Problems resueltos y propuestos de cálculo en vris vribles. Integrles múltiples e x dx π Primer Edición 11 de Myo de 11 Frncisco Felipe Vilches Medin frvilche@ing.uchile.cl
Prefcio L presente colección de problems resueltos y propuestos tiene como objetivo exponer problems tipo de integrción múltiple mteri desrrolld en el curso de Cálculo en l myor prte de ls universiddes del mundo, como tmbién mostrr técnics de resolución que fciliten l comprensión y el cálculo del tem desrrollr, el ctul documento está destindo tnto pr estudintes como pr persons que deseen interiorizrse en el tem, no obstnte puede tener myor utilidd lumnos del curso de Cálculo en vris vribles, signtur del tercer semestre de pln común de l crrer de ingenierí civil de l Universidd de Chile, debido que los problems poseen un nivel de dificultd corde lo que se esper de un lumno del curso, demás de estr compuesto por ejercicios tnto de controles como de guís de ños nteriores, el escrito const de dos prtes fundmentles, l primer constrá de treint problems resueltos donde se exhibe el método y l solución del problem, en est primer etp prtiremos con diecisiete pr posteriormenre llegr los treint, l segund prte incluye treint problems propuestos muchos de ellos con su respectiv solución donde el lector puede comprobr sus conocimientos en l mteri, l reciente edición de Problems resueltos y propuestos de cálculo en vris vribles puede ser mplid en futuros ños, culquier dud o sugerenci como tmbin si encuentr errores en el documento fvor de envir un mil l dirección frvilche@ing.uchile.cl. Frncisco Vilches Medin Sntigo, 11 de myo del 11
Prte I Problems resueltos
PROBLEMAS RESUELTOS P1 Sen f : [, b] R y g : [c, d] R continus. Mostrr que: [ ] [ d ] [fxgy]dxdy fxdx gydy R donde R [, b] [c, d]. Consideremos l prtición de [, b]: x 1 < x <... < x n b, tl que x i+1 x i b n Luego l sum de Riemnn de f será: n 1 n 1 S n fc ij x i+1 x i y j+1 y j i jo Como y está definid en el mismo intervlo que x, usremos l mism prtición pr y, esto es: y j+1 y j b n Luego: n 1 n 1 b S n fc ij n i j Ahor bien, C ij [, b] [, b] C ij x i, y i. c S n n 1 n 1 b fx i, y i n i j n 1 n 1 b fx i gy i n i j n 1 n 1 b b fx i gy i n n i j n 1 b n 1 b fx i gy j n n i j
4 PROBLEMAS RESUELTOS Luego, como tnto g y f son integrbles en [, b]. n 1 b S 1 lím fx i n n i n 1 y S lím n j b gy j n convergen y sus límites no dependen de los x i e y j elegidos. Por lo tnto se tendrá: lím S n lím n n n 1 b n 1 b fx i gy j S 1 S n n i j existe, y no depende de los C ij x i, y j. Así escogiendo los x i, y j que relizn el máximo y mínimo en cd rectángulo, hemos encontrdo un sucesión de reticuldos S n pr los cules: lím n S S n f I Sn f Luego f es integrble.
PROBLEMAS RESUELTOS 5 P Sen f, g : R R, funciones cotds e integrbles en A R rectángulo. Demuestre utilizndo ls propieddes básics de integrbilidd que: 1 fxgy fygx [,b] [,b] f xdx g xdx fxgxdx I 1 1 1 1 1 [,b] [,b] fxgy fygx f xg y fxfygxgy + f yg x dydx f xg ydydx f xdx f xdx f xdx g ydy g xdx g xdx fxgxfygydydx + 1 fxgxdx fxgxdx fxgxdx fygydy + 1 fxgxdx + 1 f yg xdydx f ydy f xdx g xdx g xdx Concluyendo lo pedido. Nótese que pr psr de l tercer l curt líne se usó el resultdo obtenido en el P1, demás se utilizó el hecho de que l vrible es mud, por lo que se reemplzron x e y como vribles de integrción según conveniese
6 PROBLEMAS RESUELTOS P Se f : R R de clse C, pruebe que: utilizndo el Teorem de Fubini. f x y f y x Hint: Defin l función gx, y f x, y f x, y, e integre sobre un x y y x rectángulo rbitrrio R R. Luego justifique el hecho de que un función continu es nul ssi su integrl clculd sobre culquier rectángulo es nul. Se gx, y f x, y f x, y y R [, b] [c, d] el rectángulo de x y y x vértices, c,, d, b, c, b, d con, b, c, d rbitrrios, entonces: R gx, yda d c d c d c d c d c d f x y x, y f y x f x, ydydx x y x, y dydx d c d f x, ydydx y x f f x, ydxdy x, ydydx x y c y x b f b d x, y f y dy x, y x dx c f f b f f b, y, y dy x, d y y x x d f b, ydy c y d fb, y f, y c c d c f, ydy y b fx, d f x, ddx + x b + fx, c Aplicndo Fubini x, c dx f x, cdx x fb, d fb, c f, d + f, c fb, d + f, d + fb, c f, c
PROBLEMAS RESUELTOS 7 P4 Clculr: ye x y dxdy Ddo que l función fx e x no posee primitiv elementl, l integrl iterd no puede clculrse tl como está por lo que necesitmos invertir el orden de integrción, l región de integrción son los { y x, y/ y, x 1}, de mbs desigulddes deducimos que x 1 ver not l pie de l págin 1, de l primer desiguldd se obtiene que y y de l segund y x luego y x, entonces revirtiendo el orden de integrción tenemos: y ye x dxdy x y ye x dydx ex x e x dx e u du e 1 x dx Usndo el c.v u x du x dx dx du x y el T.F.C 1 Pr determinr el dominio mximl de x bst ver cuál vlor de y mximiz el intervlo en que se mueve l vrible x, en este cso pr y se obtiene x 1 que es el rngo más grnde pr x, por ejemplo pr y obtenemos que 4 x 1 que es un subconjunto de x 1
8 PROBLEMAS RESUELTOS P5 Se g : [, 1] R integrble. Pruebe que: x gtdt dx tgtdt b Clculr: y e y x dx dy L región de integrción son los {x, y/ x 1, x t 1}, de mbs desigulddes se tiene que t 1, de l segund desiguldd se tiene que x t y de l primer x, entonces x t, entonces: x gtdt dx t tgtdt b Invirtiendo el orden de integrción se tiene que: y e y x dx dy x 1 1 e 1 1 e e 1 e xe y x gtdx dt e y x dy dx x dx xdx x 1
PROBLEMAS RESUELTOS 9 P6 Clculr: e 5x e 1x dx x Hint: Escrib el integrndo de l integrl pedid como un integrl definid pr convertirl en un integrl doble. Usndo el Hint entregdo notemos que fx e 5x e 1x entonces: e 5x e 1x dx x 5 x e yx dydx 5 e yx dy, Invirtiendo el orden de integrción en l últim integrl tenemos que: e 5x e 1x dx x 5 5 5 e yx dydx e yx dxdy e yx dy y dy 5 y 1 lny 5 ln1 ln5 ln
1 PROBLEMAS RESUELTOS P7 Pruebe que: e x dx π Consideremos l función de dos vribles fx, y e x y e x e y y los subconjuntos de R B, R, B, R y C R [ R, R] [ R, R], notemos que B, R C R B, R por lo que: B,R e x y dxdy x y e C R dxdy B,R e x y dxdy 1 Esto último se debe que x, y R, fx, y e x y > por lo que en l sum de definición de l integrl existen sólo términos positivos, esto último implic que si A B entonces y A e x dxdy y B e x dxdy. Psndo coordends polres ls integrles de l desiguldd 1 se tiene que: R π e x y dxdy ρe ρ dθdρ π1 e R B,R Análogmente: B,R e x y dxdy R π ρe ρ dθdρ π1 e 4R Por otro ldo notemos que C R e x y dxdy R R R R e x e y dxdy y usndo el resultdo del P1 se concluye que: x y e C R dxdy R R R R e x e y dxdy R Pero como l vrible es mud se obtiene que R dxdy e x dx x y e C R R R e x dx R R e y dy El cálculo de est integrl es especilmente relevnte en Probbiliddes, su cálculo es complejo y no se esper que un lumno l resuelv sin uso de indicciones sin embrgo se present su demostrción pr ilustrr un de ls muchs plicciones de l integrl múltiple y justificr l identidd de l portd.
PROBLEMAS RESUELTOS 11 Reemplzndo los cálculos hechos en l desiguldd 1 se tiene: R π1 e R e dx x π1 e 4R R Tomndo límite cundo R en l últim desiguldd tenemos: R lím π1 R e R lím e dx x lím π1 R R R e 4R π e dx x π Usndo el teorem del Sndwich se concluye que: e dx x π e x dx π Notndo que l función fx e x es un función pr se conluye finlmente que: e x dx π
1 PROBLEMAS RESUELTOS P8 Clcule I w y e x dxdydw Indicción: Escrib l integrl de l form...dydxdw integre un vez y luego escrib l integrl resultnte como...dwdx. L región de integrción cumple ls desigulddes w 1 1, w y 1,y x 1, de y considerndo w un número fijo se obtiene que w x 1 y que w y x ver not l pie de l págin, entonces: I w y x w w w e x dxdydw e x dydxdw xe x we x dxdw L nuev región de integrción son los {w, x/ w 1, w x 1}, cmbimos nuevmente los límites de integrción obteniendo x 1, w x, entonces: I xe x we x dxdw 1 1 6 w x e 1 6 xe x we x dwdx x e x dx e u du Usndo el c.v u x du x dx dx du x Notemos que cmbir el orden de integrción en este cso es equivlente l de cmbir el orden en un integrl doble donde ls funciones dependientes de l primer vrible, en este cso ls funciones fw w y fw 1 presentes en l desiguldd, son considerdos números fijos, es decir como si ls funciones estuviern evluds por lgún numero w perteneciente l dominio ddo pr w, en este cso w [, 1] y el T.F.C
PROBLEMAS RESUELTOS 1 P9 Un pirámide está limitd por los tres plnos coordendos y el plno x + y + z 6. Representr el sólido y clculr su volumen por integrción múltiple. El plno x + y + z intersect l plno z en l rect de ecución x + y 6, est últim rect intersect l eje x en el punto de coordends 6,,, de esto se deduce que los límites de integrción serán x 6, y x, z x y, entonces: V 6 6 6 x x x y x y dzdydx dydx x x x 6 x 1 x + dx x 6 x 6 + x 6 x dx
14 PROBLEMAS RESUELTOS P1 Clculr el volumen del sólido bjo el plno x + 8y + 6z 4 y sobre l región del plno XY limitd por l prábol y x, l rect x+y 1 y el eje x. Notemos que ls curvs del plno XY se intersectn en el punto de coordends {,, por lo que l región } del plno XY puede ser descrit por y x, y/ y, x 5 y, nturlmente z 4 4y x, entonces: V 8 y5 5 y y 5 y y 4x y 4 4 4y x dzdxdy 4 4y x 5 y y 4xy 5 y y dxdy x 4 5 y y dy dy 16 + y 9 16 y 17 1 y + 55 4 + y4 6 16 y 17 4 y + 55 4 y 5 + 8 17 6 + 55 7
PROBLEMAS RESUELTOS 15 P11 Clculr el volumen del sólido bjo el plno z 4x y que está sobre l circunferencui x + y 16. El recinto de integrción stisfce ls ecuciones en coordends crtesins x + y 16 prte intern del cilindro, z prte superior l plno XYy z 4x prte inferior l plno z 4x, psndo coordends polres ests inecuciones se tiene que el recinto de integrción cumple ρ 4 1, z, z 4ρcosθ, ddo que z y ρ se tiene que cosθ por pr todos los puntos del recinto pues z luego π θ π ddo que en y en ρ es libre se tiene que ρ 4 por último de y se obtiene z 4ρcosθ, resumiendo, los límites de integrción son: ρ 4, π θ π, z 4ρcosθ, entonces: V 4 8 4 4 π π π π 4 4 4ρcosθ ρdzdθdρ 4ρ cosθdθdρ ρ sinθ ρ dρ ρ 4 8 51 π π dρ
16 PROBLEMAS RESUELTOS P1 Hllr el volumen limitdo por x + y + z 4, x + y z. Ddo que l esfer de ecución x + y + z 4 pone l tp superior del recinto de integrción y el prboloide de ecución x +y z pone l inferior se deduce que el recinto será quel que en coordends crtesins stisfg ls ecuciones x + y + z 4 y x + y z psndo coordends polres ls condiciones nteriores son equivlentes ρ + z 4 1 y ρ z, notndo que el prboloide intersect l esfer l ltur z 1, es decir en los puntos tles que x + y y z 1, entonces el recinto de integrción será en coordends polres ρ, θ π, ρ z 4 ρ, l últim desiguldd se deduce de ls desigulddes 1 y, de se tiene ρ z y de 1 l despejr z considerndo z pues pr todo punto perteneciente l prboloide se tiene z se deduce z 4 ρ juntndo ls últims desigulddes se tiene ρ z 4 ρ, entonces: V π π π π 4 4 ρ ρdzdθdρ ρ ρ 4 ρ ρ ρ 4 ρ ρ ρ 4 ρ dρ π π udu 1 16π π π 19π 6 dθdρ dρ π ρ4 6 Usndo el c.v u 4 ρ y el T.F.C en l integrl
PROBLEMAS RESUELTOS 17 P1 Hllr el volumen limitdo por ls superficies x 1 + y 1 1, z xy, z. El recinto de integrción stisfce en coordends crtesins ls inecuciones x 1 +y 1 1, z xy, z Pr este problem usremos coordends polres modificds, es decir utilizremos l trnsformción T ρ, θ, z x, y, z ρcosθ + 1, ρsinθ + 1, z cuyo jcobino es JT ρ, psndo ls inecuciones nteriores polres modificds tenemos que l región stisfce ρ 1 1, z 1 + ρcosθ1 + ρsinθ,z, de 1 se deduce que ρ 1, ddo ρ fijo no existe restricción sobre θ luego θ π de y se deduce que z 1 + ρcosθ + sinθ + ρ cosθsinθ, entonces: V π +ρcosθ+sinθ+ρ cosθsinθ π π π ρdzdθdρ ρ 1 + ρcosθ + sinθ + ρ cosθsinθ dθdρ ρ + ρ cosθ + sinθ + ρ cosθsinθ dθdρ π π π ρθ + ρ sinθ ρ cosθ + ρ sin π θ dρ πρ 1 π ρdρ
18 PROBLEMAS RESUELTOS P14 Hllr el volumen del sólido limitdo por los cilindros x + y y x + z. El sólido l estr limitdo por los cilindros indicdos cumple ls desigulddes x + y y x + z de l primer y segund desiguldd se observ que x, de l primer ddo x fijo se tiene que x y x y de l segund se deduce que x z x por lo que: V x x x x x dzdydx x dydx x x dx 4 dx 4 x dx 8 4x 8 8 16
PROBLEMAS RESUELTOS 19 P15 Clcule: R x + y + z dxdydz donde R {x, y, z R 1 x + y + z 9, z x + y }. Usndo l trnsformción T r, θ, φ rcosθsenφ, rsenθsenφ, rcosφ coordends esférics con JT r senφ se tiene que l región de integrción son los 1 r 9 1 r, rcosφ rsenφ cosφ senφ, como cosφ φ [, π ], demás cosφ senφ 1 tnφ notndo que cosφ pr φ [, π ], por lo que podemos dividir mbos ldos de l últim desiguldd sin lterr el conjunto solución por lo que π φ π, como no hy restricción pr θ se tiene que 4 θ π, entonces: R x + y + z dxdydz π 1 π 1 π π π 4 π 1 1 r senφdφdθdr r cosφ r dr r dθdr π r4 4 1 81 π 4 1 4 π π π 4 dθdr
PROBLEMAS RESUELTOS P16 Clcule 4 y +1 y x y + z dxdydz Hint: Considere el cmbio de vribles linel: u x y, v y, w z. x y Considerndo l trnsformción linel T x, y, z u, v, w, y, z tenemos que u u u x y z JT v v v x y z 1 1 1 1 1 6 w x w y w z, pero como l trnsformción v desde los puntos x, y, x u, v, x necesitmos JT 1 6, l región de integrción son los x, y, z tles que z 1, y 4, y x y + 1, dividiendo 1 por tenemos que z 1 w 1 dividiendo por se tiene que y x y v como u x u + y u + v, por lo que reemplzndo en se tiene v u + v v + 1 u 1, entonces: 4 y +1 x y + z dxdydz 6 u + w dvdwdu y 1 1 u + w dwdu du u + 1 1 udu + 6 1 u 1 1 + 6u 6 + 6 1 du
PROBLEMAS RESUELTOS 1 P17 Un bol centrd en el origen y de rdio R se cort por un plno horizontl un ltur h < h < R. Clculr el volumen de l prte superior de l esfer que se encuentr sobre dicho plno. L región de integrción stisfce ls desigulddes x + y + z R por ser intern l esfer y z h por estr sobre el plno ltur h,de l primer desiguldd se tiene que R z R, de l segund se tiene que z h como los puntos de l región de integrción deben stisfcer mbs desigulddes se tiene que h z R, dejndo z fijo se tiene que R z x R z, hor dejndo x y z fijos se tiene que R x z y R x z, entonces: V π π R R z R x z h R z R R z h R R z h R h R h R h R h R x z dydxdz R x z dxdz R z R z x dxdz R z R z rcsin x π R z dz R z dz R R dz π z dz h R hπr π R h πr + πh hπr R z + x R z x R z R z dz
Prte II Problems propuestos
PROBLEMAS PROPUESTOS P1 Usr el cmbio de vribles u y x, v y + x pr hllr y x sen dxdy y + x D donde D es el trpecio con vértices 1, 1,,, 4,,,. cos1 1 P Clculr D x + y e x y x+y dxdy donde D es l región cotd por x + y 1, x + y 4, x y 1, x y 1. 1 5 e 1 4 + e 1 4 e 1 P Hllr el áre del recinto encerrdo por un elipse de semiejes y b. bπ P4 Clculr z dv si R es l región limitd por ls superficies z R x + y y z 7 x y. 4 π P5 Utilizndo el cmbio x u v, y v. Clculr M ex +y +xy dxdy en donde M { x, y R /x + y + xy < 1 } π 1 e 1 P6 Hllr el volumen del sólido limitdo por ls superficies z x + y. z 4 y. 4π
4 PROBLEMAS PROPUESTOS P7 Clculr senx + y dxdy, si R [, π] [, π]. R π P8 Se considern g, h : R R dos funciones diferencibles. Se define f : R R por fx, y Probr que f x f y. x y gt dt + x+y ht dt P9 Usr coordends esférics pr clculr A x + y + z dxdydz, siendo A { x, y, z R /x + y + z 1, x + y z, z } P1 Hllr D y x xy x + y dxdy donde D x, y R / x >, y >, xy b, y x 1, x y, con < < b } P11 Considere I y x + y dxdy + y x + y dxdy 1 Clcule I directmente. b Dibuje l región de integrción. c Clcule I invirtiendo el orden de integrción. 1log 1+b 1+ P1 Un plc de metl tringulr homogéneo de ms M tiene vértices,, 1,,,. Encuentre su momento de inerci, definido por: I x ρx, yy dxdy, I y ρx, yx dxdy Ω donde Ω es l región que define l plc y ρ es l densidd. Ω
PROBLEMAS PROPUESTOS 5 P1 Considere l integrl iterd: x donde f es un función continu. x x fx, ydy Hg un bosquejo de l región de integrción. b Exprese I como un integrl iterd cmbindo el orden de integrción. dx P14 Clcule: w x wsenx dxdw P15 Clcule: x + y + z dxdydz 1 1 cos1 R donde R {x, y, z R 1 x + y + z 9, z } x + y P16 Se Ω {x, y R x + y 1, x 1 + y 1} y: T u, v u u + v, v u + v Dibuje Ω, encuentre y dibuje D tl que T D Ω. b Pruebe que T es inyectiv en su dominio. x c Clcule x + y dxdy. Ω P17 Clculr xdxdy en que D es l región cotd por: D x y, x y y, x y y Hint: Hciendo un dibujo busque un cmbio de vribles propido.
6 PROBLEMAS PROPUESTOS P18 Pr clculr l integrl: I senβ y lnx + y dxdy, < β < π cotβ Describ nlíticmente el dominio de integrción D, y hg un dibujo de él. b Utilice un cmbio de coordends propido de cuerdo l geometrí de D, pr clculr I. P19 Se E R l región E {x, y, z : z, x + y + z 1, y x }. Clcule por integrción el volumen de E y encuentre E y dv. P Hllr el volumen del sólido limitdo por el plno z, el prboloide z x + y y el cilindro x + y x. b b 7π P1 Clculr el áre del recinto del primer cudrnte comprendido entre el eje de ordends y l curv x + y y x r, < r < 1 π 4cos πr P Hllr el volumen del cuerpo del primer octnte limitdo por l superficie x + y e z y x. π 4
PROBLEMAS PROPUESTOS 7 P Clculr el volumen del sólido que contiene l punto,, 1 y está comprendido entre ls superficies z y z ln x + y. P4 En el rectángulo [, 1] [, 1] se define l función 1 y, < x < y < 1 fx, y 1 x, < y < x < 1 otro cso Demostrr que: fx, ydxdy fx, ydydx π P5 Sen f, g : R R, funciones cotds e integrbles en A R rectángulo. Demuestre utilizndo ls propieddes básics de integrbilidd que: 1 fxgy fygx [,b] [,b] f xdx g xdx fxgxdx P6 Se Q un rectángulo de R N y f : Q R tl que f es continu sobre intq y cotd sobre Q. Pruebe que f es integrble. Hint: Utilice un sucesión de rectángulos Q n que proximen Q y use l integrbilidd de f sobre Q n. b Pruebe que l función f : [, 1] N R definid por: { 1 sen si x fx x si x
8 PROBLEMAS PROPUESTOS es integrble. P7 Sen f : [, b] R y g : [c, d] R continus. Mostrr que: [ ] [ d ] [fxgy]dxdy fxdx gydy R donde R [, b] [c, d]. P8 Usndo sums de Riemnn demuestre que ls siguientes funciones son integrbles y clcule su vlor: fx, y x + 4y, Ω {x, y/ x, y 1} b fx, y x + y, Ω {x, y/ x, y 1} P9 Hllr ls siguientes integrles dobles impropis: S b Ip S dxdy 1 x y, donde S {x, y : x + y 1}. dxdy x +y p, p >, donde S {x, y : x + y 1}. c dxdy, extendid todo el plno y cd uno de los recintos 1+x +y limitdos por y x. π; b Ip c π, π y 1 π. π p 1 si p > 1, e Ip si < p 1; P Hllr ls siguientes integrles triples impropis: Ip, q, r D b R dxdydz x +y +z +, >. c R e x +y +z dxdydz. 1 Ip, q, r 1 p1 q1 r resto de csos; b π ; cπ π dxdydz x p y q z r, con p, q, r >, donde D {x, y, z : x, y, z 1}. c si < p, q, r < 1, y divergente en el