EXAMEN DE FISICA I (I.I. e I.Q.) ,

Transcripción

1 EXMEN DE FISIC I (I.I. e I.Q.) 8--3, CUESTIONES 1) prtir del concepto de prtícul lire y del principio de conservción del momento linel pr un sistem de dos prtículs rzonr y deducir ls tres leyes de Newton. Ls leyes de Newton son: 1º Ley: Todo cuerpo continu en sus estdo inicil de reposo o de movimiento con velocidd uniforme menos que sore él ctúe un fuerz extern net o no equilird. Esto signific que si tenemos un prtícul lire (no sujet ningun intercción) ést se mueve con velocidd constnte: Ley de inerci. º Ley: L celerción de un ojeto es inversmente proporcionl su ms y directmente proporcionl l fuerz net que ctú sore el: F/m F m Pr que se produzc un vrición en l velocidd, es necesrio plicr un fuerz: V F. L ms represent l inerci del cuerpo cmir su estdo de movimiento. 3º Ley: Ls fuerzs ctún siempre por pres. Si un ojeto ejerce un fuerz sore un ojeto B, este ejerce sore el un fuerz igul pero del sentido contrrio. Est ley tmién se denomin ley de cción y rección. - Si tenemos un prtícul lire, su momento linel se conserv: p cte. mv cte. v cte (1º ley) - Si tenemos dos prtículs islds su momento linel totl tmién se conserv (p1 + p cte). Si suponemos que ests dos prtículs interccionn durnte un incremento de tiempo infinitesiml dt, su momento totl ntes y despues de l intercción v ser el mismo: p 1 + p p 1 + p p 1 - p 1 - (p - p ) P 1 dp 1 - dp Dividiendo por dt: dp 1 /dt - dp /dt Definiendo F dp/dt m dv/dt m (º ley) se lleg : F 1 - F (3º ley) P 1 P t P t + dt

2 ) Un Un lámin de metl tiene l form representd en l figur. Determinr ls coordends de su C.M. en función de y. y y x x Recordndo l definición de centro de mss de un superficie homogéne x CM x d d e y CM y d con d dx dy. integrmos primero dy entre y /x y posteriormente dx entre y d y dy y /x dx xd x dxdy xdx x dy xdx x y [ ] xdx x dx x [ ] ( ) yd y dxdy dx x ydy dx x y [ ] 4 dx x 4 dx 4 x [ 1 ] x d dxdy dx x dy dx x y [ ] dx Sustituyendo estos vlores en ls ecuciones iniciles: x Lnx [ ] Ln Ln ( ) Ln( ) x CM x d d ( ) Ln( ) ( ) Ln( ) y CM y d d Ln( ) - Ln( ) (-) Ln( )

3 3) Un cilindro homogéneo y uniforme de densidd reltiv ρ Cr.8 flot verticlmente en un líquido de densidd reltiv ρ Lr 1.. ) Qué frcción de l longitud L del cilindro som por encim de l superficie del líquido? Qué principio plicmos? Si situmos el recipiente en un cohete que celer verticlmente hci rri con un celerción g ) Cuál será hor l frcción que som? L ) plicmos el principio de rquímedes: todo cuerpo sumergido experiment un fuerz scensoril igul l peso del fluido deslojdo. Si suponemos que el cilindro tiene un sección y teniendo en cuent que ρ C ρ Cr ρ y ρ L ρ Lr ρ, l estr el cilindro en equilirio, L P E Lx F P + E E -P E P m L g m C g V L ρ Lr ρ g V C ρ Cr ρ g (L-Lx) ρ Lr ρ g L ρ Cr ρ g (L-Lx) ρ Lr L ρ Cr L (ρ Lr - ρ Cr ) Lx ρ Lr Lx L LR - CR LR Por lo que som 1/3 de l longitud totl. ) en el cso de estr todo el conjunto celerndo, se plic el mismo principio, con l únic diferenci de que hor el cilindro est celerndo y de que el empuje crece, el empuje es el peso prente del fluido deslojdo: E m (g + ). Esto se puede demostrr fácilmente. Si nos fijmos en un elemento de imginrio de volumen dentro del mismo recipiente, ese elemento est celerndo, y ls únics fuerzs que ctún sore él son el peso y el empuje relizdo por el resto del fluido el empuje es myor que el peso E P L m L E P L + m L E m L g + m L E m L (g + ) plicndo hor l ª ley de Newton l cilindro: P L E E P C m C m L (g + ) - m C g m C m L (g + ) m C (g + ) Est ecución es l mism que en el cso sin celerción sustituyendo g por g+. Como este termino prece en mos ldos de l ecución se elimin, y l solución es l mism que en el cso nterior, es decir que som un frcción Lx L 1 3

4 4) Tenemos un gs de densidd ρ encerrdo en un recipiente un presión P. Si relizmos un orificio de sección en su prte inferior determinr: ) l velocidd de slid del gs por el orificio. Qué ecución se utiliz y que proximciones tenemos que relizr ) L fuerz propulsor generd por el gs l slir por el orificio. P ) plicndo l ecución de Bernoulli entre un punto culquier del interior del recipiente (1)y el orificio de slid () P 1 + ρgh 1 + (1/) ρv 1 P + ρgh + (1/) ρv L primer proximción consiste en suponer l sección del recipiente mucho myor que l sección del orificio de slid v 1, demás semos que P 1 P y P Ptm P + ρgh 1 Ptm + ρgh + (1/) ρv v (/ρ) [(P Ptm)+ ρg(h 1 h )] Como en un gs l densidd es muy pequeñ, el incremento de presión deido l ltur es muy pequeño por lo que.l siguiente proximción consiste en desprecir el termino ρg(h 1 h )] frente l de diferenci de presiones (P - Ptm) v ) plicndo l ª ley de Newton F dp/dt un sistem de ms vrile que expuls prtículs que psn de tener un velocidd inicil un velocidd finl v: F dp/dt (dm)v/dt con dm ρ dvolumen ρ dl, siendo dl el espcio que recorren ls prtículs en un dt. Sustituyendo en l ecución de l fuerz: F dm v dt dl v dt v dl dt vv v Finlmente tommos como v el vlor de l velocidd de slid v determindo nteriormente (P - Ptm) F F (P Ptm)

5 PROBLEMS 1) Un prtícul de ms m, que se puede mover lo lrgo del eje x, está sometid un fuerz que deriv de l función energí potencil : Ep(x) x Bx 3 donde y B son constntes positivs Encontrr: ) Posiciones de equilirio, indicndo su crácter estle o inestle. ) L expresión de l fuerz. c) L frecuenci de pequeñs oscilciones (x ) lrededor de l posición de equilirio estle. d) Energí que deemos de comunicr l prtícul pr que escpe de l posición de equilirio estle. e) Si l prtícul oscil con pequeñ mplitud y demás está sometid un fuerz de mortigumiento F - v, donde v es l velocidd de l prtícul Cuál es l nuev frecuenci de oscilción? Cuánto h disminuido l mplitud cundo l ms h completdo 1 oscilciones? Dtos: 5 N m -1, B N m -, 4 N s m -1, m kg Not: solución de mortigumiento déil: x e -γt cos (ω t + α), con γ /m y k m m ) Ls posiciones de equilirio corresponden máximos y mínimos de l energí potencil, y que en los máximos y los mínimos l fuerz es. Los máximos y mínimos corresponden posiciones donde l derivd de l Ep se cero: dep/dx d( x Bx 3 ) /dx x - 3Bx x ( - 3Bx) Tiene dos soluciones 1ª) x ª) - 3Bx x /3B 5/3 x 5/3 Ls posiciones de equilirio estle son ls correspondientes los mínimos de l Ep, y que nte culquier desvición de l posición de equilirio prece un fuerz que nos devuelve l mism. Por el contrrio, ls posiciones de equilirio inestle corresponden los máximos, y que nte culquier desvición de l posición de equilirio, prece un fuerz que nos lej de l mism. Pr ser si son máximos o mínimos clculmos el vlor de l derivd segund en ls posiciones de equilirio, si l si l derivd segund es positiv es un mínimo (equilirio estle) mientrs que si l derivd segund es negtiv, estmos nte un máximo (equilirio inestle). d Ep /dx d(x - 3Bx )/dx - 6Bx Pr x d Ep /dx 5 1 > mínimo estle Pr x /3B d Ep /dx -6B (/3B) < máximo inestle

6 ) L fuerz se define como menos el grdiente de l Ep Ep F - Ep - x i + Ep y j + Ep z k En este cso l Ep solo depende de x, por lo que l fuerz solo tiene componente lo lrgo del eje x F Fx - Ep x - (x - Bx 3 ) x -x + 3B x -1 x+ 6 x c) Cundo l prtícul está muy próxim l posición de equilirio estle, x, por lo que el termino x se puede considerr desprecile respecto l termino en x. L fuerz se puede proximr F -x, es decir, l fuerz es del tipo F -Kx con K 5 1 N m -1. Este tipo de fuerz d origen un movimiento rmónico simple con un frecuenci ngulr K m rd/s Como ω π/t el período vle T π/ω.81 s y l frecuenci ν 1/T.356 s d) Si representmos en un grfic l función Ep en función de x, vemos que pr que escpe de l situción de equilirio estle, tiene que tener un energí superior l del máximo correspondiente l posición de equilirio inestle. E Ep(5/3) (5/3) B(5/3) 3 5(5/3) (5/3) Julios Ep (Julios) x (m) 1 3 e) En est nuev situción de mortigumiento déil, l frecuenci ngulr vle: k m m rd/s y el período: T π/ω Α π s ν 1/T.318 s -1 En 1 oscilciones, el tiempo trnscurrido es 1 T 1 π s Como l solución es x e -γt cos (ω t + α), con γ /m 4/( ) 1s -1, l mplitud vldrá e -γt e

7 ) Un rr cuyo peso es desprecile, puede girr lrededor de un eje sujeto l pred. Su extremo B está mrrdo l punto C por un hilo idel, y de dicho B extremo se cuelg un ms de 1 kg. Siendo que B 5 m y el ángulo que form l rr con l pred en de 43, determinr: ) El vlor de l tensión T en el hilo. ) Modulo y dirección de l rección e el punto. Cuál es el vlor de l fuerz de compresión que se produce en l rr? Si l rr tiene un ms de 1 kg determinr: c) L tensión del hilo y l rección en el punto. 3 m 43 1 Kg d) L celerción ngulr inicil de l rr l cortr simultánemente ls dos cuerds que vn su extremo (l que viene de l pred y l que sujet l ms de 1 kg). (I 1/3 ml ) 5 m ) Primero resolvemos el tringulo formdo por l rr, l cuerd y l pred: plicndo el teorem del coseno: C + B -Bcos cos m plicndo el teorem de los senos sen B sen C sen α 36.1 y β 1.9 Ls fuerzs que ctún sore l rr están representds en rojo. Pr determinr cunto vle T1, nos fijmos en l ms de 1 kg, que est en reposo, y por lo tnto l tensión es igul l peso: T1 1 g 981 N T1 plicndo M Rx y Ry no producen momento por lo que: T1 5 sen 43 - T 5 sen 36.1 T N 1 Kg mg β γ C T 36.1 Ry Rx α 5 m B B T1 ) Pr determinr ls recciones en el punto plicmos Fx Rx - Tsen 79.1 Rx sen79.1 Rx 1115 N Fy Ry T1 Tcos 79.1 Ry cos79.1 Ry N El modulo de l rección es R Rx + Ry N y el ángulo que form R con l pred es tgθ Rx/Ry θ 43, es decir que llev l dirección de l rr. L sum de ls dos tensiones en el punto tmién tiene que llevr l dirección de l rr, y tener el mismo modulo que l rección en. Por lo tnto l fuerz de compresión es igul l modulo de R N T B 36.1 Ry T1 c) En este cso, ls fuerzs que ctún sore l rr son: P 43 R T Rx

8 M T1 5 sen 43 + P.5 sen 43 T 5 sen 36.1 T 1193 N Fx Rx - T sen 79.1 Rx 1193 sen79.1 Rx 1178 N Fy Ry - P - T1 T cos 79.1 Ry cos79.1 Ry 1345 N En este cso R Rx + Ry 1758 N y el ángulo que form R con l pred es tg θ Rx/Ry θ 41.9, por lo que hor R no llev l dirección de l rr. Si suponemos que solo ctún tres fuerzs, ests se tienen que cortr en un punto, tl como muestr l figur. R P T d) Utilizmos M Iα. Con I (1/3) m L (1/3) kgm El único momento es el deido l peso de l rr M P.5 sen 43 por lo que despejndo α α sen rd/s P α 3) Tenemos un conjunto de cutro poles unids entre si que pueden girr entorno un eje, tl como muestr l figur. ) Determinr: el momento de inerci del conjunto. Considerr ls poles como discos uniformes. Si de cd pole enrollmos cuerds de ls que penden mss, tl como muestr l figur, ) Clculr el vlor de l ms m 4 pr que el sistem esté en equilirio estático. c) Si cortmos l cuerd que sujet l ms m 4, determinr ls ecuciones de l celerción ngulr de ls poles α y de ls tensiones de ls cuerds T i (en función de ls mss, los rdios, g y el momento de inerci del conjunto de poles). Posteriormente, usndo dichs ecuciones determinr los vlores numéricos de α y de T i. r 4 r 3 d) Si tods ls mss estn inicilmente m del suelo ntes de cortr l cuerd, l cortr l cuerd, que dos mss (de entre ls cutro) llegn primero l suelo, y con r r que diferenci de tiempos lo hcen. 1 Dtos: r 1 1 cm, m P1 kg, m 1 1 kg r cm, m P 5 kg, m 5 kg r 3 3 cm, m P3 1 kg m 3 4 kg r 4 4 cm, m P4 kg m 4???? m 4 m m 1 m 3

9 ) El momento de inerci de un cilindro es I (1/)mr. En este cso tenemos 4 cilindros unidos y el momento de inerci del conjunto es l sum de los momentos de inerci: I Ii (1/) (.1) + (1/)5 (.) + (1/)1 (.3) + (1/) (.4).16 kg m. ) Si el conjunto est en estdo estático, ls mss no se mueven, por lo que ls tensiones de ls cuerds serán igules los pesos de ls mss que cuelgn de ells. F T 1 m 1 g, T m g, T 3 m 3 g y T 4 m 4 g, T 1 m 1 m 1 g Ests tensiones, su vez, ctún sore ls poles originndo momentos. L sum de todos los momentos tiene que ser cero, y que ls poles no girn: r 4 r 3 M m 1 gr 1 + m 3 gr 3 m gr m 4 gr 4 m 4 ( )/.3 3 kg Hemos considerdo positivos los momentos que trtn de girr ls poles en sentido horrio y negtivos los que trtn de girrls en sentido ntihorrio. T 4 r r 1 T 3 T T 1 c) l cortr l cuerd unid l ms m 4 los momentos no se cnceln y el sistem empezr girr con un celerción ngulr α., mientrs que ls mss empezrn desplzrse con un celerción linel i α r i Tenemos cutro incógnits: ls tres tensiones y l celerción ngulr α.. Por lo tnto tenemos que plnter cutro ecuciones, tres pr ls trslciones de ls mss y un pr l rotción de l pole: m 1 g - T 1 m 1 1 T 1 m 1 g - m 1 1 T 1 m 1 (g - α r 1 ) m 3 g - T 3 m 3 3 T 3 m 3 g - m 3 3 T 3 m 3 (g - α r 3 ) T m g m T m g + m T m (g + α r ) T 1 T 3 T m 1 m3 m m 1 g m g 1 m 3 g 3 T 1 r 1 + T 3 r 3 T r Iα Sustituyendo ls tensiones en est ecución r 4 r 3 α r r 1 m 1 (g - α r 1 ) r 1 + m 3 (g - α r 3 ) r 3 - m (g + α r )r Iα m 1 g r 1 + m 3 g r 3 - m g r Iα + m 1 r 1 α + m r α + m3 r 3 α (m 1 r 1 + m 3 r 3 -m r )g I + m 1 r 1 + m r + m 3 r 3 T T 3 T 1

10 sustituyendo los vlores de I, ls mss y los rdios: ( ) rd/s Sustituyendo este vlor en ls ecuciones de ls tensiones: T 1 1 ( ) T N T 3 4 ( ) T N T 5 ( ) T 64.9 N d) Ls celerciones de ls mss serán: 1 α r ms - α r ms - (scendente) 3 α r ms - 4 g 9.81 ms - (cíd lire) Ls mss que primero llegn l suelo son m 4 y después m 3. El movimiento es uniformemente celerdo por lo que e v t + (1/)t ; demás como tods ls mss prten del reposo, v y el espcio recorrer es e metros plicándolo m 4 y m 3 : t t 4 t 3 e s s y l diferenci de tiempos es t 3 t s