X X porque se mantuvo a Y constante, ahora si erivamos con respecto a Y obtenemos Z Y o δz = δy, por o tanto δz sería iua a a suma e os aportes e X y Y, es ecir δz = δx +δy, o que anteriormente se obtuvo. Generaizano poemos ecir que, si F = f (X, Y, Z) entonces: F F F f X, Y, Z y y y y z z z z Observar que as barras inican e vaor absouto e as erivaas, por o que as incertiumbres no se pueen eiminar. Z Por ejempo si Z = X Y, entonces 1 y X Z X, así, Z Y, por o tanto se poría pensar que δz = δx δy, pero eso isminuiría e maren e a propaación es más si δx = δy, se eiminaría, obteniénose un δz = 0, o cua no es posibe si X y Y tienen incertiumbre. Para evitar estos probemas se consiera e más ampio maren e posibiia para Z, y eso es cuano se

2 suman as incertiumbres, para eso se utiiza as barras e vaor absouto. Por o tanto, si Z = X Y, entonces δz = δx + δy. Ejempo 1: Un estuiante reaizó a meición e un cuarao obtenieno e vaor e (10. ± 0.1) cm. Desea encontrar e área e cuarao con su respectiva incertiumbre. Para este caso tenemos una variabe a a que amaremos X y usaremos a siuiente nomencatura para a meia así: (X± ) ; one X es e vaor meio y X: es a incertiumbre e a meición Por o tanto a meia e AREA se reportará así: (A± A) ; one A es e área y A es a incertiumbre e área Sabemos que e área e un cuarao es A=X X Dao X= (10,±0.1) cm X Área= X = (10,) = 116,6cm Si tenemos en cuenta as reas e mutipicación y ivisión con cifras sinificativas nuestro resutao necesita tener cifras sinificativas ya que (10,) es como si tuviéramos 10,10, por o que ebemos tener siempre presente estas reas, entonces nuestro resutao e Área e nuestro cuarao es: 117 cm Eisten tres métoos para cacuar a incertiumbre. Uso e as iferencias finitas, e cua ya ha sio revisao Cacuo iferencia Cacuo por oaritmo neperiano PRIMER MÉODO (USO DE DIFERENCIAS FINIAS) Área mínima: Amin= (X X) Amin= ( ) = (10.7) Amin= Amin= 11cm Área máima: Ama= (X+ X) Ama= ( ) = (10.9) Ama= Ama= 119cm Una vez obtenio os vaores máimos y mínimos e área se procee a a siuiente operación. Incertiumbre e área ( ) = (Ama-Amin)/ = (119-11)/ =.5

3 a respuesta quearía: A± A= (117 ±.5) cm SEGUNDO MÉODO (CÁCUO DIFERENCIA) Cacuamos a incertiumbre e área usano as propieaes e cácuo iferencia Decimos que es casi iua porque son vaores muy pequeños. Despejano δf. Rempazano en a fórmua espejaa. ( ) Rempazano en A. Derivano con respecto a. ( )( ) Rempazano os vaores e y δ. Resovieno a mutipicación y reoneano a una cifra sinificativa porque esa será a única cifra que inciirá en a cifra uosa e a meición. ( ) Reportano a meición con su respectiva incertiumbre. ERCER MÉODO (USO DE OGARÍMO NAURA) Cacuamos a incertiumbre e área usano as propieaes e oaritmo natura y e iferencia tota e icha función. ueo apicamos os siuientes pasos para e cácuo e a incertiumbre absouta e nuestra meición inirecta utiizano e métoo antes mencionao: Para este ejercicio utiizamos a fórmua para cacuar e área e un cuarao. Apicamos oaritmo natura ( ) a ambos aos. Utiizamos as propieaes e oaritmo natura para bajar nuestro eponente. ( ) ( ) ueo erivamos e ( ) respecto a A; y ( ) respecto a. Definimos nuestra función. Derivamos nuestra función respecto a. a erivaa e nuestra función es. Como cuano as iferencias son muy pequeñas (tienen a cero), por o tanto: Done iuaamos a incertiumbre absouta e a función y a incertiumbre e a meición con e resutao e a erivación e nuestra función.

4 Despejano, nos quea que a incertiumbre absouta e a función es iua a a incertiumbre e a meición sobre e vaor e a meición. Apicano a nuestro ejercicio nos quea: one, es a incertiumbre absouta e nuestra meición inirecta, A es e vaor e área, irecta y es e vaor e nuestra meición irecta. Despejano y rempazano atos tenemos que: ( ) Reaizano a mutipicación nos quea: es a incertiumbre e nuestra meición E resutao e a mutipicación nos io un número con cifras sinificativas, por o que no es un resutao váio, ya que en nuestra mutipicación anterior ebíamos tener en cuenta as reas para a mutipicación y ivisión con cifras sinificativas. Así que reoneamos nuestra cantia hasta una cifra sinificativa: Por o tanto nuestra respuesta fina nos quea: A± = (117±) cm Ejempo : Se utiizó un caibraor ernier para a meición e iámetro y e espesor e una monea; con os atos obtenios encontrar e área e a circunferencia e a monea y e voumen e a misma. Diámetro: a a = (6,0 0,05) mm; espesor: h h = (1,90 0,05) mm ( )[ ] =A h =5. * 1.90 = 10.7 =10 =1.0 [ ] [ ( ) ] [ ] [ ] [ ] (1.0 ) [ ] Ejempo Un pénuo simpe se usa para obtener e vaor e a aceeración e a ravea (), usano perioo meio fue ( )s y a onitu es e ( ) m Cuá es e vaor e este resutao () con su incertiumbre absouta y reativa?

5 Ejempo : Determinar a incertiumbre reativa porcentua e resutao obtenio e voumen e un aambre (cuyo iámetro es = (.00±0.01) mm. y su onitu = (50.0±0.) cm / s m.7% / s m ) ( * % % 1.06%

Documentos relacionados

Cálculo de las alturas del relieve lunar

Cálculo de las alturas del relieve lunar 1. Introucción. Cácuo e as aturas e reieve unar Pabo Benítez Lambay - Aejanro Benítez Lambay. Con e presente trabajo se pretene ar un métoo sencio y exacto para cacuar a atura e agún acciente unar. Como