ROEMS Emplee funciones de singulridd pr resolver los siguientes prolems supong que l rigidez fleión de cd vig es constnte. 9.35 9.36 r l vig l crg mostrds en ls figurs, determine ) l ecución de l curv elástic, ) l pendiente en el etremo, c) l defleión en el punto. M 0 Figur 9.35 Figur 9.36 9.37 9.38 r l vig l crg representds, determine ) l ecución de l curv elástic, ) l pendiente en el etremo lire, c) l defleión del etremo lire. Figur 9.37 Figur 9.38 9.39 9.40 r l vig l crg que se muestrn en ls figurs, determine ) l pendiente en el etremo, ) l defleión en el punto, c) l defleión en el etremo. M 0 M 0 Figur 9.39 Figur 9.40 555
556 efleión de vigs 9.41 r l vig l crg mostrds en l figur, determine ) l ecución de l curv elástic, ) l pendiente en el punto, c) l defleión en el punto. /3 /2 /2 Figur 9.41 Figur 9.42 9.42 r l vig l crg mostrds en l figur, determine ) l ecución de l curv elástic, ) l defleión en el punto, c) l defleión en el punto. 9.43 r l vig l crg mostrds en l figur, determine ) l ecución de l curv elástic, ) l defleión en el punto medio. Figur 9.43 9.44 r l vig l crg representds en l figur, determine ) l ecución de l curv elástic, ) l defleión en el punto, c) l defleión en el punto. 6.2 kn 3 kn/m /2 /2 /2 Figur 9.44 Figur 9.45 1.8 m 1.8 m 0.9 m 0.9 m W310 60 9.45 r l vig l crg ilustrds en l figur, determine ) l pendiente en el etremo, ) l defleión en el punto medio. Utilice E = 200 G. 9.46 r l vig l crg que se muestrn en l figur, determine ) l pendiente en el etremo, ) l defleión en el punto medio. Utilice E 29 10 6 psi. 200 l 10 l/in. 1.25 in. 4 kips/ft 2 kips 4 ft 4 ft S6 12.5 24 in. Figur 9.46 Figur 9.47 16 in. 48 in. 8 in. 9.47 r l vig l crg que se muestrn en l figur, determine ) l pendiente en el etremo, ) l defleión en el punto. Utilice E = 29 10 6 psi.
9.48 r l vig de mder l crg mostrds en l figur, determine ) l pendiente en el etremo, ) l defleión en el punto medio. Utilice E = 12 G. rolems 557 4 kn 5 kn/m 50 mm 150 mm 0.5 m 0.5 m Figur 9.48 1 m 9.49 9.50 r l vig l crg que se muestrn en ls figurs, determine ) l rección en el poo desliznte, ) l defleión en el punto. M 0 /2 /2 Figur 9.49 Figur 9.50 /2 /2 9.51 9.52 r l vig l crg que se muestrn en ls figurs, determine ) l rección en el poo desliznte, ) l defleión en el punto. M0 M0 /4 /2 /4 Figur 9.51 Figur 9.52 /3 /3 /3 14 kn/m 9.53 r l vig l crg que se ilustrn en l figur, determine ) l rección en el punto, ) l defleión en el punto. Utilice E = 200 G. 9.54 9.55 r l vig crg que se ilustrn en l figur, determine ) l rección en el punto, ) l defleión en el punto. Utilice E = 29 10 6 psi. 5 m 3 m W410 60 Figur 9.53 9 kips/ft 4.5 kips/ft W12 22 E W14 22 6 ft 6 ft 2.5 ft 2.5 ft 2.5 ft 2.5 ft Figur 9.54 Figur 9.55
558 efleión de vigs 50 kn 50 kn 9.56 r l vig l crg que se muestrn en l figur, determine ) l rección en el punto, ) l defleión en el punto. Utilice E = 200 G. M 0 W200 52 1.2 m 1.2 m 1.2 m /2 /2 Figur 9.56 Figur 9.57 9.57 r l vig l crg que se muestrn en l figur, determine ) l rección en el punto, ) l pendiente en el punto. 9.58 r l vig l crg que se muestrn en l figur, determine ) l rección en el punto, ) l defleión en el punto medio. Figur 9.58 /2 /2 9.59 9.62 r l vig l crg mostrds en cd figur, determine l mgnitud uicción de l defleión más grnde hci jo. 9.59 vig l crg del prolem 9.45. 9.60 vig l crg del prolem 9.46. 9.61 vig l crg del prolem 9.47. 9.62 vig l crg del prolem 9.48. 9.63 s rrs rígids F H están soldds l vig de cero lmindo E, como se muestr en l figur. r l crg ilustrd, determine ) l defleión en el punto, ) l defleión en el punto medio de l vig. Utilice E 200 G. 0.5 m 0.3 m 0.3 m 0.5 m 30 kn/m F H E c W100 19.3 F E W460 52 G 50 kn 0.15 m 2.4 m 100 kn 1.2 m Figur 9.63 Figur 9.64 1.2 m 9.64 rr rígid EF está soldd en el punto l vig de cero lmindo. r l crg que se ilustr en l figur, determine ) l pendiente en el punto, ) l defleión en el punto medio de l vig. Utilice E 200 G. 9.7 MÉTOO E SUEROSIIÓN undo un vig se somete vris crgs concentrds o distriuids, menudo es conveniente clculr de mner seprd l pendiente l defleión cusds por cd crg. pendiente l defleión totles se otienen plicndo el principio de superposición (ve l sección 2.12) sumndo los vlores de l pendiente o l defleión correspondiente ls diverss crgs.
EJEMO 9.07 etermine l pendiente defleión en pr l vig crg mostrds (figur 9.33), siendo que l rigidez fleión de l vig es 100 MN m 2. pendiente l defleión en culquier punto de l vig pueden otenerse superponiendo ls pendientes defleiones cusds respectivmente por l crg concentrd por l crg distriuid (figur 9.34). 150 kn 2 m 20 kn/m 8 m Figur 9.33 150 kn 20 kn/m 150 kn 2 m 20 kn/m Figur 9.34 8 m 2 m 8 m ) ) c) omo l crg concentrd en l figur 9.34 se plic un curto del clro, pueden usrse los resultdos otenidos pr l vig l crg del ejemplo 9.03 escriirse 1u 2 2 32 1150 103 2182 2 3 10 3 rd 321100 10 6 2 1 2 33 256 31150 103 2182 3 9 10 3 m 2561100 10 6 2 9 mm or otr prte, recordndo l ecución de l curv elástic otenid pr l crg uniformemente distriuid en el ejemplo 9.02, l defleión en l figur 9.34c se epres como: 24 1 4 2 3 3 2 diferencindo con respecto, (9.50) u d d 24 1 43 6 2 3 2 (9.51) Hciendo 20 kn/m, 2 m, 8 m, en ls ecuciones (9.51) (9.50), se tiene 20 103 1u 2 241100 10 6 2 1 3522 2.93 10 3 rd 20 103 1 2 241100 10 6 2 1 9122 7.60 10 3 m 7.60 mm ominndo ls pendientes defleiones producids por ls crgs concentrds distriuids, se otiene: u 1u 2 1u 2 3 10 3 2.93 10 3 5.93 10 3 rd 1 2 1 2 9 mm 7.60 mm 16.60 mm r fcilitr el trjo de los ingenieros, los mnules de ingenierí estructurl mecánic incluen tls con ls defleiones pendientes de vigs pr diverss crgs poos. En el péndice se encuentr un de ests tls. Note que l pendiente l defleión de l vig de l figur 9.33 huiern podido determinrse prtir de llí. iertmente, usndo l informción dd en los csos 5 6, pudo herse epresdo l defleión de l vig pr culquier vlor 4. Tomndo l derivd de l epresión sí otenid, se hrí determindo l pendiente de l vig en el mismo intervlo. Tmién se oserv que l pendiente en los etremos de l vig puede otenerse sumndo los vlores correspondientes de l tl. Sin emrgo, l 559
560 efleión de vigs defleión máim de l vig de l figur 9.33 no puede otenerse sumndo ls defleiones máims de los csos 5 6, pues ésts ocurren en puntos diferentes de l vig. Figur 9.35 s vigs continus que soportn este puente de utopist tiene tres soportes que son indetermindos. 9.8 IIÓN E SUEROSIIÓN VIGS ESTÁTIMENTE INETERMINS menudo será útil el método de l superposición pr determinr ls recciones en los poos de un vig estáticmente indetermind. onsiderndo primero un vig indetermind de primer grdo (vése sección 9.5), como l que se muestr en l figur 9.35 se seguirá el método descrito en l sección 2.9. Se escoge un de ls recciones como redundnte se elimin o modific el poo correspondiente. rección redundnte se trt como un crg desconocid que, junto con ls otrs, dee producir deformciones comptiles con los poos originles. pendiente o l defleión donde el poo se h modificdo o elimindo se otiene clculndo seprdmente ls deformciones cusds por ls crgs dds l rección redundnte, superponiendo los resultdos otenidos. Un vez clculds ls recciones en los poos, pueden determinrse l pendiente l defleión en culquier punto de l vig. El vlor proimdo de l defleión máim de l vig se otiene elorndo l gráfic de los vlores de correspondientes vrios de. determinción de l loclizción ect mgnitud de l defleión máim requiere igulr cero l epresión de l pendiente resolver est ecución pr. EJEMO 9.08 etermine ls recciones en los poos de l vig prismátic l crg mostrds en l figur 9.36. (Ést es l mism vig del ejemplo 9.05 de l sección 9.5.) rección en se consider redundnte se lier l vig de ese poo. rección R se estlece como un crg desconocid (figur 9.37) se otendrá de l condición de que l defleión de l vig en dee ser cero. Figur 9.36 0 ( ) R Figur 9.37 R ( ) ) ) c) R solución se efectú tomndo por seprdo l defleión ( ) producid en por l crg uniformemente distriuid (figur 9.37) l defleión ( ) R producid en el mismo punto por l rección redundnte R (figur 9.37c). e l tl del péndice (csos 2 1) se hll que 1 2 4 8 1 2 R R 3 3
Escriiendo que l defleión en es l sum de ests dos cntiddes que dee ser cero, se tiene 9.8 plicción de l superposición vigs 561 estáticmente indeterminds 1 2 1 2 R 0 4 8 R 3 3 0 resolviendo pr R, iujndo el digrm de cuerpo lire de l vig (figur 9.38) escriiendo ls correspondientes ecuciones de equilirio, se tiene c gf 0: R 3 8 R 3 8 c R R 0 R R 3 8 5 8 R 5 8 c (9.52) M /2 R R g gm 0: M R 121 1 22 0 (9.53) Figur 9.38 M 1 2 2 R 1 2 2 3 8 2 1 8 2 M 1 8 2 g Solución lterntiv. El pr en el etremo empotrdo puede considerrse redundnte reemplzrse el etremo fijo por un poo de segundo género. El pr M es hor un crg desconocid (figur 9.39) se clculrá de l condición de que l M 0 Figur 9.39 ) ) ( ) M ( ) M c) pendiente dee ser cero en el punto. solución se consigue considerndo seprdmente l pendiente (θ ) producid en por l crg uniformemente distriuid (figur 9.39) l pendiente (θ ) M producid por el mismo punto por el pr desconocido M (figur 9.39c). Usndo l tl del péndice (csos 6 7) oservndo que deen intercmirse en el cso 7, se hll que: 1u 2 3 24 1u 2 M M 3 Escriiendo que l pendiente en es l sum de ests dos cntiddes que dee ser cero, se hll que:, despejndo M, u 1u 2 1u 2 M 0 u 3 25 M 3 0 M 1 8 2 M 1 8 2 g os vlores R R pueden encontrrse medinte ls ecuciones de equilirio (9.52) (9.53). vig estudid en el ejemplo previo er indetermind de primer grdo. En el cso de un vig indetermind de segundo grdo (vése sección 9.5), dos recciones deen designrse como redundntes los soportes correspondientes elimindos modificdos como correspond. s recciones redundntes se trtn entonces como crgs desconocids que, simultánemente con ls otrs crgs, deen producir deformciones comptiles con los poos originles (vése prolem modelo 9.9).
/2 /2 ROEM MOEO 9.7 r l vig crg mostrds en l figur, determine l pendiente l defleión del punto. SOUIÓN rincipio de superposición. crg dd puede otenerse superponiendo ls crgs mostrds en l siguiente películ de ecución de crg. vig es, nturlmente, l mism en cd prte de l figur. /2 /2 rg I rg II /2 /2 ( ) II ( ) I ( ) I ( ) II r cd un de ls crgs I II, l pendiente l defleión en se determinn usndo l tl de efleiones pendientes de vig del péndice. rg I rg I 1u 2 I 3 6 rg II 1u 2 II 1 22 3 6 3 48 1 2 I 4 8 1 2 II 1 22 4 8 4 128 ( ) I ( ) I En l porción, el momento flector pr l crg II es cero, por tnto, l curv elástic es un líne rect. rg II 1u 2 II 1u 2 II 3 48 1 2 II 1 2 II 1u 2 II 2 /2 /2 ( ) II ( ) II ( ) II ( ) II endiente en el punto u 1u 2 I 1u 2 II 3 6 3 73 48 48 efleión en 4 128 3 48 74 2 384 u 73 48 c > 4 1 2 I 1 2 II 8 74 384 414 384 414 384 T > 562
ROEM MOEO 9.8 2/3 /3 r l vig crg mostrds en l figur, hlle ) l rección de cd poo, ) l pendiente en el etremo. SOUIÓN rincipio de superposición. rección R se escoge como redundnte se consider como crg desconocid. s defleiones deids l crg distriuid l rección R se eminn seprdmente, como se indic en l figur. R 2/3 /3 2/3 /3 R 2/3 /3 R 0.271 [ 0 ] R 0.0413 R 0.688 ( ) ( ) ( ) R ( ) R r cd crg, l defleión en el punto se hll usndo l tl de defleiones pendientes de vig del péndice. rg distriuid. Se utiliz el cso 6 del péndice 24 14 2 3 3 2 En el punto, 2 3 : 4 1 2 24 c2 3 2 2 3 3 3 2 3 d 0.01132 4 rg por l rección redundnte. el cso 5, péndice, con 2 1 3, 3 se tiene 1 2 R 2 2 2 3 R 3 2 3 2 3 R 3 0.01646. Recciones de los poos. Recordndo que 0, se tiene 1 2 1 2 R 4 R 3 0 0.01132 0.01646 R 0.688 c > omo l rección R hor es conocid, se utiliz el método de l estátic pr determinr ls otrs recciones: R 0.271 c R 0.0413 c >. endiente en el etremo. Refiriéndose de nuevo l péndice, se tiene 3 rg distriuid. 1u 2 24 0.04167 3 rg de rección redundnte. r R 1 0.688 3 3 1u 2 R 12 2 2 0.688 1u 2 R 0.03398 6 6 3 c2 2 3 d Finlmente, u 1u 2 1u 2 R 3 3 3 u 0.04167 0.03398 0.00769 3 u 0.00769 c > 563
ROEM MOEO 9.9 r l vig crg mostrds, determine l rección en el empotrmiento. SOUIÓN rincipio de superposición. Suponiendo que l crg il en l vig es cero, l vig es indetermind de segundo grdo se escogen como redundntes l fuerz verticl R el pr M. s deformciones producids por l crg, l fuerz R el pr M se considern seprdmente como se muestr. M R R M ( ) ( ) ( ) R ( ) M [ 0 ] [ 0 ] ( ) ( ) ( ) R ( ) M r cd crg, l pendiente l defleión en se encuentrn en l tl efleiones pendientes de vig del péndice. rg. Se oserv que, pr est crg, l porción de l vig es rect. 1u 2 1u 2 2 2 1 2 1 2 1u 2 p 3 3 2 2 12 32 2 6 Fuerz R r M 1u 2 R R 2 2 1u 2 M M 1 2 R R 3 3 1 2 M M 2 2 ondiciones de fronter. En el etremo l pendiente l defleión deen ser cero. 3, u 04: u 1u 2 1u 2 R 1u 2 M 0 2 (1) 2 R 2 2 M M 2 2 M 2 2 3, 04: 1 2 1 2 R 1 2 M 0 2 (2) 6 12 32 R 3 3 M 2 2 omponentes de l rección en. Resolviendo simultánemente ls ecuciones (1) (2) se encuentrn ls reducciones R R 2 R 3 (3 ) 2 R 3 ( 3) 564 R R 2 2 1 32 1 32 c > 3 3 M M 2 2 > 2 2 rección en puede hllrse hor usndo los métodos de estátic.