CONSIDERACIONES SOBRE EL ÍNDICE DE GINI PARA MEDIR LA CONCENTRACIÓN DEL INGRESO DIVISIÓN DE ESTADÍSTICA Y PROYECCIONES ECONÓMICAS CEPAL

343 CONSIDERACIONES SOBRE EL ÍNDICE DE GINI PARA MEDIR LA CONCENTRACIÓN DEL INGRESO DIVISIÓN DE ESTADÍSTICA Y PROYECCIONES ECONÓMICAS CEPAL

344 Cosideracioes sobre el ídice de Gii para medir la ÍNDICE Págia I. Itroducció... 345 II. La Medició de la Desigualdad... 345 III. La Curva de Lorez... 348 IV. El Coeficiete de Desigualdad de Gii... 352 a) Datos Desagregados... 352 b) Datos Agrupados... 354 IV. La Variable Apropiada para la Medició de la Desigualdad... 358 IV.2 El Efecto del Número de Grupos e el Cálculo del Idice de Gii... 359 IV.3 Variables para el Ordeamieto de los Hogares y el Cálculo del Coeficiete de Gii... 36 V. La Desagregació del Idice de Gii... 366 V. Descomposició de la Desigualdad por Subgrupos de Població... 366 V.2 Descomposició de la Desigualdad por Fuetes de Igresos... 368 VI. Las Fuetes de Datos para la Medició de la Desigualdad... 369 VII. Coclusioes... 370 Bibliografía... 373

Cosideracioes sobre el ídice de Gii para medir la 345 I. INTRODUCCIÓN El grado de desigualdad ecoómica existete e ua sociedad y su evolució e el tiempo so temas que matiee el iterés permaete de la opiió pública y de los especialistas e el estudio del bieestar colectivo. Por su parte, e la literatura que aborda el aálisis de la distribució del excedete de la ecoomía, se ha propuesto diferetes medidas que pretede sitetizar esta variable, co el objeto de efectuar comparacioes itertemporales y etre países, a la vez de permitir asigar u valor absoluto a la desigualdad y derivar coclusioes sobre el ivel de cocetració del igreso e ua població determiada. E este cotexto, es práctica comú que los académicos y especialistas e el tema, así como los fucioarios de oficias de gobiero y de orgaismos iteracioales, y el público e geeral, se preocupe por coocer la maera e que los distitos grupos de hogares participa e la formació del igreso acioal. Diversos so los aálisis que se hace sobre el tema, así como los procedimietos metodológicos que se aplica para evaluar el grado de iequidad que existe e ua sociedad. A lo largo de la historia del aálisis ecoómico, se ha propuesto diversos idicadores para el estudio de la desigualdad; si embargo, parece existir coseso e el hecho de que el idicador que ha teido mayor aceptació e los trabajos empíricos es el deomiado coeficiete de cocetració de Gii. Este ídice, de fácil iterpretació, es ua referecia comú e los debates sobre el bieestar y la equidad; además, la opiió pública está muy pediete de su evolució para sacioar el fucioamieto de los gobieros e materia de desigualdad y sus efectos e el ivel de vida de la població. El objetivo de esta ota es pasar revista a las ocioes fudametales que se asocia co la medició de la desigualdad ecoómica, así como aalizar los aspectos teóricos y coceptuales que susteta la costrucció de diversos idicadores que se utiliza e la ivestigació empírica. E la seguda secció se aborda la medició de la desigualdad, estableciedo las diferecias que existe etre los ídices de carácter estadístico y aquellos que se deriva de las fucioes de bieestar social. El tercer apartado se aboca al estudio de la curva de Lorez como medida de equidad, señalado su importacia e el aálisis de la distribució del igreso, así como su relevacia para la costrucció de idicadores agregados como el ídice de Gii que resume todas las características de la distribució e u solo valor. Posteriormete, la cuarta parte del trabajo se cetra e la medició de la cocetració del igreso a partir del Idice de Gii, aalizado por separado las fórmulas alterativas que se aplica cuado se dispoe de datos agrupados e iformació desagregada. Asimismo, se aaliza aspectos relevates asociados al cocepto de igreso que se cosidera más apropiado para aproximar la desigualdad, el efecto del úmero de grupos e el valor del idicador, así como la variable relevate para el ordeamieto de la iformació y aquella que se utiliza para acumular el presupuesto de las familias. Fialmete, la quita secció hace revisió de los procedimietos de descomposició sugeridos para el ídice de Gii cocluyedo que este idicador preseta problemas cuado se iteta coocer la variabilidad geerada por las diferecias de igresos al iterior de los grupos y por la formació de los mismos, mietras que e el último apartado se pasa revista a las fuetes de iformació que habitualmete se emplea para el estudio de la distribució del igreso. II. LA MEDICIÓN DE LA DESIGUALDAD U ídice de desigualdad es ua medida que resume la maera como se distribuye ua variable etre u cojuto de idividuos. E el caso particular de la desigualdad ecoómica, la medició se asocia al igreso (o al gasto) de las familias o persoas. Así, si y, y 2,, y represeta los igresos de

346 Cosideracioes sobre el ídice de Gii para medir la u grupo de idividuos, el idicador de desigualdad se costruye como fució de las observacioes: I(y,y 2,, y ). Ua primera clasificació de los idicadores de desigualdad que se ecuetra e la literatura los agrupa como sigue: medidas positivas, que so aquellas que o hace referecia explícita a igú cocepto de bieestar social, y medidas ormativas, que sí está basadas e ua fució de bieestar. Al primer grupo perteece los ídices estadísticos que tradicioalmete se utiliza para aalizar la dispersió de ua distribució de frecuecias, e tato que hay diversas medidas ormativas que se ha propuesto para el estudio de la cocetració del igreso y la salud. Depediedo del idicador seleccioado, se defie la orma o parámetro co la cual se compara la distribució del igreso observada. E el caso de los estadísticos que comúmete se utiliza para estudiar la dispersió de ua variable (variaza, desviació estádar y coeficiete de variació), el valor de referecia está represetado por el promedio de la variable de aálisis ( y ). (Véase el Recuadro ) Pese a la secillez de cálculo de las medidas de dispersió, o es muy comú que éstas se utilice para el estudio de la desigualdad, debido a que o satisface alguas propiedades teóricas que debe cumplir los bueos idicadores para el aálisis de la distribució del igreso (para el detalle de cuáles so alguas de estas propiedades, véase el Recuadro 4). A modo de ejemplo, debe señalarse que igua de ellas satisface la codició de idepedecia de escala, ya que el valor del idicador se altera cuado las observacioes se multiplica por ua costate positiva: I [cy,cy 2,, cy ] I [y, y 2,, y ] y i y c > 0 () Por el cotrario, ua de las medidas probablemete más utilizadas es el deomiado Coeficiete de Gii (CG). Este idicador, que se clasifica etre las medidas estadísticas para el aálisis de la distribució del igreso, o utiliza como parámetro de referecia el igreso medio de la distribució a diferecia de la desviació media, la variaza y el coeficiete de variació, dado que su costrucció se deriva a partir de la curva de Lorez. Recuadro Medidas de Desigualdad Positivas Existe u cojuto de expresioes estadísticas tradicioalmete utilizadas para coocer la dispersió de ua determiada variable e u cojuto de datos, las cuales se ha icorporado e los trabajos que se aboca al estudio de la desigualdad ecoómica. Para el caso e que se aaliza la distribució del igreso, cosidere que y, y 2,, y represeta los igresos de idividuos o familias. Además, que: µ = y i i= represeta el valor medio del igreso y µ = y i i=, el igreso total de la població. La maera más elemetal de estudiar la dispersió de la variable igreso, y i, e ua distribució es comparado los valores extremos observados. Así, se defie el rago: Rago = [max(y i ) mi(y i )] () Otra clasificació que resulta útil es la siguiete: estadísticos tradicioales, ídice de Gii, medidas basadas e la etropía, y los ídices basados e fucioes de bieestar social.

Cosideracioes sobre el ídice de Gii para medir la 347 Cuado se cosidera la distacia que existe etre el rago y la media de la distribució µ, se obtiee el deomiado rago relativo: Rago Relativo= [max(y i) mi(y i)] (2) µ La pricipal debilidad de las medidas ateriores es que está basadas úicamete e las observacioes extremas y, por lo tato, igora iformació relevate del resto de los datos aalizados. Otra maera de estudiar la dispersió de ua variable e ua distribució es mediate la comparació de la suma del valor absoluto de todas las diferecias respecto al valor medio, co relació al valor total de la variable. De esta forma, se defie lo que se cooce como la desviació media relativa: µ yi i= Desviació Media Relativa = µ (3) Para que se cumpla que el rago de variació de la ecuació (3) esté etre 0 y, la desviació media relativa se expresa como: µ y i= DMR = 2µ i El pricipal problema de esta medida es que o es sesible a las trasferecias de igresos que se pueda efectuar etre persoas que está del mismo lado co respecto al igreso medio de la distribució. Para resolver este problema, es posible cosiderar la sumatoria de las desviacioes co respecto a la media y elevarlas al cuadrado, de tal suerte que las diferecias se acetúe e la medida e que ua observació y i se aleja del valor medio de igresos de la distribució µ. Coforme a lo aterior, se defie la variaza: ( µ y Variaza (V) = (4) La variaza cumple co el pricipio de trasferecias de igresos. E 920, H. Dalto cotiuado co el razoamieto itroducido por Pigou (92) señaló que este pricipio es lo míimo que debe cumplir cualquier medida de desigualdad, por lo que e la literatura se la deomia codició de Pigou-Dalto (Se, 996). Etre las características de la variaza, podemos señalar que cualquier trasferecia de igresos de ua persoa pobre a ua más rica ecesariamete icremetará su valor, debido a que aumetará la distacia etre la observació que se ve favorecida y el valor medio de la distribució. Además, este idicador o es idepediete de las uidades de medida, ya que cuado los igresos se icremeta e ua proporció c > 0, etoces la variaza se icremeta e c 2. Si bie la variaza cumple co la codició de Pigou-Dalto, el efecto de cualquier trasferecia de ua persoa co igreso y a otra co igreso (y+k) es el mismo, idepedietemete del valor de y. i= Otra medida a la que se recurre co frecuecia e el aálisis es la desviació estádar, la cual se defie simplemete como la raíz cuadrada de la variaza. i 2 ) (3a) Desviació Estádar (DE) = V (5)

348 Cosideracioes sobre el ídice de Gii para medir la Al igual que la variaza, la desviació estádar depede del valor medio de la variable. Esto podría ocasioar que ua distribució tega ua meor variaza que otra, a pesar de presetar ua mayor variació relativa, si es que el igreso medio de la primera distribució es meor que el de la seguda. Este problema se resuelve utilizado el coeficiete de variació: Coeficiete de Variació (CV) = V µ (6) El coeficiete de variació es ua medida idepediete del ivel medio de igresos µ, y es, además, sesible a cualquier trasferecia de igresos e la distribució. Si embargo, la sesibilidad ate trasferecias o depede del valor de y. Es comú que e el trabajo empírico se ecuetre medicioes efectuadas co el CV 2, debido a la relació que tiee co los ídices de etropía. Si se desea que ua medida de desigualdad otorgue mayor importacia a las trasferecias de igresos que se geera e la parte baja de la distribució, se recomieda el uso de la trasformació logarítmica. Esto da lugar a dos medidas comúmete utilizadas, la variaza de los logaritmos y la desviació estádar de los logaritmos: Variaza de los Logaritmos (VL) = ( log µ log yi ) La forma de esta fució hace que las observacioes co igresos bajos pese más e el ídice que los igresos elevados, lo cual es deseable para alguos fies; además, este idicador se puede descompoer e forma aditiva. Si embargo, la VL tiee u comportamieto o deseado e la parte superior de la distribució, lo que ocasioa que las trasferecias de los muy ricos a los meos ricos aumete la cocetració e lugar de reducirla. Desviació Estádar de los Logaritmos (DEL) = 2 ( log µ log y i ) Esta trasformació, a diferecia de la variaza y la desviació estádar, tiee la vetaja que elimia los problemas asociados a las uidades de medida. Además, a las trasferecias que se realiza e la parte baja de la distribució se les asiga mayor poderació que a las que se efectúa e los iveles altos de igreso. 2 (7) (8) III. LA CURVA DE LORENZ E el estudio de la desigualdad, se dispoe de diversos métodos para describir la forma e que se distribuye el igreso etre los diferetes grupos de idividuos e ua sociedad: los diagramas de dispersió, los idicadores de desigualdad y los ordeamietos de la iformació. Elaborar u diagrama para visualizar la distribució del igreso resulta ua opció extremadamete útil para el aálisis de la desigualdad, ya que permite idetificar ciertos aspectos de la forma de la distribució que de otra maera o sería posible apreciar. E la literatura se cosiga al meos cuatro posibles alterativas para geerar ordeamietos de datos, auque sólo os ocuparemos e el aálisis de las dos que se emplea co mayor frecuecia. Estas so las distribucioes de frecuecias, la curva de Lorez, los deomiados diagramas de desfile propuestos por Pe y la trasformació logarítmica.

Cosideracioes sobre el ídice de Gii para medir la 349 La distribució de frecuecias es la maera más ituitiva de ordear las observacioes, al agrupar el igreso de los idividuos e diferetes itervalos de clase y observar la cocetració de observacioes que se forma al iterior de cada uo de ellos. Si embargo, co este tipo de represetació gráfica o se muestra e forma adecuada las colas de la distribució. Adicioalmete, las observacioes que se agrupa al iterior de los itervalos queda represetadas por el puto medio o marca de clase, lo cual ecesariamete coduce a pérdida de iformació. E la medida de que el úmero de grupos es pequeño, la pérdida de iformació es mayor y este tipo de gráficos o aporta ada al coocimieto de la forma e que se distribuye las observacioes. Por el cotrario, hacer uso de esta opció supoe formar u úmero suficiete de itervalos de tal maera que se observe las características relevates de la població asociadas a sus pricipales medidas de tedecia cetral y a la dispersió que existe e toro a ellas. Tal vez la forma más habitual de represetar la desigualdad sea a partir de la Curva de Lorez. Esta medida fue propuesta e 905 co el propósito de ilustrar la desigualdad e la distribució de la salud y, desde su aparició, su uso se ha popularizado etre los estudiosos de la desigualdad ecoómica. E térmios simples, la curva de Lorez represeta el porcetaje acumulado de igreso (%Y i ) recibido por u determiado grupo de població (%P i ) ordeado e forma ascedete de acuerdo a la cuatía de su igreso (y y 2..., y ). La costrucció de esta curva se efectúa como se muestra a cotiuació: Supógase que se tiee idividuos ordeados e forma creciete respecto al valor de sus igresos y y 2,, y., y se forma g grupos de igual tamaño, llamados percetiles (quitiles o deciles so las formas más comues de ordear a la població). La curva de Lorez se defie como la relació que existe etre las proporcioes acumuladas de població (%P i ) y las proporcioes acumuladas de igreso (%Y i ). De esta maera, e caso que a cada porcetaje de la població le correspoda el mismo porcetaje de igresos (P i =Y i ; i), se forma ua líea de 45 0. Como puede observarse e la figura, esta líea divide e dos partes iguales el cuadrado de lado uo que se forma al graficar las proporcioes acumuladas de persoas e el eje horizotal (P i ) y de igresos e el vertical (Y i ). Dicha diagoal correspode a lo que Lorez defiió como la líea de equidad perfecta y deota, por ede, ausecia de desigualdad. E la gráfica se observa tres elemetos: la líea de equidistribució, la curva correspodiete a la distribució empírica formada a partir de las parejas (P i,y i ), o curva de Lorez, y el área etre las dos líeas, deomiada área de cocetració. A partir de la relació etre esta última y la líea de igualdad perfecta, es posible derivar diversos idicadores que se utiliza para evaluar la cocetració del igreso. Debe observarse que la curva de Lorez siempre se ubica por debajo de la diagoal e la medida que los igresos de los idividuos se haya ordeado e forma creciete, y por ecima e el caso opuesto. E la medida que la curva de Lorez se aproxime a la diagoal, se estaría observado ua situació de mayor igualdad, mietras que cuado se aleja, la desigualdad se icremeta. Obviamete, el puto (0,0) sigifica que el 0% de la població tiee el 0% del igreso, e tato que e el extremo opuesto el 00% de la població cocetra todo el igreso.

350 Cosideracioes sobre el ídice de Gii para medir la FIGURA 00 Curva de Lorez 80 % de igreso 60 40 20 0 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Deciles de Hogares Desde el puto de vista empírico, la curva de Lorez se costruye graficado los porcetajes acumulados de igresos que recibe los distitos grupos de la població (Y i ), co la úica codició de que estos se defia co la misma amplitud, a efectos de evitar problemas asociados al úmero de observacioes agrupadas e cada itervalo. E el ámbito del aálisis de la distribució del igreso de las familias, es comú que la curva de Lorez se costruya a partir de datos agrupados e subcojutos iguales de tamaño 0%, deomiados deciles de hogares, y que se utilice diversos coceptos de igreso para efectuar el ordeamieto de las observacioes. De esta maera, la icliació de cada segmeto de la curva se determia a partir del cociete que se forma al dividir el porcetaje de igreso apropiado por u determiado segmeto de la població, por el igreso medio de la distribució. Así, e la medida que la icliació que tega el segmeto sea más prouciada, mayor será tambié la proporció de igreso que retiee ese grupo. Es evidete que cuado la icliació de u determiado segmeto coicide co la de la diagoal, el igreso de ese grupo es igual al promedio de la distribució. El hecho de que para la costrucció de la curva itervega úicamete los porcetajes de població e igresos, aísla el efecto del igreso total y, por lo tato, ésta sólo refleja la estructura y forma de la distribució. A su vez, cuado dos curvas de Lorez se itersecta, es posible demostrar que ua distribució puede obteerse de la otra a partir de trasferecias regresivas o progresivas de igresos. Cosecuetemete, e esta situació o se puede cocluir cuál de las distribucioes comparadas tiee u mayor grado de desigualdad 2. Recuadro 2 Los Idices de Desigualdad Basados e Fucioes de Bieestar Social El primer trabajo que propoía el uso de fucioes de bieestar social para medir la desigualdad se atribuye a Dalto (920). E esa ivestigació, el autor propuso medir la proporció del bieestar que se pierde debido a la presecia de ua iequitativa distribució del igreso etre las persoas. Utilizado ua fució de utilidad aditiva, separable, simétrica y estrictamete cócava del igreso, u(y i ), defiió lo que e la literatura se cooce como el Idice de Dalto: 2 Esta icosistecia se resuelve a partir de la costrucció de las deomiadas curvas de Lorez geeralizadas. Dichas curvas se costruye multiplicado la fució de Lorez por el igreso medio de la distribució (µ), de maera que el idicador ya o varíe etre cero y uo, sio que el límite superior esté determiado por el valor del igreso medio (µ).

Cosideracioes sobre el ídice de Gii para medir la 35 Sea y, y 2,, y los igresos observados e ua muestra de tamaño, y sea µ el promedio de igresos de la distribució; etoces el Idice de Dalto se expresa por medio de: D = ( i ) ( ) uy u i = µ Debido a que la fució propuesta es cócava, el ídice siempre asume valores positivos, salvo cuado todas las observacioes tiee el mismo ivel de igreso y D toma el valor de 0. La utilidad práctica de este idicador ha sido ampliamete discutida e la literatura. Para cierto tipo de fucioes, como las logarítmicas y las hiperbólicas, el Idice de Dalto cumple co la propiedad de que los icremetos iguales o depede del valor medio de la distribució; si embargo, se observa que el valor del idicador es ivariate a trasformacioes lieales positivas de la fució de utilidad, lo cual le ha valido la crítica de los especialistas. Basádose e estos argumetos, y redefiiedo el pesamieto de Dalto, e 970 Atkiso propuso ua familia de ídices ormativos que resulta ivariates a cambios de escala y a trasformacioes lieales positivas de la fució de utilidad. La sugerecia de este autor se basa e el criterio de defiir para cada població el ivel de igreso equivalete y e, de tal forma que si cada idividuo recibiera ese moto de recursos, el bieestar total sería el mismo para toda la població. Es decir, que W(y e e ) = W(y, y 2,, y ), e dode e represeta u vector uitario de dimesió. El ídice de Atkiso se calcula de la maera siguiete: () A= y e / µ (2) Cuado se trabaja co ua fució de utilidad estrictamete cócava, se cumple que y e < µ; por lo tato, A será siempre positivo y asumirá el valor 0 úicamete cuado todos los idividuos tega el mismo ivel de igreso. Ua de las iterpretacioes más comues a partir de los valores que asume el ídice de Atkiso es la siguiete: Supoga que el valor del ídice para ua població determiada es de 0.35. Esta situació implica que si los recursos se distribuyera de maera igualitaria etre todos los idividuos, co ta sólo el 65% del total de igresos se podría garatizar el ivel de equidad observado, lo cual sigifica que el 35% restate se despilfarra a causa de la iequidad que existe e la distribució del igreso. La propuesta operativa para el cálculo del ídice de Atkiso supoe la existecia de fucioes de bieestar aditivamete separables, a partir de las cuales propoe la siguiete familia de ídices, cosistetes co el ordeamieto que geera la curva de Lorez: A α (y) = - [ i= (y i /µ) -α ] /(-α) ; α > 0 y α (3) A α (y) = - Π i= (y i /µ) / ; α = (4) Para garatizar que esta familia de ídices satisfaga las propiedades deseables, se les debe impoer a las fucioes de utilidad ciertas restriccioes co las que muchos ivestigadores o está de acuerdo. Si embargo, el ídice de Atkiso es ampliamete utilizado e los estudios de la desigualdad, debido a que permite captar e forma adecuada lo que sucede e la parte baja de la distribució. E la medida que se icremeta el valor de α parámetro asociado co la aversió social a la desigualdad, las trasferecias etre los más pobres se podera e mayor proporció. E el caso e que α, la fució de bieestar coicide co la propuesta por Ralphs( ), e cuyo caso sólo se estaría aalizado las trasferecias que recibe el idividuo más pobre de toda la distribució. La utilidad práctica de cosiderar distitos valores del parámetro para la familia de ídices de Atkiso, se advierte al observar que es muy útil para el aálisis geerar ua serie de idicadores co el fi de observar qué sucede co el ivel de la desigualdad, e la medida que e la expresió se le otorga mayor importacia a las familias ubicadas e la parte baja de la distribució del igreso.

352 Cosideracioes sobre el ídice de Gii para medir la Por otra parte, si ua curva queda totalmete coteida e la otra (salvo e los valores extremos) puede afirmarse, si ambigüedad, que aquella que se ubica más cerca de la diagoal preseta ua distribució más igualitaria, e cuyo caso se dice que domia e el orde de Lorez. E térmios algebraicos lo aterior se expresa diciedo que la distribució x domia a y e el setido de Lorez, si se cumple que: i= x y i i= y y i dode y i represeta el igreso de la familia (2) Las curvas de Lorez permite comparar iveles de desigualdad relativa, cumpliedo el pricipio de preferecia por la igualdad y simetría, si teer que calcular igú ídice adicioal. Fialmete, cabe señalar que u ídice de desigualdad será cosistete co el orde de Lorez, cuado su valor sea meor e la distribució domiate que e la domiada. IV. EL COEFICIENTE DE DESIGUALDAD DE GINI a) Datos Desagregados Si lugar a dudas, uo de los ídices más utilizados e el estudio de la desigualdad es el Coeficiete de Cocetració de Gii (CG). Existe diversas formas de derivar la expresió algebraica que se usa para su cálculo, y tambié es posible deducirlo desarrollado u procedimieto geométrico a partir de la curva de Lorez. Gii (92) defiió su coocida medida de desigualdad e los térmios siguietes: yi y j i= j= CG = = 2µ ( ) 2µ (3) e dode represeta la media aritmética de las (-) diferecias absolutas de las observacioes y 2µ es el valor máximo que asume cuado u idividuo cocetra todo el igreso. Posteriormete, e 94 Gii propuso u uevo idicador de cocetració que se defie como meos dos veces el área de la curva de Lorez, y demostró que era equivalete a la que había presetado e u trabajo previo y que correspode a la defiida e la expresió (3). CG = - 2 F(y) (4) dode F(y) represeta la curva de Lorez; es decir, la proporció de idividuos o familias que tiee igresos acumulados meores o iguales a y. 3 La derivació de (4) se basa e el razoamieto de que si el área de cocetració de la figura se divide por el área del triágulo que se ubica debajo de la líea de igualdad perfecta, se obtiee ua 3 E térmios de la teoría estadística sobre la distribució del igreso, F(Y) represeta la probabilidad de que la variable aleatoria Y asuma u valor meor o igual a y, [F(Y) = P(Y y)].

Cosideracioes sobre el ídice de Gii para medir la 353 medida de cocetració. Debido a que el área bajo la líea de equidistribució es igual a ½ y el área total es igual a la uidad, etoces a partir del razoamieto aterior se deriva la expresió (5). Cosiderado la gráfica, el coeficiete de Gii se defie como el cociete de las diferecias etre la líea de equidistribució y los valores de la curva de Lorez. Existe varias maeras de derivar algebraicamete el ídice de Gii, y ua de ellas demuestra que es exactamete igual a la mitad de la diferecia media relativa (DMR), la que se defie como la media aritmética de las diferecias absolutas etre todos los pares de igresos. CG = DMR = 2 i, j ( yi y j) ( yi y j) 2 y i, j = 2 2 2 y (5) Recuadro 3 Idices de Desigualdad Basados e la Etropía Utilizado los coceptos de la teoría de la iformació, e la literatura ecoómica se ha propuesto alguos idicadores para medir la desigualdad, basados e medidas de etropía. Tal vez el que se cooce e forma más amplia es el deomiado ídice de Theil. Supoga que ua variable aleatoria puede asumir los valores y, y 2,, y, co probabilidades p, p 2,, p mayores o iguales a cero y cuya suma es igual a la uidad. Si se efectúa ua selecció aleatoria, mietras meor sea la probabilidad de selecció de la observació y i, mayor será la relevacia de la selecció efectuada. La idea aterior se utiliza para costruir idicadores que le asige más importacia a las familias o idividuos que meor proporció del igreso retega. E este caso, se defie p i = y i / (µ), e dode p i se iterpreta como la proporció de igreso reteida por el i-ésimo idividuo. Co base e lo aterior, la etropía de orde α de Réyi (965) geera ua medida de la catidad de iformació coteida e ua variable aleatoria co desidad de probabilidad discreta p = [p, p 2,, p ]: I α (p) = [ / (-α)] log [ i= p i α] ; α > 0 y α () Theil (967) defiió como medida de desigualdad del igreso, la diferecia etre la etropía que se deriva de la situació de igualdad perfecta y la calculada para la distribució empírica, lo cual se iterpreta como la etropía que se geera debido a que el igreso o se distribuye e forma igualitaria. La expresió práctica que se emplea para calcular el ídice de Theil se preseta a cotiuació: T α (y)= / i= { y i / [µ log (y i /µ)] }; α = (2) T α (y)= / i= [ log (µ/y i )] ; α = 0 (3) E el caso de (2), el ídice de Theil le otorga mayor importacia a los igresos que se ubica e la parte baja de la distribució, mietras que e () se le asiga aú más peso a los hogares de meores igresos. Además de satisfacer las propiedades de idepedecia de la media y de ivariaza respecto a replicacioes de població, el ídice de Theil cumple co la propiedad de descomposició aditiva, característica poco frecuete etre los idicadores comúmete utilizados para medir la desigualdad. Esta propiedad lo hace especialmete atractivo, ya que siempre resulta importate coocer qué porcetaje de la desigualdad está explicado por la iequidad que se geera etre los grupos formados y cuál proviee de las diferecias de igresos al iterior de los mismos.

354 Cosideracioes sobre el ídice de Gii para medir la A diferecia de las medidas estadísticas que tradicioalmete so utilizadas para estudiar la dispersió de u cojuto de datos dode la media es el parámetro de localizació que se utiliza como referecia, el ídice de Gii se costruye al comparar la distribució empírica que se forma co los datos observados y la líea de igualdad perfecta que supoe la distribució teórica derivada de la curva de Lorez. Nuevamete, supógase que se tiee iformació sobre idividuos ordeados e forma creciete respecto al valor de sus igresos: y y 2,, y. Además, se costruye la distribució de frecuecias relativas simple y acumulada de la població bajo estudio (p i, P i ), así como de la variable a distribuir (e este caso el igreso del hogar y i e Y i ). Nótese que, debido al ordeamieto de los datos, se cumple que Y i Y i+. Coforme a lo aterior, el coeficiete de desigualdad de Gii se basa e la suma de las diferecias (P i - Y i ). Co el propósito de estadarizar su recorrido al itervalo [0,], la expresió aterior se divide etre - i= P i, dado paso a ua de las fórmulas que comúmete se utiliza para calcular el ídice de Gii cuado se dispoe de datos o agrupados: CG = ( Pi Yi) i= i= (6) P i El valor míimo del idicador es cero, y se obtiee cuado P i =Y i i, mietras que asume el valor cuado Y =Y 2 = =Y - =0, ya que e este caso el idividuo cocetra todo el igreso Y. Otras expresioes que se utiliza frecuetemete para el cálculo del coeficiete de desigualdad de Gii so: CG = 2 2 i= j= y y i y j ( ) CG = + 2 yy + y + + y 2 2 2... (7a) El CG iduce u ordeamieto de las observacioes que es cosistete co la curva de Lorez, y además asiga mayor peso a las observacioes que se ecuetra e la parte baja de la distribució, idepedietemete de cuáles sea sus valores. No obstate, ua de las pricipales desvetajas de este idicador es que las trasferecias uitarias de igreso etre idividuos recibe más peso e la medida que haya más observacioes e la zoa dode se efectúa. Por lo tato, la poderació máxima correspode a trasferecias próximas a la moda y lejos de los extremos de la distribució. b) Datos Agrupados E el trabajo empírico es habitual que el cálculo de los ídices de desigualdad se efectúe a partir de las observacioes agrupadas, debido a que o resulta práctico comparar cojutos de datos que puede llegar a teer tamaños muy distitos. E ese setido, lo comú es que se decida agrupar las observacioes e subcojutos de igual tamaño de modo que se facilite tato los cálculos como las comparacioes etre grupos. (7)

Cosideracioes sobre el ídice de Gii para medir la 355 Si embargo, esta maera de proceder coduce ecesariamete a la pérdida de iformació, debido a que los valores idividuales de las observacioes será sustituidos por algú valor que represete al itervalo e que se ecuetra agrupados (por ejemplo, la marca de clase). De acuerdo a lo aterior, el procedimieto que se utiliza para el cálculo del ídice de Gii para datos agrupados es el siguiete: i) Ordear los hogares e forma ascedete coforme a su igreso. ii) Defiir itervalos de igual tamaño (por ejemplo, deciles de hogares). iii) Costruir la distribució de frecuecias relativas, simple y acumulada, de la variable a distribuir (igreso), así como de la població que se desea estudiar. Si se opta por la formació de deciles de hogares, cada grupo deberá cocetrar el 0% de las observacioes, tal como se muestra e el cuadro. Recuadro 4 Alguas Propiedades Deseables de los Idicadores para Medir la Desigualdad Diversos ivestigadores ha defiido u cojuto de propiedades deseables que debe satisfacer los bueos idicadores utilizados para medir la desigualdad ecoómica, alguas de las cuales se preseta a cotiuació:. La medida de desigualdad propuesta debe ser ivariate a trasformacioes proporcioales o cambios de escala. Si I represeta el idicador de desigualdad calculado a partir de u vector de igresos y = (y, y 2,, y ), etoces el valor de I(y) = I(y, y 2,, y ) o debe modificarse ate ua ueva medició que utilice y*= c y, dode c es ua costate mayor que 0. Lo aterior sigifica que la medida de desigualdad o debe variar si se efectúa ua trasformació de la escala e que se mide la variable de iterés; por ejemplo, si se pasa de miles de pesos a milloes e la medició de la cocetració del igreso persoal, el idicador propuesto o debe alterarse por ese hecho. E térmios matemáticos esta propiedad se cooce como la propiedad de homogeeidad e grado cero. Los ídices que satisface esta codició so particularmete útiles para realizar comparacioes itertemporales e iteracioales de la desigualdad, ya que resulta idepedietes de las uidades moetarias e que se mida. 2. Codició de Pigou-Dalto. Esta codició sugiere que, si se geera ua trasferecia de igresos de los hogares ubicados e la parte superior de la distribució hacia las familias o persoas ubicadas e los primeros percetiles, el idicador propuesto debe reflejar ecesariamete ua caída e el ivel de cocetració. E el estudio de la pobreza, esta propiedad equivale al axioma de trasferecia defiido por Se (976) para los bueos ídices de pobreza. Cowell (995) ha deomiado a esta propiedad como pricipio débil de trasferecias, ya que o se especifica ada acerca de la magitud e la caída de la desigualdad. E cotraposició, este mismo autor defie el pricipio fuerte de trasferecias, que resulta esecialmete atractiva cuado se aaliza aspectos viculados a la descomposició de los ídices. Se dice que ua medida satisface este pricipio, si el moto e la reducció de la iequidad a cosecuecia de ua trasferecia de igresos depede sólo de la distacia etre los igresos, si importar cuál sea la posició de los idividuos e la distribució. Al impoer esta codició se asume que todos los idividuos tiee ecesidades comparables igorado las diferecias que existe e su edad, composició familiar, etc. Etoces, u idicador será ua buea medida de desigualdad si se observa ua caída sistemática e su valor cuado os aproximamos a la equidistribució. E caso cotrario, su valor se debería icremetar, toda vez que las trasferecias se geere de la parte más baja de la distribució hacia los grupos más favorecidos. Segú Kakwai (980), toda medida de desigualdad que se costruya como la media aritmética de ua fució estrictamete covexa e el igreso satisface esta propiedad.

356 Cosideracioes sobre el ídice de Gii para medir la Supógase que el ídice de cocetració geera u valor x. Etoces, si se observa redistribucioes sucesivas, ecesariamete habrá cambios e el ivel de desigualdad hasta alcazar el valor l m como límite superior, e el caso de que todo el igreso lo cocetre ua persoa. E caso cotrario, os deberemos aproximar a l i =0 e la medida que se realice trasferecias hacia la parte baja de la distribució. Otra codició propuesta por Dalto es la llamada icremetos iguales de igreso e idica que si ua distribució se obtiee de otra sumádole ua costate k, etoces el ídice dismiuye cuado k > 0 y aumeta e caso cotrario. 3. Simetría. La codició de simetría impoe a los ídices que su valor o se altere cuado las medicioes de la desigualdad se hace a u ivel dode los igresos so iguales. Es decir, si dos idividuos ubicados a u mismo ivel de la distribució itercambia sus igresos, la medida de desigualdad debe mateerse ivariate e imparcial: I(x, x 2 ) = I(x 2, x ) () 4. Codició de cambio relativo. Supógase que estamos iteresados e coocer cómo se ecuetra repartida la extesió agrícola de u país. Si se efectuara ua redistribució de la tierra de u terrateiete e favor de u agricultor de autocosumo, el coeficiete de cocetració debiera reducirse e ua proporció mayor que si la trasferecia se geerara de u agricultor de tamaño medio a u pequeño propietario. Obsérvese que a diferecia de la codició de Pigou-Dalto, la propiedad de cambio relativo exige que exista ua relació o lieal e el cambio experimetado por el idicador. Si u ídice cumple co la codició de cambio relativo, automáticamete satisface el criterio de Pigou-Dalto; si embargo, el razoamieto a la iversa o es válido. 5. Idepedecia de Tamaño. El ídice de desigualdad debe proporcioar el mismo valor para dos poblacioes idepedietemete de su tamaño, siempre y cuado las proporcioes de idividuos para cada ivel de igresos sea la misma, lo que implica que las curvas de Lorez so iguales. Esta propiedad tambié se cooce como idepedecia a la replicació de la població y se eucia como se preseta a cotiuació: Si m grupos de elemetos cada uo tiee la misma distribució de probabilidad, etoces e ua població de tamaño xm la desigualdad deberá ser la misma que la que se obtiee de los grupos que la forma (ejemplos de esta propiedad puede cosultarse e Dasgupta, Se y Starret, 973). 6. Cosistecia co la Ordeació de la Curva de Lorez (Domiacia Estocática). La curva de Lorez es ua maera alterativa de aalizar la distribució del igreso. Se dice que ua curva domia a otra e el orde de Lorez, si ésta se ecuetra por ecima de aquella e todos los putos de la curva, salvo e los valores extremos. E este setido, u ídice será cosistete co el orde de Lorez cuado asume u valor meor para la distribució domiate co relació a la domiada. Los ídices cosistetes co este orde satisface el resto de las propiedades ateriores (Kakwai, 980). Asimismo, u ídice que es cosistete co el orde de Lorez debe ser covexo (Rothschild y Stiglitz, 973). 7. Decrecimieto de Efecto ate Trasferecias. Implica que las trasferecias equivaletes etre idividuos equidistates tiee mayor efecto cuado ambos está ubicados e la parte baja de la distribució. Es decir, si y, y 2, y 3, y 4 satisface que y < y 2 < y 4 ; y < y 3 < y 4 ; y 2 - y = y 4 - y 3, etoces ua trasferecia de y 2 a y afectará más el valor del ídice que si esta se efectuara de y 4 a y 3. Los idicadores estadísticos o satisface esta propiedad. 8. Decrecimieto Relativo del Efecto ate Trasferecias de Igresos. Es ua propiedad más estricta que la aterior, ya que asiga mayor importacia relativa a las trasferecias que se efectúa e la parte baja de la distribució, icluso e aquellos casos e que la diferecia de igresos etre los dos idividuos más pobres sea cosiderablemete meor que la de ua pareja ubicada e la parte superior de la distribució. Si y < y 2 < y 4 ; y < y 3 < y 4 ; y 2 / y = y 4 / y 3, etoces trasferecias equivaletes desplazará el ídice hacia la igualdad si se realiza de y 2 a y, más que si fuera de y 4 a y 3, a pesar de que la distacia recorrida e el segudo caso sea mayor. Esta propiedad sólo la satisface alguos ídices ormativos.

Cosideracioes sobre el ídice de Gii para medir la 357 0. Descomposició Aditiva. U ídice cumple co esta propiedad cuado puede calcularse para subgrupos, de tal forma que sea posible idetificar la proporció de la desigualdad explicada por cada uo de ellos (Shorrocks, 980). Supógase ua població de tamaño co igresos y, y 2,, y que se divide e k grupos e y=( y, y 2,, y k,, y K ), dode y k = ( y k,, y k k). Etoces, se dice que u ídice de desigualdad se puede descompoer e forma aditiva si existe u vector de poderacioes W k = ( w,, w k,, w K ) que depede del vector de igreso medio de la distribució µ= ( µ, µ 2,,µ k,, µ K ) y = (, 2,, k,, K ), tal que se cumple I(y) = I w (y) + I e (y) = i= w k (µ,) I(y k ) + I (µ e, µ 2 e 2,, µ 3 e k ) (2) E dode I w es ua suma poderada de la desigualdad detro de cada grupo, y los poderadores so factores que depede del igreso medio y del tamaño del grupo, y e, e 2,..., e g so vectores uitarios de dimesió adecuada. CUADRO INFORMACIÓN NECESARIA PARA EL CÁLCULO DEL INDICE DE GINI Decil % de Hogares (p i) % de Igreso (y i) % acumulado de hogares (P i) % acumulado de Igreso (Y i) 0 y 0 Y =y 2 0 y 2 20 Y 2 =Y +y 2 3 0 y 3 30 Y 3 =Y 2 +y 3 4 0 y 4 40 Y 4 =Y 3 +y 4 5 0 y 5 50 Y 5 =Y 4 +y 5 6 0 y 6 60 Y 6 =Y 5 +y 6 7 0 y 7 70 Y 7 =Y 6 +y 7 8 0 y 8 80 Y 8 =Y 7 +y 8 9 0 y 9 90 Y 9 =Y 8 +y 9 0 0 y 0 00 Y 0 =Y 9 +y 0 iv) Calcular el ídice de Gii coforme a algua de las muchas expresioes que existe para el caso e que se trabaja co datos agrupados. Por ejemplo: CG= - x i( Yi + Yi + ) (7) i= CG= 0000 i= ( Xi XiYi + + Y i) (8) CG= - ( Xi + Xi)( Yi + Yi + ) (9) i= e dode represeta el úmero de grupos, x i la proporció (o porcetaje) de població e el grupo i; X i la proporció acumulada de població e el grupo i; Y i el igreso acumulado e el grupo i.

358 Cosideracioes sobre el ídice de Gii para medir la IV. La Variable Apropiada para la Medició de la Desigualdad E el trabajo empírico existe u debate sobre cuál es la variable que se cosidera más apropiada para evaluar la cocetració del igreso. De hecho, la pricipal cotroversia surge al mometo de elegir etre el igreso total del hogar o el igreso per cápita. Al respecto, es válido afirmar que ambas variables puede ser adecuadas, depediedo de los objetivos de la ivestigació que se quiera llevar a cabo. Por lo tato, primero debiera especificarse cuál es la fialidad de la medició, para luego proceder a elegir e cosecuecia la variable correspodiete. E ciertos casos puede justificarse el uso del igreso total familiar, por el simple hecho de que se cosidera que es el hogar la uidad de cosumo e la cual se cocetra las percepcioes de igreso de sus miembros y se decide sobre el destio de los recursos. Asimismo, el hogar es dode se comparte todos los biees y servicios colectivos que so adquiridos co el presupuesto familiar, y el cotexto que sirve para que sus miembros se forme y desarrolle para el proceso productivo. E ese setido, cuado el propósito del ivestigador es aalizar la distribució del igreso etre los hogares, o debe existir duda e cuato a que la variable que debe utilizarse es el igreso corriete total del hogar 4. Pero tambié puede darse u cuadro alterativo. E los últimos años, diversos ivestigadores ha orietado el estudio del bieestar hacia las persoas, y por tato ha isistido e la ecesidad de que debe ser éstas el foco de aálisis y de ateció de la política social, a la vez que debiera poerse mayor éfasis a las modalidades de asigació de recursos al iterior de los hogares. E ese cotexto, se recooce que el tamaño de la familia es ua variable de gra icidecia e la medició de la desigualdad y la pobreza, debido a que la costatació empírica cofirma que los hogares de meores igresos está itegrados por u úmero mayor de persoas, co relació a aquellos que se ubica e la parte alta de la distribució, lo cual tiee relació co mayores ecesidades, pero tambié co las ecoomías de escala que se geera e el uso de los biees públicos al iterior de los hogares. De allí etoces que, si el objetivo de la ivestigació se cetra e el estudio del bieestar idividual, parece pertiete utilizar el igreso per cápita del hogar como variable de referecia para evaluar la cocetració del igreso, ya que de lo cotrario el igreso familiar llevaría a subestimar el ivel de cocetració del igreso persoal por el simple hecho de que se hace caso omiso de las ecesidades que surge debido a la presecia de u mayor úmero de persoas. Más allá de esto, si embargo, y pese a que muchos estudios efectuados hace uso de esta variable para medir la cocetració del igreso, es preciso señalar que e estricto rigor técico el igreso per cápita o sería tampoco la variable más apropiada para estudiar el bieestar idividual, ya que e su cálculo o se cosidera el hecho de que las ecesidades de los meores puede diferir de las de los adultos, además de que existe e el hogar biees públicos que da servicio a todos sus miembros idepedietemete del tamaño de la familia. De modo que si el iterés de los ivestigadores es mostrar realmete qué sucede co el ivel de vida de cada uo de los miembros del hogar, la maera correcta de proceder para evaluar la iequidad existete lleva a la ecesidad de utilizar como factor de correcció del igreso escalas de equivalecia que permita costruir ua variable del igreso equivalete del hogar. Naturalmete, existe diferecias e los coeficietes de cocetració del igreso cuado el aálisis de u mismo cojuto de datos se realiza a partir de las dos variates mecioadas. Para ejemplificarlo, cosidérese la muestra de 30 hogares que se preseta e el cuadro 2. 4 Existe alguas defiicioes más limitadas de igreso que se capta e alguas de las ecuestas de hogares vigetes e la regió (moetario, remueracioes al trabajo, etc.). Si embargo, para ser cosistete co el marco coceptual derivado del Sistema de Cuetas Nacioales (SCN), la mejor aproximació al presupuesto familiar se logra al cosiderar el igreso corriete total del hogar (moetario más o moetario).

Cosideracioes sobre el ídice de Gii para medir la 359 Co base e estos datos, si el iterés es aalizar la distribució familiar del igreso, utilizado como variable de aálisis el igreso total del hogar, el valor del coeficiete de Gii es 0.8460. Por el cotrario, si el objetivo es coocer cómo se distribuye el igreso persoal, y se elige como variable de cálculo el igreso per cápita, el ivel de cocetració del igreso aumeta a 0.8776, lo que represeta ua diferecia relativa de 3.74% etre ambos valores. CUADRO 2 Igreso Total Tamaño del Hogar Igreso Per cápita 25 7 3.57 29 7 4.4 38 6 6.33 49 6 8.7 50 5 0.00 28 5 25.60 55 7 22.4 59 7 22.7 258 4 64.50 369 4 92.25 423 4 05.75 536 3 78.67 569 5 3.80 639 4 59.75 698 6 6.33 79 7 02.7 789 4 97.25 259 3 49.67 278 4 39.50 295 5 259.00 459 4 364.75 594 3 53.33 2587 4 646.75 2589 4 647.25 3574 3 9.33 3697 3 232.33 4225 5 845.00 2369 4 3092.25 5632 5 326.40 69845 4 746.25 27036 42 3370.50 IV.2 El Efecto del Número de Grupos e el Cálculo del Idice de Gii Como premisa de aálisis es ecesario señalar que el cálculo de la cocetració del igreso a partir de datos agrupados itroduce sesgos de subestimació. Esto se debe a la pérdida de iformació idividual que se geera al o cosiderar la desigualdad detro de cada grupo. Desde u puto de vista teórico, la curva de Lorez es u cotiuo de putos; por lo tato, platear el aálisis de la distribució co datos agrupados cosiste e aproximar u poliomio de grado

360 Cosideracioes sobre el ídice de Gii para medir la, a partir de u cojuto limitado de putos m <. De esta forma, e la medida que m se aproxime a (m ), el error de estimació deberá reducirse. Por el cotrario, cuado el úmero de itervalos formados sea muy pequeño (m 0), se icremetará e forma cosiderable el error de aproximació, y por tato se subestimará de maera importate el verdadero ivel de desigualdad. Lo aterior es fudametal teerlo presete, ya que e la práctica es muy comú que se calcule la cocetració del igreso a partir de particioes que cosidera el 20% de las observacioes, deomiadas quitiles, si hacer cociecia de que se trata de ua aproximació muy gruesa, que seguramete subestima e magitud importate el ivel de desigualdad. E el cuadro 3 se preseta valores del coeficiete de Gii calculados para diferetes agrupacioes. Si se defie como parámetro de referecia el valor del coeficiete a partir de la formació de deciles, se observa que e la medida que el úmero de grupos dismiuye, el coeficiete de cocetració del igreso de esta població hipotética tiede tambié a dismiuir, mostrado ua diferecia absoluta de 0.568 putos e el caso e que la desigualdad se evalúa a partir de la formació de cico grupos. CUADRO 3 VARIACIONES EN EL INDICE DE GINI SEGÚN EL NÚMERO DE GRUPOS Número de Grupos Coeficiete de Gii Diferecias co relació al valor co 0 grupos 0 0.3709 --- 9 0.3686-0.0023 8 0.3588-0.02 7 0.3224-0.0485 6 0.2778-0.093 5 0.24-0.568 4 0.577-0.232 3 0.078-0.263 2 0.0488-0.322 % de diferecia --- -0.60-3.26-3.08-25.0-42.28-57.48-70.94-86.84 Otro aspecto que debe señalarse so las diferecias que existe e el valor del idicador cuado el cálculo se realiza co los datos idividuales, co relació a lo que resulta cuado se forma grupos de observacioes, tal como lo muestra el cuadro 4. CUADRO 4 COEFICIENTE DE DESIGUALDAD DE GINI PARA DATOS DESAGREGADOS Y AGRUPADOS Variable de Aálisis Datos Desagregados Datos Agregados Igreso Total 0.8460 0.786 Igreso Per Cápita 0.8776 0.827 Utilizado los datos del cuadro 4 se observa que para cualquiera de las dos variates de aálisis, el coeficiete de Gii calculado co datos agregados geera ua subestimació de casi 8% e el verdadero valor de la desigualdad, correspodiete al cálculo co datos desagregados.

Cosideracioes sobre el ídice de Gii para medir la 36 IV.3 Variables para el Ordeamieto de los Hogares y el Cálculo del Coeficiete de Gii La maera covecioal de medir la cocetració e u cojuto de datos cosiste e geerar, primeramete, u ordeamieto de las observacioes e fució de la variable que se desea aalizar. Por ejemplo, si se busca coocer el ivel de cocetració del igreso etre las familias, se procede como sigue: i) Ordear los hogares coforme a su igreso (total o per cápita); ii) Defiir el úmero de itervalos a formar; iii) Calcular para cada grupo el porcetaje de observacioes y del igreso que cocetra; iv) Aplicar algua fórmula de cálculo para datos agrupados que permita coocer la distribució de la variable e la població objeto de estudio. E el trabajo práctico surge diferetes opcioes para el ordeamieto de los hogares, así como para la elecció de la variable a utilizar e el aálisis. A cotiuació se preseta alguas de las alterativas para el ordeamieto de los hogares, de las variables a utilizar para efectuar los cálculos, y de las combiacioes etre ambas. A fi de facilitar la presetació, e adelate se supodrá que lo que iteresa es estudiar la distribució del igreso etre los hogares. Opcioes: a) Ordear a los hogares segú su igreso total (Y) y acumular el igreso total del hogar como variable de aálisis (Y). b) Ordear a los hogares segú su igreso per cápita (Y p ) y acumular el igreso per cápita (Y p ). c) Ordear los hogares segú su igreso per cápita (Y p ) y acumular el igreso total del hogar (Y). d) Ordear los hogares segú su igreso total (Y) y acumular el igreso per cápita (Y p ). E las dos primeras opcioes, la variable que geera el ordeamieto coicide co aquella que se utiliza para efectuar el aálisis. E cambio, e las alterativas c) y d) existe diferecias etre la variable del ordeamieto y aquella que se emplea e el cálculo del coeficiete de desigualdad. Al respecto, debe hacerse otar que las alterativas c) y d) puede provocar icosistecias e el aálisis que coduzca a la subestimació del verdadero ivel de la desigualdad. De hecho, cuado a partir de ua combiació de las variables como las señaladas se calcula el coeficiete de Gii, el idicador se cooce comúmete como pseudo-gii, ya que la variable que ordea o coicide co la que se utiliza para calcular la desigualdad, situació que difiere del plateamieto teórico que da susteto a la lógica de costrucció del ídice de Gii 5. Normalmete los hogares pobres tiede a estar coformados por u mayor úmero de miembros, por lo que, bajo este procedimieto, puede suceder que alguos de los grupos formados represete u porcetaje de població mayor que el que le correspode segú el ordeamieto defiido, como se aprecia e el ejemplo hipotético del cuadro 5. Allí se muestra que, pese a que el primer decil agrupa el 0% de los hogares, el mismo cocetra el 4.% de las persoas. E circustacias que, para ser cosistete co el criterio utilizado para el cálculo del ídice de Gii, e ua situació igualitaria (CG=0) le debiera correspoder el 4.% del igreso total, y o el 0% como lo supoe el ordeamieto llevado a cabo. 5 Como se verá más adelate, el hecho de que pueda existir diferecias etre la variable que ordea y la distribució al iterior de los grupos formados, coduce a que este ídice o se pueda descompoer e forma aditiva.

362 Cosideracioes sobre el ídice de Gii para medir la CUADRO 5 DECILES DE HOGARES ORDENADOS SEGÚN SU INGRESO PER CÁPITA % Hogares %perso. % ig. Total %ig. Acumulado Ig. Total ig. Medio persoas ig. Per/cáp. tam. hogar 0 4.08 0.07 0.07 92 9.2 20 4.60 2.0 0 2.68 0.20 0.27 254 25.4 8 4..8 0.27 0.43 0.70 545 54.5 6 34.06.6 0 0.56.9.89 5 5. 5 00.73.5 0 0.56.50 3.39 906 90.6 5 27.07.5 0 9.5 2.06 5.45 2620 262.0 3 20.53.3 0 7.75 3.5 8.60 3996 399.6 363.27. 0 7.75 5.33 3.93 6770 677.0 65.45. 0 7.75 9.05 22.98 496 49.6 045.09. 0 9.5 77.02 00.00 97846 9784.6 3 7526.6.3 Coeficiete de Gii 0.7854 Supógase que se dispoe de ua muestra de 30 hogares co iformació sobre el igreso total y el úmero de persoas que itegra cada uo de ellos, y se desea coocer el ivel de cocetració del igreso por medio del coeficiete de Gii. E esas codicioes, se requiere efectuar el ordeamieto de los hogares y seleccioar la variable apropiada para el aálisis siguiedo algua de las opcioes señaladas más arriba. Como se idicó, la opció a) cosiste e ordear los hogares segú su igreso total, y esta misma variable es la que se utiliza para calcular el coeficiete de Gii. E este caso, se obtiee u valor para la desigualdad del igreso etre los hogares de 0.786, tal como se registra e el cuadro 6. CUADRO 6 INDICE DE CONCENTRACIÓN DEL INGRESO DE LOS HOGARES OPCIÓN A): DECILES DE HOGARES ORDENADOS POR INGRESO TOTAL Y SE ACUMULA EL INGRESO TOTAL Decil % Hogares %perso % ig. Total %ig. Acumulado ig. Total ig. Medio Persoas ig. Per/cáp. tam. hogar 0 4.08 0.07 0.07 92 9.2 20 4.60 2.0 2 0.27 0.8 0.25 227 22.7 6 4.9.6 3 0 2.68 0.45 0.70 572 57.2 8 3.78.8 4 0 7.75.05.75 328 32.8 20.73. 5 0 0.56.50 3.25 906 90.6 5 27.07.5 6 0 9.86 2.8 5.43 2767 276.7 4 97.64.4 7 0 9.5 3.7 8.60 4032 403.2 3 30.5.3 8 0 7.75 5.33 3.93 6770 677.0 645.45. 9 0 7.75 9.05 22.98 496 49.6 045.09. 0 0 9.5 77.02 00.00 97846 9784.6 3 7526.62.3 Coeficiete de Gii 0.786 A su vez, la iformació de ese mismo cuadro permite iferir que los hogares ubicados e los primeros deciles está compuestos por u mayor úmero de persoas. De modo que si el objetivo es el estudio de la cocetració del igreso etre los idividuos, el aálisis debiera privilegiar el uso de ua variable que tega e cueta esas diferecias e el tamaño de la familia, por lo que debiera optarse por el