x = 0 pues x = ± 1

1 Muchos probleas quedan sin resolver en el conjunto de los núeros reales. En particular, la radicación de índice par de núeros negativos. El ejeplo ás sencillo es que no existe ningún núero real x, tal que: x + 1 = 0 pues x = ± 1 Este y otros probleas parecidos trataron de resolverse durante uchos años, entendiendo que el síbolo 1 significaba un núero cuyo cuadrado es 1. Así, en fora un tanto isteriosa, Cardano en 155 introdujo el síbolo i, que llegó a llaarse «raiuno» (raíz cuadrada de enos uno), con el cual se representaba un núero cuyo cuadrado era 1. Expresiones tales coo ( + 3i) se llaaron núeros coplejos y se utilizaron de odo puraente foral, casi 300 años antes de que fueran descritos de una anera que puede ser considerada coo satisfactoria en la actualidad. A principios del siglo XIX, Karl Friedrich Gauss (1777-1855) y Willa Rowan Hailton (1805-1865), independienteente y casi al iso tiepo, propusieron la teoría actualente aceptada de los núeros coplejos coo pares ordenados de núeros reales, definiendo en este conjunto las operaciones básicas de sua y ultiplicación. Sir Willia Rowan Hailton (Dublín, Irlanda, 1805-1865) Carl Friedrich Gauss (Aleania, 1777-1855) 1

17 NÚMEROS COMPLEJOS 1 DEFINICIÓN Se llaan núeros coplejos a las parejas ordenadas de núeros reales (a, b), para las cuales se definen las operaciones básicas de igualdad, sua y ultiplicación. Se usará en uchos casos una sola letra z 1, z para representar a un núero coplejo, pero la notación (a, b) (notación cartesiana) es la ás eleental, pues utiliza justaente los dos núeros reales dados en un cierto orden que lo define. Es costubre reservar ciertas letras para las variables. x? variable real n? variable natural z? variable copleja Notación cartesiana z = (a, b) El prier coponente a del núero coplejo se llaa parte real y se anota coo: a = Re(z) El segundo coponente b se llaa parte iaginaria y se anota coo: b = I(z) Un núero coplejo es igual a un núero real, si su segundo coponente es cero (a, 0) (véase el punto 3). Y se llaa iaginario puro cuando su prier coponente es nulo (0, b).. El conjunto de todos los núeros coplejos se siboliza:

3 OPERACIONES.1. IGUALDAD Dos núeros coplejos (a, b) y (c, d) son iguales si y solo si: a = c b = d. Es decir, si son iguales sus partes reales y sus partes iaginarias... SUMA Dados los núeros coplejos (a, b) y (c, d) se define a la sua coo el núero coplejo que cuple: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) El neutro de la sua es el núero coplejo (0, 0), ya que se verifica que: (a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b).3. RESTA Para realizar la resta de dos núeros coplejos es necesario definir el opuesto. El núero coplejo opuesto al (a, b) es el ( a, b) pues verifica: (a, b) + ( a, b) = (a a, b b) = (0, 0) Por lo tanto, para restar dos núeros coplejos se le sua al priero el opuesto del segundo. El conjunto de los núeros coplejos satisface los axioas de cuerpo del sistea de los núeros reales. Por consiguiente, las leyes del álgebra que se deducen de ese conjunto de axioas, tabién son válidas para los núeros coplejos. Esto es: si x, y, z son núeros coplejos, se cuple: Propiedad conutativa x + y = y + x xy = yx Propiedad asociativa x + (y + z) = (x + y)+z x(yz) = (xy)z Propiedad distributiva x(y + z) = xy + xz EJEMPLO: Efectuar (, 3) + ( 1, ) (0, 3) = (, 3) + ( 1, ) (0, 3) = (1, 1) (0, 3) = (1, ) En los núeros coplejos existen, son únicos y diferentes el neutro de la sua y el neutro de la ultiplicación. Tabién existen y son únicos el opuesto y el inverso de un núero coplejo. 3

.. MULTIPLICACIÓN Dados los núeros coplejos (a, b) y (c, d) se define a la ultiplicación coo el núero coplejo siguiente: (a, b)(c, d) = (ac bd, bc + ad) El neutro de la ultiplicación es el núero coplejo (1, 0) pues cuple que:.5. DIVISIÓN (a, b)(1, 0) = (a.1 b.0, a.0 + b.1) = (a, b) Dividir dos núeros coplejos (con divisor no nulo) significa ultiplicar al priero por el inverso del segundo. El núero coplejo inverso del (a, b) (con a y b no siultáneaente nulos) es el: ( ) 1 a b a, b =, a + b a + b La anterior expresión para el inverso de un núero coplejo es difícil de recordar. Sin ebargo, es ucho ás fácil calcular el cociente de dos núeros coplejos, utilizando la noción de núero coplejo conjugado (véase el punto 6). 3 NOTACIÓN BINÓMICA Todo núero coplejo (a, b) puede expresarse coo: (a, 0) + (0, b). O sea, coo la sua de un núero coplejo de segundo coponente nulo y otro con el prier coponente nulo. Tabién de acuerdo con la definición dada de ultiplicación de núero coplejo, se cuple que: (0, b) = (0, 1)(b, 0). Por lo tanto, cualquier núero coplejo se puede escribir de la siguiente fora: (a, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) Un isoorfiso es una relación que se antiene a través de las dos operaciones básicas definidas: sua y ultiplicación. En este caso, se define la siguiente correspondencia biunívoca entre los núeros coplejos de segundo coponente nulo y los núeros reales: (a, 0) % a Al núero coplejo (a, 0) le corresponde el real a Dicha correspondencia biunívoca es un isoorfiso, pues se antiene en la sua (la sua de dos núeros coplejos de segundo coponente nulo es otro núero coplejo de segundo coponente nulo) y en la ultiplicación (la ultiplicación de dos núeros coplejos de segundo coponente nulo es otro núero coplejo de segundo coponente nulo). (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) (a, 0)(b, 0) = (a.b 0.0, a.0 + 0.b) = (ab, 0) El isoorfiso así definido perite escribir las siguientes igualdades: (a, 0) = a (b, 0) = b

5 Al definir la unidad iaginaria: (0,1) con la letra i, un núero coplejo se puede anotar coo: (a, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib Unidad iaginaria Notación binóica (0, 1) = i (a + ib) En física, la letra i está reservada para sibolizar intensidad de corriente. Por lo tanto, es coún, en los núeros coplejos, usar para la unidad iaginaria la letra j. (0, 1) = j PROPIEDADES DE LA UNIDAD IMAGINARIA La incorporación en los núeros coplejos de la letra i surge de su definición coo el núero coplejo (0,1), que corresponde a lo que se conoce coo unidad iaginaria. Las propiedades de i resultan de hacer operaciones ya definidas en los núeros coplejos. i = (0,1)(0,1) = (0 1, 0+0) = ( 1, 0) es isoorfo con el real 1 i = 1 propiedad que no puede cuplir ningún núero real. NOTA De aquí surge la propiedad tan citada de que: 1 = i Esta propiedad perite resolver el problea de la extracción de la raíz cuadrada a un núero negativo. Todas las deás potencias de i dan coo resultado uno de estos siguientes cuatro valores: 1, i, 1, i. Para calcularlos basta aplicar las propiedades de potencias. i 3 = i pues i 3 = i * i = ( 1)i = i i = 1 pues i = i * i = ( 1)( 1) = 1 i 5 = i pues i 5 = i * i = (1)i = i 5

6 EJEMPLO: Calcular i 13 ( ) 30 13 3 30 i = i i = (1) ( i) = i = 1 = i Una fora sencilla de calcular i n es dividir al exponente entre. n * q * r n r q i n = i q + r = (i ) q *i r = i r pues i =1 i n = i r Antes de continuar, es conveniente hacer el ejercicio 01, de la página 0. NOTA Las propiedades de los radicales no son en general aplicables cuando las cantidades subradicales son núeros negativos o, ás general, núeros coplejos. Para realizar el producto de 3 Si se aplican propiedades de radicales es incorrecto efectuar: 3 = ( )( 3) = 6 Pero con la definición de unidad iaginaria es posible escribir: 1 = i por lo cual es posible expresar a, coo i a en el cual aparece la expresión a y a esta sí le son aplicables las leyes de los radicales. Para realizar el producto anterior correctaente se procede: 3 = i i 3 = i 6 = 6 En el siglo XVIII, los núeros coplejos fueron establecidos correctaente coo una extensión de los núeros reales, pero todavía transcurriría un cierto tiepo antes de que se doinaran sus características. Leonardo Euler Suiza (1707-1783) Así, en la Introducción copleta al álgebra, Euler coetió un error al escribir que 3 = 6 en lugar de 6, confundiendo a algunos escritores posteriores sobre dicha ateria. 6

7 5 OPERACIONES EN FORMA BINÓMICA La notación binóica es la ás extendida, pues perite aplicar las reglas conocidas de operaciones con binoios en los núeros reales, sin necesidad de recordar las definiciones correspondientes a los núeros coplejos. Operando con i coo si fuese real, pero teniendo en cuenta su propiedad básica: i = 1 Sua en fora binóica: (a + ib) + (c + id) = a + ib + c + id = a + c + i(b + d) Multiplicación en fora binóica: (a + ib)(c + id) = ac + aid + ibc + i bd = ac bd + i(ad + bc) Multiplicación por un real: a(c + id) = ac + iad 6 NÚMEROS COMPLEJOS CONJUGADOS 6.1. DEFINICIÓN Los núeros coplejos (a + ib) y (a ib) se llaan conjugados. Tienen igual la parte real, y opuesta la parte iaginaria. NOTACIÓN Si z es un núero coplejo, suele indicarse su conjugado coo: 6.. PROPIEDAD FUNDAMENTAL La sua y el producto de un núero coplejo por su conjugado, dan coo resultado un núero real. En la sua: z + z = (a + ib) + (a ib) = a z Una fora uy interesante de epezar a trabajar con núeros coplejos conjugados es toar coo punto de partida la siguiente definición: Si z es un núero coplejo, z será su conjugado si: z + z z z A partir de esta, toando a: z = a + ib z = c + id deduzca el estudiante los valores de c y d. En la ultiplicación: z z = (a + ib) (a ib) = a + b 6.3. DIVISIÓN EN FORMA BINÓMICA Para dividir dos núeros coplejos (con divisor no nulo) en fora binóica, es necesario ultiplicar y dividir la fracción por el coplejo conjugado del denoinador. 7

8 EJEMPLO: Efectuar la siguiente división: 6+i 1+ i Se ultiplica y divide la fracción propuesta por el conjugado del denoinador (1 i). 6+ i (6+ i)(1 i) 8 i = = = i 1+ i (1+ i)(1 i) 6.. OTRAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS CONJUGADOS Las deostraciones quedan para ejercicio del estudiante. Se debe recurrir a la notación binóica; plantear un núero coplejo (a + ib) y su conjugado (a ib), y realizar las cuentas indicadas. z+v z v = z+v z v = z v z = v ( z) ( z) n n z = z con n entero ( ) ( ) = a z = a z EJEMPLO: Sea z = (a + ib). Hallar a y b sabiendo que: ( ) ( ) z z = 1 y que: z + z = 18 Una paradoja ateática puede definirse coo una verdad ateática tan asobrosa que resulte difícil de creer, aun cuando se haya coprobado cada paso de la deostración. Las falacias ateáticas son afiraciones igualente asobrosas pero, a diferencia de las paradojas ateáticas, sus deostraciones contienen errores sutiles. Por ejeplo: 1 = 1 1 1 = 1 1 1 1 = 1 1 1 * 1 = 1 * 1 1 = 1 Véanse los resultados en la página 90. Se fora un sistea de dos ecuaciones con dos incógnitas: (a+ ib)(a ib) = a +b a + b = 1 (a+ ib) +(a ib) =a b a b = 18 Solución: a= + b= + 5 Soluciones: ( + 5i) ( 5i) ( + 5i) ( 5i) 8

9 7 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO 7.1. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS y P Un concepto que se debe anejar previo a la representación gráfica de un núero coplejo es el de sistea de coordenadas cartesianas: es el sistea forado por dos ejes perpendiculares x,, y cuyos orígenes coinciden en el punto O. b O a x A cada punto P(a, b) del plano le corresponde uno y solo un par de valores (a, b) llaados coordenadas cartesianas o rectangulares del punto P. El origen O tiene coo coordenadas (0, 0). La validez de las operaciones con núeros coplejos era cuestionada por varios ateáticos anteriores al siglo XIX. El nobre de iaginarios que aún se da a los núeros coplejos cuyo prier coponente es nulo es un vestigio de ese escepticiso. Sin ebargo, a coienzos del siglo XIX, una sencilla interpretación geoétrica de las operaciones con núeros coplejos hizo desaparecer estas sospechas. Esta interpretación geoétrica consiste en colocar la parte real de un núero coplejo en un eje y su parte iaginaria en otro eje, perpendicular al priero. El priero de estos ejes se denoina eje real y el segundo eje iaginario. Toda la teoría de los núeros coplejos puede ser desarrollada aritéticaente sin utilizar representación geoétrica alguna, pero es útil ostrar que la creación de estos nuevos núeros ha sido, en parte, otivada por la necesidad de poder representar nuéricaente los puntos de un plano, de igual odo que los núeros reales surgieron en la ente de los ateáticos para poder representar los puntos de una recta. 9

10 7.. PLANO COMPLEJO Cada punto del plano queda deterinado por un par de núeros reales, que son sus coordenadas cartesianas. Puesto que un núero coplejo es un par ordenado de núeros reales, puede representarse geoétricaente coo un punto en el plano. Por ello, al plano (x, y) se lo llaa plano coplejo, porque cada punto del plano define un núero coplejo. Los núeros coplejos de fora (a, 0) pertenecen al eje x al cual se lo llaa eje real. Los núeros coplejos de la fora (0, b) se encuentran sobre el eje y, al cual se lo llaa eje iaginario. 8 NOTACIÓN POLAR (MÓDULO ARGUMENTO) NOTA Para coprender el desarrollo del resto del capítulo es necesario que el lector haya estudiado antes el capítulo sobre «Trigonoetría». 8.1. DEFINICIÓN b y O α a P A x Todo punto del plano (núero coplejo) deterina un único segento orientado o vector, el cual queda deterinado por su ódulo y su arguento α (alfa). El ódulo es la edida del segento [OP]. El arguento α (alfa) es la edida del ángulo AOP, toando coo positivo el trigonoétrico (antihorario). Por lo cual es posible escribir un núero coplejo indicando tan solo su ódulo y su arguento. Para el valor del ódulo se considerará que la distancia d(o, P) es siepre positiva o cero, por lo cual el ódulo es un núero real positivo o cero. El arguento α solo podrá tener un valor entre 0 y radianes. Esta restricción deterina una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y los valores para el ódulo y el arguento. NOTACIÓN POLAR: α + {0} 0 < α < 10

11 8.. PASAJE DE CARTESIANAS A POLARES b y P Dado un núero coplejo en fora cartesiana (a, b), para obtener su notación polar es necesario recordar el teorea de Pitágoras y la definición de tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo. O α a A x En el triángulo rectángulo OAP se cuple, por el teorea de Pitágoras: = a + b cateto opuesto b tg α = = cateto adyacente a No es posible usar esta fórula cuando el núero coplejo está sobre el eje y, pues a = 0 y no es posible dividir entre cero. El ángulo en este caso es: si b > 0 o 3 si b < 0 Dado el coplejo en fora cartesiana (a, b) a 0 b = a + b α = arctg a 8.3. PASAJE DE POLARES A CARTESIANAS y P Dado un núero coplejo (no nulo) en notación polar α para obtener sus b coordenadas cartesianas es necesario recordar las definiciones de coseno y seno de un ángulo en un triángulo rectángulo. O α a A x cateto adyacente a cos hipotenusa a cos cateto opuesto b sen hipotenusa b sen Dado el coplejo en fora polar : α a = cos α b = sen α $ 0 11

1 8.. IGUALDAD DE DOS NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR La notación polar aporta cierta particularidad a la igualdad de dos núeros coplejos. Según las definiciones dadas, resulta que el ódulo de un núero coplejo es único, no así su arguento. En efecto, apliando las restricciones hechas, si al arguento se le sua radianes un núero entero de veces, se obtiene el iso punto en el plano. = α α+ k k y y P P O α x O (α + ) x En todos los casos se toará coo valor del arguento aquel situado entre 0 y, llaado valor principal. 8.5. CASOS PARTICULARES EN NOTACIÓN POLAR El núero coplejo (0, 0) tiene: = 0 y arguento indeterinado. Los núeros reales positivos: (a, 0) con a > 0, son de la fora: a 0 Los núeros reales negativos: ( a, 0) con a > 0, son de la fora: a Los núeros iaginarios puros: (0, b) con b > 0, son de la fora: b Los núeros iaginarios puros: (0, b) con b > 0, son de la fora: b 3 La unidad iaginaria: (0, 1) = i se escribe en polar coo: 1 1

13 9 NOTACIÓN TRIGONOMÉTRICA y P(a, b) De acuerdo con consideraciones trigonoétricas ya vistas en el punto 8.3 (pasaje de polares a cartesianas) se cuple: b O α a x a =.cos α b =.sen α Por lo cual, un núero coplejo (a, b) queda expresado en fora cartesiana trigonoétrica coo: (.cos α,.sen α). Y en fora binóica trigonoétrica coo: (.cos α + i..sen α). NOTACIONES TRIGONOMÉTRICAS (.cos α,.sen α) (cos α + i.sen α) 10 OPERACIONES EN FORMA POLAR 10.1. MULTIPLICACIÓN La notación polar es suaente cóoda para la ultiplicación, división, potenciación y radicación. Para deostrar la fora de proceder se recurre a la notación trigonoétrica. Dados dos núeros coplejos (cos α + i.sen α) y p(cos β + i.sen β), al ultiplicarlos en fora binóica se obtiene: (cos α + i.sen α).p(cos β + i.sen β) = = p.[cos α.cos β sen α.sen β + i.(cos α.sen β + sen α.cos β)] Aplicando que: cos (α + β) = cos α.cos β sen α.sen β sen (α + β) = cos α.sen β + sen α.cos β La ultiplicación de dos núeros coplejos en fora binóica trigonoétrica resulta:.(cos α + i.sen β) p.(cos α + i.sen β) = p.(cos (α + β)+ i.sen (α + β)) 13

1 Esto perite una expresión uy siple para la ultiplicación de núeros coplejos, al expresar dicha operación en fora polar. p = p α β α +β Para ultiplicar dos núeros coplejos en fora polar, se ultiplican sus ódulos y se suan sus arguentos. 10.. INVERSO El inverso de un núero coplejo no nulo es otro coplejo tal que ultiplicado por el dado, da coo resultado el neutro de la ultiplicación. El inverso del coplejo: α es el coplejo: 1 α pues se cuple: ( ) 1 = 1 = 1 α α α α 0 Neutro de la ultiplicación 10.3. DIVISIÓN Dividir dos núeros coplejos (con divisor no nulo) consiste en ultiplicar el priero por el inverso del segundo. α 1 = p = p α β p β α β p α = p β α β Para dividir dos núeros coplejos en fora polar, se dividen sus ódulos y se restan sus arguentos. 1

15 11 POTENCIACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS 11.1. DEFINICIÓN La potenciación se define coo una ultiplicación reiterada. n veces n =... α α α α α ( ) 11.. POTENCIACIÓN EN FORMA POLAR Dado que la potenciación es un caso de ultiplicación reiterada, generalizando la fora de ultiplicar en polares para n factores iguales, se logra que: n veces n n =... = n veces α+α+... +α ( α ) nα ( ) n = n α n α ( ) 1 1 Casos particulares = = α 1 α α ( ) 0 0 = = 1 α 0 α 0 ( ) 1 1 1 = = α 1 α α 15

16 EJEMPLO: Dado el núero coplejo ( 3 + 3i) a) Representarlo en un sistea de ejes cartesianos. b) Expresarlo en la notación polar. c) Calcular su quinta potencia. Para pasar de notación cartesiana a polar se usan las siguientes relaciones: b dado el núero coplejo en fora cartesiana : (a, b) = a + b α = arctg a a) y b) ( 3 + 3i)? α 3 = ( 3) + (3) = 18 3 o x 3 tg α= = 1 α= 3 (de acuerdo con el dibujo) 3 ( 3 + 3i)? 18 3 c) 18 5 = ( 18 ) 5 3 18 = 3 18 3 = 5 3 15 7 Véase el punto 8.. Abraha De Moivre (Francia, 1667-175) De Moivre, de religión protestante, eigró a Inglaterra en 1685. Coenzó a enseñar ateática coo profesor particular, ientras esperaba un puesto de profesor universitario, que no logró. Nunca consiguió el patrocinio necesario, pues tenía un acento que lo delataba coo francés. Siepre fue considerado coo un forastero para la sociedad inglesa. Fue pionero en el desarrollo de la geoetría analítica y la teoría de la probabilidad. En 1718 publicó The Doctrine of Chance, tabién investigó las estadísticas de ortalidad y los fundaentos de la teoría de anualidades. A pesar de ser una einencia científica, su principal ingreso econóico fueron las clases particulares y urió en la pobreza. Coo Cardano, fue faoso tabién por predecir con éxito el día de su propia uerte. Encontró que estaba duriendo 15 inutos ás por día. Calculó que oriría el día que duriera durante horas, coo así fue. 16

17 11.3. FÓRMULA DE De MOIVRE Potencia en fora trigonoétrica Dado el núero coplejo (cos α + isen α), su potencia enésia es: (.(cos α + i.sen α)) n = n (cos (nα) + i.sen (nα)) Esta expresión se deduce reiterando n veces la ultiplicación (véase el punto 11.) y perite calcular trigonoétricaente las potencias de exponente natural de los núeros coplejos. La fórula de De Moivre con = 1, resulta: (cos α + i.sen α) n = cos (nα) + i.sen (nα) A partir de la cual es posible escribir que: cos (nα) = Re[(cos α + i.sen α) n ] sen (nα) = I[(cos α + i.sen α) n ] Expresiones uy útiles para calcular los desarrollos de ángulos dobles, triples, cuádruples, que aparecen en el capítulo de «Trigonoetría», página 31. Por ejeplo: cos 3α es la parte real del coplejo (cos α + i.sen α) 3 (cos α + i.sen α) 3 = (cos α) 3 + 3(cos α) (i.sen α) + 3(cos α)(i.sen α) + (i.sen α) 3 (cos α + i.sen α) 3 = ( ) ( 3 cos α 3(cos α)(sen α) ) + i.( 3(cosα) (sen α) (sen α) 3 ) Resulta que: cos 3α = (cos α) 3 3(cos α)(sen α) sen 3α = 3(cos α) (sen α) (sen α) 3 Coo ejercicio, el estudiante, expresará cos 3α solo en coseno o sen 3α solo en seno, usando la fórula fundaental. 17

18 1 RADICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS 1.1. FORMA POLAR Dado el núero coplejo: α no nulo y el núero natural n > 1, se define la raíz enésia del núero coplejo dado, coo otro coplejo p β n n = p si se cuple : p = α β β α lo cual iplica la siguiente igualdad: n p nβ = α La condición necesaria y suficiente para que esta igualdad se verifique es que sean iguales los ódulos y que los arguentos difieran en un núero exacto de «vueltas». Esto significa que debe cuplirse: Véase el punto 8.. n p = p = n α k nβ=α+ k β= + n * k n n n - Los prieros n valores de k (o sea, desde k = 0 hasta k = n 1) dan n distintos arguentos dentro del intervalo [0, ). Se obtienen de este odo las n raíces de un núero coplejo. O sea, n núeros coplejos cuyas potencias enésias sean: α Todo núero coplejo no nulo tiene n raíces enésias distintas. El problea de la radicación, lleno de excepciones y paradojas en el capo real, obtiene en el capo coplejo una solución general y sencilla. 18

19 EJEMPLO: Calcular 8 3 K = 0 1 y 8 = 3 8 3 k + 1 3 = K = 1 3 3 o 1 x K = 17 1 17 1 Para k > da arguentos ayores que, y se repiten los isos puntos en el plano. Un caso particular interesante es calcular las raíces enésias de (1, 0), las cuales se denoinan raíces enésias de la unidad. y Puesto que (1, 0) es un núero coplejo que tiene ódulo 1, de la observación anterior se deduce que los extreos de las raíces enésias de la unidad con n >, son los vértices de un polígono regular de n lados, inscripto en una circunferencia de radio 1. x Ejeplo: 8 (1, 0) 19

0 1.. RAÍZ CUADRADA EN FORMA BINÓMICA En uchos casos en que se desea hallar las raíces cuadradas de un núero coplejo (a + ib) existe interés en evitar el pasaje a la fora polar. Sea el coplejo (a + ib). La raíz cuadrada de este coplejo será otro núero coplejo (c + id) tal que su cuadrado de (a + ib). Si: a+ ib = c+ id debe cuplirse: (c+ id) = (a+ i b) Al efectuar el cuadrado de un binoio, y al tener en cuenta que i = 1 se obtiene: (c + id) = c + icd d? (c d + icd) = a + ib Para que se cupla esta últia igualdad, debe cuplirse que: c d = a (igualdad 1) cd = b (igualdad ) Para hallar los valores de c y d en función de los de a y b, se recurre a la definición del ódulo de un coplejo. Para el núero coplejo (a + ib), el ódulo: Para el núero coplejo (c + id), el ódulo: = a + b ' = c + d Vista la radicación en fora polar, se debe cuplir que: ( ) ' = o sea que: c + d = a + b (igualdad 3) Suando y restando las igualdades 1 y 3 se obtiene que: Al suar: c = + a c = ± Al restar: d = a d = ± + a a De las cuatro cobinaciones posibles para los valores de c y d, solo son dos los valores correctos: aquellos en que el producto c*d tenga el iso signo de b (véase la igualdad ). a+ i b = + a a ± + i si b> 0 + a a ± i si b< 0 = a + b 0

1 EJEMPLO: Hallar las raíces de: z + ( 3 i)z + (8 i) = 0 Es una ecuación copleta de segundo grado; por lo tanto, se aplica la fórula de resolución. ( 3 i) ± ( 3 i) (1)(8 i) ( 3 i) ± + 10i z = = (1) Priero se halla la raíz cuadrada de ( +10i). Para ello es conveniente usar la fora binóica. Sea el núero coplejo ( + 10i) de ódulo = ( ) + (10) = 6 Sea (c + id) = + 10i + 10i = ( 1 5i) 6 c = ± = ± 1 (1 + 5i) 6+ d= ± = ± 5 3+ i + 1+ 5i z = = + 3i 1 3+ i 1 5i z = = 1 i Soluciones: {( + 3i), (1 i)} Exaen 5.º Científico. Julio 1990, Liceo de Solyar Se sabe que (Z, W) Z = (1+ i)w = 9 W 1 1) Calcular (Z, W). Sea el conjunto solución {(Z, W ), (Z, W )} 1 1 ) f:? es polinóica de grado ínio posible a coeficientes reales de odo que {Z 1, W 1, Z, W } c f 1 ({0}). Cuáles son los otros eleentos de f 1 ({0})? 3) Si el polinoio asociado a f tiene coo coeficiente de ás alto grado a 3 8, cuál es su térino independiente? ) El polinoio asociado a f, es prio o copuesto en los reales? Por qué? 5) El polinoio asociado a f, es prio o copuesto en los coplejos? Por qué? Véanse los resultados en la página 90. 1

13 POLINOMIOS DE VARIABLE COMPLEJA 13.1. TEOREMA Dado un polinoio: P( z) i =n i a z i i=0 de variable z copleja, de coeficientes a i reales, se cuple ( ) i n. P z =P( z) Para la deostración se usarán las propiedades de los núeros coplejos conjugados (véase el punto 6.). i=n Haciendo el valor nuérico para z, se obtiene que: P ( z) = a ( z) i Cada térino del polinoio de la fora a ( z) i propiedades de los núeros coplejos conjugados) coo: a z i = a z i = a z i = a z i i i i i ( ) ( ) ( ) i=0 i se puede escribir (aplicando i i=n i i=n i=n i i P z = a z = a z = a z = P( z) i i i i=0 i=0 i=0 ( ) ( ) ( ) O sea que: ( z) P = P( z) 13.. COROLARIO Todo polinoio de coeficientes reales que tenga una raíz copleja z tabién tendrá su copleja conjugada: z. o o Por el teorea anterior se cuple que: ( z ) Dado que P(z o ) = 0, por hipótesis. Entonces se cuple la tesis de que: P( z o ) = 0 P = P( z ) = 0 = 0 o o

3 NOTA Si un polinoio de variable copleja y coeficiente reales tiene una raíz copleja z o, el polinoio es divisible entre (z z ) y entre ( z z ). o o Por lo cual, las raíces coplejas de un polinoio de coeficientes reales se presentan en pares iaginarios conjugados. En consecuencia, si el polinoio es de grado ipar tiene al enos una raíz real. Todo polinoio reducido de variable copleja de grado n tiene exactaente n raíces (contadas con su orden de ultiplicidad). EJEMPLO: Hallar todas las raíces de: z 3 7z + 17z 15 = 0 sabiendo que una raíz es: ( i). Por el teorea anterior, si un polinoio de coeficientes reales, tiene por raíz al núero coplejo ( i), es tabién raíz el núero coplejo conjugado ( + i). Se divide aplicando Ruffini hasta un cociente de prier grado, donde se despeja la tercera raíz. 1 7 17 15 i i 11+ 3i 15 1 5 i 6+3i 0 + i + i 6 3i 1 3 0 Cociente = z 3 de raíz z = 3 Raíces = {3, ( i), ( + i)} 3

1) a) Dado un núero coplejo en fora polar, obtener las fórulas de pasaje para expresarlo en notación binóica (a + ib). b) Obtener la fórula del producto de dos núeros coplejos en notación polar. c) Dados 6 y 5 calcular su producto. ) a) Cóo se realiza la ultiplicación en polares? Qué notación se usa en la partida? Qué propiedades se usan y que fórula se aplica al final de la deostración? b) Cóo se calculan las raíces enésias de un núero coplejo distinto de cero? Cuántas raíces enésias se obtienen? Justificar con detalles esta últia respuesta. c) Calcular ( ) 81 3) a) z = a + bi es un núero coplejo. Explicar qué significa esta notación y expresarla en fora polar. b) Deostrar la fórula de De Moivre. ) a) Definir núero coplejo. b) Fora binóica y trigonoétrica. c) Expresar en fora polar (3+ 3 i ). 5) Escribir y deostrar la fórula que perite calcular la potencia enésia de un núero coplejo z = (fórula de De Moivre). α 6) a) Definir de ultiplicación de núeros coplejos dados en notación cartesiana b) Justificar la notación binóica. b1) (0, b) = bi b) (a, b) = a + bi c) Cóo se ultiplica en polares? Justificar. 7) Cuáles de las siguientes proposiciones son ciertas? Si la proposición es falsa, dar un contraejeplo. a) z + z = 0 si y solo si Re(z) = 0 1 b) z + es real si y solo si I(z) = 0 o z = 1 z

5 01) Efectuar las operaciones siguientes: 1) ( + 6i) (5 i) ) (9 i) (7 3i) 3) (1 i)*(1 + i) ) (8 + i)*(1 + i) 0) Efectuar las operaciones siguientes: 1) (1 + i) ) 6 7 i 1 i 5) 18 + i +3i 6) 1 i 9) (1 i) 10) 1+ i 3 + 3 i 1 i 1+ i 13 +13i 3) 3i ) 5+15i 7+ i 7) i 8) i 3 11) 19 3i 6+i 03) Resolver en 1) z 6z + 10 = 0 ) z + 1 = 0 3) (z 3)(z + ) = (z + ) ) z(z + 1) 3 (z + 1) = 0 5) (1 + i) z = 1 ( i) 1+ i 17 6) z + = (1 i) 1+ i 3i 6 7) z. ( z) + z = i 0) Deterinar un núero coplejo sabiendo que: si al resultado de ultiplicarlo por ( i) se le sua ( + i) y a lo obtenido se le divide entre ( + 3i), se vuelve al núero coplejo de partida. 05) Resolver los siguientes sisteas. 1) x + y = + i x + ( + i) y = 6 + i ) ix iy = 0 i (3 + i) x + y = 7 + 7i 3) ( + i) x (3 + i) z = 5 i ix (1 i) z = 8 + 8i ) (3 i) x + ( i 1) z = 1 ix ( + 3 i) z = i 06) Hallar los valores que deben toar a y b para que la expresión (a + ib) sea igual a 16. 07) Resolver: 3 z + w =1 3i z iw = 6 08) Calcular dos núeros coplejos w y z tales que:? su sua sea (3 i)? el producto de sus coponentes reales sea? la coponente real de su producto sea 5? ódulo w < ódulo z < 5

6 09) Escribir en notación binóica los siguientes núeros coplejos dados en fora polar. a) 5 b) c) 3 d) 7 5 e) 3 f) 3 g) 3 h) 6 i) 5 j) 9 10) Escribir en notación polar los siguientes núeros coplejos dados en notación binóica. a) (1 + i) b) (1 i) c) ( 1 + i) d) ( 1 i) e) ( 1 i 3) f) ( 3+ 3i ) g) 5i h) 7 i) 7 j) 3i 11) Dados los núeros coplejos: a) (1 + i) b) ( 1 i 3) c) i i) Representarlos en un sistea de ejes cartesianos. ii) Expresarlos en la notación polar. iii) Calcular su potencia quinta. 1) a) Sea: z = 3 6 calcular z, z 5, z 6 y expresar los resultados en fora binóica. b) Calcular los coponentes cartesianos de los núeros coplejos: i) 6 6 ii) 8 3 13) i) Calcular: ( 5+ 1 i ) ii) Resolver: z + ( 3 +i)z + 10 = 0 iii) Resolver: z + (3 i)z 6i = 0 iii) 7 6 1) Hallar el valor nuérico del polinoio: P(z) = (3 + i)z 3 + ( 1 + i)z ( + i)z + ( 1 + 5i) para z = 1 + i y z = i 15) Construir la ecuación de segundo grado de coeficiente principal igual a 1, que tiene por raíces: (6 + i) (6 i) 16) Dado: P(z) z 8z 3 + 1z 10z hallar las cuatro raíces de P(z), sabiendo que una de ellas es (3 + i ) 17) Dado P(z) z + ( 5 + i)z 3 + (1 11i)z az + b i) Deterinar a y b para que el polinoio sea divisible entre (z+i) y entre (z + 1 + i). ii) Efectuar la descoposición factorial de P(z). 18) a) Calcular α = ( i 3 i ) y β tal que se cupla: β β= 3+ 3i b) Dado P(z) z 3 + ( 5 + 3i)z + (6 1i)z + (c + di) deterinar c y d y resolver P(z) = 0, sabiendo que α y β son raíces de P(z) 6

Página 385) FALACIA No son aplicables las propiedades de las raíces, ver pág. 383 Página 398) 7 Los de antes sí que eran exáenes. 1) W = 3 1 7 W = 3 15 Z = 3 1 9 Z = 3 8 8 8 8 ) Los otros eleentos son los conjugados. 3) Térino independiente =, (ultiplique los ódulos * 3 8 ) ) Es prio en los reales, (no tiene divisores). 5) Es copuesto en los coplejos, (tiene divisores, por ejeplo: (z z ) 1 01) 1) ( 3 + 8i) ) ( + i) 3) ) (6 + 17i) 0) 1) i ) ( + i) 3) ( 1 + 5i) ) (1 + i) 5) (3 i) 6) i 7) 1 8) i 9) i 10) ( 3 + i) 11) (3 i) 03) 1) Solución = {(3 + i), (3 i)} ) Solución = { i, i} 3) Solución = {5, i, i} ) Solución = {3, i, i} 5) Solución = 1 i { } 6) Solución = { + i} 7) Solución = {( 1 + i)} 0) (1, 1) 05) 1) x = 1 + i y = i ) x = 1 + i y = i 3) x = (3 i) z = (1 i) ) x = 1 + i z = i 06) (+ + 0i) (0 + i) 07) z = i w = 1 3i 08) w = + i z = 1 3i 5 5 09) a) + i b) ( i ) c) ( + i ) d) 7 7 i e) ( 3 i ) f)( + 3 i ) g) (0 + 3i) h) (ódulo > 0) i) (5 + 0i) j) (0 9i) 10) a) b) 7 c) 3 d) 5 e) 3 f) 1 3 g) 5 h) 7 i) 7 j) 3 0 3 11) a) ii) iii) 5 b) ii) 3 iii) 3 3 c) ii)1 3 iii) 1 3 9 9 3 5 7 9 3 6 1) a) z =9 = i z =9 3 = i z 1 1 = = 0 5 7 7 i 3 6 b) i) ( 3 3, 3 ) ii) (, ) iii) ( 3, ) 13) i) ( + 3i) ( 3i) ii) Solución = {( i), (1 + i)} iii) Solución = {i, 3} 1) P(1 + i) = ( 15 3i) P(i) = (15 3i) 15) z 1z + 0 = 0 7

{ } 16) Raíces de P(z) = ( 3+ i), ( 3 i ), ( 1+ 3 ), ( 1 3) 8 17) i) a = 1 10i b = 8 + 8i ii) P(z) = (z + i)(z + 1 + i)(z )(z ) 8 18) a) α = i β = (3 + i) b) c = 8 d = 16 Raíces de P(z) = { i, (3 + i), ( i)}