7 CAPÍTULO : FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS.. FUNCIONES EXPONENCIALES.. Función eponencial Ha dos tipos de funciones cua epresión analítica o fórmula es una potencia: Si la variable independiente está en la base: número natural es una función polinómica. Si la variable independiente está en el eponente:, se llama función eponencial. Ejemplo: 0,,,, se llama función potencial, cuando además el eponente es un. Una función eponencial es aquella en la que la variable independiente está en el eponente. En este curso estudiamos funciones eponenciales sencillas, del tipo de. b, donde la base b es un número positivo distinto Actividades resueltas Si la cantidad de bacterias de una determinada especie se multiplica por, cada hora, podemos escribir la siguiente fórmula para calcular el número de bacterias que habrá al cabo de horas (comenzando por una sola bacteria):,. Número de bacterias en cada hora (Tabla de valores de la función): Horas Núm. transcurridas bacterias () () 0 6...,,96,7,8,8 7,... Gráfica de la función Observa que en este ejemplo no se ha dado a la valores negativos, a que no tiene sentido un número de horas negativo. En las funciones eponenciales en general la sí puede tener valores negativos. Sin embargo la base b solo puede tener valores positivos. Asimismo, observarás que la variable también resulta siempre positiva. Más adelante recogemos estas propiedades al hablar de dominio recorrido de la función eponencial. Actividades propuestas. Prueba ahora a realizar en tu cuaderno una tabla de valores la gráfica para un caso similar, suponiendo que el número de bacterias se multiplica cada hora por en lugar de por,. Observarás que los valores de aumentan mucho más deprisa enseguida se salen del papel. Mientras que los valores de aumentan de en los valores de se van multiplicando por. Esto se llama crecimiento eponencial. Si en lugar de multiplicar se trata de dividir tenemos el caso de decrecimiento eponencial.. En tu cuaderno, representa conjuntamente las gráficas de (función potencial) e (función eponencial), con valores de entre 0 6. Observa la diferencia cuantitativa entre el crecimiento potencial el crecimiento eponencial. Matemáticas º B de ESO. Capítulo nº : Funciones eponenciales, logarítmicas trigonométricas Ilustraciones: Miguel Ángel Paz Banco de Imágenes de INTEF
8.. Distintas funciones eponenciales Las gráficas de las funciones eponenciales b se diferencian según el valor de la base b. Especialmente se diferencian si 0 < b < o b >. En el caso en el que b = tenemos la función constante =, cua gráfica es una recta horizontal. Veamos las gráficas de algunas funciones eponenciales, comparándolas con otras: Funciones e Funciones e Observamos los siguientes aspectos comunes en las cuatro gráficas: Su dominio es toda la recta real. Además son continuas. Su recorrido es (0, + ). Es decir, nunca es cero ni negativo. Pasan todas por los puntos (0, ), (, b) (, /b). La gráfica de a la de / a son simétricas respecto del eje OY. Y observamos también aspectos diferenciados en ambas ilustraciones: Cuando la base es b > Son funciones crecientes. Cuanto maor es la base el crecimiento es más rápido. Cuando la función tiende a 0. Por tanto presenta una asíntota horizontal en la parte izquierda del eje OX. Aunque en algunos casos pueda aparentarlo, no presentan asíntota vertical, pues no se aproiman a ninguna recta. Cuando la base es 0 < b < Son funciones decrecientes. Cuanto menor es la base el decrecimiento es más rápido. Cuando + la función tiende a 0. Por tanto presenta una asíntota horizontal en la parte derecha del eje OX. Aunque en algunos casos pueda aparentarlo, no presentan asíntota vertical, pues no se aproiman a ninguna recta. Actividades resueltas Representa gráficamente las siguientes funciones eponenciales e. Función Función - - - - - 0 6 / /6 /8 / / 8 6 6 Matemáticas º B de ESO. Capítulo : Funciones eponenciales, logarítmicas trigonométricas Ilustraciones: Miguel Ángel Paz Banco de Imágenes de INTEF - - - - - 0 6 6 8 / / /8 /6 / /6
9 Identifica las funciones correspondientes con las siguientes gráficas: a) b) Ambas son funciones eponenciales porque pasan por el punto (0, ) tienen por un lado como asíntota horizontal el eje OX, mientras que por el otro lado tienden a +. La función (a) es, porque pasa por el punto (, ). La función (b) es porque pasa por el punto (, ). Representa la función Por tener eponente negativo es:. Por tanto su gráfica es la del margen. Observa que pasa por los puntos (, ), (0, ) (, /). Conociendo la gráfica de la función f (), que se ha visto anteriormente, sin calcular valores, dibuja las gráficas de las funciones g () h (). La función g() es la función f() desplazada hacia arriba unidades. La función h() es la función f() desplazada hacia la izquierda unidades. Por tanto sus gráficas son estas, representadas en diferente color:.. El número e. La función e El número e tiene una gran importancia en Matemáticas, comparable incluso al número π aunque su comprensión no es tan elemental tan popular. Para comprender su importancia ha que acceder a contenidos de cursos superiores. El número e se define como el límite de la siguiente sucesión: e lim. n Su valor aproimado es e =,788886... Se trata de un número irracional (aunque al verlo puede parecer periódico). Con la auda de la calculadora se puede comprobar cómo los valores de se acercan cada vez más al valor e = n,788886 a medida que aumenta el valor de n. Este número aparece en las ecuaciones de crecimiento de poblaciones, desintegración de sustancias radiactivas, intereses bancarios, etc. También se puede obtener directamente el valor de e con la calculadora (siempre como aproimación decimal, puesto que es un número irracional). Normalmente ha una tecla con la etiqueta e pero puedes usar también la tecla etiquetada e. Para ello tendrás que calcular el valor de e. La función e comparte las características descritas más arriba para funciones eponenciales de base maor que. Actividades propuestas. Utilizando la calculadora, en tu cuaderno haz una tabla de valores representa en tu cuaderno las funciones e, e.. Una persona ha ingresado una cantidad de.000 euros a interés del % en un banco, de modo que cada año su capital se multiplica por,0. a) Escribe en tu cuaderno una tabla de valores con el dinero que tendrá esta persona al cabo de,,,, 0 años. b) Indica la fórmula de la función que epresa el capital en función del número de años. c) Representa en tu cuaderno gráficamente dicha función. Piensa bien qué unidades deberás utilizar en los ejes. Matemáticas º B de ESO. Capítulo : Funciones eponenciales, logarítmicas trigonométricas Ilustraciones: Miguel Ángel Paz Banco de Imágenes de INTEF n n
60. Un determinado antibiótico hace que la cantidad de ciertas bacterias se multiplique por / cada hora. Si la cantidad a las 7 de la mañana es de 0 millones de bacterias, (a) haz una tabla calculando el número de bacterias que ha cada hora, desde las de la mañana a las de mediodía (observa que tienes que calcular también hacia atrás ), (b) representa gráficamente estos datos. 6. Representa en tu cuaderno las siguientes funciones eplica la relación entre sus gráficas: a) b) c). 7. Conociendo la gráfica de la función f(), que se ha visto más arriba, sin calcular tabla de valores, dibuja en tu cuaderno las gráficas de las funciones g () h ().. FUNCIONES LOGARÍTMICAS.. Definición cálculo elemental de logaritmos La epresión a se lee logaritmo de a en base b. a es el eponente al que ha que elevar b para que el resultado sea a. a = b = a b se llama base a se llama argumento. Observaciones: La base tiene que ser un número positivo distinto de la unidad. El argumento tiene que ser positivo distinto de 0. Ejemplos: a) log porque = b) log porque 8 8 Un par de propiedades elementales El logaritmo de la base siempre vale : b porque b = b. El logaritmo de en cualquier base siempre vale 0: 0 porque b 0 =.... Logaritmos inmediatos Se llaman así los que se calculan directamente aplicando la definición. Ejemplos: log porque = log 8 porque = 8 log 0000 = porque 0 = 0000. Cuando no se escribe la base quiere decir que la base es 0. Los logaritmos en base 0 se llaman logaritmos decimales. Otros logaritmos no son inmediatos pero se pueden calcular también aplicando la definición, igualando eponentes. Esto pasa cuando la base el argumento son potencias del mismo número. Ejemplos: Para hallar log 8 ponemos log 8 8 Para hallar log ponemos log. Actividades resueltas Halla los siguientes logaritmos: a) log 6; b) log /; c) log /; d) log /00; e) log 0,..; f) log ; g) log ; calcula el valor de en las siguientes igualdades: h) = log ; i) log 6 =. Soluciones: a), porque = 6; b), porque ; c), porque ; d), porque 0 00 e), porque 0,... = /9, entonces ; f), porque = (el logaritmo de la base siempre vale ; 9 g) 0, porque 0 = (el logaritmo de siempre vale 0; h) = log = = / = /. i) log 6 = = 6 = =. ; Matemáticas º B de ESO. Capítulo : Funciones eponenciales, logarítmicas trigonométricas Ilustraciones: Miguel Ángel Paz Banco de Imágenes de INTEF
6 Calcula el valor de en las siguientes igualdades: a) log 8 = = 8 = = b) log = = = c) log 0 900 = 0 = 900 = d) log 0, = 0 = 0, 0 = 0 = e) log = = = = f) log 9 = 9 = = = = / g) log 7 = 7 = 7 = 9 h) log 6 096 = 6 = 096 = = = i) log 000 = 0 = 000 = j) log = = = / = / = / k) log 0 = no eiste solución, porque ninguna potencia da 0 como resultado. l) log ( 00) = no eiste solución, porque el resultado de calcular una potencia de base positiva siempre es positivo. m) log 7 = = 7 7 = 7 7 7 7 n) log = / / = = / Actividades propuestas 8. Calcula los siguientes logaritmos utilizando la definición (sin calculadora): a) log 8 b) log 6 c) log 0 000 d) log e) log 0, f) log 0,00 9. Calcula los siguientes logaritmos utilizando la definición e igualando eponentes (sin calculadora): a) log b) log 9 7 c) log 8 7 d) log 0, e) log /9 f) log g) log 6 h) log 6 i) log j) log 7 k) log 00 0. Halla el valor de en las siguientes igualdades: a) log 8 = b) log 8 = c) log 7 d) log 0, = e) log =.... Logaritmos decimales neperianos con la calculadora Hasta aquí hemos aprendido a calcular logaritmos utilizando la definición. Sin embargo solamente se puede hacer así en unos pocos casos (en concreto cuando el argumento es una potencia de la base del logaritmo). Por ejemplo no se pueden calcular log, log 0 7, log 0, log 9. Las calculadoras científicas disponen de teclas para hallar únicamente dos o tres tipos de logaritmos (según el modelo de calculadora): Logaritmos decimales (en base 0): Logaritmos en cualquier base: En algunas calculadoras puede hallarse directamente poniendo la base el argumento. Logaritmos neperianos (en base e): Logaritmos neperianos son los que tienen como base el número e =,788 También se llaman logaritmos naturales. Los logaritmos neperianos se escriben de tres modos: log e = ln = L Ejemplos: Comprueba con tu calculadora que log 7 = 0,8 que ln 7 = 0,96 (valores redondeados). Comprueba también que log 0 = que ln e =. Para calcular un número conociendo su logaritmo se emplean las mismas teclas utilizando previamente la tecla de función inversa (normalmente SHIFT o INV). Ejemplos: Comprueba con tu calculadora que el número cuo logaritmo decimal vale,6 es,9 que el número cuo logaritmo neperiano vale,6 es,896. Matemáticas º B de ESO. Capítulo : Funciones eponenciales, logarítmicas trigonométricas Ilustraciones: Miguel Ángel Paz Banco de Imágenes de INTEF
6... Cambio de base de logaritmos Con la calculadora también se pueden calcular logaritmos que no sean decimales ni neperianos, es decir, en bases distintas a 0 e. Para ello se emplea la fórmula del cambio de base: log Para cambiar de base a a base b : log b a logb a Ejemplo: log 7 0 8 Para calcular log 7 utilizando la calculadora hacemos 7 0, log, 0 log0 0, 60 Actividades propuestas. Calcula los siguientes logaritmos con la calculadora utilizando la fórmula del cambio de base, compara los resultados con los obtenidos en la actividad: a) log b) log 9 7 c) log 8 7 d) log 6 e) log 0, f) log /9... Propiedades de los logaritmos Las propiedades de los logaritmos son las siguientes: = 0 a que b 0 = (el logaritmo de en cualquier base es 0) b = a que b = b (el logaritmo de la base es ) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores: ( ) = + El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos: ( : ) = El logaritmo de una potencia es igual al eponente por el logaritmo de la base: = Ejemplo : log 0 + log, = log (0,) = log = log 0 log = log (0/) = log 0 = log 9 = log 9 = = 0 log 9 = log 9 / = log 9 = =.... Epresiones logarítmicas algebraicas Las propiedades de los logaritmos se emplean en dos tipos importantes de operación: Tomar logaritmos en una igualdad es aplicar el logaritmo a ambos miembros de la misma: = =. Eliminar logaritmos en una igualdad es lo contrario: conseguir que una epresión logarítmica deje de serlo. Para esto es necesario que cada miembro tenga un único logaritmo: = =. Actividades resueltas Sabiendo que log = 0,0, calcula: a) log = log = log = 0,0 =,0 b) log 0,008 = log (8/000) = log 8 log 000 = log = 0,0 =,097 Observa que el logaritmo en base 0 de la unidad seguida de ceros es igual al número de ceros que tenga. Sabiendo que log = 0,0 que log = 0,77 calcula: log 6 log log log 0, 0 0, 77 0, a) 778 b) log80 log 0 log log log0 0, 77 00,, c) 0 log log log log log0 log 0, 77 0, 0, 76 Matemáticas º B de ESO. Capítulo : Funciones eponenciales, logarítmicas trigonométricas Ilustraciones: Miguel Ángel Paz Banco de Imágenes de INTEF
6 Toma logaritmos desarrolla: mn mn a) a = log a = log log a = log m + log n log p p p b c b c b) a = log a = log log a = + log c log Elimina los logaritmos: cd cd a) log a = log c + log d log e log a = log a = e e b) = log + log log = log + log log = log b = log c c) log a + = log a + log 000 = log c / b b log(000a) = log 000a = c c Resuelve la siguiente ecuación logarítmica: log log( ) log Para resolverla es preciso eliminar logaritmos: log log( ) log log log( ) La ecuación queda ( ) 0 8 cuas soluciones son = = /. La segunda solución no es válida porque al sustituirla en la ecuación original quedaría log ( ) como logaritmo de un número negativo, que no eiste. Esto ocurre a veces en las ecuaciones logarítmicas, igual que en las ecuaciones irracionales, por ello es necesario comprobar la validez de las soluciones halladas. En el cálculo de interés compuesto el interés producido cada periodo de tiempo pasa a formar parte del capital. Así, si el periodo de tiempo es un año, la fórmula del interés cada año se calcula sobre un nuevo capital, que es el capital anterior más los intereses producidos en el año. Por tanto, si el porcentaje de interés anual es r, el capital cada año se multiplica r por. 00 Por ejemplo si el interés es del % ha que multiplicar por,0 cada año transcurrido. n r La fórmula del capital acumulado al cabo de n años es: Cn C 00 Calcula el capital final acumulado al cabo de años para 6.000 al % de interés compuesto anual. C = 6000 ( + 0,0) = 6000,0 = 6.9,9. A qué interés compuesto ha que invertir 0.000 euros para obtener en 0 años al menos 6.000 euros? 0 0 r r r 6 000 0 000 6 0 r..,, 6, 08 0, 08 00 00 00 00 Así pues r =,8 %. Cuando la incógnita es el número de años (que está en el eponente) necesitamos tomar logaritmos para resolverlo: Si ingresamos en un banco.000 al % de interés compuesto anual, cuántos años tienen que pasar para conseguir.00?.00 = 000 ( + 0,0) n, =,0 n log, log, = n log,0 n = = 0, años (tendremos que esperar log 0, años). La fórmula del interés compuesto también se utiliza para los problemas de crecimiento o decrecimiento de poblaciones, que es una función eponencial: Por ejemplo, si la población de un país aumenta un % cada año actualmente tiene millones de habitantes, cuántos tendrá al cabo de años? La solución es:.000.000 ( + 0,0) =.000.000,0 = 7.8. habitantes. Matemáticas º B de ESO. Capítulo : Funciones eponenciales, logarítmicas trigonométricas Ilustraciones: Miguel Ángel Paz Banco de Imágenes de INTEF
6 Actividades propuestas. Sabiendo que log = 0,0 que log = 0,77 calcula: a) log b) log c) log d) log 60. Sabiendo que log 8 = 0,90, sin utilizar calculadora, halla los siguientes: a) log 80 b) log c) log 6 d) log 0,8 e) log, f) log 800. Toma logaritmos desarrolla: a) A b) B z. Reduce a un único logaritmo cada epresión: a) log log + + log b) log + log c) log a loga 6. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: a) log ( + ) = 6 b) log + log = log 0 c) log (7 ) log ( ) = log 7. Cuando nació un niño sus padres colocaron.000 euros en una libreta de ahorro al, % de interés compuesto anual. Cuánto dinero tendrá la cuenta cuando el niño cumpla años? 8. La población de ciertas bacterias se multiplica por, cada día. Si al comienzo ha 8 millones de bacterias, cuántas habrá al cabo de una semana? 9. A qué tanto por ciento de interés compuesto ha que invertir un capital de 0.000 euros para ganar.000 euros en tres años? 0. Si invertimos 7.000 euros al, % de interés compuesto anual, cuántos años deben transcurrir para haber ganado al menos 790 euros?. Calcula en cuántos años se duplica una población que crece al ritmo del 0 % anual.. Si una población de 8 millones de habitantes se ha convertido en millones en 7 años, cuánto ha crecido cada año? (Ojo: no se trata de dividir entre 7!)... Funciones logarítmicas... Gráfica características Las funciones logarítmicas son las del tipo log. Ha una función distinta para cada valor de la base b. Ejemplos: La tabla de valores la gráfica de la función 0, 0, 0,7... log -, -,0-0, 0,0,0,6,0,... La tabla de valores la gráfica de la función log b 0z log son las siguientes: log son las siguientes: 0,, 0,,0 0,7 0, 0,0 -,0 -,6 -,0 -,...... Las características de estas gráficas nos permiten deducir las de las funciones logarítmicas en general, que son las siguientes: Matemáticas º B de ESO. Capítulo : Funciones eponenciales, logarítmicas trigonométricas Ilustraciones: Miguel Ángel Paz Banco de Imágenes de INTEF
6 Su dominio es (0, + ). Es decir, solo están definidas para positivo. Son continuas. Su recorrido es toda la recta real. Pasan por los puntos (, 0), (b, ) (/b, ). La gráfica de log la de log son simétricas respecto del eje OX. b b Por otra parte observamos unas características propias en las funciones en ambas ilustraciones, según sea la base del logaritmo maor o menor que la unidad. Cuando la base es b > : Son funciones crecientes. Cuanto maor es la base el crecimiento es más rápido. Cuando 0 la función tiende a. Por tanto presenta una asíntota vertical en la parte negativa del eje OY. Aunque en algunos casos pueda aparentarlo, no presentan asíntota horizontal, pues la variable puede llegar a cualquier valor. Cuando la base es 0 < b < : Son funciones decrecientes. Cuanto menor es la base el decrecimiento es más rápido. Cuando 0 la función tiende a +. Por tanto presenta una asíntota vertical en la parte positiva del eje OY. Aunque en algunos casos pueda aparentarlo, no presentan asíntota horizontal, pues la variable puede llegar a cualquier valor.... Relación entre las funciones eponencial logarítmica Según la definición del logaritmo tenemos la siguiente relación: logb b Las funciones logarítmica eponencial llevan intercambiado el lugar de la la. Por tanto son funciones inversas. En consecuencia, si partimos de un número le aplicamos la función logarítmica, luego al resultado le aplicamos la función eponencial volvemos al número de partida. Lo mismo ocurre si primero aplicamos la función eponencial después la logarítmica. Ejemplo: Partiendo del número, utilizando la calculadora aplicamos una función logarítmica: log 0, 686 (recuerda la fórmula de cambio de base). A continuación aplicamos la función eponencial: 686 obtenemos el número del principio. Haciéndolo en sentido inverso, partiendo del número aplicamos primero una función eponencial:. A continuación aplicamos la función logarítmica: también hemos obtenido el número del principio. log Cuando dos funciones son inversas sus gráficas son simétricas, siendo su eje de simetría la bisectriz del primer cuadrante. Esto se debe a que si el punto (a, b) es de la gráfica de una de ellas, el punto (b, a) pertenece a la gráfica de la otra. Ejemplos: Las gráficas de las funciones ( ) log g() tienen la siguiente simetría: f Las gráficas de las funciones g() f / ( ) log tienen la siguiente simetría: Matemáticas º B de ESO. Capítulo : Funciones eponenciales, logarítmicas trigonométricas Ilustraciones: Miguel Ángel Paz Banco de Imágenes de INTEF
66 Actividades resueltas Identifica las funciones correspondientes con las siguientes gráficas: a) b) Ambas son funciones logarítmicas porque pasan por el punto (, 0) tienen como asíntota vertical el eje OY (bien sea en su parte positiva o negativa) por el otro lado tienden a. La función (a) es log porque pasa por el punto (, ) por (/, ). La función (b) es log porque pasa por el punto (, ) por (/, ). Conociendo la gráfica de la función f ( ) log, que se ha visto más arriba, sin calcular valores, dibuja las gráficas de las funciones g ( ) log h ( ) log. La función g() es la función f() desplazada hacia arriba unidades. La función h() es la función f() desplazada hacia la izquierda unidades. Por tanto sus gráficas son estas: Representa la función log usando una tabla de valores. A continuación, a partir de ella sin calcular valores, representa las funciones siguientes: Por la simetría respecto a la bisectriz del primer cuadrante:, log, utilizando también / Por la simetría respecto al eje OX: representa Por la simetría respecto al eje OY:. Actividades propuestas. Representa en tu cuaderno, mediante tablas de valores, las gráficas de las siguientes funciones: a) ( ) log b) ( ) log c) ( ) log f f / f, Comprueba que en todos los casos pasan por los puntos (, 0), (b, ) (/b, ).. Identifica las fórmulas de las siguientes funciones a partir de sus gráficas, sabiendo que son funciones logarítmicas: a) b) Matemáticas º B de ESO. Capítulo : Funciones eponenciales, logarítmicas trigonométricas Ilustraciones: Miguel Ángel Paz Banco de Imágenes de INTEF
67 c) d). Repite en tu cuaderno el dibujo de la función f ( ) log representada en el ejercicio. Después piensa qué desplazamiento sufren respecto a ella las funciones siguientes represéntalas en la misma gráfica sin hacer tablas de valores: a) g ( ) log b) h ( ) log c) i( ) log ( ) d) j( ) log( ) 6. Haz el mismo proceso del ejercicio anterior con las funciones siguientes: a) g ( ) log b) h ( ) log c) i( ) log ( ) d) j( ) log( ) 7. Identifica las fórmulas de las siguientes funciones a partir de sus gráficas, sabiendo que son funciones logarítmicas: a) b) c) d) 8. Representa en tu cuaderno la función = usando una tabla de valores. A continuación, a partir de ella sin calcular valores, representa las funciones siguientes:, log, log/.. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS En el capítulo 7 has estudiado Trigonometría, por lo que a conoces las razones trigonométricas seno, coseno tangente de un ángulo. Ahora vamos a estudiar las funciones trigonométricas sus propiedades... Las funciones seno coseno Estas dos funciones se incluen en el mismo apartado porque son mu parecidas. Su gráfica es la llamada sinusoide, cuo nombre deriva del latín sinus (seno). Ya sabes que en los estudios de Matemáticas se suele utilizar como unidad para medir los ángulos el radián. Por tanto es necesario conocer estas gráficas epresadas en radianes. Las puedes obtener fácilmente con la calculadora. Fíjate en sus similitudes en sus diferencias: Gráfica de la función f() = sen Gráfica de la función f() = cos Recuerda que: Un radian se define como la medida del ángulo central cuo arco de circunferencia tiene una longitud igual al radio. Por tanto: 60º equivalen a π radianes De donde se deduce que: 80º equivalen a π radianes 90º equivalen a π/ radianes Matemáticas º B de ESO. Capítulo : Funciones eponenciales, logarítmicas trigonométricas Ilustraciones: Miguel Ángel Paz Banco de Imágenes de INTEF
68 Ya sabes cuánto vale π, π =,. Tenlo en cuenta al dibujar las gráficas. Propiedades de estas funciones: Ambas son periódicas el valor de su período es π. sen ( + π) = sen cos ( + π) = cos Son funciones continuas en todo su dominio. Su dominio son todos los números reales. Su recorrido es el intervalo [, ]. La función seno tiene simetría impar (simétrica respecto del origen de coordenadas, es decir, sen = sen ( )) la función coseno tiene simetría par (simétrica respecto del eje OY, es decir, cos = cos ( )). Ambas funciones tienen la misma gráfica pero desplazada en radianes en sentido horizontal. Es decir: sen ( + π/) = cos.. La función tangente Esta función es diferente a las otras dos. Por esa razón la presentamos separadamente. Ya sabes que como razones trigonométricas: tg = sen / cos. La gráfica de la función f() = tg es la siguiente: Recordamos en primer lugar que no eiste la tangente para los ángulos de ± π/, ±π/, ±π/, etc. Las propiedades de esta función son las siguientes: Es una función periódica el valor de su período es ahora menor, es π: tg (+ π) = tg. Su dominio son todos los números reales ecepto los múltiplos de π/ por un número impar (±π/, ±π/, ±π/, etc.), donde no eiste. En esos valores presenta discontinuidades llamadas discontinuidades inevitables, porque no se podrían taponar mediante un punto. Tiene asíntotas verticales en esos mismos valores de la. Las hemos representado en el gráfico mediante líneas discontinuas. Tiene simetría impar: es simétrica respecto del origen de coordenadas, a que tg () = tg ( ) Matemáticas º B de ESO. Capítulo : Funciones eponenciales, logarítmicas trigonométricas Ilustraciones: Miguel Ángel Paz Banco de Imágenes de INTEF
69 Actividades resueltas Representa las gráficas de las funciones = sen() e = sen comparándolas después con la gráfica de = sen. Dando valores con la calculadora obtenemos las siguientes gráficas, representadas en azul junto a la de la función sen, representada en rojo: La gráfica de = sen() es igual a la de = sen contraéndola horizontal-mente. Cambia el periodo, que ahora es de π. La gráfica de = sen es igual a la de = sen epandiéndola verticalmente. Tienen el mismo periodo, pero cambia la amplitud. Cuando = sen alcanza en π/ un valor máimo de, = sen alcanza en π/ un valor máimo de. Decimos que su amplitud vale. Actividades propuestas 9. Representa en tu cuaderno las gráficas de las funciones = cos, = cos e = cos comparándolas después con la gráfica de = cos. 0. Partiendo de la gráfica de la función = sen, representa en tu cuaderno, sin hacer tablas de valores, las gráficas de = + sen de = sen ( + π/6).. Identifica las gráficas de las siguientes funciones trigonométricas: a) b) EJERCICIOS Y PROBLEMAS Función eponencial. Representa mediante una tabla de valores las siguientes funciones: a) b) c) d). Representa mediante una tabla de valores la función otras sobre el mismo dibujo: a) b) c) d) Matemáticas º B de ESO. Capítulo : Funciones eponenciales, logarítmicas trigonométricas Ilustraciones: Miguel Ángel Paz Banco de Imágenes de INTEF a continuación, sin tabla de valores, representa estas. Encuentra una función eponencial f () b sabiendo que f ( ) 9.. Encuentra una función f() k b sabiendo que f ( ) 8 que f ( 0 ).. Si un capital de.00 euros se multiplica cada año por,0 representa en un gráfico la evolución de ese capital en los 0 primeros años. Escoge unas proporciones adecuadas para los ejes. 6. Cierto tipo de células se reproduce por bipartición, comprobándose que el número de ellas se duplica cada día. Si en un día determinado el número de células era de millones: a) Epresa mediante una función el número de células en función del número de días. b) Halla el número de células que habrá dentro de días el que había hace días. c) En qué día piensas que el número de células era de.0? 7. La descomposición de cierto isótopo radiactivo viene dada por la fórmula = 0,7 0,t, donde 0 representa la cantidad inicial t el número de milenios transcurrido. Si la cantidad actual es de 0 gramos, cuál será la cantidad que quede al cabo de 8.000 años? Cuál era la cantidad que había hace.000 años? Función logarítmica 8. Calcula los siguientes logaritmos utilizando la definición sin utilizar la calculadora: a) log 6 b) log 8 c) log 000 d) log e) log 7 0, f) log 0,
70 9. Calcula los siguientes logaritmos utilizando la definición e igualando eponentes, sin calculadora: a) log 9 b) log c) log 0, d) log 9 7 e) log 8 f) log 8 g) log 0, h) log 8 i) log 7 j) log 000 0. Calcula los siguientes logaritmos con la calculadora utilizando la fórmula del cambio de base: a) log 7 b) log 9 c) log 0 0, d) log 8 e) log 6 000. Utilizando los valores log = 0,0 que log = 0,77 calcula, aplicando las propiedades de los logaritmos sin calculadora: a) log 7 b) log c) log 0 d) log 0 e) log 6 f) log. Llamando log 9 = epresa en función de los siguientes logaritmos: a) log 8 b) log 900 c) log 0, ˆ d) log 0,9 e) log 900. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: a) log = log (0 ) b) log + log( ) = log( ) c) log( + + ) log ( ) = log d) log + log( + ) =. Qué relación ha entre el logaritmo de un número el de su inverso /?. Si se multiplica por 6 el número, su logaritmo en cierta base aumenta en dos unidades. Cuál es dicha base? 6. La escala Richter, usada para medir la intensidad de los terremotos, es una escala logarítmica: un terremoto de magnitud es 00 veces más intenso que uno de magnitud, porque = log 00.000 = log.000. Teniendo esto en cuenta, si el famoso terremoto de San Francisco (en 906) tuvo una magnitud de 8, el de Haití (en 00) fue de 7, cuántas veces más fuerte fue uno que otro? Funciones trigonométricas 7. Determina todos los ángulos que verifican que sen = /. 8. Determina todos los ángulos que verifican que sen = /. 9. Determina todos los ángulos que verifican que cos = /. 0. Determina todos los ángulos que verifican que cos = /.. Determina todos los ángulos que verifican que tg =.. Calcula sen cos si tg =.. Calcula sen tg si cos = 0,.. Calcula tg cos si sen = 0,.. Calcula las razones trigonométricas de los ángulos siguientes: a) 7π/, b) 0π/, c) π/, d) 9π/. 6. Dibuja en tu cuaderno sobre unos mismos ejes las gráficas de las funciones seno, coseno tangente e indica lo siguiente: a) Si el seno vale cero, cuánto vale el coseno, la tangente? b) Si el coseno vale cero, cuánto vale el seno la tangente? c) Si la tangente vale cero, cuánto vale el seno el coseno? d) Cuándo la tangente tiende a infinito, cuánto vale el coseno? 7. Dibuja la gráfica de la función = sen(), completando previamente la tabla siguiente en tu cuaderno: 0 π/ π π/ π sen() a) La amplitud es la ordenada del máimo. Cuál es la amplitud de esta función? b) Cuál es su periodo? c) La frecuencia es la inversa del periodo, cuál es su frecuencia? 8. Dibuja la gráfica de la función = sen(π), completando previamente la tabla siguiente en tu cuaderno: π 0 π/ π π/ π sen(π) a) Cuál es la amplitud de esta función? b) Cuál es su periodo? c) Cuál es su frecuencia? 9. Dibuja la gráfica de la función = sen((π/)) + π/, completando previamente la tabla siguiente en tu cuaderno: (π/) 0 π/ π π/ π sen((π/)) a) Cuál es la amplitud de esta función? b) Cuál es su periodo? c) Cuál es su frecuencia? Matemáticas º B de ESO. Capítulo : Funciones eponenciales, logarítmicas trigonométricas Ilustraciones: Miguel Ángel Paz Banco de Imágenes de INTEF
7 0. Dibuja la gráfica de la función = sen(π + ), completando previamente la tabla siguiente en tu cuaderno: π + 0 π/ π π/ π sen(π + ) a) Cuál es la amplitud de esta función? b) Cuál es su periodo? c) Cuál es su frecuencia?. Dibuja la gráfica de la función = cos(), completando previamente la tabla siguiente en tu cuaderno: 0 π/ π π/ π cos() a) Cuál es la amplitud de esta función? b) Cuál es su periodo? c) Cuál es su frecuencia?. Dibuja la gráfica de la función = cos(π), completando previamente la tabla siguiente en tu cuaderno: π 0 π/ π π/ π cos(π) a) Cuál es la amplitud de esta función? b) Cuál es su periodo? c) Cuál es su frecuencia?. Dibuja la gráfica de la función = cos(π + ), completando previamente la tabla siguiente en tu cuaderno: π + 0 π/ π π/ π cos(π + ) a) Cuál es la amplitud de esta función? b) Cuál es su periodo? c) Cuál es su frecuencia?. Dibuja la gráfica de la función = tg(), completando previamente la tabla siguiente en tu cuaderno. : 0 π/ π π/ π tg() Cuál es su periodo? Problemas. Por efecto de un antibiótico el número de bacterias de una colonia se reduce en un 7 % cada hora. Si en el momento de administrarse el antibiótico había 0 millones de bacterias, cuántas habrá al cabo de 0 horas? 6. Una persona ingiere a las 8 de la mañana una dosis de 0 mg de medicamento. Dicho medicamento se va eliminando a t través de la orina, la cantidad que queda en el cuerpo al cabo de t horas viene dada por la fórmula M(t ) 0 0, 8. Para que el medicamento haga efecto tiene que haber al menos una cantidad de mg en el cuerpo. Cuánto tiempo seguirá haciendo efecto después de su ingestión? 7. La medida de la presión atmosférica P (en milibares) a una altitud de kilómetros sobre el nivel del mar está dada por la 0, ecuación P() 0 e. a) Si la presión en la cima de una montaña es de 9 milibares, cuál es la altura de la montaña? b) Cuál será la presión en la cima del Everest (altitud 8.88 metros)? 8. A qué tanto por ciento ha que invertir un capital para duplicarlo en 0 años? 9. Cuántos años debe estar invertido un capital para que al % de interés se convierta en, veces el capital inicial? 0. Conoces esas muñecas rusas que llevan dentro otra muñeca igual pero de menor tamaño, así sucesivamente? Supongamos que cada muñeca tiene dentro otra que ocupa / de su volumen. Si la muñeca maor tiene un volumen de 0 cm la más pequeña es de 80 cm, cuántas muñecas ha en total en la serie? Podrías dar una fórmula general para este cálculo?. Indica, sin dibujar la gráfica, el periodo, la amplitud la frecuencia de las funciones siguientes: a) = sen (/), b) = 0, cos (π/), c) = sen (π/), d) = cos (π). Matemáticas º B de ESO. Capítulo : Funciones eponenciales, logarítmicas trigonométricas Ilustraciones: Miguel Ángel Paz Banco de Imágenes de INTEF
7 Función eponencial b Definición de logaritmo Cambio de base Operaciones con logaritmos Función logarítmica logb Funciones trigonométricas = sen = cos = tg RESUMEN Dominio: Todos los números reales. Recorrido: Todos los números reales positivos. Continua en todo el dominio Asíntota horizontal: = 0 b >, Creciente en todo el dominio. 0 < b < Decreciente en todo el dominio Puntos destacables: (0, ), (, b), (, /b) log b a b a ( a 0, b 0, b ) Consecuencias elementales: logb b logb 0 Log. de un producto: Log. de un cociente: Log. de una potencia: Ejemplos log log 8 / log log 7 b loga log 7, 0 log a log b ( ) = + ( : ) = = Dominio: T Todos los números reales positivos. Recorrido: Todos los números reales. Continua en todo el dominio Asíntota vertical: =0 b > Creciente en todo el dominio. 0 < b < Decreciente en todo el dominio Puntos destacables: (, 0), ( b, ), (/b, ) Funciones seno coseno: Dominio: Todos los números reales. Recorrido:[, ] Continuas en todo el dominio. Periódicas de período π Función tangente: Dominio continuidad: Todo salvo (n + ) π/ (En esos valores ha asíntotas verticales) Recorrido: Todos los números reales. Periódica de periodo π. Simetría: Funciones seno tangente: simetría impar. Función coseno: simetría par. b c log logb log c log Matemáticas º B de ESO. Capítulo : Funciones eponenciales, logarítmicas trigonométricas Ilustraciones: Miguel Ángel Paz Banco de Imágenes de INTEF
7 AUTOEVALUACIÓN. El valor de que verifica la ecuación eponencial 6 es: a) b) c) d). La función eponencial = e tiende a *** cuando tiende a a *** cuando tiende a +. Indica con qué valores habría que rellenar los asteriscos: a) 0, + b) +, 0 c) 0, d), 0. Indica cuál es la función eponencial f() = b que verifica que f() = 7: a) f() = b) f() = c) f() = 7 d) f() =. El valor de que verifica = log 0 es: a) 0 b) c) 0 d) Otro valor. La ecuación logarítmica log + log 6 = log 0 tiene como solución: a) b) c) d) 6. Indica la afirmación verdadera: a) La función eponencial de base maor que es decreciente b) La función logarítmica de base maor que es decreciente c) La función eponencial siempre es creciente d) La función eponencial de base maor que es creciente 7. La epresión general de todos los ángulos cua tangente vale, donde k es un número entero, es: a) + kπ b) + kπ c) + kπ d) + kπ 8. La función f() = sen() tiene de amplitud, periodo frecuencia, respectivamente: a), π/, /π b), π/, /π c), /π, π/ d), /π, π/ 9. El seno, el coseno la tangente de 7π/ valen respectivamente: a),, b),, c),, d),, 0. El seno, el coseno la tangente de π/6 valen respectivamente: a),, b),, c),, d),, Matemáticas º B de ESO. Capítulo : Funciones eponenciales, logarítmicas trigonométricas Ilustraciones: Miguel Ángel Paz Banco de Imágenes de INTEF