UNIDAD Polinomios y fracciones algebraicas.. Operaciones básicas con polinomios. Realiza las siguientes sumas y restas: a) ( + + ) + ( 4 + + ) b) ( 4 + + ) + ( 4 + + ) c) ( 4 + + ) (5 + + ) d) ( + + 6) + ( 4 ) e) ( 4 +8 5) ( 4 + +4 ) f ) ( 4 + ) (0 5 ). Determina el polinomio q() que hay que sumar a p() = +5 + para obtener el polinomio +.. Calcula en todos los apartados P + Q R, P Q + R y P Q R y Q + R P. a) P = +4 7, Q = + +, R = + 6 + b) P =4 + 5 4 +6 +, Q = 4, R = 0 4 +5 + 4 c) P = 0a 5a +8a + 8, Q = 7a + a + a +, R = a 7a + a 5 d) P = 8v 4 5v +7v 9, Q = v 4 +6v 7v + 0v, R = 6v 4 4v + v +8 4. Calcula (P + Q) (R + S) yp (Q + R)+S para los polinomios: P =6 8 +7 Q =8 + 6 R =4 0 +8 S = 4 +5 5. Realiza las siguientes multiplicaciones: a) ( + )( ) b) ( + )( + ) c) ( 4 +5 + )( + ) d) ( 5 +7 )( + ) 6. Realiza las siguientes multiplicaciones: a) ( + )( + 4) b) (5 4 + )( + + ) c) ( 4 7 )( ) d) (7a a a + )(a a + ) 7. Dados P () = 6 + 8yQ() = 8. Calcula:
CAPÍTULO. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS a) P ()+Q() b) P () Q() c) P () Q() d) P () :Q() 8. Dados p() = 4 +, q() = + 4yr() =5 +4, calcula a) p()+q()+r() b) p() q()+r() c) p() q() r() 9. Si p() = +, q() = +yr() = 4, calcula: a) p() q()+r() b) p() q()+r() c) q() p() r() d) r() q() ( p()) 0. Dados los polinomios p() = +, q() = yr() = +, calcula: a) p() q()r() b) p() q() c) [p() q()][r() p()] d) q() r() e) (p()+q()) f ) q()r() + p(). Realiza las siguientes divisiones: a) ( + ) : ( + + ) b) (4 5 + 5 4 + 6 + 0 9 0) : ( + + 4) c) (6 5 4 + 0 + 4) : ( + ) d) ( 4 5 + ) : ( ) e) (6 5 4 8 + 5 8) :( + ) f ) 4 + + ) : ( + ) g) ( 7 6 + + ) : ( 4 ) h) ( + + ) : ( + ) i) ( 5 a 5 ):( a ) j ) ( 0 + 8 + 6 + 4 + + ) : ( ) k) ( 9 8 + 7 6 + 5 4 + + ) : ( ). Qué valor hay que dar a k para que el resto de la división de 8 + + k + 6 por sea?. Determina a y b con la condición de que al dividir + + a + b por + el resto sea 0... Identidades notables 4. Desarrolla las siguientes identidades notables: a) ( + ) f ) ( + ) k) ( 4 + ) o) ( + 4) b) ( + ) g) ( + ) l) (5 + ) p) ( + 7) c) ( + ) h) ( +) m) ( + 4 ) q) ( + 9) d) ( +6) i) ( + 6) n) ( 6 + ) r) (5 +7 5 ) e) ( + 4) j ) ( + ) ñ ) ( + 6) s) ( 5 +7) Pedro José Moreno García Curso 06/07
CAPÍTULO. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 5. Desarrolla las siguientes identidades notables: a) ( ) b) (4 ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) f ) ( ) g) (5 ) h) ( ) i) ( 6 7) j ) (4 7) k) ( 4 5 ) l) (6 7) m) (4 9) n) ( 6) ñ ) ( 5) o) ( 4 ) p) ( 6) q) ( ) r) (5 6) s) (4 7) 6. Desarrolla las siguientes identidades notables: a) ( ) ( ) b) ( + ) ( ) c) (4 ) (4 + ) d) (7 ) (7 + ) e) ( ) ( + ) f ) ( ) ( + ) g) ( + 6) ( 6) h) ( ) ( + ) i) ( + ) ( ) j ) ( + 4) ( 4) k) (4 + ) (4 ) l) ( + ) ( ) m) (4 ) (4 + ) n) ( + 6) ( 6) ñ ) ( + 7) ( 7) 7. Escribe en forma de identidad notable las siguientes epresiones (puede que algunas no sean identidad notable): a) 0 + 5 b) 5 c) 4 +4 d) e) 6 + 6 f ) + + g) 7 +9 h) 9 i) 4 8 +4 j ) 9 6 k) 4 +9 + 6 l) 9 5 m) 9 +4 n) 9 +4 ñ ) 9 + 8 +9.. El teorema del Resto... Valor numérico 8. Dado el polinomio p() =5 + + 4, calcula el valor numérico del mismo en los valores que se indican: a) = b) = c) = d) = e) = 0 07 f ) =/5 9. Calcula P (a) en los siguientes casos: a) P () =7 4 5 + 4 para a =, a = 5, a = 0. b) P () = 8 + para a =, a =, a = 8.... La regla de Ru ni 0. Divide + 0 entre indicando cociente y resto.. Divide 6 + 4 + 5 6 entre + indicando cociente y resto. Pedro José Moreno García Curso 06/07
4 CAPÍTULO. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS. Divide 4 +4 5 entre indicando cociente y resto.. Divide 6 + 5 4 5 6 + +4entre indicando cociente y resto. 4. Divide +4 entre 8 0 9 indicando cociente y resto. 5. Utiliza la regla de Ru ni para realizar las siguientes divisiones. a) ( 4 + ) : ( ) b) ( 4 + + + + ) : ( + ) c) ( +4 + ) : ( + ) d) ( +4 + 5) : ( + ) e) ( 5 + ) : ( ) f ) ( 4 + ) : ( + ) g) ( 4 + ) : ( + ) h) ( ) : ( + ) i) ( 4 + + + + ) : ( ) j ) +4 4 ):( ) k) ( + ) : ( ) 9 l) (5 4 +6 6) : ( ) m) ( 5 + 4 8 + 6 + 4) : ( + 4) n) (5 4 +6 + ) : ( ) ñ ) (6 5 4 +) :( + ) o) ( 4 5 +7 + ) : ( 4) p) (6 4 +4 5 9) : ( + )... Aplicaciones del teorema del Resto 6. Qué valor debe tener m para que al dividir 4 m +entre se obtenga 4 como resto? 7. Halla el valor de n para que el polinomio + n 7 sea divisible por +. 8. Halla el valor de k para que el polinomio 5 k + sea divisible por +. 9. Considera el polinomio p() = 6 + m. a) Para qué valor de m es p() divisible por? b) Para qué valor de m se obtiene de resto al dividirlo por? c) Para qué valores de m la ecuación 6 + m = 0 no tiene raíces reales. (Recuerda que b 4ac debe ser negativo) 0. En el polinomio p() = 4 m + severificap() = 0. Calcula el valor de m.. Al dividir el polinomio + b + c por se obtiene de resto. Averigua cuanto valen a y b sabiendo que el polinomio es divisible por.. El polinomio + b + c es divisible por +. Además, al dividirlo por y se obtiene el mismo resto. Cuánto valen los coeficientes b y c?. Se sabe que al dividir + a 0 entre la división es eacta. Calcula a. 4. Cuánto debe valer a para que al dividir + + a entre la división es eacta? 5. El polinomio 4 + 0 es divisible por a para dos valores enteros de a. Localízalos y da el cociente en ambos casos. (Recuerda que los valores de a deben ser divisores del término independiente) 6. Comprueba que el polinomio 4 + +7 + + 0 no es divisible por a para ningún valor entero de a. 7. Utiliza la regla de Ru ni para calcular p(), p( 5) y p(7) para los polinomios: Pedro José Moreno García Curso 06/07
CAPÍTULO. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 5 a) p() = 5 +6 b) 4 +7 8. Comprueba si los polinomios siguientes son divisibles por ó +. a) p() = + b) q() = +4 0 c) r() = 4 7 +5 9. Calcula a para que el resto de la división 5 4 4 + + a entre + sea 8. 40. El polinomio 4 4 es divisible por a para dos valores enteros de a. Búscalos e indica el cociente en ambos casos. 4. Prueba si el polinomio 4 + 6 + 6 es divisible por a para algún valor entero de a. 4. Calcula m para que el polinomio p() = m +5 sea divisible por +. 4. El resto de la siguiente división es igual a 8: ( 4 + k 7 + 6) : ( ). Cuánto vale k? 44. Halla el valor que debe tener m para que el polinomio a() =m +5 +9m sea divisible por +. 45. Si p() = 8 + 45, halla los valores p(8 0 75), p(0 0 5) y p( 7) ayudándote de la calculadora..4. Factorización de polinomios 46. Factoriza los siguientes polinomios: a) 4 + + b) 4 + 7 7 8 c) + 4 0 d) 5 0 0 + 80 e) 6 4 + f ) 8 + 6 g) 9 h) 4 i) + 4 j ) 4 + +6 k) 5 0 l) 5 4 4 +4 m) 4 n) 4 7 + + 8 ñ ) 4 + +6 o) + 5 +( =/ esunaraíz) p) 6 +8 q) + + 8 8 r) 6 + 6 s) 7 +5 t) + 5 u) 8 v) 4 5 w) + + 6 ) 49 6 y) 7 +8 + 6 z) 5 48 47. Factoriza los siguientes polinomios: Pedro José Moreno García Curso 06/07
6 CAPÍTULO. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS a) 4 + 60 b) + 5 + c) 9 4 6 + 6 +4 d) 4 +5 e) +8 + 5 f ) 7 80 g) +9 0 h) 9 5 i) 5 j ) 4 + 7 + 5 k) + 7 7 l) m) 4 4 + 6 n) 45 5 4 ñ ) 4 + + o) 6 6 p) 6 4 9 q) ( 5)( 6 + 9) r) ( 7)( + 40) s) + t) 5 + u) 9 + 5 7 v) 4 + 6 w) ) 6 y) 4 4 +4 4.5. Máimo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo de polinomios 48. Calcula el MCD y el mcm de los pares de polinomios siguientes (recuerda que si no hay factores comunes, el MCD es y el mcm el producto de los polinomios): a) p() = 7 y q() = 7 b) p() = 7 y q() = 7 c) p() = 4 0 y q() = d) p() = 9yq() = 6 +9 e) p() = 7 + y q() = 4 4 f ) p() =( ) ( + 5) y q() = ( )( + + ) g) p() =( ) ( + )( ) y q() = ( )( ) 49. Halla el MCD y el mcm de los siguientes pares de polinomios: a) y( + ) b) + y c) y d) +y 50. Busca dos polinomios de tercer grado que sean divisibles por 5y. Halla su MCD y su mcm. 5. Dado p() =( ), busca un polinomio de tercer grado q() que cumpla las dos condiciones siguientes: a) MCD(p, q) = b) mcm(p, q) =( ) ( + 5) Pedro José Moreno García Curso 06/07
CAPÍTULO. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 7.6. Fracciones algebraicas.6.. Simplificación de fracciones algebraicas 5. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas factorizando previamente los polinomios: a) 6 4 b) ( ) ( + ) ( ) ( + ) c) + + + + 5 +6 d) 4 + 4 e) 5 +6 f ) 4 + g) + 9 +6 h) 4 8 +7 ( y) i) y(y ) j ) +4 + k) a 5a 6 a a b l) b a 5. Determina el valor de h y k para que: + h + +5 + k 54. Simplifica, cuando sea posible, las fracciones: a) 6 +4 4 b) + + + c) 5 7 + 4 d) ( 4)( ) ( )( + ) e) ( + ) +( ) + f ) + +9 + 4 +5 = + m) n) b + b a + ab + ñ ) + 5 +6 o) 5 +4 7 + p) 4 5 g) 4 + 5 5 + h) 4 8 ( + ) i) 8 5 7 + 0 6 5 5 + 0 55. Simplifica la siguiente fracción, sabiendo que = es raíz de ambos términos: 8 +4 0 + 8 + 0 +6 9.6.. Sumas y restas de fracciones algebraicas 56. Realiza las siguientes operaciones con fracciones algebraicas simplificando el resultado cuando sea posible: a) b) c) d) +6 +5 ( )( ) + + + + + y y +4 + y y 4 + y + y +y + + ( ) + + + e) + + 9 + f ) + 5 +6 + + 6 + g) t + t t +t t + h) + ( + ) + 4 4 i) + Pedro José Moreno García Curso 06/07
8 CAPÍTULO. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS a j ) a + k) l) + y + y m) y n) ñ ) a a + + 5 y 4 + 4 o) + p) + + + 4 +5 + 5 4 + q) r) + + s) t) + + + u) + + + v) + +5 + 5 + 4 +6 4 + + + + + w) 9 + + + 57. Determina los valores a y b para que se verifique la igualdad: 4 ( + )( 4) = a + b 4 58. Determina los valores a, b y c para que se verifique la igualdad: 6 5 9 ( )( )( + ) = a + b + c +.6.. Multiplicaciones y divisiones de fracciones algebraicas 59. Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones factorizando previamente y simplifica los resultados cuando se pueda. a) + b) + c) : + d) : + + 5 0 e) + 9 + f ) : 4 g) + h) + y : y i) y 5 y j ) y k) l) a b c y y b a c c a b ( ) m) : 5 n) + : ñ ) y + : y o) y : y p) y y q) y r) : ay a y : y 9 a a b : 4 a b s) ab y :4a b t) ( + )( ) ( )( + ) u) 8 : v) (5 ) : + Pedro José Moreno García Curso 06/07
CAPÍTULO. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 9.6.4. Operaciones combinadas con y sin paréntesis de fracciones algebraicas 60. Si A = +, B = ( ),yc =, calcula: a) A B C b) A C B c) (A +B C) 6. Simplifica los siguientes castillos de fracciones algebraicas: a) + + + + + b) + + + c) ( + h) h 6. Realiza las siguientes operaciones combinadas con fracciones algebraicas simplificando el resultado cuando sea posible. Å a) 5+ Å Å Å + y b) + + y y y c) Ç å + Å d) : Å e) : + Å f ) : Ç + å g) ( ) : 6. Opera y simplifica: a b a +ab + 8b a) a b a +b a 9b b) b b + + b + b + b +b Å + y y y c) y + y y Å Å y y + y d) : + y + y y Å + y e) y + y h) i) Å ïå + Å : + : Å j ) Å : k) l) m) 4 Å Å + + : Å ò ( ) Si tienes problemas en los dos primeros apartados, haz b =. Posteriormente inténtalo con la letra fijándote en cómo lo has hecho al darle un valor numérico. Pedro José Moreno García Curso 06/07
0 CAPÍTULO. POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS Pedro José Moreno García Curso 06/07