ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA CÁLCULO DE ÁREAS Y VOLÚMENES (De revolución) A. Cálculo de l longitud de un curv pln. B. Cálculo del áre de un figur pln. C. Cálculo del volumen de un cuerpo de revolución. D. Cálculo del áre de un superficie de revolución. A Cálculo de l longitud de un curv. A1. Curvs expresds en form explícit (Coordends Crtesins) Pr l curv y=f(x) entre x=, x=. ( ) ( ) 1 dy L dx dy dx dx Pr l curv x=f(y) entre y=, y=. dx L ( dx) ( dy) 1 dy dy 1
Ejemplo: Clculr l longitud del rco de curv y x x entre x= y x=. Solución: Utilizmos l fórmul: ( ) ( ) 1 dy L dx dy dx dx Pr ello hllremos y : x 1/ y ' x y 9x x 1 / L 1 9 x dx. 1 9x 9 7 19 1
B Cálculo del áre de un figur pln B1. Áres de curvs expresds en form explícit (Coordends Crtesins) ) Se trt de clculr el áre por dejo de l curv y = f(x), entre los dos puntos x=, x=. Est áre viene dd por: S f ( x) dx (Not: Si l curv estuvier por dejo de OX, hrí que tomr el vlor soluto del resultdo) ) En el cso de que l curv corte l eje OX en vrios puntos: (Supongmos que sen dos: x 1, x ), entonces Est áre viene dd por: x1 x S f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx x1 x c) Áre comprendid entre dos curvs y = f(x), y = g(x). Se trt de tomr positiv el áre comprendid entre l curv superior y OX, y negtiv el áre entre l curv inferior y OX. Es decir: S f ( x) dx g( x) dx f ( x) g( x) dx
B. Áres de curvs expresds en form explícit (Coordends Polres). En este cso suponemos l curv expresd en polres: ρ = f(φ) Se hll medinte l fórmul: 1 1 S d f ( ) d 1 1 B. Áres de curvs expresds en ecuciones prmétrics. Un curv pln puede expresrse en función de un prámetro t (en físic t suele ser el tiempo) de form: x f1( t) y f( t) Pr hllr el áre de est curv comprendid entre x=, x=, primero clculremos t 1 y t de ls ecuciones, es decir: f ( t) t f ( t) t 1 1 1 Entonces el áre entre y es: t S f( t). f 1( t) dt t1 4
Ejemplos de cálculo de áres de curvs plns. Ejemplo 1: Hllr el áre limitd por l curv y = x 6 x + 8 x y el eje OX. Primermente hllmos los puntos de corte con el eje OX: Hcemos y= x 6 x + 8 x = x (x 6 x+ 8 )= Ls ríces son x=, x=, x=4. Por tnto el áre comprendid es: 4 S ( x 6x 8 x) dx ( x 6x 8 x) dx 8u Ejemplo : Hllr el áre de l figur limitd por ls curvs y = e x, y = e -x, y por l rect x = 1. El áre pedid está remrcd en l gráfic de l derech. 1 x x x x 1 S e e dx e e 1 ( e e ) ( e e ) 1 ( e ) e 5
Ejemplo : Clculr el áre encerrd en el interior del crdioide ρ = (1 + cos θ). Un crdioide tiene l form del gráfico de l derech. En este cso l función viene expresd en coordends polres (ρ,θ). El áre remrcd en el gráfico es l mitd del áre totl, por tnto: Entonces, según A: 1 S (1 cos ) d (1 cos cos ) d 1 1 sin sin cos Ejemplo 4: Clculr el áre encerrd entre el eje OX y un rco de l cicloide: x ( t sin t) y (1 cos t) En este cso l cicloide viene expresdo en coordends prmétrics (en función de t). Determinmos los puntos de corte con el eje OX: y = = (1 cos t) cos t = 1. Es decir, t =, π, 4π, Por tnto, según A el áre correspondiente es: dx = (1 cos t) dt S (1 cos t) (1 cos t) dt 1cost cos t dt 6
C Cálculo del volumen de un cuerpo de revolución. C1. Volumen del cuerpo engendrdo por l revolución de l curv (Coordends Crtesins) y = f(x) entre x= y x=. I Alrededor del eje OX. V y dx f x dx ( ) Cso prticulr: Al rotr l superficie comprendid entre y=f(x) e y=g(x). V f x g x ( ) ( ) II Alrededor del eje OY. V x. y dx x. f ( x) dx 7
C. Volumen del cuerpo engendrdo por l revolución de l curv x f ( t) (Coordends prmétrics) y g( t) Sirven ls misms fórmuls que ls de rri, slvo que hor l integrl viene expresd en l coordend t. t I. V y dx g( t) f '( t) dt t1 II. t V x. y dx f ( t). g( t). f '( t) dt t1 Ejemplos de cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución-. Ejemplo 1: Hllr el volumen engendrdo por l curv y = sin x. A) Al girr lrededor del eje OX. B) Al girr lrededor del eje OY. En mos csos considerr un semiond (el intervlo de x entre y π). A) V sin x dx x sin x cos x B) V x.sin x dx x.cos x cos x dx x sin 8
Ejemplo : Hllr el volumen del cuerpo de revolución resultnte de girr l elipse x.cost lrededor del eje OX. Result un elipsoide de revolución. y.sin t Por l simetrí del cuerpo podemos integrr entre y, y el resultdo multiplicrlo por. Esto es:.sin sin / V y dx t t dt Arri se h hecho x= t =π/, etc. Entonces, 4 V sin t dt (1 cos t) sin t dt / / D Cálculo del áre de un superficie de revolución. D1. Áre de l superficie engendrdo por l revolución de l curv y=f(x) entre x= y x=. I Alrededor del eje OX. 1 ( '). S y y dx f ( x). 1 f '( x). dx * Pr coordends prmétrics x f ( t) y g( t) t. 1 ( '). ( ). '( ) '( ). t1 S y y dx g t f t g t dt 9
D. Áre de l superficie engendrdo por l revolución de l curv x=g(y) (Coordends Crtesins) entre y=m y y=n. n. 1 ( '). S x x dy m n g( y). 1 g '( y). dy m Ejemplos de cálculo de áres de superficies de revolución-. Ejemplo 1: Hllr el áre de l superficie engendrd por l revolución lrededor del eje OX del lzo de l curv 9y = x ( x). Est curv cort l eje OX en x=, y en x=. L ecución de l curv puede expresrse: 1 y x ( x) (podemos tomr l rm positiv de l curv). x 1 y ' 6 x x El áre de est superficie de revolución es: 1
1 x x S y 1 ( y ') dx x( x) 1 dx 6 x x( x) x 1. dx x Ejemplo : Hllr el áre de l superficie engendrd por l revolución lrededor del x.cos t eje OX del stroide: y.sin t Primero hllmos los límites de t. x= = cos t t=. x=- -= cos t t=π.. 1 ( '). ( ). '( ) '( ). S y y dx g t f t g t dt dx dt dy f '( t).( sin t).cos t g '( t)..cos t.sin t dt f ' g ' 9 sin t.cos t (cos t sin t) 4 S sin t. sin t cost dt 6 sin t cost dt 1 5 Lecturs pr profundizr: * Cálculo Integrl. Metodologí y prolems. F. Coquillt. * http://ocw.unizr.es/ciencis-experimentles/clculo-integrl-pr-primeros-cursosunivesitrios/mterilteorico/8integrles.pdf 11