Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 7 TEMA 8 Drivadas Tormas Rgla d L Hôpital Problmas Rsultos Drivada d una función n un punto Utilizando la dfinición, calcula la drivada d f ( ) n l punto f ( a ) f ( a) La drivada d la función f() s n l punto a s dfin así: f ( a) f ( ) f () En st caso: f () Como f ( ) ( ) ( ) y f(), s tin: ( ) f () ( ) Utilizando la dfinición, alla la drivada d la función f ( ) n l punto Compruba, mdiant las rglas d drivación qu tu rsultado s corrcto f ( ) f () f () ( ) 6 6 ( ) 5 Lugo: f () 5 ( ) ( ) 5 Drivando f ( ) f ( ) ( ) ( ) 5 Si, f ( ) 5 Obviamnt, coincidn ( ), Aplicando la dfinición, studia si la función f ( ) s drivabl n l 9 > punto Para qu la función sa drivabl n db sr continua y dbn coincidir las drivadas latrals n dico punto Es continua, pus los its latrals son iguals: f ( ) f ( ) ( ) ( 9) Las drivadas latrals son: Por la izquirda: f ( ) Como f ( ) ( ) ( ) y f ( ), s tndrá: wwwmatmaticasjmmmcom José María Martínz Mdiano
Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 8 f ( ) f () f ( ) ( ) ( ) Por la drca: f ( ) 9 Como f ( ) ( ) 9 y f ( ), s tndrá: f ( ) f () f ( ) Como las drivadas latrals son iguals, la función s drivabl n En la gráfica antrior pud vrs qu la función no cambia su trayctoria al pasar d la curva a la rcta D co, a partir d, la curva s sustituida por la rcta tangnt a la curva n s punto: la curva s va por la tangnt, < Aplicando la dfinición, studia si la función f ( ) s drivabl n, La función s continua n, pus los its latrals son iguals: f ( ) f ( ) ( ) ( ) Las drivadas latrals son: Por la izquirda: f ( ) Como f ( ) y f ( ), s tndrá: f ( ) f () f ( ) Por la drca: f ( ) Como f ( ) y f ( ), s tndrá: f ( ) f () f ( ) Como las drivadas latrals son difrnts, la función no s drivabl n En la gráfica antrior pud vrs qu, n l punto, la función ac un cambio brusco, tin un pico 5 En qué puntos no son drivabls las funcions: a) f ( ) b) f ( ) En cada caso indica l porqué a) La función f ( ) no s drivabl n l punto, pus n s punto no stá dfinida (y por tanto no s continua) wwwmatmaticasjmmmcom José María Martínz Mdiano
Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 9 b) La función f ( ) no s drivabl para los númros rals ngativos, por no star dfinida Admás, tampoco s drivabl n, pus la función drivada f ( ) no stá dfinida si 6 Dtrmina los puntos n los qu no son drivabls las funcions: a) f ( ) b) f ( ) Ambas funcions pudn dfinirs a trozos y ambas son continuas (s vio n l tma 7) ( ), si < a) f ( ), si, si < Drivando: f ( ), si > Es vidnt qu n las drivadas latrals son distintas Su gráfica s la adjunta, si b) f ( ), si < <, si En las drivadas valn: f ( ) f ( ) Por la izquirda: ( ) Por la drca: f ( ) f ( ) ( ) Como no son iguals, la función no s drivabl n En : f ( ) f ( ) Por la izquirda: ( ) Por la drca: f ( ) f ( ) ( ), si < f ( ), si < <, si > Tampoco s drivabl n En ambos casos pud vrs qu las tangnts por uno y otro lado d sos puntos no son iguals, si 7 Compruba qu la función f ( ), s drivabl n todo R ln( ), si > La función dada stá dfinida simpr También s continua y drivabl n todos los puntos, salvo, quizás, n Continuidad n Si, f ( ) Si, f ( ) ln( ) ln Como ambos its coincidn, la función s continua n wwwmatmaticasjmmmcom José María Martínz Mdiano
Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 Drivabilidad n, si < Salvo n, su drivada val: f ( ), si > Si, f ( ) Si, f ( ) Como las drivadas latrals coincidn, la función también s drivabl n, < 8 Compruba qu la función f ( ) s continua y drivabl n todo R, Haz un sbozo d su gráfica dando valors El único punto qu prsnta dificultad s Continuidad n (Para qu sa continua s ncsario qu los its latrals san iguals) Por la izquirda: f ( ) Por la drca: f ( ) ( ) Evidntmnt s continua Drivabilidad n Dbn coincidir las drivadas latrals Salvo n, la drivada s:, < f ( ), < Drivada por la izquirda: f ( ) Drivada por la drca: f ( ) Lugo, la función s drivabl n Para dibujarla pud obsrvars qu s trata d dos parábolas: una d j vrtical, f ( ) ; la otra, d j orizontal, f ( ) Ambas pudn trazars a partir d una tabla d valors (, ); (, /); ( /, ); (, ),, ; (, ) (, ); ( ); ( ) wwwmatmaticasjmmmcom José María Martínz Mdiano
Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8, 9 Estudia la drivabilidad d la función f ( ) sin, > Como las funcions qu dfinn a f son drivabls, l único punto conflictivo s Para qu la función sa drivabl n db sr continua y dbn coincidir las drivadas latrals n dico punto Es continua, pus los its latrals son iguals: f ( ) f ( ) ( ) sin Salvo n, la drivada d la función s:, < f ( ) cos, > Por la izquirda d : si, f ( ) Por la drca d : si, f ( ) cos Como las drivadas latrals son iguals, la función s drivabl también n En la gráfica antrior pud vrs qu la función no cambia su trayctoria al pasar d la parábola al sno Drivabilidad d funcions dfinidas a trozos Casos con parámtros a si Dada la función f ( ) alla: si > a a) El valor o valors d a para qu f sa continua b) El valor o valors d a para qu f sa drivabl El único punto qu prsnta dificultads s, qu s dond s distingun las funcions qu intrvinn a) Para qu sa continua los its latrals dbn sr iguals Si, f a Si, f /a Como dbn sr iguals: a a a a o a a La función s continua n todo R si a o a b) Para qu sa drivabl dbn sr iguals las drivadas latrals n a si < Drivando: f ( ) si > a Si, f a Si, f /a Como dbn sr iguals: a a a ± a Para a la función no s continua, lugo l valor qu ac la función drivabl s a (Para a la función s continua, pro no drivabl) wwwmatmaticasjmmmcom José María Martínz Mdiano
Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 Qué valor ay qu asignar a a para qu la función drivabl n? Los its latrals coincidn con f(), pus: f ( ) a a, f ( ), y f ( ) ( ) Por tanto, la función s continua n a a, si < Salvo n, su drivada s f ( ), si > Las drivadas latrals n valn: f ( ) a y f ( ) La función s drivabl si a si si > sa a( ) si Halla l valor d a qu ac qu la función f ( ) sa drivabl n ( ) si > todo R Para l valor allado az un sbozo d su gráfica n l intrvalo [, ] Es continua n, pus coincidn los limits latrals Si, f ( ) a( ) ; si, f ( ) ( ) Para qu sa drivabl s ncsario qu las drivadas latrals san iguals a a si < Como, salvo n, f ( ) s tin: si > Si, f ( ) a a a; si, f ( ) a ( ) si Por tanto, la función s f ( ) ( ) si > S pud rprsntar dando valors, como s mustra n la figura (Pud obsrvars qu n la lína pasa suavmnt d una a otra función Eso s un indicador d su drivabilidad) a b si < Dada la función f ( ) : si a) Pará qué valors d a y b s continua n? b) Pará qué valors d a y b s drivabl n? a) Srá continua n cuando coincidan los limits latrals Si, f ( ) a b a b ; si, f ( ) Db cumplirs qu a b a b La función srá continua simpr qu b a, con a arbitrario b) Para qu sa drivabl s ncsario qu las drivadas latrals, n, san iguals a si < Como, salvo n, f ( ), s dduc: si > wwwmatmaticasjmmmcom José María Martínz Mdiano
Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 Si, f ( ) a a; si, f ( ) Por tanto, a a En s caso, como b a b Lugo, para qu sa drivabl s prciso qu a y b si Dtrmina los valors d a y b para qu la función f ( ) sa a b si > drivabl n l punto En primr lugar s ncsario qu sa continua Para llo, dbn coincidir los its latrals n Si, f ( ) Si, f ( ) a b b b Para qu sa drivabl s ncsario qu coincidan las drivadas latrals Salvo n, la drivada d la función s: si < f ( ) a si > Cuando, f ( ) Cuando, f ( ) a a a Por tanto, la función dada srá drivabl cuando a y b 5 sin( a) si 5 Dtrmina los valors d a y b para qu la función f ( ) sa a b b si > drivabl n Continuidad n : dbn coincidir los its latrals n dico punto Si, f ( ) 5 sin( a) 5 Si, f ( ) a b b b b 5; indpndint dl valor d a 5 sin( a) si Por tanto, f ( ) a 5 5 si > Drivabilidad n : dbn coincidir las drivadas latrals n dico punto a cos( a) si < Salvo n, f ( ) a 5 si > Si, f ( ) a cos( a) a Si 5, f ( ) a 5 5 a 5 a 5 5 sin si La función drivabl s f ( ) 5 5 5 si > wwwmatmaticasjmmmcom José María Martínz Mdiano
Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 sin si 6 Dmustra qu la función f ( ) s drivabl n toda la rcta ral a si > El único punto qu prsnta dificultads s En s punto abrá qu vr qu la función s continua y drivabl Continuidad: Si, f ( ) sin Si, f ( ) a Como los its latrals coincidn, la función s continua para cualquir valor d a Drivabilidad: Salvo para, la función drivada s cos f ( ) a si < si > Si, f ( ) cos Si, f ( ) a Como las drivadas latrals coincidn, la función dada s drivabl simpr, indpndintmnt dl valor qu s tom a, Tangnt a una curva 7 Halla la cuación d la rcta tangnt a cada una d las curvas siguints n los puntos qu s indica: a) f ( ) n l punto b) y n l punto d abscisa 6 c) f ( ) n l punto d abscisa d) f ( ) n l punto ) f ( ) n l punto f) f ( ) ln( ) n l punto d abscisa La cuación d la rcta tangnt a la curva asociada a la función y f () n l punto d abscisa a vin dada por la prsión: y f ( a) f ( a)( a) a) La rcta tangnt a la función f ( ) n l punto d abscisa, srá: y f () f ()( ) Como f ( ) y f ( ), s obtin: y ( ) y 9 b) y y y() /; y () /8 ( ) 5 y y 8 8 8 La cuación d la tangnt s: ( ) c) f ( ) f ( ) ; f ( ) f ( ) Por tanto, la rcta tangnt s: y ( ) y wwwmatmaticasjmmmcom José María Martínz Mdiano
Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 5 d) 6 6( ) f ( ) f ( ) (f() 6/5; f () 8/5) ( ) 6 8 8 8 y y 5 5 5 5 La tangnt s: ( ) ) f ( ) () f ; f ( ) f () La tangnt s: y ( ) y f f ( ) ln ; f ( ) f ( ) La tangnt s: y ( ) y f) ( ) ln( ) 8 Halla la cuación d la rcta tangnt a f ( ) n l punto (, f()) La cuación d la rcta pdida s: y f ( ) f ()( ) f ( ) f ( ) f ( ) ; f () y y La rcta tangnt srá: ( ) 9 La curva d cuación y y la rcta y b son tangnts n l punto Cuál db sr l valor d b? En l punto d tangncia la drivada db valr, qu s l valor d la pndint d la rcta tangnt y 6 6 Para, y El punto d tangncia s, Como s punto db cumplir la cuación d la rcta y b : 7 b b Halla la cuación d la parábola y b c qu s tangnt a la rcta y n l punto (, ) La parábola db pasar por l punto (, ) b c c b La drivada n l punto d abscisa db valr, qu s l valor d la pndint d la rcta tangnt Como y b b b c La parábola buscada s y wwwmatmaticasjmmmcom José María Martínz Mdiano
Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 6 Dtrmina los puntos d la curva y n los cuals la rcta tangnt s paralla y 9 5 Halla las cuacions d las rctas tangnts n sos puntos La drivada n los puntos buscados db valr 9, qu s l valor d la pndint d la rcta dada Como y 6, db cumplirs qu 6 9 6 9 o Para sos valors, los puntos d la curva son: (, ) y (, ) La tangnt n (, ) s: y 9( ) y 9 7 y 9 y 9 5 La tangnt n (, ) s: ( ) p Dtrmina l valor d p para qu la rcta tangnt a la curva y, n l punto d abscisa, pas por l orign d coordnadas p p y y p p p En : y ( ) ; y ( ) p p p La tangnt n s punto s: y p ( ) P P p Para qu pas por (, ): p ( ) ( p ) p La situación sría la dibujada a la drca Cálculo d drivadas Driva las siguints funcions Simplifica l rsultado y calcula n cada caso f (), si ist a) f ( ) ( )( ) b) f ( ) ln a) f ( ) ( )( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ( ) ( ) ( ) )( ) ( ( ))( ) f ( ) ( )( ) f ( ) ( ) ( ) 5 / f ( ) ln( ) ln( ) b) f ( ) ln f ( ) f ( ) Dada f ( ), alla los valors d f () y f () ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( 6 ) ( ) ( ) f ( ) 8 ( ) f ( ) ( ) 6 f ( ) ( ) wwwmatmaticasjmmmcom José María Martínz Mdiano
Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 7 6 6 f ( ) f ( ) 8 ( ) ( Por tanto: 6 6 8 f ( ) ; f ( ) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ) 5 Halla los puntos n los qu s anulan las drivadas primra y sgunda d ( ) f ( ) ( ) 6 f ( ) f ( ) 6 ( ) ( ) ( 6 ) ( ) 8 ( ) ( 6 ) 8 f ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) o 6 Halla l valor d las drivadas primra y sgunda d g( ) ( ) ( ) ( ) g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g ( ) Por tanto, g ( / ) Drivada sgunda: 5 7 8 7 5 ± g( ) ( ) n l punto ( ) (simplificando) ( ) ( ) ( ) g ( ) g ( ) 6 ( ) ( ) Simplificando: ( ( ) )( ) ( ) ( 6 8 ) g ( ) ( ) ( ) 8 8 7 6 Por tanto, g ( / ) 8 6 ± ( )( ) ( ) ( ) wwwmatmaticasjmmmcom José María Martínz Mdiano
Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 8 7 Driva las siguints funcions simplificando l rsultado Calcula, si s posibl, su valor n l punto : a) f ( ) b) f ( ) cos c) f ( ) ( ) d) f ( ) ln( ) a) f ( ) f '( ) f '( ) ( ) f '() b) f ( ) cos ( ) f '( ) cos sin sin cos '( ) f f '() ( ) c) ( ) ( ) ( ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) f '() d) f ( ) ln( ) f ( ) f '() 8 Driva, simplificando los rsultados, las siguints funcions: a) f ( ) b) a) ( ) f ( ) ( ) ( )( ) ( ) (5 ) c) ( ) f ( ) f ( ) ln ( )( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) cos b) (5 ) f ( ) ( 5 ) 5 ( 5 ) ( 5 )( 5 ) f ( ) f ( ) ln cos c) ( ) 6 f ( ) sin 9 Driva las siguints funcions Simplifica l rsultado cuando s puda; calcula n todos los casos f ( ), si ist a) ( ) a) f b) f ( ) ( ) ( ) c) ( 6 )( ) ( ) f ( ) ist f ( ) sin 5 f f ( ) no ( ) ( ) wwwmatmaticasjmmmcom José María Martínz Mdiano
Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 9 b) f ( ) ( ) f ( ) ( ) 6 5 f ( ) 8 f ( ) ( ) c) f ( ) sin f ( ) sin cos sin cos f ( ) Driva las siguints funcions Simplifica l rsultado y calcula n cada caso f (), si ist a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) sin( ) cos( π) a) ( ) ( 6 )( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) ist: la función no stá dfinida n s punto f f () no b) f ( ) ( ) ( ) f f ( ) c) f ( ) sin( ) cos( π) f ( ) ( ) cos( ) π sin( π) f ( ) Halla la función drivada d cada una d las siguints funcions: a) y b) f ( ) ( cos ) c) f ( ) ( cos ) d) y tag ( ) ) tag ( y ) f) y tag ( ) g) y arcsin ) y arcsin i) y 9 j) y arcsin k) y 6 l) y arccos( ) m) y arctan n) arctan y o) y ln( 6 ) p) y arctan a) y ( 6 ) y ln b) f ( ) ( cos ) f ( ) ( cos ) ( sin ) 6 sin ( cos ) c) f ( ) ( cos ) f ( ) ( cos ) ( sin ) 6 sin ( cos ) d) tag ( ) y tag ( ) cos ( ) y tag ( ) cos ( ) y ( ) ) tag ( ) y ( ) f) y tag ( ) y ( ) ( tag ( ) ) wwwmatmaticasjmmmcom José María Martínz Mdiano
Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 5 g) y arcsin y 9 ) arcsin / y y 9 9 i) y 9 y 9 9 j) y arcsin y 6 5 5 6 6 k) y y 6 6 l) y arccos( ) y ( ) ( ) m) y arctan y 6 n) arctan / y y 6 6 o) y ln( 6 ) y 6 p) y arctan y Drivación logarítmica Aplicando las propidads d los logaritmos, alla y simplifica la drivada d las funcions: a) y ln( 5) b) f ( ) ln c) y ln a) y ln( ) 5 ln( 5) 5 6 5 Drivando aora: y 5 5 / f ( ) ln( ) ln( ) b) f ( ) ln f ( ) c) y ln ln( ) ln( ) y wwwmatmaticasjmmmcom José María Martínz Mdiano
Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 5 Aplicando logaritmos alla la drivada d: () sin a) f ( ) ( ) b) f ) a) ( ) () f ( ) ln ( ) ln( ) ( c) () f ln ( ) d) ( ) f ( ) f ln f( ) ( ) ln( ) Drivando: f ( ) ln( ) () f( ) f ( ) f( ) ln( ) () ( ) f ( ) ln( ) () b) Si sin ( ), aplicando logaritmos: f ( ) ( sin ) ln f f ( ) f ( ) sin sin f ( ) cos ln ln ( Drivando: ( cos ) ln sin f ) f ( ) ( cos ) ln sin c) Si ( ) f Drivando: ln ( ) ln ( ) ln f ( ) ln ln ln ln f ( ) ln ln f ( ) ln f ( ) d) Si f ( ) ( ) f ( ) ln( ) ln Drivando: ln f ( ) f ( ) ( f ( ) ( ) ) A partir d las fórmulas d las drivadas d f ( ) sin y f ( ) cos alla las fórmulas d las drivadas d las funcions: a) f ( ) cosc b) f ( ) sc c) f ( ) cotan a) Por dfinición d coscant: f ( ) cosc sin Drivando: cos cos cos f ( ) cotag cosc (sin ) sin sin sin sin b) Por dfinición d scant: f ( ) sc Drivando: cos sin cos ( sin ) sin f ( ) tan sc (cos ) cos cos cos cos c) Como f ( ) cot an, drivando: sin sin sin cos cos ( sin cos ) f ( ) cosc (sin ) sin sin ( ) ( ) ( ) wwwmatmaticasjmmmcom José María Martínz Mdiano
Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 5 5 Partindo d la dfinición d arco cosno y arco tangnt dduc las funcions drivadas d: a) f ( ) arccos b) f ( ) arctag a) f ( ) arccos cos f ( ) Drivando mimbro a mimbro s obtin: ( sin f ( ) ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) sin f ( ) cos f ( ) Por tanto: f ( ) arccos f ( ) b) f ( ) arctag tag f ( ) Drivando mimbro a mimbro s obtin: ( tag f ( ) ) f ( ) f ( ) f ( ) tag f ( ) Por tanto: f ( ) arctag f ( ) 6 Halla la drivada n-ésima d las siguints funcions: a) f ( ) ln b) f ( ) ln( ) c) f ( ) ) a) D f ( ) ln f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) n 5) n) ( ) ( n )! f ( ) f ( ) 5 n Obsrvación: Si s scrib f ( ), las sucsivas drivadas s obtinn con mayor ) facilidad, pus: f ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( )( )( ) b) f ( ) ln( ) f ( ) ( ) ( ) ( f ( ) ( ) ) ( ) ( f ( ) ) ) ( ) ( f ( ) ( ) ) ) ( f ( ) (!) ) 5) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) 5 f ) ( ) (!) 5 Por tanto: n ) ( ) (( )) f ( ) n! ( ) n n n n) ( ) (( n )! ) f ( ) f 5 ( ) 5 ( ) n c) f ( f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) f wwwmatmaticasjmmmcom José María Martínz Mdiano
Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 5 ( ) ( f ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( )! ( ) ( )! ( )! ) ( ) 5 ( ) 5 f Por tanto: n) n n) n! f ( ) ( n! )( ) f ( ) n ( ) f 7 Halla la drivada n-ésima d las funcions: a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) a) f ( ) f ( ) f ( ) Por tanto: n) n f ( ) f ( ) b) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) n) f ( ) n c) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Por tanto: n) n) f ( ), si n s impar; f ( ), si n s par Difrncial d una función 8 Halla la difrncial d cada una d las siguints funcions: a) y b) y c) u cos d) u a) y dy ( 6 6)d b) y dy d c) u cos du cos ( sin )d d) u du d 9 Cuál s l incrmnto (la variación aproimada) d cada una d las siguints funcions cuando, partindo d, la variabl s incrmnta n,? a) f ( ) ln( ) b) f ( ) c) f ( ) El incrmnto d la función s aproimadamnt igual al valor d df () con d, a) Para f ( ) ln( ) df ( ) d df ( ),, b) Para f ( ) df ) ( )d ( () ( ),, df c) Para f ( ) df ( ) d df ( ),, wwwmatmaticasjmmmcom José María Martínz Mdiano
Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 5 Tnindo n cunta qu 6 8, utilizando la difrncial d la función f ( ), alla l valor aproimado d 65 Si f ( ) f ( ) df ( ) d Para 6 y d s tin: df ( 6), 65 6 6 Por tanto, f ( 65) f (6) df (6) 8,65 8, 65 Obsrvación : Utilizando la rcta tangnt n 6, qu s y f ( 6) f (6)( 6) y 8 ( 6) y Para 65, f ( 65) 65 8,65 6 6 6 Con la calculadora s obtin 65 8,65778 El rror qu s comt al aproimar s valor con la difrncial s infrior a, Drivación implícita Para cada una d las siguints cuacions, alla l valor d y n l punto (, ) d su gráfica: a) y 9 b) y c) y y a) y 9 y y y y y Sustituyndo los valors d y: y (, ) b) y y y y y (, ) y c) y y yy y y y y y (, ) y Dada la circunfrncia d cuación ( ) ( y ) 5, alla la cuación d la rcta tangnt a lla n l punto (, ) El punto (, ) prtnc a la circunfrncia, pus cumpl su cuación: ( ) ( ) ( ) 5 El valor d la pndint d la tangnt vin dado por la drivada n l punto; n st caso, s obtin implícitamnt ( ) ( y ) 5 ( ) ( y ) y ( ) y y (, ) ( y ) y La cuación d la rcta tangnt: y ( ) wwwmatmaticasjmmmcom José María Martínz Mdiano
Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 55 Propidads d las funcions drivabls Tormas d Roll y dl valor mdio Vrifica la función f ( ) l torma d Roll n l intrvalo [, ]? En caso afirmativo alla l punto qu afirma l torma Es obvio qu la función s continua y drivabl n l intrvalo dado; admás, f ( ) 6 y f ( ) 6 Por tanto, vrifica l torma d Roll y, n conscuncia, ist un punto c (, ) tal qu f ( c) Efctivamnt, drivando f ( ) Esto s, c Obsrvación: Como la función dada s una parábola, la abscisa allada s la dl vértic (Propusto n Slctividad) S vrifica l torma d Roll para la función f ( ) 7, 5? La función s continua y toma valors iguals n los trmos dl intrvalo: f ( ) f (5) Pro, como no s drivabl n l intrvalo dado (n concrto n /), no satisfac las condicions igidas por l torma 5 Halla l punto qu vrifica l torma dl valor mdio para la función f ( ), n l intrvalo [, ] La función s continua y drivabl n l intrvalo dado Por tanto, ist un punto (, ) tal qu: f () f ( ) ( ) f ( ) ± ( ) El punto buscado s (, ) 6 Halla l punto qu vrifica l torma dl valor mdio para la función f ( ), n l intrvalo (a, a), a Concrétalo cuando a Es obvio qu la función s continua y drivabl n l intrvalo dado (La función stá dfinida para todo ) Por tanto, ist un punto c (a, a) tal qu: f (a) f ( a) / a / a f ( c) c a c a a a a c a c Si a, l intrvalo s (, ), y c 7 (Propusto n Slctividad) Aplica l torma dl valor mdio a la función f ( ) ln n l intrvalo (, ), dtrminando l valor d c, < c <, para l qu s vrifica dico torma La función s continua y drivabl n l intrvalo dado; por tanto, s cumpl qu ist un punto c (, ) tal qu: wwwmatmaticasjmmmcom José María Martínz Mdiano
Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 56 f ( ) f () f ( c) Es s l valor d c ln ln 8 Dmustra qu l valor qu vrifica l torma dl valor mdio para f ( ) a, n l intrvalo (, ), no dpnd d a Cuál s s valor? f () f () Hay qu allar l valor d (, ) qu vrifica: f ( ) Por tanto: 9 a ( a) 5 a 5 a a 5 a 6 a, qu, obviamnt, no dpnd d a Aplicación al cálculo d its Rgla d L Hôpital 9 Aplicando la rgla d L Hôpital alla los siguints its: ( ) a) b) c) ± ( ) a) ± ± (aplicando L Hôpital) 8 8 8 ( ) 8 L H ± ± 8 Obsrvación: Para acr st it no s ncsario aplicar L Hôpital; basta con comparar los grados b) ( ) L H Obsrvación: Est it s rsolvió d otra forma n l tma antrior Pud rsultar intrsant comparar ambos métodos c) 6 ( ) L H 5 Halla los siguints its: sin sin a) π / cos b) cos sin π / sin( π / ) π / a) π / cos cos π π cos c) sin No ay indtrminación b) sin cos (L H) sin cos sin (L H) wwwmatmaticasjmmmcom José María Martínz Mdiano
Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 57 cos cos sin cos cos sin c) sin (L H) sin cos cos cos cos sin sin (L H) 5 Calcula: / a) ( sin ln ) b) a) S trata d una forma indtrminada dl tipo [ ] ln ( sin ln ) [ ] (Aora pud aplicars L Hôpital) sin sin sin cos cos cos ( L H ) cos sin sin b) / aplica L Hôpital: [ ] s scrib n la forma: / / / / /, y aora s 5 Calcula los siguints its: a) b) ln( ) ln a) Da lugar a una forma indtrminada dl tipo [ ] ln( ) [ ] ln( ) (Aplicando L Hôpital) ln( ) ( ) ln( ) ( ) b) [ ] S ac la opración indicada y ln wwwmatmaticasjmmmcom José María Martínz Mdiano
Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 wwwmatmaticasjmmmcom José María Martínz Mdiano 58 ( ) ln ln ) ( ln ln L H 5 Halla l valor d los siguints its: a) sin b) sin cos c) ( ) Solución a) : ) ( cos sin ) ( sin L H L H sin cos b) sin cos (L H) cos sin sin (L H) 5 sin cos cos cos c) ( ) ( ) ( ) ( ) L H L H 5 Calcula: a) ) ln( b) ( ) ( ) ln c) d) Solución a) : / ) ( ) ln( ) ( ) ln( L H L H b) ( ) ( ) ( ) ) ( ln c) ) ( ) ( L H L H d) ) ( L H
Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 59 55 Halla l valor d los siguints its: / a) ( ) b) / /() / a) ( ) Aplicando logaritmos s tin: ln ( ) Lugo [ ] ln( ) ln( ) / / / ( ) (L H) /() b) (No s una forma indtrminada) El it no ist, pro pudn / studiars los its latrals, cumpliéndos: /() /() ; / / 56 Calcula: a) (cos sin ) / a) Es una forma indtrminada: Aplicando logaritmos s tin: sin b) ( ) / cos (cos sin ) / [ ] / / ( (cos sin ) ) ln( (cos sin ) ) ln(cos sin ) ln sin cos ln(cos sin ) (aplicando L Hôpital) cos sin Por tanto, / (cos sin ) b) ( cos ) / sin [ ] Aplicando logaritmos: ( ) / sin ln( cos ) [ ] sin ln ( cos ) / ln( cos ) sin sin ln(cos ) (L H) cos sin sin cos cos / sin El it pdido val: ( cos ) wwwmatmaticasjmmmcom José María Martínz Mdiano
Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 6 57 Calcula, si istn, los siguints its: a) ( ) sin a) ( sin ) ln b) [ ] s aplican nprianos: ( sin ) ln( sin ) ln( sin ) [ ] cos sin ln ( sin ) cos cos sin (L H) ( ) Por tanto, ( sin ) cos sin L H b) Aplicando logaritmos: [ ] ln ln ln / (L H) / Por tanto: ln / [ ] 58 Halla los valors d a y b para qu los infinitésimos n, f ( ) y a g( ), san quivalnts b f ( ) Dos infinitésimos son quivalnts si g( ) Lugo: a ( ) b b b a( )( ) a( ) b a a b wwwmatmaticasjmmmcom José María Martínz Mdiano
Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 6 59 Dtrmina l valor d p para qu los infinitésimos, n, f ( ) p ln y g( ) san quivalnts p ln Db cumplirs qu Lugo: p ln p ln p ( ) L H p p 6 Eist algún valor d n l qu las funcions f ( ) p y g( ) ( p) p, san infinitésimos dl mismo ordn? f ( ) p p s un infinitésimo cuando ±p, pus ( ) ± p g( ) ( p) p s infinitésimo cuando p, pus ( p) p p ( p) p p p ( ) f ( ) Para qu san infinitésimos dl mismo ordn db cumplirs qu k, p g( ) S tin: f ( ) p p ( ) ( ) ( ) L H p g p p p p p p Como: p p ) si p y ) (no stá dfinido) si p, p p s dduc qu f ( ) p y g( ) ( p) p srán infinitésimos dl mismo ordn n p simpr qu p y Falta considrar l caso p n g( ) ( p) p Podría sr un infinitésimo? Db cumplirs qu g ( p) ( p) ( p)( p) p p p p o p El caso p a qudado dscartado ants Lo mismo sucd con p, pus si p, p, qu también s a dscartado wwwmatmaticasjmmmcom José María Martínz Mdiano
Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 6 Otras aplicacions d los its si 6 Qué valor ay qu asignar a p para qu la función f ( ) sin sa p si continua n Para qu f () sa continua n db cumplirs qu f ( ) f () p p sn sin sin sin sin cos cos sin Por tanto, p cos sin cos [ ] ( L H ) ( L H ) sin( ) 6 Halla las asíntotas d la función f ( ) El dominio d la función s R {, } Por tanto, n las abscisas y pud abr asíntotas vrticals En : Aplicando la rgla d L Hôpital: sin( ) cos( ) No ay asíntota vrtical En : sin( ) sin La rcta s asíntota vrtical sin( ) Admás ay una asíntota orizontal, pus, ya qu l numrador stá ± acotado, mintras qu l dnominador s ac arbitrariamnt grand La asíntota s la y ln 6 Halla las asíntotas d la función f ( ) Indica también la posición d la curva rspcto d las asíntotas En pud abr una asíntota vrtical, pus n s punto s anula l dnominador ln Como La rcta s una asíntota vrtical Si ln, Si ln, ln / Como La rcta y s una asíntota orizontal wwwmatmaticasjmmmcom José María Martínz Mdiano
Matmáticas II (Bacillrato d Cincias) Solucions d los problmas propustos Tma 8 6 ln Si, dl j OX ln Si, ncima dl j OX / / La curva va por dbajo La curva va por 6 Dpndindo d los valors d p, studia la continuidad d la función dada por: si < f ( ) p cos si El único punto n l qu pud sr discontinua s n Para qu una función sa continua n s ncsario qu los its latrals istan y san iguals Por la izquirda: ln ln f ( ) (aplicando la rgla d L Hôpital) p p p Por la drca: cos f ( ) ln Srá continua cuando p ln p wwwmatmaticasjmmmcom José María Martínz Mdiano