Integrales Triples Hermes Pantoja Carhuavilca Facultad de Ingeniería Industrial Universidad Nacional Mayor de San Marcos Matematica II Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 30
CONTENIDO Integrales Triples Introducción Centro de Masa y Momento de Inercia Integrales Triples en Coordenadas Cilindricas Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 2 de 30
DEFINICIÓN Definición La integral triple de f sobre la caja B es B si el límite existe. f (x, y, z)dv = lím l,m,n l m i=1 j=1 k=1 n f (x ijk, y ijk, z ijk ) V Integrales Triples Hermes Pantoja Carhuavilca 3 de 30
INTEGRAL TRIPLE Integrales Triples Hermes Pantoja Carhuavilca 4 de 30
VOLUMEN DE UN SOLIDO E Volumen(E)= dv E f (x, y, z) = 1 Integrales Triples Hermes Pantoja Carhuavilca 5 de 30
Teorema (Teorema de Fubini) Si f es continua sobre la caja rectangular B = [a, b] [c, d] [r, s] entonces B f (x, y, z)dv = Ejemplo Evaluar la integral triple B s d b r c a f (x, y, z)dxdydz xyz 2 dv donde B está dado por B = {(x, y, z) / 0 x 1, 1 y 2, 0 z 3} Integrales Triples Hermes Pantoja Carhuavilca 6 de 30
INTREGALES TRIPLES SOBRE REGIONES ACOTADAS E = {(x, y, z) / (x, y) D, u 1 (x, y) z u 2 (x, y)} [ ] u2 (x,y) f (x, y, z)dv = f (x, y, z)dz da E D u 1 (x,y) Integrales Triples Hermes Pantoja Carhuavilca 7 de 30
INTREGALES TRIPLES SOBRE REGIONES ACOTADAS E = {(x, y, z) / a x b, g 1 (x) y g 2 (x), u 1 (x, y) z u 2 (x, y)} E f (x, y, z)dv = b g2 (x) u2 (x,y) a g 1 (x) u 1 (x,y) f (x, y, z)dzdydx Integrales Triples Hermes Pantoja Carhuavilca 8 de 30
INTREGALES TRIPLES SOBRE REGIONES ACOTADAS E = {(x, y, z) / c y d, h 1 (y) x h 2 (y), u 1 (x, y) z u 2 (x, y)} d h2 (y) u2 (x,y) f (x, y, z)dv = f (x, y, z)dzdxdy E c h 1 (y) u 1 (x,y) Integrales Triples Hermes Pantoja Carhuavilca 9 de 30
Ejemplo Evaluar Q zdv, donde Q es el tetraedro acotado por los planos x = 0, y = 0, z = 0 ; x + y + z = 1 Integrales Triples Hermes Pantoja Carhuavilca 10 de 30
EJERCICIO 1 Ejercicio Evalúe la integral E 2ydV Si E es el sólido acotado por los planos x + 2y + z = 4, x = 0, y = 0, z = 0 Integrales Triples Hermes Pantoja Carhuavilca 11 de 30
EJERCICIO 2 Ejercicio Evalúe la integral E y cos(x + z)dv Si E es el sólido acotado por el cilindro x = y 2 y los planos x + z = π/2, y = 0, z = 0 Integrales Triples Hermes Pantoja Carhuavilca 12 de 30
INTREGALES TRIPLES SOBRE REGIONES ACOTADAS E = {(x, y, z) / (y, z) D, u 1 (y, z) x u 2 (y, z)} [ ] u2 (y,z) f (x, y, z)dv = f (x, y, z)dx da E D u 1 (y,z) Integrales Triples Hermes Pantoja Carhuavilca 13 de 30
INTREGALES TRIPLES SOBRE REGIONES ACOTADAS E = {(x, y, z) / (x, z) D, u 1 (x, z) y u 2 (x, z)} [ ] u2 (x,z) f (x, y, z)dv = f (x, y, z)dy da E D u 1 (x,z) Integrales Triples Hermes Pantoja Carhuavilca 14 de 30
CENTRO DE MASA Y MOMENTO DE INERCIA Masa de un Solido m = ρ(x, y, z)dv Momentos M yz = M xz = M xy = y Centro de Masa (x, y, z) Q Q Q Q xρ(x, y, z)dv yρ(x, y, z)dv zρ(x, y, z)dv x = M yz m, y = M xz m, z = M xy m Centro de Masa y Momento de Inercia Hermes Pantoja Carhuavilca 15 de 30
EJEMPLO Ejemplo Encontrar el centro de masa de un solido de densidad constante que es acotada por el cilindro parabólico x = y 2 y los planos x = z,z = 0;, x = 1. Centro de Masa y Momento de Inercia Hermes Pantoja Carhuavilca 16 de 30
SOLUCIÓN Centro de Masa y Momento de Inercia Hermes Pantoja Carhuavilca 17 de 30
INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS r 0, 0 θ < 2π x = r cos θ, x 2 + y 2 = r 2 y = r sin θ, tan θ = y x z = z, z = z Integrales Triples en Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 18 de 30
Ejemplo 1. Coordenadas Cilindricas (2, 2π/3, 1) a Coordenadas Rectangulares. 2. Coordenadas Rectangulares (3, 3, 7) a Coordenadas Cilindricas. Integrales Triples en Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 19 de 30
COORDENADAS CILINDRICAS Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 20 de 30
COORDENADAS CILINDRICAS Diferencial de volumen en coordenadas cilindricas V = r r θ z Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 21 de 30
COORDENADAS CILINDRICAS E = {(x, y, z) / (x, y) D, u 1 (x, y) z u 2 (x, y)} donde: D = {(r, θ) / α θ β, h 1 (θ) r h 2 (θ)} Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 22 de 30
COORDENADAS CILINDRICAS Evaluación de la integral triple en coordenadas cilindricas [ ] u2 (r,θ) f (x, y, z)dv = f (r cos θ, r sin θ, z)dz da E R u 1 (r,θ) Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 23 de 30
Ejemplo Hallar el volumen de la región sólida Q que corta en la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 el cilindro r = 2 sin θ, como se muestra en la figura. Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 24 de 30
JACOBIANO J(r, θ, z) = x = r cos θ y = r sin θ z = z (x, y, z) (r, θ, z) = det cos θ r sin θ 0 sin θ r cos θ 0 0 0 1 = r Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 25 de 30
Ejemplo Evaluar 2 4 x 2 2 4 x 2 2 x 2 +y 2 (x 2 + y 2 )dzdydx Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 26 de 30
SOLUCIÓN Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 27 de 30
COORDENADAS ESFÉRICAS Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 28 de 30
Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 29 de 30
CAMBIO DE VARIABLE Coordenadas Cilindricas Hermes Pantoja Carhuavilca 30 de 30