PRÁCTICA # 3 PREPARACIÓN DE GRÁFICAS GRÁFICAS LINEALES

Transcripción

1 TEORIA PRÁCTICA # 3 PREPARACIÓN DE GRÁFICAS GRÁFICAS LINEALES Cuado se realiza experimetos usualmete se obtiee ua serie de datos, por ejemplo los mostrados e la tabla. Geeralmete, lo que se quiere es ecotrar la relació, o la ecuació que relacioa a X y Y; lo primero que se debe hacer es graficar. La figura siguiete muestra la grafica obteida e papel milimetrado, aquí se tomó ua escala 1:1 e X, es decir que cada cuadro vale 1 uidad y :1 e Y, es decir que cada cuadro vale uidades. Siempre se debe seleccioar ua escala múltiplo o divisor de 1, ó 5 (ormalizada), y que aproveche al mámo el tamaño de la hoja. Auque a veces uo puede elimiar mámo el 5% de los datos (criterio persoal) co el fi de utilizar ua escala mayor. X Y 0 1,80 1 4,78 8,3 3 9,7 4 14, ,00 6 3,09 7 1,50 8 9,63 9 6,5 10 6, , , , , , , , , ,6 0 60,94 Pág. 1 de 7

2 Al hacer el ejercicio de graficar, uo se da cueta que los datos está muy dispersos e este caso, a veces el valor e Y dismiuye co respecto al aterior. Nótese que el último puto se sale del área cuadriculada, uo lo aproma para o dismiuir la escala por u solo puto. E la gráfica se ota ua tedecia lieal de los putos, se procede etoces a trazar ua líea de tedecia sobre la gráfica, esta líea de tedecia debe trazarse de tal forma que pase lo más cerca posible a todos los putos, pero puede o o tocarlos, de hecho puede o tocar igú puto. La figura siguiete muestra la gráfica co su líea de tedecia trazada. Se procede ahora a ecotrar la pediete m y el itercepto b de la recta. La ecuació geeral de ua recta es: Y = m X + b. Los valores de m y b se puede ecotrar gráficamete o por el método de los míimos cuadrados. Pág. de 7

3 Gráficamete, el itercepto es el valor cuado se itercepta al eje Y, por eso el ombre itercepto, ótese e la ecuació geeral de la recta que sí x = 0 etoces Y = b. Para el calculo de la pediete, esta es la elevació sobre el avace, etoces se toma dos putos DE LA RECTA, NO DE LOS QUE SE GRAFICARON, y se calcula m como se explica e la siguiete figura. Y P (X, Y) ΔY Y m X Y Y1 X X1 P1 (X1, Y1) ΔX Nota: Las uidades de m so las uidades de Y sobre las uidades de X X La figura siguiete muestra el calculo de la pediete y el itercepto gráficamete. Es de aclarar que P1 y P se trazaro sobre la líea de tedecia, o hace parte de los putos origiales. Pág. 3 de 7

4 Se procede ahora al calculo de m y b por míimos cuadrados. Para esto se utiliza las siguietes ecuacioes (créame que la demostració esta fuera de los alcaces de este curso, al meos yo la vi hasta la Maestría, es u problema de optimizació dode la idea es miimizar la diferecia de las distacias al cuadrado e Y etre los putos y la líea de tedecia, se toma el cuadrado para teer ua referecia absoluta): x y yi x yi y i1 i1 i1 m b x x i1 i1 dode: = úmero de datos. = promedio de los datos e x. x y = promedio de los datos e y. Para el cálculo de m y b por míimos cuadrados, es útil armar la siguiete tabla: Reemplazado: No X Y X*Y X*X ó X^ 1 0 1, ,78 4, ,3 16, ,7 9, ,08 56, , ,09 138, ,50 150, ,63 37, ,5 36, ,15 61, ,83 37, ,8 441, ,9 458, ,75 710, ,69 65, ,10 657, ,34 81, ,60 107, ,6 1018, ,94 118,8 400 ΣX = 10 ΣY = 644,3 ΣX iy i = 8614,08 ΣX i = 870 x = 10 y = 30,68 Pág. 4 de 7

5 b x y m x i1 x i x x y i x y i i i1 i1 y i i Calculado los errores relativos e m y b (se cosidera teórico el ecotrado por míimos cuadrados: MT M P % Error m 100* 100* 3.9% M.8.8 T BT BP % Error b 100* 100* 19.35% B T Es iteresate graficar la recta obteida por los míimos cuadrados para apreciar gráficamete la diferecia co el método gráfico. La ecuació de la recta por míimos cuadrados es Y=.8X+.48, sí X=0 Y=.48, y sí X=1 Y=5.3; co estos dos putos se puede trazar la recta. La figura siguiete muestra la gráfica correspodiete: Pág. 5 de 7

6 Para el día de la práctica debe traer el preiforme desarrollado y papel milimetrado. El iforme se etrega el mismo día de la práctica. 0. EJEMPLO DEL QUIZ. El quiz será el mismo, pero co otros datos. Ua recta pasa por los putos (1,) y (4,4). Cuál es la ecuació de la recta, la pediete y el itercepto? 1. PREINFORME Si coozco el diámetro de u círculo, cómo calculo su perímetro? 1.. Si coozco dos putos de ua recta como ecuetro su ecuació: la pediete, el itercepto? 1.3. Si tego ua serie de datos cuyo comportamieto es lieal, cómo calculo la pediete y el itercepto de la recta que represeta el comportamieto de los datos utilizado el método de los míimos cuadrados? 1.4. A partir de la gráfica de ua recta cómo calculo la pediete y el itercepto. Para los siguietes datos: X Y Grafique Y vs X (Y e la vertical y X e la horizotal). Nota: asegúrese de tomar ua escala ormalizada (1, ó 5) e el papel milimetrado, es decir, que cada cuadro e el milimetrado valga 1,, 5, 10, 0, 50, 100,00, etc uidades; las escalas puede ser diferetes e X o e Y Al graficar se observa que la tedecia de los putos es ua líea recta. Sobre la gráfica, trace ua líea de tedecia Ecuetre m y b de la líea de tedecia Ecuetre m y b por el método de los míimos cuadrados y grafique la recta correspodiete a esos m y b sobre la gráfica de los putos Calcule los errores de m y b ecotrados por los míimos cuadrados y gráficamete:. MATERIALES.1. Círculos de diferetes diámetros, regla, piola. 3. PROCEDIMIENTO. Teóricos Míimos cuadrados Gráficamete Valores Valores % error Valores % error m b Para cada uo de los círculos dados mida el diámetro (Φ) y el perímetro (P), use las mismas uidades. 3.. Resuma las medidas tomadas e ua tabla y grafique P vs Φ e papel milimetrado (P e Y y Φ e X); seleccioe ua escala adecuada que aproveche el tamaño del papel La gráfica de los datos muestra ua tedecia lieal? Cuál es el valor teórico de m y b? 3.4. Trace maualmete ua líea de tedecia y ecuetre m y b gráficamete Ecuetre m y b utilizado míimos cuadrados, grafique la recta correspodiete. Pág. 6 de 7

7 3.6. Calcule los errores etre los valores ecotrados (3.4 y 3.5) y los teóricos (3.3). Resuma los resultados e ua tabla como lo hizo e el preiforme. 4. CONCLUSIONES. Pág. 7 de 7