06 MATEMÁTICA Curso de Amientción pr Alumnos Ingresntes Ingenierí Agronómic
Bienvenidos Éste es nuestro primer contcto trvés de él desemos drte l ienvenid nuestr Fcultd de Ciencis Agropecuris en prticulr l cátedr de Mtemátic. Uno de los ojetivos de este mteril es logrr un primer cercmiento con l signtur, nivelndo en quells áres que necesitás pr un mejor inserción en l primer etp de tus estudios universitrios. Por nuestr prte te ofrecemos compñrte guirte pr que logres ls competencis mtemátics necesris pr poder plicrls lo lrgo de l crrer, sin emrgo necesitmos tmién de tu dedicción, esfuerzo entusismo, lo cul grntizrá tu compromiso con el deseo de prender. En est líne de compromiso con tu prendizje, te rindmos este mteril en el cul encontrrás conceptos teóricos, ejemplos, ejercicios propuestos con sus respuests prolems sencillos de plicción. Además pr menizr poner en juego tu cretividd encontrrás lgunos certijos mtemáticos prolems de ingenio resolver. Al finl del cudernillo, se greg tmién l iliogrfí que podés consultr, pr mplir tus conocimientos sore los tems estudidos. Te espermos te desemos mu uen comienzo!!! Equipo de trjo de ls cátedrs de Mtemátic de l Fcultd de Ciencis Agropecuris.
Índice Unidd : Operciones con los Números Reles Operciones con Números Reles ) Números Nturles ) Números Enteros ) Números Rcionles 6 ) Números Irrcionles 8 ) Números Reles 8 6) Potencición 0 7) Rdicción 8) Logritmción Ejercitción Nº Prolems de plicción: REGLA DE TRES SIMPLE Y PORCENTAJE 0 Unidd : Epresiones lgerics A - Definiciones B - Operciones con epresiones lgerics enters Ejercitción Nº 0 C - Fctoreo de Epresiones lgerics D - Epresiones lgerics frccionris. Simplificciones Ejercitción Nº 9 Unidd : Ecuciones Sistems A) Ecuciones de primer grdo con un incógnit Ejercitción Nº 8 B) Ecuciones de segundo grdo con un incógnit 0 Ejercitción Nº C) Ecuciones eponenciles logrítmics 6 Ejercitción Nº6 7 D) Sistems de ecuciones de primer grdo con dos incógnits 8 Prolems. Cómo resolver un prolem? 6 Ejercitción Nº7 6 Unidd : Trigonometrí 67 A) Ángulos su medición 67 Ejercitción Nº 8 70 B) Funciones trigonométrics de áng. gudos en triángulos rectángulos 7 Ejercitción Nº 9 77 C) Aplicción de l trigonometrí triángulos rectángulos. Resolución de triángulos rectángulos 80 Ejercitción Nº0 8 D) Funciones trigonométrics de ángulos generles 8 Ejercitción Nº 88 E) Resolución de triángulos. Cso generl: Olicuángulos 90 Ejercitción Nº 9 Unidd : Prolems de cálculo de áre volumen 99 Prolems pr ejercitr tu ingenio. 0 Biliogrfí 07
Unidd : Operciones con Números Reles Unidd Operciones con Números Reles Introducción Los distintos conjuntos de números reles que se utilizn se deducen prtir de sucesivs mpliciones del conjunto de números nturles. Símolos: N = Números Nturles Z = Números Enteros Q = Números Rcionles I = Irrcionles R = Números Reles C = Complejos ) Números Nturles Se representn con los símolos: N,,,,,... Propieddes: - El conjunto de los números nturles es infinito - Tiene primer elemento. No tiene último elemento. - Todo número nturl tiene un sucesor. Un número nturl su sucesor se dicen consecutivos Ej. m N ; sig m / sig N - Entre dos números nturles eiste siempre un número finito de números nturles. Conjunto discreto. Representción geométric Operciones en N. Propieddes de l sum ) Es un operción cerrd, es decir: + N,, N ) Conmuttiv: + = +,, N c) Asocitiv: + ( + c ) = ( + ) + c,,, c N d) Cnceltiv: + = + c = c,,, c N. Propieddes de l diferenci ) No es un operción cerrd: 7 / N
Unidd : Operciones con Números Reles L diferenci entre dos números nturles eiste sí sólo sí el minuendo es mor que el sustrendo, es decir: SI, N, = número N, > ) No se verific l propiedd conmuttiv: 7 7 c) No es socitiv: 7 ( ) (7 ) d) Cnceltiv: = c = c. Regls de supresión de préntesis ) + ( c) = + c ) ( + c) = c c) ( c) = + c. Propieddes del producto ) Es un operción cerrd:, N,. N ) Conmuttiv:. =., N c) Asocitiv:. (. c) = (. ). c,,, c N d) Cnceltiv: (. =. c = c ),, c N e) Eistenci del elemento neutro: N /. =. =, N f) Propiedd distriutiv del producto con respecto l sum l diferenci:. ( + c ) =. +. c. ( c ) =.. c Como consecuenci de l propiedd conmuttiv del producto, se otienen ls propieddes siguientes: ( + c ). =. + c. ( - c ). =. - c.. Propieddes del cociente ) No es un operción cerrd: 7 : N El cociente entre dos números nturles eiste en el cso que el dividendo es múltiplo del divisor. ) No es conmuttivo: 6 : : 6 c) No es socitiv: 8 : ( : ) (8 : ) : d) Cnceltiv: : = c : = c e) Distriutiv del cociente respecto l sum diferenci; est propiedd es válid sólo l derech: Oservción: En N, con l operción sum se pueden plnter prolems que no siempre tienen solución, como es el siguiente: Sen n, m N con n m. Hllr N de mner que n + = m Por ejemplo: Eiste N / 6 + =? L respuest es negtiv, no se puede encontrr número nturl que lo verifique. Si, en cmio, se consider este prolem en el conjunto de Números Enteros l respuest l plnteo nterior es firmtiv, l eistir = - número entero que solucion el prolem, pues: 6 + (-) =. Luego, es necesrio considerr este conjunto de números enteros.
Unidd : Operciones con Números Reles Curiosiddes ritmétics = = = = = 6 = 676 = 67876
Unidd : Operciones con Números Reles ) Números Enteros Se representn con los símolos: Z =...,,,0,,,,... O ien: Z Z 0 Z Propieddes:. El conjunto de Números Enteros (Z) es infinito.. No tiene primer ni último elemento.. Todo número entero tiene sucesor.. Dos números, un entero su sucesor, se dicen consecutivos.. Todo número entero tiene un ntecesor. 6. Entre dos números enteros eiste siempre un número finito de números enteros. Conjunto discreto. Representción geométric: Volviendo l pregunt nterior pero formuld de otr mner: Eiste Z tl que, n + = m? L respuest entonces es firmtiv, eiste un único Z definido por: = m n que stisfce l ecución dd. Operciones en Z. Propieddes de l sum Se verificn ls propieddes. de l sum de números nturles. Además: f) Eistenci del elemento inverso ditivo (opuesto): Z, - Z/ + (-) = (-) + = 0. Propieddes de l diferenci Se verificn ls propieddes. de l diferenci de Números nturles, ecepto l propiedd. ). Es decir: L diferenci de números enteros es un operción cerrd, pues: Z,, Z.. Regls de supresión de préntesis Son válids ls misms regls citds en el punto.. Propieddes del producto Se verificn ls misms propieddes. del producto de números nturles.. Propieddes del cociente Se verificn ls misms propieddes. del cociente de números nturles.
Unidd : Operciones con Números Reles.6 Regls de signos pr el producto el cociente:. > 0 si ( > 0 > 0) ó ( < 0 < 0). < 0 si ( > 0 < 0) ó ( < 0 > 0) : > 0 si ( > 0 > 0) ó ( < 0 < 0) : < 0 si ( > 0 < 0) ó ( < 0 > 0) En síntesis... (+).(-) = - (+).(+) = + (-).(+) = - (-):(-) = + (+):(-) = - (+):(+) = + (-):(+) = - (-):(-) = + Pero, tmién en Z h prolems que no siempre tienen solución. Por ejemplo, pr l operción producto: si n, m Z con n 0 m un número que no es múltiplo de n. Eiste Z tl que: n. = m? Por ejemplo: Qué número verific que. =? Ningún número entero lo verific, pero sí el número frccionrio = que. = Por lo tnto es necesrio considerr un mplición del conjunto de los números enteros. Pr ello considermos el conjunto de los números rcionles (frccionrios) pr resolver prolems como el plntedo nteriormente.
Unidd : Operciones con Números Reles ) Números rcionles Son números rcionles los de l form: n m con n, m Z n 0, donde m: es el numerdor n: es el denomindor. Propieddes: El conjunto de números rcionles es infinito. No tiene ni primer ni último elemento. Entre dos números rcionles eiste siempre un número infinito de números rcionles. Conjunto denso. Representción geométric Operciones en Q. Definición de sum diferenci p r p.s r.q Sum: q s q.s Diferenci: p q r p.s r.q s q.s Común denomindor El común denomindor es el mcm (mínimo común múltiplo) entre los dos denomindores.. Propieddes de l sum de l diferenci L sum l diferenci de números rcionles gozn de ls misms propieddes que l sum l diferenci de números enteros; propieddes citds en los puntos... Tmién son válids ls regls de supresión de préntesis mencionds en el punto... Definición de producto cociente Producto: Cociente: p q p q r s r s p r q s p q s r p s q r. Propieddes del producto Se verificn ls propieddes. demás eiste el elemento inverso, es decir: 6
Unidd : Operciones con Números Reles p q p q Q p 0, Q / q p q p. Propieddes de l división Se verificn ls propieddes., slvo.., es decir, l división en Q es un operción cerrd: q r p r Q, Q, Q p s q s.6 Orden en Q: Si > 0 d > 0, entonces se define el siguiente orden: c d d c Entonces hst quí se considerron tres conjuntos de números: N, Z, Q que gurdn l siguiente relción: N Z Q L pregunt simple que uno puede plnterse es: Eisten otros números que no sen números rcionles? Sí eisten. Pr confirmr est firmción vemos el siguiente prolem. Cuánto mide l hipotenus de un triángulo rectángulo, isósceles cuos ldos igules tienen un longitud unitri (igul )? Si plicmos el Teorem de Pitágors, vemos que l longitud de l hipotenus es. Se puede demostrr que este número no pertenece Q. Concluimos que eisten números que no son rcionles, estos los llmmos irrcionles. Conversión de un Número deciml en su frcción Genertriz: Un Número Deciml puede tener un conjunto de cifrs que se repite indefinidmente; por ejemplo: 0,...= 0, 0,...= 0,,...=, 0,07... = 0,07 El conjunto que se repite, se llm período el número se llm DECIMAL PERIÓDICO. Cómo trnsformmos el Número Deciml en su Frcción Genertriz? Si es un Número Deciml no periódico definido, st dividirlo por l potenci de 0 correspondiente. Ejemplos:, 0 8 8, 00 7 0, 00 0 6 6, 00 0,07 07 000 9 0 Si es un Número Deciml periódico, se dee proceder de l siguiente mner. Si llmmos l número: 7
Unidd : Operciones con Números Reles Ejemplo : 0,... 0, Ejemplo : 0,07... 0,07 Si 0, Será 0000 07, Será 0 9 9 0, Ejemplo : Será 99 99 00 0, 00, 0, 99 0,... 0, 000 07, Siendo 0000 000 767 9000 767 767 9000 Ejemplo : Si 00 99 0, siendo : 99 0,07,..., 0, 99 767 9000 0, 99 ) Números Irrcionles Son números irrcionles por ejemplo:,,,, e, etc. Este conjunto de números irrcionles junto con el conjunto de los números rcionles determinn el conjunto de los números reles. R = Números Reles Q: Números Rcionles I: Números Irrcionles ) Números Reles Se simolizn: R = 8...,,...,... / 7,...0,...,...,...7/,... Propieddes: El conjunto de R cumple con tods ls propieddes del conjunto de los números rcionles: Es infinito. No tiene primer ni último elemento. Entre dos números reles, eisten infinitos números reles. Conjunto denso. Ningún número rel tiene sucesor ni ntecesor. El conjunto R es un conjunto totlmente ordendo por l relción de menor o igul.
Unidd : Operciones con Números Reles Representción geométric: Rect Rel: R- 0 R+ A todo número rel le corresponde un punto de l rect todo punto de l rect le corresponde un número rel. L representción geométric corresponde l rect numéric o eje numérico. Operciones en R Tods ls operciones cumplen ls misms propieddes que los números rcionles. Reles Irrcionles Rcionles Enteros Nturles LO MISMO AL REVES Utilizndo solmente los signos de sum rest, uicrlos entre los dígitos 9, 8, 7, 6,,,,, de mner de otener un resultdo igul 00. Por ejemplo: Mnteniendo el orden de los dígitos (9) otener el mismo resultdo con el menor número de signos de sum rest. 9
Unidd : Operciones con Números Reles 6) Potencición Se R, entonces se define: 0 = si 0; n... pr n N n > L definición se mplí pr eponente entero negtivo: z n Si z = -n con n N ( ), 0 n 6. Propieddes de l potencición n m nm ) n n n ) ( ) c) n m ( ) n.m n n d) ; con 0 n n n m e) m Notción Científic Los eponentes enteros con frecuenci se utilizn pr escriir números mu grndes o mu pequeños de un form conveniente. Culquier número rel positivo puede escriirse en l form: 0 n donde 0 n es un entero. Decimos que un número escrito sí está en notción científic. Por ejemplo:.000.000 = 0 6 0.00000009 = 9, 0-8 L morí de ls clculdors convierten utomáticmente un número en notción científic cundo éste es mu grnde o mu pequeño como pr ser epresdo en form deciml. Por ejemplo, el número,789 0 requiere 6 dígitos pr su form deciml pero, que pocs clculdors pueden epresr más de diez dígitos, el signo de multiplicción l se no se muestrn. Entonces, el número:,789 0 prece como:,789 el número:,0 0 - prece como:,0-0
Unidd : Operciones con Números Reles Prolems de plicción: NOTACIÓN CIENTÍFICA ) Un niml tiene litros de sngre proimdmente 00000 glóulos rojos en cd milímetro cúico de ést, clcul en notción científic su número proimdo de glóulos rojos. RTA.:,.0 glóulos. ) Un molécul de hidrógeno pes en un grmo de hidrógeno? RTA:.0 moléculs,.0 g. Cuánts moléculs h ) Clcul tu edd en segundos utilizndo l notción científic. Cuál es el orden de mgnitud? 8 ) L velocidd de l luz es.0 m/s. ) Qué distnci recorre l luz en un ño? ) Cuánto trd l luz del Sol en llegr Plutón? 6,9.0 Distnci del Sol-Plutón es: km. RTA: ) 9,.0 9,7 seg km ) Dígitos significtivos L morí de ls plicciones de ls mtemátics en el mundo rel, incluen medids que están sujets error, en consecuenci, se considern proimciones. Podemos descriir l ectitud de un proimción estleciendo cuántos dígitos significtivos tiene. Supongmos que el resultdo de un medid se eprese en notción científic: = 0 n, donde 0 se se que los dígitos en son ectos (ecepto, posilemente, el último dígito, el cul puede ser proimdo si el número fue redondedo). Si contiene k lugres decimles (es decir, k dígitos l derech del punto deciml), entonces se dice que tiene k + dígitos significtivos. Según est convención:,69 0 tiene cinco dígitos significtivos 7,60 0-0 tiene tres dígitos significtivos.
Unidd : Operciones con Números Reles 7) Rdicción Se define como ríz enésim de un rel, l rel cu potenci enésim es, es decir: n n, n N Donde, n : Rdicl n : Índice : Rdicndo : Signo rdicl Se puede determinr el signo de l ríz según que el índice se pr o impr, el rdicndo positivo o negtivo. Ejemplos: ) 8 pues 8 ) 8 pues ( ) 8 c) 6 pues 6 ( ) 6 6 no es posile clculrl en R, pues ningún número rel elevdo d) eponente pr d por resultdo un número negtivo. 7. Propieddes de l Rdicción Sen m n enteros positivos, números reles. Entonces: ) ( n n ) ) ( n n ), si n es impr, si n es pr c) n n n. n d) n n e) m n m.n siempre cundo los rdicles representen números reles. Oservción: Tnto l potencición como l rdicción no son distriutivs con respecto l sum l diferenci. Ej. ( ) ; 6 6 6 6 pues 00 0 6 8 Así como se mplió el conjunto de número nturles; el conjunto de números reles tmién puede ser mplido un nuevo conjunto de números; el conjunto de número complejos C. En consecuenci en C, se podrán resolver prolems como el siguiente: Hllr R / + = 0 que en R no tienen solución.
Unidd : Operciones con Números Reles 8) Logritmción 8. Definición log se lee logritmo en se de se interpret como: Cuál es el eponente l que dee elevrse pr otener? log c c L se () es siempre un número positivo demás, distinto de, que elevdo culquier eponente nos d por resultdo. Pr tener en cuent Cundo no se especific qué numero es l se, se soreentiende que se trt del número 0. Estos logritmos recien el nomre de logritmos decimles. Cundo l se es el número e, los logritmos son logritmos nturles o neperinos. 8. Propieddes de los logritmos log m ( ) log m log m El logritmo de un producto es igul l sum de los logritmos de los fctores. log m log log (con 0) m m El logritmo de un cociente es igul l rest del logritmo del dividendo menos el logritmo del divisor. log m n n log m El logritmo de un potenci es igul l eponente por el logritmo de l se. log n log n log n El logritmo de un ríz es igul l cociente entre el logritmo del rdicndo el índice de l ríz.
Unidd : Operciones con Números Reles m m log log log Propiedd de cmio de se. Ejercitción Nº ) Suprimir préntesis, corchetes, llves resolver: ; 7 7 ) ; 7 7 7 6 9 ) ; 8 9 ) c ) Resolver ; 7 0 9 ) ; 8 ) ; 0 6 : ) c ; 6 : 8 ) d ) Resolver ; 6 9 8 ) ; 7 8 7 8 ) ; : ) c ; 9 8 : ) ( ) d ; 8 : e) ; ) f
Unidd : Operciones con Números Reles ) Resolver ; ) ) ; 8 9 ) c ) Resolver ; ) ( : 6 : 6 6 8 : ) ; ) ( ) ; ) c ; 7 : ) d 6) Resolver ; 8 9 ) ; ) ( : 6 ) ; 8 8 6 ) c ; : 9 8 : ) d ; 7 6 ) e 7) Previ reducción clculr
Unidd : Operciones con Números Reles 6 ; ) 6 c ;.. ) 6 c ; 8.. 0,0. ) c ;... ) m m d ; : ) e 6 ; ) f 8) Efectur ls operciones que se indicn: ; ) ; ) ; ) ( : ) c ; : ) ( ) d 9) Resolver ; ) ; 6. 8.. ) 7 ; : 0 0 : 0 0 ) c 0) Resolver ) 8 ) 6 8 c) d) 7 7 e) 6 f) d c d c ) Resuelve los siguientes logritmos
Unidd : Operciones con Números Reles ) Epres como logritmo único RESPUESTAS EJERCITACIÓN N ) ) 9/8-6/7 c) /8 ) ) / ) c) / d) -0/9 ) ) 9/ ) /0 c) /8 d) / e) -/ f) / ) ) 9/6 ) c) ) ) 7/ ) 8/ c) d) 9/78 6) ) 0 ) / c) /9 d) 7/80 e) /9 7) ) 0 0 6 c ) d) 60 m m 0 0 0 c c) e) 6 f) 0,. 6( 6. ) 8) ) 7 ) 6 ( ) ( ) d) ( ) ( 6) 6 c) 9) ) ) 6 c) 76 0) ) ) 8 7 c) d) e) 87 7 8 f) c d ) ) ) - c) d) -/ e) / f) -/ ) 7
MAGNITUDES PROPORCIONALES Rzones proporciones Se denomin rzón entre dos números ( 0), l cociente de l división de por. El primer número se denomin ntecedente el segundo consecuente. En símolos: : o ien / Por ejemplo, el porcentje es un rzón entre un número 00. Se denomin proporción l iguldd de dos rzones. Ddos cutro números,, c, d, distintos de cero, en ese orden, formn un proporción cundo l rzón entre los dos primeros es igul l rzón de los dos c últimos. En símolos: Se lee: es, como c es d d Se denominn etremos de l proporción d, mientrs que c se llmn medios. Propiedd fundmentl: en tod proporción el producto de los etremos es igul l producto de los medios. c d. d. c Cálculo de un elemento de un proporción Pr clculr un elemento de un proporción es suficiente plicr l propiedd fundmentl. Considerndo que se dese clculr un etremo, simólicmente: Mgnitudes proporcionles Mgnitud es tod propiedd que se puede medir, por ejemplo el tiempo, el peso, l superficie, el volumen, l longitud, etc. Ls mgnitudes pueden ser direct o inversmente proporcionles. Mgnitudes directmente proporcionles Dos mgnitudes, son directmente proporcionles cundo están relcionds por l función = k., siendo k un número distinto de cero que se denomin constnte, fctor o coeficiente de proporcionlidd. El cociente entre pres de cntiddes correspondientes es siempre el mismo, es constnte, k Propieddes. Dds ls mgnitudes directmente proporcionles, si se multiplic un cntidd de l primer por un número, l cntidd correspondiente l segund mgnitud qued multiplicd por el mismo número (es decir si ument o disminue l cntidd de un de ls mgnitudes, l cntidd 8
Unidd : Operciones con Números Reles correspondiente l otr mgnitud ument o disminue en l mism proporción). Dds ls cntiddes de ls mgnitudes,, si ument n veces, entonces ument n veces tmién, simólicmente:.. Si dos mgnitudes son directmente proporcionles, l rzón entre dos cntiddes de l primer es igul l rzón entre ls cntiddes correspondientes de l segund. En lenguje simólico: Representción gráfic de un función de proporcionlidd direct L función = k. se represent medinte un rect que ps por el origen de coordends. = k. Por ejemplo, l tl que sigue represent l cntidd de conservnte en kg que se greg distints cntiddes de un producto limenticio. Producto (tn) 0 0 0 0 Conservnte (kg) El cociente entre el conservnte l ms de producto elordo es siempre 0,, por lo tnto ls mgnitudes son directmente proporcionles. Si es l ms del producto e l del conservnte, = k., pr l primer column numéric: = k. 0 k= /0=0,, es decir l constnte de proporcionlidd es 0,. L fórmul es = 0,.. Se puede oservr que si se duplic l cntidd de producto se duplic l cntidd de conservnte que se dee gregr. Mgnitudes inversmente proporcionles Dos mgnitudes, son inversmente proporcionles cundo están k relcionds por l función, siendo k un número distinto de cero que se denomin constnte, fctor o coeficiente de proporcionlidd. El producto entre pres de cntiddes correspondientes es siempre el mismo, es constnte,. = k. Propieddes. Dds ls mgnitudes inversmente proporcionles, si se multiplic un cntidd de un de ells por un número, l cntidd correspondiente qued dividid por el mismo número (es decir si ument o disminue l 9
cntidd de un de ls mgnitudes, l cntidd correspondiente l otr mgnitud disminue o ument en l mism proporción). Dds ls cntiddes de ls mgnitudes e, si ument n veces, entonces disminue n veces tmién. Simólicmente: n n. Si dos mgnitudes son inversmente proporcionles, l rzón entre dos cntiddes de l primer es igul l rzón invers entre ls cntiddes correspondientes l segund. En lenguje simólico: Representción gráfic de un función de proporcionlidd invers L función equiláter. k se represent medinte un hipérol Por ejemplo, l tl que sigue represent l viscosidd de un sustnci en función de l tempertur. Tempertur (ºC) Viscosidd (P.s) 0 0 60 80,8 0,9 0,6 0, El producto entre l viscosidd l tempertur es siempre 6, por lo tnto ls mgnitudes son inversmente proporcionles. Si es l tempertur e l viscosidd, = k /, pr l primer column numéric:,8= k / 0 k=,8. 0=6, es decir l constnte de proporcionlidd es 6. L fórmul de l función de proporcionlidd invers en este cso es: = 6 / Prolems de regl de tres Son prolems en los que se involucrn mgnitudes proporcionles en los que conocido un pr de elementos correspondientes otro de un de ls mgnitudes, se dee clculr el elemento que le corresponde en l otr mgnitud. Si interviene sólo dos mgnitudes, l regl de tres es simple. Si ls mgnitudes son directmente proporcionles, l regl de tres es direct si son inversmente proporcionles l regl es invers. Pr resolver este tipo de prolems se utilizn ls definiciones propieddes de ls mgnitudes proporcionles. 0
Unidd : Operciones con Números Reles Prolems de plicción: REGLA DE TRES SIMPLE Y PORCENTAJE ) A qué distnci del puelo se encuentr un gricultor que trnsport ono en un vehículo, si ls rueds vnzn.77 m en cd vuelt l llegr l finc h contdo 9 vuelts de ls rueds? ) Un productor cosechó 8 quintles de lflf / h en un chcr de 80 m por 0 m. L lflf pierde l secrse /7 de su peso. Si el gricultor tiene 8 vcs cd un de ells consume kg de forrje seco/dí, durnte cuántos dís podrá limentrls con l lflf? ) Los ¾ de un terreno trpezoidl (con B = 0 m, = 80 m, h = / de B) fueron semrdos con remolch zucrer. El rendimiento l cosechr es de 0 tn/h. ) Cuál es el peso de l remolch cosechd? ) Cuánts tn se hrín cosechdo se huiern semrdo los /6 del terreno? c) Siendo que ls remolchs dn el % de su peso en zúcr, cuál es, $0 el quintl, el vlor del zúcr otenido? ) Un refinerí de zúcr funcion 0 dís por ño. Por dí recie 0 vgones de 0 tn de remolch zucrer cd uno, l cul pierde el % de su peso en el lvdo el % l ser cortd. Si ls remolchs cortds proporcionn el % de su peso en zúcr, qué cntidd de zúcr produjo l refinerí en el ño? Qué etensión dee semrrse con remolch pr mntener est producción? (Rendimiento por h: 0 tn) ) Un grnjero posee 6 toros, vcs, terneros 6 cllos. Un toro pes 80 kg, un vc 60 kg, un ternero 00 kg un cllo 600 kg. Se clcul que un niml d, en los meses de invierno, 0 veces su peso en estiércol. ) Cuál será el lrgo del montón de estiércol si mide 6 m de ncho. m de lto? ( dm de estiércol pes 0.9 kg). ) El grnjero usó, rzón de 0 tn/h, los 6/ de ese montón, pr onr un cmpo rectngulr de 80 m de lrgo, qué ncho tiene el cmpo? 6) Argentin tiene millones de hitntes se consume 0 kg de pn por hitnte por ño. Cd hectáre de trigo produce, en promedio, 6. qq. De cd 00 kg de trigo se otienen 78 de hrin de cd 00 kg de hrin se otiene 0 de pn. Fijr l superficie de cultivo necesri pr que ningún rgentino le flte el pn necesrio pr su consumo dirio, suponiendo que sólo se puede hcer un cosech nul de este cerel. Prolems de plicción: REGLA DE TRES SIMPLE Y PORCENTAJE ) R:.8,8 m ) R: 60 dís ) ) 00,8 Tn ) Tn c) $6.6, ) ) 0.7,7 Tn ).87 h ) R: 9 m 6) R: 8.87.79,6 h
UNIDAD : Epresiones Algerics Unidd Epresiones Algerics A - DEFINICIONES Epresión literl: Es l reunión de letrs (vriles) cifrs (números reles) comindos entre sí sometidos operciones mtemátics. Epresión lgeric: Es tod epresión literl en l que prece un cominción finit de ls siguientes operciones mtemátics: sum, rest, multiplicción, división, potencición rdicción. Ejemplos: + ; ; Epresión lgeric enter: Es tod epresión lgeric en ls que ls operciones mtemátics de que se compone son ls siguientes: sum, rest, multiplicción potencición con eponente nturl. Ejemplos: + + c ; + ; c + d Epresión lgeric frccionri o frcción lgeric: Es el cociente de dos epresiones lgerics enters, siendo l segund no nul. el numerdor el denomindor de l frcción se llmn dividendo divisor respectivmente. Ejemplos: ; Monomio: Es tod epresión enter en l que no intervienen ls operciones de sum ni de rest. Ejemplos: ; z Coeficiente de un monomio: Es el número rel que precede l monomio. Ejemplos: ; z tienen por coeficientes, respectivmente /. Monomios semejntes: Dos monomios son semejntes cundo tienen ls misms letrs o vriles con los mismos eponentes, es decir, cundo difieren solmente por los coeficientes. Ejemplos: 6 ;
UNIDAD : Epresiones Algerics Grdo de un monomio: Es el número nturl de sus fctores literles; es decir, l sum de los eponentes de tods sus letrs o vriles. Ejemplo: El monomio 9 z es de 7mo. grdo. Polinomio: Es l sum lgeric de monomios llmdos términos del polinomio. Cundo el polinomio tiene sólo dos términos se llm inomio, cundo tiene sólo tres términos se llm trinomio, etc. Ejemplos: ; son inomios; es un trinomio; es un polinomio. Grdo de un polinomio: Es el mor de los grdos de los monomios que componen el polinomio. se simoliz con: gr [p()]. Ejemplo: p() = es de to grdo o gr [p()] = q() = 7 es de do grdo o gr [q()] = Polinomio homogéneo: Es todo polinomio en el que todos sus términos son del mismo grdo. Ejemplo: es un polinomio homogéneo de do grdo Polinomio ordendo respecto un de sus letrs (o vriles): es cundo los términos del polinomio están dispuestos de modo que los eponentes de dich letr ordentriz o vrile vn umentndo o disminuendo sucesivmente desde el primer término hst el último. L ordención será creciente o decreciente, según que los eponentes de l letr ordentriz o vrile vn de menor mor o vicevers. Ejemplo: 6 El polinomio 7 8 ordendo en form decreciente respecto de l vrile será: 6 7 8 Polinomio completo: Es todo polinomio que contiene términos de todos los grdos de l letr ordentriz o vrile elevdo hst el grdo cero. Ejemplo: El polinomio puede completrse de l form: 0 0 0 0 Vlor numérico de un epresión lgeric: Es el número rel que result de reemplzr ls letrs o vriles por números determindos ejecutr ls operciones en l epresión dd.
UNIDAD : Epresiones Algerics Ejemplos: El vlor numérico de l epresión:.. Es igul, pues: pr =, = Oservción: Un epresión lgeric tiene un vlor numérico pr cd sistem de vlores que se triun sus vriles, siempre que ls operciones ls cules están sometids, sen posiles. Ejemplo: L epresión 6 posile l división cundo el divisor es nulo. crecerá de vlor numérico pr =, por no ser B - OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS. Se emplen en todos los csos ls propieddes de los números reles. B. - Operciones con monomios semejntes: ( 6 ) ( ) 6 ( ) ) Sum: ) Rest: ( 6 ) ( ) 6 ( ) 9 B. - Operciones con monomios: ) Sum: ( ) () ; ( ) () () 9 ( ) () ) Rest: ) Producto: ().() 8 ) Cociente: () : (). ) Máimo común divisor (MCD): El MCD de dos o más monomios es un monomio de grdo máimo que divide simultánemente todos los monomios ddos. Ejemplo: MCD z ; z ; z 7 z Oservción: Todo monomio semejnte l 7 de los tres monomios ddos en el ejemplo nterior. z es tmién el MCD 6) Mínimo común múltiplo (mcm): El mcm de dos o más monomios es un monomio de grdo mínimo que se divisile simultánemente por todos los monomios ddos. Ejemplo: mcm z; z ; z 0 z
UNIDAD : Epresiones Algerics B. - Operciones con polinomios ) Sum: ) Rest: ) Producto: ) Producto de un polinomio un monomio: Se utiliz l propiedd distriutiv: c.d d d cd Ejemplo:. 6 ) Producto de dos polinomios: Se utiliz l propiedd c. d e c.d ( c).e d d cd e e ce Ejemplo:.. 6 6 6 7 0 7 Not: L ordención de los polinomios fcilit el cálculo del producto. Se tiene, por ejemplo, l siguiente disposición práctic: X 6 6 6 7 0 7 ) Cociente: ) Cociente de un polinomio con un monomio: Se utiliz l propiedd distriutiv: c c c : d : d : d d d d d c : d
UNIDAD : Epresiones Algerics Ejemplo: : Oservción: En generl l división de dos polinomios no es ect. ) Cociente de dos polinomios: En generl cundo se divide un entero positivo p por un entero positivo s, otenemos un único cociente q un residuo r que stisfcen: p s.q r donde 0 < r < s Un resultdo nálogo, llmdo lgoritmo de división pr polinomios se enunci de l siguiente mner: El lgoritmo de división pr polinomios: Se f() q() polinomios con g() 0, entonces eisten polinomios únicos q() r() tles que: f () g().q() r() Donde, r() es 0, o tiene un grdo menor l grdo de g(). Llmmos f() dividendo, g() divisor, q() cociente r() residuo. Cundo r()=0, entonces, entonces f()=g().q() g() es un fctor de f(). En este cso se dice que f() es divisile por g(). Oservción: Si g() es un polinomio de primer grdo, entonces el resto o residuo r() es un polinomio de grdo cero, es decir, un número rel. Ejemplo: Consideremos un disposición práctic pr f():g() _ 8 7 8 6 con lo cul q()= - r()= Por otro ldo se puede verificr que: g().q()+r() = ( )( ) + ( ) = 8 6 = = f() 8 7 Not: Cundo f() g() no sen polinomios completos, conviene los efectos del cálculo, completrlos previmente.
UNIDAD : Epresiones Algerics c) Cociente de un polinomio entero en l vrile por otro de primer grdo de l form: R: Sen f() = g() En este único cso, en que, el polinomio g() es un polinomio de primer grdo se puede clculr l división trvés del siguiente procedimiento: División práctic o Regl de Ruffini: (es imprescindile que el polinomio dividendo se completo) Permite conocer el cociente q() el resto r() de l división de f() por. Ejemplo: 6 9 7 : El cociente q(): es otro polinomio en, de grdo igul l unidd menor que el polinomio dividendo, el resto r, un polinomio de grdo cero. gr q() gr f () ; r() 0 gr (es un nº rel) Pr relizr l división plicndo l regl práctic de Ruffini, se orden complet el polinomio dividendo f(), según potencis decrecientes de, los coeficientes del cociente q() del resto r resultn de: Cociente: q() = -6-9 7 0 8-0 - gr q() Residuo o resto: r = gr r 0 Los coeficientes se otienen: er. coeficiente: do. coeficiente: () ( 6) er. coeficiente: () ( 9) Coeficientes del divisor q() to. coeficiente: ( )() 7 Residuo o resto: () Teorem del residuo Cundo un polinomio f() se divide por, el residuo r es el vlor del polinomio en =, esto es, r = f(). Demostrción: Si se divide el polinomio cociente f() por el inomio se tiene: f() = q().( ) + r Si se clcul el vlor numérico de f() pr =, se otiene: Se conclue: f() = q()( ) + r = 0 + r = r f() = r Ejemplo: Determine el residuo cundo f() = 6 9 7 se divide por. 6
UNIDAD : Epresiones Algerics Según el teorem del residuo: r = f() = () 6() 9() 7() = Se dice que un número es cero o un ríz de un polinomio f() si f() = 0. En este cso, r f () 0 se deduce por tnto, según lo nteriormente dicho que se puede escriir el polinomio f() como: f () q()( ) Esto nos permite enuncir el siguiente teorem: Teorem del fctor Un número es un ríz de un polinomio f() sí sólo sí es un fctor de f(). Por tnto, cundo es ríz de f(), es un fctor. Y vicevers, si es un fctor de f(), entonces f() tiene l form: f() = q()( ) En este cso vemos que: f() = q()( ) = 0 Ejemplo: Determinr si + es fctor de f() = 6 Si se clcul: f ( ) ( ) ( ) 6( ) Puesto que f ( ) 0 se conclue que: + no es un fctor de f(). d) Divisiilidd de l sum o diferenci de potencis de igul grdo por l sum o diferenci de ls ses: m Se trt de dividir ( ) Se pueden presentr los siguientes csos: m por ) m m CASO ( ) : ( ) m Se tienen: f () m g() El resto de l división de f() por g() vine ddo por: ( con m N R 0, ( ) r f ( ) ( m ) ( m ) ( ) m m m 0 si m es impr m 0 si m es pr. m m CASO ( ) : ( ) Se tienen: f () m m, g() 7
UNIDAD : Epresiones Algerics El resto de l división de f() viene ddo por: m m m r f () 0 Con lo cul nunc f() es divisile por g() m m CASO ( ) : ( ) m m Se tienen: f (), g() ( ) El resto de l división de f() por g() viene ddo por: r f ( ) ( m ) ( m ) ( ) m m m 0 si m es pr m 0 si m es impr Con lo cul f( es divisile por g() solmente si m es pr. m m CASO ( ) : ( ) Se tienen: f () m m, g() El resto de l división de f() por g() viene ddo por: m m r f () 0, pr todo m. Con lo cul f() es siempre divisile por g() culquier se m N. Resumen: f() g() f() es divisile por g() m m + si m es impr m m nunc m m + si m es pr m m siempre Ejemplos: Utilizndo l Regl de Ruffini se otienen ls siguientes divisiones ects: f() g() q() = f():g() 8
UNIDAD : Epresiones Algerics 9 ) Productos notles ) Cudrdo de un inomio: i) ) )( ( ) ( ii) ) )( ( ) ( ) Cuo de un inomio i) ) )( ( ) ( ) ( ) ( ii) ) )( ( ) ( ) ( ) ( c) Cudrdo de un trinomio c c c )c ( c ) ( c ) ( c) ( c c c d) Diferenci de cudrdos ) )( (
UNIDAD : Epresiones Algerics Ejercitción Nº ) Hllr el vlor de los siguientes polinomios pr: = - ; = / ; = 0 ) 6 ). c) 6 d) e) ( ) ( ) ) Determinr si ls siguientes epresiones lgerics son polinomios. En cso firmtivo dr su grdo coeficiente principl. ) 8 ) 7 c) t t t d) z (z z 8) e) f) r 7. 0 ) Ejecutr ls operciones indicds epresr el resultdo como un polinomio estándr. ) 7 ) 7 8 9 c) 7 6 d) 7 8 e) v v 6v f) ) Ejecutr ls operciones indicds simplificr. ) s rs 8rs ) rs c) d) 8 6c 9cd 8c 0d ) Hllr cd uno de los siguientes productos ) t 7t 8 ) z 7z 8 0
UNIDAD : Epresiones Algerics c) 6 d) e) f) g) 9 h) 6) En ls siguientes epresiones utilizr el lgoritmo de l división pr dividir f() por g(). Epresr el resultdo en l form: f() = q()g() + r() ) f () 7; g() 8 ) f () 7 ; g() c) f () 7 ; g() d) f () 7; g() e) f () 6 ; g() 7) Aplicr l Regl de Ruffini pr dividir f() por g(). Identificr el cociente q() el residuo r(). ) f () ; g() ) f () 9 ; g() c) f () 6; g() d) f () ; g() 8) Utilizr l Regl de Ruffini, pr hllr un vlor de k tl que f() se divisile por g(). ) f () k 9k; g() ) f () k k ; g() 9) Aplicr el teorem del residuo pr hllr r, cundo f() se divide por g(). ) f () 6; g() ) f () ; g() c) f () ; g() 0) Aplicr el teorem del residuo pr hllr el vlor de f(c). ) 0 6; c ) 6 6; c 6 c) ; c
UNIDAD : Epresiones Algerics ) Determinr si el polinomio ddo g() es un fctor del polinomio f(). ) ) f () 8 ; f () g() ; g() c) f () 0 ; g() 0, ) Efectur ls siguientes operciones. ) ; ) ; c) : ; d) : ; RESPUESTAS 0 ) 9 ; ; c) 9; ; 0 ; ; e) ; ; 0 6 ) ) ; ; 6 d) ) ) Polinomio grdo. coeficiente principl: 8 ) No es polinomio. c) No es polinomio. d) Polinomio de grdo, coeficiente principl: e) No es polinomio. f) No es polinomio. ) ) 8 6 6 ) 6 7 c) e) v 8v v 7 6 d) 7 8 f) 0 ) ) 6c/ 6 ) 6 s 0s c) d) t ) z z c) e) f) 8 6 7 g) 7 6 ) ) 0 6t 6 d) h) 6) ) f( ) ( )( 8) ) f () ( )( ) c) f ( ) ( )(9 ) d) f ( ) ( )( 6 ) 7 e) f ( ) ( /)(6 6 /) / 9
UNIDAD : Epresiones Algerics 7) ) q ( ) ; r = ) q ( ) 0 ; r = - c) q ( ) 8 ; r = d) q ( ) ; r = -/ 8) ) k = -/ ) k = ½ 9) ) 6 ) 9/8 c) 76 0) ) ) 7 c).69 ) ) No es fctor ) Si es fctor c) Si es fctor. ) ) d) ) c)
UNIDAD : Epresiones Algerics C- FACTOREO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Definición: Fctorer un polinomio es trnsformrlo en un producto de fctores. Se tienen los siguientes csos: CASO : Fctor común: Un fctor común de un polinomio es un MCD de todos sus términos. Ejemplos: i) 8 ; ( ) ( ) ii) CASO : Descomposición en grupos de igul números de términos con un fctor común en cd grupo. Pr empler este método se empiez por grupr los términos del polinomio en inomios o trinomios, etc., descomponiendo luego cd uno de estos inomios o trinomios en dos fctores de mner de otener un fctor común tods ls epresiones prciles del polinomio. Ejemplos: i) ii) CASO : Trinomio cudrdo perfecto: Es todo trinomio formdo por dos términos que son cudrdos perfectos un tercer término que es el dole producto de ls ses de esos cudrdos. Ejemplos: i) ; ii) ; iii) 0 9 CASO : Cutrinomio cuo perfecto Es todo cutrinomio formdo por dos términos que son cuos perfectos, un tercer término que es el triple del cudrdo de l se del primer cuo por l se del segundo, un curto término que es el triplo de l se del primer cuo por el cudrdo de l se del segundo.
UNIDAD : Epresiones Algerics Ejemplos: i) ; ii) ; iii) 8 7 CASO : Diferenci de cudrdos Tod diferenci de cudrdos se puede trnsformr en el producto de l sum de ls ses por l diferenci de ls misms. Ejemplos: i) ; ii) ; iii) 9 6 Cso 6: Sum o diferenci de potencis de igul grdo Ver en el punto nterior divisiilidd de l sum o diferenci de potencis de igul grdo por l sum o diferenci de ls ses. Ejemplos: ; i) ii) ; iii) iv) D- EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS. SIMPLIFICACIONES DEFINICIÓN: Simplificr un epresión lgeric frccionri es trnsformrl en otr equivlente, cuos términos contengn menos fctores comunes. Metodologí. Pr simplificr un epresión lgeric frccionri se relizn ls siguientes operciones: i) Se descompone numerdor denomindor en un producto de fctores; ii) Se suprimen los fctores comunes l numerdor l denomindor, dividiéndolos por su MCD.
UNIDAD : Epresiones Algerics Ejemplos: z z z i) z ; 0 z z ii) iii) ; ; DEFINICIÓN Reducir vris frcciones lgerics común denomindor es trnsformrls en otrs equivlentes que tengn el mismo denomindor. Metodologí. Pr reducir vris frcciones lgerics un común denomindor se relizn ls siguientes operciones: i) Se simplific cd frcción lgeric; ii) Se tom común denomindor l mcm de los denomindores de tods ls frcciones lgerics. Ejemplos: z i) ; zd c ; z z Pso z d c ; ; z Pso z z d z z ; z c ; z ii) ; ; 0 z Pso Pso ; 0 ; z 0 0 ; 0 0z ; 0 Operciones con frcciones lgerics ) Sum: i) Si tienen igul denomindor: d ii) Si no tienen igul denomindor: c c d d c d c d d ; 6
UNIDAD : Epresiones Algerics 7 ) Rest: Se reliz teniendo en cunt l operción sum, es decir: ; d c d d c d c Ejemplos: i) ii) ) ( 8 8 ) Multiplicción: d c d c ) División: c d c d d c : ; Ejemplos: i) ;. ii) Y :
UNIDAD : Epresiones Algerics 8 Definición: Ls frcciones compuests tienen por términos (numerdor denomindor) otrs frcciones lgerics. Ejemplo: ;
UNIDAD : Epresiones Algerics Ejercitción Nº ) Hllr el MCD el mcm de ls siguientes epresiones: ) ; 0 ) 9 ; 9 6 ; z z c) ; 0 ; d) ; e) ; ; ) Scr fctor común en ls siguientes epresiones: 6 ) 0 ) 6 c) 0 0 7 ) Fctorer por grupciones ls siguientes epresiones: ) ; ) ; c) ; d) 6 6z 9z; e) 0 7 c c; ) Fctorer los siguientes trinomios cudrdos perfectos: ) ; ) 9 ; 6 6 c) ; d) ; ) Fctorer los siguientes cutrinomios cuos perfectos: ) 7 08 6; ) ; 6 c) ; d) 8 6) Fctorer ls siguientes diferencis de cudrdos: ) ; ) ; c) ; 9
UNIDAD : Epresiones Algerics d) ; e) 8 ; 8 f) 8 ; 7) Fctorer ls siguientes sums o diferencis de potencis de igul grdo: ) 8 ; ) ; c) 8 z ; d) 8) Fctorer cominndo los distintos csos de fctoreo: ) m ) 9 c) 6 9 8 d) 8 e) f) 9) Simplificr ls siguientes frcciones lgerics: c ) d) c ) c) e) f) c c d d c c c 0) Efectur ls siguientes operciones sore frcciones lgerics simplificr ) ; ) 9 6 0
UNIDAD : Epresiones Algerics c) 9 0 d) c c c e) f) g) : h) : i) j) k) c c : c c l) c d c c d c m) c c : c c : c : c
UNIDAD : Epresiones Algerics n) RESPUESTAS ) ) MCD: mcm: ) MCD: mcm: ( ) ( )( ) ( ) c) MCD: mcm: z( )( ) ( )( )( d) MCD: ( )( ) mcm: ( )( )( ) e) MCD: mcm: ( )( )( ) ) ) 6 7 ) 7 c) 7 ) ) ) ) ( ) ( )( c) c) ( )( ) e) ( 7c)( ) d) ( z)( ) ) ) ( / ) ) c) ( ) d) ) ) ) c) ( ) d) 6) ) ) d) f) c) e) 9
UNIDAD : Epresiones Algerics 7) ) ( )( ) ) ( )( ) c) ( z)( z z ) d) ( )( ) 8) ) ( m)( m) ) d) ( )( )( ) ( ) c) ( ) e) ( )( ) f) ( ) ( ) 9) ) 7 c ) c) d) e) c d f) ( c) 0) ) 0 ) c) 9 d) e) f) g) h) i) m) c n) j) k) c c l) c
UNIDAD : Epresiones Algerics
UNIDAD : Ecuciones Sistems Unidd ECUACIONES Y SISTEMAS A) Ecuciones de primer grdo con un incógnit Se drán lguns definiciones. Identidd lgeric: Es un iguldd entre dos epresiones lgerics que es verificd culesquier sen los vlores triuidos ls vriles contenids en ls epresiones, ecluidos quellos vlores pr los cules l menos un de ls dos epresiones pierde significdo. Ejemplo. Ecución lgeric: Es un iguldd entre dos epresiones lgerics que es verificd solmente pr vlores prticulres de ls vriles contenids en ls dos epresiones. Incógnits: son ls vriles que precen en un ecución lgeric Miemros de l ecución: son ls dos epresiones lgerics que formn l ecución. Se llm primer miemro l epresión lgeric que se encuentr l izquierd del signo igul segundo miemro l que se encuentr l derech. Solución de un ecución: son los vlores que, triuidos ls vriles incógnits, producen un iguldd entre los dos miemros de l ecución. Resolver un ecución: consiste en hllr tods ls soluciones de l ecución. Un ecución puede clsificrse en: i) Comptile determind: cundo tiene un número finito de soluciones. ii) Comptile indetermind: cundo tiene infinits soluciones. iii) Incomptile: cundo no eiste ningun solución. Ejemplo. L ecución 0 ; tiene un sol solución, L ecución ; tiene infinits soluciones L ecución ; No tiene solución en el cmpo de los números Reles. Un ecución puede clsificrse, de cuerdo l número de incógnits en: Ecución de un incógnit Ecución de dos incógnits, etc. Ecución de primer grdo con un incógnit Es tod epresión de l form: 0 con, R 0 ; : vrile
UNIDAD : Ecuciones Sistems Ecuciones equivlentes: dos ecuciones en l mism incógnit se dicen equivlentes cundo tods ls soluciones de l primer ecución son tmién soluciones de l segund, vicevers, tods ls soluciones de l segund ecución son tmién soluciones de l primer. Metodologí pr resolver un ecución Deido l hecho que dos ecuciones equivlentes tienen ls misms soluciones, es clro que cudo se quiere resolver un ecución se puede resolver un ecución culquier que se equivlente l dd; por lo tnto será prticulrmente mu ventjoso cundo l segund ecución se presente en un form más simple que l primer. El procedimiento pr resolver un ecución consistirá en l trnsformción de l ecución en otr equivlente pero más simple, sí sucesivmente, hst llegr un ecución equivlente l dd, de l cul, se se encontrr con fcilidd sus soluciones. Por lo tnto es esencil ver cuáles son ls operciones que se pueden hcer sore un ecución pr trnsformrl en otr equivlente. Se tienen ls siguientes propieddes: Principio de dición: si mos miemros de un ecución se le sum un mism constnte (o un mismo polinomio) l ecución otenid es equivlente l dd. Ejemplo: 0 si se le sum cd miemro 0 8 est ecución es equivlente l dd, tienen l mism solución. Principio de multiplicción: si mos miemros de un ecución se le multiplic por un constnte distint de cero, se otiene un ecución equivlente l dd. Ejemplo: 6 8 6. 8 0 6 ecución equivlente l dd. 6 Ejemplo: Resolver: 0 Si se sum mos miemros: Si hor se multiplic por mos miemros.. entonces:
UNIDAD : Ecuciones Sistems Qué consecuencis práctics podemos otener de ests propieddes? ) Lo que en un miemro está sumndo ps l otro restndo. (cmi de signo l psr de miemro) Ej. 0 ) Lo que en un miemro está como fctor ps l otro miemro como divisor. Ej. Ejemplo: Resolver 6 8 8 6 (-6 psó l do. Miemro +6 psó l er. Miemro como ) (- que es un fctor en el er. Miemro ps l do miemro como divisor de ) 7 L verificción de l solución otenid se reliz reemplzndo l solución en l ecución dd. ( 7) 6 ( 7) 8 ; 6 8; 7 7 verific 7
UNIDAD : Ecuciones Sistems 8 Ejercitción N ) Resolver ls siguientes ecuciones de primer grdo con un incógnit: ) 7 ) c) 8 8 d) 9 e) f) g) h) i) j) ) Resolver: ) ) 6 c) d) e) 8 f) 0 ) Resolver: ) 6 ) c) 0 7 9 8 d) 7 e) 7 f) 9 ) Resolver ls siguientes ecuciones: ) 6 7 7 9 ) 7 c) 6 7 7 d) 0 6 e) f) 0
UNIDAD : Ecuciones Sistems RESPUESTAS ) ) = ) = -/ c) 0 d) incomptile e) = f) = g) = / h) = / i) = j) = -/ ) ) = / ) = 9/7 c) = -/ d) = -8 e) = f) = /9 ) ) = -/ ) = c) = d) = -0/ e) = f) = ) ) = 9 ) = incomptile c) = d) = -/ e) = ^ =0 f) incomptile 9
UNIDAD : Ecuciones Sistems B) Ecuciones de segundo grdo con un incógnit Definición: se llm ecución de segundo grdo en l incógnit, tod epresión de l form: c 0, R, R, c R, 0 () Definición: Se llm discriminnte de l ecución l epresión: Teorem: c () Si 0, entonces l ecución () tienen dos soluciones, dds por ls siguientes epresiones:, () Si 0, entonces l ecución () tiene un solución dole, dd por l epresión siguiente: Si, 0 entonces l ecución () no tienen ningun solución rel. Tiene dos ríces complejs (un es l conjugd de l otr), dds por ls siguientes epresiones: i, i () donde i = es l unidd imginri. Si 0, entonces los coeficientes,, c de l ecución () están relciondos con ls dos ríces o ceros () de l ecución () de l siguiente mner: Propiedd: Si 0, entonces se tienen ls relciones: (), c. (6) Ls relciones () (6) continún ún siendo válids pr los otros dos csos 0 0. Propiedd: Si son ls dos ríces de l ecución () entonces se tiene l siguiente fctorizción pr el polinomio de segundo grdo, ddo por: 0 0 c ( )( ), R (7)
UNIDAD : Ecuciones Sistems Si 0, entonces l fctorizción (7) viene dd por: c (8) Si 0, no eiste fctorizción en el cmpo de los números reles. Corolrio: Se 0, entonces: i) si = 0, se tiene ; ii) si c tienen igul signo (mos positivos o mos negtivos) entonces ls dos ríces tienen igul signo. Además, el signo de ls ríces está ddo por el signo del número /. iii) si c tienen distintos signos (uno es positivo el otro negtivo) entonces ls dos ríces tienen distintos signos. Ejemplos i) L ecución 0 no tiene ningun solución rel pues: 0. Sus dos soluciones complejs son i. ii) L ecución 0 tiene un únic solución rel (dole) = pues 0. Además ( ) iii) L ecución 0 tiene dos soluciones pues 9 0. Como 0 c 0 se verific demás que ls dos ríces tienen signos opuestos. Por otro ldo, se tiene que: ( )( ) iv) L ecución 0 tiene dos soluciones pues 0. Como 0 c 0 se verific demás que ls ríces tienen igul signo, el cul coincide con el signo del número 0. Por otro ldo, se tiene: ( )( ) Corolrio: Un ecución de segundo grdo que tiene por ríces dos números reles está dd por: ( ). 0 (9) s siendo p. entonces: s p 0 L form generl de un ecución de segundo grdo con incógnit es: + + c = 0 con 0. A modo de resumen se puede decir que:
UNIDAD : Ecuciones Sistems + + c = 0 con 0 Complet Incomplet 0, c 0 0, c = 0 + = 0 = 0, c 0 +c = 0 = 0, c = 0 = 0 Ejemplos -+ = 0-6-6 = 0 - -6+ = 0 Ejemplo = 0 Ejemplo 8 = 0 Ejemplo = 0 Método de completr cudrdo: Cundo un epresión no puede ser fctorizd fácilmente l ecución no tiene l c form de, se puede encontrr ls ríces completndo cudrdo. Se plic l epresión: c 0 l epresión dee tener coeficiente principl. Se rescrie l epresión c de mner que solmente los términos con l vrile estén en el primer miemro. Luego gregmos ( / ) mos ldos: c ( ) hor el primer miemro es un cudrdo perfecto: quí sí es fácil despejr. ( ) c
UNIDAD : Ecuciones Sistems Ejemplo: Resolver 0, completndo cudrdos: ) Dividir mos miemros de l ecución por el coeficiente de ) Se escrie l ecución como: 0 / c) Se ñde mos miemros el cudrdo de l mitd del coeficiente de. d) Entonces se tiene: ( / ) / e) Se despej : ( / ) / (/ )
UNIDAD : Ecuciones Sistems Ejercitción N ) Resolver ls siguientes ecuciones de segundo grdo: ) 0 e) ) 7 0 c) f) 7 0 d) 6 6 8 g) h) 6. 6 0 ) Resolver ls siguientes ecuciones de segundo grdo en l incógnit (, R) ) 9 ) 0 c) 6 0 d) e) ) Escriir un ecución de segundo grdo que teng por ríces ls siguientes dupls de números: ) d) ) c) / e) f) / ) Hllr dos números cu sum se s cuo producto se p. ) s 0, p c) s, p 8 ) s, p d) s 7/6, p /
UNIDAD : Ecuciones Sistems ) Un jrdín rectngulr de 0 m de lrgo por m de ncho está rodedo por un cmino de ncho uniforme. Hllr el ncho de dicho cmino si se se que su áre es 0 m 6) En cd un de ls esquins de un plnch de crtón de form cudrd se recort un cudrdo de cm de ldo dolndo pegndo, se form un cj de 80 cm. Hllr el ldo de l hoj inicil. 7) Dentro de ños l edd de Mrcel será l mitd del cudrdo de l edd que tení hce trece ños. Clculr l edd de Mrcel. RESPUESTAS ) ) e) 0, 9, 9 0 ) / f) / c) Soluciones complejs d) / g) h) ) ) e) 0 ) / / c) 6 d) 0 0 ) ) 8 0 ) 0 7 d) 0 c) 0 e) 0 f) 6 7 0 ) ) ), c), 9 d), ) m 6) 6 cm 7) ños
UNIDAD : Ecuciones Sistems C) Ecuciones logrítmics eponenciles Un ecución eponencil es quell ecución en l que l incógnit prece en el eponente. Un ecución logrítmic es quell ecución en l que l incógnit prece fectd por un logritmo. Ejercicio Resuelto: ) Dd l ecución, pr resolverl es posile seguir dos cminos: Primero: plicr logritmo en l mism se mos miemros de l iguldd, en este cso se elige logritmo nturl ( se e), result: ln ln, por propiedd de logritmo de un potenci por definición de logritmo result: ( )ln ln despejndo qued: ln ln ( ) ln ln Segundo: siempre que se posile epresr mos miemros como potencis de igul se se plic M N l propiedd: M N, epresndo como quedndo se resuelve ) Dd l ecución log log ( ), en este cso pr resolverl se plic l propiedd que dice que el logritmo de un producto de dos números es igul l sum de los logritmos de cd n fctor, luego se dee plicr l definición de logritmo log n, de lo que result: log ( ) ( ) 0 IMPORTANTE VERIFICAR!!??? Si log log( ) log log 0 Pero =- no es solución porque no podemos clculr logritmos de números negtivos. 6
UNIDAD : Ecuciones Sistems Ejercitción N 6 ) Hllr él o los vlores de que stisfcen ls siguientes ecuciones verificr: ) ) c) 9 d) 7 e e e) f) e 6 log log log 8 g) 0 i) j) Sugerenci: hcer sustitución de vriles (ejemplo ln=t, log =t) pr resolver ls siguientes ecuciones h) k) l) RESPUESTAS ) ) = / ; ) = 6 ; =-; c) = /; d) =; =; e),; f) -0,; g) = ; h) = ; i) =; j),6; k)=e; =e - 0,0 l) =6; = 7
UNIDAD : Ecuciones Sistems D) Sistems de Ecuciones de Primer Grdo con dos Incógnits. DEFINICIÓN: un sistem de dos ecuciones de primer grdo con dos incógnits, es el ddo por el: (s) i) c c ii) donde,, R, de mner que no sen simultánemente nulos. Los números,, son coeficientes del sistem de ecuciones los números c c se llmn términos independientes. DEFINICIÓN: se llm solución de un sistem de dos ecuciones de primer grdo con dos incógnits,, un pr ordendo de números reles, de mner que sustituidos respectivmente en ls letrs, stisfcen simultánemente ms ecuciones. DEFINICIÓN: resolver un sistem de dos ecuciones con dos incógnits signific encontrr el conjunto de ríces comunes, es decir, l intersección de los conjuntos solución de ms ecuciones. Si s es el conjunto solución de i) s es el conjunto solución de ii) s s s Entonces el conjunto solución se epres: Un sistem s, puede ser: A - Comptile: tiene solución: - Determindo: dmite un únic solución. - Indetermindo: dmite infinits soluciones. B - Incomptile: no tiene solución. Recordndo que cd un de ls ecuciones que constituen el sistem son funciones lineles, su representción gráfic es un rect en el plno,. Como se ve en ls Fig., Fig. Fig., respectivmente, h tres csos pr representr gráficmente ls diferentes posiles soluciones de un sistem: i) Ls rects se intersectn en un solo punto. ii) Ls ecuciones descrien l mism rect. iii) Ls dos rects son prlels. Fig. Fig. Fig. 8