Tema 1.4: Series de potecias. Cocepto de fució aalítica Facultad de Ciecias Experimetales, Curso 2008-09 E. de Amo Este tema está dedicado a la itroducció de u método expeditivo de creació de fucioes holomorfas más allá de las racioales y que, a la postre, sigi cará la caracterizació de la holomorfía e térmios de ua covergecia adecuada para series fucioales. De ició. Dados a; a 0 2 C y fa ; 2 Ng C, llamamos serie de potecias cetrada e el puto a a la serie fucioal X a (z a) ; 8z 2 C: El primer asuto a tratar es de la covergecia (ya sea putual, absoluta o uiforme) de tales series. ara este, sea := lim sup p ja j 2 R (recordemos que, dada ua serie de úmeros reales (x ) se de e sus límites superior e iferior, respectivamete, como lim sup x := lim y y lim if x := lim z ; dode y := sup fx ; x +1 ; :::g y z := if fx ; x +1 ; :::g, para cada atural ), y hagamos la de icó siguiete: 8 < 1=:::; 2 R R := 0:::; = +1 : +1:::; = 0 Teorema. Sea la serie de potecias a (z a) y su correspodiete R, dado por la fórmula aterior. Etoces: i. Si R = 0; etoces la serie sólo coverge e el puto a: ii. Si R = +1, etoces la serie coverge absolutamete e todo C y uiformemete sobre cada compacto de C: 1
iii. Si R 2 ]0; +1[, etoces la serie coverge absolutamete e el disco D(a; R) y uiformemete e cada compacto de D(a; R). Además, la serie o coverge e igú puto de CD (a; R). Demostració. i. La covergecia e a es evidete. Veamos que o puede coverger e igú otro puto: supogamos, por el cotrario, que sí, que coverge e cierto z 0 6= a. ero, e dicho caso, tedríamos: o lo que es equivalete, por tato: a (z 0 a)! 0; ja j 1 jz 0 aj! 0; 9M > 0 : 0 =) ja j 1 jz 0 aj M: ero, de este hecho se sigue que: := lim sup p ja j M jz 0 aj < +1; lo cual cotradice que sea = +1. ii. Sea dado u compacto K C. odemos ecotrar > 0 tal que K D(a; ). Ahora bie, como lim sup p ja j = lim sup p ja j = lim sup p ja j = 0 = 0; el criterio de la raíz de Cauchy os proporcioa la covergecia de la serie X ja j : Ahora bie, como z 2 K; 2 N =) ja (z a) j ja j ; se sigue (por el test de mayoració de Weierstrass) la covergecia absoluta y uiforme e K. E particular, cosiderado el compacto formado por el simplete de u puto, se ha probado que hay covergecia absoluta sobre cada puto del disco. iii. Sea cualquier compacto K D(a; R). odemos elegir 2 ]0; R[ tal que K D(a; ) D(a; R). Como lim sup p ja j = lim sup p ja j = R < 1; por el criterio de la raíz de Cauchy, la serie X ja j 2
coverge; y como z 2 K; 2 N =) ja (z a) j ja j ; (te resulta familiar ya el argmeto, o?), el test de mayoració de Weierstrass os proporcioa la covergecia absoluta y uiforme e K. E particular, e cada puto de D(a; R), la covergecia es absoluta. Fialmete, si z 2 CD(a; R), es decir jz aj > R, etoces: lim sup ja (z a) j 1 = jz aj lim sup ja j 1 = jz aj R > 1; de dode se sigue que el cojuto o 2 N : ja (z a) j 1 > 1 = f 2 N : ja (z a) j > 1g ha de ser i ito. ero esto obliga a que la sucesió (a (z y, por tato, la serie X a (z a) o puede ser covergete. Q.E.D. a) ) o sea ula De ició. El úmero R 2 [0; +1] ; dado por el teorema aterior, se llamará radio de covergecia de la serie de potecias a (z a). A la vista del resultado aterior, el coocimieto del carácter de ua serie de potecias vedrá dado, casi completamete, por su radio de covergecia. E efecto: sólo o os va a proporcioar iformació, e los casos 0 < R < +1, para aquellos z 2 C(a; R). E estos casos, el estudio habrá de hacerse ad hoc. ara la situació a 6= 0 ( 0 ), será de gra utilidad el siguiete Corolario. Sea ua serie de potecias a (z a) y sea R 2 [0; +1] su radio de covergecia. Supogamos que existe 0 2 N tal que a 6= 0; si 0 : Etoces: i. p a+1 a! +1 ) lim ja j = +1 ) lim sup p ja j = +1 ) R = 0 ii. p a+1 a! 0 ) lim ja j = 0 ) lim sup p ja j = 0 ) R = +1 iii. p a+1 a! 2 ]0; +1[ ) lim ja j = ) lim sup p ja j = ) R = 1 Estamos e codicioes de decir que las series de potecias permite de ir fucioes (cotiuas) co clamorosa facilidad: supogamos dada ua serie de potecias a (z a) y su correspodiete radio de covergecia R > 0. odemos de ir su domiio de covergecia como D(a; R):::; R < +1 := C:::; R = +1 3
y así, la fució dada por f :! C; f(z) := =0 a (z a) ; 8z 2 es cotiua ( razóese!). Nuestro propósito es lograr probar su holomorfía e : Lema. Las series de potecias a (z a) y ( + 1) a +1 (z a) tiee el mismo radio de covergecia. Demostració. A rmamos, por ua parte, que las series de potecias X a (z a) a (z a) y X tiee el mismo radio de covergecia: lim sup p ja j lim sup p ja j = lim sup p p ja j Y, por otro lado, las series de potecias X = lim p lim sup p ja j = 1 lim sup p ja j: ( + 1) a +1 (z a) +1 y X ( + 1) a +1 (z a) tiee el mismo carácter (es decir, coverge o o simultáeamete), lo cual se observa si más que hacer ( + 1) a +1 (z a) +1 = (z a) ( + 1) a +1 (z a) : or tato, se cocluye la tesis. Q.E.D. Teorema. Supogamos que la serie de potecias a (z a) tiee radio de covergecia R > 0. Sea su domiio de covergecia. Sea la fució f :! C; dada por: f(z) = =0 a (z a) ; 8z 2 : Etoces, f es ide idamete derivable e y f k) (z) = =0 ( + k)! a +k (z a) ; 8z 2 ; 8k 2 N:! Demostració. La haremos por iducció sobre el orde de derivació k. Cosideremos la situació k = 1. Supogamos, tambié, que a = 0. Sea b 2 y z 2 fbg. Teemos f(z) z f(b) b = = +1 =1 =1 a (z b ) z b z a z b b = X 1 a =1 j=1 z j b j 1 : 4
ara cada atural vamos a de ir la fució X 1 ' (z) := a z j b j 1 ; 8z 2 C: j=1 Sea dado r 2 ]jbj ; R[. Si z 2 D(0; r), etoces: X 1 j' (z)j ja j z j X 1 b j 1 ja j r j r j 1 = ja j r 1 : j=1 ero, aplicado el lema aterior, la serie 1 ja j r 1 es covergete. odemos, por tato, aplicar el test de mayoració de Weierstrass a la serie 1 ' para obteer su covergecia absoluta y uiforme e el disco D(0; r). Sea ahora '(z) := =1 j=1 ' (z) ; 8z 2 D(0; r): Así de ida, ' es cotiua e el disco; pero, además, si z 2 D(0; r)fbg; como etoces f(z) f(b) = ' z b (z) = '(z); podemos tomar límites e b: lim z!b f(z) z =1 f(b) = '(b) = b =1 y, por tato, teemos derivabilidad de f e co f 0 (z) = =1 a z 1 = =0 a b 1 ; ( + 1) a +1 z ; 8z 2 : Sea ahora a arbitrario, o ecesariamete 0. Cosideremos la expresió f(z) := g(z a); 8z 2 dode la fució g está dada por g(z) := =0 a z ; 8z 2 : Claramete, la regla de la cadea os da lo que ecesitamos, ua vez probado ya todo lo aterior para a = 0. Supogamos probado el resultado para cierto k 2 N: tedremos f derivable k-veces e co f k) (z) = =0 ( + k)! a +k (z a) ; 8z 2 :! 5
Aplicado lo demostrado para k = 1 ahora a la fució f k), tedremos que es derivable e y su derivada f k+1), vedrá dada por f k+1) (z) = = f k) 0 X +1 (z) = ( + 1) =0 =0 (( + 1) + k)! a (+1)+k (z ( + 1)! ( + (k + 1))! a +(k+1) (z a) ; 8z 2 ;! a) de modo que queda probado el teorema e toda su extesió. Q.E.D. Corolario. Si la serie de potecias a (z a) tiee radio de covergecia R > 0 y sea la fució f :! C; dada por: Etoces f(z) = =0 a (z a) ; 8z 2 : a k = f k) (a) ; 8k 2 N [ f0g: k! Corolario (preludio al ricipio de Idetidad). Sea a (z a) y b (z a) series de potecias de respectivos radios de covergecia R 1 > 0 y R 2 > 0. Sea f 1 y f 2 las respectivas fucioes holomorfas que de e dichas series sobre sus correspodietes domiios de covergecia 1 y 2. Supogamos que existe tal que 0 < < mifr 1 ; R 2 g de modo que si z 2 D(a; ), etoces f 1 (z) = f 2 (z). Etoces, las series de potecias so idéticas; es decir, a k = b k ; 8k 2 N [ f0g: Demostració. Basta daros cueta de que a k = f k) 1 (a) k! = f k) 2 (a) k! = b k ; 8k 2 N [ f0g: Ya sí que estamos e codicioes de dar ejemplos de fucioes holomorfas e C que o sea poliomios! or ejemplo, la fució (que debe resultarte muy sugerete y familiar, o?) dada por f(z) := =0 z! ; 8z 2 C o es poliómica: habría de ser cero sus derivadas a partir de u mometo e adelate; lo cual, claramete, o es el caso. De ició (Cocepto de fució Aalítica). Sea u abierto ; 6= C y ua fució f :! C. Decimos que f es aalítica e si para cada a 2 6
existe r a > 0 y ua serie de potecias cetrada e a, a (z a), de maera que D(a; r a ) y f(z) = =0 a (z a) ; 8z 2 D(a; r a ): roposició. Toda fució aalítica es holomorfa y su derivada es ua ueva fució aalítica. Es u bue mometo para u Ejercicio. rueba que las series de potecias so aalíticas e todo su disco de covergecia. Y para ua muy fuerte Observació: No sabemos, aú, si producto y composició coserva aaliticidad. Este hecho tedrá cotestació a rmativa, de maera evidete, e el próximo capítulo, cuado veamos la equivalecia etre los coceptos de holomorfía y aaliticidad. Cocluimos este tema co u detalle sobre poliomios e dos variables reales y co valores e el plao, los cuales se puede ver así: p(x; y) = Re p(x; y) + i Im p(x; y); 8x + iy 2 C: ues bie, de etre estos poliomios, llamaremos aalíticos a aquellos p para los que exista coe cietes complejos 0 ; 1 ; :::; (dode grad(p) = ) tales que p(x; y) = 0 + 1 (x + iy) + 2 (x + iy) 2 + ::: + (x + iy) ; 8x + iy 2 C: Si este es el caso, se acostumbra a escribir p : C! C; p(z) := X k z k ; 8z 2 C: k=0 Ejemplos. El poliomio (x; y)! x 2 + y 2 i2xy o es aalítico; pero sí que lo es (x; y)! x 2 y 2 i2xy: La suma, el producto y la composició de poliomios aalíticos es otro poliomio aalítico. roposició. ara u poliomio p : R 2! R 2 ; equivale: 7
i. p es aalítico ii. iii. iv. @p @y i @p @x @p @z 0 p es ua fució etera Demostració. Que ii. () iii. () iv. es trivial. Razoa tú mismo que i. =) ii., o iii., o iv. Veamos ii. =) i. Comezamos expresado p(x; y) = X q k (x; y) ; 8 (x; y) 2 R 2 ; k=0 dode los poliomios q k so k-homogéeos (k = 0; 1; 2; :::; ): q k (x; y) := kx c j;k x k j y j ; 8 (x; y) 2 R 2 ; j=0 y los coe cietes c j;k so costates complejas para 0 j k. or hipótesis ha de ser luego, efectuado cálculos @q k @y i@q k ; k = 0; 1; 2; :::; ; @x c 1;k x k 1 + 2c 2;k x k 2 y + ::: + kc k;k y k 1 = i kc 0;k x k 1 + (k 1) c 1;k x k 2 y + ::: ::: + c k 1;k y k 1 : or tato: c j;k = i j k j c 0;k para j 2 f1; 2; :::; g y 0 j k; y, e cosecuecia, se tiee que q k (x; y) = c 0;k (x + iy) k ; y, por tato, q k es aalítico. Como p es suma ita de ellos, se sigue lo deseado. Q.E.D. EJERCICIOS ROUESTOS. 1. Determíese el radio de covergecia de cada ua de las siguietes series 8
de potecias:! a. z ; b. z 2 ; 1 c. 2 z! ; d. [3 + ( 1) ] z ; e. ( + a ) z (a > 0); f. a 2 z (a 2 C); g. z ; h. z ; z i. ; j. (log ) 2 z ; 1 2 k. 2 z ; l. 2 z ; (!) 3 m. (3)! z ;. ñ. exp p e z! : 1 a 2 z 1+2+:::+ 1 (a 2 C); 2. Si la series de potecias a z y z b tiee radios de covergecia respectivos R y S, qué podemos decir de los radios de covergecia de las series a. X (a + b ) z y b. X (a b ) z? 3. Dada la serie de potecias a z ; de radio de covergecia R > 0, pruébese que las siguietes series tiee el mismo radio de covergecia R: a. a z ; b. 2 a z ; 1 1 c. d a z (d 2 N); d. a z 1 : 1 4. Calcúlese el radio de covergecia de la serie 1! a z ; sabiedo que la serie a z tiee radio de covergecia R 2 ]0; +1[ : 5. Supogamos que las cuatro partes e las que se descompoe ua serie, segú que los coe cietes de la misma perteezca a u mismo cuadrate cerrado del plao complejo, da series covergetes. ruebe que etoces la serie dada coverge absolutamete. 6. Exprese 1 z como suma de ua serie de potecias cetrada e a 6= 0, e idíquese dóde es válida la igualdad. 7. Determíese los valores del complejo z para los que hay covergecia absoluta de las series siguietes: (1+z) a. x z 1 2 ; b. z+1 ; z c. +z z ; d. 2 1 z : 1 1 9
8. Determie para qué valores hay covergecia e las series de potecias a. 1 ( + z) 1 ; b. 1 ( + z) 2 : 9. Obtégase desarrollos e series de potecias para las fucioes válidos para jzj < 1: z! (1 + z) 2 y z! (1 + z) 3 10. (Criterio de Dirichlet) Sea A u cojuto o vacío de úmeros complejos y (f ) y (g ) dos sucesioes de fucioes de A e el plao C. Supogamos que se veri ca las siguietes codicioes: (a) La sucesió (F ) de sumas parciales de la serie f, está uiformemete acotada e A: (b) La serie jg g +1 j coverge uiformemete e A. (c) La sucesió (g ) coverge uiformemete a cero e A. ruébese que, etoces, la serie f g coverge uiformemete e A. (Idicació: se tiee px Xp 1 f +k g +k = F g +1 + F +k (g +k k=1 k=1 g +k+1 ) + F +p g +p para cualesquiera aturales y p, co p 2:) 11. Sea (a ) ua sucesió de úmeros reales decreciete y covergete a cero. ruébese que la serie de potecias a z coverge uiformemete e el cojuto A := fz 2 C : jzj 1; jz 1j g cualquiera que sea 2 ]0; 1[ : Dedúzcase que dicha seire coverge e todo puto de la circuferecia salvo, evetualmete, e el puto z = 1, y que, por tato, su radio de covergecia es, al meos, 1. 12. Estúdiese el comportamieto e la circuferecia uidad de las siguietes series: a. 1 1 z ( 1) ; b. 1 z2 ( 1) ; c. 2 l z3 1 : 13. (Criterio de Abel) Sea A u cojuto o vacío de úmeros complejos y (f ) y (g ) dos sucesioes de fucioes de A e el plao C. Supogamos que se veri ca las siguietes codicioes: (a) La serie f coverge uiformemete e A: g +1 j está ui- (b) La sucesió de sumas parciales de la serie jg formemete acotada e A. 10
(c) La fució g 1 está acotada e A: ruébese que, etoces, la serie f g coverge uiformemete e A. (Idicació: se tiee px Xp 1 f +k g +k = (F F ) g +1 + (F +k F ) (g +k g +k+1 ) + k=1 + (F +p F ) g +p para cualesquiera aturales y p, co p 2; siedo F la suma de la serie f :) 14. Sea ua serie de potecias a z co radio de covergecia 1. Si dicha serie coverge e u puto z 0 de la circuferecia uidad T, prueba las siguietes a rmacioes: k=1 (a) La serie coverge uiformemete e el cojuto S := z 2 C : jzj < 1; jz 0 zj M [ fz 0 g ; 1 jzj cualquiera que sea M > 1: (b) ara 2 0; 2, el sector circular de ido por las codicioes jz 0 zj cos ; 1 arg z queda coteido e S co tal de que se tome M su cietemete grade. Dedúzcase que! k=0 a z 0 = lim r!1 k=0 z 0 a r z 0 15. Sea f ua fució aalítica e el disco uidad D, que la expresaremos así: : rueba que: f(z) = k=0 a z ; 8z 2 D: (a) f(x) 2 R; 8x 2 R () a 2 R; 8 2 N [ f0g (b) f es ua fució par () a = 0; 8 2 (2k 1) N 16. rueba que existe ua úica fució aalítica, u, tal que Cuál es su radio de covergecia? u 0 = u 1 y u(0) = 2: 11
17. Determia todas las fucioes aalíticas e el orige, u, tales que Cuál es su radio de covergecia? 18. Aálogo al aterior, ahora para u 00 (z) + 2 u(z) = 0 ( > 0): u 00 (z) 2 u(z) = 0 ( > 0): 19. (oliomios de Legedre) Calcula los coe ciete poliomiales 1 () ; :::; 4 () e el desarrollo e serie de potecias de f(z) = 1 p 1 2z + z 2 20. (roducto de Cauchy) = 1 + 1 () z + 2 () z 2 + ::: + () z + ::: a. Supogamos que las series a y b so absolutamete covergetes. Llamemos A := +1 =0 a y B := +1 =0 b. De amos, para cada k 2 N [ f0g, kx c k := a j b k j : rueba que la serie c coverge y que es +1 =0 c = AB: b. Supogamos que las series de potecias a z y b z tiee como respectivos radios de covergecia a R 1 > 0 y R 2 > 0. rueba que el producto de Cauchy c z es ua serie de potecias covergete para todo jzj < mifr 1 ; R 2 g: j=0 c. Ecuetra ua fórmula para las series de potecias z 12