CONTINUIDAD Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA. PALABRAS CLAVES Continuidad, conjunto totalmente discontinuo, densidad, enumerabilidad.

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1 CONTINUIDAD Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA Daiel Vásquez Uiversidad de Paamá, Facultad de Ciecias Naturales, Exactas Tecología, Departameto de Matemática. dvasquez65@ahoo.com RESUMEN El propósito de este trabajo es presetar u ejemplo de ua fució cotiua e ua parte desa de R discotiua e ua parte eumerable cuo grafo es totalmete discotiuo. Se demuestra que o se debe tratar el grafo de ua fució como u objeto cocreto para estudiar la cotiuidad. PALABRAS CLAVES Cotiuidad, cojuto totalmete discotiuo, desidad, eumerabilidad. ABSTRACT The aim of this work is to give a example of a cotiuous fuctio o a dese part of R, discotiuous o a eumerable part which its graph is totall discotiuous. It is demostrated that we should ot use the graph of a fuctio as a cocrete object to stud cotiuit. KEYWORDS Cotiuit, totall discotiuous set, desit, eumerabilit. INTRODUCCIÓN La idea de cotiuidad costitue uo de los coceptos capitales de la topología el aálisis. E las primeras etapas del desarrollo del Tecociecia, Vol. 4, N 7

2 cálculo las relacioes etre variables era casi siempre cotiuas. La cotiuidad quedaba reflejada e su gráfica; era ua curva que podía ser trazada si levatar el lápiz de la hoja. Co el desarrollo del cocepto de fució durate el siglo XIX e las obras de Fourier, Cauch, Bolzao otros cietíficos se iicia la cosideració de la cotiuidad como ua propiedad que puede o o teer ua fució. El descubrimieto de fucioes que e igú puto tiee derivada que represeta feómeos de difusió mostró de maera cotudete que el aálisis de la cotiuidad separada de otras propiedades ítimamete relacioadas como la derivada o era u mero afá de realizar abstraccioes, sio que era ecesidades reales plateadas al desarrollo del aálisis a través de sus viculacioes co las ciecias físicas; era ua ueva etapa e el estudio matemático del movimieto, que requería de u istrumeto más desarrollado, coceptualmete más claro. Surge de estas otras situacioes que o hemos mecioado aquí la ecesidad real de profudizar e los coceptos de lo cotiuo lo discotiuo. Auque el grafo es mu bue retrato del comportamieto de ua fució, la cotiuidad la discotiuidad está determiadas por la aturaleza de la correspodecia etre las variables idepedietes depedietes, es decir, la cotiuidad la discotiuidad so atributos del exo fucioal etre las variables que estamos sometiedo a estudio. Para profudizar e el aálisis de estos atributos debemos ver como está reflejados e la fució o solo e su grafo.. Prelimiares Defiició : Sea (E,d) u espacio métrico XE. X es coexo si o es la uió de dos cojutos o vacíos separados. Defiició : Sea (E,d) u espacio métrico, AE xa. El maor subcojuto coexo de A que cotiee a x se llama la compoete coexa de x e A. 7 Vásquez, D.

3 Proposició : Ua parte A de u espacio métrico es totalmete discotiua cuado toda compoete coexa e A se reduce a u puto. Para presetar el ejemplo que muestra ua fució cotiua e ua parte desa de R discotiua e ua parte eumerable hagamos ciertas covecioes. Dado u úmero real x ha dos posibilidades: () x es u úmero decimal fiito. () x es u úmero decimal ifiito. E el caso () adoptaremos la siguiete escritura: Si x d d d... d co d Z, d 9 para i d, i escribimos x d, dd... d d si x x Z. 9 Si x Z o sea x d co d Z escribiremos x d, E el caso () matedremos su escritura. E coclusió, todo úmero real tiee ua escritura ifiita e forma decimal, o sea, si x R, x x d, d... d dode d Z d 9 tal que d i k E el caso x= escribimos para todo i para todo N, existe k x=. Ahora, dados dos úmeros reales x,r x d, d d... Tecociecia, Vol. 4, N 73 s, s s...

4 (a) x si solo si d s ó tal que d s, d s,..., d s d s (b) x < < si solo si < - < -x Defiamos el siguiete cojuto: K x d, i i Propiedades del cojuto K (i) K es deso e R (ii) K es eumerable d d... R / co d 9 Demostració (i) Sea x d, dd... u úmero real. Cosideremos la siguiete sucesió: x d, d 999 x x d, d d 999 d, d d Es obvio que x es ua sucesió de elemetos de K d x x Co lo cual queda demostrado que todo úmero real es límite de ua sucesió de elemetos de K, de dode K es deso e R.. Ejemplo Cosideremos la fució f :RR x d, d d d,dd 74 Vásquez, D.

5 Propiedades de la fució f: () f es impar () f es creciete Demostració: Sea x d, dd... s, ss... úmeros reales tales que x <. a) si x = etoces por defiició f() = f(x) >. Por cosiguiete f(x) < f() b) Supogamos x >. Como x < se tiee que d s ó tal que d s, d s,..., d s d,d d, f ( ) s,s s d s Por lo tato < f(x) < f() c) Si x es obvio que f ( ). d) Si x < < etoces > - > -x lo que implica (por ser f impar) que f(-x) = - f(x) f(-) = -f(). Por lo tato f(x) < f(). E coclusió, f es estrictamete creciete. (3) f es cotiua e x, para todo xr-k Demostració: Sea x d, d d R K. Como f es estrictamete creciete para probar que f es cotiua e x solo ha que probar que: if f ( ) / sup f f ( ) / Como f es impar podemos supoer si pérdida de geeralidad que x Tecociecia, Vol. 4, N 75 x x

6 CASO. Supogamos que x > sea >. (a) Como x K, existe u úmero atural suficietemete grade co las siguietes propiedades: i) - < ii) d 9 luego, existe d d d d 999 x, de dode se obtiee f ( ). Co lo cual se coclue f ( ) if f ( ) / x if f ( ) / x (b) De la misma forma, como x K, x > existe u úmero atural suficietemete grade co las siguietes propiedades: i) - < d o sea d ii) luego existe d d d d 999 x, de dode se obtiee f ( ). Co lo cual se coclue f ( ) sup f ( ) / x sup f ( ) / x Por (a) (b) f es cotiua e x. 76 Vásquez, D.

7 CASO II: (c) Supogamos que x =. Utilizado el mismo argumeto de (a) obteemos que: f ( ) if f ( ) / (d) E la parte (b) la úica modificació que teemos que hacer es e la defiició de. E este caso tome x por lo tato = -. f() f() < - < f ( ) sup f ( ) / así que f es cotiua e x =. Hemos probado así que f es cotiua e cada puto de R-K. 4) f es discotiua e cada puto de K. CASO I: Sea xk, x >. Luego x d, dd d 999 (a) Utilizado el mismo argumeto empleado e (b) de la parte aterior obteemos que para cada xk: (b) Ahora Demostremos que sup f ( ) / x. d,dd d 99 f ( ) / x d,d d d 99 if E efecto, deotemos p d, dd d 99 Tecociecia, Vol. 4, N 77

8 Sea s s, s s R tal que s > x. Como Es obvio que f(s) > p, por lo tato f ( s) s,s s,,s, s f ( ) x p if /. Ahora, para cada m > defiamos el úmero Nota: si d = 9 tomamos m d, d dd d 99 m posicioes m d, dd d d d 99 así sucesivamete. Es obvio que Ahora: f m > m+ > x para todo m > d d d d 99 f m, d d d d m, m m pero d d,d d d p d, dd 99 de dode co lo cual if f p f p Por otra parte, como obteemos if f f ( ) / x f if f ( ) / x 78 Vásquez, D.

9 de dode f ( ) x p if / por cosiguiete, de () () obteemos de (a) (b) obteemos que f ( ) / x p p if. f ( )/ x if f ( ) x sup / Por lo tato, f es cotiua a izquierda de x pero discotiua a derecha, lo cual implica que f o es cotiua e xk, x >. CASO II. Sea xk, x <. Como f es impar obteemos que f es cotiua a derecha de x discotiua a izquierda. Así que f es discotiua e x. Luego cocluimos que K es el cojuto de discotiuidades de f. Teorema: sea f: RR ua fució moótoa. Etoces f es cotiua excepto e u cojuto eumerable (fiito o ifiito) de putos. Como uestra fució es estrictamete creciete K es el cojuto de discotiuidades de f, etoces K es eumerable. E resume: F es cotiua e R-K discotiua e K. K R-K so desos e R. f tiee u grafo totalmete discotiuo. REFERENCIAS Apostol, T. 96. Aálisis Matemático. Editorial Reverté S.A. España. Brehmer, S. 98. Aálisis Matemático I. Editorial Pueblo educació. Cuba. Tecociecia, Vol. 4, N 79

10 Bushaw, D. 97. Fudametos de Topología. Editorial Limusa- Wille S. A. México. De Burgos, J. 7. Cálculo Ifiitesimal de ua Variable. Editorial McGraw-Hill. México. Iribarre, I Topología de Espacios Métricos. Editorial Limusa. México. Jacques, S. 98. Represetatio Graphique et cotiuite. Fracia. Hasser, N. & J. Sulliva Aálisis Real. Editorial Trillas. México. Nataso, I. P Theor of Fuctios of a Real Variable. Frederick Ugar Publishig CO. New York. Rudi, W. 98. Pricipios de Aálisis Matemático. McGraw-Hill. México. Editorial White, A. J Itroducció al Aálisis Real. Edicioes de Promoció Cultural, S. A. España. Recibido septiembre de, aceptado mao de. 8 Vásquez, D.