Itroducció al Aálisis Estático Coparativo Adrés J. Maggi Marzo 24
Modelo ateático Itroducció al Aálisis Estático Coparativo Errores coetarios a adres_aggi@hotail.co A eudo los ecooistas supoe que el udo es ucho ás secillo de lo que realete es. Esto lo hace a través de estructuras deoiadas odelos, que so istruetos lógicos, iteraete coheretes, utilizados para lidiar co ua represetació siplificada de la realidad ecoóica. Para ello se realiza u proceso de abstracció de fora de captar los aspectos eseciales de la cuestió a tratar, teiedo e cueta las iplicacioes los riesgos que se corre al establecer dichas siplificacioes. E la aoría de los casos, los odelos se basa e las ateáticas. De esa fora, u odelo ateático cosiste e u cojuto de ecuacioes, idetidades, variables paráetros. Detro de u odelo ateático se puede ecotrar tres tipos de igualdades. Las ecuacioes de coportaieto so aquellas que eplica la coducta de ua variable detro del odelo. Por otra parte, las codicioes de equilibrio so las eigecias o requisitos que debe cuplirse para que el odelo esté e equilibrio. Por últio se ecuetra las idetidades ecoóicas que so igualdades que se verifica siepre (su valor de verdad o depede del valor de las variables). Las variables ecoóicas so la represetació ateática de las distitas categorías ecoóicas. Debido a que, por defiició, ua variable es algo que puede cabiar, se las represeta co u síbolo e lugar de u úero e particular. Eiste dos tipos de variables: las edógeas las eógeas. Las variables edógeas so aquellas que queda deteriadas detro del odelo e cuestió, ietras que las variables eógeas so aquellas que viee dadas por fuera del odelo, es decir, que se rige por lees ajeas al iso, por lo cual se las toa coo datos predeteriados. E cuato a los paráetros, éstos so las costates que acopaña a las variables, particularete cuado se trabaja co la fora específica de las ecuacioes del odelo. Aálisis estático o del equilibrio Se dice que u odelo está e equilibrio estático (e u oeto particular del tiepo) cuado el cojuto de variables edógeas adopta valores tales que satisfaga las ecuacioes que costitue el iso, de odo que o prevalezca igua tedecia iherete al cabio e el odelo e cuestió. Es iportate resaltar ciertos aspectos. Por u lado, para alcazar el equilibrio es ecesario que todas las variables se halle siultáeaete e reposo, a que u cabio e algua de ellas podría provocar ua reacció e cadea, iposibilitado el equilibrio. Por otra parte, la palabra "iherete" se refiere úicaete a las fuerzas iteras del odelo, supoiedo que los factores eteros peraece fijos. El equilibrio es u estado que, ua vez alcazado, tiede a perpetuarse a eos que cabie las fuerzas eteras (tea que va a ser tratado e el aálisis estático-coparativo). Por últio, cabe señalar que los valores de equilibrio de las variables edógeas depede de los valores que toe los paráetros las variables eógeas, a que u cabio e estas últias provoca, geeralete, u cabio e los valores de equilibrio de las variables edógeas.
Ejeplo Dado el siguiete odelo de equilibrio parcial de ercado, se procede a hallar los valores de las variables edógeas que satisface las ecuacioes del iso (valores de equilibrio de las variables edógeas): qd = qs () qd = a bp (2) ( a, b> ) q = c+ dp (3) ( c, d > ) s La ecuació () es la codició de equilibrio ietras que (2) (3) so ecuacioes de coportaieto que rige la oferta la deada, respectivaete. Las variables edógeas so q d, q s p, ietras que a, b, c d so los paráetros del odelo. Debido a que qd = qs (por la codició de equilibrio), abas puede ser reeplazadas por q q= a bp q= c+ dp (.) El odelo todavía puede reducirse a ua úica ecuació co ua sola variable a bp= c+ dp (.2) de dode se obtiee el precio de equilibrio (p*) a+ c p* = (.3) b + d Debido a que los cuatro paráetros del odelo fuero especificados coo positivos, etoces p* es tabié positivo. Por últio, para hallar la catidad de equilibrio (q*) basta co sustituir (.3) e cualquier ecuació de (.): ad bc q* = b+ d Puesto que el deoiador es positivo, la positividad de q* (para que tega sigificado ecoóico) requiere que el uerador tabié sea positivo. Fora reducida del odelo Es iteresate otar que tato p* coo q* e el Ejeplo quedaro epresados úicaete e fució de los paráetros. Esto es precisaete lo que se deoia la fora reducida del odelo: epresar los valores de equilibrio de las variables edógeas coo fució eclusiva de las variables eógeas de los paráetros del odelo.
Aálisis estático-coparativo A través del aálisis estático-coparativo lo que se hace es coparar los diferetes estados de equilibrio asociados a diferetes cojutos de valores de los paráetros de las variables eógeas. El proceso cosiste e asuir u estado de equilibrio iicial dado e itroducir u cabio que desequilibre el odelo ediate ua variació e el valor de algú paráetro o variable eógea (shock etero). Coo cosecuecia, el equilibrio iicial se perderá las variables edógeas eperietará ciertos ajustes hasta alcazar u uevo equilibrio. Ua vez alcazado el uevo estado de equilibrio, se procede a coparar los valores de equilibrio de las variables edógeas ates después de dicho shock etero. El aálisis estático-coparativo puede ser de carácter cualitativo o cuatitativo. Se dice que es de carácter cualitativo cuado sólo se aaliza la direcció del cabio de los valores de equilibrio de las variables edógeas, ietras que es de carácter cuatitativo cuado o sólo iteresa la direcció del cabio, sio tabié la agitud del iso. E defiitiva, el aálisis estático-coparativo cosiste e hallar la derivada del valor de equilibrio de ua variable edógea co respecto al cabio e u paráetro o e ua variable eógea. Ejeplo 2 Dado el odelo de ercado del Ejeplo, se había cocluido que el precio la catidad de equilibrio está dados por: a+ c p* = b + d ad bc q* = b+ d Ua vez obteida la fora reducida del odelo se puede llevar a cabo el aálisis estático-coparativo. Bajo el supuesto de que se produce ua perturbació e el paráetro a, se procede a aalizar los efectos de dicho cabio sobre los valores de equilibrio de las variables edógeas. Para ello es ecesario hallar las derivadas parciales de los valores de equilibrio de las edógeas co respecto al paráetro a: δ p* = δ a b + d δ q* d = δ a b + d Debido a que todos los paráetros está restrigidos a ser positivos, se puede cocluir que abas derivadas so positivas: u icreeto (disiució) del paráetro a produce u icreeto (disiució) e los valores de equilibrio de las variables edógeas.
Es iportate otar que el hecho de usar la derivació parcial coo herraieta ateática para hacer este tipo de aálisis liita la agitud del cabio de la variable eógea o del paráetro, a que el iso debe ser ifiitesial, co lo que lograos u aálisis local. Aálisis estático-coparativo de odelos co fucioes geerales E deteriadas ocasioes resulta iposible obteer de fora eplícita la fora reducida del odelo, para luego realizar el aálisis estático-coparativo, debido a dificultades algebraicas o a la iclusió e el odelo de fucioes geerales. E tales ocasioes, para poder llevar a cabo el aálisis estático-coparativo, se utiliza el "teorea de la fució iplícita". Teorea de la fució iplícita El presete teorea es realete útil a la hora de coocer qué codicioes debe cuplirse para que pueda asegurarse la eistecia de la fora reducida del odelo a partir de u sistea de ecuacioes dado de fora iplícita (es iportate otar que toda ecuació puede llevarse a su fora iplícita). Es decir que si se cuple dichas codicioes, las variables edógeas puede epresarse coo fucioes (difereciables) de las variables eógeas e u etoro del equilibrio, queda garatizada la eistecia de la fora reducida del odelo (as allá de que o se la obtiee) por lo tato puede realizarse el aálisis estático coparativo. Dado el siguiete sistea de ecuacioes estructurales co variables edógeas variables eógeas F (,..., ;,..., ) = (,..., ;,..., ) = 2 F... F (,..., ;,..., ) = (.4) dicho teorea asegura, e caso de que se cupliera los requisitos, que el iso tiee solució, es decir que se alcaza el equilibrio estático, auque o se sepa epresar eplícitaete su fora reducida * = f (,..., ) * = f (,..., ) 2 2... * = f (,..., ) (.5) El teorea de la fució iplícita establece etoces que dadas las siguietes codicioes: ) Eiste u puto (, 2,..., ;,..., ) que satisface (.4) j 2) Las fucioes F (,..., ;,..., ), (j=, 2,..., ) so cotiuas e u etoro del puto (, 2,..., ;,..., ) del espacio E +
3) E el puto (, 2,..., ;,..., ) el siguiete deteriate jacobiao es o ulo (para que de esa fora o haa depedecia fucioal, lieal o o lieal, etre el cojuto de las ecuacioes) δf δf δf... δ δ δ 2 2 2 2 δf δf δf δ ( F,..., F )... J = = δ δ2 δ δ (,..., )... δf δf δf... δ δ δ 2 4) Las derivadas parciales de F,..., F co respecto a todas las variables edógeas eógeas eiste e el etoro so cotiuas e el puto (, 2,..., ;,..., ) del espacio E + Etoces eiste u etoro del puto (,..., ) del espacio E e el cual las variables edógeas,..., so fucioes de las variables eógeas,..., e la fora de (.5). Tabié se satisface (.4) para todo puto (,..., ) del etoro e cuestió, dado a (.4) el carácter de u cojuto de idetidades siepre que se trabaje detro de dicho etoro. Por otro lado, las fucioes f,..., f so cotiuas tiee derivadas parciales cotiuas co respecto a todas las variables eógeas. Cabe resaltar que las codicioes citadas e el teorea tiee la aturaleza de codicioes suficietes pero o ecesarias, por lo cual o se puede usar el teorea para egar la eistecia de la fora reducida del odelo alrededor del puto e cuestió. Supoiedo que dichas codicioes se satisface, las ecuacioes (.4) tiee carácter de idetidades, por lo cual se puede difereciar totalete cada ua de ellas (si o fuera idéticaete iguales, es decir si se verificara sólo para alguos valores de las variables o para todos, sus difereciales totales o sería iguales) δf δf δf δf δf d + d +... + d + d +... + d = δ δ δ δ δ 2 2 2 2 2 2 2 δf δf δf δf δf d + d +... + d + d +... + d = δ δ δ δ δ 2 2... δf δf δf δf δf d + d +... + d + d +... + d = δ δ δ δ δ 2 2 Debido a que las derivadas parciales toa valores cocretos al ser evaluadas e el puto (, 2,..., ;,..., ) (puto alrededor del cual está defiidas las fucioes eplícitas), se obtiee u sistea de ecuacioes lieales. Supoiedo que sólo ua variable eógea varía, todos los difereciales d so ulos ecepto el de dicha variable (e este caso ), por lo cual los térios que cotiee d 2,..., d i
desaparece del sistea. Reordeado, el sistea puede epresarse de la siguiete fora δf δf δf δf d + d +... + d = d δ δ δ δ 2 2 2 2 2 2 δf δf δf δf d + d +... + d = d δ δ δ δ 2 2... δf δf δf δf d + d +... + d = d δ δ δ δ 2 2 d d Dividiedo cada uo de los térios por d surge las epresioes,..., d d, las cuales puede iterpretarse coo las derivadas parciales de (.5) co respecto a δf δ δf δ δf δ δf + +... + = δ δ δ δ δ δ δ 2 2 δf δ δf δ δf δ δf + +... + = δ δ δ δ δ δ δ 2 2 2 2 2 2... δf δ δf δ2 δf δ δ F + +... + = δ δ δ δ δ δ δ 2 Matricialete, este sistea puede escribirse coo δf δf δf... δ δ F δ δ2 δ δ δ 2 2 2 2 δf δf δf δ 2 δf... 2 δ δ δ δ = δ......... δf δf δf δ δ F... δ δ2 δ δ δ (.6) Ya que el deteriate de la atriz de coeficietes es el deteriate jacobiao, el cual es o ulo (debido a que se supuso que se verifica las codicioes del teorea de la fució iplícita), que el sistea es o hoogéeo, el sistea (.6) tedrá solució úica
δ δf δf δf δ F... δ δ δ2 δ δ 2 2 2 2 δ 2 δf δf δf δ F... δ = δ δ2 δ δ......... δ δf δf δf δ F... δ δ δ2 δ δ Tabié puede ser resuelto por la regla de Craer: δ j * J j = ( j =,2,..., ) δ J Mediate el iso procediieto se puede obteer las derivadas parciales de las variables edógeas co respecto al resto de las variables eógeas,..., 2. Ejeplo 3 Dado el odelo de ercado de los Ejeplos 2, se procede a aalizar el cabio e los valores de equilibrio de las variables edógeas ate u cabio e el paráetro a, a través de la etodología recieteete epuesta. Teiedo e cueta la codició de equilibrio obteiedo la fora iplícita de cada ua de las ecuacioes, el odelo puede epresarse de la siguiete fora q a+ bp= q+ c dp= Para poder llevar a cabo el aálisis es ecesario verificar que se satisfaga las codicioes del teorea de la fució iplícita. Dado que eiste u equilibrio estático que las fucioes iplícitas tiee derivadas parciales cotiuas, se procede a verificar que el jacobiao sea o ulo b J = = d b< d El cupliieto de las codicioes del teorea de la fució iplícita perite etoces asegurar la eistecia de la fora reducida del odelo (e el etoro del puto de equilibrio), auque o se la coozca eplícitaete p* = pabcd (,,, ) q* = q( a, b, c, d) Por otra parte, al verificarse las codicioes, las ecuacioes del odelo pasa a teer carácter de idetidades (e el etoro del puto de equilibrio), por lo cual se puede
difereciar totalete iebro a iebro. Despejado de u lado de la igualdad las variables edógeas del otro las eógeas, el sistea puede escribirse dq + bdp = da pdb dq ddp = dc + pdd Debido a que el cabio que se aaliza es e el paráetro a, los db, dc dd se aula, por lo cual el sistea se reduce a dq + bdp = da dq ddp = Dividiedo iebro a iebro por da e iterpretado el cociete de dos difereciales coo ua derivada parcial, el sistea queda epresado δ q δ p + b = δa δa δq δ p d = δa δa El sistea puede epresarse atricialete de la siguiete fora δ q b δ a = d δ p δ a La solució puede hallarse preultiplicado por la iversa de la atriz de coeficietes o ediate la regla de Craer b δ q* d d d = = = δ a b d b b+ d d δ p* = = = δ a b d b b+ d d Resulta iteresate observar que los resultados obteidos coicide co los del Ejeplo 2, a pesar de haber usado ua técica diferete.
Ejeplo 4 Dado el odelo acroecoóico IS-LM e su fora estructural C = C( Yd, r) < CYd < Cr < ( deada de cosuo) Yd = Y T ( igreso dispoible) I = I() r Ir < ( deada de iversió) Y = C + I + G ( equilibrio e el ercado de biees) Md = ( Y, r) > r < ( deada de diero) M Ms = p ( oferta real de diero) Md = Ms ( equilibrio e el ercado de diero) se aaliza los efectos sobre los valores de equilibrio de las variables edógeas (Y r) de ua política fiscal (variació del gasto público G). La cosecució del equilibrio e este odelo requiere la satisfacció siultáea de la codició de equilibrio del ercado de biees así coo la del ercado de diero. Etoces el estado de equilibrio puede describirse por el siguiete par de codicioes Y = C( Y T, r) + I( r) + G M = Y (, r ) p Este sistea satisface las codicioes del teorea de la fució iplícita a que se supoe que eiste u equilibrio estático que las fucioes tiee derivadas parciales cotiuas, por otra parte, el jacobiao o se aula al ser evaluado e el puto de equilibrio iicial CYd ( Cr + Ir ) J = = ( CYd ) r + ( Cr + Ir ) < r Al verificarse dichas codicioes se puede asegurar la eistecia de la fora reducida del odelo e el etoro del puto de equilibrio Y* = Y( T, G, M, p) r* = r( T, G, M, p) auque o se pueda epresarla eplícitaete. Adeás las ecuacioes del odelo pasa a teer carácter de idetidades e el etoro del puto de equilibrio, lo que perite difereciar totalete iebro a iebro. Reordeado, el sistea puede epresarse ( CYd ) dy ( Cr + Ir ) dr = CYddT + dg M dy + rdr = dm dp 2 p p
Coo el úico factor de desequilibrio es G, el resto de los difereciales de las variables eógeas se aula ( CYd ) dy ( Cr + Ir ) dr = dg dy+ dr= Dividiedo iebro a iebro por dg e iterpretado el cociete de dos difereciales coo ua derivada parcial, el sistea queda epresado δy δ r ( CYd ) ( Cr + Ir ) = δg δg δy δr + r = δg δg El sistea puede epresarse atricialete de la siguiete fora δy CYd ( Cr + Ir ) δg = r δ r δg cua solució puede ecotrarse a través de la regla de Craer ( Cr + Ir) δy * r r = = > δg CYd ( Cr + Ir ) ( CYd ) r + ( Cr + Ir ) r r CYd δ r * = = > δg CYd ( Cr + Ir ) ( CYd ) r + ( Cr + Ir ) r A partir del aálisis realizado se puede cocluir que tato el producto (Y) coo la tasa de iterés real (r) de equilibrio tiee ua relació positiva co el gasto público (G): u aueto (disiució) de G produce u aueto (disiució) e los valores de equilibrio de Y de r.
Ejeplo 5 Toado el caso de u cosuidor hipotético que elige etre dos biees, éste aiiza su fució de utilidad sujeto a ua restricció presupuestaria. El problea plateado es el siguiete a U = U(, ) ( U, U > ) sa.. p + p = R La fució lagragiaa para llevar a cabo la optiizació es L= U(, ) + λ( R p p ) De las codicioes de prier orde se desprede el siguiete sistea de ecuacioes L = U λ p = L = U λ p = L = R p p = λ E el odelo aalizado, las catidades adquiridas por el cosuidor el ultiplicador de Lagrage so las variables edógeas, ietras que los precios la catidad presupuestada so las variables eógeas. Bajo el supuesto de que se satisface la codició suficiete de segudo orde, se puede realizar el aálisis estáticocoparativo a partir del sistea de ecuacioes iplícitas que surge de las codicioes de prier orde, dode se supoe que cada ua de ellas tiee derivadas parciales cotiuas. Debido a que el jacobiao tiee el iso valor que el hessiao orlado, cuado se cuple la codició de segudo orde el jacobiao es positivo o se aula e el óptio iicial U U p J = U U p = p p U p U p U > p 2 2 2 p Etoces se puede aplicar el teorea de la fució iplícita epresar los valores de equilibrio (óptios) de las variables edógeas e fució de las variables eógeas (fora reducida del odelo) e el etoro del puto del equilibrio * = ( p, p, R) * = ( p, p, R) λ* = λ( p, p, R) Al verificarse las codicioes de dicho teorea, las ecuacioes del odelo pasa a teer carácter de idetidades (e el etoro del puto de equilibrio), por lo cual se puede difereciar totalete iebro a iebro. Despejado de u lado de la igualdad las variables edógeas del otro las eógeas, el sistea puede escribirse
U d + U d p dλ = λdp U d + U d p dλ = λdp p d p d = dr + dp + dp Si se cosidera úicaete ua variació e la catidad presupuestada, el resto de los difereciales de las variables eógeas se aula, por lo cual el sistea puede reducirse a Ud+ Ud pdλ = Ud+ Ud pdλ = p d p d = dr Dividiedo iebro a iebro por dr e iterpretado el cociete de dos difereciales coo ua derivada parcial, el sistea queda epresado δ δ δλ U + U p = δr δr δr δ δ δλ U + U p = δr δr δr δ δ p p = δ R δ R El sistea puede epresarse atricialete de la siguiete fora δ U U p δ R δ U U p = δ R p p δλ δ R La solució puede obteerse a través de la regla de Craer
δ * p pu pu = = δ R U U p ppu pu pu 2 2 2 U U p p U U p p p U U δ * p pu pu = = δ R U U p 2 ppu pu pu p p U U p p p 2 2 Debido a la falta de iforació acerca de las agitudes relativas de p, p U ij, o se puede asegurar la direcció de los cabios e los valores de equilibrio de las catidades ate u cabio e el presupuesto. Probleas igorados Coo se ecioó ateriorete, ediate el aálisis estático-coparativo lo que se pretede es coparar los valores de equilibrio de las variables edógeas ate u cabio e algua de las variables eógeas o e algú paráetro del odelo. Al llevar a cabo u aálisis de este tipo o se tiee e cueta dos probleas iportates. El priero es que, debido a que el uevo estado de equilibrio puede requerir cierto tiepo e alcazarse, éste puede llegar a perder toda relevacia si las fuerzas eógeas del odelo eperieta uevaete ciertos cabios e dicho lapso. Por otro lado, ua vez perturbado el odelo, o se aaliza la traectoria de trasició etre los equilibrios iicial fial. Esto quiere decir que se supoe que el equilibrio es estable que efectivaete se llega a u uevo estado de equilibrio. Podría ocurrir que el odelo sea diáicaete iestable que la itroducció del shock etero haga que o se pueda alcazar u uevo equilibrio. Bibliografía BLANCHARD, O. (2), Macroecooía. Pretice Hall CHIANG, A. (987), Métodos Fudaetales de Ecooía Mateática. Tercera Edició. McGraw-Hill HENDERSON, J. M. Y QUANDT, R. (98), Microecooic Theor: A Matheatical Approach. Third editio. McGraw-Hill REY PASTOR, PI CALLEJA, TREJO (98), Aálisis Mateático. Editorial Kapelusz
SAMUELSON, P. (953), Foudatios of Ecooic Aalsis. Tercera Edició. Massachusetts: Harvard Uiversit Press