96 ejercicios de repaso de NÚMERO REAL, POLINOMIOS, ECUACIONES e INECUACIONES Repaso úmero real. Itervalos:. Separar los siguietes úmeros e racioales o irracioales, idicado, de la forma más secilla posible, el porqué: π 5,6 0 5 0, 6,4 54,4456... 8 (Soluc: Q; I; I; Q; Q; Q; Q; I; Q; Q; Q; I). Represetar sobre la recta real (o ecesariamete todos e la misma rect los siguietes racioales: 5 9 0,6,5,9 6 4 5 6 A la vista de lo aterior, ordearlos de meor a mayor. Costruir,, 5, 6, 7, 8 y 0 sobre la recta real (o ecesariamete sobre la mism, mediate regla y compás, y la aplicació del teorema de Pitágoras.. Completar (e este cuadero): REPRES. GRÁFICA INTERVALO DEF. MATEMÁTICA [-,] 0-4 4 [-,) 5 {x IR/ <x 5} 6-7 {x IR/ x<} 8 (0, ) 9-0 (-,5) {x R/ x 0}
REPRES. GRÁFICA INTERVALO DEF. MATEMÁTICA [/, ) {x IR/ -<x } 4 {x IR/ x <} 5 {x IR/ x } 6 7 [-,] 8 {x IR/ x<-} 9-4 4 0 (-,-)U(, ) (-,)U(, ) {x IR/ x 5} [-,] 4 - Repaso fraccioes, potecias y raíces: 4. Operar, simplificado e todo mometo: 5 6 : 4 5 + 5 : 9 4 5 6 : + 4 5 : 5 9 4 (Sol: 46/4) 5. Completar (e este cuadero): m a a a m a m ( a ) ( a b ) a b 0 a a a b ( ) par ( ) impar ( ) par baseegativa ( ) impar baseegativa
5 Matemáticas I REPASO de ARITMÉTICA y ÁLGEBRA Añadir estas fórmulas al formulario matemático de este curso. Utilizado las propiedades ateriores, simplificar la siguiete expresió (e este cuadero): 0 ( ) ( ) + (Sol: ) 6. Completar (e este cuadero): Defiició de raíz -ésima ax Casos particulares de simplificació Equivalecia co ua potecia de expoete fraccioario Simplificació de radicales/ídice comú Producto de raíces del mismo ídice Cociete de raíces del mismo ídice x ( ) x m x p m p x a b a b Potecia de ua raíz ( ) m a Raíz de ua raíz m a Itroducir/Extraer factores x a Añadir estas fórmulas al formulario matemático de este curso. Utilizado las propiedades ateriores, simplificar la siguiete expresió (e este cuadero): a a ( ) a a (Sol: a ) 7. Extraer factores y simplificar (e este cuadero): 5 4 8 5 Sol : Sumar, reduciedo previamete a radicales semejates: 7 5 7 4 00 4 + Sol : Racioalizar y simplificar (e este cuadero, si hay espacio): 5 5 8 5 Sol :
6 Matemáticas I REPASO de ARITMÉTICA y ÁLGEBRA 96 Sol : 6 79 9 5 (Sol: ) Notació cietífica: 8. Pasar a otació cietífica los siguietes úmeros: 00.000.000 456 0,5 d) 0,0000000065 e) -8.400.000.000 f) 0,00000 g) -78986,4 h) 0,000009 i).0.000.000.000 j) 4 billoes k) 4 billoes $ l) 4 billoes m) 50 milloes $ ) 50 milloes o),5 millardos p) 7, q) 7 r) -0,000000 s) 4 0 t) 0 u) v) 0,000 w) 6.70.000 x) -45,45 RECORDAR: CANTIDAD DEFINICIÓN EQUIVALENCIA ÁMBITO millardo mil milloes 0 9 España, Fracia, Alemaia... u milló de milloes 0 billó mil milloes 0 9 EEUU y Reio Uido u milló de billoes 0 8 España, Fracia, Alemaia... trilló u milló de milloes 0 EEUU y Reio Uido etc. 9. Realizar las siguietes operacioes de dos formas distitas (y comprobar que se obtiee el mismo resultado): - Si calculadora, aplicado sólo las propiedades de las potecias. - Utilizado la calculadora cietífica.,5 0 7 +,6 0 7 4,6 0-8 +5,4 0-8,5 0 6 +,4 0 5 d), 0 9 +,5 0 e), 0 8 -, 0 8 f) 7,8 0 - -5, 0 - g) 4,5 0 7 -,4 0 5 h) ( 0 9 ) (,5 0 7 ) 9 i) 8,4 0 7 0 -, 0 4 0-8 0 j) ( )( ) k) ( 0 5 ) 5
RECORDAR: E las calculadoras cietíficas la tecla EXP sirve para expresar e cualquier mometo u úmero e otació cietífica. Pero es más recomedable, mediate la tecla MODE, poer la calculadora e modo SCI (scietifi, co lo cual trabajará siempre e otació cietífica. Además, la calculadora suele pedir el úmero de cifras sigificativas co las que queremos trabajar. 0. La estrella más cercaa a uestro sistema solar es α-cetauri, que está a ua distacia de ta sólo 4, años luz. Expresar, e km, esta distacia e otació cietífica. (Datos: velocidad de la luz: 00000 km/s; año 65,5 días) Cuátos años tardaría e llegar ua soda espacial viajado a 0 km/s? (Sol: 4,068 0 km; 8 907 años) Repaso poliomios y fraccioes algebraicas:. Dados P(x) 4 x 5-8x 4 +x +x + y Q(x) 4 x -4x +x, se pide: Extraer el máximo factor comú de Q(x) P(x)-x Q(x) (Sol: 4x 5-6x 4 +0x -x +) Q(x) Q(x) (Sol: 6x 6 -x 5 +x 4-6x +4x ) d) P(x) : Q(x), y comprobarlo. (Sol: C(x)x -x-; R(x)x+). Simplificar: 4 x 5x 6 x 9. Operar y simplificar: x + x + + x x x 4 ( a x a x)( a x a x) (Sol: x +4) x + Sol : x + 4 4 + + + ( Sol : x + a ) Repaso ecuacioes, sistemas e iecuacioes: 4. Resolver (se recomieda hacer tambié la comprobació): x x x 4 x 6 6 [Sol: soluc.] 0x + 7 4x + y 9 7x + x y x 4 6 (Sol: x, y-) ( + )( ) ( ) x x x 4 4x (Sol: x±) 6 d) x x + 7 4 (Sol: x4) e) f) g) x x x x x x x x + x + y x + y (x ) 5x + 6 (x + )(x ) + < + 6 6 (Sol: x-) (Sol: x 4, y -; x, y 0) [Sol: x (0,7)]
h) i) j) 5 x (x + ) (x + 4) + 4 (x +) (x ) x + < 5 x+ x7 7 x [Sol: x [-,)] [Sol: x [-,7)] [Sol: x(4/9) ] k) k 6 4 l) x 6x + a 0 (Sol: k±5/) ( Sol : x ± 6+ m) x + y z 9 x y + z x + y z 4 (Resolverlo por Gauss) (Sol: x, y, z-) Misceláea (I): 5. Idicar cuál es el meor cojuto umérico al que perteece los siguietes úmeros (N, Z, Q o I); e caso de ser Q o I, razoar el porqué: π 5 4 0,005 0,,000000... 6 (Soluc: I; I; N; Q; Z; Q; Q; I) 6. Represetar e la recta real los siguietes itervalos y defiirlos empleado desigualdades: [,4] d) (-, ) g) (-,] j) (-,-] (,6) e) (-,) h) [-,] [,5) f) (0, ) i) (5/, ) 7. Operar, simplificado e todo mometo: + + + : 4 5 : 5 5 5 4 5 5 5 + ( ) + ( ) ( ) (Sol: 4/5) (Sol: -) (Sol: -4/79) d) 4 8 ( ) (Sol: 4 5 )
8. Dados P(x)4x +6x -x+, Q(x)x -x+7 y R(x)7x -x+, hallar: El valor umérico de P(x) para x- (Sol: -) La factorizació de R(x) (Sol: Poliomio irreducible) P(x)+Q(x)+R(x) (Sol: 6x +x -5x+) d) P(x)-Q(x)-R(x) (Sol: x -x +x-5) e) P(x)+Q(x)-R(x) (Sol: 0x -8x -x+) f) P(x) : (x+) por Ruffii, y comprobar. (Sol: C(x)4x -x+; R(x)-) 9. Operar y simplificar (e este cuadero): x x x + 6x 5x 5x x + 6 Sol : x + 5x 0. Resolver: + 96 480 96x 600 (Sol: x0) x y + z 6 x + y z 9 (Resolverlo por Gauss) (Sol: x, y-; z) x + y + z x + 6x 6x + x (Sol: x0; x±) d) x + 4 x 4 (Sol: x5; x/9) e) f) g) h) x x x x y x + xy 0 (x + )(x ) (x + )(x ) + 4x 5 + 6 6 x 0 > x + 4x > x + (x + ) (x + 6) (Sol: x± ) (Sol: x 0, y -; x /7, y -/7) [Sol: x (-,-5]U[, )] [Sol: x [6,0)] i) x x [Sol: x [-,0)U[, )]. Señalar cuáles de los siguietes úmeros so racioales o irracioales, idicado el porqué:,696969... 0,098... (Soluc: Q; I; Q; I; Q; I) 5,6968888... d) 0,456789... e) 7,9999... f) 4,000000...
. Represetar e la recta real los siguietes cojutos uméricos y ombrarlos siempre que se pueda empleado itervalos: {x IR/ -<x } d) {x IR/ x<0} g) {x IR/ x>-} j) {x IR/ x } {x IR/ x 4} e) {x IR/ x } h) {x IR/ x 5} k) {x IR/ x } {x IR/ x } f) {x IR/ x >4} i) {x IR/ x <5}. Operar, simplificado e todo mometo: 4 7 7 : + 7 + : 4 5 4 7 7 + 7 4 5 4 5 5 + ( 4) 5 + 4 (Sol: 6/697) (Sol: -/64) ( 5 ) 5 5 5 (Sol: 4 5 ) 4. Dados P(x)6x 4 +x -8x -5x+8 y Q(x)x-, se pide: Factorizar P(x), por Ruffii. [Sol: (x-)(x-)(x+)(x+)] Q 5 (x), por Tartaglia. (Sol: 4x 5-80x 4 +080x -70x +40x-) P(x) Q (x)-x Q (x) (Sol: 8x 5 +x 4 -x +5x +84x-6) d) P(x) : Q(x) [Sol: C(x)x +5x -6x-9; R(x)0] 5. Operar y simplificar: + x 9x + 0 x x + 0 x 0x + 4 Sol : x 7 x 5x + 74x 0 6. Resolver: x + y z 0 x y + z x + y + 4z 9 (Resolverlo por Gauss) (Sol: x, y-; z) 5 x x+ x+ (Sol: x ; x -4) y x ax ay dode a R (Soluc : x a, y a 4 )
d) x 7 5x + 4 x > 5 5 (Sol: x<) e) x +5x+<0 f) x +5x+>0 (Sol: / soluc.) (Sol: x R) g) (x + )(x ) x (x x)(x + x) < [Sol: x (-,-)U(, )] 4 4 h) (x -4)(x -)>0 i) (x -4)(x +4)<0 [Sol: x (-,)] j) 4 x + ( ) (Sol: x 0; x -) 7. Separar los siguietes úmeros e racioales e irracioales, idicado el porqué:,6 π 69 0,7 0,494949... 7,75 6,4,7050... 5 (Soluc: Q; I; I; Q; Q; Q; Q; Q; I; Q; Q; Q; I) 8. Hallar la U e de los siguietes itervalos: A[-,5) B(,7) E(-,0] F(-, ) e) I(-,0) J[0, ) g) M[-,-) N(,7] C(0,] D(, ) d) G[-5,-) H(,7/] f) K(,5) L(5,9] h) O(-,7) P(,4] 9. Calcular, aplicado, siempre que sea posible, las propiedades de las potecias, y simplificado e todo mometo. Cuado o sea ya posible aplicar las propiedades de las potecias, debido a la existecia de ua suma o resta, pasar la potecia a úmero y operar: 4 5 4 4 9 (Sol: -608/8) 0. Dados P(x)x 6 +6x 5 +9x 4 -x -6x-9 y Q(x)x -9, se pide: Factorizar P(x), por Ruffii [Sol: (x+)(x-)(x+) (x +)] Q 4 (x), por Tartaglia (Sol: x 8-6x 6 +486x 4-96x +656) P(x)-Q (x) Q (x) (Sol: x 6 +6x 5 +8x 4 +7x -6x-90) d) P(x) : Q(x) [Sol: C(x)x 4 +6x +8x +54x+6; R(x)480x+440]. Operar y simplificar: x + x + x + x x x + (Sol : x x x x x x + )
. Resolver: -x -x0 (Sol: x 0, x -) x ( Sol : x /, x ) x (x +) 4 65 (Sol: x±) d) (x -) 4 0 (Sol: x±) e) x 4 8x 0 (Sol: x 0, x 0 ) f) x 0 (Sol: / soluc.) x g) x + 4x + 4 (Sol: x -, x -) h) x 6-6x 0 (Sol: x0, x±) i) x 6-7x -80 (Sol: x-, x) j) x + 5 (Sol: x) k) x x (Sol: x 0, x ; x - ) l) -7x -7 (Sol: x ) m) x <9 [Sol: x (-,)]. Verdadero o falso? Razoar la respuesta: Todo úmero real es racioal. Todo úmero atural es etero. Todo úmero etero es racioal. d) Siempre que multiplicamos dos úmeros racioales obteemos otro racioal. e) Siempre que multiplicamos dos úmeros irracioales obteemos otro irracioal. f) Etre dos úmeros racioales existe siempre u racioal. g) " " " irracioales " " irracioal NOTA: Lo que ya o es ta fácil de justificar es que: Etre dos reales existe racioales. Por tato, Q y R se dice que so cojutos desos. Etre dos reales existe irracioales. 4. Represetar los siguietes itervalos e idicar su uió e itersecció: [-,5) y [, ) (0,) y [9/, ) (-5,-] y [-,4] d) (-,) y [, ) Ecuacioes e iecuacioes co valor absoluto: RECORDAR: Hay casos posibles (k>0 siempre): expresió k expresiók expresió-k expresió <k -k<expresió<k expresió >k expresió<-k o expresió>k
5. Idicar para qué valores de x se cumple las siguietes relacioes; e el caso de las desigualdades, idicar la solució mediate itervalos: x 5 x 5 x >5 d) x-4 (Sol: x, x 6) e) x-4 (Sol: x [,6]) f) x-4 >(Sol: x (-,)U(6, )) g) x+4 >5(Sol: x (-,-9)U(, )) h) x - i) x 0 j) x < k) x l) x+ (Sol: x -4, x ) m) x- (Sol: x [-,5]) ) x 7 o) x 6 p) x > q) x- <5 (Sol: x (-,7)) r) x+ 7 (Sol: x (-,-0]U[4, )) s) x <8 (Sol: x (-4,4)) t) x >- (Sol: x R) u) x x v) x - (Sol: soluc.) w) x -x- (Sol: x0, x, x± 7) Ua vez resuelto el ejercicio aalíticamete, cosiderar la posibilidad de resolverlo gráficamete (método que, posiblemete, se ecuetre más fácil...) Resolució gráfica de iecuacioes y sistemas: 6. Resolver gráficamete los siguietes sistemas de ecuacioes; resolverlos a cotiuació aalíticamete (por el método deseado), y comprobar que se obtiee idético resultado: x + y x y (Soluc: x7, y5) f) x y 4 x 6y (Sol: soluc, S.C.I.) x + y 6 x y (Soluc: x0, y) g) x + y 5 x + y 7 (Sol: x, y) x + y 4 x y (Soluc: x, y) h) x y 4 x + 4y 6 (Sol: soluc, S.I.) d) y x 5x + 6 x + y i) x + y x y (Sol: x, y0) e) x + y 0 x y 5 (Sol: x, y-) 7. Resolver gráficamete las siguietes iecuacioes de º grado; resolverlas a cotiuació aalíticamete y comprobar que se obtiee idético resultado: x -6x+8 0 [Sol: x (-,]U[4, )] x -x-<0 [Sol: x (-,)] x -5x+6>0 [Sol: x (-,)U(, )] d) x -x-0 0 [Sol: x [-,5]] e) x -0x+7 0 [Sol: x (-,]U[7/, )] f) x -6x+4<0 [Sol: x (,6)] g) x -4x+ 0 [Sol: x IR] h) x -x>0 [Sol: x (-,0)U(, )] i) x -4 0 [Sol: x (-,-]U[, )]
Sol : + 6 Sol : 5 Matemáticas I REPASO de ARITMÉTICA y ÁLGEBRA j) x -4x+4>0 [Sol: x IR-{}] k) x +6x+9 0 [Sol: x IR] l) x +6x+9>0 [Sol: x IR-{-}] m) x -x+<0 [Sol: soluc.] ) x -x+ 0 (Sol: x) p) 6x -5x-6<0 [Sol: x (-/,/)] q) x -4x+7<0 [Sol: soluc.] r) x -8x+6<0 [Sol: x (,)] s) x +0x+ 0 [Sol: x [-, -]] t) -x +5x-4 0 [Sol: x [,4]] o) x -4x+4 0 [Sol: x] Misceláea (II): 8. Si los lados de u cuadrado aumeta cm, su área aumeta 8 cm Cuáles so las dimesioes del cuadrado origiario? (Sol: Se trata de u cuadrado de lado 6 cm) 9. Qué otro ombre recibe el itervalo [0, )? Y (-,0]? A qué equivale IR + U IR -? Y IR + IR -? 40. Simplificar, reduciedo previamete a radicales semejates: 8 + 5 8 7 Racioalizar y simplificar: 6 + + 7 6 5 9 4 (Sol: /7) 5 Sol : Operar y simplificar: ( 7 + ) ( 5 ) (Sol: 8) d) Simplificar y operar: 4 6 5 400 + 8000 4. U grupo de estudiates alquila u piso por el que tiee que pagar 40 al mes. Uo de ellos hace cuetas y observa que si fuera dos estudiates más, cada uo tedría que pagar 4 meos. Cuátos estudiates ha alquilado el piso? Cuáto paga cada uo? (Sol: 5 estudiates a 84 cada uo) 4. Calcular el volume aproximado (e m ) de la Tierra, tomado como valor medio de su radio 678 km, dado el resultado e otació cietífica co dos cifras decimales. ( Volume de la esfera 4 : π r ) (Sol:,08678 0 m ) 4. U comerciate tiee dos clases de café: uo de 40 /kg y otro de 60 /kg. Si mezcla kg del barato y kg del caro, cuáto costará el kg de la mezcla resultate? (Sol: 48 )
0 Sol : 4 Matemáticas I REPASO de ARITMÉTICA y ÁLGEBRA Cuátos kg tedrá que añadir de cada tipo para obteer 60 kg de mezcla a 50 el kg? (Sol: 0 kg de cada clase) 44. Co dos tipos de bariz, de,50 /kg y de,50 /kg, queremos obteer u bariz de, /kg. Cuátos kilogramos teemos que poer de cada clase para obteer 50 kg de la mezcla? (Ayuda: platear u sistema de ecuacioes de primer grado) (Sol: 8 kg del bariz de,50 y kg del de,50) 45. Racioalizar deomiadores y simplificar: 5 + 5 0 Sol : 50 +0 5 6 + + (Sol: 7) d) + + 6 - - Sol : 46. Dos árboles de 5 m y 0 m de altura está a ua distacia de 5 m. E la copa de cada uo hay ua lechuza al acecho. De repete, aparece etre ellos u ratocillo, y ambas lechuzas se laza a su captura a la misma velocidad, llegado simultáeamete al lugar de la presa. A qué distacia de cada árbol apareció el rató? (Ayuda: Si se laza a la misma velocidad, recorre el mismo espacio, pues llega a la vez; aplicar el teorema de Pitágoras, y platear u SS.EE. de º grado) (Sol: a 5 m del árbol más alto) 47. E ua balaza de precisió pesamos cie graos de arroz, obteiedo u valor aproximado de 0,000077 kg. Cuátos graos se estima que habrá e 000 toeladas de arroz? Utilícese otació cietífica. (Sol:,6 0 graos) 48. U almaceista de fruta compra u determiado úmero de cajas de fruta por u total de 00. Si hubiera comprado 0 cajas más y cada caja le hubiera salido por meos, etoces habría pagado 0. Cuátas cajas compró y cuáto costó cada caja? (Sol: 0 cajas a 5 ) 49. Calcular, aplicado, siempre que sea posible, las propiedades de las potecias, y simplificado e todo mometo. Cuado o sea ya posible aplicar las propiedades de las potecias debido a la existecia de ua suma o resta, pasar la potecia a úmero y operar: + : 0 ( ) ( 7) 7 (Sol: /7) 5 6 50 : ( ) 7 9 ( ) + ( 9 ) (Sol: /5)
Sol : 8 5 Sol : 6 Sol : Sol : + 4 Matemáticas I REPASO de ARITMÉTICA y ÁLGEBRA 6 5 4 5 + 5 : 9 5 (Sol: -5/) 50. Simplificar: 6 5 5 + 5 + 5 + 5 5 ( ) 6 4 ( ) 4 + 6 04 4 + + + ( ) d) ( ) 6 5. La luz del sol tarda 8 miutos y 0 segudos e llegar a la Tierra. Calcular la distacia Tierra-Sol, empleado otació cietífica. (Sol:,5 0 8 km) 5. Hallar dos úmeros positivos sabiedo que su cociete es / y su producto 6 (Sol: y 8) 5. TEORÍA: Qué es el discrimiate de ua ecuació de º grado? Qué idica? Si llegar a resolverla, cómo podemos saber de atemao que la ecuació x +x + carece de solucioes? Ivetar ua ecuació de º grado co raíces x / y x, y cuyo coeficiete cuadrático sea Si resolver y si sustituir, cómo podemos asegurar que las solucioes de x +5x-00 0 so x 5 y x -0? d) Calcular el valor del coeficiete b e la ecuació x +bx+60 sabiedo que ua de las solucioes es. Si ecesidad de resolver, cuál es la otra solució? 54. U rectágulo tiee 00 cm de área y su diagoal mide 5 cm. Cuáto mide sus lados? (Sol: 0 x 5 cm) 55. Resolver: x 6 +7x -80 x 6-640 (Sol: x, x-) (Sol: x±) + y x x y (Sol: x ; y ; x /5; y /) d) x + 4 x 9 x (Sol: x5) e) x x > [Sol: x (0, )]
f) x + y z 4 4x + y z 7 (Resolverlo por Gauss) (Sol: Sistema icompatible i.e. o tiee soluc.) x + 4y 4z 0 56. U frutero ha comprado mazaas por valor de 6. Si el kilo de mazaas costara 0,80 meos, podría comprar 48 kg más. Calcular el precio de las mazaas y la catidad que compró. (Sol: 0 kg a,80 /kg) 57. Resolver la ecuació 4x 6x x, sabiedo que ua de sus raíces es / (Sol: x±/, /) Sol : x x Ídem co x x, sabiedo que ua de sus raíces es / ±, 58. Ua persoa compra ua parcela de terreo por 4800. Si el m hubiera costado meos, por el mismo diero habría podido comprar ua parcela 00 m mayor. Cuál es la superficie de la parcela que ha comprado? Cuáto cuesta el m? (Sol: 600 m ; 8 ) 59. Resolver la ecuació x x (Sol: x) 60. El área de u triágulo rectágulo es 0 m y la hipoteusa mide m. Cuáles so las logitudes de los catetos? (Sol: m y 5 m) 6. Resolver la ecuació x x (Ayuda: aplicar Tartaglia y Ruffii) (Sol: x) 6. Calcular dos úmeros aturales impares cosecutivos cuyo producto sea 95 (Sol: y 5) 6. U comerciate tiee dos clases de aceite: el ormal, que cuesta 5 /l, y el de calidad superior, a 9 /l Cuátos kg deberá mezclar de cada uo para obteer 4 kg a 6 /l? (Sol: l y l, respectivamete) 64. María tiee 4 años. Tiee el doble de edad que teía su hermao cuado ella teía la edad que su hermao tiee ahora Qué edad tiee su hermao? (Sol: 8 años) 65. U problema de plateamieto de iecuacioes: Se defie el Ídice de masa corporal (IMC) de la siguiete forma: IMC peso corporal (e kg) altura (e m) U peso ormal oscila etre 8,5 y 4,9. Hallar cuál es el peso máximo admisible para u idividuo de,89 m de altura para poder estar e u peso ormal. 66. Resolver: x y y x (Sol: x, y) y x y x (Sol: x; y)
Sol : x Sol : a b Sol : x y Matemáticas I REPASO de ARITMÉTICA y ÁLGEBRA y + x 5x + 6 0 x y + 9 0 Sol : / soluc. d) x y 0 ( ) 9 x y x Sol : x 5,y 5 / ; x 0 /,y 0 / e) x + y z 4 4x + y z 7 (Resolverlo por Gauss) (Sol: Sist. compat. idtdo. i.e soluc.; p. ej. x, yz-, z) x + 4y 4z 67. Si multiplicamos la tercera parte de cierto úmero por sus tres quitas partes, obteemos 405. Cuál es ese úmero? (Sol: 45) 68. Ivetar ua ecuació algebraica de grado que tega úicamete por solucioes x-, x y x Ivetar ua ecuació algebraica de grado 4 que tega úicamete como raíces y U poliomio de grado, cuátas raíces puede teer como míimo? Razoar la respuesta. (Sol: raíz) 69. Varios amigos alquila u local por 800. Si hubiera sido tres más, habría pagado cada uo 60 meos. Cuátos amigos so? (Sol: 5 amigos) 70. Determiar el poliomio de grado que verifica: P(-)P()P(-)0 y P(-)8 7. Uo de los lados de u rectágulo es doble que el otro y el área mide 50 m. Calcular las dimesioes del rectágulo. (Sol: 5 x 0 m) 7. Simplificar las siguietes fraccioes algebraicas: y y y + y (Sol: y) x x x x + a a + b a + b a + b b a b ab d) xy x y y + x y y x y x + y 7. U campo rectagular de 4 ha de superficie tiee u perímetro de 0 hm. Calcular, e metros, su logitud y su achura. (Recordar: ha00 a; a00 m ) (Sol: 00 m x 400 m) 74. Demostrar que: a b c a c a d b d b a + b a b ( ) ( ) a b 4 4 75. Las diagoales de u rombo está e la relació de a. El área es de 08 cm. Calcular la logitud de las diagoales y el lado del rombo. (Sol: d cm; D8 cm; l 0,8 cm) Es decir, ua ecuació poliómica.
Sol : x + x + 9 Sol : x + 4 Sol : x Matemáticas I REPASO de ARITMÉTICA y ÁLGEBRA 76. Operar y simplificar: x x + 4 x x x Sol : x + x + x 4 x + x 9x 8 x 9 x + x + : x 4 x 4 x 6 d) + : x + 4 x 9 x + 77. El diámetro de la base de u cilidro es igual a su altura. El área total es 69,56 m. Calcular sus dimesioes. (Sol: dh6 m) 78. Factorizar P ( x ) x 4 +x -0 x -7 x +8 [Sol: (x-)(x+)(x-)(x+)] Operar y simplificar el resultado: x : x + x + x + 4 x x Sol : x + Desarrollar y simplificar: ( ) 4 x (Sol: x 8-8 x 6 +4 x 4 - x + 6) 79. Trasformar e potecias de expoete fraccioario la siguiete expresió, operar y simplificar (e este cuadero): 4 80. Despejar x y simplificar: 5 x + 5 5 ( Sol : x ± 5 ) 8. Demostrar que so ciertas las siguietes igualdades: ( ) + ( +) a + b a+b+ ab d) b a a + b + a + b a b 8. Calcular la velocidad y el tiempo que ha ivertido u ciclista e recorrer ua etapa de 0 km sabiedo que, si hubiera ido 0 km/h más deprisa, habría tardado ua hora meos. (Sol: v0 km/h; t4 h) 8. Resolver: x x 4 (Sol: x -, x 4) x x + 4 (Sol: x -/; x 7)
84. E u terreo rectagular de lados 64 m y 80 m se quiere platar 57 árboles formado ua cuadrícula regular. Cuál será el lado de esa cuadrícula? (Ayuda: E el lado meor, por ejemplo, hay 64/x cuadrículas, y u árbol más que el úmero de cuadrículas) (Sol: x4 m) x x 85. Operar, racioalizado previamete: + + + 5 5 + 5 ( ) 5 Sol : 4 5 + 5 ( Sol : 5 ) 0 86. Al aumetar e cm la arista de u cubo su volume aumeta e 7 cm. Cuáto mide la arista? (Ayuda: platear ua ecuació de er grado) (Sol: 9 cm) 87. Dos tiajas tiee la misma catidad de vio. Si se pasa 7 litros de ua a otra, ésta cotiee ahora el triple que la primera Cuátos litros de vio había e cada tiaja al pricipio? (Sol: 74 l) 88. Resolver: x x + 4 x 4 x [Sol: x (-,-]U(4, )] x + x > [Sol: x (, )] ( ) x + + + ( x + )( x ) x 7x [Sol: x (-,-]U[, )] 6 d) + : x + 4 0 x 9 [Sol: x (-,-]U(, )] 89. U padre, preocupado por motivar a su hijo e Matemáticas, se compromete a darle por problema bie hecho, mietras que, si está mal, el hijo le devolverá 0,5. Después de realizar 60 problemas, el hijo gaó 0. Cuátos problemas resolvió correctamete? (Ayuda: Platear u SS.EE. de er grado) (Sol: 40 problemas)
Matemáticas I REPASO de ARITMÉTICA y ÁLGEBRA 90. Tres hermaos se reparte u premio de 50. Si el mayor recibe la mitad de lo que recibe el mediao; y el mediao la mitad de lo que recibe el pequeño, cuáto diero tedrá cada hermao al fial? (Sol: 50 el mayor, 00 el mediao y 00 el pequeño) 9. Resolver: 4A 4B 4C 0 6B A C 0 7C A B 0 (Sol: A,5, B7,5, C0) ( t) ( t ) ( t) ( t ) + + + + (Sol: t) x + x + x + d) x + x + x Sol : (Sol: x0) / soluc. e) ( x + ) ( x ) ( x + ) (Sol: x 0; x -) 9. U gaadero decide repartir ua maada de 456 caballos etre sus hijos e hijas. Ates del reparto se efada co los dos úicos varoes, que se queda si caballos. Así, cada hija recibe 9 cabezas más. Cuátas hijas tiee el gaadero? (Sol. 6 hijas) 9. Ua cuadrilla de vedimiadores tiee que vedimiar dos ficas, ua de las cuales tiee doble superficie que la otra. Durate medio día trabajó todo el persoal de la cuadrilla e la fica grade; después de la comida, ua mitad de la gete quedó e la fica grade y la otra mitad trabajó e la pequeña. Durate esa tarde fuero termiadas las dos ficas, a excepció de u reducido sector de la fica pequeña, cuya vedimia ocupó el día siguiete completo a u solo vedimiador. Co cuátos vedimiadores cotaba la cuadrilla? (Ayuda: Llamar x al º de vedimiadores y s a la superficie que vedimia ua persoa e media jorada, y platear ua ecuació, o u sistema!) (Sol. 8 vedimiadores) 94. Comprobar que x 4 +4x + 8x +7x +4 o tiee raíces Z. Factorizarlo sabiedo que es divisible por x +x +. Ídem co 6x 4 +7x + 6x - sabiedo que -/ y / so raíces suyas. 95. Tres amigos echa ua partida de cartas e la que coviee que el que pierda ua partida pagará a los otros dos cotricates la catidad que tega cada uo de ellos e ese mometo. Después de tres maos, e las que cada uo pierde ua partida, los tres acaba co la misma catidad, 0 Co cuátos empezó cada uo? (Sol.,50, 7,50 y 0 ) x 4 x 96. Demostrar que la expresió ( + ) + es equivalete a x x + ( x + ) Simplificar: ( p q ) + ( pq) p ( ) + q 4 (Sol: p +q ) (Sol: -)
c c + + 4 c c + + 4 (Sol: RECORDAR: Cuádo desaparece los deomiadores? Cuado teemos ua igualdad y dos miembros, y multiplicamos ambos por ua misma catidad: x x x(x-) x x x( x ) Cuádo NO desaparece los deomiadores? Cuado teemos ua operació, umérica o algebraica (es decir, o teemos dos miembros): +... + x + x... x x + x x + x x + ( ) ( )