Guí Mtemátic RAZONES Y PROPORCIONES tutor: Jcky Moreno.co
1. Rzones Al resolver distintos problems mtemáticos nos costumbrmos relcionr dos o más cntiddes medinte ls operciones básics de dición, sustrcción, multiplicción o división. L noción de rzón surge prtir de l comprción entre dos números, en prticulr nos permiten verigur qué número es myor trvés de l diferenci existente entre mbos, o bien, nos permite sber cuánts veces el myor número contiene l menor trvés del cuociente. En bse esto es que estudiremos dos tipos de rzones: l ritmétic y l geométric. 1.1. Rzón Aritmétic Llmmos rzón l comprción de dos cntiddes. Corresponde l comprción de dos cntiddes trvés de l diferenci entre ells, lo que nos permite conocer cuánto excede un cntidd l otr. Este tipo de rzón se puede escribir seprndo ls cntiddes con un punto ( ) o con un signo menos ( ). Así, l rzón ritmétic entre 7 y 3 se escribe 7.3 o 7 3 y se lee 7 es 3. 1.2. Rzón Geométric Corresponde l comprción de dos cntiddes trvés del cuociente entre mbs. Este tipo de rzón nos permite conocer cuánts veces contiene un cntidd l otr y se puede escribir gregndo entre ls dos cntiddes un signo de división (:) o un líne horizontl que sepre ls cntiddes en form de frcción. Así, l rzón geométric entre 4 y 9 se escribe 4 : 9 o 4 9 y se lee 4 es 9. En un rzón se pueden identificr dos términos: Antecedente, que corresponde l primer término, y el consecuente que corresponde l otro término. Ejemplo Cundo hblemos de rzón nos estmos refiriendo un rzón geométric. Rodrigo y Mrcel fueron l csino y gnron $32.000. Si deciden reprtirlo en bse l rzón 3 : 5 Cuánto dinero le corresponde cd uno? Solución: El dinero se reprte de cuerdo l rzón geométric 3 : 5, lo que signific que por cd 3 uniddes que pose Rodrigo, Mrcel posee 5. De cuerdo lo nterior lo primero que debemos hcer es dividir el monto totl en 8 prtes igules de ls cules 3 son pr Rodrigo y 5 son pr Mrcel. 2
32.000 : 8 = 4.000 Finlmente Rodrigo recibe $12.000 y Mrcel $20.000. Ejercicios 1 Resolver los siguientes ejercicios 1. Si un fmili está compuest por 30 persons de ls cules 12 son menores de edd. Cuál es l rzón entre ls persons menores de edd y ls myores de edd respectivmente? 2. Si el consecuente de l rzón 63 144 se disminuye en 4 uniddes y el ntecedente se ument en 5 uniddes, Cuál es l nuev rzón? 3. Un obrero necesit 180 [m 3 ] de concreto pr reprr un vered. Si el concreto que se utiliz está formdo por 5 prtes de ren y 10 de cemento. Cuántos m 3 de ren y cemento ocupó pr reprr l vered? 4. Al momento de csrse ls eddes de Mrí Pz y Pedro estbn en l rzón 7 8. Veinticutro ños después, es rzón psó ser de 11 12. Qué edd tení cd uno l csrse? 5. L rzón entre dos números es 3 5. Si l myor se le restn 10 y l menor se le sumn 8, se obtiene un rzón invers l originl. Cuáles son los números? 6. Si l rzón geométric entre dos números es 1 2 número myor? y su rzón ritmétic es de 28, cuál es el vlor del 2. Proporciones L noción de proporción nce prtir de identificr l iguldd entre dos rzones. Por ejemplo, l decir mi curso está formdo por 20 mujeres y 24 hombres se puede escribir l rzón entre ls mujeres y los hombres como 20 24, pero tmbién podrímos decir que l rzón es de 5. En este cso mbs rzones 6 están expresndo lo mismo, y que l últim es l máxim simplificción de l primer rzón y por lo tnto son equivlentes. Llmremos proporción l iguldd de dos rzones. 3
Un proporción se puede escribir como 10 16 = 45 72 ó 10 : 16 = 45 : 72 y se lee 10 es 16 como 45 es 72. El cuociente que result l dividir 10 por 16 o 45 por 72 se le denomin constnte o fctor de proporcionlidd. De form generl: 10 16 = 45 = constnte de proporcionlidd 72 b = k, k = constnte de proporcionlidd Dentro de tod proporción se pueden identificr dos elementos: los extremos y los medios. 2.1. Propieddes de ls proporciones A continución mostrmos un serie de propieddes que cumplen ls proporciones que fueron presentds en el quinto libro de los elementos de Euclides lrededor del ño 300.C: En tod proporción, el producto de los medios es igul l producto de los extremos. donde, b, c, d R y b, d 0. Por ejemplo: b = c d d = b c 2 6 = 5 = 2 15 = 6 5 = 30 = 30 15 Ls proporciones no se ltern l permutr medio y/o extremos. donde, b, c, d R {0}. Por ejemplo: b = c d c = b d d b = c 3 6 = 9 18 3 9 = 6 18 9 9 = 18 6 Ls tres expresiones nteriores corresponden l mism proporción, puesto que 3 18 = 9 6 = 54. 4
Otrs propieddes: 1. 2. 3. 4. b = c d x b y = c x d y b = c d y c d = e f b = e f b = c d + b = c + d b d b = c d b = c d b d y + b y b = c + d c = c d c 5. 6. b = c d + b b = c + d c d con b y c d b = c d = e f + c + e b + d + f = b Ejemplo Ls eddes de dos persons están en l rzón 4 : 11. Si juntos sumn 60 ños. Cuál es l edd de cd uno? Solución: Designmos con l letr x l edd de l primer person y con l letr y l de l segund, de cuerdo los dtos entregdos por el ejercicio tenemos que: Por lo tnto, ocupndo l propiedd 3 de ls proporciones tenemos: x + y = 60 (1) Reemplzmos (1) en l iguldd (2): x y = 4 11 = x + y y = 4 + 11 11 (2) 60 y = 15 660 = 60 11 = 15 y = y = 11 15 y = 44 Pr clculr l edd de l person 1 bst sustituir en l ecución (1) el vlor encontrdo pr y de l siguiente mner: x + 44 = 60 x = 16 Finlmente ls eddes de ls persons corresponden 44 ños y 16 ños. 5
Ejercicios 2 Utilizndo ls propieddes de ls proporciones desrrolle los siguientes ejercicios: 1. A un concierto sistieron 235 persons. Si hbín 3 hombres por cd 2 mujeres, entonces cuántos hombres sistieron? 2. L rzón entre los kilos de comid y l cntidd de persons que se pueden limentr en un dí es de 12 : 28. Si hy que limentr 258 persons, cuántos kilos de comid se necesitn? 3. L rzón entre dos números es de 17 6 y su diferenci es de 165. Cuánto vle su sum? 4. L medid de los ángulos interiores de un triángulo están en l rzón 2 : 3 : 4. Cuál es l medid de los ángulos? 5. Ls eddes de 3 hermns son entre sí como 3 : 5 : 9. Si sus eddes junts sumn 85 ños, cuál es l edd de cd un de ls hermns? 6. Se tiene un mp trzdo un escl 1 : 1000, cuál es l distnci rel de dos ciuddes que sobre el mp distn 30 [cm]? 7. L sum y l diferenci de dos números están en rzón de 4 es 7. Hllr el número myor sbiendo que el menor es 9. 2.2. Proporción Direct L proporcionlidd direct hce referenci quells situciones en donde comprmos, trvés de un rzón, dos vribles de tl form que l umentr o disminuir un de ests l otr tmbién ument o disminuye en l mism proporción. Por ejemplo, un txi cobr un trif de $100 por cd 200 [m] que recorre (sin considerr l trif bse). Ante tl situción podemos ver que ls vribles costo y distnci se relcionn de form direct, y que l umentr los metros recorridos tmbién ument el precio del vije en txi y vicevers. L prticulridd que tienen ests dos vribles l relcionrse de form direct es que su rzón es constnte: Los 50 metros recorridos nos cuest $25: Los 100 metros recorridos nos cuest $50: Los 200 metros recorridos nos cuest $100: Los 400 metros recorridos nos cuest $200: M etros Recorridos P recio M etros Recorridos P recio M etros Recorridos P recio M etros Recorridos P recio = 50 25 = 2 = 100 50 = 2 = 200 100 = 2 = 400 200 = 2 6
Los 600 metros recorridos nos cuest $300: M etros Recorridos P recio = 600 300 = 2 En este cso l dividir l vrible costo por l vrible distnci, l constnte de proporcionlidd corresponde 2 y es siempre l mism, independiente si disminuyen o umentn ls vribles, pues lo hcen en l mism proporción. En generl, si y es directmente proporcionl x entonces l rzón entre mbos permnece constnte. Lo nterior se simboliz de l siguiente form: y x y x = k o y = k x, con k constnte 2.2.1. Representción gráfic Si queremos representr en un gráfico ls dos vribles vists en l situción nterior, obtenemos lo siguiente: Como podemos observr en el gráfico los puntos se encuentrn linedos en un rect. En este cso nuestrs vribles estn representds trvés de ls expresiones: Distnci = 2 P recio o Distnci P recio En generl, l representr gráficmente dos vribles que son directmente proporcionles, x e y, d como resultdo un líne rect que ps por el origen. = 2 7
Ejemplo Si pr pintr 120 [m 2 ] se necesitn 3 glones de pintur. Cuántos glones de pintur se necesitn pr pintr 50 [m 2 ]?. Y si compro 7 glones de pintur, cuántos metros cudrdos puedo pintr? Solución: Ls vribles que estmos nlizndo son glones y metros cudrdos. Podemos notr que l umentr l cntidd de pintur ument el áre que puedo pintr, de l mism mner, l disminuir el áre que deseo pintr disminuye l cntidd de pintur utilizr. Sbemos que ls dos vribles se relcionn de form directmente proporcionl, por lo tnto tenemos que: metros cudrdos = constnte glones Pr obtener el vlor de l constnte de proporcionlidd direct, sustituimos los vlores entregdos por el enuncido: De est form l constnte es 40. 120 3 = 40 Como queremos sber cuántos glones de pintur necesito pr cubrir 50 [m 2 ] debemos determinr por qué cntidd hy que dividir 50 pr obtener l constnte 40: 50 x = 40 x = 50 40 = 5 4 (3) Por lo tnto se necesitn 5 4 o 1 glón más un curto de otro pr poder pintr los 50 [m2 ]. Ahor, si decido comprr 7 glones de pintur, cuántos metros cudrdos puedo pintr? Solución: Est vez resolveremos el problem utilizndo l regl de tres direct, pr esto seprmos ls vribles en dos columns formndo un proporción. Ubicmos los glones l derech y los metros cudrdos l izquierd y luego resolvemos utilizndo l propiedd de que en tod proporción el producto de los medios es igul l producto de los extremos (multiplicción cruzd). De est mner: 3 7 = 120 x 120 7 = 3 x x = 840 3 x = 280 Finlmente con 7 glones de pintur puedo pintr 280 [m 2 ]. (4) Pr resolver culquier problem con proporción direct se puede proceder de mbs forms. 8
2.3. Proporción Invers L proporcionlidd invers hce referenci quells situciones en donde comprmos, trvés de un rzón, dos vribles de tl form que l umentr un l otr disminuye en l mism proporción y vicevers. Por ejemplo, si decido tomr un bus pr ir de Estción Centrl Temuco debo recorrer 700 [km] en rut, si el chofer conduce 100 [km/h] me demoro 7 hors, pero si disminuye su velocidd l mitd, es decir, 50 [km/h], me demoro el doble, ose, 14 hors de vije. En est situción podemos ver que l vrible velocidd y l vrible tiempo se relcionn de mner indirect y que l disminuir l velocidd del bus, ument el tiempo de recorrido y vicevers. L prticulridd que tienen ests dos vribles l relcionrse de form indirect, es que su producto es constnte: Si l velocidd es de 20 [km/h] el tiempo de vije es de 35 [h]: velocidd tiempo = 20 35 = 700 Si l velocidd es de 50 [km/h] el tiempo de vije es de 14 [h]: elocidd tiempo = 50 14 = 700 Si l velocidd es de 100 [km/h] el tiempo de vije es de 7 [h]: velocidd tiempo = 100 7 = 700 Si l velocidd es de 200 [km/h] el tiempo de vije es de 3, 5 [h]: velocidd tiempo = 200 3, 5 = 700 Si l velocidd es de 300 [km/h] el tiempo de vije es de 7/3 [h]: velocidd tiempo = 300 7 3 = 700 En este cso l multiplicr l vrible velocidd con l vrible tiempo, l constnte de proporcionlidd corresponde 700 y es siempre l mism (corresponde l distnci recorrid). En generl, si y es inversmente proporcionl x, entonces el producto entre mbos permnece constnte. Lo nterior se simboliz de l siguiente form: y x y x = k ó y = k, con k constnte x 2.3.1. Representción gráfic Si queremos representr en un gráfico ls dos vribles vists en l situción nterior obtenemos lo siguiente: 9
Como podemos observr en el gráfico los puntos se encuentrn sobre un curv. En este cso nuestrs vribles están representds trvés de ls expresiones: velocidd tiempo = 700 o velocidd = 700 tiempo En generl, l representr gráficmente dos vribles que son inversmente proporcionles, x e y, d como resultdo un curv llmd hipérbol equiláter. Ejemplo Si un grnj tiene ciert cntidd de comid que le lcnz pr limentr sus 50 nimles por 1 semn. Si l cntidd de nimles ument 70, cuántos dís le lcnzr l mism cntidd de comid? Solución: Ls vribles que estmos nlizndo son nimles y dís. Podemos notr que l umentr l cntidd de nimles en l grnj l comid que tienen le lcnzrá pr menos dís, por lo tnto ls vribles se relcionn de mner inversmente proporcionl. Ls vribles l relcionrse de est mner, sbemos que su producto es constnte, por lo que tenemos: nimles dis = constnte Pr obtener el vlor de l constnte de proporcionlidd invers, sustituimos los vlores entregdos en el enuncido: De est form l constnte es 350. 50 7 = 350 Como queremos sber cuántos dís nos durrá l comid si los nimles umentron 70, debemos encontrr el número que multiplicdo por 70 nos d l constnte 350: 70 x = 350 x = 350 70 x = 5 (5) Por lo tnto, l comid que tiene l grnj lcnzrá pr limentr los nimles por 5 dís. Ahor, si quiero que l comid me dure 10 dís, cuántos nimles tengo que limentr? 10
Solución: Ahor resolveremos el problem utilizndo l regl de tres invers, pr hcerlo seprmos ls vribles en dos columns formndo un proporción. Ubicmos los nimles l derech y los dís l izquierd, luego multiplicmos de form horizontl los números tl como se muestr continución: 50 x = 7 10 50 7 = x 10 x = 350 10 x = 35 (6) Luego, si quiero que el limento disponible me dure por 10 dís debo limentr solmente 35 nimles. Pr resolver culquier problem de proporción invers se puede proceder de mbs forms. Ejercicios 3 Completr ls tbls de mner que hy proporcionlidd entre ls dos vribles. Representr cd ejercicio en un plno crtesino y determinr l constnte de proporcionlidd: 1. 2. 3. 4. x 3 5 30 y 1/3 2/5 2 6 x 1/16 2 5 y 4 1/4 1/20 1/32 x 1 2 3 6 y 4 6 2 x 15/7 5 15 35 y 3 14 49 De cuerdo l informción entregd por cd gráfico obtener l constnte de proporcionlidd y el vlor de mbs incógnits: 1. 11
2. 3. 2.4. Proporción Compuest Los dos tipos de proporciones vistos nteriormente dn cuent de l relción entre dos vribles, sin embrgo en lguns ocsiones nos encontrmos con situciones donde intervienen más de dos vribles. Un ejemplo típico que ilustr est situción es cundo un ingeniero civil debe orgnizr un proyecto de un construcción, y que tiene que mnejr cunts hors diris trbjrán los obreros, cuántos obreros ocuprá pr l construcción y cuántos dís disponibles tiene pr l finlizción de l obr. Así, l vrir culquier de ls 3 vribles lterrá directmente en ls otrs restntes. Ejemplo Si 12 obreros trbjn 10 hors diris por 45 dís, cuánto trdrán en hcer el mismo trbjo 15 obreros trbjndo 8 hors diris? Solución: Ls vribles que tenemos en este ejercicios son obreros, dís y hors. Nuestr incógnit x represent l cntidd de dís que se demorrán 15 obreros en relizr l construcción trbjndo 8 hors diris. L informción entregd por el enuncido podemos orgnizrl en el siguiente tbl: Obreros Dís Hors 12 45 10 15 x 8 12
Lo primero que hcemos es determinr cómo se relcionn ls vribles obreros y dís y ls vribles dís y hors. En este cso mbs situciones se relcionn de form inversmente proporcionl, y que l umentr l cntidd de obreros disminuye l cntidd de dís que me demoro en relizr l obr y l disminuir l cntidd de hors que trbjn los obreros ument l cntidd de dís que ocupo en relizr l construcción. Como ls vribles se relcionn de form invers se multiplicn de form horizontl, tl como se muestr continución: 12 45 10 = 15 x 8 12 45 10 x = 15 8 x = 5400 120 x = 45 (7) Por lo tnto, si trbjn 15 obreros 8 hors diris se demorrán 45 dís es terminr l mism construcción. Ejercicios 4 Resolver los siguientes ejercicios: 1. Un chocolte de 100 [gr] posee 518 [cl], Cuánts clorís posee un brr de 500 [gr] del mismo chocolte? 2. A un piscin se le gregn 10 litros de gu en 40 minutos, cuánto se trdrá en llenr l piscin si tiene un volumen totl de 500 litros? 3. Un pintor se demor 1 hor en pintr los tres octvos de un murll, cuánto tiempo trdrín 3 persons en pintr lo que flt? 4. 3 persons demorn 4 hors en hcer 55 pnes. Cuánto demorrán 8 persons en hcer 150 pnes de ls mims crcterístics? 5. Si un llve llen dos quintos de un estnque en 4 hors, en cunto tiempo se podrá llenr l mitd del estnque si utilizmos 4 llves? Bibliogrfí [1 ] Apuntes pr l preprción de l PSU Mtemátic, Segund Edición, 2009, Pmel Predes Núñez, Mnuel Rmírez. [2 ] Libro pr el mestro, Segund Edición, 2001, Jesús Alrcón Bortolussi, Elis Bonill Rius, Rocío Nv Álvrez, Teres Rojno Cevllos, Ricrdo Quintero. 13