EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA UIDIMESIOAL. Se realza un estudo en una cudad sobre la caacdad hotelera y se obtenen los sguentes resultados: Plazas L L ) [ + úmero de Hoteles n 0 0 0 0 0 0 60 60 00 0 a) Reresentar gráfcamente esta dstrbucón de frecuencas medante un hstograma. b) Cuál es la roorcón de hoteles que dsonen de entre y 60 lazas? c) Cuántos hoteles tenen trenta o menos lazas? d) cuál es la roorcón de hoteles que dsonen de entre y 0 lazas?. Qué hótess hace ara este últmo cálculo? Solucón: a) Fr. absoluta Fr. Marca Fr. absoluta Fr. relatva Densdad Intervalos Amltud relatva absoluta clase acumulada n n [ L L+ ) c n f x d F c 0 0 0 0,7 0,7, 0 0 0 0 0 7 0, 0,0, 0 60 0 0 0,7 70% 0,87,8 60 00 0 0 80 0 0, 0, 0 00 b) El 70% de los hoteles dsonen entre y 60 lazas: n + n 0 + 0 + f 0,7 (70%), o ben % 0, 7 0 0 f c) Los hoteles que tenen trenta o menos lazas: 7
d) Proorcón de hoteles que dsonen entre y 0 lazas: Entre y 0: 0 0 0 0 x 0 0 x x 7, hoteles Entre 0 y 0: 60 0 0 0 x 0 0 x x 6,67 hoteles El número de hoteles entre y 0 lazas hay 7, + 6,67 7,7 hoteles 7,7 La roorcón de hoteles con estas lazas: % hoteles. 00 9,% 0 En el cálculo realzado se suone que la dstrbucón de hoteles es unforme, es decr, se suone que hay el msmo número de hoteles con lazas, con lazas, etc. n En cada caso, este número es la densdad d de frecuenca corresondente. c. Se ha realzado un estudo entre 00 mujeres mayores de años, observándose el número de hjos de las msmas. El resultado ha sdo: úmero de hjos ( x ) úmero de mujeres n ) 0 0 0 7 6 a) Calcular el número medo de hjos, la medana y la moda. b) Calcular los cuartles. Exlcar su sgnfcado. c) Cuál es el número máxmo de hjos que tene el 70% de las mujeres que menos hjos tenen? d) Calcular la desvacón tíca y coefcente de varacón de Pearson. e) Analzar la forma de la dstrbucón calculando los coefcentes corresondentes. Solucón: a) ( x n f n F x n ( x x) ( x x) ( x x) n ( x x) n ( x x) n 0 0, 0, 0,, 70,8 6, 8, 70 0 0 0,0 0, 0,,77,8 7,0 6,8 8 0, 0,8 0 0, 0,,7 0,90 0,0 0 78 0,0 0,78 60 0,67 0, 8,98 6,0,0 89 0, 0,89,67,79 0,68, 8,6 7 96 0,07 0,96,67 7, 9,90,,7 6 00 0,0,67,7,88 97,7 7,6 00,0, 7,8 67,0
xn Meda artmétca: x, 00 7 Medana: M e (asa de la mtad 0%) M d ( n, el más grande) b) 00 º Cuartl : Q hjo (F asa del %) 00 º Cuartl 0 : Q Me hjos (F asa del 0%) 00. º Cuartl 7 : Q hjos (F asa del 7%) c) El número máxmo de hjos que tene el 70% de las mujeres que menos hjos tenen es el decl 7 Decl 7: hjos asa de 0,7) F d) Varanza: 7 [ x x] n, m s, hjos 00 Desvacón tíca: s,,9 hjos S,9 Coefcente de Varacón de Pearson: C.V 0,68 una dsersón del 68,% x, e) ASIMETRÍA DE LA DISTRIBUCIÓ: Coefcente de asmetría de Fsher: 7 (x x) n m,76 g 0,78 > 0 s s,9 Asmetría a la derecha o ostva Coefcente de asmetría de Bowley: A B Q + Q M Q + Q e +. 0 + Smétrca APUTAMIETO O CURTOSIS: Coefcente de curtoss: 7 (x x) n m 6,7 0,7 < 0 s s,9 g PLATICÚRTICA
. En la tabla se refleja la dstrbucón del morte de las facturas (en euros) or rearacón de carrocería de una muestra de 80 vehículos en un taller. Imorte úmero de facturas 0 60 0 60 80 0 80 0 0 0 0 0 Se de: a) Calcular el morte medo. El valor hallado es reresentatvo de la dstrbucón de facturas? b) Calcular el morte medano y el morte más frecuente. c) Cuál es el morte máxmo agado or las 60 rearacones más baratas?. d) Calcular el morte mínmo agado or el terco de vehículos con facturas de mayor morte. e) Grado de asmetría que reresenta la dstrbucón con la mayor recsón osble. Solucón: a) [ L L ) + x n x. n x. n f n F c n d c 0 60 0 0 00 9000 0 0, 0, 60 0,67 60 80 70 0 00 98000 0 0 0, 0,8 0 80 0 00 0 000 00000 70 0,0 0,88 0 0 0 80 0 800 000 80 0,,00 0 0,08 80 700 8000 80 El morte medo: a x.n 700 80 x 9,7 euros La reresentatvdad queda defnda or el CV (Coefcente de Varacón de Pearson): a s x.n 8000 80 087, a a 087, 9,7 98,7 s 98,7 9,98 euros REPRESETACIÓ GRÁFICA DE LA MEDIA 9,98 CV 0,6 (,6%) 9,7 El grado de dsersón es del,6%.
b) El morte medano se encuentra en el ntervalo [ 80 0) 80 80 0 0 0 Medana 0 : Me L + c 80 + 0 80 + 0 90 70 0 70 0 n F 0,88 La Medana asa del 0% del número de facturas. El morte más frecuente es la moda, d 80 or ser h la densdad más alta. [ 0) M h (d d ) M, que se encuentra en los ntervalos [ 80) 60 y + d L + c Moda aroxmada: Md L + c (d d ) + (d d + ) d + d + Intervalo [ 80) Intervalo [ 0) ( 0,67) 60 : M d 60 + 0 80 euros ( 0,67) + ( ) ( ) 80 : M d 80 + 0 80 euros ( ) + ( 0,08) OTA. Advértase que calculando la Moda aroxmada (cuando exsten ntervalos de dstntas amltudes), nos encontramos ante un caso bmodal. Intervalo [ 80) Intervalo [ 0) 60 : Md 60 + 0 77, euros 0,67+ 0,08 80 : Md 80 + 0 8,07 euros + 0,08 Como los ntervalos modales son contguos odría hacerse tambén como un únco ntervalo modal de 60 0. [ ) c) Imorte máxmo agado or las 60 rearacones más baratas: Hacendo 00 artes, la roorcón de las 60 facturas resecto a la 80 totales: d 80 60. 00 x 00.60 x 7 Hay que calcular el tercer cuartl (o el ercentl 7) 80 /.80 60 0 60 : Q L + c 80 + 0 0 euros 70 0 n [ Q P 7 ] d) El morte mínmo agado or el terco de vehículos con facturas de mayor morte: 80 00 00 x 67 80. / x
67. 67.80 00 0 : 67 67/00 0 0 P67 L + c 80 + 0 0 euros 70 0 n e) Para calcular el grado de asmetría y curtoss que resenta la dstrbucón: x n x n ( x x) ( x x). n ( x x). n ( x x). n 0 0 00 6,7 060,6 9089,8 66600,0 70 0 00,7 8, 6799,69 660,08 00 0 000 6, 6, 976,6 60,6 80 0 800 86, 790,6 669, 9608,79 80 700 787 6787,0 79869,06 x.n 700 a x 9,7 80 s (x x). n 787 98,7 80 s 98,7 9,98 m (x x). n (x x). n 6787,0 79869,06 888,70 m 9066, 80 80 Coefcente de asmetría de Fsher: (equeña asmetría haca la derecha) m 888,70 0,09 0 Asmetría ostva s 9,98 g Coefcente de asmetría de Bowley: A Q + Q Me 0 + 70.90 0 Smétrca Q + Q 0 + 70 F / 0 0 Q L + c 60 + 0 70 0 0 n / 60 0 Q L + c 80 + 0 0 70 0 n m 9066, Coefcente de curtoss o auntamento: g 0,7 > 0 s 9,98 La dstrbucón es LEPTOCÚRTICA (mayor auntamento que la dstrbucón normal). En consecuenca, la dstrbucón del morte de facturas resenta una equeña asmetría a la derecha (ostva) con un mayor auntamento que la dstrbucón normal (Letocúrtca). 6
. Una entdad bancara dsone de 0 sucursales en el terrtoro naconal y ha observado el número de emleados que hay en cada una de ellas ara un estudo osteror. Las observacones obtendas han sdo: 0 9 6 9 0 0 6 7 7 6 6 6 8 9 8 0 a) Calcular la dstrbucón de frecuencas de la varable obtenendo las frecuencas absolutas, relatvas y sus corresondentes acumuladas. b) Qué roorcón de sucursales tene más de emleados? c) Dagrama de barras y dagrama acumulatvo de frecuencas corresondentes. d) Agruar en ntervalos de amltud los valores de la varable, calcular su dstrbucón de frecuencas y reresentar el hstograma y su olígono de frecuencas acumuladas. e) Calcular la medana y el coefcente de asmetría de Fsher en datos agruados en ntervalos de amltud. Solucón: a) emleados sucursales Fr. absoluta nº emleados Fr. absoluta acumulada emleado/sucursal Fr. relatva n f Fr. relatva acumulada x n F 9 0,0 0,0 0 6 0,08 0, 0 6 0,0 0, 0 6 0,0 0, 0,0 0,6 0,06 0,68 6 0 0, 0,8 6 0, 0,9 7 7 0,0 0,9 8 9 0,0 0,98 9 0 0,0 0 b) Las sucursales con más de emleados: + n + n + n + + + 0 0 % sucursales con más de emleados.00 0% 0 n8 9 0 c) 7
d) Los datos agruados en ntervalos de amltud : Intervalos emleados sucursales F. absoluta [ L L ) + x n nº emleados F. abs acumulada emleado/sucursal Fr. relatva n f Fr. relatva acumulada F amltud c densdad (altura) n d c 8 9, 6 6 0, 0,, 0,0 0,6 8, 7, 0, 0,90,67 7 0 8, 0 0,0,67 0 e) Para calcular la medana y el coefcente de asmetría de Fsher: a [ L L ) + x n c x n ( x x). n x Me. n x x. n ( x x). n 8 9, 6 6 7 99,88,68,8 07,0,, 9,6 9, 7,9 7, 7,6,08 6,88 99,09 7 0 8, 0 9,,0 6,,6 9,8 0 679 0,68 99,6 0,96,7 x. n (x x). n 679 x 0,68,8 s 6,0 s 6,0 7, 0 0 77 8
/ 6 Me L + c +,8 6 n m El coefcente de asmetría de Fsher: g s m (x x). n,7 0, m, 0,0 0 La dstrbucón resenta una lgera asmetría a la derecha s 7,77 g >. Se ha realzado una encuesta en 0 hogares en la que se regunta el número de ndvduos que convven en el domclo habtualmente. Las resuestas obtendas son las sguentes: 6 6 6 8 7 a) Calcular la dstrbucón de frecuencas de la varable obtenendo las frecuencas absolutas, relatvas y sus corresondentes acumuladas. b) Qué roorcón de hogares están comuestos or tres o menos ersonas? Qué roorcón de ndvduos vven en hogares de tres o menos membros? c) Dagrama de frecuencas absolutas y dagrama de frecuencas acumuladas. d) Agruar en ntervalos de amltud los valores de la varable, calcular la dstrbucón de frecuencas y reresentar con los corresondentes gráfcos las frecuencas absolutas y acumuladas. Solucón: a) ersonas hogares Fr. absoluta ersona/hogar hogares Fr. absoluta acumulada Fr. relatva Fr. relatva acumulada x n x. n n f F 0,0 0,0 6 9 0,0 0,0 8 7 0,7 0,7 0 0,7 0,7 0 6 0, 0,87 6 8 0,07 0,9 7 7 9 0,0 0,97 8 8 0 0,0 0 06 b) Los hogares que están comuestos or tres o menos ersonas: + n + n + 6 + 8 7 7 % hogares con tres o menos ersonas.00 6,67% 0 n 9
Las ersonas que vven en hogares de tres o menos membros: x.n x.n + x.n + x.n + + 9 x.n 9 % ersonas que vven en hogares de tres o menos membros: ersonas 6,8% 8 06 x.n c) d) Los datos agruados en ntervalos de amltud : Intervalos [ L L ) + ersonas x hogares F. absoluta n ersonas F. abs acumulada ersona/hogar Fr. relatva n f Fr. relatva acumulada F amltud c densdad (altura) n d c 0 9 9 0,0 0,0, 0, 0,7 6, 6 6 8 0,0 0,9 6 8 7 0 0,07 0 8 0
6. En la tabla se muestran las rentas (en mles de euros) y el número de ersonas que las ercben: Se quere obtener: Rentas (mles euros) L L ) [ + n 7 7 8 7 7 7 a) El olígono de frecuencas absolutas y el hstograma. b) Medana, tercer Cuartl, Moda y Meda Artmétca. c) Coefcentes de Asmetría de Fsher. d) Coefcente de Curtoss. e) Concentracón de la renta (curva de Lorenz, Índce de Gn). Solucón: a) El olígono de frecuencas absolutas y el hstograma. La tabla de frecuencas absolutas: Rentas L L ) [ + x n Amltud c n d c 7 7 0 8 0 6 d 7 6 d 7 0 66 6 d + 7 78 /9 En la construccón del hstograma hemos de colocar encma de cada ntervalo un rectángulo cuyo área sea gual (en número) a la frecuenca absoluta de dcho ntervalo, rocedendo a calcular la densdad (altura) d de cada rectángulo n d, donde c es la longtud del c ntervalo b) Medana, tercer Cuartl, Moda y Meda Artmétca. 78 Para calcular la Medana, 9. La observacón 9 se encuentra en el ntervalo [ 7)
78 0 9 0 Medana: Me L + c + +, 0 0.78 Tercer Cuartl: 8, Q n La observacón 8, se encuentra en el ntervalo [7 ). L + n / 8, c 7 + 6 66 8, La Moda es el ntervalo de máxma frecuenca. Por tanto, el ntervalo modal es [ 7). La oscón exacta de la moda se calcula establecendo una roorconaldad entre las bases y las densdades (alturas). En nuestro caso, los ntervalos tenen dstnta amltud, M d L + (d d (d d ) + (d ) d + c ) Una fórmula aroxmada de la Moda cuando exsten dstntas amltudes: M d L + d d + + d + c (6 ) M d +, Fórmula aroxmada: M d +, 6 (6 ) + (6 ) + Meda Artmétca Rentas L L ) [ + x n x. n 7 60 7 0 8 80 7 60 7 0 0 7 00 n 78 x.n 0 x x.n 0,6(mles de euros) 78
c) Coefcente de Asmetría de Fsher. El coefcente de asmetría de Fsher: Sabemos que, M d, 8 x, 6 g m s AF > 0 AF 0 AF < 0 Asmetría a la derecha o ostva Smetría Asmetría a la zquerda o negatva Rentas L L ) [ + x n x. n x x ( x x) n ( x x) n 7 60 9,6 09,8 0666,676 7 0 8 80,6 8,68 769, 7 60 0,8,7,69 7 0 0,8 7,979 87,86 7 00 0,8 9,79 0,06 n 78 x.n 0 8,6 879,6 Varanza, desvacón tíca y tercer momento resecto a la meda: (x x) n 8,6 m s 0,7 78 s 0,7 6, (x x) n 879,6 El tercer momento resecto a la meda: m 6, 9 78 m 6,9 El coefcente de asmetría de Fsher: g 0, > 0, con lo que la dstrbucón s 6, resenta una asmetría a la derecha o ostva. d) Coefcente de Curtoss. La curtoss de una dstrbucón de frecuencas es el auntamento que resenta el olígono de m frecuencas alrededor de la meda. El coefcente de curtoss g s m k (x x) n s y m k (x x) n g > 0 Más auntamento que la normal: Letocúrtca g 0 Igual auntamento que la normal: Mesocúrtca g < 0 Menor auntamento que la normal: Platcúrtca En la dstrbucón, conocemos: x, 6 s 6,
Rentas L L ) [ + x n x. n x x) ( ( x x) n ( x x) n 7 60 9,8 09,8 060,06 7 0 8 80,98 8,68 86,09 7 60 0,8,7 0,7 7 0 0 8,998 7,979 0090,77 7 00 07,88 9,79 97,9 n 78 x.n 0 8,6 6090,6 (x x) n 6090,6 Momento de cuarto orden resecto a la meda: m 8, 78 m 8, El coefcente de curtoss de Fsher: g 0,977 < 0, con lo cual, s 6, la dstrbucón resenta menor auntamento que la normal: Platcúrtca d) Concentracón de la renta (curva de Lorenz, Índce de Gn). Realzamos la sguente tabla: Rentas L L ) [ + x n ( ) 00 % x. n k u x n u %q 00 u %( q ) acumulada k 7,8 60 60,6 0, 7 0 8 0 8,6 80 0,0 7, 7 69, 60 600,6 6,60 7 0 66 8,6 0 80 7,68 0,9 7 78 00 00 0 00 0 78 07, 69 La curva de concentracón o curva de Lorenz 0 q, 6 ( q ),06 La dea de medr el área da como resultado el llamado Índce de concentracón de Gn, que se defne como el área comrendda entre la dagonal y la curva de Lorenz.
k k k k I 0 IG G ( q ) ( q ) q,06 Índce de Gn: I G,6 0, 6, o ben: I 0, 6 G 07,69 k 07,69 Luego la renta, aunque no equdstrbuda, no está muy concentrada. q k 7. En la tabla adjunta se exresa la dstrbucón de rentas de determnada regón (exresada en 0.000 euros). Qué orcentaje de ndvduos ercbe el 0% de la renta?. veles renta 0,,,,,,,,,, úmero ndvduos 8 9 67 Solucón: vel Renta x Indvduos n x n u x n acumulada u.00 %q. 00 u % 0,, 8 8 8 8 8,87 7,9,, 08 870 67,87,6 x 0,, 9 8 0 80,80 6,,, 88 99 9, 89,70,, 67 00 00 00 n 00 x n En la tabla se observa que el 67,86% de los ndvduos ercbe el,6% de la renta, y el 80,8% de los ndvduos ercbe el 6, % de la renta. En consecuenca, el 0% de la renta estará dstrbuda entre un conjunto de ndvduos stuado entre el 67,86 y el 80,8%. Bajo la hótess de lnealdad, se establece la relacón de orcentajes: k 80,80 6, 67,87,6 x 67,87 0,6,9 7,89 x 67,87, x,.,9 67,87 + 7,7% 7,89 ndvduos El 0 % de la renta se rearte entre el 7,7 % de los ndvduos.
8. En la tabla adjunta refleja la dstrbucón de salaros de una emresa Renta 00 000 000 600 600 00 00 000 000 000 000 0000 Indvduos 00 0 90 Hallar el Índce de Gn y la curva de Lorenz Solucón: Renta L L ) [ + x n x n u x n u.00 %q. 00 u % acumulada k 00 000 70 00 00 7000 7000 7,78,0 000 600 00 0 0 6000 000 6, 0,0 600 00 000 90 0 80000 000 86, 7, 00 000 700 900 000 9,8 87,76 000 000 000 7 8000 00 99,7 96,09 000 0000 700 60 00 76000 00 00 6 n 60 6 x n 76000 q 08, El índce de Gn: I G 0, 67 70 70 q 08, La concentracón es equeña, udendo conclur que la dstrbucón de salaros es equlbrada. 6
La curva de concentracón o curva de Lorenz no se encuentra muy alejada de la dagonal rncal, ndcando que la dstrbucón de salaros uede consderarse equlbrada. 9. Los salaros de los emleados de la cadena de roduccón de una emresa se dstrbuyen según la tabla adjunta: Salaros 0 0 0 0 0 0 0 00 00 00 º emleados 000 6000 000 800 00 Qué orcentaje de emleados que ercbe el 0% de los salaros? Es equlbrada la dstrbucón de salaros? Solucón: Salaros L L ) [ + x n x n u x n u.00 %q. 00 u % acumulada k 0 0 000 000 80000 80000 60 6,6 x 0 0 0 0 6000 8000 80000 60000 90 7,7 0 0 000 9000 000 0000 9 8,8 0 00 7 800 9800 60000 6000 99 9,9 00 00 0 00 0000 0000 9000 00 00 n 0000 x n 9000 q 8,8 En la tabla se observa que el 60% de los emleados ercbe el 6,6% de los salaros y que el 90% de los emleados ercbe el 7,7% de los salaros. Para estmar el orcentaje (x) de emleados que ercbe el 0% de los salaros se necesta realzar una nterolacón lneal: x 60 0 6,6 90 7,7 60 6,6 x 60,6 90 60 6,7 x 7,% 7
q 8,8 I G 0,7 La concentracón es equeña, udendo conclur que la dstrbucón de salaros es equlbrada. 0. Una emresa tenía a fnales del asado año ml sescentos cncuenta acconstas dstrbudos de la sguente forma: Se de: úmero de accones úmero de acconstas 0 0 00 0 60 80 60 00 80 00 00 0 00 000 0 a) Hallar el número medo de accones or acconsta y su desvacón tíca. b) Cuál es el número de accones que como máxmo osee la mtad del acconarado? c) Con base estadístca, comente el grado de concentracón de las accones. d) Qué orcentaje del total de las accones oseen los acconstas mayortaros?, sabendo que los acconstas mayortaros son aquello que oseen más de 00 accones. e) Qué orcentaje de los acconstas mnortaros osee el 0% del total de accones? Solucón: a) Sea X "número de accones" [ ) L L + c x n 0 0 0 0 00 000 0000 00 8 0 60 0 0 80 00 608000 0 60 00 0 80 80 00 000 90 00 00 00 00 0 000 00000 60 00 000 00 70 0 700 6000 60 60 x n xn 600 8 x n x n 988000
xn 600 a x 7,8 60 número medo de accones or acconsta a x n 988000 60 76, s a a 76, 7,8 8,09 s 070,86 76,9 b) El número de accones que como máxmo osee la mtad del acconarado es la Medana M L + n 60 0 8.0 c 0 + 0 00 0 00 e 6,09 número de accones c) El grado de concentracón vene exresado or el Índce de Gn [ L L+ ) x n % 00 x n x.n % u xn x.n acumulada 0 0 0 00 00 6, 000 0,7 000 6, 0 60 0 80 0 8, 00 0, 00 0,87 60 00 80 80 90 96,6 00 0, 9900 6,9 00 00 00 0 60 99,9 000 0, 900 87,98 00 000 70 0 60 00 700 0, 600 00 60,6 600 09, q 09, Índce de Gn: I G 0, 909 (9, 09 %) grado de concentracón,6 Cuanto más róxmo a cero se encuentre el Índce de Gn está róxmo a cero más equtatvo será el rearto del número de accones. %q u u k.00 % d) Los acconstas mayortaros (más de 00 accones) oseen el % del total de las accones: [ 00 87,98] % % 9
e) El orcentaje de acconstas mnortaros que osee el 0% del total de las accones: [ L L+ ) x n x n u x n u.00 %q. 00 u % acumulada k 0 0 0 00 00 000 000 6, 6, x 0 0 60 0 80 0 00 00 8, 0,87 60 00 80 80 90 00 9900 96,6 6,9 00 00 00 0 60 000 900 99,9 87,98 00 000 70 0 60 700 600 00 00 Basta realzar una nterolacón: x 6, 8, 6, 0 6, 0,87 6, x 6,,9,,6 x 6,,9.,,6 x 6,76% La curva de Lorenz resenta coherenca con el índce de Gn calculado, cuanto más róxma esté la curva a la dagonal menor será la concentracón, y en consecuenca, más equtatvo será el rearto del número de accones.. El testamento de un hombre de negocos lega 00 euros a su famla rearténdose de la forma sguente: a su cónyuge le asgna el doble que a su hjo rmogénto y a éste el doble que a cada uno de sus otros dos hermanos. a) Consderando que cada heredero ha de alcar un muesto de sucesones roorconal del 0%. Cuáles serán los índces de Gn en los dos casos: antes de agar los muestos y desués de haberlo Hecho? Cuál de las dstrbucones es más equtatva? b) S a cada heredero se le alcase un muesto fjo de euros, cómo se vería afectado el Índce de Gn orgnal? Solucón: a) Cónyuge: x Prmogénto: x Cada uno de los hjos(): x x 00 8, Ordenando los datos en una tabla de menor a mayor, se tene: 0
ATES DE PAGAR IMPUESTOS x n x n u x n u.00 %q. 00 u % acumulada k, 6 6 0 6 6 0 7 0 0 0 00 00 00 00 7 I q 7 G 0,0 DESPUES DEL PAGO DE LOS IMPUESTOS (0% CADA UO): x n x n u xn %.00 acumulada u %q. 00 uk 0 00 00 0 00 00 000 7 0 000 000 000 00 00 000 7 I q 7 G 0,0 Las dos dstrbucones son gualmente equtatvas, lo que las dferenca úncamente es un cambo de escala que n afecta al nvel de concentracón, con lo que tenen el msmo Índce de Gn. b) DESPUES DE PAGAR DE LOS IMPUESTOS ( EUROS CADA UO): x n x n u xn %.00 acumulada u %q. 00 uk 87, 7 7 0 8,7 00 00 87 7,7 000 00 00 000 6, q 6, I G 0,0 La dstrbucón es más concentrada, menos equtatva, el cambo de orgen afecta al Índce de Gn. Qutando la msma cantdad a todos, reresenta una roorcón mayor ara los que menos recben.
. Oeradores de una cadena del sector turístco or sus ventas en lazas hoteleras obtenen los sguentes ncentvos mensuales en euros: Incentvos (x ) 00 00 00 000 00 º oeradores (n ) 6 a) Estudar la concentracón de ncentvos b) La cadena turístca como olítca comercal estuda subr a todos los oeradores los ncentvos: con un ncremento orcentual del 0%, o ben con un aumento de 00 euros or oerador. Cuál de los dos estudos sería más equtatvo?. c) Cuál es la concentracón de ncentvos s el número de oeradores hubera sdo el doble? Solucón: a) La concentracón de ncentvos se analza medante el Índce de Gn, que no varía medante cambos de escala (subda orcentual del 0% a los oeradores) mentras que queda modfcado con cambos de orgen (subda lneal de 00 euros a cada oerador). b) x n x n u x n u.00 %q. 00 u % acumulada k 00 00 00 6,67,09 00 6 00 700 6,67 0,9 00 6000 7700 76,67 7, 000 7 000 700 90 7, 00 0 00 600 00 00 600 0, I q, 0,9 (concentracón de ncentvos del 9,%) 0 G SUBIDA DE ICETIVOS DEL 0% Cambo de escala en la renta n x n u x n %.00 acumulada u %q u. 00 k 0 0 0 6,67,09 0 6 0 870 6,67 0,9 0 6600 870 76,67 7, 00 7 00 870 90 7, 60 0 90 780 00 00 780 0, x,. x I q, 0,9 (concentracón de ncentvos del 9,%) 0 G
Advértase que: u u., q q u u., k k Con una subda del 0% a cada oerador, la equdstrbucón no varía. El cambo de escala en la renta no afecta al Índce de Gn, roedad conocda como Prnco de la Renta relatva. Prnco de la renta relatva. El índce debe mantenerse nvarante frente a las varacones roorconales en todas las rentas. SUBIDA LIEAL DE ICETIVOS DE 00 EUROS Cambo de orgen en la renta x n u x n %.00 acumulada u %q u. 00 k 00 000 000 6,67, 00 6 800 800 6,67,8 600 700 0000 76,67,08 00 7 00 00 90 7 600 0 800 900 00 00 900 0 6,88 00 x n x + I q 6,88 0, (concentracón de ncentvos del,%) 0 G Con una subda lneal de 00 euros a cada oerador, la equdstrbucón es más equtatva. El cambo de orgen en la renta afecta al Índce de Gn, roedad conocda como Prnco de Dalton. En este sentdo, s la subda lneal a cada oerador hubera sdo de 00 euros se obtendría una equdstrbucón todavía más equtatva. SUBIDA LIEAL DE ICETIVOS DE 00 EUROS Cambo de orgen en la renta x n u x n %.00 acumulada u %q u. 00 k 00 00 00 6,67 6,76 00 6 00 900 6,67 7,7 700 800 00 76,67, 00 7 800 700 90 77,0 700 0 00 00 00 00 0 00 0 6,76 00 x n x + I q 6,76 0,87 (concentracón de ncentvos del 8,7%) 0 G
Con una subda lneal de 00 euros a cada oerador, la equdstrbucón resulta más equtatva. Por el contraro, s la cadena del sector turístco hubera decddo ncentvar menos a sus oeradores, con una rebaja de 0 euros a cada oerador, se tendría una equdstrbucón menos equtatva. REBAJA LIEAL DE ICETIVOS DE 0 EUROS Cambo de orgen en la renta x x 0 n n u x n %.00 acumulada u %q u. 00 k 0 0 0 6,67,70 0 6 900 0 6,67 7,8 0 00 60 76,67,6 90 7 800 00 90,00 70, 0 0 0 700 00 00 0 700 0,9 I q,9 0, (concentracón de ncentvos del,%) 0 G Con una rebaja lneal de 0 euros a cada oerador, la equdstrbucón resulta menos equtatva. Prnco de Dalton. Toda transferenca de renta de un ndvduo a otro más rco ha de aumentar el valor de la desgualdad, y recírocamente toda transferenca de renta de un ndvduo a otro más obre ha de reducr el índce, semre que la ordenacón relatva de los ndvduos se mantenga. c) La concentracón de ncentvos s el número de oeradores hubera sdo el doble: SUBIDA LIEAL DE LA POBLACIÓ Cambo de escala en la oblacón x n n x n u x n acumulada u %.00 %q. 00 u 00 0 0 000 000 6,67,09 00 00 00 6,67 0,9 00 6 000 00 76,67 7, 000 8 8000 00 90 7, 00 6 60 9000 00 00 00 60 00 0, q, I G 0,9 (concentracón de ncentvos del 9,%) 0 El cambo de escala en la oblacón no afecta al Índce de Gn, roedad conocda como Prnco de la oblacón. k
Prnco de la oblacón. S se multlca or un msmo escalar el tamaño de todos los conjuntos de ndvduos con la msma renta, el valor del índce no debe varar. Es decr, el tamaño de la oblacón no morta, lo que nteresa son las roorcones de ndvduos de la oblacón que ercben dferentes nveles de renta. Señalar que en todo análss de concentracón debe merar el Prnco del anonmato Prnco de anonmato. S se roduce una modfcacón en una dstrbucón de renta consstente en que dos ndvduos ntercamben sus rentas, el valor del índce no debe varar.. La tabla refleja los ngresos (mllones de euros) or quntles del tursmo en Esaña Quntles Tursmo 00 Tursmo 0 Prmero, Segundo,9 6, Tercero 8,9,6 Cuarto 6,8 0, Qunto 67, 9,8 Calcular los índces de Gn y la curva de Lorenz. Solucón: I I u IGRESO TURISMO 00 IGRESO TURISMO 0 u u u acumulada % %q. 00 u u acumulada % %q. 00 u u k,, 0,0 0,9 7 0 7 6, 8, 0 8, 8,9,9 60,9,6 9,9 60 9,9 6,8,7 80,7 0, 0, 80 0, 67, 00 00 00 9,8 00 00 00 00 7,7 00 70, q 7,7 (00) 0,7 (concentracón de ngresos en 00 es del 7,%) 00 G q 70, (0) 0,68 (concentracón de ngresos en 0 es del 6,8%) 00 G La obtencón de ngresos or tursmo es más equtatva en 0, s ben resentan un alto grado de desgualdad. k
. La Conserjería de Tursmo concedó sesenta ayudas ara ayuda de fachadas de los hoteles hstórcos de certa Comundad. El crtero de rearto se basó en el grado de deteroro de los msmos, resultando que el 0% de las subvencones otorgadas fueron de 00.000 euros, el % de 0.000 euros, el 0% de 90.000 euros, el % de 60.000 euros, y el resto de.000 euros. Analzar el grado de concentracón en el rearto de las ayudas y reresentarlo gráfcamente. Solucón: x n x n u x n u.00 %q. 00 u % acumulada k 000 0 0 0000 0000 6,67,60 60000 00000 0000,8 90000 0 900000 0000,67,8 0000 0 800000 0000 66,67,06 00000 0 60 6000000 90000 00 00 60 90000 0 9,09 I q 9,09 0,606 (la concentracón de ayudas es del 60,6%) 0 G 6
. En la tabla adjunta se muestran los datos relatvos al número de contratos regstrados en las ofcnas del IEM en el mes de marzo de 006 en las tres comundades autónomas con mayor volumen de contratacón en dcho mes. Andalucía Almería Cádz Córdoba Huelva Granada Jaén Málaga Sevlla 70 68 66 987 99 779 6779 667 87897 Valencana Alcante Castellón Valenca 96 0776 8 8606 Cataluña Barcelona Grona Lleda Tarragona 6860 896 7 00 9 Con el coefcente de Thel, determnar la desgualdad entre Comundades y la desgualdad motvada entre las rovncas dentro de cada Comundad. Solucón: Provncas Contratos x n x. n k x x.n Ln.n. Ln Almería 68 68 0,00,800 0, Granada 779 779 0,089,08 0,7 Málaga 667 667 0,08,9 0,08 Cádz 66 66 0,060,807 0,69 Huelva 99 99 0,008,980 0, Sevlla 87897 87897 0,9,78 0,7 Córdoba 987 987 0,0,96 0,8 Jaén 6779 6779 0,07,6 0,66 Barcelona 896 896 0,0,06 0,6 Tarragona 9 9 0,08,79 0,097 Lleda 00 00 0,0,60 0,067 Grona 7 7 0,07,96 0,0986 Valenca 8606 8606 0,,99 0,6 Castellón 8 8 0,0,78 0,088 Alcante 0776 0776 0,068,7 0,790 7797,09 H ( ).n.ln ( ),09 Ln (),708 Índce de Thel : T Ln H ( ),708,09 0, 67 T 0,67 Índce relatvo de Thel: T 0, 0986 (desgualdad del 9,86% or rovncas) Ln,708 Se realza un análss desagregado con los datos de las tres Comundades: 7
T T Andalucía Contratos x. ) ( n g G x x.n 8 x x.n Ln.n. Ln Almería 68 0,00 0,070,60 0,878 Granada 779 0,089 0,09,8 0,8 Málaga 667 0,08 0,70,760 0,08 Cádz 66 0,060 0,9,07 0,609 Huelva 99 0,008 0,09, 0,78 Sevlla 87897 0,9 0,7,78 0, Córdoba 987 0,0 0,,766 0,69 Jaén 6779 0,07 0,07,66 0,900 70 0,796,000 And g Ln. Ln And 8 g + TAnd Ln And +. Ln Ln8,000 0,079 8 TAnd 0,079 0,080 (desgualdad relatva del,80%) Ln 8,079 And Cataluña Contratos x. ) ( n g G x x.n x x.n Ln.n. Ln Barcelona 896 0,0 0,766 0,66 0,0 Tarragona 9 0,08 0,099,077 0,96 Lleda 00 0,0 0,086,08 0,70 Grona 7 0,07 0,088,60 0,07 6860 0,98 0,79 T T Cat g Ln. Ln Cat g + TCat Ln Cat +. Ln Ln 0,79 0,99 TCat 0,99 0,9 (desgualdad relatva del,9%) Ln,86 Cat Valencana Contratos x. ) ( n g G x x.n x x.n Ln.n. Ln Valenca 8606 0, 0, 0,88 0,66 Castellón 8 0,0 0,70,60 0,0 Alcante 0776 0,068 0,77,8 0,66 96 0,007 0,9 8
T T Val g Ln. Ln Val g + TVal Ln Val +. Ln Ln 0,9 0, TVal 0, 0, (desgualdad relatva del,%) Ln,0987 Val Desgualdad ITERGRUPOS (entre gruos): k g Ln + g. Ln Ln + g g g. Ln 0,796 0,98 Ln + (0,796). Ln + (0,98). Ln + 8 g g g Desgualdad ITRAGRUPOS (dentro de los gruos): k g 0,007 + ( 0,007). Ln,7080,97 0,8079 0,8 0,0077 g.tg g.tg (0,796).(0,079) + (0,98).(0,99) + (0,007).(0,) 0,9 g De este modo, el coefcente de Thel: g T Ln + g. Ln + g.tg 0,0077+ 0,9 0,67 g g g T 0,0077 0,9 En térmnos relatvos: + 0,088 + 0,97 0,67 0,67 0,67 De la desgualdad exstente en las Comundades autónomas, el,88% es consecuenca a la desgualdad entre las Comundades, mentras que el 97,% es motvada or la desgualdad entre las dstntas rovncas dentro de cada Comundad. A la hora de tomar meddas ara dsmnur la desgualdad, se actuaría en esta dreccón, tratando de lmar las dferencas entre las dstntas rovncas or Comundad, sendo Cataluña la Comundad que mayor desgualdad resenta (,9%). La desgualdad de contratos regstrados or rovncas de las tres Comundades esañolas es del 9,86%. 9
6. En la tabla adjunta se resenta nformacón de las Comundades Autónomas sobre su Valor Añaddo Bruto (VAB) y la oblacón ara el año 00. Estudar la asocacón entre el VAB y la Poblacón, utlzando el coefcente de correlacón de Searman. Solucón: Comundades Autónomas VAB (mllones euros) x Poblacón y Andalucía 8,79 7886 Aragón 99,9 907 Asturas 9,00 6998 Baleares,66 7996 Canaras 606,0 67709 Cantabra 87, 6 Castlla León 9,996 6 Castlla La Mancha 6, 00 Cataluña 86,00 7787 Comundad Valencana 809,7 08 Extremadura 0,9 98 Galca,7 0077 Madrd 79,9 768 Murca 9,997 77 avarra 89,97 69670 País Vasco 8,7 60 Roja 0,86 067 x y R(x ) R(y ) d R(x ) R(y ) C. Autónomas d Andalucía 8,79 7886 7 Aragón 99,9 907 8 8 0 0 Asturas 9,00 6998 7 7 0 0 Baleares,66 7996 Canaras 606,0 67709 9 9 0 0 Cantabra 87, 6 Castlla León 9,996 6 Castlla La Mancha 6, 00 0 0 0 0 Cataluña 86,00 7787 7 6 Comundad Valencana 809,7 08 0 0 Extremadura 0,9 98 6 Galca,7 0077 Madrd 79,9 768 6 Murca 9,997 77 6 avarra 89,97 69670 País Vasco 8,7 60 Roja 0,86 067 0 0 EXCEL: JERARQUIA(A;A$:A$7;) JERARQUIA(B;B$:B$7;) 0 0
7 6. d 6.0 r n. (n ).(n + ) 7.6.8 s 0,97 rs El coefcente de correlacón de Searman es alto (róxmo a ), ndcando una buena asocacón de to dscreto entre ambas varables (VAB, Poblacón), es decr, las más altas untuacones en una de las varables corresonderon a las más altas untuacones en la otra y, comlementaramente, las más bajas untuacones en una varable corresonderon a las más bajas untuacones de la otra. Se lantean las hótess Hótess nula: Hótess alternatva: H 0 :r 0 H :r 0 a s s Se rechaza H 0 s r r s crítco En las Comundades autónomas ( n 7), el valor calculado de r s 0, 97, con un nvel de confanza del 9% ( valor0,0), es sueror al valor crítco de r crítco 0, ( rs 0,97 > rcrítco 0, ), rechazando la hótess nula y concluyendo que exste asocacón drecta entre el VAB y la densdad de la oblacón.
EXCEL: FRECUECIAS DATOS AGRUPADOS En la tabla se muestran las rentas (en mles de euros) y el número de ersonas que las ercben: nº emleados x 9 0 6 7 8 9 nº sucursales n 0 0 6 DIAGRAMA DE ESCALERA (FRECUECIAS ABSOLUTAS ACUMULADAS ): En Agregar Sere se ntroduce en Valores (categoría Y) la columna de la frecuenca absoluta acumulada y en Rótulos del eje de categoría (X) la columna de los dstntos datos x Se abre un cuadro de dálogo con dferentes ocones: Títulos, Eje, Líneas de dvsón, Rótulos de datos y Tabla de datos.
DIAGRAMA DE BARRAS (FRECUECIAS ABSOLUTAS n ): En Agregar Sere se ntroduce en Valores (categoría Y) la columna de la frecuenca absoluta n y en Rótulos del eje de categoría (X) la columna de los dstntos datos x
Se abre un cuadro de dálogo con dferentes ocones: Títulos, Eje, Líneas de dvsón, Rótulos de datos y Tabla de datos.
EXCEL: FRECUECIAS DATOS AGRUPADOS E ITERVALOS POLÍGOO DE FRECUECIAS ACUMULADAS: En Agregar Sere se ntroduce en Valores (categoría Y) la columna de la frecuenca absoluta acumulada y en Rótulos del eje de categoría (X) la columna de los dstntos datos L + (límte sueror del ntervalo) Se abre un cuadro de dálogo con dferentes ocones: Títulos, Eje, Líneas de dvsón, Rótulos de datos y Tabla de datos.
EXCEL: HISTOGRAMA En la tabla se muestran las rentas (en mles de euros) y el número de ersonas que las ercben: Intervalos [L L + ) 0 6 6 0 0 0 Fr. absoluta n 6 9 MÉTODO : Selecconar la columna densdad d Gráfcos/Columnas ulsar Sguente> Se abre un cuadro de dálogo con dferentes ocones: Títulos, Eje, Líneas de dvsón, Rótulos de datos y Tabla de datos. 6
En el eje Y aarece la dsersón del hstograma ero en el eje X no aarecen los ntervalos. Para ello, en el área de trazado se hace clc con el botón derecho. Se agrega una Sere ntroducendo en Valores (eje Y) los datos de la densdad d (J:J8) y en Rótulos del eje de categorías (X) los ntervalos. 7
MÉTODO : 8
9
EXCEL: CURVA DE LOREZ La tabla adjunta muestra el catal socal de un banco a fnales de año. úmero accones 0 0 0 00 00 00 00 000 > 000 úmero acconstas 0..6.0.80 76 Sabendo que la marca de clase del últmo ntervalo es 7, se de: a) Determnar el número medo de accones que oseía cada acconsta b) Cómo se encuentra reartdo el catal socal entre los acconstas?. Solucón. a) Se forma la tabla: L L + x n xn U xn U 00 q 00 Un q 0 0 0 0 07 07 7,67 6,67 6,700 0 00 7 6 9 900 767 8,67 9,99 7,7 00 00 0 0 66 00 0678 9,97,9 78,0 00 000 600 80 706 888000 98 97,87,6 7,77 > 000 7 76 786 709 7667 00,000 00,000 0,000 786 7667 90,7 xn 7667 El número medo de accones será: x 7, 786 accones/acconsta b) El índce de concentracón de Gn analza en qué medda está reartdo el catal socal entre los acconstas del banco: I ( q ) 90,7 6,99 G 0,8 El índce de Gn es elevado, está más róxmo a que a 0, lo que ndca que exste una fuerte concentracón del catal socal en unos ocos acconstas. En consecuenca, el número medo de accones/acconsta no es sgnfcatvo. Excel: Para reresentar la curva de Lorenz resulta necesaro nsertar una fla donde (, q ) tengan un recorrdo del 0 al 00%. 0
MÉTODO : Para reresentar la bsectrz del cuadrado se ntroduce una nueva sere, recta que asa or los untos (0, 0) y (00, 00). En el menú Insertar/Gráfco, se teclea XY(Dsersón), subto de gráfco Dsersón con untos de datos conectados or líneas. Pnchar Sguente>. Se ntroducen los datos, selecconando la estaña Sere, nchar Agregar sere y rellenar el camo de Valores de X (eje de abscsas, datos, rango H7:H) y Valores de Y (eje ordenadas, datos q, rango I7:I). Desués, hay que agregar una nueva sere que srve ara dbujar la bsectrz. Para ello, se ncha nuevamente en Agregar sere, comletando el camo Valores de X (con el rango C6:C7) y el camo de Valores de Y con el rango (D6:D7), señalar que como el contendo de ambos rangos es déntco se odría elmnar uno de ellos (or ejemlo, C6:C7), hacer clc en Sguente>
Aarece el cuadro de dálogo donde se uede esecfcar, entre otros, el Título del Gráfco, el Título de valores (X) y el título de valores (Y). La ocón Líneas de dvsón se uede dejar sn marcar nada. Pnchar Termnar OTA. Cuando aarecen seres de datos ara comarar (Emresa A y Emresa B) y se desea reresentar las curvas, hay que segur los asos anterores y cuando se van a agregar las seres hay que agregar tantas seres como tengamos (en el ejemlo, dos seres) y una más con los datos ara reresentar la bsectrz. En caso de tener una sere reresentada (or ejemlo, la emresa A) y se desea añadr otra, entonces se stúa el untero del ratón sobre el área de gráfco (zona sobre la que se colocan los títulos) de la reresentacón y se ulsa el botón derecho del ratón, aarecendo el menú adjunto a la derecha. Señalar que, lo msmo sucede, stuando el ratón sobre la bsectrz, o curva de Lorenz. Se hace clc en Datos de orgen, deslegándose la antalla de abajo, a falta de nclur datos al ejercco tratado. Al nchar en la estaña Sere se deslega la segunda ventana de abajo, donde se uede añadr otra nueva sere de datos. Excel
MÉTODO : En el menú Insertar/Gráfco se elge Líneas (con marcadores en cada valor de datos)/sere, se ulsa Agregar y en Valores se ntroduce los datos de q (eje de ordenadas, rango I7:I) y en Rótulos del eje de categorías (X) los datos de (eje de abscsas, rango H7:H) Hacendo clc en Sguente> aarece un cuadro de dálogo donde se uede esecfcar: Títulos (Título del gráfco, eje de categorías X, eje de categorías Y), Eje, Líneas de dvsón (rncales y secundaras de los ejes), Leyenda, Rótulos de datos, Tabla de datos sólo hay que r robando y se observa el efecto del gráfco. Clc en Sguente> ofrece la ocón donde se desea guardar el gráfco. Hacendo clc con el botón derecho del ratón se ueden elegr dstntas ocones:
Se coloca el ratón sobre los ejes (Eje de categorías) y se hace clc con el botón derecho ara su dseño. Se ueden elegr dstntas ocones: Tramas, Escala, Fuente, úmero y Alneacón. Análogamente con el eje Y (categoría Y)
Para trazar la dagonal rncal: Dbujo/Autoformas/Línea Para hacer las líneas o marcadores más gruesos, cambar de color, estlo, etc., basta stuar el ratón sobre las líneas (Formato sere de datos o de autoformas) y ulsar el botón derecho. Excel