ESTADÍSTICA La Estadístca es la parte de las Mateátcas que estuda étodos para terpretar datos obtedos de vestgacoes o experetos aleatoros (aquellos e los que o se puede predecr el resultado auque se realce sepre e las sas codcoes), co el f de extraer de ellos uas coclusoes. La Estadístca puede ser: a) Descrptva.-Trata de obteer uas coclusoes a partr de certos datos edate el epleo de gráfcos o la obtecó de uos certos valores que los represete a todos. Llaados paráetros estadístcos. b) Iferecal.-Trata de deterar los valores que adoptará ua sere de datos uy uerosos, que fora ua poblacó edate el estudo de uos cuatos de ellos extraídos de la poblacó de ua aera sgfcatva y que fora ua uestra. La Estadístca descrptva se ecarga de estudar ua o varas de las característcas de u cojuto de eleetos. Para cosegurlo ecestará: - Recoger los datos. - Regstrar y ordear los datos e tablas. - Represetar y resur los datos edate gráfcas que faclte su terpretacó. - Calcular uos úeros llaados estadístcos, que descrbe y splfca los datos recogdos para el estudo a efectuar.. Coceptos báscos: Poblacó: es el cojuto de todos los eleetos objeto de uestro estudo. Muestra: es u subcojuto extraído de la poblacó, cuyo estudo srve para ferr característcas de toda la poblacó. Tedrá que ser represetatvo y aleatoro. La Teoría de Muestreo es la ecargada de estudar las codcoes óptas para la eleccó de las uestras segú el estudo a hacer. Idvduo: es cada uo de los eleetos del cojuto que fora la poblacó o la uestra. Caracteres y varables estadístcas: so los aspectos que deseaos estudar e los dvduos de ua poblacó. Cada carácter puede toar dsttos valores o odaldades. Ejeplo: U fabrcate de torllos desea hacer u cotrol de caldad. Para ello, recoge de cada 00 torllos producdos y lo aalza para llegar a la coclusó de que es CORRECTO o DEFECTUOSO. - POBLACIÓ: el cojuto de todos los torllos producdos. - MUESTRA: los torllos aalzados. - IDIVIDUO: cada uo de los torllos. - CARÁCER ESTADÍSTICO: estado de los torllos. Sólo hay dos odaldades de la varable. Defectuoso y o defectuoso. Se trata de ua varable cualtatva. Las varables estadístcas puede ser: Cualtatvas: so las que o toa valores uércos. Preseta odaldades. Ejeplo: Varable estadístca X estado cvl X { casado, soltero, vudo, dvorcado} x casado, x soltero, x vudo, x dvorcado. Es ua varable cualtatva, co cuatro odaldades dsttas. Cuattatvas: so las que toa valores uércos. A su vez se clasfca e: - Dscretas o o agrupadas: so las que toa valores uércos aslados. Ejeplo: X El úero de hjos. - Cotuas o agrupadas: so las que puede toar todos los valores de u tervalo. Ejeplo: X Altura eda de todos los estudates de bachllerato.
COFECCIÓ DE TABLAS DE FRECUECIAS Defcoes: Taaño uestral: es el úero de dvduos total de la poblacó o uestra a estudar. Lo deotaos por la letra. Frecueca absoluta de u resultado es el úero de veces que se preseta dcho resultado. La represetareos por. Frecueca relatva de u resultado es la frecueca absoluta dvdda por el úero total de veces que se ha realzado el expereto. Es decr, etre el taaño de la uestra. La represetareos por f. Se obtee: f Frecueca absoluta acuulada de u resultado, es el úero de veces que se preseta u resultado o todos los aterores a él. Se represeta por Se obtee: + + +... + Frecueca relatva acuulada de u resultado, a la frecueca absoluta acuulada dvdda por el úero total de observacoes. La represetareos por F Se obtee: k F f + f + f +... + f f k k k k k Propedades de las frecuecas: La sua de todas las frecuecas absolutas es gual al taaño de la uestra. Es decr, La frecueca relatva y la acuulada toa valores copreddos etre cero y uo: 0 f La sua de todas las frecuecas relatvas es gual a uo. Es decr, f Cofeccó de ua tabla de frecuecas para ua varable cuattatva dscreta: Ejeplo Supogaos el expereto aleatoro cosstete e aotar las calfcacoes de ateátcas de u colectvo de 0 aluos. Los resultados ha sdo: -6-8-8------0----6-7-8-9-7-7-6-------6-7-0------6-6-7---6---6-7-6----- Varable X calfcacoes de Mateátcas Es ua varable cuattatva dscreta, pues sólo toa valores eteros copreddos etre y 0. Taaño de la uestra 0 Realzaos u recueto de los resultados obtedos arcado ua raya vertcal por cada uo de ellos y agrupádolos e grupos de para facltar el coteo: II... III... III... IIIII IIII...9 IIIII IIIII II... 6 IIIII IIII...9 7 IIIII I...6 8 III... 9 I... 0 II... Co las defcoes dadas aterorete, podeos orgazar los datos de uestro expereto e ua tabla de frecuecas de la sguete aera.
TABLA DE FRECUECIAS F.absoluta F.relatva F.absta Acuu F.relatva Acu x f F 0,0 F f 0, 0 0,06 0, 0,06 8 0,6 9 0,8 7 0, 0, 9 0,8 6 9 0,8 8 0,76 7 6 0, 0,88 8 0,06 7 0,9 9 0,0 8 0,96 0 0,0 0 0 F 0 Totales 0 0 Represetacó gráfca (varable dscreta) Los resultados del expereto ateror, se podría ver co ucha ayor clardad s los datos tabulados (de la tabla), estuvese represetados gráfcaete. Los prcpales tpos de represetacoes gráfcas que co ellos podeos hacer so: a) Dagraas de barras. Colocaos e el eje de abcsas los valores de la varable x y e el eje de ordeadas los valores de las frecuecas y dbujaos barras de gual achura cuya altura sea exactaete la frecueca. Así teeos b) Polígoos de frecuecas.- Se obtee s uos los putos edos de las bases superores de las barras e el dagraa ateror: c) Dagraas de sectores.- Se obtee dvdedo la crcufereca e tatas partes coo valores tega la varable de aera que el área de cada sector obtedo sea proporcoal a la respectva frecueca. Para ello basta co obteer el águlo cetral que ha de ocupar cada sector, lo cual se hace edate ua proporcoaldad drecta de la sguete aera: S a 60º le correspode ua frecueca 0, a xº le correspoderá la frecueca f
De aera que se tee: Así, por ejeplo para ua frecueca de, se obtee: Luego co ayuda de u secírculo graduado, se lleva los águlos obtedos a la crcufereca. Sale u gráfco parecdo al sguete: d) Pctograas.- Es coo el dagraa de barras dode se susttuye las sas por u dbujo de altura proporcoal a las frecuecas y que hace ás tutva la terpretacó de los resultados. Así podíaos susttur las barras por dbujos de lbros por ejeplo. Cofeccó de ua tabla de frecuecas para ua varable cuattatva cotua o agrupada: Cuado e ua dstrbucó estadístca el úero de valores que toa la varable es uy grade (ás de 0), covee elaborar ua tabla de frecuecas agrupádolos e tervalos. Para ello: Se localza los valores extreos. El eor: a y el ayor: b, y se halla su dfereca, que se llaa recorrdo de la varable: r b a Se decde el úero de tervalos que se quere forar, teedo e cueta la catdad de datos que se posee. El úero de tervalos o debe ser feror a 6 superor a. Se toa u valor r que sea algo superor al valor del recorrdo r y que sea últplo del úero de tervalos, co objeto de que estos tega ua logtud etera. Se fora los tervalos de odo que el extreo feror del prero sea algo eor que a y el extreo superor del últo sea algo superor a b. Es deseable que los extreos de los tervalos o cocda co gú valor de los datos. Para ello, puede cover que dchos extreos tega valores o eteros. Itroducos uevos coceptos: Marca de clase: es el puto edo de cada tervalo. Es el valor que represeta a todo el tervalo para el cálculo de alguos paráetros. Es decr, las arcas de clase se correspode co los valores de la varable: x, x, x,... x,... x El tervalo -éso lo deotareos: [ L, L ) L + L Podeos pues calcular las arcas de clase coo sgue: x Apltud del tervalo: es la dfereca etre los dos extreos del tervalo. Los tervalos suele teer apltud costate, auque puede que o sea así. Se tee: apltud del -éso tervalo a L L OTA: cuado se elabora ua tabla co datos agrupados, se perde algo de foracó. A cabo, se gaa e clardad y efcaca. El úero de tervalos a elegr es u poco arbtraro. S ebargo dchos tervalos debe cuplr ecesaraete uas oras que so: Cubrr todo el recorrdo de la varable. guo de sus extreos puede cocdr co los valores de la varable. El extreo fal de uo de ellos ha de cocdr co el extreo cal del sguete.
Tee que ser tervalos dsjutos. Co ello, se pretede que uca se dé el caso de haber u so valor de la varable e dos tervalos dferetes. Suele elegrse cerrados por la derecha y abertos por la zquerda. Auque al revés tabé es gualete váldo. Ejeplo: Elaborar ua tabla de frecuecas co las estaturas de 0 adolescetes dadas a cotuacó: 68, 60, 67, 7, 7, 67, 68, 8, 9, 60, 78, 66, 8, 6, 7, 6, 6, 6, 6, 7, 60, 6,, 6, 6, 6, 6, 66, 6, 9, 70, 6, 0, 67, 6, 6, 7, 6, 69, 70. El úero de valores dsttos que hay es grade (ayor que 0) Por eso, lo adecuado es clasfcarlos e tervalos. Para ello, procedeos del sguete odo: Localzaos los valores extreos: El eor a 9 Dfereca r 78 9 9 que es el valor del recorrdo El ayor b 78 Por ser pequeño el úero de datos, decdos que el úero de tervalos sea pequeño. Por ejeplo ses. Buscaos u úero algo ayor que el recorrdo y que sea últplo de ses. Por ejeplo r 0. de este 0 odo, cada tervalo tedrá ua apltud gual a 6 Foraos los tervalos coezado por u úero algo eor que 9 y de odo que los ses tervalos abarque la totaldad de los datos. º tervalo: 8,, º tervalo: 6, 68, º tervalo:, 8, º tervalo: 88, 7, º tervalo: 8, 6, 6º tervalo: 7, 78, Repartos los cuareta datos e los ses tervalos. Haceos el recueto: 8,, II 6, 68, IIIII IIIII IIII, 8, IIII 88, 7, IIIII 8, 6, IIIII IIIII I 7, 78, IIII TABLA DE FRECUECIAS Itervalos Marca de clase x f F 8,, 0,0 F f 0, 0, 8, 6 0, 6 0, 8, 6, 6 0,7 7 0, 6, 68, 66 0, 0,77 68, 7, 7 0, 6 0,9 7, 78, 76 0, 0 F Totales 0 6 f 6 6 Represetacoes gráfcas (varable cotua) Los prcpales tpos de represetacoes gráfcas que podeos hacer so: a) Hstograa.- Colocaos e el eje de abscsas los extreos de los tervalos y e el eje de ordeadas los valores de las frecuecas y dbujaos rectágulos udos de la sa base s los tervalos tee la sa apltud y de altura la frecueca de cada u de ellos. Así teeos
b) Polígoos de frecuecas.- Se obtee s uos los putos edos de las bases superores de los rectágulos del hstograa ateror: c) Dagraas de sectores.- Se obtee dvdedo la crcufereca e tatas partes coo valores tega la varable de aera que el área de cada sector obtedo sea proporcoal a la respectva frecueca. Para ello basta co obteer el águlo cetral que ha de ocupar cada sector, lo cual se hace edate ua proporcoaldad drecta de la sguete aera: S a 60º le correspode ua frecueca 0, a xº le correspoderá la frecueca f f.60 De aera que se tee: x 0 Co ayuda de u secírculo graduado, se lleva los águlos obtedos a la crcufereca. Sale u gráfco parecdo al sguete: PARÁMETROS ESTADÍSTICOS Puesto que las represetacoes gráfcas o sepre cosgue ofrecer ua foracó copleta de ua sere de datos, es ecesaro aalzar procedetos uércos que perta resur toda la foracó del feóeo e estudo e uos úeros llaados paráetros estadístcos. Se les exge que tega certas propedades. Pero o exste guo que las verfque todas. o exste u paráetro deal. Usareos aquellos que sea lo ás represetatvo posble de la stuacó cocreta que esteos estudado. Su efcaca depede de uchos factores, etre ellos, la aturaleza de la varable e estudo, los datos de que se dspoga, etc. Los paráetros estadístcos puede ser de dos clases: a) Meddas de cetralzacó. Busca característcas del cetro de la dstrbucó. Las ás portates so la eda artétca, la edaa y la oda. Otras eos utlzadas so eda geoétrca, eda aróca y eda poderada. 6
b) Meddas de poscó. Idca, ua vez ordeados, cuatos eleetos queda a la zquerda o derecha de uo dado. So: cuartles, decles, cetles o percetles. c) Meddas de dspersó. Proporcoa ua dea sobre la separacó de los datos. So: rago, el recorrdo, desvacó eda, varaza, desvacó típca y coefcete de varacó. d) Meddas de fora. Proporcoa ua dea de la setría y aputaeto de la dstrbucó. So: coefcete de setría y coefcete de aputaeto. MEDIDAS DE CETRALIZACIÓ La eda artétca. Se llaa así a la sua de todos los valores observados dvddo por el úero total de los sos. Para ua tabla de frecuecas e la que a cada valor de la varable x, le correspoda ua frecueca absoluta, la eda, que se represeta por X se calcula así: X x. x. x. f OBSERVACIÓ: cuado la varable sea cotua o agrupada el valor será la arca de clase de los dferetes tervalos. Así, para los datos de la tabla de los ejeplos aterores, calcularíaos la eda artétca de la sguete aera: - Añados ua colua ueva e la tabla de frecuecas e la que vaos a calcular x. Calculaos pues, el producto de los valores de la varable por la frecueca absoluta que le correspode a cada uo de dchos valores. 0 - E la últa fla, la de los totales, calculaos la sua de toda esta ueva colua. x - El resultado obtedo lo dvdos etre el taaño de la uestra. Y el valor obtedo es el valor de la eda artétca. Podríaos hacer los cálculos de fora slar pero co la colua de las frecuecas relatvas y e ese caso la sua de todos los eleetos de dcha colua sería el valor de la eda. Cuado la varable sea cotua o agrupada e tervalos, procedeos de fora aáloga, pero ahora, las arcas de clases so las que hace el papel de los dsttos valores de la varable: x Es decr: E el ejeplo de varable dscreta teeos: x f x. x.f 0,0 0,0 0,06 6 0, 0,06 9 0,8 9 0,8 6 0,7 0, 60, 6 9 0,8,08 7 6 0, 0,8 8 0,06 0,8 9 0,0 9 0,8 0 0,0 0 0, Totales 0 0 0 6, x X x. 7
X 6,, es la ota eda de las calfcacoes de Mateátcas. 0 E el ejeplo de varable cotua teeos: X Itervalos Marca de clase x x. f x. f 8,, 0 0,0 7,, 8, 6 6 0,,6 8, 6, 6 77 0,7,7 6, 68, 66 0, 8, 68, 7, 7 8 0,,7 7, 78, 76 70 0, 7,6 Totales 0 680 6, 680 6,c. Es la altura eda de los adolescetes 0 OBSERVACIÓ: La eda artétca es ua edda úca para cada dstrbucó. La oda: Es el valor de la varable que tee ayor frecueca absoluta. Su cálculo es dferete segú la aturaleza de la varable. Se deota: M 0 Para calcular la oda procedeos de fora dferete, segú sea la aturaleza de la varable e estudo. Varable dscreta o o agrupada: El cálculo es drecto E el ejeplo de varable dscreta teeos: (ver pága ) La oda es M o, pues es a esta ota a la que correspode la ayor frecueca absoluta () Luego: La ota obteda ás veces es S a dos o ás valores les correspode la sa frecueca áxa, la dstrbucó se llaa bodal o ultodal. OTA: cuado las frecuecas absolutas tee valores uy slares, la oda o es uy represetatva. Varable cotua o agrupada: Supogaos que la frecueca absoluta ayor es, correspodete al tervalo [ L, L o que recbe el obre de tervalo odal. La oda se calcula edate la sguete fórula: Sedo: M o L +. ( ) ( ) + + L el extreo feror del tervalo odal. la frecueca absoluta del tervalo ateror al tervalo odal, + la frecueca absoluta del tervalo sguete al tervalo odal a La apltud del tervalo odal. a ) 8
E el ejeplo de varable cotua teeos: (ver pága 8) Itervalo odal: [ L, L ) [ 6',68') Extreo feror del tervalo odal: L 6, Frecueca absoluta del tervalo odal: Frecueca absoluta del tervalo ateror al odal: Frecueca absoluta del tervalo sguete al odal: Apltud del tervalo odal: a Por tato la Moda es: M o L +. a 6, +. 6,7 c. ( ) + ( ) ( ) ( ) La altura ás frecuete etre los adolescetes es 6,7 c. La edaa. Es u valor de la varable, que deotaos por M e tal que al eos la tad de los valores de la dstrbucó es feror o gual a M e, y al eos la tad es superor o gual a M e. Es decr, es el valor de la varable que dvde la dstrbucó e dos partes guales. Para calcular la edaa, los datos tee que presetarse e ua tabla ordeados de eor a ayor Para calcular la edaa procedeos de fora dferete, segú sea la aturaleza de la varable e estudo. Varable dscreta o o agrupada: Dstguos dos casos segú tegaos úero par o par de observacoes. Cuado el úero de observacoes,, es par, la edaa es el que ocupa el lugar cetral. Cuado el úero de observacoes,, es par. Para calcular la edaa, se toa la eda artétca de los dos valores cetrales. E el ejeplo de la varable dscreta o o agrupada: - Los valores de la varable está recogdos e la tabla ordeados de eor a ayor valor. - Dado que hay 0 valores y se trata de u úero par, los dos valores cetrales so los que ocupa las poscoes y 6. - Mrado la tabla de frecuecas absolutas acuuladas veos que abos correspode + al valor (ya que eores o guales que él hay 9), por tato, M e este resultado sgfca: Que la calfcacó de putos es el valor que dvde la dstrbucó e dos partes guales, es decr, hay el so úero de aluos co otas ferores a, que aluos co otas superores a putos. O lo que es lo so, el 0% de loa aluos tee eos de u de putuacó y el otro 0% tee ua calfcacó de ás de putos. 9
Varable cotua o agrupada: Para su calculo procedeos del sguete odo: - Los valores de la varable está recogdos e la tabla ordeados de eor a ayor valor. Es decr, los tervalos segurá orde crecete. - Calculaos - E la colua de la tabla de frecuecas, correspodete a la frecueca absoluta acuulada, detfcaos el PRIMER valor que sea ayor o gual que. Vaos a supoer que este valor se alcaza e el tervalo -éso. - Idetfcaos los sguetes eleetos: valor de la prera frecueca absoluta acuulada que supera o es gual valor de la frecueca absoluta acuulada del tervalo edataete ateror a [ L, L ) [ L, L ) Itervalo correspodete a. E él se ecuetra el valor de la edaa. Se deoa tervalo edao. a apltud del tervalo [ L, L ) L, frecueca absoluta del tervalo [ ) L Aplcaos la sguete fórula: M e L +. a y obteeos el valor de la edaa. E el ejeplo de la varable cotua o agrupada: Itervalos Marca de clase x 8,,, 8, 6 6 8, 6, 6 7 6, 68, 66 68, 7, 7 6 7, 78, 76 0 Totales 0 Los tervalos sgue orde crecete. 0 0 El PRIMER valor de ayor o gual que es Idetfcaos los sguetes eleetos: 7 L 6',68' Itervalo edao. [ ) [ ), L 0
a apltud del tervalo Frecueca absoluta del tervalo edao. Aplcaos la sguete fórula: M e L +. a 0 7 6, +. 6,7 Por tato, 6,7c. Es el valor de la altura que dvde la dstrbucó e dos partes guales. Es decr, el 0% de los adolescetes de eos de 6,7c. Y el otro 0% de ellos de ás de 6,7c. OBSERVACIÓ: La edaa es ua edda úca para cada dstrbucó. MEDIDAS DE POSICIÓ Ejerccos:,,, Para calcular las eddas de poscó debeos teer SIEMPRE los datos ordeados. Los ordeareos de eor a ayor. E caso cotraro podríaos, razoado de fora slar, obteer las expresoes de estas eddas. Los cuartles. So los valores de la varable que deja a su zquerda u porcetaje deterado de la poblacó. So TRES valores de la varable que dvde la dstrbucó e CUATRO partes guales. Es decr, etre cada dos cuartles cosecutvos se ecuetra el % de las observacoes. Es decr, el % de los dvduos de la poblacó. otacó: co k,,. So pues valores: Q, Q Q Q k, Los decles. So los valores de la varable que deja a su zquerda u porcetaje deterado de la poblacó. So UEVE valores de la varable que dvde la dstrbucó e DIEZ partes guales. Es decr, etre cada dos decles cosecutvos se ecuetra u 0% de los dvduos de la poblacó. Se represeta por D h k,,... 9 Por ejeplo: D es el valor de la varable que deja a su zquerda el 0% de los dvduos de la poblacó. Es decr, u 0% de la poblacó tedrá valor de la varable eor o gual que. C Los cetles o percetles. So los valores de la varable que deja a su zquerda u porcetaje deterado de la poblacó. So OVETA Y UEVE valores de la varable que dvde la dstrbucó e CIE partes guales. Es decr, etre cada dos percetles cosecutvos se ecuetra u % de los dvduos de la poblacó. Se represeta por C h k,,... 99 Por ejeplo: C es el valor de la varable que deja a su zquerda el % de los dvduos de la poblacó. Es decr, u % de la poblacó tedrá valor de la varable eor o gual que. Cálculo de los cuartles, decles y percetles: - Su cálculo se obtee de fora slar a la edaa. - Para poder calcular estas eddas de poscó, los datos tee que presetarse e ua tabla ordeados de eor a ayor. - Procedeos de fora dferete, segú sea la aturaleza de la varable e estudo.
Varable dscreta o o agrupada: o Los valores de la varable está recogdos e la tabla ordeados de eor a ayor valor. o Calculaos, segú el caso: Para el cálculo de u cuartl: Q k ; k,, k,, Para el cálculo de u decl: Para el cálculo de u percetl: D k ; k,,,.. 9 k,,,... 9 0 C k ; k,,,... 99 k,,,... 99 00 o Mraos la tabla de frecuecas absolutas acuuladas y observaos el prer valor de dchas frecuecas que sea superor o gual al valor obtedo e el puto ateror. o El valor de la varable correspodete a dcha frecueca es el cuartl, decl o percetl buscado. E el ejeplo de la varable dscreta o o agrupada: - Los valores de la varable está recogdos e la tabla ordeados de eor a ayor valor. TABLA DE FRECUECIAS x 8 9 7 9 6 9 8 7 6 8 7 9 8 0 0 Totales 0 Calculaos los tres cuartles: PRIMER CUARTIL: Q Q k ; k,, k,,. 0. Calculaos:,. Buscaos la prera frecueca absoluta acuulada ayor o gual a, F 7 x. Q x El % de los aluos ha tedo ua ota eor o gual que. SEGUDO CUARTIL: Q M e. 00. Calculaos:. Buscaos la prera frecueca absoluta acuulada ayor o gual a F 9 x. Q M e El 0% de los aluos ha tedo ua ota eor o gual que. x
TERCER CUARTIL: Q. 0. Calculaos: 7,. Buscaos la prera frecueca absoluta acuulada ayor o gual a, F 6 8 x6 6. Q x6 6 Coetaro: el 7% de los aluos ha tedo ua ota eor o gual que 6 Calculaos los decles: Por ejeplo: D; D y D8 D k ; k,,,.. 9 k,,,... 9 0 TERCER DECIL: D. 0. Calculaos: 0 0. Buscaos la prera frecueca absoluta acuulada ayor o gual a F 7 x. D x El 0% de los aluos ha tedo ua ota eor o gual a. QUITO DECIL: D. 0. Calculaos: 0 0. Buscaos la prera frecueca absoluta acuulada ayor o gual a F 9 x. D M e x El 0% de los aluos ha tedo ua ota eor o gual que. OCTAVO DECIL: D8 8 00. Calculaos: 0 0 0. Buscaos la prera frecueca absoluta acuulada ayor o gual a 0 F 9. 8 x9 9. D8 x7 7 El 80% de los aluos ha tedo ua ota eor o gual a 7. Calculaos los percetles: Por ejeplo: C0 ; C0; C7; C9 C k k,,,... 99 k,,,... 99 00 PERCETIL: C0 0.. Calculaos: 00. Buscaos la prera frecueca absoluta acuulada ayor o gual a F 7 x. C0 x El 0% de los aluos ha tedo ua ota eor o gual a.
PERCETIL: C0 0.. Calculaos: 00. Buscaos la prera frecueca absoluta acuulada ayor o gual a F 9 x. C M e x El 0% de los aluos ha tedo ua ota eor o gual que. 0 PERCETIL: C7 7. Calculaos: 7, 00. Buscaos la prera frecueca absoluta acuulada ayor o gual a 7, F 6 8 x6 6. C7 x6 6 El 7% de los aluos ha tedo ua ota eor o gual a 6. PERCETIL: C9 9. Calculaos: 7, 00. Buscaos la prera frecueca absoluta acuulada ayor o gual a 7, F 9 8 x9 9. C9 x9 9 El 9% de los aluos ha tedo ua ota eor o gual a 9. Varable cotua o agrupada: Para su calculo procedeos del sguete odo: Los valores de la varable está recogdos e la tabla ordeados de eor a ayor valor. Es decr, los tervalos segurá orde crecete. Calculaos, segú el caso: Para el cálculo de u cuartl: Q k ; k,, k,, Para el cálculo de u decl: D k ; k,,,.. 9 k,,,... 9 0 Para el cálculo de u percetl: C k ; k,,,... 99 k,,,... 99 00 E la colua de la tabla de frecuecas, correspodete a la frecueca absoluta acuulada, detfcaos el PRIMER valor que sea ayor o gual que el resultado obtedo e el apartado ateror. Vaos a supoer que este valor se alcaza e el tervalo -éso. Idetfcaos los sguetes eleetos: - Valor de la prera frecueca absoluta acuulada que supera o es gual segú esteos calculado cuartl, decl o percetl. k. o o 0 00 - valor de la frecueca absoluta acuulada del tervalo edataete ateror a [ L, L )
[ ) - L, L Itervalo correspodete a. E él se ecuetra el valor del cuartl, decl o percetl buscado. - a apltud del tervalo [ L, - L frecueca absoluta del tervalo [ L, ) ) L Aplcaos la sguete fórula y obteeos el valor del paráetro buscado: Para el cálculo de u cuartl: Q k L +. a para k,, Para el cálculo de u decl: D 0 k L +. a para k,,,... 9 Para el cálculo de u percetl: C 00 k L +. a para k,,... 99 E el ejeplo de la varable cotua o agrupada: Vaos a calcular, por ejeplo, Q ; D; C90 Marca de clase Itervalos x 8,,, 8, 6 6 8, 6, 6 7 6, 68, 66 68, 7, 7 6 7, 78, 76 0 Totales 0 Los tervalos sgue orde crecete. Calculaos:. 0 Para el cálculo de u cuartl: Q 0. 00 Para el cálculo de u decl: D 0 0 0 90. Para el cálculo de u percetl: C 90 6 00 El PRIMER valor de ayor o gual que:. Q D C 90. 70. 0 0 0 es 7 00 8 es es 6
7 6 L L [ ) [ 8',6'), a apltud tervalo frec abs tervalo Idetfcaos los sguetes eleetos: Q D C 90 7 L L [ ) [ 6',68'), a apltud tervalo frec abs tervalo 6 L L [ ) [ 68',7'), a apltud tervalo frec abs tervalo Aplcaos la sguete fórula: Para el cálculo del cuartl:. 0 6 Q L +. a 8, +. 60, Por tato, el % de los adolescetes de eos de 60, c. Tabé podeos coclur que, el 7% de los adolescetes de ás de 60, c. Para el cálculo del decl:. D L + 0 0 7. a 6, +. 6, 7 Por tato, el 0% de los adolescetes de eos de 6,7c. Para el cálculo del percetl: 90.0 00 6 C 90 L +. a 68, +. 7, Por tato, el 90 % de los adolescetes de eos de 7, c. O lo que es lo so, el 0% de los adolescetes de ás de 7,c. M e OBSERVACIÓ: La edaa cocde co el segudo cuartl, el quto decl y, el percetl úero 0. Es decr, M e Q D C0. Adeás: Q C ; Q C7 ; D C0 ; D C0 ; D C0 ;... D 8 C80 ; D 9 C90 Ejerccos: 8 MEDIDAS DE DISPERSIÓ Varaza. Es la eda de los cuadrados de las desvacoes respecto a la eda. Se represeta por S. Cuadrado de las desvacoes respecto de la eda: ( x X ) Varaza: S ( x X ) x. ( x X ). f X x f X X X 6
OBSERVACIOES: Tee la vetaja de que las desvacoes grades afecta ás al resultado. o tee las sas udades que la varable e estudo. Es sepre postva. Es ula cuado todos los valores cocde co la eda. S ( ) x X Desvacó típca. Es la raíz cuadrada de la varaza. S ( x X ) I. x. S ( x X ). f X x. f X X X OBSERVACIOES: Es la udad de dspersó ás utlzada. Las udades so las sas que las de la uestra. Es sepre postva. Cuato ayor sea la desvacó típca, ás alejados está los valores de la dstrbucó de su valor edo. Hacedo las cálculos e la tabla del ejeplo ateror, se puede calcular las eddas de dspersó de la varable dscreta de la sguete aera: x x. ( ) X S x ( x X ) ( x X ). S x x, -, 7,9776,9 6 -, 0,976,98 9 -,,076,08 9 7 9 6 -,,76,88 6 60-0, 0,076 0,69 00 6 9 0,76 0,776,98 6 7 6,76,0976 8,86 9 9 8,76 7,676,88 6 9 9 9,76,76,76 8 8 0 0,76,676, 00 00 Totales 0 6 0, 76 x. 6 MEDIA: X, 0 VARIAZA.: la obteeos de dos foras. S ( x X ) 0, 0 x. 76 S X 0 DESVIACIÓ TÍPICA: S S,06,0,06 (,), 7,76, 06 7
Varable cotua Para varables agrupadas. el procedeto es el so, salvo que la arca de clase hace el papel de valor de la varable: x Marca de Itervalos clase x x. ( x X ) ( x X ) x ( x X ). x, 8,, 0 -, 8, 6, 80 60, 8, 6 6-8, 7, 89 6 97 8, 6, 6 77 -,,,7 9 8 6, 68, 66,,, 76 878 68, 7, 7 8 6,,, 9 60 7, 78, 76 70,, 9 0976 90 Totales 0 680 60 08970 x. 680 MEDIA: X 6, c Es la altura eda de los adolescetes 0 VARIAZA.: ( σ ) la obteeos de dos foras. ( ) x X 60 S 0 DESVIACIÓ TÍPICA: ( σ ) S S 9 9, x. 08970 9 S X (, 6) 9 0 Ejerccos:, 6, 7, 9 OTACIÓ: E Estadístca es uy útl la otacó co subídces. El síbolo x (léase "x sub ") deota cualquera de los valores x, x, x,..., x que ua varable x puede toar. La letra "" e x puede represetar cualquera de los úeros,,,... y se llaa subídce. Tabé es uy frecuete el uso del síbolo de suatoro Para dcar la sua de todas las x desde hasta, es decr, por defcó: x x + x + x +... + x +... x E geeral, detfcaos a las varables estadístcas por ua letra ayúscula: X y etoces, x represeta el valor o odaldad -éso de la varable estadístca X. E geeral dreos que los valores o odaldades de la varable X so; x x, x,... x,... x o be x desde... x, 8
EJERCICIO RESUELTO Para las quce otas sguetes:,, 6,, 7, 6, 9, 6, 8,,,, 7, 7, a) Costruye ua tabla de frecuecas y halla la eda artétca. b) Calcula la varaza ( σ ) y la desvacó típca ( σ ). c) Halla el úero de aluos copreddos e el tervalo ( x σ, x + σ ). d) Dbuja u dagraa de barras co frecuecas absolutas e) Dbuja u polígoo de frecuecas absolutas. x ( x X ) ( ) x X x. ( x X ). x x, -, 8,9 6,98 -, 0,89 0,89 -,,69,69 6 6-0, 0,09 0,7 7 6 8 0,7 0,9,7 6 08 7,7,89 8,67 9 7 8 8,7 7,9 7,9 6 6 9 9,7,69,69 8 8 79 80,9 97 MEDIA: x. 79 X, Es la ota eda VARIAZA.: la obteeos de dos foras. S ( ) x X. 80,9 x. 97, S X (,), DESVIACIÓ TÍPICA: S S,,7 ITERVALO ( σ x + σ ) x, : ( x σ, x + σ ) ( ),,7,, +,7 (.6, 8) aluos (/ 7%) 9
EJERCICIOS ) El úero de heraos de los aluos de ua clase es el sguete: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a) Efectúa el recueto. b) Elabora ua tabla de frecuecas e las que se cluya: frecueca absoluta, absoluta acuulada, relatva y relatva acuulada. c) Dbuja u dagraa de barras co frecuecas absolutas acuuladas y u polígoo de frecuecas absolutas. d) Calcula la eda, la oda y la edaa. ) Se ha lazado u dado 0 veces y se ha obtedo los sguetes resultados:,,,,,, 6,,,,,,,,,,,,, 6 a) Costrur la tabla de frecuecas. b) Represetar los datos co u dagraa de barras y u dagraa de sectores. c) Cuál a sdo la putuacó eda obteda?. d) Calcula la oda y la edaa ) La dreccó de tráfco ha recogdo la sguete foracó relatva al úero de ultas daras que sus agetes ha puesto e ua autopsta. Hallar todos los paráetros de la uestra e terpretarlos. Multas Días [ 0,) 6 [,0) [ 0,) 0 [,0) 0 ) Se ha pasado u test de 79 pregutas a 600 persoas. El úero de respuestas correctas se refleja e la sguete tabla. Calcula la eda, la oda y la edaa Acertos Persoas [ 0,0) 0 [ 0,0) 60 [ 0,0) 7 [ 0,0) 90 [ 0,0) 0 [ 0,60) 8 [ 60,70) 80 [ 70,80) 6 0
) Peso [0,) [,) 7 [,6) [6,8) 0 [8,0] 6 De la dstrbucó de frecuecas absolutas represetada e la tabla, calcular: a) La eda artétca y la desvacó típca b) Etre qué valores se ecuetra los vete pesos cetrales? c) Represete el polígoo de frecuecas absolutas acuuladas. 6) X F f 0,0 6 0,6 6 0 6 7 0, 8 La tabla sguete represeta las frecuecas absolutas,, las frecuecas absolutas acuuladas, F, y las frecuecas relatvas f, correspodetes a la dstrbucó de ua varable estadístca X : a) Coplete los datos que falta e la tabla y represetar la dstrbucó edate ua gráfca adecuada. b) Calcule la eda, la oda y la desvacó típca de la dstrbucó. 7) Putuacoes º de (8,] (,0] (0,6] 0 (6,6] 0 (6,68] 0 (68,7] 8 (7,80] 6 Se ha aplcado u test, sobre satsfaccó e el trabajo, a 90 epleados de ua fábrca, obteédose los sguetes resultados: a) Calcule la eda y la edaa. b) Calcule el coefcete de varacó. 8) Hallar de los ejerccos,, y a) Q; Q yq b) D; D y D8 P ; P y P c) 0 80 9) Hallar de los ejerccos,, y a) Desvacó eda b) Varaza c) Desvacó típca d) Coefcete de varacó