Tema 3 Series Numéricas Imagiemos que se va a celebrar ua carrera co las siguietes reglas:. El primer miuto debe recorrerse 00 metros. 2. El miuto siguiete debe recorrerse la mitad, 50 metros. 3. El miuto siguiete debe recorrerse la mitad del aterior, 25 metros. 4. El miutosiguiete dee recorrerse lamitaddelaterior, 2,50metros. y así sucesivamete. Por otra parte, al mismo tiempo empieza otra carrera, co las reglas ligeramete modificadas:. El primer miuto se recorre 00 metros. 2. El miuto siguiete se recorre la mitad de 00 metros, 50 metros. 3. El miuto siguiete se recorre la tercera parte de 00 metros, 33,3 metros. 4. El miuto siguiete se recorre la cuarta parte de 00 metros, 25 metros. y así sucesivamete. 43
Dos corredores empieza a la vez las carreras. Si la meta de la primera se ecuetra situada a 300 metros y la de la seguda a 000 metros, quié llega primero a la meta y cuáto tiempo tarda? Llamamos D = 00 metros la distacia recorrida e el primer miuto. La primera carrera va recorriedo las distacias: D + D 2 + D 4 + D 8 +... La seguda carrera va recorriedo las distacias: D + D 2 + D 3 + D 4 +... La preguta es cuál de estas sumas alcaza la distacia a la que está situada la meta respectiva. Al acabar este tema deberemos ser capaces de dar ua respuesta razoada. 3.. Series reales Del mismo modo que e el capítulo aterior, os limitaremos a tratar co series de úmeros reales, porque, de uevo, el estudio de las series complejas se reduce al estudio de las series determiadas por las partes reales e imagiarias. Cosideramos ua sucesió de úmeros reales {a,a 2,a 3,...,a,...} defiida de la si- A partir de ella formamos ua ueva sucesió {S } guiete forma: S = a S 2 = a + a 2 S 3 = a + a 2 + a 3. S = a + a 2 + a 3 +... + a = La respuesta es que el primer corredor o cosigue llegar jamás a la meta mietras el segudo sí. 44 k= a k
La sucesió {S } así defiida se llama sucesió de las sumas parciales y a recibe el ombre de térmio geeral -ésimo. Llamaremos serie al par de sucesioes {(a ),(S )}. Defiició 3. Diremos que la serie {(a ),(S )} es covergete si existe lím S = S R. Al valor S se le llama suma de la serie y lo escribiremos S = lím a = a k= Por abuso de otació represetaremos a la serie {(a ),(S )} por su suma, es decir, por a ; auque es posible que dicha suma i siquiera exista. Notas: Alguas observacioes a teer e cueta: El ídice de sumació es ua variable muda, y puede sustituirse por cualquier otra letra. No es ecesario que ua serie empiece a sumar desde =. Puede empezar desde = 0 o = p (p > ); pero siempre se puede reescribir para que empiece e = mediate u cambio de variable (ver el Ejemplo 3.25). S siempre represeta la suma de los primeros térmios de la sucesió a y etoces se deberá teer cuidado al calcularla cuado la serie o empiece por =. Las defiicioes de covergeciaydivergecia o depededeltérmio a partir del cual empieza a sumar, auque si afecta al valor de la suma (véase el Teorema 3.3). Así, las propiedades que o ivolucre a la suma de la serie so ciertas idepedietemete del térmio e que empiece. Poreste motivo,yporcomodidad,euciaremos casi todas las propiedades para series que empiece e = e, icluso, a veces i ta siquiera especificaremos desde qué térmio empieza a sumar, escribiedo úicamete a. Auque hablemos de la suma de ua serie, o debemos olvidar que dicha suma es, e realidad, u límite de sumas y, etoces, puede o 45
ser ciertas las propiedades usuales de las sumas fiitas: por ejemplo, el orde de los sumados sí puede alterar la suma (cosultad la Secció 3.3); o tambié resulta ser falsa la propiedad asociativa (ver el Ejemplo 3.6). Ejemplo 3. Reescribe la serie empiece e =. =2 2 para que el ídice de sumació Solució: Setrata,simplemete, derealizarupequeñocambiode variable. =2 + 2 = = + 2 = 2 k= dode k = y, substituyedo = k +, = k= reombrado el cotador. + (k + ) 2 = ( + ) 2 Observa que la serie o ha cambiado; sólo se ha modificado el cotador: =2 2 = 3 + 8 + + 5 +... = ( + ) 2 Ejercicio 3. Reescribe laserie a sumar desde = : (Sol.: =3 para que empiece log() log [(log())] ( + 2) log( + 2) log [(log( + 2))] ) 46
) para que empiece a sumar des- Ejercicio 3.2 Reescribe laserie ( =p p de = : (Sol.: ( + p p ) ) U ejemplo importate lo costituye las llamadas series geométricas. Ejemplo 3.2 Cosideremos la progresió geométrica,r,r 2,r 3,...,r,... de la cual obteemos la serie + r + r 2 +... + r +... = =0 r (r R ) Vamos a calcular S e fució de. Para ello, multiplicamos S por la razó r S = + r + r 2 + r 3 +... + r 2 + r rs = r + r 2 + r 3 + r 4 +... + r + r y restado las dos expresioes S rs = r S = r r si r Para calcular el límite de S distiguimos dos posibilidades, segú el valor de la razó r: r < lím r = 0 lím S = r r > lím r = lím S = Ahora, r = =0 S = S 2 = + = 2. S = lím S = 47
r = =0 ( ) S = S 2 = = 0 S 3 = + = S 4 = + = 0. S 2 = S 2 = 0 lím S E defiitiva, la serie geométrica caso, suma exactamete =0 =0 r es covergete sii r < y, e ese r = r Ejemplo 3.3 Calcula la suma de la serie =0 ( 2). Solució: Se trata de ua serie geométrica de razó r =. Etoces, por 2 lo visto e el ejemplo aterior, es covergete (porque r < ) y suma =0 ( 2) = ( 2) = 2 3 Ejercicio 3.3 Calcula la suma de la serie + 0, + 0,0 + 0,00 +... Teorema 3.2 Si teemos dos series covergetes etoces, a = S y (Sol.: 0 9 ) b = S. (a + b ) = a + b = S + S 48
2. (λa ) = λ a = λs λ R Ejercicio 3.4 Ecuetra dos series divergetes a y b de maera que la serie suma (a + b ) sea covergete. (Sol.: a = y b = + ) Ejercicio 3.5 Demuestra que si a es covergete y b es divergete etoces (a + b ) es divergete. (H: Si (a + b ) fuera covergete tambié lo sería (a + b a ). Esta propiedad os permite ecotrar la fórmula de la suma de ua serie geométrica cuyo primer térmio o es ; es decir, que o empieza a sumar desde = 0. Ejemplo 3.4 Sea la serie Etoces, por lo que, =p r = =p =p r = r p + r p+ + r p+2 +... + + r p r p = r p r p = r p r k = =p =p r = Ejemplo 3.5 Calcula la suma de la serie rp r k=0 2 + 5 0. rp r Solució: La serie puede descompoerse e suma de dos, de la siguiete forma: 2 + 5 ( ) 2 (( ) 0 = 0 + 5 ( ) ) 0 = + 5 2 ( ) ( ) = + 5 2 49
puesto que cada ua de estas dos últimas series es covergete ya que se trata de series geométricas de razó r = 5 < y r = 2 <, respectivamete. Por el ejemplo aterior podemos calcular su suma: por lo que, fialmete, ( ) = /5 5 /5 = + 4 y ( ) = /2 2 /2 = 2 + 5 0 = 4 + = 5 4 Ejercicio 3.6 Calcula la suma de la serie =3 ( ) 2 Ejercicio 3.7 Calcula la suma de la serie 8 + 6 + 9 2 + 27 8 + 8 32 +... Ejercicio 3.8 Calcula la suma de la serie 4 2 + 2 +... (Sol.: 4 ) (Sol.: 32 ) (Sol.: 8 3 ) Teorema 3.3 La covergecia de ua serie o depede del térmio e el que se empiece a sumar; es decir; a es covergete =p a es covergete Además, e este caso a = (a + a 2 +... + a p ) + =p a (p > ) 50
Teorema 3.4 Si la serie a es covergete etoces tambié lo es dode b = a + a 2 +... + a b 2 = a + + a +2 +... + a 2 b 3 = a 2 + + a 2 +2 +... + a 3... b Es decir, tambié es covergete la serie obteida por agrupació de térmios de la primera. La misma propiedad es cierta si cambiamos covergete por divergete a ±. Elrecíproco delapropiedad aterioroes cierto comolopruebaelsiguiete ejemplo: Ejemplo 3.6 Cosideremos la serie geométrica de razó r =, es decir, + + +... Hemos visto ates que esta serie o es covergete, o obstate esto, al agrupar térmios: ( ) + ( ) + ( ) +... = 0 + 0 + 0 +... = 0 si resulta ua serie covergete. No obstate, puede probarse que el recíproco de la propiedad aterior sí es cierto si la serie es de térmios positivos. 3.2. Criterios de covergecia Las series geométricas so secillas de sumar. E geeral, calcular la suma exacta de ua serie o resulta tarea fácil. Ates de itetar ecotrar la suma de ua serie puede ser muy útil saber si la serie es o o es covergete. Este tipo de problemas se cooce como Problemas sobre el carácter de ua serie. E las siguietes seccioes estableceremos ua relació de criterios que os permitirádetermiarel carácterdeuaserie. Elprimerodetodos os da ua codició ecesaria que debe cumplir toda serie covergete. 5
Teorema 3.5 (Codició ecesaria de covergecia) Si la serie es covergete lím a = 0 Ejemplo 3.7 La codició aterior o es suficiete, como lo prueba la llamada serie armóica +. Esta serie verifica que lím = 0 y, o obstate, la serie es divergete. Vamos a probar esto último. Sea {S } la sucesió de las sumas parciales, es decir, a Así, S = + 2 + 3 +... + S 2 = + 2 + 3 +... + + + +... + 2 S 2 S = + + + 2 + térmios... + 2 > 2 + 2 + térmios... + 2 = 2 = 2 de dode lím (S 2 S ) 2 y etoces lím (S 2 S ) 0. Cocluimos, etoces, que la sucesió {S } o puede ser covergete; porque si lím S = S, etoces tambié lím S 2 = S (al ser S 2 ua subsucesió de S ); pero etoces lím (S 2 S ) = 0 y hemos probado ateriormete que o puede ser así. Por tato, la serie armóica es divergete. Ejemplo 3.8 La serie =0 + es divergete porque lím Ejercicio 3.9 Estudia el carácter de la serie ( 2 + ). + = 0. (Sol.: Divergete. ) 52
Ejercicio 3.0 Estudia el carácter de la serie log (2 + 3 ) 2. Ejercicio 3. Estudia el carácter de la serie (Sol.: Divergete. ) ( ). + (Sol.: Divergete. ) 3.2.. Series de térmios positivos Ua serie E este caso, como a dode cada a > 0 se dice ua serie de térmios positivos. S + = S + a + > S resulta que la sucesió de sumas parciales {S } es creciete. Etoces, la serie será covergete si, y sólo si, la sucesió {S } está acotada superiormete. Si o lo está, la serie será divergete a + (Teorema2.8). Ejemplo 3.9 Hemos visto ates que la serie armóica era divergete. Como es de térmios positivos podemos afirmar que su suma vale +. Si ua serie a es de térmios egativos (i.e., a < 0 ) etoces el estudio de este tipo de series se puede reducir al de las series de térmios positivos, teiedo e cueta que a = a y esta última ya es de térmios positivos y tiee el mismo carácter. Además, comoel carácter de uaserie ose alterasi elimiamos u úmero fiito de térmios, equipararemos a este tipo todas aquellas series que si bie o so de térmios positivos, sólo tiee u úmero fiito de térmios egativos. Vamos a ver alguos criterios para averiguar si ua serie de térmios positivos es covergete o divergete. 53
Teorema 3.6 (Criterio de la serie mayorate) Sea a y b dos series de térmios positivos. Si b es covergete y a b a es covergete Si a es divergete y a b b es divergete Ejemplo 3.0 Sea la serie =2 =2 log Solució: Como log <, 2, resulta <, 2 y como la log + serie es divergete cocluimos que es divergete. log =2 Ejercicio 3.2 Averigua el carácter de la serie Ejercicio 3.3 Sea a y =2 2 cos(). (Sol.: Divergete. ) b dos series covergetes de térmios positivos. Prueba que tambié lo es a b a + b 2 Ejercicio 3.4 Sea y el criterio de la serie mayorate.) a y a b. (H: Utiliza la desigualdad b dos series covergetes de térmios positivos. Prueba que tambié lo es =2 a b a + b a y el criterio de la serie mayorate.) a b a + b. (H: Utiliza la desigualdad Comocosecueciadelcriteriodelaserie mayorate, se obtiee el siguiete criterio. 54
Teorema 3.7 (Criterio de comparació e el límite) Sea a y b dos series de térmios positivos y sea lím a b = λ. Etoces, Si 0 < λ < +, etoces a y b tiee el mismo carácter. Si λ = 0 y b es covergete, etoces a es covergete. Si λ = + y b es divergete, etoces a es divergete. Ejemplo 3. Cosidérese la serie Vamos acompararlacolaserie, que sabemos es divergete (Ejem- log plo 3.0) =2 + lím 2 +... + log Este límite lo resolvemos por Stolz: lím log + 2 +... + + 2 +... + = lím log + 2 +... + log( + ) log = lím + 2 +... + + ( + + 2 +... + ) ( ) + log ( ) + + = lím = lím log + = log e = 0 Por tato, ambas series tiee el mismo carácter y, por tato, + 2 +... + es divergete. Elicoveiete de este criterioresideeque ecesitamos otraserie coocida para poder compararla. Las más utilizadas para comparar so las llamadas series de Riema (ver el Ejemplo 3.5). 55
Para evitar este problema, veremos otros criterios e los que sólo se utiliza el térmio geeral a de la serie a ivestigar y, por tato, o se ecesita igua otra serie para comparar. Teorema 3.8 (Criterio de D Alambert) Sea a ua serie de térmios positivos y sea lím a + = λ. Etoces, a Si 0 λ <, etoces a es covergete. Si < λ +, etoces a es divergete. Este criterio se suele utilizar cuado el térmio geeral a costa de productos o cocietes. Notar que este criterio o determia el carácter de la serie cuado lím a + =. Cuado esto ocurre puede utilizarse el criterio siguiete. a Teorema 3.9 (Criterio de Raabe) Sea ( a ua serie de térmios positivos y sea lím a ) + = λ. Etoces, a Si λ <, etoces a es divergete. Si λ >, etoces a es covergete. Ejemplo 3.2 Sea la serie serie a = 3! y aplicamos el criterio de D Alambert: 3. Idetificamos el térmio geeral de la! lím a + a = lím ( + ) 3 ( + )! 3! ( ) + 3 = lím + = 0 < y podemos cocluir que 3! es covergete. 56
Ejemplo 3.3 Sea la serie geeral de la serie a = y aplicamos el criterio de D Alambert: 3 5 (2 ). Idetificamos el térmio 2 4 6 (2) 3 5 (2 ) 2 4 6 (2) lím a + a = lím 3 5 (2 )(2 + ) 2 4 6 (2)(2 + 2) 3 5 (2 ) 2 4 6 (2) = lím 2 + 2 + 2 = yopodemos cocluirada. Aplicamos ahoraelcriteriode Raabe, utilizado que, segú el cálculo aterior, a + a = 2+ 2+2 : ( lím a ) ( + = lím 2 + ) = lím a 2 + 2 2 + 2 = lím 2 + 2 = 2 < y etoces obteemos que 3 5 (2 ) 2 4 6 (2) es divergete. Ejercicio 3.5 Estudiaelcarácterde laseries (a) (!) 2 + (3)! y (b) (!) 2 (2)!. (Sol.: (a) Covergete; (b) Covergete ) Ejercicio 3.6 Estudia el carácter de la serie + 2!. Ejercicio 3.7 Estudia el carácter de la serie + (!) 2. 2 2 (Sol.: Covergete. ) (Sol.: Covergete. ) 57
Ejercicio 3.8 Estudia el carácter de la serie + 4 7 0 (3 + ) 2 6 0 (4 2). Ejercicio 3.9 Estudia el carácter de la serie + (Sol.: Covergete. ) (!) 2 4. (2)! (Sol.: Divergete. ) El siguiete criterio es equivalete al criterio de D Alambert pero se utiliza e vez de éste cuado el térmio geeral a costa de potecias de expoete, 2, etc. Teorema 3.0 (Criterio de la raíz o de Cauchy) Sea a ua serie de térmios positivos y sea lím a = λ. Etoces, Si 0 λ <, etoces a es covergete. Si < λ +, etoces a es divergete. Ejemplo 3.4 Sea la serie y aplicamos el criterio de la raíz: lím + si 3 a = lím = lím + si 3. Idetificamos el térmio geeral a = + si3 + si 3 = lím + si 3 Para calcular este límite, vamos a probar e primer lugar que + si 3 es ua sucesió acotada. E efecto, si 3 0 + si 3 2 0 + si 3 2 2 etoces, aplicado el Teorema 2., y cocluimos que lím a = lím + si 3 }{{} 0 + si 3 = 0 < }{{} acotada es covergete. 58
Ejercicio 3.20 Determia el carácter de la serie + ( 2 3). (Sol.: Covergete. ) Ejercicio 3.2 Determia el carácter de la serie ( ) +. 2 + Ejercicio 3.22 Determia el carácter de la serie + (Sol.: Covergete. ) ( 2 + ) 2. (Sol.: Divergete. ) El criterio siguiete se suele utilizar cuado el térmio geeral a costa de potecias de expoete cualquiera. Teorema 3. (Criterio Logarítmico) Sea ( ) a ua serie de térmios log a positivos y sea lím = λ. Etoces, log Si λ <, etoces a es covergete. Si λ >, etoces a es divergete. Ejemplo 3.5 Vamos a estudiar la covergecia de ua familia de series, llamadas Series de Riema: α, α R. Idetificamos el térmio geeral: a = α y aplicamos el criterio logarítmico: ( ) log a log α lím = lím log log = lím α log log = α Así, si α > la serie es covergete y si α < la serie es divergete. Si α = la serie queda + α = 59
que es divergete. Resumiedo, α, (α R) Covergete si α > Divergete si α Las series de Riema se utilizará a meudo e el criterio de comparació e el límite, sobre todo si el térmio geeral es u cociete de poliomios. E el ejemplo siguiete vemos su aplicació. Ejemplo 3.6 Determia el carácter de la serie 5 3 3 +. Solució: Vamos a compararla e el límite co la serie de térmio geeral d = (que so los dos ifiitos de mayor orde que aparece e la serie 3 2 a estudiar). lím 5 3 3 + 2 = lím 53 32 3 + = 5 por lo que la serie iicial tiee el mismo carácter que la serie y, siedo 2 éstacovergete, porserua serie de Riemade expoete α =2>,os permite cocluir que 5 3 3 + es covergete. Ejercicio 3.23 Determia el carácter de la serie + 2 2 + 3. Ejercicio 3.24 Determia el carácter de la serie 3 + 2 +. (Sol.: Covergete. ) (Sol.: Covergete. ) 60
Ejercicio 3.25 Determia el carácter de la serie + 3 +. (Sol.: Covergete. ) Ejercicio 3.26 Determia el carácter de la serie + =2 [log(log())] log(). Ejercicio 3.27 Determia el carácter de la serie + (Sol.: Covergete. ). log() (Sol.: Divergete. ) Teorema 3.2 (Criterio de Codesació) Sea a ua serie de térmios positivos, dode la sucesió {a } es decreciete, etoces las series y 2 k a 2 k tiee el mismo carácter. Ejemplo 3.7 Determia el carácter de la serie a k =2 log. Solució: Llamamos a =. Como { log } es ua sucesió creciete deducimos que {a } es decreciete. Así, podemos aplicar el criterio de log codesació y cocluir que log y + 2 k 2 k tiee el mismo log 2k =2 k= carácter. Estudiemos ahora esta última: k= 2 k 2 k log 2 k = + k= + log 2 k = k= k log 2 = log 2 k k= y resulta ser la serie armóica que es divergete. Cocluimos, pues, que es divergete. log =2 6
Ejercicio 3.28 Determia el carácter de la serie + =2 (log()) p, p N. (Sol.: Covergete si p >. ) Ejercicio 3.29 Determia el carácter de la serie + =3 log() log [(log())]. (Sol.: Divergete. ) 3.2.2. Series alteradas Defiició 3.3 Ua serie todo (i.e. sus térmios altera el sigo). a se dice alterada si a a + < 0, para Para series alteradas dispoemos del siguiete criterio: Teorema 3.4 (Criterio de Leibitz) Sea a co a + a < 0, para todo. Si la sucesió { a } es decreciete, etoces a es covergete lím a = 0 Notas: A ua serie alterada o se le puede aplicar iguo de los criterios vistos ateriormete para series de térmios positivos. Si la sucesió { a } es creciete etoces o puede teer límite 0 y así la serie será divergete, pero la sucesió { a } puede o ser i creciete idecreciete y,eeste caso, opodremos aplicarel criterio de Leibitz. Toda serie alterada puede ser escrita de la forma forma ( ) a ó de la ( ) + a dode a > 0 (depediedo que sea egativos los térmios impares o pares, respectivamete). 62
Ejemplo 3.8 Determia el carácter de la serie ( ) +. Solució: Se trata de ua serie alterada. Veamos si cumple la hipótesis del criterio de Leibitz. Llamamos a = ( ) + ; por tato a =. Como {} es ua sucesió creciete, deducimos que {a } es decreciete. Por tato, podemos aplicar el criterio de Leibitz y al ser lím = 0 podemos cocluir que ( ) + es covergete. Ejemplo 3.9 Comprobar que la serie alterada 2 + 2 3 + 2 3 + 3 4 + 3 4 + 3 4 +... diverge y explicar por qué o se cotradice el criterio de Leibitz. Solució: No se puede aplicar el criterio de Leibitz porque la sucesió de los valores absolutos de los térmios o es decreciete. No es covergete porque al agrupar los térmios de la forma: ( 2 ) + ( 2 3 + 2 3 ) + ( 3 4 + 3 4 + 3 4 ) +... obteemos la serie 2 + 3 + 4 +... que es divergete y recuerda que si ua serie es covergete, cualquier reagrupació debe ser covergete (Teorema 3.4). Ejercicio 3.30 Determia el carácter de la serie + ( ) + 2. (Sol.: Divergete. ) 63
Ejercicio 3.3 Determia el carácter de la serie + ( ). Ejercicio 3.32 Determia el carácter de la serie + ( ) log(). (Sol.: Covergete. ) (Sol.: Covergete. ) Ejercicio 3.33 Determia el carácter de la serie ( ) + ( )+ si. Ejercicio 3.34 Determia el carácter de la serie + (Sol.: Covergete. ) + ( ). (Sol.: Divergete. ) 3.3. Covergecia absoluta y codicioal Defiició 3.5 Ua serie serie a es covergete. a se dice Absolutamete Covergete si la ( ) Ejemplo 3.20 La serie es covergete (Ejemplo 3.8) pero o absolutamete covergete, ya que la serie de los valores absolutos o es covergete: ( ) + = divergete Ejercicio 3.35 Estudiar la covergecia y la covergecia absoluta de la serie: + +... + +... 2 3 4 2 2 (Sol.: Covergete pero o absolutamete. ) 64
Nota: Está claro que para series de térmios positivos ( o de térmios egativos) los coceptos de covergecia y covergecia absoluta so equivaletes. Es más, si recordáis que el carácter de ua serie o depede del térmioeque empieza asumar, podemos afirmarlo mismopara series co u úmero fiito de térmios egativos (o, respectivamete, de térmios positivos). Egeerallarelacióetre lacovergecia yla covergecia absolutaviee dada por la siguiete propiedad: Teorema 3.6 Si a es absolutamete covergete, etoces a es covergete. Estapropiedadosdauuevocriterioparaestudiarlacovergecia de las series alteradas: Ejemplo 3.2 Cosideremos la serie: 2 2 + 3 3 4 2 + 5 3 6 2 +... + (2 ) 3 (2) 2 +... Es ua serie alterada pero o podemos aplicarle el criterio de Leibitz porque los térmios, evalorabsoluto, o formauasucesiódecreciete. Estudiemos la covergecia absoluta: + 2 2+ 3 3+ 4 2+ 5 3+...+ (2 ) 3+ (2) 2+... = + Si esta última la descompoemos e dos series: ( (2 ) 3 + ) (2) 2 (2 ) 3 que es covergete, comparádola co 3 (2) 2 que es covergete, comparádola co 2 Etoces, como las dos so covergetes, cocluimos que la serie ( (2 ) 3 + ) (2) 2 65
es covergete, por lo que la serie primera resulta ser absolutamete covergete y, por tato, covergete. Defiició 3.7 Dadas dos series a y b, diremos que b es ua reordeació de a si la sucesió {b } se ha obteido a partir de {a } reordeado sus térmios. Defiició 3.8 Ua serie a se dice: Icodicioalmete covergete si la serie es covergete y cualquier reordeació de ella es covergete y suma lo mismo. Icodicioalmete divergete si la serie es divergete y cualquier reordeació de ella es divergete. Codicioalmete covergete si es covergete pero o icodicioalmete covergete. Codicioalmete divergete si es divergete pero o icodicioalmete divergete. El siguiete resultado simplifica el estudio de la covergecia codicioal: Teorema 3.9 La serie a es icodicioalmete covergete si, y sólo si, es absolutamete covergete. ( ) Ejemplo 3.22 La serie es codicioalmete covergete, yaque es covergete (por el criterio de Leibitz) pero o absolutamete covergete (ver el Ejemplo 3.20). Si ua serie tiee u úmero fiito de térmios egativos (o de térmios positivos) sabemos que su covergecia implica covergecia absoluta. Por tato, para que ua serie sea codicioalmete covergete ha de teer ifiitos térmios positivos e ifiitos térmios egativos. Supoemos etoces ua serie a de maera que {a } tiee ifiitos térmios positivos {b } e ifiitos térmios egativos {c }. Etoces, 66
Teorema 3.20 Co la otació aterior se tiee las siguietes propiedades: b c } covergetes a icodicioalmete covergete. b c b c } ua es covergete a y la otra divergete icod. divergete. } divergetes a cod. covergete o cod. divergete. Además, e este último caso, si lím a = 0, podemos obteer ua reordeació o bie divergete o bie covergete. Ejemplo 3.23 Estudia la covergecia codicioal de la serie 2 2 + 3 2 4 + 5 2 6 +... = a Solució: Cosideramos por separado los térmios positivos b y egativos c. b = 2 + 3 2 + 5 2 +... = + c = 2 + 4 + 6 +... = + (2 ) 2 covergete. 2 divergete. Etoces, la serie a es icodicioalmete divergete. Ejercicio 3.36 Estudia la covergecia y la covergecia absoluta de la serie 2 2 3 + 3 4 4 5 + 5 6 6 7 +... (Sol.: Divergete. ) 67
Ejercicio 3.37 Estudia la covergecia y la covergecia absoluta de la serie! + 2 2! + 3 3! +... (Sol.: Icodicioalmete divergete. ) Ejercicio 3.38 Dada la serie + +... + +... 2 3 4 2 2 de la cual sabemos que es covergete pero o absolutamete (Ejercicio 3.35); cosidera la siguiete reordeació ( + ) ( + 5 + ) +... 3 2 7 4 ( + + ) +... 4 3 4 2 Qué podemos decir sobre su covergecia? Y sobre la covergecia absoluta? (Sol.: No absolutamete covergete y divergete. ) 3.4. Sumació de series Hasta ahora hemos vistométodos para determiarsiua serie es covergete o divergete. Cuado ua serie a es covergete sabemos que tiee ua suma fiitas. Elobjetivo de estaseccióes calcularla sumade laserie. Este problema resulta más complicado de abordar que el estudio del carácter, dado que la suma es, e realidad, el límite de la sucesió de las sumas parciales y o siempre será factible poder calcularlo. Hemos estudiado ya la suma de ua serie geométrica y, co ua técica parecida, estableceremos la suma de alguos tipos más de series. (a) Series Aritmético-Geométricas So de la forma + a b dode {a } es ua progresió aritmética (de distacia d) y {b } es ua progresió geométrica (de razó r). Etoces, a = a + d( ) =,2,... b = b r =,2,... 68
Se observa por simple sustitució que la serie o es covergete cuado r =. Vamos a calcular S e los otros casos: S = a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 +...a b + a b rs = a b 2 + a 2 b 3 + a 3 b 4 +...a b + a b + de dode restado ambas expresioes resulta S ( r) = a b + [(a 2 a )b 2 +... + (a a )b ] a b + pero, como la diferecia etre dos térmios cosecutivos de ua progresió aritmética siempre es la distacia d, obteemos: S ( r) = a b + d [b 2 + b 3 +... + b ] a b + = a b + db [ r + r 2 +... + r ] a b + y ahora como r + r 2 +... + r = r r r obteemos y aislado S : S ( r) = a b + db r r r a b + S = a b r + db r r ( r) 2 a b + r Supoemos ahora que r <, etoces lím r = 0 líma b + = lím(d( ) + a )b r = 0 lím S = a b r + drb ( r) 2 Por cotra si r > etoces lím r = y o existe lím S. Resumiedo, laserie aritmético-geométrica y e este caso suma exactamete a b es covergete sii r < a b = a b r + drb ( r) 2 (3.) 69
Ejercicio 3.39 Ecuetralafórmulade lasumacuadolaserie empieza a sumar desde = p. Ejemplo 3.24 Calcularemos la suma de la serie: 3 4 5 ( + 2) 2 4 6 8 (2 + 2) Solució: Simplificado los térmios, se observa que correspode a ua serie aritmético-geométrica. 3 4 5 ( + 2) 2 4 6 8 (2 + 2) = + 3 2 4 + 3 4 2 4 6 + 3 4 5 2 4 6 8 3 4 5 6 2 4 6 8 0 +... = 3 2 3 + 4 2 4 + 5 2 5 + 6 2 6 +... = + 2 2 +2 de dode d =, r = 2, a = 3 y b = por lo que aplicado la fórmula (3.), se 23 obtiee 3 4 5 ( + 2) 3 2 3 2 4 6 8 (2 + 2) + 2 2 2 3 ( 2 )2 = (b) Series Hipergeométricas So series de térmios positivos a + a = α + β α + γ a que cumple la relació co α + β γ 0 Puede probarse que S = (α + γ)a + γa α + β γ 70
Si supoemos ahora que la serie a es covergete, etoces ecesariamete debe ser lím a + = 0 y lím a + = 0 y así, S = lím S = a = a γ γ α β (3.2) Nota: Para determiar los valores correctos de α, β y γ, la serie debe empezar a sumar desde =. Ejemplo 3.25 Sea la serie Solució: Como ( p ) = =p =p ( p )! p!( p)! resulta ( p ) = =p p!( p)!! Estudiemos primero sucaráctermediate elcriterio de D Alambert: llamado a = ( p ) obteemos p!( p)!! lím a + a p!( + p)! ( + )! = lím p!( p)!! + p = lím = + Aplicamos ahora el criterio de Raabe ( lím a ) + = lím a = lím p + = p ( + p ) + 7
Así si p > la serie es covergete. El caso p = lo estudiaremos más adelate. Además, la serie es hipergeométrica porque a + a = + p + Ahora bie, para determiar la suma y, más cocretamete, los valores correctos de α, β, γ la serie debe empezar a sumar desde =. Para coseguirlo haremos u cambio de variable: =p p!( p)!! = = +=p+ + p= p!( p)!! p!( p)!! k=+ p = k= p!(k )! (k + p )! Llamado ahora a k = p!(k )! (k + p )! k obteemos a k+ a k = p!k! (k + p)! p!(k )! (k + p )! = k k + p de dode α =, β = 0 y γ = p co α + β γ = p y, aplicado la fórmula (3.2), se obtiee =p p!( p)!! = k= p!(k )! (k + p )! = p p = p p (p > ) Fialmete, si p =, resulta que ( ) =, de dode que es divergete. =p p!( p)!! = 72
(c) Series telescópicas Ua serie + a se dice telescópica si el térmio geeral a puede descompoerse de la forma a = b b es decir, es la diferecia etre dos térmios cosecutivos de otra sucesió. E este caso, es posible hallar la suma parcial S y calcular su límite. Ejemplo 3.26 Calcula la suma de la serie ( + ). Solució: La serie es telescópica puesto que, al descompoer fraccioes simples, resulta Etoces, para calcular S hacemos: ( + ) = + a = 2 a 2 = 2 3 a 3 = 3 4. a = a = + a + a 2 +... + a = + ( + ) e Ahora, al sumar estas igualdades, resulta que, e la parte de la derecha se cacela los térmios dos a dos (salvo el primero y el último) y e la izquierda queda a + a 2 +...a = S, por lo que y, por tato, S = + ( + ) = lím S = lím ( ) = + 73
Ejercicio 3.40 Calcula la suma de la serie + =2 2, descompoiédola previamete e fraccioes simples. (Sol.: 3 4 ) Ejercicio 3.4 Calcula la suma de la serie + =2 ( + )( + 2), descompoiédola previamete e fraccioes simples. Ejercicio 3.42 Calcula la suma de la serie =2 log ( ) 2. (Sol.: + ) (Sol.: log 2 ) 3.5. Problemas adicioales Ejercicio 3.43 Averigua el carácter de las series (a) log() 2 (d) 4 3 + (g) [log()] (j) si(π/) (b) 2( )+ e +e (c) cos(π) (e) (2)! 5 (f)! (h) 7! (i) cos() 2 (Sol.: So covergetes (a), (b), (g), (h), (i) y (j). ) Ejercicio 3.44 Averigua el carácter de la serie! (2 + )(2 + 2) (2 + ) (Sol.: Covergete ) 74
Ejercicio 3.45 Estudia el carácter de las series: (a) ( 2 + ) (b) 3 5 (c) ( 7) (d) log (2 + 3 ) 2 (e) ) log (f) 3 (g) 5 3 ( 2 + ) (j) ( ) si (m) ( ( 2 + ) 2 ) π si 3 (h) ( + ( + )2 (i) 2 + 5 4 3 + 3 (k)! 3 (l) log() + () ( )! ( ) ta 2 4 + 3 (Sol.: So covergetes: (b), (f), (g), (h), (m) y (). ) Ejercicio 3.46 Estudia la covergecia y la covergecia absoluta de la serie 2 log 3 2 + 3 log 4 3 + + 4 log 5 4 + +... + log + +... (H: Utilizar la desigualdad ( + ) ( < e < + ) + para demostrar que los valores absolutos de los térmios de la serie forma ua sucesió decreciete) Ejercicio 3.47 Calcula la suma de la serie (Sol.: Codicioalmete covergete ) ( 2 ) 3. (Sol.: 2 ) Ejercicio 3.48 Calcula la suma de la serie + 4 ( + 2), descompoiédola previamete e fraccioes simples. (Sol.: 3 ) 75
Ejercicio 3.49 Calcula la suma de la serie + (2 + )(2 + 3), descompoiédola previamete e fraccioes simples. Ejercicio 3.50 Calculalasuma delaserie ( ) + = log 2. =2 (Sol.: 2 ) (4 ) 2, sabiedo que (Sol.: 4 log 2 ) 76