Axiom de división del espcio: Todo plno del espcio determin en éste dos regiones tles que: - Cd punto del espcio pertenece un de ls dos regiones o l plno - Dos puntos de un mism región determinn un segmento que no cort l plno. - Dos puntos de distint región determinn un segmento que cort l plno. P R 1 Q Semiespcio: R R Definición: Al conjunto formdo por los puntos de un plno y todos los puntos de un de ls dos regiones que el plno determin en el espcio se llm SEMIESPACI. R = E R = E 1 1 E1 y E son semiespcios opuestos, es el orde o fronter de E1 y E E E = E E = E 1 1 Notción: ( A) (, A) IRT ( A) ( IRT, A) Ángulos diedros: i β β 1 ( β ) β ( ) = β ángulo diedro convexo 1 1 1 1 1 β Prof. Crolin Colmn Págin 1
Definición: Se llm ángulo diedro convexo l intersección de dos semiespcios cuyos ordes se cortn o coinciden. 1 y β1 son ls crs del diedro ( semiplnos) Elementos: i es l rist del diedro ( rect) servción: Dos plnos secntes dividen l espcio en 4 diedros convexos. β, β, β, β 1 1 1 1 Ángulo diedro cóncvo: Se llm ángulo diedro cóncvo l formdo por ls crs del diedro convexo y todos los puntos exteriores él. CNVEX CÓNCAV Diedro llno: Si ls crs de un diedro son semiplnos opuestos, cd semiespcio que tiene por orde el plno que los contiene se llm diedro llno. 1 i Diedros consecutivos: Dos diedros son consecutivos cundo tienen un cr común y ls otrs en semiespcios opuestos con respecto l plno que contiene l cr común. Diedros dycentes: Dos diedros son dycentes cundo tienen un cr común y ls crs no comunes son semiplnos opuestos. Diedros opuestos por l rist: Sus crs son semiplnos respectivmente opuestos. Prof. Crolin Colmn Págin
Rectilíneo de un diedro: Es el ángulo plno que result de l intersección de un diedro con un plno perpendiculr su rist i ω β β = i ω ω i ω β ω = ω β = 1 β ω = ( rectilíneo) El ángulo diedro que formn dos plnos se mide por el rectilíneo correspondiente. Clsificción de los ángulos diedros: - Se dice que un diedro es recto, gudo u otuso según que su rectilíneo se un ángulo recto, gudo u otuso. - Si un diedro es recto, los plnos que contienen sus crs son perpendiculres. Iguldd de diedros: Dos diedros son igules si y sólo si tienen igules sus rectilíneos. Desiguldd de diedros: Un diedro es menor que otro si y sólo si el rectilíneo del primero es menor que el del segundo. Ángulos triedros: Definición: Dds tres semirrects con origen común, no coplnres, se llm ángulo triedro l intersección de los tres semiespcios cd uno de los cules tiene como orde el plno determindo por dos de ls semirrects y contiene l tercer. Prof. Crolin Colmn Págin 3
( c) c( ) c( ) = c c Elementos: es el vértice del triedro. Ls semirrects, y c son rists del triedro. Los ángulos convexos, c, c son ls crs del triedro. Propieddes de ls crs de un diedro: Recordmos: en un triángulo un ldo es menor que l sum de los otros dos Propiedd: En todo triedro un cr es menor que l sum de ls otrs dos. C A D B c d Hipótesis: c triedro es l myor de ls crs Tesis: c + c Demostrción: Trnsporto c sore, tomo semirrect dinterior tl que c = d. Tomo A y B y D = AB d. Tomo C c tl que seg( D) = seg( C) Prof. Crolin Colmn Págin 4
segmento A común seg( C) = seg( D) AD = AC seg( AD) = seg( AC) d c = En ABC se cumple que : seg( AB) < seg( AC) + seg( BC) seg( AB) seg( AC) < seg( BC) seg( BC) > seg( DB) c > d c + c > d + c sumo c seg ( DB) Corolrio: En todo triedro un cr es myor que l diferenci de ls otrs dos c > c Propiedd: En todo triedro l sum de ls crs es menor que 4 rectos c Hipótesis: c triedro, c, y c crs Tesis: + c + c < 4R Demostrción: Trzo l semirrect opuest de. Si, y c no coplnres, entonces, y c no coplnres, entonces ' c triedro Por teorem nterior c < ' + c ' + c + c < + ' + c + c ' + c + c < 4R sumo + c R R Es necesrio y suficiente que se cumpln ests dos propieddes pr que exist triedro. Ángulo poliedro convexo: Prof. Crolin Colmn Págin 5
Dds n semirrects con origen común, tomds en un cierto orden, tles que tres consecutivs no sen coplnres, se llm ángulo poliedro convexo l intersección de los semiespcios que tienen por orde el plno determindo por dos semirrects consecutivs y contiene ls n- restntes. 3 4 1 5 Elementos: es el vértice. Ls semirrects 1,, n son ls rists y los ángulos crs.,,... son ls 1 3 Se cumplen ls propieddes que demostrmos pr ls crs de un triedro: - En todo ángulo poliedro un cr es menor que l sum de ls restntes - L sum de tods sus crs es menor que 4 rectos. Secciones plns de un ángulo poliedro: L intersección de un ángulo poliedro con un plno que corte tods sus rists y no pse por el vértice es un PLÍGN CNVEX que tiene tntos vértices como rists tiene el ángulo poliedro. A D C B d c Prof. Crolin Colmn Págin 6
Poliedros convexos: tención: A B C A C B c c = ABC ( ) c = ABCD poliedro de 4 crs : TETRAEDR Si luego l tetredro lo seccionmos con otro plno que cort tres rists concurrentes, entonces otengo dos poliedros convexos: un TETRAEDR y otro de 5 crs (PENTAEDR). Por secciones nálogs se pueden otener poliedros de 6 crs (HEXAEDRS), 7 crs (HEPTAEDRS), 8 crs (CTAEDR), etc. Conclusión: Un poliedro convexo tiene por lo menos 4 crs. Definición: Ddo un número finito de polígonos (n myor o igul que 4) situdos en plnos diferentes y tles que cd ldo de uno de ellos culquier pertenezc otro y solo otro de los polígonos menciondos, se llm Prof. Crolin Colmn Págin 7
PLIEDR CNVEX l intersección de los semiespcios que tienen por orde el plno de cd polígono y contiene los restntes. Elementos: Los vértices de los polígonos son los vértices del poliedro. Los ldos de los polígonos se llmn rists del poliedro. Los polígonos son ls crs del poliedro. Superficie poliédric: Es el conjunto de puntos que pertenecen los polígonos que definen un poliedro. Teorem de Euler: En todo poliedro convexo l sum del número de crs y del número de vértices excede en dos uniddes l número de rists. c + v = + PLIEDRS REGULARES: Recordmos: polígono regulr es quel que tiene los ldos y ángulos congruentes. Definición: Se llm poliedro regulr todo poliedro convexo cuys crs son polígonos regulres congruentes y en cuyos vértices concurren el mismo número de crs. Existenci de sólo 5 poliedros regulres: Mientrs existen polígonos regulres de un número culquier de ldos, veremos que el número de crs de un poliedro regulr no puede ser culquier. Como en cd vértice de un poliedro tenemos un ángulo poliedro y l sum de ls crs de un ángulo poliedro dee ser menor que 4 rectos, tenemos un limitción. Poliedros regulres con crs tringulres: 60º En cd vértice pueden concurrir como mínimo tres crs y como máximo 5 crs: 60º x 3 = 180º < 4R 60º x 4 = 40º < 4R 60º x 5 = 300º < 4R 60º x 6 =360º no es menor que 4R 1) Tres crs por vértice: 3v = (3v porque cd vértice concurren 3 rists y dividido porque cd rist tiene vértices) Prof. Crolin Colmn Págin 8
v = 3 3c = (porque cd cr tiene 3 rists, pero cd rist es común crs) c = 3 Euler: c + v = + 4 + = + = + 4 = 3 + 6 4 3 = 6 = 6 3 3 3 v = 6 v = 4 y c = 4 3 TETRAED REGULAR ) Cutro crs por vértice: 4v = = v v = 3 + 4 + = + = + 7 = 6 + 1 7 6 = 1 = 1 3c 3 6 = c = 3 v = 6, c = 1 c = 8 3 CTAEDR REGULAR 3) Cinco crs por vértice: 5v = v = 5 6 + 10 + = + = + 16 = 15 + 30 16 15 = 30 = 30 3c 5 3 15 = c = 3 v = 30 v = 1, c = 30 c = 0 5 3 ICSAEDR REGULAR Prof. Crolin Colmn Págin 9
Poliedros regulres con crs cudrds: 90º 90º x 3 = 70º < 4R 90º x 4 = 360º no es menor que 4R Entonces hy un sólo poliedro regulr de crs cudrds 3v = v = 3 4 + 3 + = + = + 7 = 6 + 1 7 6 = 1 = 1 4c 3 6 = c = v = 1 v = 8, c = 6 3 HEXAEDR REGULAR CUB Poliedros regulres con crs pentgonles: L sum de los ángulos interiores de un polígono de n ldos es igul (n-) llnos 5 = 3 x 180º, 5 = 540º, = 540º/5, entonces = 108º 3v = v = 3 10 + 6 + = + = + 16 = 15 + 30 16 15 = 30 = 30 5c 3 5 15 = c = 5 v = 30 v = 0, c = 30 c = 1 3 5 DDECAEDR REGULAR Poliedros regulres con crs hexgonles: 108º x 3 = 34º < 4R 108º x 4 = 43º no es menor que 4R Entonces, hy un solo poliedro regulr con crs pentgonles. 10º 10º x 3 = 360º no es menor que 4 rectos Entonces, no existen poliedros regulres con crs de más de 5 ldos Prof. Crolin Colmn Págin 10
RESUMEN: v c TETRAEDR REGULAR 6 4 4 CTAEDR REGULAR 1 6 8 ICSAEDR REGULAR 30 1 0 HEXAEDR REGULAR 1 8 6 DDECAEDR REGULAR 30 0 1 crs tringulres crs cudrds crs pentgonles Pr poder ver los poliedros, sí como sus desrrollos pueden descrgr el progrm Poly. L siguiente es l dirección: http://www.ped.com/polypro/ Tienen que ir : downlods, y luego: Downlod Poly pro 1.1 for windows. Prof. Crolin Colmn Págin 11