CONDICIONES DE COMPACIDAD Y SEMICONTINUIDAD EN PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Fernando Luque Vásquez Departamento de Matemáticas, Universidad de Sonora

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1 Nivel Superior CONDICIONES DE COMPCIDD Y SEMICONTINUIDD EN PROBLEMS DE OPTIMIZCIÓN Ferado Luque Vásquez Departameto de Matemáticas Uiversidad de Soora Resume U problema importate cuado se utiliza algoritmos como programació diámica e iteració de valores e optimizació teoría de cotrol campos relacioados es el siguiete: Sea X Y espacios métricos Φ() ua multifució de X e Y v ua fució de valores reales co domiio la gráfica de Φ la cual se defie por Bajo qué codicioes la fució * Gr( Φ ) : = {( : X Φ( )}. v defiida e X por v ( ) : = if v( ) * Φ ( ) es ua fució semicotiua iferiormete e X? E esta eposició se preseta alguos resultados e los cuales bajo codicioes de compacidad semicotiuidad se resuelve el problema se preseta alguos ejemplos que muestra la ecesidad de impoer este tipo de codicioes. Itroducció Cuado se estudia los valores etremos (supremo e ífimo) de ua fució de valores reales defiida e u subcojuto de u espacio métrico puede ocurrir que éstos o sea úmeros reales o que o eista putos e el domiio de la fució dode se alcace tales valores etremos. Para garatizar que o se preseta alguo de esos casos es ecesario impoer codicioes tato a la fució como a su domiio. U resultado clásico e ese setido es el siguiete (ver [6] Theorem 4.6). Teorema. Sea X u espacio métrico X f : R. Si es compacto f es cotiua e etoces f es acotada eiste r s tal que f ( r) = if f ( ) f ( s) = sup f ( ). La importacia de la codició de compacidad e el teorema aterior puede verse e los siguietes ejemplos. Recordemos que por el Teorema de Heie Borel u cojuto R es compacto si solo si es cerrado acotado. Ejemplo. Si R es o acotado etoces: (a) La fució f ( ) : = es ua fució cotiua o acotada e. (b) La fució g( ) : = + es cotiua acotada e pero g( ) = sup g(. Ejemplo. Si Etoces: R o es cerrado sea u u puto límite de que o perteece a.

2 (a) La fució es cotiua o acotada e. f ( ) : = u (b) La fució g( ) : = e u es cotiua acotada e pero g( ) = sup g(. Semicotiuidad compacidad E alguos casos iteresa solamete uo de los valores etremos. Por ejemplo si f represeta ua fució de costo iteresa miimizar la fució mietras que si f represeta gaacia iteresa maimizar la fució. Como veremos e el siguiete resultado e estos casos es posible debilitar la codició de cotiuidad e el Teorema para lo cual itroducimos el siguiete cocepto. Defiició. Ua fució f : R se dice ser semicotiua iferiormete (s.c.i.) e si para cada úmero real α el cojuto { : f ( ) > α} es u cojuto abierto. Teorema 3. Sea f ua fució s.c.i. e u cojuto compacto etoces f es acotada iferiormete alcaza su míimo e. Demostració. Para =... sea : = { : f ( ) > }. Cada cojuto O O es abierto = O = Si ma{... m } por lo tato eiste ua subcubierta fiita { O... O m } de. N = etoces f ( ) > N es decir f es acotada iferiormete. Sea β : = if f ( ) sea F : = { : f ( ) β + }. Etoces F φ pues si supoemos que F = φ de las lees de De Morga se sigue que = = t c F puesto que los cojutos F c =... so abiertos es compacto t M = para algua M de uevo usado las lees de De Morga se obtiee que h M F = = φ = c F lo que

3 cotradice la defiició de β. Sea F etoces f ( β puesto que f ( β se = tiee que f ( = β. Defiició 4. Ua fució fució ( f ) es s.c.i. f : R se dice ser semicotiua superiormete (s.c.s.) si la Observació 5. (a) De la defiició aterior el Teorema 3 se sigue que ua fució s.c.s. e u cojuto compacto es acotada superiormete alcaza su máimo e u puto del cojuto. (b) Si f ( ) = I ( ) (la fució idicadora de ) etoces f es s.c.i. (s.c.s.) si solo si es u cojuto abierto (cerrado). Semicotiuidad de la fució del míimo U problema importate e optimizació teoría de cotrol campos relacioados es el siguiete: Sea X Y dos espacios métricos Φ ua multifució de X e Y es decir ua fució que a cada X asiga u cojuto Φ ( ) Y v ua fució de valores reales co domiio la gráfica de Φ la cual se defie por: Gr( Φ ) : = ( : X Φ( ). { } El problema es dar codicioes bajo las cuales la fució v * defiida e X por es ua fució s.c.i. v *( ) : = if Φ ( ) v( X Proposició 6. ([] Propositio 7.3) Si Y es compacto v es s.c.i. e X Y Φ ( ) Y etoces la fució v * es s.c.i. e X. Ejemplo 7. Sea X = R Y = [ 0 ) Φ( ) : = {} 0 [ + / ] si 0 si > 0 v ( : = + si si 0 >

4 Etoces si 0 v *( ) = 0 si > 0 por lo tato de la Observació 5(b) se sigue que v * o es s.c.i. e X auque Φ () es compacto para cada X v es cotiua e Gr (Φ). Este ejemplo muestra que las codicioes de semicotiuidad de v la compacidad de los cojutos Φ () o so suficietes para garatizar la semicotiuidad de v * por lo que es ecesario impoer codicioes adicioales e la multifució para lo cual defiimos los siguietes coceptos. Para cada subcojuto B de Y sea Φ { ( B ) : = X : Φ( ) B φ}. Defiició 8. Ua multifució Φ de X e Y se dice ser: (a) Semicotiua superiormete si Φ ( F) es cerrado e X para cada cojuto cerrado F Y. (b) Semicotiua iferiormete si Φ ( G) es abierto e X para cada cojuto abierto G Y. Proposició 9 ([7] Propositio 0.). Supógase que Φ es semicotiua superiormete Φ () es compacto e Y para cada X. Si v es semicotiua acotada iferiormete etoces v * es s.c.i. acotada iferiormete e X. E el Ejemplo 7 la multifució Φ() o es semicotiua superiormete pues si cosideramos el cojuto cerrado B = [ / ] e Y etoces el cojuto ( ) = ( 0] u cojuto cerrado e X. Φ B o es Defiició 0. Ua fució v : Gr(Φ) R se dice ser if-compacta e Gr (Φ) si para X r R el cojuto { Φ( ) : v( r} es compacto. Proposició ([] Propositio D.6(b) [3] Lemma 3.(e)). Supógase que Gr (Φ) es u subcojuto de Borel de X Y que v es semicotiua iferiormete e if-compacta e Gr (Φ). Si la multifució Φ * defiida por Φ *( ) : = { Φ( ) : v *( ) = v( } es s.c.i. etoces v * es s.c.i e X. Ejemplo [4]. Sea X = R Y = Φ( ) = [0 ) para todo X sea v defiida por: 4

5 + v ( : = ( + ) ( + ) si ( 0) o ( > 00 si > 0 si > 0 > <. ) Etoces la multifució Φ() es cotiua v es cotiua e if-compacta e Gr(Φ) = R [ 0 ) acotada iferiormete (o egativa) pero si 0 v *( ) = 0 si > 0 o es s.c.i. e X. E este ejemplo o es s.c.i. {0} si 0 Φ *( ) = {/ } si > 0 Bibliografía [] D.P. Bertsekas ad S.E. Shreve Stochastic optimal cotrol: The discrete time case cademic Press New York 978. [] O. Herádez-Lerma ad J.B. Lasserre Discrete-Time Markov Cotrol Processes: Basic Optimalit Criteria Spriger-Verlag New York 996. [3] O. Herádez-Lerma ad W.J. Ruggaldier Mootoe approimatios for cove stochastic cotrol problems J. Math. Sst. Estimatio ad Cotrol 4 (994) [4] F. Luque-Vásquez ad O. Herádez-Lerma coutereample o the semicotiuit of miima Proc. m. Math. Soc. 3 (995) [5] U. Rieder Measurable selectios theorems for optimizatio problems Mauscripta Math. 4 (978) 5-3. [6] W. Rudi Priciples of Mathematical alsis 3d ed. McGraw-Hill Kogakusha 976 [7] M. Shall Coditios for optimalit ad for the limit of -stage optimal polices to be optimal Z. Wahrsh. Verw. Gebiete 3 (975)