UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO ESCUELA NACIONAL PREPARATORIA 1. DATOS DE IDENTIFICACIÓN COLEGIO DE: MATEMÁTICAS. PROGRAMA DE ESTUDIOS DE LA ASIGNATURA DE: MATEMÁTICAS VI, ÁREA IV. CLAVE: 1620 AÑO ESCOLAR EN QUE SE IMPARTE: SEXTO. CATEGORÍA DE LA ASIGNATURA: OBLIGATORIA. CARÁCTER DE LA ASIGNATURA: TEÓRICA. No. de hors semnris No. de hors nules estimds TEÓRICAS PRÁCTICAS TOTAL CRÉDITOS

2 2. PRESENTACIÓN ) Ubicción de l mteri en el pln de estudios. El curso de Mtemátics VI (cálculo diferencil e integrl) se ubic en el mp curriculr de l Escuel Ncionl Preprtori en el sexto ño del bchillerto, es un mteri obligtori, del núcleo básico en el áre IV, con crácter teórico. b) Exposición de motivos y propósitos generles del curso. L enseñnz de ls Mtemátics en l Escuel Ncionl Preprtori present trvés de este progrm, cmbios significtivos en l estructur y secuenci de los contenidos y principlmente en su enfoque metodológico, pues se orient hci un prendizje bsdo en l solución de problems. Por medio de los contenidos propuestos, el lumno hor conocerá, comprenderá y plicrá los conceptos de: sucesión, serie, progresión ritmétic, progresión geométric, progresión rmónic, función (que refirmrá y profundizrá), límite, derivd, integrl, mtriz y determinnte, l plntemiento de problems de diverss disciplins. L plicción de est metodologí privilegi el trbjo en el ul y que el profesor identificrá con el grupo problems tipo, posibles de resolver con el prdigm en cuestión. Est metodologí prte del plntemiento de problems simples que irán umentndo su complejidd en el trtmiento de un mismo tem; pr cd problem el profesor estblecerá mecnismos de nálisis de los componentes conceptules y opertivos del problem en cuestión, fin de que el lumno, en lo posible, lo rcionlice, identifique sus elementos y ls relciones entre ellos y, finlmente encuentre sus posibiliddes de representción, de solución, y de interpretción, por lo que l tendenci metodológic de este progrm es constituirse en un etp intermedi del desrrollo curriculr de l enseñnz de ls Mtemátics en el bchillerto y de tránsito progresivo de un enseñnz linel y lgorítmic un enseñnz de construcción. Pr evlur los lcnces de este método de trbjo se hce necesrio que el profesor luego de plnter y nlizr problems y procedimientos de solución con el grupo, supervise, en clse, l prte opertiv de l ejecución y proporcione retrolimentción l lumno, sobre ls operciones correspondientes. Pr desrrollr este progrm de estudio se requiere de l formción permnente de los profesores; de un revisión periódic de los progrms y de l producción de mteriles de poyo en softwre o cudernos de trbjo que ejerciten, en el ul, l prte opertiv de los problems de cd tem y los progrms de sesorí. En mteri de seguimiento y evlución de los progrms, los profesores identificrán y evlurán de mner colegid y dignóstic quellos conocimientos técnicos e instrumentles que el lumno debió dquirir en el nivel nterior pr medir su eficci y pronosticr su rendimiento en el nivel ctul. Los resultdos de este estudio, permitirán nuevs estructurciones y dosificciones (diciones y supresiones temátics), que sen más funcionles pr los propósitos de cd curso y que cerquen, progresivmente, l enseñnz de ls Mtemátics un modelo bsdo en l construcción del conocimiento. Propósitos. Inicir los lumnos en el conocimiento, l comprensión y ls plicciones de ls progresiones, del cálculo diferencil e integrl, de ls mtrices y de los determinntes, pr que dquiern un cultur mtemátic y preprción más complet pr cceder l estudio de un licencitur del áre. Fomentr en los educndos l cpcidd de rzonmiento lógico, su espíritu crítico y el deseo de investigr pr dquirir nuevos conocimientos, lo que result necesrio pr plnter y resolver numerosos problems de plicción diverss disciplins y l vid cotidin. Desrrollr, en los lumnos un ctitud nlític y crític que lo dote de ls hbiliddes que demndn los estudios superiores en est áre.

3 Los cmbios propuestos contribuirán l desrrollo del perfil del lumno trvés de los siguientes spectos que deberán considerrse en l estrtegi de evlución de este progrm: 1. L cpcidd del lumno pr plicr lo que h prendido durnte el curso en el plntemiento y resolución de problems de ést y otrs disciplins. 2. El reconocimiento de los spectos mtemáticos que se relcionn entre sí, logrndo prendizjes significtivos. 3. L importnci de ls Mtemátics, su relción con otrs ciencis, con los vnces científicos y tecnológicos y con l sociedd. 4. L hbilidd del lumno pr l búsqued, orgnizción y plicción de l informción que obtiene en el nálisis de problems de l cotidinidd. 5. L cpcidd del lumno de plicr ls técnics de estudio de ls Mtemátics en otrs disciplins. 6. L cpcidd del lumno de plicr los conocimientos mtemáticos en ctividdes cotidins pr mejorr su clidd de vid y l de los demás trvés de desrrollr un ctitud seri y responsble. 7. L plicción de ls Mtemátics en el nálisis de problems mbientles que yuden l educndo l mejor comprensión de éstos, que lo conducirá ctur de un mner sn y productiv. 8. L cpcidd de trbjr en equipo en ctividdes dentro del ul, en l resolución de problems que impliquen el intercmbio y l discusión de ides. 9. Incrementr l prticipción de los lumnos en concursos de Mtemátics, que fomenten su superción cdémic. c) Crcterístics del curso o enfoque disciplinrio. L enseñnz de ls Mtemátics en l Escuel Ncionl Preprtori, en el nivel medio superior, está plned de tl mner que en los tres ños que incluyen este ciclo, el lumno dquier los conocimientos indispensbles pr desrrollr ls competencis mtemátics que le demnd el nivel superior. El eje conductor de los tres cursos, desde el punto de vist opertivo es el Álgebr y desde el punto de vist metodológico, l simulción y l proximción progresiv l sistemtizción y l modelción. Est enseñnz cubre ls tres etps que present su mp curriculr: en el curto ño, etp de Introducción, se imprte el curso de Mtemátics IV (álgebr); en el quinto ño, etp de Profundizción, se desrroll l signtur Mtemátics V (geometrí nlític). En el sexto ño, etp de Orientción, los cursos son: Mtemátics VI, áres I y II (cálculo diferencil e integrl pr ls áres Físico-Mtemátics e Ingenierís y Ciencis Biológics y de l Slud), Mtemátics VI, áre III (cálculo diferencil e integrl pr el áre de Ciencis Sociles) y Mtemátics VI, áre IV (cálculo diferencil e integrl pr el áre de Humniddes y Artes) cuyo contenido se detllrá más delnte. Cd signtur es l bse de l inmedit superior, los conectivos entre estos tres progrms son ls funciones. Además de los cursos de crácter obligtorio se imprten dos signturs con crácter opttivo: Tems Selectos de Mtemátics en el áre I y Estdístic y Probbilidd en ls áres I, II, III y IV. El curso Mtemátics VI, áre IV, está plnedo pr imprtirse con cinco hors de clse l semn. En este progrm se considern dos bloques sber: uno es el opercionl en el que se plicrá el Álgebr ls Humniddes y Artes (comprende ls uniddes I y V) y el otro grup ls funciones con sus generliddes (unidd II), l función derivd (unidd III) y l función integrl (unidd IV). En l primer unidd se bordn los conceptos de sucesión, serie, progresión ritmétic y progresión geométric, l segund unidd refirm y profundiz el concepto de función introduciendo función creciente y decreciente. L unidd tres incluye el concepto de límite con sus propieddes y teorems pr clculrlo, el concepto de derivd que hbrá de clculrse pr funciones lgebrics, exponenciles y logrítmics, explícits, implícits, función de función sí como derivds sucesivs de un función enftizndo el mnejo de ls tbls pr derivr. Se estblecen ls interpretciones geométric y físic. Se considern problems de máximos y mínimos plicdos diverss disciplins.

4 En l curt unidd se desrroll el concepto de función integrble con sus notciones, se estblecen los teorems que justificn ls propieddes de l integrl de un función sí como l relción entre un integrl definid y un indefinid. Se bordn los conceptos de función primitiv y de integrl indefinid con su notción, sus propieddes y se clcul l constnte de integrción. Se considern integrles: inmedits, por sustitución, por cmbio de vrible y por prtes. Se enftiz el uso de ls tbls pr integrr y resolver problems en términos de un integrl. En l quint unidd se definen: mtriz, mtriz trnspuest, cudrd, unitri e invers. Se oper con ells y se estblece el concepto de determinnte. Se bordn los métodos de Guss - Jordn y de Jcobi que hbrán de plicrse en l resolución de problems de l vid cotidin o referentes ls disciplins del áre correspondiente. Durnte el curso se pretende que el lumno, profundice cpcidd de rciocinio, hbilidd en el mnejo del lenguje lgebrico, destrez en ls operciones lgebrics y no lgebrics, hbilidd y destrez pr grficr un función y pr interpretr un gráfic sí como cpcidd pr determinr si l solución encontrd es l decud. Cbe señlr que estos tems serán trtdos con menor complejidd que en ls áres I, II y III y que ls plicciones estrán orientds tomndo en considerción ls crcterístics de est áre. Pr evlur se pedirá l lumno l identificción de ls prtes de un problem, l orgnizción de ests prtes, l relción entre ells, l representción, l solución y l posible plicción otros problems. L tendenci metodológic de estos progrms es constituirse en un etp intermedi del desrrollo curriculr entre un enseñnz linel y lgorítmic y el desrrollo del constructivismo. En el trbjo de seguimiento de los progrms se buscrá un incremento pultino de l interdisciplin, pr tl efecto los profesores relizrán seminrios con ls áres fines o de plicción de ls Mtemátics fin de identificr cmpos de plicción, bncos de problems y guís pr profesores y lumnos. Prlelmente el Colegio elborrá mteriles de poyo (softwre eductivo y mteriles escritos) y diseñrá progrms de sesorí, pr éstos fines se cuent con l infrestructur necesri, concretmente los lbortorios de cómputo, los de cretividd y los vnzdos de ciencis experimentles (LACE), instldos en cd uno de los nueve plnteles de l Escuel Ncionl Preprtori, en donde el profesor desrrollrá proyectos de investigción y trbjrá conjuntmente con los lumnos interesdos en profundizr en lgunos spectos de modelción experimentl. d) Principles relciones con mteris ntecedentes, prlels y consecuentes. Tiene como ntecedentes Mtemátics V, que proporcion l herrmient, el lenguje y ls operciones básics pr cceder este curso. Físic III, Químic III, Biologí IV y Educción pr l slud, que son un poyo didáctico l ofrecer problems de plicción. Son prlels Estdístic y probbilidd, que se complement en sus contenidos y plicciones. Derecho, Psicologí, Introducción l estudio de ls ciencis sociles y económics, Histori de ls Doctrins Filosófics e Histori de l cultur pr ls cules represent un herrmient de poyo.

5 e) Estructurción listd del progrm UNIDADES. I. PROGRESIONES. En est unidd se bord el concepto sucesión considerándose los csos prticulres de: Progresión Aritmétic con ls vribles que l definen y l sum de n de sus términos. Progresión Geométric, los elementos que l definen, l sum de n términos de ell. Se considerrá como cso especil l Progresión Geométric infinit y su sum. II. FUNCIÓN. En est unidd se revisrá y profundizrá el concepto de función. Se propone que se resuelvn problems de diverss disciplins. III. LA DERIVADA. En est unidd se estudirá el concepto de límite y se obtendrán derivds de funciones lgebrics, exponenciles y logrítmics. Se plnterán, resolverán e interpretrán problems de plicción en el áre de humniddes. IV. LA INTEGRAL. En est unidd se estudirá el concepto de integrl, se clculrán integrles y se resolverán problems de plicción. V. MATRICES Y DETERMINANTES. En est unidd se plnterán, resolverán e interpretrán en términos de mtrices o determinntes problems de plicción del áre de humniddes.

6 3 CONTENIDO DEL PROGRAMA ) Primer Unidd: Progresiones. b) Propósitos: Que el lumno reconozc, defin y clcule ls vribles que intervienen en un progresión ritmétic y geométric. Que resuelv problems de plicción que le sen significtivos. HORAS CONTENIDO DESCRIPCIÓN DEL CONTENIDO ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS 20 Sucesión: finit e infinit. Serie. En est unidd: Se definirá sucesión finit e infinit, distinguiéndose entre un y otr. Se estblecerá l diferenci entre sucesión y serie, considerándose l posibilidd de que l sucesión de sums prciles, de un sucesión, se un número finito. El profesor, prtir de determindos problems de l relidd y de otrs disciplins, discutirá con el grupo l utilidd del concepto de progresión en ls Mtemátics. El lumno en form individul o por equipos, bjo l sesorí de su profesor y en el ul: Ejemplificrá sucesiones finits e infinits que representen situciones de su entorno. Señlrá lgunos ejemplos de sucesiones. Escribirá los primeros seis términos de l sucesión cuyo término generl n = 4n + 3 Básic: 1, 2, 3, 4, 5. Complementri: 6, 7, 8, 9, 10. Progresión ritmétic.. Se definirá progresión ritmétic y ls vribles que en ell intervienen (primer término, último término, número de términos considerdos, diferenci común, el n-ésimo término y l sum de ellos). Resolverá problems, significtivos de su entorno, plntedos en términos de progresiones ritmétics como Un progrm de ejercicios recomiend hcer lgrtijs en cd sesión. Hg cinco l primer semn y luego umente tres por semn. Cuánts lgrtijs por sesión podrá relizr en l semn número veintisiete. b. Si usted continur este progrm durnte un ño, ejercitndo cutro veces por semn, cuánts lgrtijs hizo?

7 HORAS CONTENIDO DESCRIPCIÓN DEL CONTENIDO ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS Medis ritmétics Se interpolrn medis ritmétics en un progresión. Se sugiere que el profesor supervise l plicción correct de l prte opertiv de cd uno de los tems de l unidd en l solución de los problems plntedos. Progresión geométric. Medis geométrics. Progresión geométric infinit. Se definirá progresión geométric y ls vribles que en ell intervienen (primer término, último término, número de términos considerdos, rzón, el n-ésimo término y l sum de ellos). Se interpolrn medis geométrics en un progresión. Se bordrá el concepto de progresión geométric infinit destcndo su diferenci con l finit. Se clculrá su sum. El lumno resolverá problems de plicción plntedos en términos de un progresión geométric como Sus ncestros en l primer, segund y tercer generciones son pdres, buelos bisbuelos respectivmente. Cuántos ncestros tiene en l octv generción? b. Cuál es el número totl de ncestros que h tenido en ls primers quince generciones? Investigrá por qué un frcción deciml se obtiene de l sum de un progresión geométric infinit... Se poyrá en el softwre eductivo referente l unidd.

8 Bibliogrfí básic: 1. Fuller, Gordon et l., Álgebr universitri. México, CECSA, Swokowski, Erl, Álgebr universitri. México, CECSA, Zuckermn, Mrtin M., Álgebr y Trigonometrí simplificds. México, Limus, Dolcini, Mry P. et l., Álgebr Modern y Trigonometrí 2. México, Publicciones Culturl, Nichols, Eugene D., Álgebr con Trigonometrí 2. México, CECSA, Bibliogrfí complementri: 6. Lovgli, Florence M, et l., Álgebr, Hrl, México, Lehmnn, Chrles H., Álgebr, Limus, México, Swokowski, Erl W., Álgebr y Trigonometrí con Geometrí Anlític. México, Grupo Editoril Iberoméric, Sobel, Mx A. et l., Álgebr. México, Prentice Hll, Niven, Ivn et l., Introducción l Teorí de los números. México, Limus, 1985.

9 ) Segund Unidd: Función. b) Propósitos: Que el lumno conozc y mneje el concepto de función, que estblezc y represente gráficmente funciones que describn el comportmiento de fenómenos económicos, dministrtivos y finncieros lo que le permitirá vinculr situciones de l vid cotidin con el estudio de ls Mtemátics. HORAS CONTENIDO DESCRIPCIÓN DEL CONTENIDO ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS 15 Relciones y funciones. En est unidd: Se revisrán los conceptos de relción y función, nlític y gráficmente. Se distinguirán los csos en que ls relciones sen funciones. El profesor, prtir de determindos problems de l relidd y de otrs disciplins, discutirá con el grupo l utilidd del concepto de función en ls Mtemátics. El lumno en form individul o por equipos, bjo l sesorí de su profesor y en el ul: Modelrá problems de l vid cotidin. Por medio de ejercicios estblecerá l diferenci entre relción y función. Básic: 1, 2, 3, 4, 5. Complementri: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Dominio y rngo. Gráfic de y f ( x). Se hrá hincpié en cuál es el dominio y l imgen o rngo de un relción. Se revisrá l discusión de un ecución. Representrá gráficmente un relción. Anlític y gráficmente determinrá cuál es el dominio y el rngo de un función. Discutirá ecuciones del tipo y propuests por el profesor. f ( x)

10 HORAS CONTENIDO DESCRIPCIÓN DEL CONTENIDO ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS Función: Inyectiv, supryectiv, biyectiv, continu y discontinu. Se revisrán ls condiciones que debe cumplir un función pr ser: inyectiv, supryectiv y biyectiv. Continu y discontinu, se considerrán ejemplos con discontinuiddes puntules. Ejemplo función esclón. Se sugiere que el profesor supervise l plicción correct de l prte opertiv de cd uno de los tems de l unidd en l solución de los problems plntedos. Función creciente y decreciente. Se bordrá el concepto de función creciente y decreciente. El lumno en form individul o por equipos: Determinrá si un función es creciente o decreciente. Funciones: Algebrics y trscendentes Se clsificrán ls funciones en lgebrics y no lgebrics (trscendentes) y en implícits y explícits, identificándose l vrible dependiente e independiente. Se revisrán ls gráfics de funciones lgebrics y trscendentes, señlndo ls síntots si se tuviern. Como csos especiles se bordrán ls funciones: constnte, idéntic, linel, cudrátic, ríz cudrd, vlor bsoluto y ls que tienen más de un regl de correspondenci. Se repsrán ls gráfics de ls funciones exponencil y logrítmic. Elborrá un cudro sinóptico en el que se visulice cuál función es lgebric, cuál es no lgebric, cuál es l vrible independiente, cuál dependiente o función, cuáles son sus síntots, si existen. Grficrá funciones exponenciles con diferentes bses, mrcndo ls síntots. Resolverá ecuciones exponenciles. Grficrá función logrítmic de diferentes bses, mrcndo ls síntots.

11 HORAS CONTENIDO DESCRIPCIÓN DEL CONTENIDO ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS Álgebr de funciones. Se revisrán nlític y gráficmente ls operciones de dición, sustrcción, multiplicción, división y composición de funciones, determinándose el dominio y el rngo de l función resultnte sí como ls propieddes que cumple. Función invers. Se revisrá el concepto de función invers y sus propieddes. Se comprrán l gráfic de un función con l de su invers enftizndo que existe simetrí con l función idéntic. Grficrá funciones y sus inverss en un mismo plno crtesino. Se poyrá en softwre eductivo referente l unidd.

12 Bibliogrfí básic: 1. López, Antonio et l., Relciones y Geometrí Anlític. México, Alhmbr Mexicn S.A. de C.V., Bosch, Crlos et. l., Cálculo Diferencil e Integrl. México, Publicciones Culturl S.A., Rngel, Nfile Luz Mrí, Relciones y Funciones. México, Trills, Del Grnde, Duff, Introducción l Cálculo Diferencil e Integrl. México, Hrl,, Arizmendi, Hugo et l., Cálculo. México, CECSA, Bibliogrfí complementri: 6. Mett, Correen L., et l., Cálculo con plicciones, Limus, México, Swokowski, Erl W., Introducción l Cálculo con Geometrí Anlític.México, Iberoméric, Kpln, Wilfred, et l, Cálculo y Álgebr Linel, Limus, México, Johnson, Richrd E., et l, Cálculo con Geometrí Anlític, CECSA, México, Ayres, Frnk, Cálculo Diferencil e Integrl, Mc Grw Hill, México, Brnett, Rymond A., Precálculo, Limus, México, Vázquez, Roberto, et l, Introducción l Cálculo Diferencil e Integrl, UNAM, México, Zill, Dennis G., Cálculo con Geometrí Anlític., Grupo Editoril Iberoméric, México, 1989.

13 ) Tercer Unidd: L derivd. b) Propósitos: Que el lumno plicndo los conceptos de límite y derivd esté en posibilidd de comprender el concepto de rzón de cmbio y de tngente en un punto. Que resuelv problems de l vid cotidin pr interpretr su relidd. HORAS CONTENIDO DESCRIPCIÓN DEL CONTENIDO ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS 55 Límite: Concepto intuitivo. En est unidd: Se bordrá el concepto intuitivo de límite de un función. El profesor, prtir de determindos problems de l relidd y de otrs disciplins, discutirá con el grupo l utilidd y l importnci del concepto de derivd en ls Mtemátics. El lumno en form individul o por equipos, bjo l sesorí de su profesor y en el ul: A prtir de sucesiones que el profesor considere convenientes y decuds llegrá l definición de límite de un función. Básic: 1, 2, 3. Complementri: 4, 5, 6, 7, 8, 9. Definición forml. Teorems sobre límites. Se considerrán intervlos pr llegr l definición forml de límite. Se enuncirán los teorems y el corolrio sobre límites. Discutirá y explicrá con sus plbrs lo que entiende por límite de un función. Investigrá en qué spectos de l vid cotidin prece el concepto de límite. Clculrá el límite de funciones plicndo los teorems estblecidos pr tl fin.

14 HORAS CONTENIDO DESCRIPCIÓN DEL CONTENIDO ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS Obtención de límites. Aplicndo los teorems se obtendrán los límites de diferentes funciones considerándose los siguientes csos: l vrible independiente tiende un constnte, cero, más infinito y menos infinito.se clculrán: l m x n + x n n í x m m 1 b x + b x b 0 1 si n = m, n m, n m, n, m N lím ( 1 + ), lím ( log x ) 0 x 0 1 m Resolverá problems plntedos como límites. Se sugiere que el profesor supervise l plicción correct de l prte opertiv de cd uno de los tems de l unidd en l solución de los problems plntedos. Forms indeterminds. Continuidd en un punto y en un intervlo. Ls forms indeterminds: 0 0 e se trtrán con detlle y bundntes ejemplos. Se revisrá y profundizrá el concepto de función continu en un punto y en un intervlo, mencionándose el teorem del vlor intermedio. El lumno: Resolverá ejercicios pr determinr si un función es o no es continu, se sugiere grficr l función propuest. Resolverá ejercicios plicndo el teorem del vlor intermedio. Derivd: Incrementos. Se definirá el concepto de incremento de vrible y de función. Clculrá el incremento de un función pr un incremento ddo de l vrible.

15 HORAS CONTENIDO DESCRIPCIÓN DEL CONTENIDO ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS Definición de derivd y sus notciones. Se nlizrá: el comportmiento de un función continu que experiment un incremento, l rzón de incremento de función incremento de vrible y el límite de est rzón pr llegr l definición de derivd, hciendo énfsis en ls diferentes notciones. Se hrá notr que no tod función continu es derivble, ejemplificándose con funciones continus en un punto pero no derivbles en él. Considerrá pr un función continu y derivble un vlor inicil pr l vrible y clculrá el vlor inicil de l función, en un tbl notrá el comportmiento que sigue el incremento de l función l considerr incrementos cd vez más pequeños pr l vrible independiente, en seguid considerrá l rzón de incrementos y finlmente tomrá el límite de est rzón hciendo tender cero el incremento de l vrible independiente Obtención de derivds prtir de l definición. A prtir de l definición se obtendrán ls derivds de ls funciones: f ( x) c, f ( x) x, f ( x) mx b, f ( x) 1 x Obtendrá l derivd de funciones polinomiles sencills prtir de l definición. f ( x) Lx, f ( x) e x. n n 1 Se demostrrá: D x nx, n Z. x. Teorems de derivción Se enuncirán los teorems pr obtener l derivd de un función. Obtendrá l derivd de un función plicndo los teorems reltivos l tem. Derivd de un función de función. Tbls de fórmuls de derivción. Se bordrá el concepto de función de función y como ejemplo se demostrrá: n D u n 1 nu D u, n Q x x Se obtendrán derivds de funciones lgebrics y no lgebrics usndo ls tbls de fórmuls pr derivr. Encontrrá l derivd de un función de función y plicrá l informción recibid en el plntemiento, solución e interpretción de problems prácticos. Usrá ls tbls pr derivr culquier función de función.

16 HORAS CONTENIDO DESCRIPCIÓN DEL CONTENIDO ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS Derivd de funciones implícits. Se derivrán funciones implícits; lgebrics y no lgebrics. Obtendrá l derivd de funciones implícits. Derivds sucesivs de un función. Se definirán ls derivds sucesivs de un función y se estblecerá su notción. Ejercitrá derivds sucesivs de un función. Interpretción geométric y físic. Ecuciones de l tngente y de l norml un curv. Cálculo de velocidd y celerción de un móvil. Se drá l interpretción geométric y físic de un derivd. Se definirán: tngente y norml un curv en uno de sus puntos. Se definirán velocidd y celerción instntáne ejemplificndo con problems cotidinos. Construirá gráfics correspondientes l tipo de funciones que indic el contenido. Resolverá problems que involucren los conceptos descritos en el contenido. Resolverá ejercicios pr determinr ls ecuciones de l tngente y l norml un curv en un punto de ell. (Constrúynse curv, tngente y norml).. Plnterá, resolverá e interpretrá problems de velocidd y celerción.

17 HORAS CONTENIDO DESCRIPCIÓN DEL CONTENIDO ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS Máximos y mínimos reltivos de un función. Absolutos en un intervlo cerrdo. Puntos de inflexión y de concvidd en un curv. Se bordrá el concepto de función creciente o decreciente prtir del signo de su derivd. Se drán los criterios pr determinr los vlores máximo y mínimo reltivos de un función, y máximos y mínimos bsolutos en un intervlo cerrdo, si ellos existen. Se clculrán ls coordends de los puntos correspondientes en l curv que represent l función. Se interpretrán físic o geométricmente de cuerdo l problem. Se estblecerán ls condiciones pr que exist uno o más puntos de inflexión y ls que debe cumplir un curv pr ser cóncv hci rrib o hci bjo. Se determinrán los intervlos correspondientes. Resolverá problems sobre máximos y mínimos. Anlíticmente se clculrán los puntos de inflexión nlizndo l concvidd de l curv. Se trzrá l gráfic correspondiente. Problems de l vid cotidin. Se enftizrá l importnci de l plicción de los puntos máximos, mínimos y de inflexión en ls ciencis y en ls rtes. Buscrá y resolverá problems de l vid cotidin que se resuelvn plicndo máximos y mínimos. Resolverá los que de este tem le proporcione el profesor. Se poyrá en el softwre eductivo referente l unidd.

18 Bibliogrfí básic: 1. Bosch, Crlos et l., Cálculo Diferencil e Integrl. México, Publicciones Culturl S.A., Vázquez, Roberto et l., Introducción l Cálculo Diferencil e Integrl. México, UNAM, Del Grnde, Duff, Introducción l Cálculo Diferencil e Integrl. México, Hrl, Bibliogrfí complementri: 4. Swokowski, Erl W., Introducción l Cálculo con Geometrí Anlític.México, Iberoméric, Zill, Dennis G., Cálculo con Geometrí Anlític. México, Grupo Editoril Iberoméric, Kpln, Wilfred et l., Cálculo y Álgebr Linel. México, Limus, Ayres, Frnk, Cálculo Diferencil e Integrl. México, Mc Grw Hill, Brnett, Rymond A., Precálculo. México, Limus, Arizmendi, Hugo et l., Cálculo. México, CECSA, 1990.

19 ) Curt Unidd: L integrl. b) Propósitos: Que comprend el concepto de integrl y lo plique correctmente en l solución de problems tnto de Mtemátics como de otrs disciplins, sí vinculrá ls Mtemátics con otrs ciencis y l vid cotidin. HORAS CONTENIDO DESCRIPCIÓN DEL CONTENIDO ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS 40 Función integrble en un intervlo cerrdo. Notción del límite nterior. En est unidd: Se definirá: Se f :, b, es decir, f ( x) >0 x, b Se dice que Error! Mrcdor no definido. es integrble, si existen los límites de ls áres de los rectángulos interiores y exteriores l áre bjo l curv, cundo l bse de ellos tiende cero y estos límites son igules. Est definición se interpretrá gráficmente. A prtir de l definición se llegrá l b símbolo f ( x) dx. Se considerrán suficientes ejemplos. El profesor, prtir de determindos problems de l relidd y de otrs disciplins, discutirá con el grupo l utilidd y l importnci del concepto de integrl en ls Mtemátics. El lumno en form individul o por equipos, bjo l sesorí de su profesor y en el ul: Desrrollrá ejercicios en donde plique l definición de función integrble. Apoyándose en l gráfic mostrrá que un función es integrble. Clculrá áres limitds por un curv. Desrrollrá ejercicios en los que plique el simbolismo descrito en el contenido. Básic: 1, 2, 3. Complementri: 4, 5, 6, 7, 8, 9.

20 HORAS CONTENIDO DESCRIPCIÓN DEL CONTENIDO ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS Definición de función negtiv integrble. Se definirá que si: es decir, f :, b, f ( x) 0 x, b, - Error! Mrcdor no definido. es integrble, entonces Resolverá ejercicios plicndo l definición descrit en el contenido b b f ( x) dx = f ( x) dx

21 Teorems que justificn ls propieddes de l integrl de un función. Se estblecerán, sin demostrr, los teorems que definen ls propieddes de l integrl de un función: Tod función monóton definid en un intervlo es integrble en ese intervlo. Tod función continu en un intervlo es integrble en ese intervlo. Tod función cotd, monóton por prtes en un intervlo, es integrble en ese intervlo. Si Error! Mrcdor no definido. y g son dos funciones integrbles en el intervlo cerrdo, b y si Error! Mrcdor no definido. es un número rel culquier, entonces f + g y Error! Mrcdor no definido. Error! Mrcdor no definido. son funciones integrbles y b b b ( f ( x) + g( x)) dx = f ( x) dx + g( x) dx b b f ( x) dx = f ( x) dx Si Error! Mrcdor no definido. es integrble en el intervlo, b y Error! Mrcdor no definido., Error! Mrcdor no definido. y Error! Mrcdor no definido. son tres números reles que pertenecen ese intervlo, Error! Mrcdor no definido. < Error! Mrcdor no definido. < Error! Mrcdor no definido., se tiene: f ( x) dx = f ( x) dx + f ( x) dx Se sugiere que el profesor supervise l plicción correct de l prte opertiv de cd uno de los tems de l unidd en l solución de los problems plntedos.

22 HORAS CONTENIDO DESCRIPCIÓN DEL CONTENIDO ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS b Si y Error! Mrcdor no definido. es un función integrble en el intervlo, b, entonces: b 1) f ( x) dx = - f ( x) d ( x) 2) f ( x) dx = 0 b Si Error! Mrcdor no definido. y g son dos funciones integrbles en el intervlo, b tles que f ( x) g( x) x [, b ] entonces b b f ( x) dx g ( x) dx Teorem del vlor medio: Se Error! Mrcdor no definido. un función continu en el intervlo, b, entonces existe l menos un número cen el intervlo (, b ) tl que: 1 b f ( c) f ( x) dx b

23 HORAS CONTENIDO DESCRIPCIÓN DEL CONTENIDO ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS Teorem fundmentl del Cálculo: Pr tod función f continu en el intervlo, b, l función F definid en el intervlo, b por Relción entre un integrl definid y un indefinid. Función primitiv. Integrl indefinid y su notción. x F( x) = f ( t) dt es derivble en el intervlo [, b] y F ( x) f ( x). Definición: Si Error! Mrcdor no definido. es un función definid en un intervlo I, se dice que F es un primitiv de Error! Mrcdor no definido. en I, si y sólo si F es derivble y tiene por derivd l función Error! Mrcdor no definido.. F función primitiv de Error! Mrcdor no definido. en Error! Mrcdor no definido. es equivlente : F'( x) = f ( x) x. Esto es: f ( x) dx F( x) C si y sólo si F ( x) f ( x) Se estblecerá el concepto de integrl indefinid y su notción. Trzrá l gráfic de un función definid y cotd y l comprrá con l gráfic de un definid no cotd. Obtendrá l función primitiv de funciones lgebrics y no lgebrics sencills. Obtendrá integrles indefinids de funciones lgebrics y trscendentes.

24 HORAS CONTENIDO DESCRIPCIÓN DEL CONTENIDO ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS Propieddes de l integrl indefinid y cálculo de l constnte de integrción. Se revisrán ls propieddes de l integrl indefinid y se clculrá l constnte de integrción bjo condiciones iniciles. Clculrá l constnte de integrción prtir de cierts condiciones. Resolverá ejercicios en los que clcule l constnte de integrción. Integrles inmedits. Tbls de fórmuls de integrción. Métodos de integrción. Aplicciones. Se obtendrán integrles indefinids inmedits, de funciones lgebrics y no lgebrics. Se usrán ls tbls con ls fórmuls pr integrr un vez que l integrl propuest se hy reducido. Se bordrán y plicrán los métodos de integrción:, por sustitución, por cmbio de vrible y por prtes. Se enftizrá en ls plicciones del Cálculo integrl l economí, dministrción y finnzs, ls rtes y diverss disciplins. Clculrá integrles inmedits de funciones lgebrics y no lgebrics. Resolviendo ejercicios se diestrrá en el uso de ls tbls de integrles. Obtendrá integrles plicndo los métodos de integrción por prtes, por sustitución y por cmbio de vrible. Buscrá problems significtivos de su entorno que se resuelvn prtir de integrles. Se poyrá en el softwre eductivo referente l unidd.

25 Bibliogrfí básic: 1. Bosch, Crlos et l., Cálculo Diferencil e Integrl. México, Publicciones Culturl S.A., Vázquez, Roberto et l., Introducción l Cálculo Diferencil e Integrl. México, UNAM, Del Grnde, Duff, Introducción l Cálculo Diferencil e Integrl. México, Hrl, Bibliogrfí complementri: 4. Swokowski, Erl W., Introducción l Cálculo con Geometrí Anlític.México, Iberoméric, Zill, Dennis G., Cálculo con Geometrí Anlític. México, Grupo Editoril Iberoméric, Kpln, Wilfred et l., Cálculo y Álgebr Linel. México, Limus, Ayres, Frnk, Cálculo Diferencil e Integrl. México, Mc Grw Hill, Brnett, Rymond A., Precálculo. México, Limus, Arizmendi, Hugo et l., Cálculo. México, CECSA, 1990.

26 ) Quint Unidd: Mtrices y determinntes b) Propósitos: Que el lumno plique los conceptos mtriz y determinnte pr resolver problems de l vid cotidin. HORAS CONTENIDO DESCRIPCIÓN DEL CONTENIDO ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS 20 Definición de mtriz. En est unidd: Se definirá el concepto de mtriz, su orden, dimensión y rngo. El profesor, prtir de determindos problems de l relidd y de otrs disciplins, discutirá con el grupo l utilidd y l importnci de los conceptos de mtrices y determinntes en ls Mtemátics. El lumno en form individul o por equipos, bjo l sesorí de su profesor y en el ul: Básic: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Complementri: 7, 8, 9, 10, 11, 12. Mtriz: trnspuest, cudrd, unitri e invers. Operciones con mtrices. Se definirá mtriz: Trnspuest, cudrd, unitri e invers. Se estblecerán ls condiciones pr que dos mtrices sen igules. Se definirán dición de dos mtrices y se estblecerán sus propieddes. Se bordrá l multiplicción esclr y l multiplicción de mtrices, tmbién l mtriz invers multiplictiv. Se operrá con ells, estbleciendo sus propieddes. Drá ejemplos de cd un de ests mtrices. Operrá con mtrices. Obtendrá l sum de dos mtrices. Clculrá l mtriz que se obtiene l multiplicr un dd por un esclr. Determinrá l mtriz invers multiplictiv.

27 HORAS CONTENIDO DESCRIPCIÓN DEL CONTENIDO ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS Determinntes. Se definirá determinnte socido un mtriz y se clculrá su vlor numérico por menores y plicndo l regl de Srrus. Pr resolver un sistem de n ecuciones lineles con n incógnits, se plicrá l regl de Crmer. Plnterá y resolverá problems en términos de un determinnte. Métodos de Guss-Jordn y de Jcobi. Se bordrán los métodos de Guss-Jordn y de Jcobi y se operrá con ellos. Resolverá problems plicndo los métodos descritos en el contenido. Se poyrá en el softwre eductivo referente l unidd.

28 Bibliogrfí básic: 1. Fuller, Gordon et l, Álgebr universitri. México, CECSA, Sobel, Mx A., Álgebr México, Prentice Hll, Lehmnn, Chrles H., Álgebr. México, Limus, Swokowsky, Erl, Álgebr universitri. México, CECSA, Briton, Jck R., et l, Álgebr y Geometrí contemporáne. México, Hrl, Lovgli, Florence M. et l, México, Álgebr Hrl, Bibliogrfí complementri: 7. Allendoerfer, Crl B. et l, Fundmentos de Álgebr universitri. México, Mc. Grw Hill, Brnett, Rymond A., Álgebr. México, Mc. Grw Hill, Crico, Chrles C., Álgebr. México, Mc Grw CECSA, Johnson, Murphy et l, Álgebr plicd. México, Trills, Rees, Pul K, Álgebr. México, Reverté mexicn, S. A., Ayres, Frnk Jr., Mtemátics Finnciers. México, Mc. Grw Hill, 1994.

29 Básic: 4. GENERAL 1. Arizmendi, Hugo et l., Cálculo. México, CECSA, Bosch, Crlos et. l., Cálculo Diferencil e Integrl. México, Publicciones Culturl S.A., Briton, Jck R., et l, Álgebr y Geometrí contemporáne. México, Hrl, Del Grnde, Duff, Introducción l Cálculo Diferencil e Integrl. México, Hrl, Dolcini, Mry P. et l., Álgebr Modern y Trigonometrí 2. México, Publicciones Culturl, Fuller, Gordon et l., Álgebr universitri. México, CECSA, Lehmnn, Chrles H., Álgebr. México, Limus, López, Antonio et l., Relciones y Geometrí Anlític. México, Alhmbr Mexicn S.A. de C.V., Lovgli, Florence M. et l., Álgebr México, Hrl, Nichols, Eugene D., Álgebr con Trigonometrí 2. México, CECSA, Rngel, Nfile Luz Mrí, Relciones y Funciones. México, Trills, Sobel, Mx A. et l., Álgebr. México, Prentice Hll, Swokowski, Erl W., Álgebr universitri. México, CECSA, Vázquez, Roberto et l., Introducción l Cálculo Diferencil e Integrl. México, UNAM, Zuckermn, Mrtin M., Álgebr y Trigonometrí simplificds. México, Limus, Complementri: 1. Allendoerfer, Crl B. et l, Fundmentos de Álgebr universitri. México, Mc. Grw Hill, Ayres, Frnk Jr., Mtemátics Finnciers. México, Mc. Grw Hill, Ayres, Frnk, Cálculo Diferencil e Integrl. México, Mc Grw Hill, Brnett, Rymond A., Álgebr. México, Mc. Grw Hill, Brnett, Rymond A., Precálculo. México, Limus, Cricó, Chrles C., Álgebr. México, Mc Grw CECSA, Johnson, Murphy et l, Álgebr plicd. México, Trills, Johnson, Richr E., et l., Cálculo con Geometrí Anlític, México, CECSA, Kpln, Wilfred et l., Cálculo y Álgebr Linel. México, Limus, Mett, Correen L., et l., Cálculo con plicciones. México, Limus, Niven, Ivn et l. Introducción l Teorí de los números. México, Limus, Rees, Pul K, Álgebr. México, Reverté mexicn, S. A., Swokowski, Erl W., Álgebr y Trigonométri con Geometrí Anlític. México, Grupo Editoril Iberoméric, Swokowski, Erl W., Introducción l Cálculo con Geometrí Anlític. México, Iberoméric, Zill, Dennis G., Cálculo con Geometrí Anlític. México, Grupo Editoril Iberoméric, 1989.

30 5. PROPUESTA GENERAL DE ACREDITACIÓN ) Actividdes o fctores. El lumno demostrrá su cpcidd de nálisis, de síntesis e interpretción lógic de l informción dquirid trvés de l plicción de los conocimientos dquiridos en el curso en el plntemiento y resolución de problems concretos; se propone que ests ctividdes sen evluds individulmente y por equipo durnte el desrrollo de cd unidd. Propuest de ctividdes o fctores evlur: Exámenes. Investigciones bibliográfics y de plicción l signtur correspondiente. Ejercicios. Tres. b) Crácter de l ctividd. Individul: exámenes, investigciones y tres. En equipo: ejercicios e investigciones. c) Periodicidd. Exámenes cd vez que el profesor lo considere conveniente en función del volumen de informción que se mneje y de cuerdo con los periodos que cuerde el H. Consejo Técnico de ENP. Investigciones permnentes durnte l unidd. Ejercicios permnentes durnte l unidd. Tres permnentes durnte el curso. d) Porcentje sobre l clificción sugerido. Exámenes 75 % Investigción 15 % Ejercicios 5 % Tres 5 %

31 6. PERFIL DEL ALUMNO EGRESADO DE LA ASIGNATURA L signtur de Mtemátics VI, áres III y IV, contribuye l construcción del perfil generl del egresdo de l siguiente mner; el lumno: Pose conocimientos, lengujes y métodos y, técnics básics inherentes ls Mtemátics, sí como regls básics de investigción. Desrrolle su cpcidd de intercción y diálogo por medio del trbjo en equipo y de ls discusiones gruples con sus compñeros y con el profesor. Identifique sus intereses profesionles y evlúe lterntivs hci utodeterminción. 7. PERFIL DEL DOCENTE Crcterístics profesionles y cdémics que deben reunir los profesores de l signtur El curso deberá ser imprtido por profesores que sen tituldos en l licencitur de ls siguientes crrers: mtemático, cturio, físico, ingeniero civil, ingeniero químico, ingeniero mecánico electricist, ingeniero electrónico e ingeniero en computción. Los profesores deben cumplir con los requisitos que mrc el EPA y lo estblecido en el Sistem de Desrrollo del Personl Acdémico de l Escuel Ncionl Preprtori (SIDEPA) sí como prticipr permnentemente en los progrms de formción y ctulizción de l disciplin, que l Escuel Ncionl Preprtori pone su disposición.