DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES ESCALARES

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1 CAPITULO No se lo qe pedo parecer al mndo; pero para mí mismo sólo he sido como n niño jgando a la orilla del mar divirtiéndome al hallar de ve en cando n gijarro más save o na concha más hermosa qe de costmbre mientras qe el gran océano de la verdad permanecía sin descbrir ante mí Isaac Newton IFERENCIACIÓN E FUNCIONES ESCALARES. Límite continidad.. erivada de na nción escalar.. erivadas parciales de orden sperior.. erivabilidad continidad; dierenciabilidad..5 Propiedades de la derivada..6 Gradiente derivadas direccionales..7 Aproimaciones derivación implícita.

2 . Límite Continidad 7. LÍMITE Y CONTINUIA En este capítlo ampliaremos los conceptos básicos del cálclo dierencial a nciones de varias variables en esta oportnidad comenaremos con las nciones escalares para organiar mejor nestro trabajo daremos algnas deiniciones básicas qe nos permitirán deinir lego; límite continidad derivada dierencial. einición: Se llama n-bola abierta de centro en radio δ denotada por ; δ n conjnto { R / < δ } ; n R B n δ R peqeño positivo. al Para n B ; δ representa n intervalo abierto. Ejemplo - Analiar el intervalo abierto qe representa < Solción: - < ; - < < ; < < Para n B ; representa el interior de n disco circlar n círclo. δ Ejemplo - Analiar lo qe representa na B ; en R Solción: La solción esta en la igra - Y δ Figra -

3 7 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares Ejemplo - emostrar qe el pnto pertenece a na bola B. Solción: 5 ; 5 < Para n B ; representa el interior de na esera. La igra - δ representa na -bola abierta centrada en radio δ Z δ Y Figra - ado: einición: n U R n R ; se dice qe es n pnto interior de U si sólo ; si δ > δ totalmente contenida en U. B n Es decir qe todo pnto interior a U pede rodearse de na n-bola centrada en radio δ tal qe B n determina el interior de U se lo denota por ; δ U. El conjnto de todos los pntos interiores a U int U.

4 . Límite Continidad 75 einición: n U R es n conjnto abierto si todos ss pntos son interiores a U. Es decir; U es n conjnto abierto si sólo si U intu. Ejemplo - Sea U R tal qe < < graicar el espacio e indicar qe tipo de conjnto es. Solción: La igra - representa este espacio se trata de na corona circlar entre las circnerencias de radio radio es n conjnto abierto porqe esta ormado por todos los pntos interiores a U. Y - - Figra - Ejemplo -5 El prodcto cartesiano de dos intervalos abiertos es n conjnto abierto. Solción: La igra - indica este conjnto abierto dado por el prodcto cartesiano de los intervalos abiertos: a b c d. d c Y Como se ve es n rectánglo. a b Figra -

5 76 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares ado: einición: n U R δ n R ; se dice qe es n pnto eterior de U si sólo ; si > totalmente era de U. B n δ Es decir qe todo pnto eterior a U pede rodearse de na n-bola centrada en radio δ tal qe B n ; δ U. El conjnto de todos los pntos eteriores a U determina el eterior de U se lo denota por etu. einición: Se dice qe es n pnto de rontera de U si no es ni interior ni eterior a U. El conjnto de todos los pntos de rontera de n espacio U orma la rontera de U se la designa por U. einición: n U R es n conjnto cerrado si s complemento es abierto. Ejemplo -6 En los sigientes casos sea U el conjnto de todos los pntos de R qe satisacen las condiciones dadas analiar el conjnto U en cada caso dar na raón geométrica para caliicarlo como abierto cerrado abierto cerrado ni abierto ni cerrado. Solción: Solción: a.- Abierto cerrado; porqe es todo R R n es abierto cerrado a la ve. Le dejamos al lector la demostración de esto último. b.- < Abierto cerrado; porqe es Φ el conjnto vacío es abierto cerrado a la ve. Le dejamos al lector la demostración de esto último. c.-

6 . Límite Continidad 77 Solción: Solción: Solción: Solción: Solción: Cerrado; Porqe es la parte interior del círclo de radio la circnerencia de radio s complemento es abierto. d.- < Ni abierto ni cerrado; porqe es la corona circlar entre los círclos de radio radio incle la circnerencia de radio pero no la de radio. e.- 5 Cerrado; Porqe es la nión de conjntos cerrados. La nión de conjntos cerrados es n conjnto cerrado la nión de conjntos abiertos es n conjnto abierto..- < 5 Ni abierto ni cerrado; Porqe no es nión de conjntos cerrados ni tampoco nión de conjntos abiertos. g.- Cerrado; Porqe son los pntos qe se ajstan a la crva s complemento es abierto. h.- Solción: Cerrado; Porqe s complemento es abierto. Sea einición de Límite: F n m : U R R ; donde U es n conjnto abierto n pnto de U o m de la rontera de U sea V na vecindad de L R decimos qe: LimF L si solo si ξ δ de manera qe si eiste na n- bola en U centrada en de radio δ eista na m-bola en V centrada en L de radio ξ tal qe si: B ; δ F B L; ξ n m Analiando la deinición podemos ver qe F no necesariamente debe estar deinida en si tiende a en el dominio F debe de tender a L en el rango de la nción.

7 78 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares El símbolo de límite también pede epresarse de otras maneras eqivalentes: Lim L elemental. esta es la orma corriente de límite en el cálclo Llamando h podemos escribir otra orma eqivalente: Lim h h B Si : R R escribimos: Lim l. Si : R R escribimos: Lim l Si : R n R escribimos: Lim l Teorema - Unicidad del límite. Sea : U R n R ; donde U es n conjnto abierto n pnto de U; si: Lim a Lim b entonces a es igal a b. Hagamos las sigientes observaciones sobre la deinición de límite:. El límite es na tendencia.. El límite es único.. Pede eistir o no si eiste es n número real.. Pede la nción no estar deinida en n cierto pnto sin embargo el límite pede eistir. 5. El cálclo es complicado para nciones de variable real más aún para nciones de varias variables. 6. La deinición es bastante abstracta. Para realiar cálclos prácticos de límites necesitamos de algnas reglas qe nos permitan hacerlo; estas reglas nos las da el sigiente teorema:

8 . Límite Continidad 79 Teorema - Sean F G dos nciones deinidas en U U o a la rontera de U; entonces; si: o F A n m R R ; U abierto ; G B entonces: o A m B R. [ F ± G ] A ± B o. [ α F ] αa o. F G A B o. F A o Si: escalares : U R n R ; g : U R n R ; a b R 5. [ g ] ab o nciones 6. g o a b ; g ; b. emostremos el literal dejamos el resto de demostraciones como ejercicios para el lector: Podemos escribir: F G A B F A G B A G B B F A Aplicando la desigaldad trianglar la desigaldad de Schwar obtenemos: F G A B F A G B A G B B F A

9 8 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares F A B Como; G cando entonces: F G A B cando lo cal preba Para probar hagamos F G en tenemos: F G A A o lo qe es lo mismo: F A qe demestra. El límite de calqier operación es la misma operación con los límites: Ejemplo -7 ada la sigiente nción escalar en R : sen. Calclar s límite cando sen Solción: V ; tomemos V R α entonces se transorma en: senα sen α α encontrar: Ejemplo -8 Sea: Solción: 6

10 . Límite Continidad 8 Ejemplo -9 Calclar cos e e Solción: cos cos e e e e e Ejemplo - Encontrar: Solción: En la dirección del eje ; ; En la dirección del eje Y ; ; Por lo tanto en esta nción no tiene límite. Ejemplo - Encontrar Solción: En la dirección del eje ; ; En la dirección del eje Y ; ; En la dirección de todas las rectas de la orma m m m m m Podríamos pensar qe s límite es ; sin embargo si averigamos sobre la crva tenemos:

11 8 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares Ejemplo - Encontrar sen no tiene límite. Solción: En la dirección del eje ; ; sen cos sen 8cos 6 6 Aplicando la regla de L Hopital. En la dirección del eje Y ; ; el límite no eiste. Obsérvese en los ejemplos anteriores qe para asegrar la eistencia del límite se debe demostrar qe este eiste es igal en todas las direcciones posibles lo cal lo torna smamente complicado diícil de calclar. Como el límite de na nción vectorial es igal al límite de cada na de ss componentes entonces el cálclo de límites para na nción vectorial se redce al cálclo de límites para nciones escalares. einición de continidad: Sea F ecimos qe F es contina en si solo si: F F n m : U R R ; donde U representa s dominio n pnto de U. ecimos qe es contina en todo s dominio U si sólo si es contina en cada no de los pntos de U. Observaciones: La deinición de continidad es pntal.

12 . Límite Continidad 8 Es imposible tiliar la deinición para demostrar la continidad de na nción en n intervalo o sb-espacio de R n. Por lo anterior necesitamos conocer algnas reglas qe nos permitan analiar la continidad de na nción de varias variables en s dominio U. Para adarnos en la itante qe nos deja la deinición de continidad disponemos de los sigientes teoremas. Teorema - Sean; F n m : U R R G n m : U R R U α R :. Si F es contina en ; entonces F.. Si F es contina en.. Si G son continas en α también es contina en ; entonces F ± G también g son nciones escalares continas en ; entonces g también es contina en. Si g. g son nciones escalares continas en ; entonces también es contina en si g. 5. Si es na nción escalar contina en ; entonces también es contina en si. 6. Una nción vectorial es contina si sólo si cada na de ss componentes es contina. Calqier operación qe se realice con nciones continas es contina ecepto la división cando el denominador sea cero. Ejemplo - La nción identidad todo R n. F n n : R R es contina en

13 8 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares Solción: Ejemplo - Solción: Las componentes de la nción identidad son:. n n. Como todas son continas en R n entonces la nción también es contina en todo R n. n m Sea F : R R na transormación lineal demostrar qe es contina en R n. Si es na transormación lineal entonces: F Y F F Y F Y Si transormación también. F son continas en todo R n entonces la Ejemplo -5 Sea F nción vectorial de la orma contina en R. F : R R demostrar qe es Solción: La primera componente es n prodcto de nciones continas; por lo tanto es contina la segnda componente es n cociente de nciones continas la nción denominador nnca será cero entonces también es contina la tercera componente es la sma de tres nciones continas también es contina; por lo tanto como todas ss componentes son continas la nción es contina. Sean: Teorema - G n p : U R R F o G F G eista; si F p m : R R U G es contina en G ; entonces F o G es contina en. ; tal qe F es contina en emostración: Tomemos: g A g

14 . Límite Continidad 85 g g A Por hipótesis cando g A así qe tenemos: g g g A A lo qe indica: o g es contina en. Ejemplo -6 En base al teorema anterior analiar la continidad de las sigientes nciones:. sen. ln. e. lncos Solción: La primera nción; es contina en todo R como sen no tiene restricciones para s dominio podemos conclir qe esta es contina en todo R. La segnda nción; es contina en todo R s valor es: la nción ln tiene restringido s dominio para valores >. Esto nos hace conclir qe en este caso la nción tiene restringido s intervalo de continidad de la sigiente orma: R /. { } La tercera nción es el cociente de dos nciones; la nción nmerador es la composición de e con la interna es contina en todo R la eterna qe es la eponencial no tiene e restricciones para s dominio; por la tanto es contina; sin embargo debemos einar los valores qe hagan cero el denominador estos son esto hace qe para este caso la región de continidad sea: { R / }.

15 86 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares Ejemplo -7 La carta es la composición de tres nciones; la interna es contina en todo R es la intermedia es cos no tiene restricciones para s dominio; mientras qe la eterna ln si tiene restricciones para s dominio donde esto hace qe para este caso la región de continidad qede deinida de la sigiente manera: n π R / ; n... Analiar la continidad de la nción: en.. Solción: En n corte sobre el eje ; : ; cmple. En n corte sobre el eje Y ; : ; cmple. En n corte sobre la nción identidad ; no cmple. : La nción no es contina en. Como se pede observar en el ejemplo -7 para qe na nción escalar sea contina en n pnto dado debe cmplirse la deinición de continidad en todas las direcciones posibles por las qe nos podamos acercar a este pnto en na vecindad del mismo. Esto hace complicada esta técnica de demostración pesto qe eisten ininitas maneras de aproimarse a na nción en na vecindad de n pnto dado.. ERIVAA E UNA FUNCIÓN ESCALAR. En la sección - dimos los conceptos elementales qe nos permitan tener la capacidad de hacer otras deiniciones importantes del cálclo; na de ellas es la

16 . erivada de na Fnción Escalar 87 deinición de derivada de na nción escalar con respecto a n vector. Sea : U R n R n campo escalar en R n deseamos tener la capacidad de estdiar la variación de cando nos acercamos a calqier pnto desde dentro de s dominio. Por ejemplo spongamos qe la nción representa la temperatra en el interior de na habitación con aire acondicionado en n día de calor; es obvio qe la variación de temperatra será dierenta cndo nos acercamos en la dirección del aparato del aire acondicionado qe cando nos acercamos en la dirección de la ventana qe esta rente al sol esto nos indce a pensar qe al hablar de campos escalares la deinición de derivada estará speditada a la dirección en la cal se la deina. Spongamos qe la dirección esta dada por n vector V r en R n qe nos acercamos del pnto al pnto V r sigiendo el segmento de recta qe ne a con V r cada pnto de esta recta tiene la orma hv r donde h es n número real calqiera la variación de este desplaamiento esta dada por h V como V r sólo indica la dirección del desplaamiento no nos importa el valor de s norma de esta orma podemos decir qe sólo h es n indicador de la magnitd de este desplaamiento es obvio qe la variación qe sre la nción como consecencia de este desplaamiento en s dominio es hv la raón de estas dos variaciones como en el caso de nciones de variable real es lo qe nos lleva a la deinición de derivada de n campo escalar con respecto a n vector. Sea einición de erivada de n campo escalar con respecto a n vector: : U R n R ; donde U es n conjnto abierto n pnto de U h R sea V r n vector calqiera de n R la derivada de respecto a V se representa con el símbolo ' o ; V se deine por: en con ' ; V Cando este límite eiste. h hv h Observaciones:

17 88 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares La derivada es n límite por lo tanto si eiste es n número real tiene todas las propiedades de los límites. La derivada representa la raón de cambio sobre n peril de la nción en la dirección del vector V r. Para qe la nción sea derivable en n pnto este límite debe eistir para todas las direcciones posibles V r qe llegan a. Pede sarse para encontrar la ecación de la recta tangente al peril de en la dirección del vector V r. El vector V r representa la dirección del corte de necesita pertenecer al dominio de la nción. por lo tanto no Ejemplo -8 Si V r es el vector cero demostrar qe la derivada direccional de calqier nción escalar eiste vale cero. Solción: ' ' h ; h h ; h h Ejemplo -9 emostrar qe la derivada de na transormación lineal en n pnto calqiera siempre eiste es igal al valor de la nción evalada en el vector dirección V r. Solción: Sea : U R n R ; na transormación lineal calqiera. o hv o ' o; V h h o h V o ' o; V V h h Teorema -5 Si g t tv si na de las derivadas ' t eisten entonces también eiste la otra son igales: g ' t ' tv; V g o ' tv; V

18 . erivada de na Fnción Escalar 89 En particlar cando t g ' ' ; emostración: V g t h g t g' t h h h t h V h tv Qe se lo pede también escribir de la orma: tv hv tv ' tv; V h h Ejemplo - ado el campo escalar n R. Calclar ' ;. V Solción: Primero se bsca na nción de variable real talqe: g t tv entonces: g t tv como; V V V entonces: g t tv tv g t t V tv t g t V V t V t V V t t V t V g derivando con respecto a t. g ' t V t V g entonces: Como ' ' ; V ' ; V V

19 9 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares Teorema -6. Teorema del valor medio para campos escalares Si eiste la derivada ' tv; V para cada t en el intervalo t. Entonces para n cierto número real α en el intervalo abierto < α < tenemos: V ' ; donde αv V emostración: g t tv Hagamos apliqemos el teorema del valor medio para nciones de variable real a t g en el intervalo [ ] g g g' α donde < α < g g V como g' α ' αv ; V tenemos: ; a esta demostrado el teorema. einición de erivadas direccionales derivadas parciales: Si en la deinición de derivada de n campo escalar con respecto a n vector el vector dirección V r es nitario ' ; se llama derivada direccional de V en en la dirección V r. r V ek ; e se denomina derivada parcial de En particlar si ' k direccional se la representa por: el k-esimo vector coordenado nitario la derivada k k '. k respecto a e k Para na nción escalar en R ;

20 . erivada de na Fnción Escalar 9 ' ; ; ' ; ; Para na nción escalar en R ; ' ; ; ' ; ; ' ; ; e la deinición anterior podemos conclir qe las derivadas parciales por ser cortes paralelos a los ejes coordenados acilitan s cálclo para na nción de varias variables; por canto cada peril solo depende de na variable la variable del corte las demás son constantes. Esto permite aplicar las reglas comnes de la derivación como si se tratara de nciones de variable real tomando como variable solo la del corte las demás como constantes. Ejemplo - ado: e sen ln encontrar ss derivadas parciales. Solción: e e Cos e e e Cos cos cos

21 9 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares. ERIVAAS PARCIALES E OREN SUPERIOR: Las derivadas parciales deinidas anteriormente calcladas como se lo hio en el ejemplo - para el caso de na nción escalar en R son nevas nciones escalares estas peden segir derivándose parcialmente con los mismos criterios qe hemos tiliado a estas nevas derivadas parciales las llamaremos derivadas parciales de orden sperior son de segndo orden catro para na nción escalar en R neve para na nción escalar en R ; así: En R : ' ' ' ' En R : ' ' ' ' '

22 . erivabilidad Continidad; ierenciabilidad 9 ' ' ' ' Las derivadas parciales de segndo orden: son derivadas parciales de segndo orden dobles las mecladas se las llama derivadas parciales mitas. Ejemplo - Encontrar las derivadas parciales dobles del ejemplo -: Solción: e Sen e Sen e sen e e Sen e sen e e e sen

23 9 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares Teorema -7 Ejemplo - Obtener las derivadas parciales de primer segndo orden de la nción escalar: cos. Y comprobar qe las mitas son igales: Solción: Cos Sen Cos Cos Sen Cos Cos Sen Cos Sen Cos Sen Cos Sen Cos Sen Cos Sen Sen Sen Cos Como se pede ver en el desarrollo anterior: Si R R U n : ; es de tipo C en n R U qiere decir doblemente contina en U o dierenciable las derivadas parciales mitas de segndo orden son igales.

24 . erivabilidad Continidad; ierenciabilidad 95 Ejercicio - Obtener las derivadas parciales de primer segndo orden de la nción escalar: cos e Y comprobar qe las mitas son igales: Solción: Las derivadas parciales de primer orden son: Cos e Sen e Sen Las derivadas parciales de segndo orden son: e e Cos Sen e e Cos e Cos Sen

25 96 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares 6 Sen e Cos Sen Sen Sen 6. ERIVABILIA Y CONTINUIA; IFERENCIABILIA: En el crso de cálclo elemental el estdiante debe haber aprendido la importancia qe tiene la derivada para calclar raones de cambio para poder analiar el gráico de na nción de variable real estdiando s continidad valores etremos concavidad pntos de inleión. En na nción escalar de varias variables en s dominio la derivada también tiene aplicaciones similares; sin embargo el gráico de na nción escalar no es tan ácil de analiar como el gráico de na nción de variable real. Qé nos pede decir la derivada de na nción escalar deinida en la sección - acerca de la continidad de la nción? recordemos qe para na nción de variable real es válida la airmación: la derivabilidad es na condición necesaria siciente para la continidad. Por spesto sabemos qe la continidad es na condición necesaria pero no siciente para la derivabilidad por la presencia de picos en el gráico de la nción. El gráico de na nción escalar también pede tener picos o plieges qe no le permiten

26 . erivabilidad Continidad; ierenciabilidad 97 deinir planos tangentes a la spericie en todos ss pntos; es importante analiar spericies saves qe pedan tener bien deinidos planos tangentes en todos los pntos de s dominio investigemos si esta airmación válida para nciones de variable real también es válida para nciones de varias variables. Es ácil demostrar qe para na nción de variable real la eistencia de la derivada en n pnto calqiera implica la continidad en dicho pnto: h h h haciendo el límite de esta h igaldad cando h tiende a cero obtenemos: h h h como h h h h h h h ' ; entonces la eistencia de la derivada implica h h qe sea contina en. en Apliqemos el mismo raonamiento para na nción escalar U en la dirección de n vector n V R : : U n R hv hv h haciendo el límite de la h igaldad cando tenemos idéntico raonamiento qe el qe hicimos para na nción de variable real sobre la dirección del vector V ; esto qe es cierto sobre n peril qe tiene la dirección del vector V aparentemente debería ser cierto sobre todas las otras direcciones posibles; pero veamos con mcha sorpresa lo qe nos dice el sigiente ejemplo. Ejemplo -5 ada la nción: ; ; Analiar s derivabilidad continidad en.

27 98 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares Solción: Analicemos primero s derivabilidad para calqier vector : V a b R '; a b h a b h h ha hb h h ha hb ha hb h h h ab h h h a h b h h h a h ab a h b ab h b ab a b a eiste a V b Veamos ahora qe pasa para h b h h hb h h eiste a h h es derivable en porqe eisten todas ss derivadas direccionales. Analicemos ahora la continidad en :

28 . erivabilidad Continidad; ierenciabilidad 99 Sobre el eje ; Sobre el eje Y ; Sobre el eje la recta. m ;. m m m m Sobre la crva ; no es contina en ; porqe en la dirección el límite es dierente. el ejemplo anterior podemos conclir qe a pesar de qe es derivable en sin embargo no es contina entonces la airmación anterior no es cierta para nciones de varia variables. Con esto comprobamos qe la derivabilidad no es condición necesaria siciente para la continidad en nciones de varias variables. [ erivabilidad] [ Continidad] ; Para : R n R ebe eistir na deinición más erte qe la derivada tal qe impliqe continidad esta es la deinición de dierencial. La deinición de derivada einición de Newton diiere de la deinición de dierencial einición de Leibni en s ilosoía; Newton deinió a la derivada como el límite de na raón de cambio qe es la deinición qe nosotros samos conocemos; mientras qe Leibni deinió lo mismo pero como na bena aproimación a na nción lineal en la vecindad de n pnto. Esta neva orma presentada por Leibni en el siglo VII en la actalidad la conocemos como la manera

29 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares de deinir dierencial. : R n R es dierenciable en lineal capa de sstitir a en na vecindad de o. eiste na nción La ilosoía qe deine al dierencial tiene dos ideas qe son importantes de deinir desde el pnto de vista matemático estas son: La nción lineal a la cal se hace la aproimación ; qe es la recta tangente para na nción de variable real el plano tangente para na nción escalar de varias variables. La bena aproimación qe matemáticamente qiere decir qe el límite de la raón entre el error de aproimación el acercamiento en el dominio debe tender a cero cando la norma del vector acercamiento en el dominio tiende a cero; así: error de aproimación Para el caso de na nción de variable real la igra -5 indica cando eiste cando no eiste na bena aproimación en la vecindad de n pnto. o Bena aproimación ierenciable Figra -5 Mala aproimación No dierenciable Para na nción de variable real la nción lineal es la recta tangente: m la pendiente esta dada por: m ' o o o

30 . erivabilidad Continidad; ierenciabilidad Sea einición de dierencial para na nción de variable real: : a b R R a ; se dice qe b es dierenciable en ' es na bena aproimación o a b o o de en na vecindad de o entendiéndose por bena aproimación qe: o ' o En esta deinición ' o qe es el responsable de la bena aproimación se lo llama dierencial. Como se pede apreciar en la deinición anterior la derivada el dierencial para na nción de variable real son igales; tienen la misma jerarqía. En orma similar generalicemos esta deinición para na nción de R a R. La nción lineal es el plano tangente tiene dos inclinaciones na en el sentido del eje otra en el sentido del eje Y qe están dadas por las derivadas parciales con respecto a cada variable respectivamente de tal orma qe el plano tangente en orma similar a la recta tangente lo podemos escribir así: o o 8- Posteriormente estaremos en capacidad de demostrar con mejor criterio qe la ecación 8- representa el plano tangente a na spericie en na vecindad del pnto. Ejemplo -6 Solción: Encontrar la ecación del plano tangente al paraboloide en el pnto. evaladas en el pnto ; con esto:

31 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares einición de dierencial para na nción de R a R: Sea R R : U ; se dice qe es dierenciable en: U o o o es na bena aproimación de en na vecindad de o entendiéndose por bena aproimación qe: o o En esta deinición qe es el responsable de la bena aproimación se lo llama dierencial. Como se pede apreciar en la deinición anterior la eistencia de las derivadas parciales no garantia na bena aproimación; pero si eisten las derivadas parciales son continas esto si tendría la siciente jerarqía para asegrar la aproimación. Generalicemos esta deinición para na nción escalar de R n a R. La nción lineal es el plano tangente tiene n inclinaciones en cada sentido de los ejes i qe están dadas por las derivadas parciales con respecto a cada variable respectivamente de tal orma qe el plano tangente en orma similar al caso anterior lo podemos escribir así:... n n n o o 8- Si deinimos los sigientes vectores:

32 . erivabilidad Continidad; ierenciabilidad... n... n n Podemos escribir la ecación 8- del plano tangente de la orma: 8- Al vector deinido anteriormente en calqier pnto se lo conoce como el GRAIENTE del campo escalar qe lo deiniremos ormalmente en la sección -6. Con esto podemos presentar la deinición general de dierencial para na nción escalar. einición general de dierencial para na nción escalar: Sea : U R n R U ; se dice qe es dierenciable en: U es na bena aproimación de o en na vecindad de o o entendiéndose por bena aproimación qe: o En esta deinición qe es el responsable de la bena aproimación se lo llama dierencial. Observaciones: La matri dierencial de na nción escalar se llama GRAIENTE de se la representa por. El gradiente es n vector por lo tanto pede epresarse así: o e e L e. n o o O como na matri renglón así: n o

33 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares... n Solo si la nción es dierenciable tiene gradiente. El gradiente cmple la misma nción qe la derivada en calclo elemental. El gradiente sólo está deinido para na nción escalar. Para na nción : R R i j k Ejemplo -7 Encontrar el gradiente si eiste de la sigiente nción escalar: Solción: 6 6i j k en el pnto La deinición anterior se la pede generaliar para na nción calqiera en varias variables de la sigiente orma: einición general de dierencial: n m Sea F : U R R U ; se dice qe F es dierenciable en U Z F F es na bena aproimación de o F en na vecindad de o o [ ][ ] entendiéndose por bena aproimación qe: F F F [ ][ ] En esta deinición [ F ] qe es el responsable de la bena aproimación se lo llama dierencial. En esta deinición el dierencial es na matri maneja como na matri colmna. m n [ ] se

34 . erivabilidad Continidad; ierenciabilidad 5 La matri dierencial [ ] [ ] F es: [ ] [ ] n m m m m n n F L M M M M L L Y al vector [ ] se lo maneja así: [ ] n n... Ejemplo -8 Encontrar la matri dierencial de la nción: F ; ; ; Solción: [ ] [ ] F es na matri

35 6 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares Ejemplo -9 ada la nción: F ln Encontrar s matri dierencial en los pntos ;. Solción: [ F ] [ F ] En el pnto no eiste la matri; por lo tanto esta nción no es dierenciable en este pnto. Como observamos en el ejemplo anterior para qe [ F ] eistir todas las derivadas parciales ser continas. eista deben Por lo tanto la eistencia de todas las derivadas parciales qe sean continas implica dierenciabilidad. Teorema -8 Si : U R n R ; o U es dierenciable en o las derivadas direccionales es contína en o. entonces eisten todas emostración: ; cando

36 . erivabilidad Continidad; ierenciabilidad 7 [ ] Como es dierenciable en es na bena aproimación de en na vecindad de ecación 8-. error de aproimación ε entonces: ε ε ε ε ε por canto es na bena aproimación. si eiste lo cal preba qe eisten todas las derivadas parciales entonces: qe indica qe es contina en. La igra -6 indica la relación entre dierenciabilidad derivabilidad continidad para na nción escalar en R n

37 8 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares Es necesario hacer Eisten todas las hincapié en la importancia qe derivadas parciales son tiene el vector gradiente en el análisis de nciones escalares; continas por ejemplo cando V es n vector nitario la derivada direccional tiene na relación sencilla m importante con el vector gradiente es la ierenciabilidad Continidad proección escalar del vector gradiente en la dirección del vector V esta otras más aplicaciones las estdiaremos con maor detenimiento en la Eisten todas las sección -7 en el capítlo derivadas donde haremos n estdio más direccionales detallado de todas los beneicios qe tiene el vector gradiente por Figra -6 ahora nos conormamos con solamente haberlo deinido entender la importancia de este como el dierencial de na nción escalar..5 PROPIEAES E LA ERIVAA: En el crso de cálclo elemental se estdió la orma de derivar smas prodctos cocientes así como la regla de la cadena qe es la orma de derivar composición de nciones. Veamos como generaliar estas técnicas a nciones de varias variables; pero desde el pnto de vista del dierencial qe es la deinición qe sbstite en jerarqía a la derivada para nciones de varias variables. Teorema -9 Sean : U R n R g : U R n R nciones escalares ambas dierenciables en U α R. Entonces:. [ ] α [ ] o α. o Prodcto de n escalar por na matri. ± g g.. [ ] [ ] [ ] o o ± Sma o dierencia de matrices. o

38 .5 Propiedades de la erivada 9. [ ] [ ] [ ] g g g o o o. Prodcto de n escalar por na matri sma de matrices.. [ ] [ ] [ ] ; / g g g g g o o o. Prodcto de n escalar por na matri resta de matrices. Probemos dejando al lector como ejercicio la preba de. ebemos ver qe: [ ] α α α sacando α de actor común: [ ] α lo cal es cierto por ser dierenciable en. Para el segndo nmeral: ebemos ver qe: [ ] [ ] ± ± ± g g g Esto se pede reagrpar de la sigiente orma: [ ] [ ] ± g g g Qe se peden separar como dos límites: [ ] ± [ ] g g g Qe cmplen de ser ambos cero porqe tanto como g son dierenciables en. Ejemplo - ado n campo escalar: sen encontrar el dierencial del campo aplicando el teorema anterior en orma directa. Solción: [ ] [ ] [ ] Sen Sen

39 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares [ Cos Cos ] Sen [ ] [ Cos Cos ] [ Sen Sen ] [ Cos Sen Cos Sen En orma directa: [ ] Sen Cos Sen Cos ] Sea Teorema -: Regla de la Cadena g n p : U R R abiertos; si g es dierenciable en p m : V R R U V conjntos U g V entonces o g es dierenciable en [ o g] [ ] [ g] o g o o es dierenciable en s dierencial es: Ver la demostración de este teorema sando la órmla de Talor en el próimo capítlo ejemplo -. Ejemplo - adas: F v w G F o vw v Calclar [ ] w w e G vw Solción: [ F o G] [ F] [ G]

40 .5 Propiedades de la erivada [ ] F vw vw w v w v w w v [ G] e e [ ] F o G Eisten dos aplicaciones importantes de la Regla de la Cadena qe por s tilidad es necesario tratarlas por separado; estas son: Aplicación # : R R U R ; R R v w. o G está dado por: Sea n campo escalar dierenciable en R ; deinido v w ; G n campo vectorial dierenciable en: deinido de la orma: El dierenciable de og og og og ; donde: de la orma og d d v dv d w dw d

41 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares og og d d d d v v dv d dv d w w dw d dw d La demostración de este caso se la hace aplicando directamente la regla de la cadena de la sigiente orma: [ og] [ ] [ G] v v v w w w [ ] [ G] v w Mltiplicando estas dos matrices obtenemos cada no de los términos de la matri dierencial de la composición qe están epestos anteriormente. Aplicación # : Sea n campo escalar dierenciable en R ; deinido ; G na traectoria en R dierenciable en: deinido de la orma: G t t t t El dierenciable de. o G está dado por: R R de la orma a b R; R R [ og] d dt d dt d dt La demostración de este caso también se la hace aplicando directamente la regla de la cadena de la sigiente orma:

42 .5 Propiedades de la erivada [ og] [ ] [ G] [ ] ; [ G] t t t Mltiplicando estas dos matrices obtenemos la matri dierencial de la composición qe esta epesta anteriormente. La matri dierencial de G qe es na matri colmna epresada como vector representa el vector velocidad de na partícla de masa qe viaja sobre la traectoria Gt esta matri la estdiaremos más detenidamente en el capítlo 5. Ejemplo - adas: v w G v Calclar [ o G] w e Solción: h o G G h h h [ h] h h d d v dv d donde: w dw d e e

43 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares h h h h d d v d d dv d w e dw d v e v dv d w dw d e e Ejemplo - adas: t t; t ; t G t o G t Calclar [ ] Solción: [ o G] d dt d dt d dt [ o G] 6 t t t [ ] 6 69 o G t

44 .6 Gradiente erivadas ireccionales 5.6 GRAIENTE Y ERIVAAS IRECCIONALES. En el crso de cálclo elemental el estdiante tilió la derivada para aplicaciones geométricas en el graico de nciones de variable real; en el caso de nciones escalares de varias variables mchas de estas aplicaciones están dadas por el vector gradiente qe como lo ennciamos en la sección -5 es na herramienta poderosa para las aplicaciones del cálclo en nciones de varias variables. Formalicemos la deinición de gradiente qe a e mencionada en la sección anterior. einición de gradiente de n campo escalar: Sea : U R R n campo escalar en R dierenciable en U el gradiente de es n vector en R dado por:. Si : U R n R n campo escalar en R n dierenciable en U entonces el gradiente es n vector en R n dado por:... n No olvidar qe el vector gradiente es el dierencial del campo escalar;. [ ] Ejemplo - Encontrar el vector gradiente del campo escalar: e cos en el pnto. Solción: e sen e sen cos e

45 6 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares Las aplicaciones del vector gradiente se concentran en los tres teoremas sigientes. Sea Teorema - : U R n R dierenciable en o U ; nitario qe representa na dirección calqiera en de en o en la dirección de ' o ; V o V V esta dada por : n V R n vector n R. la derivada direccional e acerdo a este teorema podemos observar qe la derivada direccional es la proección escalar del gradiente en la dirección de V. emostración: Sea σ tv ; es la parametriación de na recta en R. t g t tv ; g t σ t oσ de la segnda aplicación de la regla de la cadena: g ' t σ ' t V ; del teorema -5 g t ' tv ; V ; g ' ; V : entonces : ' ' ' ; V V lo qe demestra el teorema. Ejemplo -5 Sea: encontrar la derivada direccional de en la dirección i j k en el pnto. Solción: ;

46 .6 Gradiente erivadas ireccionales 7 Sea Teorema - ' 5 ; : U R n R dierenciable en o U ; el gradiente apnta al maor crecimiento de. Ha qe tomar en centa qe este teorema se reiere al gráico de la nción escalar. emostración: n Sea V R n vector calqiera del teorema - la derivada direccional de en la dirección de V esta dada por: ' ; V V V Cosθ Cosθ Para qe ; V sea máima Cosθ ' Para qe Cos θ θ Si θ V lo qe demestra el teorema. o Ejemplo -6 Encontrar la máima derivada direccional de la nción escalar en el pnto. Solción: ; ' ma

47 8 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares ; 9 ; 9 ' ma 9 Sea Teorema - : U R n R k na spericie de nivel S o ; el gradiente es perpendiclar a la spericie de nivel S. dierenciable en emostración: Sea σ t la parametriación de na traectoria calqiera sobre S σ V n vector tangente a σ t de tal orma qe en t V σ '. Como: k ; V ; del teorema -: ' σ ' σ ' Como V σ ' es tangente a S S teorema. lo qe demestra el Aprovechando este teorema podemos decir qe el vector gradiente de na spericie S es el vector normal al plano tangente a la spericie en calqier pnto. Ejemplo -7 Solción: Encontrar la ecación del plano tangente a na spericie S : en el pnto. Primero escribamos la spericie S como n conjnto de nivel: S : encontremos el gradiente de S S

48 .6 Gradiente erivadas ireccionales 9 π V vector posición entre dos pntos del plano π V como entonces: einición de plano tangente a na spericie S en R : Sea na spericie S en R dierenciable en la ecación del plano tangente a la spericie S en el pnto esta dada por: La igra -7 representa el plano tangente π a na spericie : S en el pnto : P V Y Z π S S Figra -7 P

49 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares Ejemplo -8 Solción: Encontrar la ecación del plano tangente a la spericie. en el pnto S S es la ecación del plano tangente. Los tres teoremas anteriores resmen las aplicaciones del vector gradiente en los sigientes términos: GRAIENTE:. Para encontrar la derivada direccional. ' V V. Apnta en la dirección de maor crecimiento de la nción.. Es perpendiclar a las spericies de nivel. Spongamos qe T representa la temperatra de las partíclas de na placa metálica sometida a na ente de calor en el pnto P como lo mestra la igra -8 los círclos concéntricos al pnto P T k se llaman isotermas son crvas de nivel qe corresponden a las partíclas de la P. Figra -8

50 .6 Gradiente erivadas ireccionales placa qe están a igal temperatra las líneas ortogonales a las isotermas qe sigen el recorrido del ljo caloríico se llaman líneas de ljo. En el gráico podemos ver como el vector gradiente en cada pnto es perpendiclar a las crvas de nivel isotermas apnta al maor crecimiento de la nción tangente a las líneas de ljo. e igal Z manera si es Optimo. na nción escalar en R qe representa la spericie de na montaña como se mestra en la igra -9 representa la cota del pnto ; Y las crvas de nivel k representan a los pntos de igal cota sobre la montaña la igra Figra -9 permite ver como el vector gradiente tiene la dirección de maor crecimiento apnta a la cima de la montaña es perpendiclar a las crvas de nivel. Y. Figra - La igra - es la proección de las crvas de nivel de la nción de la igra -9 también permite apreciar las características del vector gradiente de apntar al maor crecimiento de la nción de ser perpendiclar a las crvas de nivel. Tanto los ejemplos de la igra -8 como los de la igra -9 igra - se reieren a na nción escalar de

51 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares R R en la cal s graico esta en R los conjntos de nivel son crvas de nivel en R ; podemos hacer similar raonamiento para n nción escalar de R R solo qe en este caso para ss spericies de nivel qe es lo qe podemos manejar ísicamente. Spongamos qe I representa la intensidad de señal en el pnto de na estación de radio o televisión bicada en n pnto P las spericies de nivel son eseras concéntricas de igal intensidad de onda aqí también podemos observar el eecto del vector gradiente de apntar al maor crecimiento de la nción ser perpendiclar a las spericies de nivel. Este eecto lo podemos apreciar gráicamente en la igra -. I. Figra - I I I.7 APROIMACIONES Y ERIVACION IMPLICITA. En la sección anterior deinimos la ecación del plano tangente a na spericie en n pnto dado en esta sección vamos a tiliar este plano como la aproimación de la spericie en na vecindad del pnto. En el sigiente capítlo hablaremos más a ondo de este tipo de aproimaciones cando deinamos la órmla de Talor para na nción escalar también deinimos en la sección - la dierenciabilidad como na bena aproimación en la vecindad de n pnto saremos esta deinición para ver las aplicaciones qe podemos dar a las aproimaciones en nciones de varias variables. Sea na nción escalar de dos variables cas derivadas parciales eisten son continas en na vecindad de entonces la nción es dierenciable contina en n incremento de la nción esta dada por: ' '

52 .7 Aproimaciones erivada Implícita En la igra - podemos apreciar el incremento de la nción medido en el plano tangente qe es el qe samos para epresar esta aproimación. Como lo indica la igra sando la ecación del plano tangente a qe al ser dierenciable este es na bena aproimación de la spericie en na vecindad de podemos calclar el valor de la nción incrementada tiliando la ecación de este plano: ' ' 8- Z Si la nción escalar es de tres variables eisten ss derivadas parciales son continas en el incremento de la nción deinido anteriormente para dos variables qeda epresado de la sigiente manera: π.. Figra - S Y ' ' ' Ejemplo -9 Solción: Una caja abierta de mt. de largo por mt. de ancho por mt. de alto esta constrida por n material qe cesta $ el mt lateral $ el mt de ondo. Calclar el costo del cajón sar incrementos para estimar la variación del costo cando el largo amenta en cmt. el ancho dismina en cmt. la altra amenta en cmt. Sea : largo : ancho : el alto. C

53 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares C $8 C ' ; C' 6 ; C' ; C' C ' C ' C C' C' C' C 6... C.8 ; el costo amentará en aproimadamente $.8. Ejemplo - Se mide el radio la altra de n cilindro circlar recto con errores aproimados de mas menos % % respectivamente. Usando aproimaciones estimar el porcentaje de error qe se pede cometer al calclar s volmen. r h Solción: ±. ; ±. r h V π r h V V ' r r V ' h h V π rh ±.r π r ±.h V ±.6π r h ±. π r h V ±. 8V V V ±.8. El porcentaje de error qe se pede cometer en el volmen es de aproimadamente mas menos 8%.

54 .7 Aproimaciones erivada Implícita 5 En el caso de na nción de na variable escribimos d por la regla de correspondencia d ' d esto también lo podemos ampliar para na nción escalar de más de na variable. einición de dierencial total de na nción escalar: Sea : U R R n campo escalar en R incrementos de las variables respectivamente si escribimos ; d ; d como los dierenciales de las variables respectivamente; entonces la dierencial total de es: d d d ' d ' d e igal orma si la nción es de tres variables: d d d d ' d ' d ' d La dierencial total es aplicable para aproimar el incremento no es ácilmente calclable; ejemplos: cando este Ejemplo - En cierta ábrica la prodcción diaria está dada por: Q 6K L donde K representa el capital invertido en miles de dólares L representa la era laboral en horas hombre. En la actalidad se han invertido $9. se emplean. horas hombre cada día calclar el cambio de prodcción si la inversión de capital se amenta en $. la era laboral también amenta en horas hombre. Solción: K 9 ; L. dk K ; dl L Q Q dq dk dl K L dq K L dk K L dl dq 6 nidades ;

55 6 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares Qiere decir qe la prodcción amentará en nidades aproimadamente. La dierencial total también se pede tiliar para calclar rapide de variación o cambio en nciones de más de na variable de la sigiente orma: Spongamos qe aplicando la regla de la cadena qe vimos en la sección -5 podemos escribir: qe tanto como son nciones de t; d dt d d. dt dt d onde es la rapide de variación de la variable dt rapideces de variación de las variables respectivamente. d d ; son las dt dt e igal orma si la nción es de tres variables : d dt d d d. dt dt dt d d d d onde es la rapide de variación de la variable ; ; son dt dt dt dt las rapideces de variación de las variables respectivamente. Ejemplo - Una armacia vende dos tipos de mltivitaminas la marca A la marca B. La estadística de ventas indica qe si la marca A se vende a dólares el rasco la marca B se vende a dólares el rasco la demanda de la marca A será: Q rascos por mes. Se estima qe dentro de t meses el precio del rasco de la marca A será :. 5t dólares por rasco. El precio del rasco de la marca B será:

56 .7 Aproimaciones erivada Implícita 7. t dolares por rasco. A qe raón cambiará la demanda de los rascos de la marca A con respecto al tiempo dentro de 5 meses?. Solción: dq dt Q d dt Q d dt d dt d dt.5.5t ; dentro de 5 meses d dt.5. 5 Q Q Q ; dentro de 5 meses.5; 9.. dq dt Lo qe qiere decir qe la demanda de rascos de la marca A disminirá aproimadamente en.8 rascos por mes dentro de 5 meses. erivación implícita: En el crso de cálclo elemental samos esta técnica cando no era posible epresar la variable dependiente en nción de la variable independiente; esto es epresar ; por ejemplo: ln e

57 8 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares En este ejercicio es diícil poder obtener como na nción de para poder aplicar las reglas de derivación conocidas. En este caso samos la técnica de derivación implícita considerando: d d ' aplicando las reglas comnes de derivación. d d ' ' ' ' e. espejando obtenemos: e. ' e e igal manera podemos derivar implícitamente considerando aplicando la regla de la cadena a esta última epresión: d d d d ; de aqí: d d 8-5 Epresión qe sirve para derivar implícitamente calqier nción de variable real como la anterior. Para el ejercicio anterior: ln e e e

58 .7 Aproimaciones erivada Implícita 9 e e d d qe es el mismo resltado anterior. e igal orma si tenemos qe representa na nción implícita de R R aplicando la regla de la cadena con respecto a obtenemos: sabiendo qe: ; obtenemos: 8-6 e igal orma aplicando la regla de la cadena con respecto a : sabiendo qe: ; obtenemos: 8-7 Fórmlas qe sirven para encontrar las derivadas parciales en orma implícita de na nción escalar : R R.

59 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares Ejemplo - Encontrar las derivadas parciales ; de la nción: Sen Solción: Cos Cos Cos Cos Cos Cos Cos. es la orma implícita de na nción escalar de R R con n análisis similar al anterior podemos obtener ss derivadas parciales: sabiendo qe: ; ; obtenemos: 8-8

60 .7 Aproimaciones erivada Implícita Con respecto a : sabiendo qe: ; ; obtenemos: 8-9 Con respecto a : sabiendo qe: ; ; obtenemos: 8- Ejemplo - Encontrar las derivadas parciales ; ; ; de la nción: tng e ln Solción: ln tng e

61 Capítlo ierenciación de Fnciones Escalares e sec e sec e sec e sec sec e e sec sec e e sec e e EJERCICIOS. Calclar: a b c sen sen d e

62 Ejercicios ierenciación de Fnciones Escalares. Sea la nción: 5 ; si ; si Es la nción contina en R? Jstiiqe s respesta.. adas las sigientes nciones de ser posible deinirlas de na manera adecada en el pnto dado para qe sean continas: a sen ; en b ; en. Calcle los ite indicados a b e e c d cos 5. Estdie la continidad de la nción ; ; 6. Sea a Mestre qe:

63 Ejercicios ierenciación de Fnciones Escalares b Se pede decir qe: 7. Sea e mostrar qe: d d 8. Sea a 6 6 Para qe valores de a eiste el? 9. Considere las nciones R R : tal qe: ; ; K Sen Sen eterminar si es posible el valor de K de tal orma qe sea contina en todo s dominio.. etermine si la sigiente nción es contina o no en cero. Si Si. Caliiqe la sigiente proposición como verdadera V o alsa F. jstiiqe s respesta. Analiar la continidad de la nción.. Analice la continidad de la nción

64 Ejercicios ierenciación de Fnciones Escalares 5 ; ; sen sen. ada la nción ; ; ; a Analiar s derivabilidad en el pnto. b Analiar s continidad en el pnto. c Indicar si es o no dierenciable en este pnto. 5. ada la nción ; ; sen a emostrar si es o no contina en. b emostrar si es o no derivable en. c Qe se pede decir de s dierenciabilidad en. 6. Encontrar ; para: a ln Cos b 7. Encentre todas las derivadas parciales de las sigientes nciones: a b ln e sen c 8. ada la nción: ; ;

65 6 Ejercicios ierenciación de Fnciones Escalares Usar la deinición de derivada parcial para hallar ;. 9. Calclar las derivadas parciales de considerando qe t g es contina. a dt t g b dt t sen c dt t g. emestre qe la nción dada satisace a la epresión dada: a φ b φ. ada w veriicar w w w.. ado. ; e b a Hallar los valores de las constantes a b tales qe:. emostrar qe ; si:.. Calclar si eiste la derivada mita >

66 Ejercicios ierenciación de Fnciones Escalares 7 5. Si a g a demostrar qe: a. 6. ada la sigiente nción: ; Si ; Si Hallar:?? ;?? 7. ada determine si esta satisace a la ecación dada: e cos sen 8. Si W ln sen hallar todas las derivadas parciales de segndo orden 9. ada la sigiente nción sen determine si satisace la ecación. Encontrar la derivada direccional de la nción: e cos en el pnto i j k. en la dirección. En qé dirección la derivada dirección de en igal a cero?. Hallar la derivada direccional de la nción el pnto en la dirección qe va desde éste al pnto es en

67 8 Ejercicios ierenciación de Fnciones Escalares e calclar la derivada.. Para el campo escalar direccional en el pnto en la dirección de. Si el Potencial Eléctrico en calqier pnto en R se deine: V eterminar: La raón de cambio de V en - en la dirección del vector i- j 6k. 5. ada la nción los pntos P-; Q- 8 encontrar la derivada direccional de en la dirección de P a Q en el pnto P. : ; Si Lim 6. ada: U R n R ; entonces eisten todas las derivadas direccionales de en. Verdadero o Falso jstiiqe s respesta. 7. ada: e P; Q encontrar la derivada direccional de en P en la dirección PQ. 8. La derivada direccional de en en la dirección i j es 5. Jstiiqe s respesta Encontrar la ecación del plano tangente a la spericie en el pnto -l encontrar la ecación de la recta tangente a esta spericie en el mismo pnto en la dirección del vector-5.. ada la nción en la dirección. e calclar la raón de cambio de. ada la nción: a Encontrar n vector perpendiclar a las spericies de nivel. b Encontrar n vector qe apnte al maor crecimiento de

68 Ejercicios ierenciación de Fnciones Escalares 9 c Calclar la ecación del plano tangente a la spericie de nivel cando en el pnto Pl-l. d Encontrar la derivada direccional máima en el pnto Pl-l.. Hallar n par de ecaciones cartesianas para la recta qe es tangente a las dos spericies: en el pnto. ; e. Un insecto se halla en n medio tóico el nivel de toicidad esta dado por T. El insecto está en -. En qe dirección deberá moverse para disminir lo más rápido la toicidad? e e. ada la nción a En qe dirección crece más rápidamente en el pnto b Encontrar la ecación del plano tangente a la spericie en este pnto. 5. Encontrar el plano tangente a la spericie 5 representarlo gráicamente. en el pnto 6. Encontrar la dirección en la cal la nción más rápidamente en el pnto. crece 7. Calclar el plano tangente a la spericie: en el pnto. 8. Hallar los pntos de la spericie en los cales s plano tangente es horiontal. 9. etermine el plano tangente la recta normal a la spericie en el pnto del primer octante donde el plano tangente es paralelo al plano. 5. Encentre n pnto de la spericie donde el t plano tangente es perpendiclar a la recta: l 8t 6t

69 Ejercicios ierenciación de Fnciones Escalares 5. ada la spericie las rectas: ;. eterminar si el plano tangente a la spericie ; contiene o no a estas rectas en el pnto. 5. Hallar las ecaciones paramétricas de la recta qe es tangente a las spericies: 6 ; en el pnto. 5. La elevación de na montaña sobre el nivel del mar en / e es: mt. El semieje positivo de las apnta hacia el este el de las hacia el norte. Un alpinista qe esta bicado eactamente arriba de. Si se meve hacia el noroeste; asciende o desciende? Y con qé rapide?. 5. emostrar qe el plano 6 9 es tangente a la spericie esérica Calcle el ánglo entre los gradientes de las nciones g en el pnto. 56. ada la nción los pntos P- Q-8 encontrar: a La raón de crecimiento máimo de en P. b El plano tangente a en Q. 57. Hallar la ecación del plano tangente a la spericie t qe es perpendiclar a la recta t t 58. Calclar la ecación del plano tangente a la spericie en el pnto. 59. Encentre los pntos del elipsoide 6 en los qe la recta normal qe pasa por ellos es perpendiclar al plano Las spericies: